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Schaltalgebra

Schaltalgebra

• $\wedge$ – Serienschaltung

• $\vee$ – Parallelschaltung

• Die Distributivgesetze

• Schalttabellen

• Bindungsregel

• Normalformen

Die Schaltalgebra ist eine Boolsche Algebra.

Als Grundmenge für die Schaltalgebra dient die Menge

\mathbb{B} = \{0, 1\}

. Das sind genau die Zustände, die ein Schalter haben kann: Zu und Offen bzw. Strom fließt oder Strom fließt nicht. Auch Daten auf digitalen Trägern werden als 0 und 1 gespeichert bzw. die gespeicherten Daten so interpretiert, denn die Speicherung auf DVDs etwa findet nicht durch die Zahlen 0 und 1 statt.

Diese Schaltzustände können durch bistabile Schaltelemente (Ein-Aus-Schalter) dargestellt werden, die Variablen, die genau die zwei Zustände 0 und 1, die Schaltkonstanten, haben, heißen binäre Schaltvariablen. Funktionen

f: \mathbb{B}^n \rightarrow \mathbb{B}

heißen binäre Schaltfunktionen, ihre technischen Realisierungen heißen Schaltungen.

SVG Schalterstellungen und Layout einer Schaltung

Die Schaltalgebra

(P(\mathbb{B}), \vee, \wedge, \neg

mit

\mathbb{B}

ist eine Boolesche Algebra. D.h. wir ersetzen:

Itex2MML::Error

und haben die Null 0 und die Eins 1.

Bemerkung: In der Schaltalgebra sind für die Negation mehrere Notationen üblich:

Das hat seinen Ursprung in der Nähe von Schalt- und Mengenalgebra zur Aussagenlogik. Die Negation bindet am stärksten, da ja ¬a = a = a ein eigenständiges Element ist.

Es gelten dann alle Rechenregeln einer Booleschen Algebra, insbesondere natürlich

Kommutativgesetze: $\array {oplus & \text{durch} \wedge & logisches UND \\ \otimes & \text{durch} \vee & \text{logisches ODER} \\ \tilde &a \vee b = b \vee a$ und $a \wedge b = b \wedge a$
Assoziativgesetze: $a \vee (b \vee c) = (a \vee b) \vee c und a \wedge (b \wedge c) = (a \wedge b) \wedge c$
Distributivgesetze: $a \vee (b \wedge c) = (a \vee b) \wedge (a \vee c) und a \wedge (b \vee c) = (a \wedge b) \vee (a \wedge c)$
Neutrale Elemente 0 und 1: $a \overset{\triangle}{=} 0 = a$ und $a \wedge 1 = a$
Komplemente: $a \vee \neg a = 1$ und $a \wedge \neg a = 0$

$\wedge$ – Serienschaltung

$Serienschaltung $a \wedge b$$

Abbildung 1: Serienschaltung $a \wedge b$

$Serienschaltung $a \wedge b \wedge c$$

Abbildung 2: Serienschaltung $a \wedge b \wedge c$

$\vee$ – Parallelschaltung

$Parallelschaltungen $a \vee b$$

Abbildung 3: Parallelschaltungen $a \vee b$

$...und $a \vee b \vee c$$

Abbildung 4: ...und $a \vee b \vee c$

Die Distributivgesetze

Veranschaulichung der Distributivgesetze durch Schaltfunktionen

Schalttabellen

Schaltfunktionen können nicht nur durch diese Diagramme veranschaulicht werden, sondern auch durch Schalttabellen, die im Grunde genommen wie die Wahrheitstabellen aus der Aussagenlogik aussehen. Mit Hilfe der Schalttabellen können Schaltfunktionen nicht nur berechnet, sondern auch vereinfacht werden. Die logischen Funktionen NON, UND und ODER:

Die Distributivgesetze:

Bindungsregel

Es sollte aufgefallen sein, dass die Regeln zur Definition von Booleschen Algebren sehr ähnlich den Rechenregeln in

\mathbb{Q}

oder

\mathbb{R}

sind, wenn wir

\oplus

und

\otimes

durch die übliche Addition und Multiplikation ersetzen. Wir wissen, dass es dort die Rechenregel "Multiplikation vor Addition" (Punktrechnung vor Strichrechnung) gibt.

In Booleschen Algebren ist dies ebenso: Die Bindungsregel besagt, dass die UND-Verknüpfung stärker bindet als die ODER-Verknüpfung.

Normalformen

Logische Schaltungen können auch dahingehend vereinfacht werden, dass man jede einzelne Schaltung nur mittels der Operatoren

\wedge

und

\neg

aufbauen kann, oder nur mittels

\vee

und

\neg

. Die kanonische konjunktive Normalform (KNF) einer logischen Schaltung besteht aus Konjunktionen (

\wedge

) von Maxtermen. Maxterme (Volldisjunktionen) sind logische Verknüpfungen von Schaltvariablen, die nur Disjunktionen (

\vee

) und Negationen (

\neg

) enthalten. Die Bezeichnung Maxterm kommt daher, da diese als Ergebnis das Maximum aller beteiligten Schaltvariablen hat.

Die kanonische disjunktive Normalform (DNF) einer logischen Schaltung besteht nur aus Disjunktionen von Mintermen. Minterme (Volldisjunktionen) sind logische Verknüpfungen von Schaltvariablen, die nur Konjunktionen (

\wedge