Ein Einstiegsbeispiel zur Wahrscheinlichkeitsrechnug und Statistik

Ein Einstiegsbeispiel zur Wahrscheinlichkeitsrechnug und Statistik

Mathematische Inhalte:

Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung, Grundsätzliche statistische Fragestellungen, Gesetz der großen Zahlen, Binomialverteilung Anwendung: Die Themenstellung stammt aus dem Bereich Stichprobensysteme (statistische Methoden des Qualitätsmanagements) Kurzzusammenfassung:

Es wird ein Modellversuch samt Auswertung vorgestellt, der in die Gedanken- und Begriffswelt der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik gleichermaßen einführen soll. Typische Fragestellungen, die erst später exakt gelöst werden können, werden angerissen. Mit dem Einstiegsbeispiel soll von Anfang an der Anwendungscharakter der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik betont werden.

Lehrplanbezug: II. Jahrgang : Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik:Häufigkeitsverteilung; Kenn-größen; Wahrscheinlichkeit (Additions- und Multiplikationsregel).

IV. Jahrgang: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik: Diskrete und stetige Verteilungen, ... , Statistische Qualitätssicherung. Anwendungen.

Zeitaufwand: Dieses Einstiegsbeispiel kann – je nach Ausführlichkeit der Simulation und Interpretation – in 1-2 Unterrichtsstunden abgehandelt werden. Mediales Umfeld:

Simulationsmaterial: Kugelkasten oder ähnliches
MATHCAD (Version 8)

Anmerkungen:

Schon in meinem AMMU-Beitrag Statistik mit Zufallszahlen in AMMU 4, Beitrag [4], habe ich versucht, Einstiegsbeispiele zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik zu demonstrieren, die den Blick von vornherein über die "Würfelbudenmathematik" hinaus auf das Wesentliche lenken sollen. Im Mittelpunkt stand auch dort, die enge Verknüpfung zwischen statistischen Fragestellungen und den Rechenmethoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung von Anfang an aufzuzeigen. In diesem Artikel soll ein weiterer Versuch in diese Richtung unternommen werden. Allerdings stammt diesmal die Fragestellung aus dem Bereich der Stichprobensysteme. (® siehe auch mein Beitrag Stichprobensysteme in AMMU 9, Beitrag [4]).

1. Problemstellung

Man beachte: Die Schüler werden hier aufgefordert, ohne jede wahrscheinlichkeitstheoretische Vorbildung sozusagen "aus dem Bauch" heraus auf diese Frage zu antworten. Die üblichen Antworten offenbaren zum Teil eine völlige Hilflosigkeit, wie man an diese Frage herangehen könnte. Eine typische spontane Antwort ist daher:

"Zwei Prozent von 100 sind 2. Daher nehme ich bei mehr als 2 schlechten Stück bereits an, dass der Ausschußanteil größer als 2% ist."

Im Gegensatz dazu treten auch Meinungen auf, die sehr "vorsichtig" sind und erst bei 10-20 (!) schlechten Bauteilen in der Stichprobe wirklich von einem höheren Ausschußanteil als 2% ausgehen möchten.

Es gibt meist nur wenige Schüler, die den Einfluß des Zufalls bei dieser Fragestellung wirklich berücksichtigen und noch weniger können ihn einigermaßen richtig einschätzen!

2. Simulation und Versuchs-Auswertung

Zur Klärung der vorhin gestellten Frage wird zunächst eine Simulation durchgeführt, welche durch die vorhergegangene Ratlosigkeit sehr an Spannung gewinnt. Ein geeignetes Simulationsgerät sind Kugelkästen, wie sie am TGM hergestellt werden. Diese enthalten 1000 verschiedenfarbige Kugeln, die ein Simulieren unterschiedlicher Fehleranteile erlauben und durch die gleichzeitige Entnahme von 100 Kugeln auch eine einigermaßen zeitsparende Simulation ermöglichen.

Als Variante sind auch "Kugelkästen" mit 2% irgendwie markierten "Kugeln" denkbar, aus denen (je nach Gesamtanzahl der Kugeln) mit Zurücklegen (oder ohne Zurücklegen bei sehr vielen Kugeln) gezogen wird. Allerdings steigt dann der Zeitaufwand enorm, wenn man so viele Daten erzeugen will, damit eine einigermaßen aussagekräftige Auswertung der Daten möglich ist.

Ich führe in der Regel 50 Versuche durch und lasse die Schüler ein Häufigkeitsdiagramm erstellen. Anschließend stelle ich die Daten den "theoretischen Wahrscheinlichkeiten" g(x) gegenüber (mit dem Hinweis, dass wir diese ohnehin bald selbst berechnen werden können). Dies könnte dann etwa wie folgt aussehen:

der "erwartete" (plausible) Wert x = 2 ist nahezu gleich wahrscheinlich wie x = 1. (sodaß es gar nicht so selten sein wird, dass bei der Simulation – so wie hier – der Wert der relativen Häufigkeit für x=1 größer ist als bei x=2.
Die "Verteilung" ist unsymmetrisch!
die Wahrscheinlichkeiten (und natürlich auch die beobachteten Häufigkeiten) fallen für x>2 sehr schnell – sodaß etwa x=5,6,7, ... nur eine sehr geringe Wahrscheinlichkeit zukommt.

In weiterer Folge können folgende Fragen gestellt werden, die mit Hilfe von g(x) heuristisch beantwortet werden können. (Daraus ergeben sich auf heuristische Weise einige Grundregeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung, insbesondere der Additionssatz und das Rechnen mit der Gegenwahrscheinlichkeit)

Nun können wir versuchen, die eingangs gestellte Frage zu beantworten:
"Bei wieviel schlechten Bauteilen in der Stichprobe sollte der Prüfer annehmen, dass der Ausschußanteil "ziemlich sicher" größer geworden ist ?"

Für die Diskussion dieser Frage sollte man sich Zeit lassen, weil sie ganz bewußt die Problematik statistischer Fragestellungen anspricht:

Was heißt "ziemlich sicher" ?
Welche "Irrtumswahrscheinlichkeit" ist sinnvollerweise anzunehmen ?
Ist eine eindeutige Antwort überhaupt möglich ?

Und schließlich:

Wie nahe kommen die Versuchsergebnisse den "wahren" Wahrscheinlichkeiten bzw. wie groß ist der Einfluß des Zufalls? (Was würde eine eventuelle Wiederholung der N=50 Versuche ergeben ?

3. Computersimulation

Diese soll der Beantwortung der zuletzt gestellten Frage dienen und empirisch zum Gesetz der großen Zahlen führen.

ANHANG: Der Mathcad-File zur Simulation