Mathematische Inhalte:

Einsatz von DERIVE und EXCEL bei der Behandlung von Kosten- und Preisfunktionen

Extremwertaufgaben aus der Wirtschaft

Einsatz des PCs zur Behandlung von Fragestellungen aus der Wirtschaftsmathematik

HAK und HLA, 4.Jg sowie zur Einführung von Polynomfunktionen im 2.Jg.

5 Stunden

Taschenrechner, EXCEL, DERIVE

Selbst in wirtschaftsorientierten Schulen wie der HAK haben viele Schüler Schwierigkeiten, die Funktionalität der Kosten- und Preistheorie zu begreifen und sowohl einfache als auch komplexe wirtschaftsmathematische Zusammenhänge zu verstehen. Obwohl viele der Grundbegriffe in den Wirtschaftsfächern durchgenommen werden, lernen viele Schüler die Grundbegriffe einfach auswendig, um sie spätestens nach der Schularbeit zu vergessen. Dadurch fehlt es vielen an praxisorientiertem Verständnis. Einfachste Zusammenhänge wie zum Beispiel "Gewinn = Umsatz – Produktionskosten" werden zwar pragmatisch zur Kenntnis genommen, können jedoch im Mathematikunterricht nicht umgesetzt werden.

Weiters fehlt es vielen Schülern am Verständnis, was eine Funktion eigentlich sein soll und warum es wichtig sein kann, funktionale Zusammenhänge zu erkennen und Ergebnisse zu interpretieren.

Der regelmäßige Einsatz des PCs kann vor allem für Schüler, deren Abstraktionsvermögen eher bescheiden ist, von großem Nutzen sein. Mit Hilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms wie EXCEL können funktionale Zusammenhänge leichter erkannt und Ergebnisse besser interpretiert werden. DERIVE hingegen kann dazu verwendet werden, die durch EXCEL berechneten Tabellen zu abstrahieren bzw. rechentechnische Hürden zu meistern.

1. Inhalte des Beitrages

Behandlung einer konkreten Aufgabe einerseits mit DERIVE und andererseits mit EXCEL.
Quellenverweis: Der Beitrag wurde zum Teil übernommen aus:
Hanisch, Schak: Ist gleich, Lehrbuch für Handelsakademien, Band 3, ÖBV&HPT 1999

2. Aufgabenstellung

Zu Beginn möchte ich anhand eines Beispiels die herkömmliche Art der Fragestellung sowie eine Kurzfassung der mathematischen Behandlung wiedergeben.

Aufgabe:

Von einer kubischen Kostenfunktion K(x) = ax³ + bx² + cx + K_f kennt man die Fixkosten K_f = 250 sowie für bestimmte Mengen die entsprechenden Kosten:
 

Menge x	10	20	25
Kosten K(x)	302	336	350

1. Erstelle die Gleichung dieser Kostenfunktion
2. Berechne die Kostenkehre und die entsprechenden Gesamtkosten
3. Berechne die Grenzkosten für 10 Stück
4. Berechne das Betriebsminimum und die langfristige Preisuntergrenze, also die minimalen Stückkosten
5. Berechne das Betriebsminimum und die kurzfristige Preisuntergrenze, also die minimalen variablen Stückkosten
6. Ein Stück wird zu einem Preis von 15,- verkauft. Berechne den maximalen Gewinn.
7. Angenommen, der Stückpreis wäre nicht fix, sondern durch die sog. Preisfunktion

                                            p(x) = - 0,3x + 33
gegeben. Berechne den Cournotschen Punkt
8. Berechne den maximalen Deckungsbeitrag

 
1. Herkömmliche Lösungsansätze

1. allg. Form: K(x) = ax³+bx²+cx+d

Durch Einsetzen der obigen Tabellenwerte erhält man ein Gleichungssystem in 3 Variablen, das sich mit oder ohne PC leicht lösen lässt.
Ergebnis: K(x) = 0,002x³ - 0,15x² +6,5x + 250
2. K’’(x) = 0,012x-0,3

K’’(x)=0 für x=25 ("Kostenkehre")
Entprechende Gesamtkosten=K(25)=350
3. K’(x) = 0,006x² - 0,3x + 6,5

K’(10) = 4,1
4. Kq(x) = K(x)/x = 0,002x² - 0,15x + 6,5 + 250/x

Kq’(x)=0 führt zu x=57 Stück
Kq(57) = 8,83
5. Kqv(x) = (K(x)-K_f)/x = 0,002x² - 0,15x + 6,5

Kqv’(x) = 0,004x – 0,15
Kqv’(x) = 0 für x = 37,5 ? 38 Stück
Kqv(38) = 3,69
6. p = 15

E(x) = 15x (Erlös für x Stück)
G(x) = K(x) – E(x) = - 0,002x³ + 0,15x² + 8,5x – 250
G’(x) = - 0,006x² + 0,3x + 8,5
G’(x) = 0 für x= 70 (und –20, wobei negative Lösungen aufgrund der Fragestellung ausgeschlossen werden)
G(70) = 394
7. E(x) = p(x).x = (-0,3x+33).x = -0,3x²+33x

G(x) = E(x) – K(x) = - 0,006x² - 0,3x + 26,5
G’(x) = 0 bei x = 46 = gewinnmaximale Menge
p(46) = 19,2
CP(46/19,2)
8. D(x) = E(x) – Kv(x) = -0,002x³ - 0,14x² + 26,5x

D’(x) =0 für x=46
D(46) =707

1. Berechnen mit Hilfe des Computers

Für sämtliche Berechnungen lässt sich ein CAShervorragend verwenden, wie wir an Beispiel B zeigen wollen.

Fortsetzung des obigen Beispiels: Löse die Aufgaben mit Hilfe eines CAS!

Lösung: Zuerst lösen wir das lineare Gleichungssystem. Dazu definieren wir K(x) (#1) und ersetzen anschließend a, b und c durch die berechneten Werte (#4). Zweimaliges Differenzieren der Kostenfunktion (#5 und #6) und Nullsetzen der zweiten Ableitung liefert die Kostenkehre Kw=25 (#7). Da dies einem der gegebenen Werte entspricht, können wir die zugehörigen Gesamtkosten von 350 ablesen.

Um die Grenzkosten für 10 Stück zu berechnen, brauchen wir nur 10 in die erste Ableitung einsetzen (am Einfachsten mit Hilfe des Einsetz-Befehls) (#8).

Als Nächstes berechnen wir das Betriebsoptimum. Dazu dividieren wir K(x) durch x um Kq zu erhalten (#9 und #10), differenzieren einmal (#11) und setzen die erste Ableitung 0. Da diese Gleichung dritten Grades keine rationalen Lösungen hat, verwenden wir das numerische Lösen, wobei wir Grenzen des Intervalls, in dem wir die Lösung suchen, auf 0 und 100 setzen (#12). Das Betriebsoptimum erhalten wir durch Einsetzen der Lösung in Kq (#13 und #14).

Für das Betriebsminimum brauchen wir die variablen Stückkosten Kqv. Diese ergeben sich z.B. durch Entfernen des letzten Terms aus Kq (#15). Nullsetzen der ersten Ableitung (#16) ergibt das Betriebsminimum (#17). Da dies nicht ganzzahlig ist, setzen wir sowohl 37 als auch 38 in Kqv ein und erhalten die kurzfristige Preisuntergrenze (#18 bis #21).

Um die Preistheorie mit einzubeziehen, geben wir als Preisfunktion p(x)=-0,3x+33 vor (#22). Dadurch ergeben sich die Erlösfunktion E(x)=x p(x) (#23) und die Gewinnfunktion G(x)=x p(x) – K (#24 und #25). Durch Nullsetzen der Gewinnfunktion und ihrer ersten Ableitung erhält man die Gewinngrenzen (#26 und #27) und die gewinnmaximale Menge.(#28 und #29). Den entsprechenden Preis erhalten wir durch Berechnen von p(46) (#30 und #31).
 

Da sich der Deckungsbeitrag D(x) nur durch eine additive Konstante (die Fixkosten) von der Gewinnfunktion unterscheidet (#32), braucht man zum maximalen Gewinn nur die Fixkosten dazu zählen.

Grafische Darstellungen:

1. Zeichne die Graphen der Funktionen Kq und Kqv in ein gemeinsames Koordinatensystem. Bezeichne dabei auch das Betriebsoptimum und das Betriebsminimum.
2. Zeichne die Graphen der Funktionen K, E und G in ein gemeinsames Koordinatensystem. Bezeichne dabei alle charakteristischen Punkte.

2. Tabellenkalkulationsprogramm

Auch ein TKP lässt sich in der Kosten- und Preistheorie sehr gut zum Berechnen und zum Darstellen mittels Grafiken einsetzen. Man kann zwar (derzeit) nicht differenzieren, aber Extremwerte lassen sich mittels des Solvers leicht auffinden.

Fortsetzung des obigen Beispiels: Löse die Aufgaben mit Hilfe eines TKP und stelle jeweils die Graphen der Funktionen Kq und Kqv und die der Funktionen K, E und G in einem gemeinsamen Koordinatensystem dar!.

Lösung: Zuerst tragen wir in der ersten Zeile die Funktionsnamen ein (siehe Abb.). In A2 wird 0 und in A3 wird 5 eingetragen. Weiters müssen wir in der zweiten Zeile nun jeweils die Formeln für die gesuchten Funktionen eintragen. Also in B2: =0,002*A2^3-0,15*A2^2+6,5*A2+250; in C2: =6*0,002*A2 + 2*6,5 (K‘‘ = 6ax + 2b) D2: =B2/A2; in E2: =(B2-$B$2)/A2 (die $-Zeichen teilen Excel mit, dass eine feste Adresse vorliegt, die beim Kopieren nicht verändert werden darf); in F2: =A2*(-0,3*A2+33) und in G2: =F2-B2. Die dabei auftretenden zwei Fehlermeldungen, die uns darauf hinweisen, dass wir durch Null dividieren, ignorieren wir vorerst. Nun müssen wir nur noch die zweite Zeile soweit in den unteren Bereich kopieren, wie wir wollen.(in unserem Beispiel bis Zeile 25). Nun löschen wir noch die beiden Zellen mit der Fehlermeldung.

Der zweite Schritt ist nun das Darstellen der Kurven. Dazu markieren wir jene Spalten (mittels String und Enter), in denen die gemeinsam darzustellenden Funktionen enthalten sind, und rufen den Funktionsassistenten auf. Wir wählen Punkt(x,y), dort die Abbildung mit den Kurven und vervollständigen. Jetzt können wir, wenn wir wollen, noch die Skalierung der Achsen durch Doppelklick ändern.

Der Spalte mit K‘‘ kann die Kostenkehre entnommen werden: K‘‘(25) = 0. (Allgemein lässt sich die Kostenkehre mit der Zielwertsuche oder mit dem SOLVER berechnen.)

Betriebsminimum und Betriebsoptimum ergeben sich als Minima von Kqv und Kq, die sich mit dem SOLVER berechnen lassen.

Hier die Lösung fürs Betriebsoptimum: Wir kopieren die Zellen A25, B25, D25 in die Zellen A27, B27, D27 sowie A28, B28, D28 mit beliebigen Werten in A27 und A28. Nun starten wir den SOLVER aus dem Menü Extras. (Falls der SOLVER in Ihrem Menü nicht aufscheinen sollte, müssen Sie ihn im Menü Extras über den Add-In Manager nachinstallieren!) Geben Sie nun als Zielzelle für das Betriebsoptimum D28 und als veränderbare Zelle A28 ein, als Zielwert wählen wir Min. Dann liefert der SOLVER die Lösung x_opt = 56,843, die minimalen Stückkosten betragen 8,834.

Analog finden wir das Betriebsminimum.

Auch um die Extrema bzw. die Nullstellen von G(x) zu ermitteln, verwenden wir den Solver. Wir verwenden A27 als veränderbare Zelle und der Reihe nach die Zellen D27, E27 und G27 als Zielzelle. Wir brauchen dann nur eintragen, ob wir eine Nullstelle, ein Minimum oder Maximum wollen und in A27 einen halbwegs guten Näherungswert, den wir aus einer der beiden Grafiken ablesen. Für die Abbildung haben wir die erhaltenen Werte zusätzlich in die entsprechenden Spalten kopiert.
 

x	K(x)	K''(x)	Kq(x)	Kqv(x)	E(x)	G(x)
0	250,000	-0,30			0,000	-250,000
5	279,000	-0,24	55,800	5,800	157,500	-121,500
10	302,000	-0,18	30,200	5,200	300,000	-2,000
15	320,500	-0,12	21,367	4,700	427,500	107,000
20	336,000	-0,06	16,800	4,300	540,000	204,000
25	350,000	0,00	14,000	4,000	637,500	287,500
30	364,000	0,06	12,133	3,800	720,000	356,000
35	379,500	0,12	10,843	3,700	787,500	408,000
40	398,000	0,18	9,950	3,700	840,000	442,000
45	421,000	0,24	9,356	3,800	877,500	456,500
50	450,000	0,30	9,000	4,000	900,000	450,000
55	486,500	0,36	8,845	4,300	907,500	421,000
60	532,000	0,42	8,867	4,700	900,000	368,000
65	588,000	0,48	9,046	5,200	877,500	289,500
70	656,000	0,54	9,371	5,800	840,000	184,000
75	737,500	0,60	9,833	6,500	787,500	50,000
80	834,000	0,66	10,425	7,300	720,000	-114,000
85	947,000	0,72	11,141	8,200	637,500	-309,500
90	1078,000	0,78	11,978	9,200	540,000	-538,000
95	1228,500	0,84	12,932	10,300	427,500	-801,000
100	1400,000	0,90	14,000	11,500	300,000	-1100,000
105	1594,000	0,96	15,181	12,800	157,500	-1436,500
110	1812,000	1,02	16,473	14,200	0,000	-1812,000
115	2055,500	1,08	17,874	15,700	-172,500	-2228,000
37,500	388,281		10,354	3,688	815,625	427,344
56,843	502,145		8,834	37,500		46,005
						76,627
						10,087