3.4 Anwendungen

3.4.1 Bestimmung ganz-rationaler Funktionen

Zu bestimmen ist eine ganz-rationale Funktion f vom Grad 3, deren Graph folgende Eigenschaften hat:

die Tangente im Wendepunkt hat die Steigung –2.

Die allgemeine Form einer ganz-rationalen Funktion vom Grad 3 ist

Die angegebenen Bedingungen führen zu einem Gleichungssystem für die zu bestimmenden Koeffizienten a, b, c, d.

T(3 | f(3)) ist Tiefpunkt: das heißt, an der Stelle x = 3 ist die Steigung 0, also:

W(1 | 2/3) ist Wendepunkt: daraus ist abzulesen, dass an der Stelle x = 1 die zweite Ableitung 0 ist:

und außerdem, dass an der Stelle x = 1 der Funktionswert 2/3 beträgt:

Im Wendepunkt ist die Steigung der Tangente –2: an der Wendestelle x = 1 hat die Ableitung den Wert –2:

Gleichungssystem:

erste Umformung:

zweite Umformung:

Die gesuchte Funktion (und ihre Ableitungen) lauten:

Probe:

Beispiel 2:

Zu bestimmen ist eine ganz-rationale Funktion f vom Grad 3, deren Graph folgende Eigenschaften hat:

Die angegebenen Bedingungen führen auf die Gleichungen:

Lösung:

Beispiel 3:

Zu bestimmen ist eine ganz-rationale Funktion f vom Grad 3, deren Graph folgende Eigenschaften hat:

Gleichungssystem:

Lösung:

Beispiel 4:

Zu bestimmen ist eine ganz-rationale Funktion f vom Grad 3, deren Graph folgende Eigenschaften hat:

Die Symmetrie zum Ursprung bedeutet, dass f (–x) = –f (x) ist. Vergleicht man

mit

so kann Gleichheit nur auftraten, wenn b = d = 0 ist.

Die weiteren Bedingungen führen zu folgenden Gleichungen:

Lösung:

Beispiel 5:

Zu bestimmen ist eine ganz-rationale Funktion f vom Grad 4, deren Graph den Punkt H(2 | 4) als Hochpunkt und im Koordinatenursprung die Gerade mit der Gleichung y = x als Wendetangente hat.

Die allgemeine Form einer ganz-rationalen Funktion vom Grad 4 ist

Aus den Bedingungen ergeben sich folgende Gleichungen:

Lösung:

Übungen:

1.Der Graph einer ganz-rationalen Funktion f vom Grad 4 ist symmetrisch zur y-Achse. Sie hat im Punkt P(2 | 0) die Steigung 2 und den Wendepunkt W(-1 | f (–1)).
Wie lautet die Funktion?

2. Der Graph einer ganz-rationalen Funktion vom Grad 3 geht durch den Ursprung des Koordinatensystems. Er hat in P(1 | 1) einen Hochpunkt und die Stelle x = 3 ist Wendestelle. Bestimmen Sie die Funktion.

3. Der Längsschnitt einer Rutschbahn soll durch eine ganz-rationale Funktion vom Grad 4 beschrieben werden.
Die Bahn soll in S(0 | 5) starten, dann durch P(1 | 3) verlaufen und in Q(4 | 0) enden. Die Steigung des Funktionsgraphen soll im Startpunkt S den Wert 0,6 und im Punkt P den Wert –3 haben.
Guten Rutsch!

4. a) Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion, deren Graph durch die Punkte P₁(0 | 0), P₂(1 | 8), P₃(2 | 28), P₄(3 | 54) verläuft.

[zur Kontrolle: ]

b) Wo schneidet der Graph die x-Achse?

c) Ermitteln Sie die Extrempunkte des Graphen von f und deren Art.

d) Bestimmen Sie den Wendepunkt des Graphen von f und seine Art.

e) Geben Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Wendepunkt an.

f) Zeichnen Sie den Graphen von f für x = –3 ... 10.

g) Wie groß ist der Inhalt der Fläche, den der Graph von f mit der x-Achse einschließt?

3.4.2 Stoffumwandlungen in der Chemie

Die Faktoren 4, 2, 1 und 4 ergeben sich aus der Bedingung, dass rechts und links gleich viele Atome jedes Elements vorkommen müssen.

Ammoniak NH₃ verbrennt mit Sauerstoff O₂ zu Stickstoffdioxyd NO₂ und Wasser H₂O. Die Reaktionsgleichung lautet zunächst:

Hier sind möglichst kleine Zahlen für die x_i zu bestimmen.

1. Schritt: Für jede auftretende Atomart wird eine Gleichung aufgestellt. Dabei ist zu berücksichtigen, dass links und rechts gleich viele Atome vorkommen müssen.

2. Schritt: Gleichungen als lineares Gleichungssystem notieren.

3. Schritt: Gleichungssystem lösen. Die Lösungsmenge lautet:.

4. Schritt: Dem Problem entsprechend ist die kleinste positive Zahl s zu bestimmen, für die sich eine ganzzahlige Lösung ergibt. Dies ist der Fall für s = 6: x₁ = 4, x₂ = 7, x₃ = 4, x₄ = 6. Die Reaktionsgleichung lautet damit: .

3.4.3 Netzwerke

In einem Netzwerk (wie einem Straßennetz, Abwassernetz, Stromnetz usw.) sind Leitungen über Knoten miteinander verbunden. Über die Leitungen gibt es Zuflüsse zi auf die Knoten zu und Abflüsse ai von den Knoten weg. Ein Zufluss wird durch einen auf den Knoten weisenden Pfeil und ein Abfluss durch einen vom Knoten weg weisenden Pfeil dargestellt. Da in einem Knoten nichts verschwindet, gilt die Knotenregel: Summe der Zuflüsse = Summe der Abflüsse z1 + z2 = a1 + a2

Die folgende Abbildung zeigt einen Ausschnitt aus einem Straßennetz mit 4 Einbahnstraßen. Die eingetragenen Zahlen stellen die Verkehrsdichten (Mittelwerte der Anzahlen von Fahrzeugen pro Stunde) dar.

Es sollen die Verkehrsdichten x₁, x₂, x₃, x₄ der inneren Straßen bestimmt werden.

Die Anwendung der Knotenregel führt auf folgende Gleichungen:
 

Gleichungssystem:

Als Lösungsmenge ergibt sich:

Da alle Verkehrsdichten nicht negativ sein können (Einbahnstraßen), liegen die Werte für s zwischen 125 und 200.