Sie können lineare und nichtlineare Differenzialgleichungen und Systeme gewöhnlicher Differenzialgleichungen (ODEs) einschließlich logistischer Modelle und Lotka-Volterra-Gleichungen (Räuber-Beute-Modelle) untersuchen. Außerdem können Sie Steigungs- und Richtungsfelder mit interaktiven Implementationen von Euler- und Runge-Kutta-Methoden zeichnen.
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Die ODE-Eingabezeile
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Schieberegler zum Variieren des Koeffizienten k der ODE |
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Richtungsfeld |
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Eine Lösungskurve, die durch die Anfangsbedingung verläuft. |
| 1. | Wählen Sie im Menü Graph-Eingabe/Bearbeitung die Option Diff.Glch. |
Der ODE wird automatisch eine Bezeichnung wie z. B. „y1” zugeordnet.
| 2. | Geben Sie im Ausdrucksfeld den Ausdruck ein, der die Relation definiert. Geben Sie beispielsweise -y1+0.1*y1*y2 ein. |
| 3. | Geben Sie die Anfangsbedingung für den unabhängigen Wert x0 und für y10 ein. |
Hinweis: Die x0 Wert(e) gelten für alle ODEs in einem Problem, können jedoch nur im ersten ODE eingegeben oder geändert werden.
| 4. | (Optional:) Um mehrere Anfangsbedingungen für die aktuelle ODE zu untersuchen, klicken Sie auf „Anfangsbedingung hinzufügen”  und geben Sie die Bedingungen ein. |
| 5. | Tippen Sie auf „Parameter bearbeiten”  , um die Diagrammparameter einzustellen. Wählen Sie eine numerische Lösungsmethode und stellen Sie dann zusätzliche Parameter ein. Sie können diese Parameter jederzeit verändern. |
| 6. | Klicken Sie auf OK. |
| 7. | Drücken Sie zur Eingabe weiterer ODEs den Abwärtspfeil, um das nächste ODE-Bearbeitungsfeld anzuzeigen. |
Während Sie zwischen definierten ODEs wechseln, wird der Graph aktualisiert, um Änderungen widerzuspiegeln. Für jede Anfangsbedingung, die für jede angezeigte (durch Kontrollkästchen ausgewählte) ODE festgelegt ist, wird eine Lösung für die ODE gezeichnet.
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Lösungsmethode |
Wählt Euler oder Runge-Kutta als numerische Lösungsmethode. |
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Iterationen zwischen Diagrammschritten |
Berechnungsgenauigkeit nur für die Euler-Lösungsmethode. Muss eine ganze Zahl >0 sein. Um die Standardeinstellung wiederherzustellen, wählen Sie den Abwärtspfeil und dann Standard. |
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Fehlertoleranz |
Berechnungsgenauigkeit nur für die Runge-Kutta-Lösungsmethode. Muss ein Gleitkommawert |1×10-14 sein. Um die Standardeinstellung wiederherzustellen, wählen Sie den Abwärtspfeil und dann Standard. |
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Feld |
Keins – Es wird kein Feld gezeichnet. Verfügbar für jede Anzahl ODEs; erforderlich, wenn drei oder mehr ODEs 1. Ordnung aktiv sind. Zeichnet eine Kombination der Lösung und/oder Werte einer oder mehrerer ODEs (entsprechend den vom Benutzer konfigurierten Achsen-Einstellungen). Steigung – Zeichnet ein Feld, das die Lösungsfamilie für eine ODE 1. Ordnung darstellt. Hierzu muss genau eine ODE aktiv sein. Setzt Achsen auf Standard (x und y). Setzt Horizontalachse auf x (die unabhängige Variable). Setzt Vertikalachse auf y (die Lösung für die ODE). Richtung – Zeichnet ein Feld in der Phasenebene, welches das Verhältnis zwischen einer Lösung und/oder Werten eines Systems von zwei ODEs erster Ordnung darstellt (wie durch die Einstellung Benutzerdefinierte Achsen festgelegt). Hierzu müssen genau zwei ODE aktiv sein. |
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Achsen |
Standard (x und y) – Zeichnet x auf die x-Achse und y (die Lösungen zu den aktiven Differenzialgleichungen) auf die y-Achse. Benutzerdefiniert – Lässt Sie auswählen, welche Werte auf die x- bzw. auf die y-Achse gezeichnet werden sollen. Gültige Eingaben sind:
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Diagrammstart |
Legt den Wert der unabhängigen Variablen fest, an dem das Lösungsdiagramm beginnt. |
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Diagrammende |
Legt den Wert der unabhängigen Variablen fest, an dem das Lösungsdiagramm endet. |
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Diagrammschritt |
Legt das Inkrement der unabhängigen Variablen fest, bei der Werte gezeichnet werden. |
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Feldauflösung |
Legt die Anzahl der Spalten für die Feldrendering-Elemente (Liniensegmente) fest, die zum Zeichnen eines Steigungs- oder Richtungsfelds verwendet werden. Sie können diesen Parameter nur ändern, wenn Feld = Richtung oder Steigung. |
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Richtungsfeld bei x= |
Legt den Wert der unabhängigen Variablen fest, bei dem beim Zeichnen nicht autonomer Gleichungen (Gleichungen, die sich auf x beziehen) ein Richtungsfeld gezeichnet wird. Beim Zeichnen autonomer Gleichungen wird dieser Wert ignoriert. Sie können diesen Parameter nur ändern, wenn Feld = Richtung. |
