Vektoren und Geraden - Grundkurs
Die wichtigsten Sachen, die ein Grundkurs im 3. Semester zur analytischen Geometrie gebraucht hat.
Bei Fragen oder Anregungen bitte eine E-Mail an chris@koonys.de.
1. Grundlagen der Vektorrechnung
- Vektor zwischen zwei Punkten
- Koordinaten, Spaltenvektoren, Ortsvektoren
- Rechnen mit Vektoren, Rechengesetze
- Der Betrag eines Vektors
- Kollinearität
- Zusammenfassung
- Textaufgaben mit Figuren
- Skalarprodukt, Winkel zwischen Vektoren
- Die vektorielle Parametergleichung einer Geraden
- Die Zweipunktegleichung einer Geraden
- Punktprobe bei einer Geraden
- Gegenseitige Lage von zwei Geraden
- Spurpunkte
1. Grundlagen der Vektorrechnung
Vektor zwischen zwei Punkten
-die Sache mit "von A nach B" und "von B nach A"
-dabei gilt: Endpunkt - (minus) Anfangspunkt
B-A
$$\vec{AB} = \vec{b}-\vec{a}$$
Das Video zeigt es nochmal.
-dabei gilt: Endpunkt - (minus) Anfangspunkt
B-A
$$\vec{AB} = \vec{b}-\vec{a}$$
Das Video zeigt es nochmal.
Häufige Fragen
Zwischen zwei Punkten einfach dieses AB mit Pfeil oben drüber. Nur das kleine a mit Pfeil ist quasi der von (0|0|0) ausgehend.
Koordinaten, Spaltenvektoren, Ortsvektoren
-drei Koordinaten: x,y und z
-untereinander geschrieben nennt man diese: Spaltenvektor
Wichtig zu Wissen ist, dass ein Vektor ein Pfeil ist, der irgendwo startet und endet.
-Vektoren kann man verschieben, der Pfeil bleibt gleich (unterschiedlicher Start/Endpunkt)
-geht Vektor vom Ursprung ( 0|0|0), bis zu einem Punkt = Ortsvektor
(Zu jedem Punkt gibt es einen Ortsvektor. Also quasi einen Pfeil, der draufzeigt.)
-in 3D zeichnen
Beliebte Fehler
-untereinander geschrieben nennt man diese: Spaltenvektor
Wichtig zu Wissen ist, dass ein Vektor ein Pfeil ist, der irgendwo startet und endet.
-Vektoren kann man verschieben, der Pfeil bleibt gleich (unterschiedlicher Start/Endpunkt)
-geht Vektor vom Ursprung ( 0|0|0), bis zu einem Punkt = Ortsvektor
(Zu jedem Punkt gibt es einen Ortsvektor. Also quasi einen Pfeil, der draufzeigt.)
-in 3D zeichnen
Beliebte Fehler
- bei Koordinatenachsen: die x-Achse zeigt zu dir
- Einteilung der x-Achse nur halb so lang ist (0,5/bzw. 1 Kästchen)
- die gestrichelten Linien nicht vergessen bei den Punkten
Häufige Fragen
Nein, weil eine Achse dann eventuell in die falsche Richtung zeigt.
Rechnen mit Vektoren, Rechengesetze
Die Bezeichnung von Vektoren sind Kleinbuchstaben mit einem Pfeil oben drüber.
In Gleichungen kann man mit den Vektoren genauso rechnen, wie man es von Variablen gewohnt ist.
Einzige Ausnahme: man kann nicht durch einen Vektor teilen.
Kleiner Überblick, wie man rechnet, im Video unten.
In Gleichungen kann man mit den Vektoren genauso rechnen, wie man es von Variablen gewohnt ist.
Einzige Ausnahme: man kann nicht durch einen Vektor teilen.
Kleiner Überblick, wie man rechnet, im Video unten.
Der Betrag eines Vektors
$$|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$$
Alle Koordinaten quadrieren, addieren und Wurzel ziehen.
-Ergebnis ist oft eine Zahl, bei welcher man die Wurzel ziehen muss
(Das tatsächliche Wurzelziehen kann man sich aber oft schenken. Die Zahl mit Wurzel ist meist ausreichend.)
-Ergebnis ist meinst eine Kommazahl (runden)
Beliebter Fehler
Abstand zwischen Punkten
Alle Koordinaten quadrieren, addieren und Wurzel ziehen.
-Ergebnis ist oft eine Zahl, bei welcher man die Wurzel ziehen muss
(Das tatsächliche Wurzelziehen kann man sich aber oft schenken. Die Zahl mit Wurzel ist meist ausreichend.)
-Ergebnis ist meinst eine Kommazahl (runden)
Beliebter Fehler
- Zahlen nicht ins Quadrat
- vergisst die Klammern, wenn Minus dabei ist
Abstand zwischen Punkten
- Vektor zwischen den beiden Punkten bestimmen.
- Betrag des Vektors ausrechnen.
Häufige Fragen
Das ist das mit der Wurzel, wo man die Koordinaten ins Quadrat nimmt, zusammenrechnet und dann fertig ist.
Man kann unter der Wurzel die Zahlen ins Quadrat rechnen und immer addieren.
Minuszeichen sind dabei völlig wurscht.
Man kann unter der Wurzel die Zahlen ins Quadrat rechnen und immer addieren.
Minuszeichen sind dabei völlig wurscht.
Kollinearität
$$\vec{a}=k\cdot\vec{b}$$
Kommt in jeder der drei Gleichung das Gleiche raus, sind die Vektoren kollinear, also parallel.
Bei den Aufgaben lernt man zum ersten Mal kennen, dass eine Gleichung mit Vektoren eigentlich drei Gleichungen sind. Das wird noch ultra wichtig!
3 Gleichungen Bilden: erste,zweite und dritte Zeile abschreiben (waagerecht)
Gut zu wissen
Kommt in jeder der drei Gleichung das Gleiche raus, sind die Vektoren kollinear, also parallel.
Bei den Aufgaben lernt man zum ersten Mal kennen, dass eine Gleichung mit Vektoren eigentlich drei Gleichungen sind. Das wird noch ultra wichtig!
3 Gleichungen Bilden: erste,zweite und dritte Zeile abschreiben (waagerecht)
Gut zu wissen
- kollinear = parallel
- auch: lineare Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit
- auch mit 3 Vektoren machbar
Häufige Fragen
Ja das sind einfach irgendwelche Variablen. Man nimmt einfach irgendeinen Buchstaben.
Ist wurscht.
Wenn man bei einer Variante auf eine 2 für die Variable kommt, käme man bei der anderen Variante auf 1/2.
Das Ergebnis ob etwas kollinear ist oder nicht, bleibt aber gleich. (Entweder "ja" oder "nein".)
Wenn man bei einer Variante auf eine 2 für die Variable kommt, käme man bei der anderen Variante auf 1/2.
Das Ergebnis ob etwas kollinear ist oder nicht, bleibt aber gleich. (Entweder "ja" oder "nein".)
Das ist quasi Kollinearität aber mit 3 Vektoren .
Da geht es um die Frage, ob drei gegebene Vektoren auf einem Blatt flach liegen können.
Interessiert aber eigentlich nur im Leistungskurs.
Da geht es um die Frage, ob drei gegebene Vektoren auf einem Blatt flach liegen können.
Interessiert aber eigentlich nur im Leistungskurs.
Zusammenfassung
Kleine Zusammenfassung von heute. 🙂
Man weiß bis hierhin, wie man Abstände, also Längen, berechnen kann und ob zwei Strecken, also Vektoren, parallel sind.
Man weiß bis hierhin, wie man Abstände, also Längen, berechnen kann und ob zwei Strecken, also Vektoren, parallel sind.
Anhänge
Textaufgaben mit Figuren
Hier muss man die paar Sachen, die man bisher gelernt hat, wissen, und bei geometrischen Formen anwenden können.
Gut zu wissen
Eine Beispielaufgabe gibt es im Video.
Gut zu wissen
- gleichseitiges Dreieck = 3 gleich lange Seiten
- gleichschenkliges Dreieck=2 gleich lange Seiten
- Parallelogramm=gegenüberliegende Seiten gleich lang und parallel
Eine Beispielaufgabe gibt es im Video.
Skalarprodukt, Winkel zwischen Vektoren
-man multipliziert zwei Vektoren
$$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1\cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3$$
-man multipliziert jeweils die Koordinaten
(erste * erste, zweite * zweite und dritte * dritte)
-addiert das zusammen
-Formel mit Kosinus=Winkel zwischen zwei Vektoren
$$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\gamma)$$
Beliebte Fehler
$$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1\cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3$$
-man multipliziert jeweils die Koordinaten
(erste * erste, zweite * zweite und dritte * dritte)
-addiert das zusammen
-Formel mit Kosinus=Winkel zwischen zwei Vektoren
$$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\gamma)$$
Beliebte Fehler
- das cos-1 vergessen
- Im Taschenrechner die Einstellung "rad" anstatt "deg" haben
- Vergessen beim Taschenrechner, dass Winkel ausgerechnet wird
- Wurzeln am Ende erst rechnen, wenn man einmal alles eingibt.
- Taschenrechner vergessen? Nimm das Handy und halte es quer. ;)
Anhänge
Häufige Fragen
Weil das wie ein Dreieck ist und gegenüberliegend wäre die Seite c quasi.
Erinnerst du dich an Kosinus hoch -1, wenn man den Winkel ausrechnen will?
Das ist nur eine andere Schreibweise.
Das ist nur eine andere Schreibweise.
Auf gar keinen Fall. Das kommt in eine Zeile.
Ist wurscht.
Lediglich die Richtung der Vektoren ist wichtig.
Lediglich die Richtung der Vektoren ist wichtig.
2. Geradengleichungen
Die vektorielle Parametergleichung einer Geraden
Stützvektor: a mit Pfeil
Richtungsvektor: m mit Pfeil
$$\mathrm{g}: \vec{x}=\vec{a}+r\cdot\vec{m}$$
Richtungsvektor: m mit Pfeil
$$\mathrm{g}: \vec{x}=\vec{a}+r\cdot\vec{m}$$
Häufige Fragen
"Geradengleichung" könnte auch dieses y = mx + n sein, was man in der 8. Klasse kennen gelernt hat. Zum Beispiel y = 5x + 2.
Die Zweipunktegleichung einer Geraden
-Punkte A und B sind gegeben= Geradengleichung aufstellen (geht durch diese Punkte)
$$\mathrm{g}: \vec{x}=\vec{a}+r\cdot(\vec{b}-\vec{a})$$
$$\mathrm{g}: \vec{x}=\vec{a}+r\cdot(\vec{b}-\vec{a})$$
Häufige Fragen
Man hat dafür zwei Punkte gegebenen und für die Gleichung einen Stützvektor und einen Richtungsvektor.
Einer der beiden Punkte, welcher ist egal, ist der Stützvektor.
Die Differenz der beiden Punkte, ist der Richtungsvektor.
Fertig. 🙂
Einer der beiden Punkte, welcher ist egal, ist der Stützvektor.
Die Differenz der beiden Punkte, ist der Richtungsvektor.
Fertig. 🙂
Punktprobe bei einer Geraden
-gegebenen Punkt für x einsetzen
-drei Gleichungen aufstellen
-nach r Auflösen jeweils
r überall gleich: Pinkt liegt auf Gerade
r nicht gleich: dann nicht
-drei Gleichungen aufstellen
-nach r Auflösen jeweils
r überall gleich: Pinkt liegt auf Gerade
r nicht gleich: dann nicht
Gegenseitige Lage von zwei Geraden
Wenn man zwei Geraden gegeben hat, wird die Frage sein, wie die so zueinander sind.
Möglichkeiten sind:
Es gibt mehrere Möglichkeiten die Lage heraus zu finden. Durchgesetzt hat sich ein Ablaufplan, wie im Video gezeigt.
Möglichkeiten sind:
- identisch
- parallel
- windschief
- schneidend
Es gibt mehrere Möglichkeiten die Lage heraus zu finden. Durchgesetzt hat sich ein Ablaufplan, wie im Video gezeigt.
Anhänge
Häufige Fragen
Nein.
Ja.
Spurpunkte
Es wird die Frage auftauchen, wo eine gegebene Gerade die Ebenen schneidet.
Beispiel xy-Ebene:
Beispiel xy-Ebene:
- In der xy-Ebene wird die z-Koordinate Null sein.
- Also setzt man für das x einen allgemeinen Punkt (x|y|0) ein.
- Mit der letzte Zeile, da wo die 0 steht, bekommt man das r heraus.
- Mit diesem r und den ersten beiden Zeilen bekommt man dann das x und y heraus.
3. Übungen
Bogenschießen
Anhänge
Test Geraden - Seite 124
- Geradengleichung, Punkt und Strecke
- Geraden am Quader
- Relative Lage von Geraden, Spurpunkte
Anhänge
4. Prüfungen
Test: Grundlagen der Vektorrechnung
Test am Freitag den 01.10.2021.
Ergebnis: 28/35 Punkte, was 12 Punkten entspricht. 😄
Ergebnis: 28/35 Punkte, was 12 Punkten entspricht. 😄
Anhänge
Klausur: Vektoren und Geraden
Die Arbeit wird am 18.11.2021 sein.