Auslegung

Zusammenfassung

Dieses Kapitel ist eine semantische Umkehrung des vorangegangenen Kapitels. Die auf der Grundlage historischer indogermanischer Daten begründete und mit typologischen Überlegungen untermauerte Struktur wird aus einer kompositorischen und interpretatorischen Perspektive überdacht. Was im vorigen Kapitel auf der Grundlage früherer Analysen und neuer empirischer Fakten vorgeschlagen wurde, ist eine Möglichkeit, den Wechsel zwischen koordinierten und nichtkoordinierten Bedeutungen von Superpartikeln zu erfassen. Der Begriff und das theoretische Instrument der Kreuzung werden in diesem Kapitel entscheidend: Es handelt sich um einen Funktor ohne rein boolesche Bedeutung, der jedoch Ausdrücke mit zwei Argumenten zulässt. Diese Argumente oder Junctions sind μ-Sätze, wenn es sich um Konjunktionen handelt, und κ-Sätze im Falle von Disjunktionen. Lexikalische Einträge für die beiden μ- und κ-Superpartikeln bzw. Regeln für die Komposition mit ihnen sind motiviert.

Anhang A. Anhang

In diesem Anhang wird die formale Grundlage der in dieser Arbeit verwendeten Semantik dargelegt. Die von mir verwendete semantische Sprache wurde vollständig von Chierchia (2013b, S. 136–139) übernommen, wo eine Version der zweisortigen Typentheorie, bekannt als TY2, verwendet wird.

Eine Teilversion von TY2 wird zusammen mit der starken Logik der Unbestimmtheit von Kleene (1950) (K₃) für Konnektive und Quantoren verwendet, die um indexikalische Ausdrücke (wie I oder hier) erweitert wurde.

3.1.1 Definition 3.2 (Typen)

• i. Grundtypen: e (Entitäten), t (Wahrheitswerte), w (Welten/Situationen)

• ii. Funktionale Typen: wenn a, b Typen sind, ist 〈a, b〉 ein Typ (von Funktionen von Dingen des Typs a in Dinge des Typs b)

3.1.2 Definition 3.3 (Syntax)

• i. Lexikon: für jeden Typ a gibt es unzählbar viele Variablen und Konstanten dieses Typs

• ii. Funktionale Anwendung: wenn β vom Typ 〈a, b〉 und α vom Typ a ist, ist β(α) vom Typ b

• iii. λ-Abstraktion: Wenn α eine Variable vom Typ a und β ein Ausdruck vom Typ b ist, ist λα[β] vom Typ 〈a, b〉

• iv. Wenn ϕ, ψ vom Typ t sind, und α eine Variable beliebigen Typs ist, dann sind die folgenden Ausdrücke vom Typ t: ¬ϕ, (ϕ ∧ ψ), (ϕ ∨ ψ),(ϕ → ψ),(ϕ ↔ ψ),∀α[ϕ],∃α[ϕ].

3.1.3 Definition 3.4 (Domänen)

• i. ${\mathfrak{D}}_e=U$

• ii. ${\mathfrak{D}}_t=\left\{0,1\right\}$

• iii. ${\mathfrak{D}}_w=W$

• iv. ${\mathfrak{D}}_{a,b}=\left[{\mathfrak{D}}_a\Rightarrow {\mathfrak{D}}_b\right]$

3.1.4 Definition 3.5 (Modell)

Ein Modell M ist ein Triplett 〈U, W, F〉, wobei W, U der obigen Definition entsprechen und F eine Funktion ist, so dass für jedes w ∈ W und jede Konstante α vom Typ a, $F\left(\alpha \right)(w)\in {\mathfrak{D}}_a$. Eine Zuweisung g bildet jede Variable vom Typ a auf ein Mitglied von ${\mathfrak{D}}_a$ ab.

Für jeden wohlgeformten Ausdruck β ist 〚β〛 der Wert von β in Bezug auf M, eine Zuweisung zu den Variablen g und eine Welt/Situation w, falls definiert. Wir werden im Allgemeinen M aus dem Hochkomma weglassen. Die Welt w im Exponenten der Interpretationsfunktion 〚·〛^{g, w} ist so zu verstehen, dass sie die Rolle des Auswertungskontextes spielt. Das bedeutet, dass Ausdrücke wie man oder walk (vom Typ 〈s, 〈e, t〉〉) kontextübergreifend einen konstanten Wert haben werden, während der Wert von Ausdrücken wie I (vom Typ e) kontextübergreifend variieren wird.

Beispiele:

• i. Für jedes w ist F(〚walk〛) (w) das Mitglied von d von ${\mathfrak{D}}_{\left\langle s,\left\langle e,t\right\rangle \right\rangle }$, so dass für jedes ${w}^{\prime}\in {\mathfrak{D}}_w$ und jedes $u\in {\mathfrak{D}}_e$ d(w′)(u) = 1 ist, wenn u in w′ läuft.

• ii. Für jedes w, F(〚I〛) (w) = u, wobei u der Sprecher in w ist

3.1.5 Definition 3.6 (Semantik)

• i. wenn α eine Variable vom Typ a ist, 〚α〛^{g, w} = g (α)

• ii. wenn α eine Konstante ist, 〚α〛^{g, w} = F (α) (w)

• iii. 〚β (α)〛^{g, w} = 〚β〛^{g, w}(〚α〛^{g, w}), wenn definiert (sonst undefiniert)

• iv. für beliebige $u,\lambda \alpha {\left[\beta \right]}^{g,w}(u)={\beta}^{g\left[\frac{\alpha }{u}\right],w},$ falls definiert (sonst undefiniert)

• v. 〚∃α [ϕ]〛^{g, w} = 1 iff für einige u, ${\phi}^{g\left[\frac{\alpha }{u}\right],w}=1$

• vi. 〚∃α [ϕ]〛^{g, w} = 0 iff für alle u in ${\mathfrak{D}}_a$ (wobei a der Typ von α ist), ${\phi}^{g\left[\frac{\alpha }{u}\right],w}=0,$ sonst undefiniert

• vii. 〚¬ϕ〛^{g, w} = 1 iff 〚ϕ〛^{g, w} = 0, sonst undefiniert

• viii. 〚ϕ ∧ ψ〛^{g, w} = 1 wenn 〚ϕ〛^{g, w} = 〚ψ〛^{g, w} = 1

• ix. 〚ϕ ∧ ψ〛^{g, w} = 0 iff 〚ϕ〛^{g, w} = 0 oder 〚ψ〛^{g, w} = 0, sonst undefiniert

• x. Wahrheit: Ein Ausdruck ϕ vom Typ t ist relativ zu w wahr (d. h., 〚ϕ〛^w = q), wenn für jede geeignete Funktion g zu den freien Variablen in ϕ relativ zu w, 〚ϕ〛^{g, w} = 1. Eine Zuordnung g zu den freien Variablen von ϕ relativ zu w ist angemessen, wenn für alle in ϕ frei vorkommenden Variablen w vom Typ s, g(w) = w.³⁵

3.1.6 Definition 3.7 (Verallgemeinertes Entailment)

• i. wenn ϕ, ψ vom Typ t sind, 〚ϕ ⊆ ψ〛^w = 1 iff für jedes w′ wenn ${\phi}^{w^{\prime }}=1,$ dann ${\psi}^{w^{\prime }}=1$

• ii. wenn β, γ vom Typ 〈a, b〉 sind, wobei b der Typ ist, der auf t endet, dann: β ⊆ γ := ∀α[[β](α) ⊆ [γ](α)], wobei α eine Variable vom Typ a ist

3.1.7 Definition 3.8 (Konsistenz)

Eine Menge von Formeln Φ ist konsistent (con(Φ)), wenn es keine Formel ϕ gibt, so dass Φ ⊢ ϕ und Φ ⊢¬ϕ. Andernfalls ist Φ inkonsistent (inc(Φ))

• i. Φ ist einfach konsistent, wenn für keine Formel ϕ von Φ sowohl ϕ als auch ¬ϕ Theoreme von Φ sind.

• ii. Φ ist absolut konsistent, wenn mindestens eine Formel von Φ nicht ein Satz von Φ ist.

• iii. Φ ist maximal konsistent, wennf für jede Formel ϕ, wenn con(Φ ∪ ϕ), dann ϕ ∈ Φ

• iv. Φ enthält Zeugen, wenn es für jede Formel der Form ∃xϕ einen Term t gibt, für den gilt $\left[\exists x\phi \to \phi \frac{t}{x}\right]$

3.1.8 Definition 3.9 (Gleichwertigkeitsklassen)

• i. Kommutativität:

  • a. ϕ ∧ ψ ⇔ ψ ∧ ϕ

  • b. ϕ ∨ ψ ⇔ ψ ∨ ϕ

• ii. Assoziativität:

  • a. ϕ ∧ (ψ ∧ χ) ⇔ (ϕ ∧ ψ) ∧ χ

  • b. ϕ ∨ (ψ ∨ χ) ⇔ (ϕ ∨ ψ) ∨ χ

• iii. Verteilbarkeit:

  • a. ϕ ∧ (ψ ∨ χ) ⇔ (ϕ ∧ ψ) ∨ (ϕ ∧ χ)

  • b. ϕ ∨ (ψ ∧ χ) ⇔ (ϕ ∨ ψ) ∧ (ϕ ∨ χ)

3.1.9 Definition 3.10 (Quantorenverteilung und boolesche Identitäten)

• i. Gesetz der Quantorenverteilung #2 (Partee et al. 1990, S. 149, Bsp. 7–9): ∀x[ϕ(x) ∧ ψ(x)]⇔[∀x[ϕ(x)] ∧∀x[ψ(x)]]

• ii. Gesetz der Quantorenverteilung #3 (ebd.): ∃x[ϕ(x) ∨ ψ(x)]⇔[∃x[ϕ(x)] ∨∃x[ψ(x)]]

Aus den beiden obigen Gesetzen ergeben sich die folgenden Homomorphismen (siehe Hammond 2006, S. 84):

• i. $\forall x\left[\phi (x)\right]=\prod \limits_{i=1}^{\left|\mathfrak{D}\right|}\phi \left({x}_i\right)$

• ii. $\exists x\left[\phi (x)\right]=\prod \limits_{i=1}^{\left|\mathfrak{D}\right|}\phi \left({x}_i\right)$

Der wahrheitsfunktionale Beweis in IL für den Homomorphismus zwischen quantifikatorischen und booleschen Termen ist unten angegeben und wurde von Takeuti (1987, S. 63) übernommen.

3.1.10 Beweis (3.9.i)

Es gilt, dass $\forall d\, \in \, \mathfrak{D}\left[\forall x{\left[\phi (x)\right]}^{M,g,w}\, \le \quad \phi {(d)}^{M,g,w}\right]$ da ∀x[ϕ(x) → ϕ(d)] in IL beweisbar ist. Nun sei 〚C〛^{M, g, w} ≤〚ϕ (d)〛^{M, g, w} für jede $d\in \mathfrak{D}$. Dann ist Γ, C → ϕ(d) beweisbar für jedes $d\in \mathfrak{D}$. Nehmen wir an, d sei eine freie Variable, die in Γ, C, ∀x[ϕ(x)] nicht vorkommt. Dann ist Γ, C, ∀x[ϕ(x)] in IL beweisbar. □

3.1.11 Beweis (3.9.ii)

Nach demselben Muster. Dies kann auch indirekt bewiesen werden, indem man sich auf den Verallgemeinerungssatz nach Enderton (2001, S. 117–118) beruft, der im Folgenden dargelegt wird.

3.1.12 Theorem 3.1 (Verallgemeinerungstheorem)

Wenn Γ ⊢ ϕ und x in keiner Formel frei vorkommt, dann Γ ⊢∀xϕ.

3.1.13 Beweis (Verallgemeinerungstheorem)

Man betrachte eine feste Menge Γ und eine Variable x, die nicht frei in Γ ist. Wir werden durch Induktion zeigen, dass wir für jeden Satz ϕ von Γ Γ⊢∀xϕ haben. Hierfür genügt es (durch das Induktionsprinzip) zu zeigen, dass die Menge

$$ \left\{\phi |\varGamma \vdash \forall x\phi \right\} $$

umfasst Γ ∩ Λ und ist unter Modi ponens geschlossen. Beachten Sie, dass x frei in ϕ vorkommen kann. Wenn ϕ ein logisches Axiom ist, dann ist ∀xϕ auch ein logisches Axiom. Dann ist es auch Γ⊢∀xϕ.

3.1.14 Definition 3.11 (De-Morgan-Gesetze)

In mengentheoretischen Begriffen:

• i. ∁(A ∪ B) ⇔  ∁ (A) ∩  ∁ (B)

• ii. ∁(A ∩ B) ⇔  ∁ (A) ∪  ∁ (B)

3.1.15 Beweis (3.10.i)

Der Beweis ist von Mendelson (1990, S. 6) übernommen. Es sei A ⊂ S und B ⊂ S. Angenommen, x ∈  ∁ (A ∪ B). Dann sei x ∈ S und x∉(A ∪ B). Also x∉A und x∉B, oder x ∈  ∁ (A) und x ∈  ∁ (B). Daher x ∈  ∁ (A) ∩  ∁ (B). Daher ∁(A ∪ B) ⊢  ∁ (A) ∩  ∁ (B). Nehmen wir umgekehrt an, x ∈ (∁(A) ∩  ∁ (B)). Dann ist x ∈ S und x ∈  ∁ (A) und x ∈  ∁ (B). Also x∉A und x∉B, und somit x∉(A ∪ B). Daraus folgt, dass x ∈  ∁ (A ∪ B) und folglich auch ∁(A) ∩  ∁ (B) ⊢  ∁ (A ∪ B). Es gilt also, dass ∁(A ∪ B) ⇔  ∁ (A) ∩  ∁ (B), womit der Beweis abgeschlossen ist. □

3.1.16 Beweis (3.10.ii)

Dieser Beweis folgt der gleichen Logik. Ein kürzerer Beweis ergibt sich, wenn wir (Def. 3.10.i) auf die beiden Teilmengen ∁(A) und ∁(B) von S anwenden. Also: ∁(∁(A) ∪  ∁ (B)) =  ∁ (∁(A)) ∩  ∁ (∁(B)) = A ∩ B. Nimmt man wieder Komplemente, so erhält man ∁(A) ∪  ∁ (B) =  ∁ (∁(∁(A) ∪  ∁ (B))) =  ∁ (A ∩ B), was ∁(A ∩ B) ⇔  ∁ (A) ∪  ∁ (B) zur Folge hat, womit der Beweis abgeschlossen ist. □

Die mengentheoretischen Ausdrücke lassen sich trivialerweise in propositionallogische Begriffe übersetzen:

• i. ¬[ϕ ∨ ψ] ⇔¬ϕ ∧¬ψ

• ii. ¬[ϕ ∧ ψ] ⇔¬ϕ ∨¬ψ

Im Folgenden beschreiben wir, wie Alternativen in Chierchias (2013b) System rekursiv definiert werden.

3.1.17 Definition 3.12 (Alternativmenge)

${\left\llbracket \alpha \right\rrbracket}^{\mathfrak{A}}$ für jeden Ausdruck α, wobei $\mathfrak{A}$ eine Funktion von Ausdrücken zu einer Menge von Interpretationen ist.

• i. Basisklausel. Beispielhafte lexikalische Einträge:

  • a. oder/und

    • ${\left\llbracket \mathrm{or}\right\rrbracket}^{\mathfrak{A}}={\left\llbracket \mathrm{or}\right\rrbracket}^{\delta \mathfrak{A}}\cup \, {\left\llbracket \mathrm{and}\right\rrbracket}^{\delta \mathfrak{A}}$

    • ${\left\llbracket \mathrm{or}\right\rrbracket}^{\delta \mathfrak{A}}=\left\{\begin{array}{c}\lambda p\lambda q\left[p\vee q\right]\\ {}\lambda p\lambda q\left[p\right]\quad \lambda p\lambda q\left[q\right]\end{array}\right\}$

    • ${\left\llbracket \mathrm{and}\right\rrbracket}^{\delta \mathfrak{A}}=\left\{\begin{array}{c}\lambda p\lambda q\left[p\wedge q\right]\\ {}\lambda p\lambda q\left[p\right]\quad \lambda p\lambda q\left[q\right]\end{array}\right\}$

  • b. ein/e

    • ${\left\llbracket {\mathrm{some}}_{\delta}\right\rrbracket}^{\mathfrak{A},g}={\left\llbracket \mathrm{some}\right\rrbracket}^{\delta \mathfrak{A}}\cup {\left\llbracket \mathrm{every}\right\rrbracket}^{\delta \mathfrak{A}}$

    • ${\left\llbracket {\mathrm{some}}_{\delta}\right\rrbracket}^{\delta \mathfrak{A},g}=\left\{\lambda \mathrm{P}\lambda \mathrm{Q}\exists \mathrm{x}\in \delta \left[P(x)\wedge Q(x)\right]:{\delta}^{\prime}\subset g\left(\delta \right)\right\}$

    • ${\left\llbracket {\mathrm{every}}_{\delta}\right\rrbracket}^{\delta \mathfrak{A},g}=\left\{\lambda \mathrm{P}\lambda \mathrm{Q}\forall \mathrm{x}\in \delta \left[P(x)\Rightarrow Q(x)\right]:{\delta}^{\prime}\subset g\left(\delta \right)\right\}$

    Andere skalare Elemente werden auf ähnliche Weise definiert.³⁶

• i. Für jeden lexikalischen Eintrag α, sofern nicht anders angegeben: ${\left\llbracket \alpha \right\rrbracket}^{\mathfrak{A}}={\left\{{\left\llbracket \alpha \right\rrbracket}^{M,g,w}\right\}}^{\mathfrak{A}},$ d. h. jeder lexikalische Eintrag ist eine Alternative zu sich selbst.

• ii. Rekursive Klausel. (Punktweise funktionale Anwendung/PFA)

$$ {\left\llbracket \beta \left(\alpha \right)\right\rrbracket}^{\left(\delta \right)\mathfrak{A}}=\left\{b(a):b\in {\left\llbracket \beta \right\rrbracket}^{\left(\delta \right)\mathfrak{A}}\mathrm{and}\, a\in {\left\llbracket \alpha \right\rrbracket}^{\left(\delta \right)\mathfrak{A}}\right\} $$

• iii. Strenge σ-Alternativen und kontextuelles Pruning:

  • ${\left\llbracket \alpha \right\rrbracket}^{\sigma \mathfrak{A}}=\left\{p\in {\left\llbracket \alpha \right\rrbracket}^{\mathfrak{A}}:\, \mathrm{for}\ \mathrm{no}\ q\in {\left\llbracket \alpha \right\rrbracket}^{\delta \mathfrak{A}},\, q\subset p\right\}$

  • ${\left\llbracket \alpha \right\rrbracket}^{C/\sigma \mathfrak{A}}=C,$ wobei C eine Teilmenge von ${\left\llbracket \alpha \right\rrbracket}^{\sigma \mathfrak{A}}$ ist, so dass für jedes q, wenn q ein stärkstes Mitglied von ${\left\llbracket \alpha \right\rrbracket}^{\sigma \mathfrak{A}}$ ist, q ∈ C

• iv. Alternative sensitive Operatoren. Für jeden Operator definieren wir (i) seine Wahrheitsbedingung (die immer dieselbe ist) und (ii) seinen σ-Alt und (iii) seinen $\delta \mathfrak{A}.$^{37 38}

  • a.

    • ${\left\llbracket {\mathrm{EXH}}_{\sigma \mathfrak{A}}\phi \right\rrbracket}^{g,w}={\left\llbracket \phi \right\rrbracket}^{g,w}\wedge \forall p\, \in \, {\left\llbracket \phi \right\rrbracket}^{\sigma -\mathrm{ALT}}\left[p\, \Rightarrow \, \lambda {w}^{\prime}\left[{\left\llbracket \phi \right\rrbracket}^{g,{w}^{\prime }}\right]\subseteq p\right]$

    • ${\left\llbracket {\mathrm{EXH}}_{\sigma \mathfrak{A}}\phi \right\rrbracket}^{\sigma -\mathrm{ALT}}=\left\{{\left\llbracket \phi \right\rrbracket}^{g,w}\right\}$

    • ${\left\llbracket {\mathrm{EXH}}_{\sigma \mathfrak{A}}\phi \right\rrbracket}^{\delta \mathfrak{A}}=\left\{{\mathrm{EXH}}_{\sigma \mathfrak{A}\left(\delta \right)}\left({p}_{\delta}\right):{p}_{\delta}\in {\left\llbracket \phi \right\rrbracket}^{\delta \mathfrak{A}}\right\},$wobei p_δ die Domäne δ hat und $\sigma \mathfrak{A}\left(\delta \right)$ die σ-Alternativen zu p mit der Domäne δ sind. Die (Sub-)Domänenalternativen (δas) einer Erschöpfung der Form ${\mathrm{EXH}}_{\sigma \mathfrak{A}}\phi$ sind das Ergebnis der Anwendung von ${\mathrm{EXH}}_{\sigma \mathfrak{A}}\phi$ auf die δ-Alternativen von ϕ, punktweise .

  • b.

    • ${\left\llbracket {\mathrm{EXH}}_{\delta \mathfrak{A}}\phi \right\rrbracket}^{g,w}={\left\llbracket \phi \right\rrbracket}^{g,w}\wedge \forall p\, \in \, {\left\llbracket \phi \right\rrbracket}^{\delta \mathfrak{A}}\left[p\, \Rightarrow \, \lambda {w}^{\prime}\left[{\left\llbracket \phi \right\rrbracket}^{g,{w}^{\prime }}\right]\subseteq p\right]$

    • ${\left\llbracket {\mathrm{EXH}}_{\delta \mathfrak{A}}\phi \right\rrbracket}^{\delta \mathfrak{A}}=\left\{{\left\llbracket \phi \right\rrbracket}^{M,g,w}\right\}$

    • ${\left\llbracket {\mathrm{EXH}}_{\delta \mathfrak{A}}\phi \right\rrbracket}^{\sigma \mathfrak{A}}=\left\{{\left\llbracket \phi \right\rrbracket}^{\sigma \mathfrak{A}}\right\}$

  • c. ${\left\llbracket {\mathrm{EXH}}_{Exh-\delta \mathrm{A}}\phi \right\rrbracket}^{g,w}={\left\llbracket \phi \right\rrbracket}^{g,w}\wedge \forall p\, \in \, {\left\llbracket \phi \right\rrbracket}^{Exh-\delta \mathrm{A}}\Big[p\, \Rightarrow \, \lambda {w}^{\prime}\left[{\left\llbracket \phi \right\rrbracket}^{g,{w}^{\prime }}\right]\, \subseteq$

    P], wobei ${\left\llbracket \phi \right\rrbracket}^{Exh-\delta \mathfrak{A}}={\left\llbracket \phi \right\rrbracket}^{\delta \mathfrak{A}\mid R}=\left\{{\mathrm{EXH}}_{\heartsuit -\delta \mathfrak{A}}(p):P\, \in \, {\left\llbracket \phi \right\rrbracket}^{\delta \mathfrak{A}}\right\}.$ Für die Definition von ${\mathrm{EXH}}_{\heartsuit -\mathfrak{A}}(p)$ siehe Definition unten. Bei der Definition der Präexhaustifikation erschöpfen wir $p\, \in \, {\left\llbracket \phi \right\rrbracket}^{\delta \mathfrak{A}}$ in Bezug auf die Mitglieder von $p\, \in \, {\left\llbracket \phi \right\rrbracket}^{\delta \mathfrak{A}},$ die in Bezug auf p unschuldig ausschließbar (♡) sind. Die δ-Alternativen und σ-Alternativen von rekursiv erschöpften ${\mathrm{EXH}}_{\delta \mathfrak{A}\mid R}\phi$ (${\mathrm{EXH}}_{Exh-\delta \mathfrak{A}}\phi$) sind genauso definiert wie die von ${\mathrm{EXH}}_{\delta \mathfrak{A}}\phi$ in (b) .

3.1.18 Definition 3.13

Unschuldiger Ausschluss (♡) Die Menge von $\heartsuit 0\mathfrak{A}$ in Bezug auf p ist wie folgt definiert:

• a. ${\displaystyle \begin{array}{l}\heartsuit 0{\mathfrak{A}}_p=\\ {}\cap \left\{X\subseteq \mathrm{ALT}:\mathrm{CONS}\left(p\wedge \neg \cap X\right)\wedge \forall q\in \mathfrak{A}\left(\mathrm{CONS}\left(p\wedge \neg \cap X\wedge \neg q\right)\right)\Rightarrow q\in X\right\}\end{array}}$

• b. ${\mathrm{EXH}}_{\heartsuit 0\mathfrak{A}}\left(\phi \right)=\phi \wedge \forall p\in \mathfrak{A}\left(p\in \heartsuit 0{\mathfrak{A}}_{\phi}\wedge ot{\in }p\right)\Rightarrow \neg p\Big)$

3.1.19 Theorem 3.2 (Rekursive Erschöpfung führt zu Anti-Exhaustivität)

Das Folgende stammt aus Fox (2007, S. 113). Es gelte Folgendes.

$$ {\displaystyle \begin{array}{c}C=\left\{p|p\in C\right\}\left(C\, \mathrm{is}\ \mathrm{a}\ \mathrm{set}\ \mathrm{of}\ \mathrm{propositions}\ \mathrm{with}\ p\in C\right)\\ {}I=\heartsuit \left(p,\, C\right)\\ {}\ne \emptyset\\ {}{I}^{\prime }=\left(C-I-p\right)\\ {}\ne \emptyset\\ {}\mathrm{ANTI}-\mathrm{EXH}=\cap \left\{\neg {\mathrm{EXH}}_C(q):q\in {I}^{\prime}\right\}\cap {\mathrm{EXH}}_C(p)\end{array}} $$

Wenn anti-exh ≠ ∅ (konsistent ist), dann ${\mathrm{EXH}}_C\left({\mathrm{EXH}}_C\ (p)\right)={\mathrm{EXH}}_C^2\ (p)=$ ANTI ‐ EXH (p).

3.1.20 Beweis (Th. 3.2)

Nach der Definition von exh:

$$ {\displaystyle \begin{array}{l}\quad {\mathrm{EXH}}_C(p)\vdash \forall q\in I\left[\neg q\right]\\ {}\quad \neg q\vdash {\mathrm{EXH}}_C(q)\\ {}\quad \mathrm{ANTI}-\mathrm{EXH}\vdash \forall q\in I\left[\neg {\mathrm{EXH}}_C(q)\right]\\ {}\quad \mathrm{ANTI}-\mathrm{EXH}=\cap \left\{\neg {\mathrm{EXH}}_C(q):q\in {I}^{\prime}\right\}\cap \left\{\neg {\mathrm{EXH}}_C(q):q\in I\right\}\cap {\mathrm{EXH}}_C(p)\\ {}\qquad =\cap \left\{\neg {\mathrm{EXH}}_C(q):q\in C-\left\{p\right\}\right\}\cap {\mathrm{EXH}}_C(p)\\ {}\mathrm{CONS}\left(\mathrm{ANTI}-\mathrm{EXH}\right)\vdash \heartsuit \left({\mathrm{EXH}}_C(p),\, {C}^{\prime}\right)={C}^{\prime}\mid {C}^{\prime}:= \left\{{\mathrm{EXH}}_C(q):q\in C\right\}\\ {}\quad {\mathrm{EXH}}_C^2(p)=\cap \left\{\neg {\mathrm{EXH}}_C(q):q\in {C}^{\prime }-\left\{{\mathrm{EXH}}_C(p)\right\}\right\}\cap \neg {\mathrm{EXH}}_C(p)\\ {}\qquad =\mathrm{ANTI}-\mathrm{EXH}\end{array}} $$