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Ansatzfunktionen

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Kompaktkurs Finite Elemente für Einsteiger

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Zusammenfassung

Dieses Kapitel befasst sich mit einem der Kernpunkte der Methode der Finiten Elemente, den Ansatzfunktionen. Ansatzfunktionen sind einfache, leicht zu berechnende Funktionen, mit denen die tatsächliche Lösung eines Feldproblems, die analytischen Methoden oft nicht zugänglich ist, angenähert wird. Diese Annäherung ist je nach Wahl der Ansatzfunktionen unterschiedlich gut, weswegen in diesem Kapitel die Herleitung und die grundlegenden Eigenschaften einiger Typen von Ansatzfunktionen besprochen werden. Sowohl eindimensionale, also auch mehrdimensionale Ansatzfunktionen für unterschiedliche Elementegeometrien (z. B. Dreiecke und Vierecke) werden hierbei eingeführt.

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Notes

  1. 1.

    Dies ist einfach zu erklären: Die Verwendung der ersten Variation sorgt dafür, dass der Wert des Funktionals – in der Regel des Energiepotentials – nach dem Einsetzen der Ansatzfunktion ein Minimum einnimmt. Dieses ist, da es fehlerbehaftet sein kann, in jedem Falle mindestens so groß wie das analytische Minimum des Funktionals. Somit wird bei der Approximation gerade der Wert aus allen möglichen Werten, die das Funktional mit den Ansätzen annehmen kann, erreicht, der einen minimalen Abstand zum Wert der analytischen Lösung besitzt. In der Folge wird der Fehler des Funktionals – der Energiefehler – gerade minimiert.

  2. 2.

    Die Mathematiker sprechen hierbei von einem kompakten Träger der Ansatzfunktion.

  3. 3.

    Zu beachten ist hierbei, dass die zu invertierende Matrix im Gleichungssystem eine Vandermonde-Matrix ist, die in der Numerik für ihre schlechte Konditionierung bekannt sind [4].

  4. 4.

    Da beide Ansätze eine Basis für die Polynome \(p\)-ter Ordnung sind, können beide Ansätze exakt dieselben Feldverläufe darstellen.

  5. 5.

    Als Basis sind sämtliche Polynome linear unabhängig und in der Lage, ein beliebiges Polynom \(p\)-ter Ordnung durch ihre Linearkombination darzustellen.

  6. 6.

    Wird beispielsweise am linken Rand des Elements die Feldfunktion bei einem Anfangswertproblem mit 1 vorgegeben, während alle anderen Freiwerte mit Null vorgegeben sind, so entspricht der vorgegebene Feldverlauf gerade dem Knotenpunktansatz \(N_{1}(\xi)\). Dieser enthält bei Bernstein-Polynomen im Gegensatz zu Lagrange-Polynomen keine Oszillationen und der Maximalwert liegt immer am Knoten.

  7. 7.

    Dies wird im Anwendungsbeispiel 10.4 demonstriert.

  8. 8.

    Die Oberfläche eines Dreiecks besteht im zweidimensionalen gerade aus seinen Kanten.

  9. 9.

    Für den räumlichen Tetraeder ist das Vorgehen analog.

  10. 10.

    Da \(j+k+l=p\) ist, besitzt dieses Polynom gerade den Grad \(p\).

  11. 11.

    Die Argumentation ist hierfür dieselbe wie bei der partition of unity der eindimensionalen Lagrange-Ansätze: Für das Dreieckselement bedeutet dies, dass entlang jeder Kante ein polynomialer Feldverlauf der Polynomordnung \(p\) vorliegt. Da entlang dieser Kante jedoch \(p+1\) Knoten liegen, muss der Verlauf für jeden Knotenpunktansatz, der an allen Knoten dieser Kante zu Null wird, konstant zu Null werden. Somit wird der Feldverlauf entlang der Kante nur durch Knotenpunktansätze beeinflusst, deren zugeordneter Knoten (mit Funktionswert 1) einer der Kantenknoten ist.

  12. 12.

    Mit besseren Ansatzfunktionen sind hier Ansatzfunktionen gemeint, die bessere Approximationseigenschaften besitzen. Dies sind zum Beispiel Ansatzfunktionen mit höherem Polynomgrad \(p\), oder, sofern bekannt, Ansatzfunktionen, die die analytische Lösung des Feldproblems abbilden.

  13. 13.

    Bei der isogeometrischen Analyse (IGA), der Verwendung von Splines und NURBS als Ansatzfunktionen, existiert zusätzlich die \(k\)-Verfeinerung (für Knoten), bei der bei konstanter Elementgröße und konstantem Polynomgrad ein zusätzlicher Knoten in das Element eingefügt wird [5].

  14. 14.

    Der Vergleich beider Verfeinerungsmethoden wird im Anwendungsbeispiel 10.1 anhand von Konvergenzbetrachtungen weiter vertieft.

  15. 15.

    Die Alternative ist das Einführen von Zwangsbedingungen entlang der Kante des Elements höherer Ordnung, um dessen Kantenverlauf der Feldfunktion auf den Verlauf des Elements niedrigerer Ordnung zu zwingen.

  16. 16.

    Diese Form kann zum Beispiel über das Lagrange’sche Interpolationspolynom nach (4.8) bestimmt werden.

  17. 17.

    Die Anzahl der Knoten je Element ergibt sich wie folgt: Die Eckknoten grenzen jeweils an 4 Elemente an, Knoten auf dem Elementrand an jeweils 2 Elemente. Die Knoten in der Mitte werden nur von einem Element verwendet. Also ist \(\frac{\text{Knoten}}{\text{Element}}=\frac{\text{Eckknoten}}{4}+\frac{\text{Kantenknoten}}{2}+\text{Mittelknoten}\). Es sollte jedoch angemerkt werden, dass auch beim Lagrange-Element der Mittelknoten bei statischen Problemen mithilfe der statischen Kondensation eliminiert werden kann. Diese wird in Abschn. B.2 vorgestellt.

  18. 18.

    Der Kantenverlauf bei einer Biegung ist aber mindestens quadratisch.

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  1. Wilhelm Büchner Hochschule Pfungstadt, Pfungstadt, Deutschland

    Manfred Hahn

  2. Universität Stuttgart, Stuttgart, Deutschland

    Michael Reck

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  1. Manfred Hahn
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Hahn, M., Reck, M. (2018). Ansatzfunktionen. In: Kompaktkurs Finite Elemente für Einsteiger. Springer Vieweg, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-658-22775-3_4

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