Selbstadjungierte Fortsetzungen symmetrischer Operatoren

Zusammenfassung

Es ist häufig leicht, mit Hilfe eines formalen Ausdrucks (z.B. eines Differentialausdrucks) einen symmetrischen (d.h. dicht definierten hermiteschen) Operator S anzugeben, S ⊂ S*. Ist der Abschluß S¯ nicht selbstadjungiert (d.h. S ist nicht wesentlich selbstadjungiert), so gilt $\bar S\mathop \subset \limits_ \ne S*$. Gesucht ist dann (vgl. z. B. Kapitel 7) eine selbstadjungierte Fortsetzung T von S, d.h. ein Operator T, für den gilt S ⊂ S¯ ⊂ T = T* ⊂ S*; eine solche selbstadjungierte Fortsetzung T von S ist also gleichzeitig eine Einschränkung von S*. Entsprechend gilt für jede symmetrische Fortsetzung A von S: S ⊂ A ⊂ A* ⊂ S*; d.h. ein abgeschlossener symmetrischer Operator A ist genau dann eine Fortsetzung von S, wenn A* eine Einschränkung von S* ist.