Binomische Formeln
In erstaunlich vielen Bereichen der Mathematik ist es nützlich, Ausdrücke der Form (a+b)n auszumultiplizieren, wobei n eine natürliche Zahl ist. Dies ist als Binomialentwicklung bekannt. Für kleine n ist es relativ einfach, das Binom auszumultiplizieren. Doch bei größeren Werten von n wird es schwieriger. Zum Glück gibt es einen Trick, dies zu vereinfachen.
Neben der Binomialentwicklung für Werte von n ≠ 2 gibt es noch drei binomische Formeln, wenn n = 2. Sie werden in der Regel als die drei binomischen Formeln bezeichnet:
1. Binomische Formel
2. Binomische Formel
3. Binomische Formel
Herleitung der Binomischen Formeln
Die binomischen Formeln können mit dem Distributivgesetz hergeleitet werden.
Binomische Formeln und das Pascalsche Dreieck
Betrachtet man die Entwicklung von (a+b)n, wobei a+b ein beliebiges Binom ist und n eine natürliche Zahl, so kann man folgende Muster erkennen:
- Es gibt immer einen Term mehr als n. Multipliziert man (a+b)n aus und vereinfacht das Ergebnis, so hat man n+1 Terme.
- Die Summe der Exponenten in jedem Term ist immer n.
- Der erste Term a hat immer den Exponenten n. Mit jedem weiteren Term vermindert sich der Wert des Exponenten a um 1. a kommt im letzten Term gar nicht mehr vor. b hingegen ist nicht im ersten Term enthalten. Der Exponent von b fängt bei 0 an und erreicht sein Maximum im letzten Term.
- Die Koeffizienten fangen bei 1 an und erreichen ihr Maximum in etwa nach der „Hälfte“. Danach nimmt ihr Wert wieder ab, und zwar in der umgekehrten Reihenfolge als vorher.
Die Exponenten scheinen einem sehr regelmäßigen Muster zu folgen, die Koeffizienten scheinen hingegen mehr oder weniger wahllos zu erscheinen. Dies ist allerdings nicht der Fall. Schauen wir uns dazu die Erweiterung des Binoms (a+b)6 an. Nach unseren Beobachtungen müsste es so aussehen:
a6 + c1a5b + c2a4b2 + c3a3b3 + c4a2b4 + c5ab5 + b6
c ist der jeweils gesuchte Koeffizient in der Erweiterung. Nun ordnen wir die Koeffizienten in Dreiecksform an. Diese Anordnung entspricht dem Pascalschen Dreieck.
Das Pascalsche Dreieck besitzt viele erkennbare Muster. Die Zahl 1 findet sich an den äußeren beiden Seiten des Dreiecks. Alle übrigen Zahlen sind die Summe der beiden oberen Zahlen (siehe Abbildung links).
Die Erweiterung von (a+b)6
Um die nächste Reihe im Pascalschen Dreieck zu finden, müssen also nur die beiden oberen Zahlen addiert werden. So erhalten wir auch die Koeffizienten für das Binom (a+b)6.
- Die erste Reihe ist immer 1;
- Der zweite Koeffizient ist 1+5 bzw. 6;
- Der dritte Koeffizient ist 5+10 bzw. 15;
- Der vierte Koeffizient ist 10+10 bzw. 20;
- Der fünfte Koeffizient ist 10+5 bzw. 15;
- Der sechste Koeffizient ist 5+1 bzw. 6;
- Der letzte Koeffizient ist immer 1;
Damit erhalten wir:
a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6
