Binomische Formeln

Als binomische Formeln werden üblicherweise die folgenden drei Umformungen bezeichnet:
Erste binomische Formel (Plus-Formel)
(a+b)2=a2+2⋅a⋅b+b2(a+b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2
Zweite binomische Formel (Minus-Formel)
(a−b)2=a2−2⋅a⋅b+b2(a-b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot b + b^2
Dritte binomische Formel (Plus-Minus-Formel)
(a+b)⋅(a−b)=a2−b2(a+b) \cdot (a-b) = a^2 - b^2

Beweis

Die Gültigkeit der Formeln ist durch Ausmultiplizieren einzusehen: 1) (a+b)2=(a+b)⋅(a+b)=a⋅a+a⋅b+b⋅a+b⋅b=a2+2⋅a⋅b+b2(a+b)^2=(a+b)\cdot(a+b)=a \cdot a+a \cdot b+b \cdot a+b \cdot b=a^2+2 \cdot a \cdot b+b^2 2) (a−b)2=(a−b)⋅(a−b)=a⋅a−a⋅b−b⋅a+b⋅b=a2−2⋅a⋅b+b2(a-b)^2=(a-b) \cdot (a-b)=a \cdot a-a \cdot b-b \cdot a+b \cdot b=a^2-2 \cdot a \cdot b+b^2 3) (a+b)⋅(a−b)=a⋅a−a⋅b+b⋅a−b⋅b=a2−b2(a+b) \cdot (a-b)=a \cdot a-a \cdot b+b \cdot a-b \cdot b=a^2-b^2 □\qed
 
 

Geometrische Veranschaulichung

Binom1.png
Veranschaulichung der ersten binomischen Formel mit einem Quadrat der Seitenlänge a+ba+b
Das nebenstehende mehrfarbige Quadrat hat die Seitenlänge (a+b)(a+b). Wie sofort ersichtlich ist, passen die zwei Quadrate a2a^2 und b2b^2 hinein, und es bleiben zwei Rechtecke mit jeweils dem Flächeninhalt a⋅ba \cdot b übrig. Dadurch ergibt sich (a+b)2=a2+2⋅a⋅b+b2(a+b)^2=a^2+2\cdot a\cdot b+b^2.
Eine Veranschaulichung der dritten binomischen Formel erhält man durch folgende [!Zerlegung] eines Quadrats der Seitenlänge a2a^2 in zwei kongruente Trapeze:
Binom3.png
Veranschaulichung der dritten binomischen Formel

Anwendungen

Tricks zum Kopfrechnen

Diese Formeln, häufig in der Mathematik benutzt, bieten auch eine Hilfe beim Kopfrechnen. Das Quadrat einer beliebigen Zahl zwischen 10 und 100 lässt sich oft einfach mit der binomischen Formel bestimmen, indem man die Berechnung auf Quadrate von einfacheren Zahlen (Vielfache von 10 oder einstellige Zahlen) zurückführt. Beispielsweise ist
372=(30+7)2=302+2⋅30⋅7+72=900+420+49=1369 37^2 = (30+7)^2 = 30^2 + 2 \cdot 30 \cdot 7 + 7^2 = 900 + 420 + 49 = 1369
oder
372=(40−3)2=402−2⋅40⋅3+32=1600−240+9=1369 37^2 = (40-3)^2 = 40^2 - 2 \cdot 40 \cdot 3 + 3^2 = 1600 - 240 + 9 = 1369.
Bei Kenntnis der Quadratzahlen bis 20 lassen sich auch viele Multiplikationen auf die dritte binomische Formel zurückführen. Beispielsweise ist
17⋅13=(15+2)⋅(15−2)=152−22=225−4=221 17 \cdot 13 = (15+2) \cdot (15-2) = 15^2 - 2^2 =225 - 4 = 221 .
Mit Hilfe der binomischen Formeln lassen sich Multiplikation und Division auf die einfacheren Rechenarten Quadrieren, Addieren, Subtrahieren, Halbieren und Verdoppeln zurückführen:
Die erste und zweite binomische Formel liefern für das Produkt zweier Zahlen aa und bb:
a⋅b=((a+b)2−a2−b2)/2=(b2+a2−(a−b)2)/2a \cdot b = \left((a+b)^2 - a^2 - b^2\right) / 2 = \left(b^2 + a^2 -(a-b)^2\right) / 2
Wer an Stelle des Einmaleins die ersten hundert Quadratzahlen kennt, kann so das allgemeine Produkt zweier Zahlen leicht berechnen.

Addition und Subtraktion von Wurzeln

Die erste und zweite binomische Formel liefern auch ein Rechenverfahren zur Addition bzw. Subtraktion von Wurzeln. Da a+b\sqrt{a} + \sqrt{b} bzw. a−b\sqrt{a} - \sqrt{b} nicht direkt berechenbar sind, quadriert man die Summe bzw. Differenz und zieht anschließend aus dem Quadrat die Wurzel. Das Verfahren führt aber zu Schachtelwurzeln, die nicht unbedingt einfacher sind als die ursprünglichen Ausdrücke.
a+b=(a+b)2=a+b+2ab\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt {\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)^2} = \sqrt{{a}+{b}+ 2 \sqrt{ab}}
10+11=10+11+2110=21+2110\sqrt{10} + \sqrt{11} = \sqrt{{10}+{11}+ 2 \sqrt{110}} = \sqrt{{21} + 2 \sqrt{110}}
Da Wurzeln als nichtnegativ definiert und Quadrate von sich aus nie negativ sind, ist bei Differenzen von Wurzeln eine Fallunterscheidung nötig:
a−b=+a+b−2ab\sqrt{a} - \sqrt{b} = + \sqrt{{a}+{b}- 2 \sqrt{ab}} für a>b a > b
a−b=−a+b−2ab\sqrt{a} - \sqrt{b} = - \sqrt{{a}+{b}- 2 \sqrt{ab}} für a<b a < b

Erweiterungen auf mehrgliedrige Ausdrücke

Eine Verallgemeinerung der binomischen Formeln auf Potenzen von Polynomen, also von Summen mit mehr als zwei Gliedern, führt auf das Multinomialtheorem. Beispielsweise gilt für das Quadrat eines Trinoms
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc.
Die Koeffizienten sind in der Pascalschen Pyramide enthalten. So ist
(a+b+c)3=a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2c+3ab2+3ac2+3bc2+6abc(a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3 a^2b + 3 a^2c + 3 b^2c + 3 ab^2 + 3 ac^2 + 3 bc^2 + 6 abc

Beispielanwendung

(5+3x)3=1⋅53⋅(3x)0+3⋅52⋅(3x)1+3⋅51⋅(3x)2+1⋅50⋅(3x)3(5+3x)^3 = 1 \cdot 5^3 \cdot (3x)^0 + 3 \cdot 5^2 \cdot (3x)^1 + 3 \cdot 5^1 \cdot (3x)^2 + 1 \cdot 5^0 \cdot (3x)^3
=125+75⋅3x+15⋅9x2+1⋅27x3=125+225x+135x2+27x3= 125 + 75 \cdot 3x + 15 \cdot 9x^2 + 1 \cdot 27x^3 = 125 + 225x + 135x^2 + 27x^3

So seltsam es auch klingen mag, die Stärke der Mathematik beruht auf dem Vermeiden jeder unnötigen Annahme und auf ihrer großartigen Einsparung an Denkarbeit.

Ernst Mach

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