Je bent je ingevulde velden bij deze pagina aan het verwijderen. Ben je zeker dat je dit wilt doen?
You are erasing your filled-in fields on this page. Are you sure that is what you want?
Nieuwe Versie BeschikbaarNew Version Available
Er is een update van deze pagina. Als je update naar de meest recente versie, verlies je mogelijk je huidige antwoorden voor deze pagina. Hoe wil je verdergaan ?
There is an updated version of this page. If you update to the most recent version, then your current progress on this page will be erased. Regardless, your record of completion will remain. How would you like to proceed?
Alle veelvouden van een vector vormen een rechte door de oorsprong:
Alle punten van de rechte door en door het punt zijn van de vorm , of dus , met
een willekeurig reëel getal. Merk op dat deze rechte samenvalt met de rechte door of meer algemeen door , met
.
Door een dergelijke rechte te verschuiven bekomen we evenwijdige rechten:
Merk op dat verschuiven over of verschuiven over hier dezelfde rechte oplevert.
Als de parameter loopt doorheen de reële getallen bekom je alle punten van
een rechte die door een punt gaat en evenwijdig is met een vector . Op
onderstaande tekening is de groene rechte de verschuiving van de blauwe rechte
over een afstand maar ook de som van alle herschalingen van en het punt
:
Parametervergelijkingen van een rechteEen parametervergelijking van een rechte
met richtingsvector , positievector en parameter is een uitdrukking van de
vorm
die we ook kunnen schrijven als
of als
of als
of als
Deze rechte bevat de positievector en is evenwijdig met de richtingsvector
.
Deze rechte is de verschuiving van de rechte bepaald door de richtingsvector over de
positievector .
Deze rechte is de positievector waarbij willekeurige veelvouden van de richtingsvector
zijn opgeteld.
De richtingscoëfficiënt is de -coördinaat van de richtingsvector met -coördinaat ,
en geeft dus aan hoeveel de rechte stijgt of daalt als je één eenheid naar rechts
gaat:
De rechte door de oorsprong en het punt heeft als parametervergelijking
.
De rechte door evenwijdig met de -as heeft als parametervergelijking , wat ook
geschreven kan worden als .
De rechte door evenwijdig met heeft als parametervergelijking .
Parametervergelijkingen zijn niet uniek bepaald, een rechte heeft erg veel
verschillende parametervergelijkingen:
Inderdaad, de richtingsvector vermenigvuldigen met een getal verschillend
van nul, of bij de positievector een willekeurig veelvoud optellen van de
richtingsvector verandert de rechte niet.
Om na te gaan of twee parametervergelijkingen al dan niet dezelfde
rechte bepalen, gebruik je de eigenschap dat twee rechten gelijk zijn
ofwel zodra ze twee punten gemeenschappelijk hebben, ofwel zodra ze één
gemeenschappelijk punt en dezelfde richting hebben. Twee rechten zijn
evenwijdig als ze geen gemeenschappelijke punten hebben.
Als en twee punten zijn van een rechte, dan zijn en beide
richtingsvectoren.
Een parametervergelijking genereert punten van een rechte: elke waarde
van de parameter levert onmiddellijk een punt op van de rechte, en elk punt
van de rechte wordt ook bereikt voor een bepaalde parameterwaarde. Maar,
als je van een willekeurig punt van het vlak wil weten of het tot de rechte
behoort dan moet je nagaan of er een parameter bestaat waarvoor dat punt
bereikt wordt, en dat vraagt meestal rekenwerk, namelijk het oplossen
van een stelsel. Merk op dat dit voor de cartesische vergelijkingen precies
omgekeerd is: nagaan of een punt tot de rechte behoort is dan eenvoudig,
want je moet gewoon de coördinaten invullen. Maar, alle punten van de
rechte vinden komt dan neer op het oplossen van een stelsel!
Parametervergelijkingen van rechten in de ruimte zijn volledig
gelijkaardig: er is enkel een extra coördinaat.
Geef een parametervergelijking van volgende rechten:
door en evenwijdig met de
vector
Dit is een directe toepassing van ’punt en richtvector gegeven’.
door en evenwijdig met de vector
Dit is een directe toepassing van ’punt en richtvector gegeven’. De vergelijking
is wat eenvoudiger als je als richtvector kiest, maar is ook een correcte
parametervergelijking.
door en
Het verschil van de twee punten is een richtvector. Maar ook is een richtvector, en
dus is ook een parametervergelijking.
Geef telkens drie punten en een richtingsvector van volgende rechten:
