MA3 – Ableitung: Produktregel

Die Produktregel wird gebraucht, wenn eine Funktion, die aus einem Produkt mit zwei Faktoren besteht, abgeleitet werden soll. Dazu werden die zwei gegebenen Faktoren der Funktion zu eigenen Teilfunktionen u(x) und v(x). Für diese Teilfunktionen kannst du dann die Ableitungen u'(x) und v'(x) vornehmen. Mit der Produktregel erhältst du dann aus diesen Angaben die Ableitung f'(x) der gesamten Funktion .

In dieser Lerneinheit schauen wir uns an, was die Produktregel ist, wann du diese anwenden musst und wie die Produktregel funktioniert.

Dieser Lerntext ist ein Auszug aus unserem Onlinekurs MA3 – Kurvendiskussion.

Für ein optimales Verständnis helfen dir anschauliche Rechenbeispiele zu dem Thema.

Produktregel: Formel

Zunächst betrachtest du die Ausgangsfunktion f(x) mit ihren beiden Faktoren u(x) und v(x):

$f(x) = u(x) \cdot v(x)$ Ausgangsfunktion

BEISPIEL

$f(x) = 5x \cdot (1-x^2)$

Wir haben hier eine Funktion gegeben, die aus zwei Faktoren besteht. Zum einen die lineare Funktion u(x) = 5x und zum die quadratische Funktion v(x) = (1-x²) innerhalb der Klammer. Beide Funktionen sind durch ein Multiplikationszeichen voneinander getrennt. Damit liegt die Funktion als Produkt vor und wir können hier die Produktregel anwenden.

Wir können hier die Produktregel anwenden, um die gesamte Funktion abzuleiten. Die Produktregel lautet wie folgt:

$f'(x) = u(x) \cdot v'(x) + v(x) \cdot u'(x)$ Produktregel

BEISPIEL

Wir betrachten weiterhin das obige Beispiel. u(x) und v(x) haben wir bereits innerhalb der Ausgangsfunktion gegeben. Als nächstes bilden wir die Ableitungen der beiden Funktionen:

$u(x) = 5x \; \rightarrow \; u'(x) = 5$

$v(x) = 1-x^2 \; \rightarrow \; v'(x) = -2x$

Wir können nun die Produktregel anwenden:

$f'(x) = u(x) \cdot v'(x) + v(x) \cdot u'(x)$

Einsetzen der Teilfunktionen und Ableitungen:

$f'(x) = 5x \cdot (-2x) + (1-x^2) \cdot 5$

Zusammenfassen:

$f'(x) = -10x^2 + (5-5x^2)$

$f'(x) = -10x^2 + 5 - 5x^2$

$f'(x) = -15x^2 + 5$

Merk’s dir!

In diesem einfachen Beispiel können wir natürlich einfach die Klammer der Ausgangsfunktion ausmultiplizieren und dann die Ableitung bilden (ohne Produktregel):

$f(x) = 5x \cdot (1-x^2) = 5x - 5x^3$

$f'(x) = 5-15x^2$

Das Ergebnis ist in diesem Beispiel schneller, als bei Anwendung der Produktregel. Später betrachten wir aber e-Funktionen und ln-Funktionen und hier ist es unumgänglich die Produktregel zu verwenden:

$f(x) = e^{5x} \cdot (1-x^2)$

Wie für diese Funktion unter Anwendung der Produktregel die Ableitung gebildet wird, erfährst du in einer späteren Lektion dieses Kurses.

Anwendungsbeispiel: Produktregel

Aufgabenstellung

Gegeben sei die folgende Funktion:

$f(x) = 2x^5 \cdot (3x^7 - 5x)$

Bestimme die Ableitung unter Anwendung der Produktregel!

Lösung

Wir haben eine Funktion gegeben, die als Produkt vorliegt und aus zwei Faktoren besteht (das Multiplikationszeichen trennt die beiden Faktoren voneinander):

$u(x) = 2x^5$

$v(x) = 3x^7 - 5x$

Wir bilden nun die Ableitungen der beiden Teilfunktionen:

$u'(x) = 10x^4$

$v'(x) = 21x^6 - 5$

Als nächstes wenden wir die Produktregel an:

$f'(x) = u(x) \cdot v'(x) + v(x) \cdot u'(x)$

Einsetzen der Teilfunktionen und Ableitungen:

$f'(x) = 2x^5 \cdot (21x^6 - 5) + (3x^7 - 5x) \cdot 10x^4$

Zusammenfassen:

$f'(x) = (42x^{11} - 10x^5) + (30x^{11} - 50x^5)$

$f'(x) = 42x^{11} - 10x^5 + 30x^{11} - 50x^5$

$f'(x) = 72x^{11} - 60x^5$

Auch hier ist es natürlich möglich die Ableitung ohne Produktregel vorzunehmen, indem wir einfach die Klammer der Ausgangsfunktion auflösen:

$f(x) = 2x^5 \cdot (3x^7 - 5x) = 6x^{12} - 10x^6$

$f'(x) = 72x^{11} - 60x^5$

Wir wollen aber für spätere Ableitungen lernen und vor allem festigen, wie die Ableitung mittels Produktregel funktioniert.

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