Computrrsimulntion der thorakwlcn Potentialverteilung Blomedlzlnlsche Technik Band 32 Heft 3/1987 Riomod.Trchnik 32(19H7), 34­40 H. Brauer* H. Kilias* Th. Funke* P. Wach** R, Pizzera** Ch. Eichtinger** Numerische Computersimulation der thorakalen Potentialverteilung des Menschen Numerical Computer Simulation of Body Surface Maps of Man * Bereich Theoretische Elektrotechnik TH Ilmenau ** Institut für Elektro- und biomedizinische Technik, Technische Universität Graz Schlüsselwörter: Computersimulation, Vorwärtsproblem, Integralgleichung, Homogenes Herz­ Thorax­Modell, Herzgeneratormodell, Oberflächenmapping Es wird ein Computermodell für die Lösung des Vorwärtsproblems der Elektrokardiographie beschrieben, mit dem durch Lösung einer Integralgleichung thorakale Potentialverteilungen be­ rechnet werden. Das Modell gestattet eine quantitative Beschreibung und Analyse der Einfluß­ parameter wie Thoraxgeometrie, Körperinhomogenitäten und Generatormodelle. Die Verwen­ dung eines anatomiegerechten Herzgeneratormodells auf der Basis epikardialer Potentialver­ teilungen ermöglicht eine Computersimulation sowohl normaler als auch pathologischer Erregungsmuster. Ein Vergleich der für ein homogenes Herz­Thorax­Modell numerisch ermittelten Potential­ karten mit den an einem analogen Herz­Thorax­Modell gemessenen Potentialverteilungen zeigt eine gute Übereinstimmung und ist die Grundlage für weitere detaillierte Untersuchungen. Key-words: Computer Simulation, forward problem, integral equation, homogeneous heart­ chest model, heart generator model, body surface mapping A Computer model for resolving the forward problem for electrocardiography is described. Body surface potential distributions were computed by numerically solving an integral equation. This model permits a quantitative description and an analysis of the relevant parameters such äs ehest geometry, body inhomogeneities and heart generator models. The use of an anatomically realistic heart generator model based on epicardial potential maps permits Computer Simulation of both normal and pathological excitation patterns. The body surface maps determined numerically for a homogeneous heart­chest model, and the potential distributions measured in an analog heart­ chest model are in good agreement. This is the basis for further detailed investigations. l Einleitung Eine wesentliche Zielsetzung der Elektrokardiogra­ phie besteht darin, aus Messungen der Potentialvertei­ lung auf der Körperoberfläche eine möglichst vollstän­ dige Beschreibung der bioelektrischen Erscheinungen im Herz zu gewinnen. Dieses sogenannte inverse Problem ist ohne Verwen­ dung zusätzlicher Informationen über das Modell nicht eindeutig lösbar. Zahlreiche Arbeiten konzentrieren sich daher auf die Lösung des Vorwärtsproblems, d.h. auf die Ermittlung der Potentialverteilung auf der Thoraxoberfläche bei bekannter Quellenstruktur, um mit Hilfe dieser Resultate das inverse Problem lösen zu können. Eine simultane Ableitung von vielen Stellen der Torsooberfläche zu bestimmten Zeiten eines Herz­ zyklus dient sowohl in der theoretischen als auch in der klinischen Kardiographie zur Ermittlung von Poten­ tialkarten (Maps, Elektrokartokardiogramme, EKKG). Diese im Vergleich zu den zwölf EKG­Standardablei­ tungen hochgenaue Erfassung des Herzfeldes ermög­ licht unter Voraussetzung bestimmter Modellannah­ men eine direkte Zuordnung der gewonnenen Poten­ tialverteilung zu den lokalen subepikardialen, intra­ muralen und endokardialen Erregungsabläufen im Herzen. Einen Schwerpunkt bei diesen Untersuchungen bildet die Simulation der vom Herzen verursachten Potential­ verteilungen an der Torsooberfläche durch analoge und numerische Modelle [l, 2,10]. Bei Verwendung äquiva­ lenter Herzgeneratormodelle ist ein Rückschluß auf den Erregungszustand im Myokard möglich. In der vorliegenden Arbeit wird die Simulation der Potentialverteilung im Thorax sowohl an einem analo­ gen Modell als auch an einem äquivalenten numeri­ schen Modell durchgeführt, so daß vergleichende Be­ trachtungen möglich sind. 2 Mathematisch-physikalisches Modell Durch die kardiale Erregung entsteht ein zeitlich ver­ änderliches Feld in einem anisotropen und inhomoge­ Brought to you by | provisional account Unauthenticated Download Date | 7/1/15 11:31 PM Biomedizinische Technik Band 32 Heft 3/1987 | [ ! ; i ! ; ' i Computersimulation der thorakalen Potentialverteüung nen Volumenleiter, auf dessen Randfläche die Poten­ tialverteilung gemessen werden kann. Es wird ange­ nommen, daß das Potentialfeld der Poissongleichung und quasistatischen Bedingungen genügt, was durch Untersuchungen belegt ist [12,13,14]. Die unterschied­ liehen elektrischen Leitfähigkeiten der verschiedenen Organe werden durch die Annahme von bereichsweise homogenen Feldgebieten berücksichtigt. Untersu­ chungen über den Einfluß von Anisotropien des leit­ fähigen Gewebes von McFee und Rush [9] zeigen, daß dieser prinzipiell vorhanden ist. Die gegenwärtig ver­ fügbaren Daten reichen jedoch nicht zur Beschreibung der Antisotropie des Körpergewebes aus. Für das Feldmodell werden somit folgende Voraus­ setzungen getroffen: 1. Elektrische Feldstärke und Stromdichte hängen linear zusammen 2. Die Leitfähigkeiten im Feldgebiet sind isotrop und ändern sich nur an Grenzflächen 3. Das elektrische Feld im Körper wird nur durch die kardiale Erregung hervorgerufen 4. Es wird quasistatisches Verhalten des Feldes vor­ ausgesetzt % ' 5. Außerhalb des Körpers verschwindet die elektri­ * sehe Leitfähigkeit ·'! Zur numerischen Berechnung des elektrischen Herz­ · f eldes haben sich die Integralgleichungsmethode (IGM) und die Methode der finiten Elemente (FEM) durch­ gesetzt. Die FEM erlaubt auch die Berücksichtigung von nichtlinearen und anisotropen Feldgebieten, hat aber den Nachteil, daß das ^gesamte Feldgebiet diskre­ tisiert werden muß. Dies führt zwar zu schwach besetz­ ten Matrizen aber zu einer hohen Dimension des zu lösenden Gleichungssystemes. Uchikava [16] und Yamashita [17] haben mit großen Rechnerkapazitäten gute Erfolge erzielt. 35 Für den quasistatischen Fall kann das elektrische Feld durch den negativen Gradienten des elektrischen Po­ tentials dargestellt werden. Der Strom durch die Grenzfläche Aj zwischen zwei Ge­ bieten unterschiedlicher Leitfähigkeit ist kontinuier­ lich, d.h. es gilt Hierbei ist mit den eingestrichenen Größen das Gebiet innerhalb und mit den zweigestrichenen Größen das Gebiet außerhalb von Aj und mit dAj das vektorielle Flächenelement bezeichnet. Weiters ist das Potential an der Grenzfläche Aj stetig und es gilt 1 = Durch Anwendung des zweiten Greenschen Satzes auf die verschiedenen Regionen des Volumenleiters J G­xE (4) J V A und die spezielle Wahl von V» = l/r (5) und (6) wobei r den Abstand des bei der Integration veränder­ lichen Punktes Q vom Auf punkt P bedeutet, erhält man mit bereichsweise konstanter Leitfähigkeit und räum­ lich begrenzten Quellen sowie den Gleichungen (2) und (3) die Integraldarstellung für das Potential N In der vorliegenden Arbeit wurde die IGM angewandt. J Diese Methode weist zwei wesentliche Vorteile auf: K=l AK 1. Die Behandlung offener Feldgebiete ist einfach 2. Der Definitionsbereich der gesuchten Funktionen wird um eine Dimension erniedrigt, was die Zahl der Unbekannten wesentlich vermindert Nachteile der IGM sind: 1. Mit vertretbarem Aufwand können nur lineare Fel­ der berechnet werden 2. Eine gesonderte Behandlung der Singularitäten ist erforderlich 3. Die Koeffizientenmatrix ist voll besetzt und i.a. nicht symmetrisch Betrachtet man den Thorax als einen Volumenleiter, der in N elektrisch homogene und isotrope Gebiete unterteilt ist^o gilt in quellenfreien Gebieten mit der Stromdichte G, der elektrischen Feldstärke E und der elektrischen Leitfähigkeit (3) " (7) VCC dV Dabei stellt Ge eine eingeprägte, räumliche Stromquel­ lenverteilung dar. Legt man das Potential auf eine Grenzschicht, so erhält man z.B. bei Wahl eines äqui­ valenten Dipolgenerators die Integralgleichung: N r x'(Q)­* "(Q) l _i_ (P) + "{P) J 2,7 AK (8) I 2tr(x'(P) + x"( wobei die Vektoren r7 und r! die Lage der puiiktförmi- gen Stromquellen beeehreiben. to you by | provisional account (D Brought Unauthenticated Download Date | 7/1/15 11:31 PM Cwnputrrsimultttlon der thornknlen Potentlalvertrilung 3 Biomedlzlnieche Technik Band 32 Heft 3/1987 Bei der Verwendung eines epiknrdinlen Potential­ modells wird keine Quellenverteilung angenommen, das Volumenintegral in (7) versehwindet |4|. Die Poten­ tialverteilung </"H auf der Merzober flache wird als be­ kannt vorausgesetzt, Die Integralgleichung folgt wie­ der aus (7), indem der Feldpunkt auf die Grenzfläche gelegt wird. N­l p yf x'(Q)­x"(Q) l J_ V (P) ^ ^ x'(P) + x"(P) J 2 K=l AK ;i)dAK (9) + = x"(Q) JLi x'(P) + x"(P) J 2 AH ?) —^ H (QjVfl)dA„ v x'(P) + x"(P) */ 2n­ r' Zu beachten ist, daß die Gleichungen (2) und (3) für die Herzoberfläche nicht berücksichtigt werden, da diese jetzt nicht als Grenzfläche, sondern als Rand des Feldgebietes mit vorgegebenen Dirichletschen Rand­ bedingungen betrachtet wird. 3 Das numerische Modell Ausgangspunkt der numerischen Simulation des elek­ trischen Herzfeldes ist (7) und die daraus folgende Fredholmsche Integralgleichung 2. Art [3]. Eine Lö­ sung dieser Integralgleichung setzt die Entwicklung eines variablen Computermodells voraus (siehe Bild 1). •«thematisch­ physikalische· Feldaodell biologisch·« Objekt I VolumenleiterJ •odell l Bild 2. Diskretisierung des Herz­Thorax­Modells über Spline­ funktionen. . iHerxgenerator-l l »odel! ) diskret·· Analogen l, 1 ^^y Integration j algebraisches Glelchuagssyste· t Obe r fluchen Ce Id­ verteilung (Mapplng) l / ,, lUgiMtband* ^ Speicher Dazu müssen die Integralgleichungen (8) bzw. (9) diskretisiert werden. Durch eine Approximation der Grenzflächen (Thorax, Lungen, Herz usw.) über biku­ bische bzw. zweidimensionale parametrische Spline­ funktionen wird eine geometrische Diskretisierung in unregelmäßig gekrümmte, viereckige Flächenelemente durchgeführt und eine weitgehend anatomiegerechte Beschreibung des Herz­Thorax­Modells gesichert (siehe Bild 2). Die Lösungsfunktion wird auf jedem Element als konstant angenommen. Unter diesen Voraussetzungen geht (8) und (9) in das diskrete Modell (10) bzw. (11) über. N Musteranalys« _ Büd 1. Computersimulation des elektrischen Herzfeldes des Menschen. Brought to you by | provisional account Unauthenticated Download Date | 7/1/15 11:31 PM J l?­?i ( f j "rJ )ni 3 (10) Biomedizinische Technik Heft 3/1987 Band 32 Computersimulation der thorakalen Potential Verteilung f ( 2 fegH\ " ) ­ l Dabei bezeichnet N die Anzahl der Grenzflächen, nk bzw. nH die Anzahl der Elemente der k­ten bzw. H­ten Grenzflächen und <pqi bzw. Vqi den Beitrag der Quelle im Punkt i. Die in (10) und (11) auftretenden Integrale erstrecken sich über die Flächenelemente ; und sind nur nume­ risch lösbar. Weist die Kernfunktion der Integralglei­ chung einen genügend glatten Verlauf auf, kann die Rechteckregel zur Integration verwendet werden. Das trifft meist zu, wenn der Abstand des Aufpunktes vom Quellpunkt mindestens drei­ bis viermal so groß ist wie die mittlere Elementeabmessung. Anderenfalls muß ein genaueres Integrationsverfahren eingesetzt werden. Im hier beschriebenen Computer­ modell wird die Kernfunktion durch eine Splinefunk­ tion approximiert. Die Integration kann dann analy­ tisch durchgeführt werden, erweist sich als hinrei­ chend genau und erfordert bedeutend geringeren Speicherplatz als die Gaußquadratur. Es muß jedoch ein größerer Rechenaufwand in Rechnung gestellt wer­ den. Aus (10) bzw. (11) ist ersichtlich, daß der Integrand Singular wird, wenn Quell­ und Aufpunkt zusammen­ fallen. Da sich ein Grenzwert auf analytischem Wege für beliebig gekrümmte Flächenelemente nicht an­ geben läßt, werden die Integrale über diese »singu­ lären« Elemente durch numerische Näherungsaus­ drücke bestimmt. Für die Integration über V (l/r) wird die Näherung mittels einer Raumwinkelbetrachtung und für das Integral über l /r mit einem Analogieschluß zur obigen Betrachtung gewonnen [3,5]. Damit können die Integralgleichungen (10) oder (11) in die linearen Gleichungssysteme 37 Wird das epikardiale Potentialmodell benutzt, ap­ proximiert die rechte Seite in (13) das Integral über die Herzoberfläche AH mit der vorgegebenen Potentialver­ entsprechend (9). Mit diesem Generator­ teilung modell können auch in einfacher Weise pathologische Erregungsmuster simuliert werden. Für die linearen Gleichungssysteme mit den stets voll besetzten Koeffizientenmatrizen A, B oder C hat sich das Gauß­Seidel­Verfahren und^das Verfahren der konjugierten Gradienten als geeignete Lösungsmetho­ de erwiesen. Durch die Anwendung von Regularisie­ rungsverfahren [8,15] wird eine Verbesserung der Kon­ dition der Gleichungssysteme und damit eine wesent­ liche Konvergenzbeschleunigung erreicht. 4 Ergebnisse und Diskussion Es wurde das elektrische Herzfeld an einem homogenen analogen Herz­Thorax­Modell sowie auf einem Com­ puter simuliert. Der Thorax wurde durch einen Zylin­ der approximiert, dessen Grundfläche einem Brust­ querschnitt nahe kommt. Für die numerische Simulation wurde der Zylinder durch abgerundete Klappen an den Oberflächen ab­ geschlossen, wie sie sich aus der Splineapproximation an den Oberflächen ergeben. Als Generatormodell dien­ te eine dipolare Stromquelle, die in der realen Herz­ position angeordnet ist. Die Koordinaten für die punkt­ förmigen Stromquellen sind für den x­Dipol (6,­3,­3) und (2,­3,­3), für den y­Dipol (4,­l,­3) und (4,­5,­3), für den z­Dipol (4,­3,­l) und (4,­3,­5), wobei das erste Koordinatentrippel den positiven Pol markiert (siehe Bild 3). Diese Modellanordnung ermöglicht einen Vergleich zwischen experimentellen und numerischen Mapping­ Aufnahmen. Während im analogen Modell die Poten­ tialverteilung aus 192 Meßpunkten auf dem Zylinder­ mantel ermittel wurden, liegt dem numerischen Modell eine Diskretisierung der Thoraxoberfläche in 288 Flä­ chenelementen zugrunde. (12) bzw. (13) übergeführt werden. In den Matrizen C und B sind die numerisch ermittelten Koeffizienten der jeweils linken Seite von (10) bzw. (11) und in A die der rechten Seite von (11) enthalten. In (12) ergibTeich der Quellenanteü <Pq bei Verwendung einer dipolaren Quelle entspre­ 7hend (8) bzw. bei Multidipolmodellen als Summe über Bild to 3. Toriomod*!! mit dipolanv Quelle in Brought you by | provisional account derartige Terme, Unauthenticated Download Date | 7/1/15 11:31 PM ComputFrsImuUtlon der thornkelen Potentlalverteilung ΒβηΤ3ΐϊΖΐηΙ§0Η^Γ3/!ΐ987 X - DIPOL ISOLINIENDARSTELLUNG X- DIPOL DREIDIMENSIONALE DARSTELLUNG Y- DIPOL ISOLINIENDARSTELLUNG Z - D I P O L ISOLINIENDARSTELLUNG a Bild 4. Thorakale Potentialverteilung am homogenen Herz­Thorax­Modell mit dipolarer Quelle in Herzposition, a) Computersimulation b) |Analoge Simulation Brought to you by provisional account Unauthenticated Download Date | 7/1/15 11:31 PM Biomedizinische Technik Band 32 Heft 3/1987 Computersimulation der thorakalen Potential Verteilung 39 Bild 5. Thorkaie Potentialverteilung am homogenen Herz­Thorax­Modell mit anatomiegerechtem Herzgenerator zum Zeitpunkt der R­Zacke, a) Computersimulation b) Analoge Simulation In Bild 4 sind die Ergebnisse der numerischen Simula­ tion den experimentell gewonnenen Werten gegenüber gestellt. Die Darstellung der Feldbilder erfolgt auf der Abwicklung der Zylindermantelfläche, die links unter dem rechten Arm beginnt. Die Maxima und Minima in den Feldbildern sind jeweils auf die Werte +1 bzw. ­l normiert und die Äquipotentiallinien in äquidistanten Schritten ermittelt. Die Ergebnisse zeigen, daß das numerische Modell die gemessene Feldverteilung gut nachzubilden in der Lage ist. Die vorhandenen Unterschiede sind auf geringfügige Abweichungen der verwendeten Dipol­ quellen und der Approximation der Thoraxoberfläche zurückzuführen. Es wurden auch Feldverteilungen er­ mittelt, die sich aus der Lösung der Integralgleichung [9] ergeben. Als Generatormodell wurde eine epikar­ diale Potentialverteilung eingeprägt, die dem Er­ regungsverlauf zum Zeitpunkt der R­Zacke entspricht [7]. Bei dieser Simulation wurde die Herzoberfläche in 324 und die Thoraxoberfläche in 130 Flächenelemente diskretisiert (siehe Bild 2). Bild 5 zeigt die gemessene und numerisch simulierte thorakale Potentialvertei­ lung. 5 Schlußfolgerungen und Ausblick Sowohl das analoge als auch das numerische Modell erlauben, zu jedem Zeitpunkt einer Herzaktion eine eindeutige Zuordnung der momentanen Potentialver­ teilung am Torso zu den epikardialen Potentialvertei­ lungen am Modellherz. Das analoge Herz­Thorax­Modell [10,11] mit der dazu­ gehörigen Meßanordnung ermöglicht das Aufzeichnen von Potentialkarten, die durch äquivalente Herzgene­ ratormodelle verursacht werden. Damit können nume­ rische Modelle auf ihre Brauchbarkeit überprüft wer­ den. Damit sind die Voraussetzungen für die Ermittlung von Bewertungskriterien für Potentialkarten und die quan­ titative Grundlage für ein computergestütztes Dia­ gnosesystem geschaffen. Literatur: [1] Barr, R. C., Ramsey, M. S., Spach, N. S. (1977): Relating epicardial to body surface potential distribution by means of transfer coefficients based on geometry measurements. IEEE Trans. BME, BME­24,1­11. [2] Brauer, H. (1981): Numerische Berechnung dreidimen­ sionaler Felder mit der Methode der Integralgleichungen. 26. Intern. Wiss. Koll., TH Ilmenau, 71­74 [3] Brauer, H. (1982): Zur numerischen Berechnung drei­ dimensionaler Felder mit Integralgleichungen und ihre Anwendung in der Elektrokardiografie. Diss. 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Application ttnite­Elenwnt Method ft»r Analyst* of Die Computersimulation erweist sich als besonders ef­ fektives Mittel zum Studium der Auswirkungen einzel­ ner Modellparameter (geometrische Abmessungen, Generatormodelle, Materialeigenschaften usw.) auf die thorakale Potentialverteilung | |. Brought to you by | provisional account Unauthenticated Download Date | 7/1/15 11:31 PM ftlnmerf{vtfiltfphA 40 Heft 3/1987 Firlds Producwl by Currrnt Source In A Reatistic Torso Modrl. 4. Intern. Workshop on Bio­ masnolism, Romo, Italy, Soptombcr 19812, 14.­16. 117) Yam«shüa, Y., Takahnshi, T. (19B4): Use of the Flnlte Element Method to Doterminc Epicnrdinl (rom Body Surfnce Potentials Under a Realistic Torso Model. IEEE Trans. BME, BME­31, 9, 611­621 309 Anschriften der Autoren: Bereich Theoretieche Elektrotechnik TH Ilmenau Postschließfach 327 DDR­6300 Ilmenau Institut für Elektro­ und biomedizinische Technik Technische Universität Graz Inffeldgasse 18 A­8010Graz Biomed. Technik 32 (1987), 40­45 Die zementlose Hüftgelenkpfanne - Analyse der Fixierungsbedingungen der unterschiedlichen Konstruktionsprinzipien D. Gebauer The Cementless Cup in Total Hip Allo­arthroplasty ­ Analysis of Fixation Conditions in Different Models Staatliche Orthopädische Klinik Ludwig-Maximilians-Universität München (Direktor: Prof. Dr. med. H. J. Refior) Schlüsselwörter: Zementlose Pfanne, Primärfixation, Langzeitstabilität, Modellvergleich» Hüftenendoprothesen Die zementlose Hüftpfanne hat als koxale Komponente des künstlichen Gelenkersatzes zuneh­ mende Verbreitung gefunden. Die zur Auswahl stehenden Modelle zeichnen sich durch ausge­ prägte Varianz ihres konstruktiven Aufbaus und durch deutliche materialtechnische Unter­ schiede aus. 13 Pfannentypen werden diesbezüglich analysiert, um Hinweise zur Optimierung der Primärfixation und Langzeitstabilität von Hüftgelenkspfannen zu erhalten. Key-words: Cementless cup, hip allo­arthroplasty, primary fixation, long­term­stabüity The cementless cup is increasingly being used äs the coxal component of allo­arthroplasty of the hip. The available models show clear differences in design and material in some cases. Thirteen types of cup were analyzed to obtain Information to permit optimization of primary fixation and long­term­stability. l Einführung 2 Grundprinzipien der zementlosen Pfannenfixierung Im Rahmen der Huf tendoprothetik haben die zement­ Hauptziel bei der Implantation einer inerten Pfanne ist losen Implantate in den letzten Jahren zunehmend an ihre stabile Primärfixation bei Implantation sowie Bedeutung gewonnen. Während die Problematik der nachfolgende stabile Langzeitfunktion. Auf Grund der zementfreien Schaftkomponente noch nicht als gelöst Deformation des Beckens unter Belastung können gelten kann, findet die zementfreie Pfanne auch im diesbezüglich zwei Grundprinzipien zur Anwendung höchsten Alter und in Verbindung mit einem zement­ kommen: freien Schaft immer häufigere Anwendung. In diesen I. Deformationsbehinderung des Beckens durch ein Trend reiht sich auch das umfangreiche Spektrum der starres Implantat industriell angebotenen Pfannen mit unterschiedlich­ stem Material und Konstruktionsaufbau ein. Im fol­ (z.B. Metal­backed­Pfannen, Keramik­Pfannen): genden wird versucht, die Fixierungsbedingungen der In diesem Fall muß ein Umbau des knöchernen im deutschen Sprachraum häufig verwendeten ze­ Pfannenlagers und der trabekulären Struktur der mentlosen Pfannen hinsichtlich Primärstabilität und Beckenspongiosa aufgrund der neuen Lastbedin­ zu erwartender Langzeitstabilität zu analysieren. Brought to you gungen erfolgen. account by | provisional Unauthenticated Download Date | 7/1/15 11:31 PM