Federn

Im vorherigen Abschnitt wurde gezeigt, wie mittels Prinzip der virtuellen Kräfte die Verschiebung eines Punktes am Balken bestimmt werden kann. Wir haben bis hierhin die virtuelle Verschiebungsarbeit der inneren Kraftgrößen infolge äußerer Kräfte und Temperaturbeanspruchungen berücksichtigt. Auf Federn gelagerte Punkte leisten ebenfalls virtuelle Verschiebungsarbeit und müssen zusätzlich innerhalb der Arbeitsgleichung bei Anwendung des Prinzips der virtuellen Kräfte berücksichtigt werden.

Senkfeder

Federkraft

Die Feder bewirkt bei Auslenkung $w$ der Feder durch das Gewicht $m$ eine rückwirkende Federkraft der Größe $F = k_F \cdot w$ (Federgesetz).

Nach dem hookeschen Gesetz ist die Federkraft $F$ einer Feder proportional zur Auslenkung $w$ . Der Proportionalitätsfaktor $k_F$ wird Federkonstante genannt. Es gilt also die Beziehung:

Drehfeder

Drehfeder

Die Drehfeder bewirkt bei einer Verdrehung des Stabes um den Winkel $\varphi$ ein rückdrehendes Moment der Größe $M = k_M \cdot \varphi$ (Federgesetz). Der Winkel $\varphi$ wird im Bogenmaß gemessen und hat die Einheit rad. Die Federkonstante $k_M$ hat demnach die Einheit kNm / rad.

Für die Berechnungen eines Moments einer Drehfeder gilt also:

Virtuelle innere Verschiebungsarbeit

Wir betrachten als Nächstes einen Balken, welcher am linken Ende eine Drehfeder und am rechten Ende eine Schraubenfeder aufweist. Infolge der von außen auf den Balken wirkenden Kräfte verformt sich der Balken. Wollen wir z. B. an der Stelle $c$ die vertikale Verschiebung des Balkens bestimmen, so erzeugen wir zunächst ein virtuelles System, in welchem wir die Kraft $\overline{1}$ in Richtung der Verschiebung ansetzen. In der nachfolgenden Grafik ist oben das Ausgangssystem zu sehen und die Verformung der Balkenachse (gestrichelt) infolge der äußeren Kräfte $F_1$ und $F_2$. Die Verformung der Balkenachse führt zur Beanspruchung der Federn. Es tritt ein rückwirkendes Federmoment $M = k_M \cdot \varphi$ (rechtsdrehend) und ein rückwirkende Federkraft $F = k_F \cdot w$ (vertikal nach oben) auf. Im unteren Teil der Grafik sehen wir das virtuelle System, mit der $\overline{1}$-Kraft an der Stelle und in Richtung der gesuchten Verschiebung (Stelle c):

Federn - Virtuelle Verschiebungsarbeit

Wir wissen bereits, dass zunächst das virtuelle System mit der Kraftgröße $\overline{1}$ aufgestellt wird. Infolge der $\overline{1}$ Kraft verformt sich das virtuelle System und es treten -neben den virtuellen Schnittgrößen - die virtuelle Federkraft $\overline{F} (\overline{1})$ und das virtuelle Federmoment $\overline{M} (\overline{1})$ auf. Es ergibt sich im $\overline{1}$ System ein Spannungszustand, welchen wir als gegeben voraussetzen. Danach betrachten wir das Ausgangssystem, welches sich infolge der äußeren Kräfte $F_1$ und $F_2$ verformt. Wir lassen das virtuelle System simultan mit dem Ausgangssystem verformen. Was passiert im virtuellen System? Da wir den Spannungszustand im virtuellen System als gegeben voraussetzen, die dort vorhanden Kräfte und Momente in voller Höhe gegeben (konstant) sind, leisten diese virtuelle Verschiebungsarbeit. Die äußere Kraft $\overline{1}$ leistet damit äußere virtuelle Verschiebungsarbeit. Die Federkraft $\overline{F}$ und das Federmoment $\overline{M}$ leisten -wie die virtuellen Schnittgrößen - innere virtuelle Verschiebungsarbeit.

Virtuelle innere Verschiebungsarbeit bei Federn

Infolge der Kraft $\overline{1}$ im virtuellen System entstehen auch virtuelle Federkräfte und Federmomente. Wird dann das virtuelle System mit dem Ausgangssystem verformt, so leisten diese virtuellen Federkräfte und -momente innere Verschiebungsarbeit:

$\delta \overline{W}_i = -\overline{F} \cdot w - \overline{M} \cdot \varphi$      |mit $-1$ multiplizieren

$-\delta \overline{W}_i = \overline{F} \cdot w + \overline{M} \cdot \varphi$

Die Federkraft ergibt sich durch Federkonstante mal Längenänderung der Feder. Hier gilt, dass die Längenänderung der Feder $\delta l = w$ ist:

$F = k_F \cdot w$  ->  $w = \frac{F}{k_F}$

Das Federmoment ergibt sich durch Federkonstante mal Drehwinkel der Feder:

$M = k_M \cdot \varphi$  ->  $\varphi = \frac{M}{k_M}$.

Damit folgt für die innere virtuelle Verschiebungsarbeit:

Wir berücksichtigen den Term innerhalb der gesamten negativen virtuellen inneren Verschiebungsarbeit:

Die ersten 4 Terme stellen die innere virtuelle Verschiebungsarbeit der Schnittgrößen infolge der äußeren Kräfte dar. Der 5. und 6. Term ist die virtuelle Verschiebungsarbeit der Schnittgrößen infolge von Temperaturbeanspruchungen und zuletzt die innere virtuelle Verschiebungsarbeit der virtuellen Federkräfte und Federmomente.

Beispiel: Prinzip der virtuellen Kräfte - Federn

Beispiel: Prinzip der virtuellen Kräfte

1. Virtuelles System aufstellen

Zunächst stellen wir das virtuelle System auf. Wir suchen die Verdrehung in $A$. Da wir in diesem Fall die Verdrehung suchen - und keine Verschiebung - müssen wir anstelle einer $\overline{1}$-Kraft ein $\overline{1}$-Moment ansetzen, welches die gleiche Drehrichtung wie die gesuchte Verdrehung aufweist. Die gesuchte Verdrehung kann infolge des äußeren Moments im Ausgangssystem nur linksdrehend sein:

Virtuelles System

2. Auflagerkräfte im virtuellen System

Danach werden die Auflagerkräfte im virtuellen System bestimmt. Dazu schneiden wir das Tragwerk von seinen Lagern frei:

Auflagerkräfte im virtuellen System

Die Feder am linken Lager $A$ kann nur Druck- oder Zugkräfte aufnehmen. Beim Freischneiden der Feder vom Lager wird deshalb eine vertikale Auflagerkraft $A_v$ angebracht. Das Festlager überträgt zwei Auflagerkräfte, das Loslager eine senkrecht zu seiner Verschiebung. Wir haben hier ein mehrteiliges Tragwerk gegeben, welches durch das Momentengelenk $G$ zusammengehalten wird. Wir müssen zusätzlich die Teilsysteme berücksichtigen, um die Auflagerkräfte zu berechnen. Am Gesamtsystem können die 4 Auflagerkräfte nicht mit den 3 Gleichgewichtsbedingungen berechnet werden:

Teilsysteme

Wir berechnen die Auflagerkräfte. Uns stehen jeweils drei Gleichgewichtsbedingungen für die beiden Teilsysteme zur Verfügung, insgesamt also sechs Gleichgewichtsbedingungen. 

Teilsystem I

(1) $\uparrow : A_v - G_v = 0$    

(2) $\rightarrow: G_h = 0$     

(3) $\curvearrowleft$  um  $G : -A_v \cdot 4m + \overline{1} kNm = 0$

 
Aus (3): $A_v = \frac{\overline{1} kNm}{4m} = \frac{1}{4} kN$

Das $\overline{1}$ Moment ist natürlich vom Betrag 1 kNm und der Überstrich fällt bei den Berechnungen weg. Es ist ebenfalls möglich die Auflagerkräfte des virtuellen Systems mit einem Überstrich zu kennzeichnen, also $\overline{A}_v$, damit die Berechnungen übersichtlicher bleiben. Wir lassen den Überstrich weg.

Aus (1): $G_v = A_v = \frac{1}{4} kN$

Teilsystem II

(1) $\uparrow : G_v - B_v = 0$ 

(2) $\rightarrow: -G_h  - B_h - C_h = 0$

(3) $\curvearrowleft$  um $B : -G_v \cdot 3m - C_h \cdot 3m = 0$

 
Aus (3): $C_h = \frac{- G_v \cdot 3m }{3m} = -G_v = -\frac{1}{4} kN$

Aus (2): $B_h = -G_h - C_h = 0 - ( -\frac{1}{4} kN) = \frac{1}{4} kN$

Aus (1): $B_v = G_v = \frac{1}{4} kN$

Zusammenfassung der Auflagerkräfte im virtuellen System:

3. Schnittgrößen im virtuellen System

Infolge des äußeren $\overline{1}$ Moments im virtuellen System, verformt sich dieses und es entstehen innere Kraftgrößen. Wir können also den infolge des virtuellen Moments entstandenen Spannungszustand über die Schnittgrößen bestimmen. Dazu müssen wir zunächst festlegen, wo Schnitte durchgeführt werden müssen:

Schnitte durchführen

Wir müssen insgesamt 2 Schnitte durchführen. Der erste Schnitt zwischen Auflager $A$ und Auflager $B$ sowie den zweiten Schnitt zwischen Auflager $B$ und dem Auflager $C$. Ein Schnitt vor und nach dem Momentengelenk ist nicht notwendig, da sich die Gelenkkräfte an beiden Teiltragwerken gegenseitig aufheben. Es reicht also aus, den Schnitt vor oder nach dem Gelenk durchzuführen. 

Da in der Aufgabenstellung nur $EI$ gegeben ist ($EA \to \infty$ führt dazu, dass der Term der inneren Verschiebungsarbeit gleich Null wird), muss auch nur der Momentenverlauf berechnet werden:

1. und 2. Schnitt im virtuellen System

Schnitt 1

Bereich: $0 \le x_1 \le 7m$ (linkes Schnittufer)

Aus dem Momentengleichgewicht können wir den Momentenverlauf bestimmen.

 $\curvearrowleft: -A_v \cdot x_1 + \overline{1} kNm + M_1 = 0$

 $M_1 = A_v \cdot x_1 - \overline{1} kNm $

Mit $A_v = \frac{1}{4} kN$ und $\overline{1} = 1 kNm$:

$M_1 = \frac{1}{4} kN \cdot x_1 - 1 kNm$

Schnitt 2

Bereich: $0 \le x_2 \le 3 m$ (rechtes Schnittufer)

 $\curvearrowleft: -C_h \cdot x_2 - M_2 = 0$

$M_2 = -C_h \cdot x_2$

Mit $C_h = -\frac{1}{4} kN$:

$M_2 = \frac{1}{4} kN \cdot x_2$

Zusammenfassung der Schnittgrößen im virtuellen System:

Die Schnittgrößen sind mit Überstrichen innerhalb der Tabelle angegeben, um diese von den Schnittgrößen des Ausgangssystems (die noch folgen) abzugrenzen.

4. Grafischer Schnittgrößenverlauf der virtuellen Schnittgrößen

Relevant ist in den meisten Fällen der grafische Schnittgrößenverlauf. Mittels der  Koppeltafel, Tafel der Integrale ist es möglich die Verschiebung einfach aus den grafischen Schnittgrößenverläufen zu bestimmen, anstelle aufwendig die Integrale zu berechnen. 

In unserem Beispiel haben wir die Schnittgrößenverläufe rechnerisch bestimmt und können diese grafisch darstellen:

Momentenverläufe im virtuellen System

In der obigen Grafik sind die Momentenverläufe für das virtuelle System dargestellt. Die obere Skizze zeigt den Momentenverlauf für den 1. Schnittbereich, die untere Skizze den Momentenverlauf für den 2. Schnittbereich.

Für den 1. Schnittbereich beginnt der Momentenverlauf für $x_1 = 0$ bei $-1kNm$ und endet für $x_1 = 7 m$ bei $0,75 kNm$. Bis zum Gelenk ist der Momentenverlauf negativ, danach positiv:

$M_1 (x_1 = 0) =  \frac{1}{4} kN \cdot 0 - 1 kNm = -1kNm$

$M_1 (x_1 = 7) =  \frac{1}{4} kN \cdot 7 m - 1 kNm = 0,75 kNm$

Das Momentengelenk überträgt keine Momente, damit ist der Momentenverlauf hier Null:

$M_1 (x_1 = 4m) = \frac{1}{4} kN \cdot 4 m - 1 kNm = 0 kNm$

Für den 2. Schnittbereich beginnt der Momentenverlauf für $x_2 = 0$ bei $0$ und endet für $x_2 = 3 m$ bei $0,75 kNm$. Der Momentenverlauf ist positiv:

$M_2 (x_2 = 0) =  \frac{1}{4} kN \cdot 0 = 0$

$M_2 (x_2 = 3) =  \frac{1}{4} kN \cdot 3 m  = 0,75 kNm$

5. Berechnung der virtuellen Federkräfte und -momente

Die Schnittgrößen für das virtuelle System sind berechnet. Es fehlen noch die Federkraft im Lager $A$ sowie das Federmoment in Lager $B$. Es gilt:

Wir benötigen also die Querkraft im Lager $A$ sowie das Biegemoment im Lager $B$.

Das Biegemoment haben wir bereits berechnet, weshalb wir hier einfach den Wert für $x_1$ oder $x_2$ angeben, an welchem sich die Drehfeder befindet. Gehen wir von $x_1$ aus, so befindet sich die Drehfeder (Lager $B$) bei $x_1 = 7 m$:

$M_1 (x_1 = 7) = \frac{1}{4} kN \cdot 7 m - 1 kNm = 0,75 kNm$

Das Biegemoment an dieser Stelle beträgt also 0,75 kNm. Biegemoment $M_1$ und Federmoment $M_{\varphi}$ müssen sich im Gleichgewicht befinden:

Für die Federkraft $F_F$ im Lager $A$ müssen wir zusätzlich die Querkraft an dieser Stelle bestimmen:

Querkraft bestimmen

 
$\uparrow: - Q_1 + A_v = 0$

$Q_1 = A_v = \frac{1}{4} kN$

Die Querkraft ist im ersten Schnittbereich konstant bei $Q = \frac{1}{4} kN$. Also beträgt diese auch an der Stelle $A$ diesen Wert. Da Querkraft und Federkraft im Gleichgewicht sein müssen (damit das System im Gleichgewicht ist) gilt:

Hierbei handelt es sich um virtuelle Federkräfte bzw. -momente (durch Überstrich gekennzeichnet). Diese resultieren aufgrund des äußeren virtuellen $\overline{1}$ Moments. Die virtuelle Federkraft ergibt sich demnach daraus, dass die Feder im Lager $A$ infolge des äußeren virtuellen Moments zusammengedrückt wird. Dadurch entsteht eine rückwirkende virtuelle Federkraft. Das Federmoment entsteht dadurch, dass durch das Absenken des Balkens im Lager $A$ eine Linksdrehung der Balkenachse in $B$ stattfindet. Dort befindet sich die Drehfeder. Es resultiert demnach ein rückwirkendes Federmoment (rechtsdrehend). Diese leisten bei der späteren Verformung des virtuellen Systems (simultan mit dem Ausgangssystem) innere Verschiebungsarbeit. 

7. Berechnung der Auflagerkräfte im Ausgangssystem

Als Nächstes benötigen wir die Auflagerkräfte im Ausgangssystem, um dann die Schnittgrößen bestimmen zu können.

Teilsysteme des Ausgangssystems

Wir wenden jeweils drei Gleichgewichtsbedingungen auf die beiden Teilsysteme an. 

Teilsystem I

(1) $\uparrow : A_v - G_v = 0$

(2) $\rightarrow : G_h = 0$

(3) $\curvearrowleft$ um $G : -A_v \cdot 4m + M = 0$

Aus (3): $A_v = \frac{M}{4m} = \frac{10 kNm}{4m} = 2,5 kN$

Aus (1): $G_v = A_v = 2,5 kN$

Teilsystem II

(1) $\uparrow : G_v - B_v = 0$

(2) $\rightarrow : -G_h - B_h - C_h = 0$

(3) $\curvearrowleft$ um $B : -C_h \cdot 3m - G_v \cdot 3m = 0$

Aus (3): $C_h = -\frac{G_v \cdot 3m}{3m} = - G_v = -2,5 kN$

Aus (2): $B_h = -G_h - C_h = 0 - (-2,5 kN) = 2,5 kN$

Aus (1): $B_v = G_v = 2,5 kN$

Zusammenfassung der Auflagerkräfte des Ausgangssystems:

8. Berechnung der Schnittgrößen im Ausgangssystem

Zur Bestimmung der Schnittgrößen des Ausgangssystems werden dieselben Schnitte wie bereits im virtuellen System durchgeführt. Auch hier gilt wieder, dass entweder vor oder nach dem Gelenk geschnitten werden kann:

Schnittgrößen im Ausgangssystem

Schnitt 1

Für den Schnitt 1 wurde die Querkraft $Q_1$ hinzugefügt, um die Federkraft bestimmen zu können.

(1) $\uparrow: A_v - Q_1 = 0$

(2) $\curvearrowleft: -A_v \cdot x_1 + 10 kNm + M_1 = 0$

Aus (1): $Q_1 = A_v = 2,5 kN$

Aus (2): $M_1 = A_v \cdot x_1 - 10 kNm = 2,5 kN \cdot x_1 - 10 kNm$

Schnitt 2

$\curvearrowleft: -C_h \cdot x_2 - M_2 = 0$

$M_2 = -C_h \cdot x_2 = 2,5 kN \cdot x_2$

Zusammenfassung der Schnittgrößenverläufe des Ausgangssystems:

9. Grafische Schnittgrößenverläufe

Wir benötigen zur Anwendung der Koppeltafel ebenfalls die grafischen Schnittgrößenverläufe des Ausgangssystems. Diese ergeben sich wie folgt:

Momentenverlauf im Ausgangssystem

In der obigen Grafik sind die Momentenverläufe für das Ausgangssystem dargestellt. Die obere Skizze zeigt den Momentenverlauf für den 1. Schnittbereich, die untere Grafik den Momentenverlauf für den 2. Schnittbereich.

Für den 1. Schnittbereich beginnt der Momentenverlauf für $x_1 = 0$ bei $-10 kNm$ und endet für $x_1 = 7 m$ bei $7,5 kNm$. Bis zum Gelenk ist der Momentenverlauf negativ, danach positiv:

$M_1 (x_1 = 0) =  2,5 kN \cdot 0 - 10 kNm = -10 kNm$

$M_1 (x_1 = 7) =  2,5 kN \cdot 7 m - 10 kNm = 7,5 kNm$

Das Momentengelenk überträgt keine Momente, damit ist der Momentenverlauf hier Null:

$M_1 (x_1 = 4m) = 2,5 kN \cdot 4 m - 10 kNm = 0 kNm$

Für den 2. Schnittbereich beginnt der Momentenverlauf für $x_2 = 0$ bei $0$ und endet für $x_2 = 3 m$ bei $7,5 kNm$. Der Momentenverlauf ist positiv:

$M_2 (x_2 = 0) =  2,5 kN \cdot 0 = 0$

$M_2 (x_2 = 3) =  2,5 kN \cdot 3 m  = 7,5 kNm$

10. Bestimmung der Federkräfte und -momente

Im Ausgangssystem treten infolge der äußeren Belastung $M = 10 kNm$ eine Federkraft in $A$ und ein Federmoment in $B$ auf. Auch hier gilt, dass sich Federkraft und Querkraft sowie Federmoment und Biegemoment im Gleichgewicht befinden müssen:

11. Verschiebung berechnen

Es sind alle relevanten Werten bestimmt, um die Verschiebung zu berechnen.

Die äußere virtuelle Verschiebungsarbeit entspricht der negativen inneren virtuellen Verschiebungsarbeit:

$\overline{W}_a = -\overline{W}_i$

Die äußere virtuelle Verschiebungsarbeit ist die Arbeit des virtuellen Moments entlang der Verdrehung des Ausgangssystems:

$\overline{W}_a = \overline{1} kNm \cdot \varphi$

Dabei ist $\varphi$ die gesuchte Verdrehung an der Stelle $A$.

Die negative innere virtuelle Verschiebungsarbeit ist die Arbeit der virtuellen Schnittgrößen und virtuellen Federkräfte/-momente entlang der Verschiebung/Verdrehung des Ausgangssystems:

$-\overline{W}_i = \int [ \frac{\overline{N} N}{EA} + \frac{\overline{Q} Q}{GA_s} + \frac{\overline{M} M }{EI} + \frac{\overline{M}_{T} M_{T}}{G I_P}$

       $+ \overline{N} \alpha_{th} \cdot T_0 + \overline{M} \alpha_{th}\cdot \frac{\triangle T}{h}] dx$

       $+ \sum \frac{\overline{F} F}{k_F} + \sum \frac{\overline{M} M}{k_M}$

Gleichsetzen:

$\overline{1} kNm \cdot \varphi = \int [ \frac{\overline{N} N}{EA} + \frac{\overline{Q} Q}{GA_s} + \frac{\overline{M} M }{EI} + \frac{\overline{M}_{T} M_{T}}{G I_P}$

       $+ \overline{N} \alpha_{th} \cdot T_0 + \overline{M} \alpha_{th}\cdot \frac{\triangle T}{h}] dx $

       $+ \sum \frac{\overline{F} F}{k_F} + \sum \frac{\overline{M} M}{k_M}$

Terme, die für die Berechnung nicht relevant sind, werden gestrichen:

Wir haben zwei Schnittbereiche gegeben, d.h. der Momentenverlauf muss in zwei Schnittbereiche aufgeteilt werden. Zusätzlich entfallen die Summenzeichen bei Federkraft und -moment, weil diese jeweils nur einmal auftreten:

Es ist nun möglich die Verdrehung an der Stelle $A$ analytisch zu ermitteln oder aber mittels Koppeltafel unter Berücksichtigung der grafischen Schnittgrößenverläufe. Wir betrachten beide Varianten.

Variante 1: Analytische Berechnung

Für die analytische Berechnung wenden wir die obige Formel an, indem wir die Momentenverläufe sowie Federkräfte und Federmomente einsetzen. Wir betrachten nochmals alle notwendigen Werte. Wir verzichten bei der Berechnung auf die Berücksichtigung der Einheiten, um die Berechnung übersichtlicher zu halten:

$\overline{M}_1 = \frac{1}{4} \cdot x_1 - 1$

$\overline{M}_2 = \frac{1}{4} \cdot x_2$

$M_1 =2,5 \cdot x_1 - 10$

$M_2 = 2,5 \cdot x_2$

$\overline{F}_F = \frac{1}{4}$

$\overline{M}_{\varphi} = 0,75$

$F_F = 2,5$

$M_{\varphi} = 7,5$

Einsetzen in die Gleichung:

$\overline{1} \cdot \varphi = \int  \frac{(\frac{1}{4} \cdot x_1 - 1) (2,5 \cdot x_1 - 10) }{EI} dx_1+ \int \frac{ ( \frac{1}{4} \cdot x_2) (2,5 \cdot x_2)}{EI} dx_2+ \frac{\frac{1}{4} \cdot 2,5}{k_F} + \frac{0,75 \cdot 7,5}{k_M}$

Aus der Aufgabenstellung entnehmen wir die Werte für $EI$, $k_F$ und $k_M$:

$\overline{1} kNm \cdot \varphi = \int \frac{(\frac{1}{4} \cdot x_1 - 1) (2,5 \cdot x_1 - 10) }{10.000} dx_1 + \int \frac{ ( \frac{1}{4} \cdot x_2) (2,5 \cdot x_2)}{10.000} dx_2 + \frac{\frac{1}{4} \cdot 2,5}{400} + \frac{0,75 \cdot 7,5}{1000}$

Um die Integrale zu berechnen, müssen zunächst die Klammern aufgelöst werden:

1. Integral: $\int_0^7 (\frac{5}{8} x_1^2 - 5 x_1 + 10) dx_1$
2. Integral: $\int_0^3 \frac{5}{8} x_2^2 d_x2$

Die Grenzen der Integrale entsprechen den Schnittbereichen. Wir müssen also beide Schnittbereiche separat berücksichtigen.

Als Nächstes werden die Integrale aufgelöst:

1. Integral: $[\frac{5}{24} x_1^3 - \frac{5}{2} x_1^2 + 10 x_1]_0^7$

Einsetzen der Grenzen führt zu:

1. Integral: $\frac{455}{24}$

2. Integral: $[\frac{5}{24} x_2^3]_0^3$

Einsetzen der Grenzen führt zu:

2. Integral: $\frac{45}{8}$

Einsetzen in die obige Gleichung:

$\overline{1} \cdot \varphi =  \frac{455}{24} \cdot \frac{1}{10.000} + \frac{45}{8} \cdot \frac{1}{10.000} + \frac{\frac{1}{4} \cdot 2,5}{400} + \frac{0,75 \cdot 7,5}{1000}$

$\overline{1} \cdot \varphi = \frac{455}{24} \cdot \frac{1}{10.000} + \frac{45}{8} \cdot \frac{1}{10.000} + \frac{\frac{1}{4} \cdot 2,5}{400} + \frac{0,75 \cdot 7,5}{1000}$

$\overline{1}  \cdot \varphi = 0,00965$

$\varphi = 0,00965 \; rad$

Das Ergebnis ist die Verdrehung des Ausgangssystems im Punkt $A$ um 0,00965 Radiant. 

Variante II: Berechnung mittels Koppeltafel

Für die 2. Variante werden die grafischen Schnittgrößenverläufe beider Systeme benötigt, um die Integrale mittels Koppeltafel zu berechnen. Die Federterme bleiben davon unberücksichtigt und werden wie oben berechnet.

Wir betrachten zunächst die Momentenverläufe des virtuellen Systems und Ausgangssystems für den Schnittbereich 1:

Koppeltafel: Schnittbereich 1

Zunächst betrachten wir den Schnittgrößenverlauf des virtuellen Systems (oben in der Grafik). Dieser setzt sich im Bereich 1 aus zwei Dreiecken zusammen. Genaus dasselbe gilt für den Schnittgrößenverlauf des Ausgangssystems (unten in der Grafik). Wir betrachten zunächst das 1. Dreieck beider Systeme mit der Länge $l = 4m$. Beide Dreiecke sind gleichgerichtet. Wir müssen also innerhalb der Koppeltafel zwei gleiche Dreiecke suchen und finden diese in Zeile 2 und Spalte 2. Es gilt: 

$\frac{1}{3} l i k$

Dabei ist $l$ die Länge, $i$ die größte Höhe des einen Dreiecks und $k$ die größte Höhe des anderen Dreiecks. Wir setzen hier $i = -1$ und $k = -10$ (anders herum ist auch möglich). Das Minuszeichen muss berücksichtigt werden, weil der Momentenverlauf an der Stelle $A$ (größte Höhe) negativ ist.

$\frac{1}{3} \cdot 4 \cdot (-1) \cdot (-10)$

Wir betrachten dann das 2. Dreieck beider Systeme mit der Länge $l = 3m$. Beide Dreiecke sind gleichgerichtet. Wir müssen also innerhalb der Koppeltafel wieder zwei gleiche Dreiecke suchen und finden diese erneut in Zeile 2 und Spalte 2. Es gilt: 

$\frac{1}{3} l i k$

Dabei ist $l$ die Länge, $i$ die größte Höhe des einen Dreiecks und $k$ die größte Höhe des anderen Dreiecks. Wir setzen hier $i = 0,75$ und $k = 7,5$ (anders herum ist auch möglich). Hier ist der Momentenverlauf positiv:

$\frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 0,75 \cdot 7,5$

Insgesamt ergibt sich für den 1. Schnittbereich mittels Koppeltafel:

$\int_0^7 \overline{M}_1 M_1 dx_1 = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot (-1) \cdot (-10) + \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 0,75 \cdot 7,5$

Die Schnittgrößenverläufe des Schnittbereichs 2 ergeben sich wie folgt:

Koppeltafel: Schnittbereich 2

Wir haben hier für den Schnittbereich 2 in beiden Systemen einen dreieckigen Verlauf gegeben. Wir suchen innerhalb der Koppeltafel nach zwei gleichgerichteten dreieckigen Verläufen und erhalten wieder:

$\frac{1}{3} l i k$

Die Länge der dreieckigen Momentenverläufe beträgt $l = 3m$. Die Höhen der Dreiecke $i = 0,75$ und $k = 7,5$:

$\frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 0,75 \cdot 7,5$

Insgesamt ergibt sich für den 2. Schnittbereich mittels Koppeltafel:

$\int_0^3 \overline{M}_2 M_2 dx_2 = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 0,75 \cdot 7,5$

Einsetzen in die Gleichung:

$\overline{1} kNm \cdot \varphi = \int \frac{\overline{M}_1 M_1}{EI} dx_1 + \int \frac{\overline{M}_2 M_2}{EI} dx_2 + \frac{\overline{F} F}{k_F} + \frac{\overline{M} M}{k_M}$

$\overline{1} kNm \cdot \varphi = \frac{1}{10.000} (\frac{1}{3} \cdot 4 \cdot (-1) \cdot (-10) + \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 0,75 \cdot 7,5 ) + \frac{1}{10.000} ( \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 0,75 \cdot 7,5 ) + \frac{\frac{1}{4} \cdot 2,5 }{400} + \sum \frac{0,75 \cdot 7,5}{1000}$

$\overline{1} kNm \cdot \varphi = 0,00965$

$\varphi = 0,00965 \; rad$

Das Ergebnis ist natürlich identisch. Die Verdrehung der Balkenachsen im Punkt $A$ beträgt 0,00965 Radiant.