Die Herleitung für das ganze geht folgendermaßen:
Gesucht ist
\(\sum\limits_{k=0}^nq^k=?\)
Zuerst multiplizierst du mit \(1-q\)
Das ganze kannst du ausmultiplizieren.
Du erhälst
\((1-q)\sum\limits_{k=0}^nq^k=\sum\limits_{k=0}^nq^k-q\sum\limits_{k=0}^nq^k\)
Es gilt
\(q\sum\limits_{k=0}^nq^k=\sum\limits_{k=1}^{n+1}q^k\)
(Wenn du das nicht sofort siehst schreib dir mal die einzelnen Summanden auf)
Eingesetzt in unsere obere Rechnung:
\((1-q)\sum\limits_{k=0}^nq^k=\sum\limits_{k=0}^nq^k-\sum\limits_{k=1}^{n+1}q^k\)
Hier siehst du: Du ziehst fast das selbe wieder ab. Du musst dir nur überlegen was am Ende noch darsteht
Die erste Summe ist
\(\sum\limits_{k=0}^nq^k=1+q+q^2+q^3+\dots+q^n\)
Die zweite Summe ist
\(\sum\limits_{k=1}^{n+1}q^k=q+q^2+q^3+\dots+q^n+q^{n+1}\)
Du siehst: Die Summen unterscheiden sich nur um den ersten und den letzten Summanden. Es fallen also alle Summanden dazwischen raus. Du erhälst
\((1-q)\sum\limits_{k=0}^nq^k=\sum\limits_{k=0}^nq^k-\sum\limits_{k=1}^{n+1}q^k=1-q^{n+1}\)
Lassen wir für die Übersciht das in der Mitte weg haben wir
\((1-q)\sum\limits_{k=0}^nq^k=1-q^{n+1}\)
Jetzt teilst du final mit \(1-q\), sodass du wieder deine Summe dort stehen hast:
\(\sum\limits_{k=0}^nq^k=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\)
Hier auch das passende Lied: Geometrische Reihe
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