Lernziele | - Sie wissen, was eine umkehrbare Funktion ist.
- Sie können Umkehrfunktionen bestimmen.
- Sie wissen, wie der Graph der Umkehrfunktion mit dem Graphen
der gegebenen Funktion zusammenhängt.
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| Zum Funktionsbegriff gehört wesentlich, dass es zu jedem
Argument einen eindeutigen Funktionswert gibt. Hingegen ist es durchaus
zulässig, dass zu verschiedenen Argumenten derselbe Funktionswert
gehört. Im folgenden Mengendiagramm einer Funktion ist zum Beispiel |
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| Funktionen, bei denen das nicht der Fall ist, bei denen
also zu verschiedenen Argumenten immer verschiedene Funktionswerte
gehören, haben eine besondere Bedeutung. Hier das Mengendiagramm
einer solchen Funktion . |
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Definition 59 | Umkehrbarkeit |
| Die Funktion heisst umkehrbar , wenn zu verschiedenen
Argumenten stets verschiedene Werte gehören Man kann es auch andersherum sagen: Bei umkehrbaren
Funktionen sind gleiche Funktionswerte nur möglich, wenn die Argumente
gleich sind. |
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| Die Umkehrbarkeit äussert sich auch graphisch: Wenn
es zu jedem vorgegebenen Funktionswert nur ein Argument gibt, bedeutet das, dass es zu jeder vorgegebenen Ordinate nur einen Punkt auf dem Funktionsgraphen und damit nur eine
einzige Abszisse gibt. |
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| Bei einer nicht umkehrbaren Funktion hingegen gibt es zu mindestens einem gegebenen Funktionswert
mehr als ein Argument. Graphisch bedeutet das, dass es mindestens
eine Ordinate gibt, die zu mehr als einem Graphenpunkt und damit
zu mehreren Abszissen gehört |
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| Wenn man nun bei einer umkehrbaren Funktion die Spiesse
umdreht, die Funktionswerte neu als Argumente auffasst und die zugehörigen
Argumente als neue Funktionswerte, so resultiert eine neue Funktion. |
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Definition 60 | Umkehrfunktion |
| Sei eine umkehrbare Funktion. Dann heisst die Funktion wobei ist,die Umkehrfunktion von und man bezeichnet sie mit Für umkehrbare Funktionen gilt also |
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| Hier noch eine Interpretation mit Blockschlatbildern: |
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| Bei der Umkehrfunktion sind also die Rollen von Argument
und Wert vertauscht. Graphisch bedeutet das, dass für die Graphenpunkte
die Abszissen und Ordinaten vertauscht sind. Exakter: Wenn ein Punkt des Graphen von ist, dann ist ein Punkt des Graphen von |
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| Die Vertauschung der Koordinaten eines Punktes bewirkt
die Spiegelung des Punktes an der 1. Qudrantenhalbierenden. |
Satz 68 | Graphen von Umkehrfunktionen |
| Sei eine umkehrbare Funktion. Dann ist der Graph von das Spiegelbild des Graphen von bezüglich der 1. Quadrantenhalbierenden. |
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Beispiel 108 | Umkehrfunktionen |
| a) | Die Quadratfunktion ist nicht umkehrbar, denn es gibt jeweils zwei verschiedene
Argumente, welche denselben Funnktionswert haben, zum Beispiel Sie besitzt daher auch keine Umkehrfunktion.Das lässt sich auch leicht am Graphen ablesen:Zu jeder vorgegebenen positiven Ordinate gibt es jeweils zwei verschiedene Graphenpunkte und mit den Abszissen respektive . | b) | Die natürliche Logarithmusfunktion hingegen ist umkehrbar, denn verschiedene Zahlen haben verschiedene
ln-Werte. Die natürlichen Logarithmen sind ja so definiert: Durch diese Beziehung wird gemäss die Logarithmusfunktion als
Umkehrfunktion der Exponentialfunktion definiert Die Rollen sind übrigens vertauschbar; es gilt natürlich
auch Hier die Graphen: | c) | Wir betrachten die Reziprokfunktion für .Wie wir gesehen haben, ist sie umkehrbar. Wir wollen
ihre Umkehrfunktion berechnen. Wir geben also einen Funktionswert für die gegebene Funktion vor und rekonstruieren das zugehörige Argument . Aus der letzten Gleichung erhalten wir, falls ist ist nun der Wert der Umkehrfunktion für das Argument , also Die Umkehrfunktion ist somit für .Die Reziprokfunktion ist also ihre eigene Umkehrfunktion!
Graphisch äussert sich diese Eigenschaft darin, dass der Graph der
Reziprokfunktion durch Spiegelung an der 1. Quadrantenhalbierenden
in sich selber übergeht. | d) | Die Quadratwurzelfunktion ist ebenfalls umkehrbar, denn sie ist nur für nichtnegative
Zahlen definiert und für verschiedene nichtnegative Zahlen resultieren
stets verschiedene Wurzelwerte. Wenn man nämlich beispielsweise
fragt, welches Argument zum Funktionswert gehört, so kommt nur das Argument in Frage.Wir wollen nun die Umkehrfunktion bestimmen: Dazu setzen
wir wieder wobei natürlich gewählt werden muss, denn sonst hat das Problem, das
zugehörige Argument zu bestimmen, keine Lösung. In diesem Fall gilt Die Umkehrfunktion lautet also für Und hier noch die Graphen: | e) | Die trigonometrischen Funktionen sind
nicht umkehrbar; so gibt es zum Beispiel unendlich viele Argumente , sodass ist. Die Sinusfunktion hat somit keine Umkehrfunktion,
die Beschriftung auf einigen Taschenrechnertasten ist also eigentlich nicht
gerechtfertigt. Gemeint ist natürlich damit jeweils die Arkussinsufunktion , welche aber so definiert ist: Die Arkussinusfunktion ist somit die Umkehrfunktion
der Funktion für |
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Auftrag 33 |
Zweck:
Bestimmen von Umkehrfunktionen |
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Aufgabe
- Die Funktion ist gegeben durch Bestimmen Sie die Umkehrfunktion analytisch und zeichen
Sie die Graphen der gegebenen Funktion und ihrer Umkehrfunktion.
- Ist die Funktion umkehrbar? Wenn ja: Bestimmen Sie . Welches ist der Definitionsbereich von ?
- Ist die Funktion mit ,umkehrbar? Wenn ja: Bestimmen Sie . Welches ist der Definitionsbereich von ?
- Zeichen Sie den Graphen der Funktion , welche wie folgt definiert ist:
- Zeichen Sie den Graphen der Funktion , welche wie folgt definiert ist:
- Und noch eine knifflige Quizzaufgabe:
Bestimmen Sie und ?
Lösungsweg - Der Funktionswert der Funktion für das Argument sei gegeben: Wir bestimmen das zugehörige Argument : Das Argument kann aus dem vorgegebenen Funktionswert
eindeutig rekonstruiert werden, die Funktion ist also umkehrbar
und die Umkehrfunktion ist gegeben durch Der Graph von ist eine Gerade mit der Steigung , welche die Ordinatenachse bei schneidet. Der Graph von ist eine Gerade mit der Steigung , welche die Ordinatenachse bei schneidet.
- Der Funktionswert der Funktion für das Argument sei gegeben. Wir bestimmen das zugehörige Argument : Weil eine Wurzel nie negativ sein kann, muss , das heisst sein. Die obige Gleichung ist somit äquivalent zu Damit ist die Umkehrfunktion für
- Sei Wir bestimmen das Argument . Es gibt also zu einem vorgegebenen Funktionswert zwei verschiedene Argumente: Wenn zum Beispiel gewählt wird, gibt es zwei Argumente, nämlich und .Die Funktion ist also nicht umkehrbar.
- Die Definition sagt, dass ist die Umkehrfunktion der Funktion für ist. Der Graph von entsteht daher aus dem Graphen von durch Spiegelung an der 1. Quadrantenhalbierenden.
- ist die Umkehrfunktion der Funktion für
- Zur Quizzfrage: ist ein Term, welcher eine Zahl darstellt. Daher ist Hingegen ist eine Funktion. Daher ist ihre Umkehrfunktion. Man bestimmt sie wie folgt: Sei .Dann ist Es gilt somit
Resultat
- Die Umkehrfunktion ist gegeben durch
- für
- Die Funktion ist nicht umkehrbar.
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| Wenn eine Funktion umkehrbar ist, so besitzt sie eine
Umkehrfunktion; das heisst jedoch nicht, dass man diese mit elementaren
Operationen bestimmen kann. Betrachten wir zum Beispiel die Funktion |
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| Ihren Graphen kann man relativ gut zeichnen: |
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| Nach graphischen Kriterien ist die Funtion offensichtlich umkehrbar, denn zu jeder vorgegebenen Ordinate
gibt es nur einen Graphenpunkt. Man kann auch den Graphen ihrer
Umkehrfunktion zeichen, diese jedoch nicht mit elementaren Mitteln
bestimmen, weil sich die Gleichung |
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| nicht geschlossen nach auflösen lässt. |