Praktika der Angewandten Mathematik
Seit dem Sommersemester 2008 führt das Insitut für Numerische und Angewandte Mathematik interdisziplinäre Praktika in Kooperation mit anderen Fachbereichen durch. Die Veranstaltung wird aus Studiengebühren teilfinanziert. Wir hoffen, dadurch die numerisch-praktische Ausbildung der Teilnehmer nachhaltig zu verbessern, auch im Hinblick auf die im Bachelor-Master wichtige Berufsqualifikation. Immer wieder nachgefragte Qualifikationen sind nachgewiesene Team- und Projektarbeit, interdisziplinäre Kommunikation und fundierte, im Projektzusammenhang erworbene und eingesetzte EDV-Kenntnisse. Darüber hinaus sind die im Praktikum erworbenen Kenntnisse eine hervorragende Grundlage für eine spätere Abschlussarbeit und wirken so zusätzlich studienzeitverkürzend.
- Sommersemester 2009, Mathematik und Medizin
- Wintersemester 2008/2009, Anwendungen von partiellen Differentialgleichungen in VWL und Physik
- Sommersemester 2008, Mathematik und Medizin
Praktikum "Mathematik und Medizin"
Ausbreitung von Tumorzellen
Abstract: Bei der Vermehrung einer Zelle muss die DNA vollständig und fehlerfrei an die Tochterzellen weitergegeben werden. Ist der Träger der Erbinformation jedoch beschädigt oder treten Störungen bei der Zellteilung auf, so werden Informationen abgewandelt bzw. gehen verloren und es kommt zu einer Mutation. Sind dabei die Abschnitte der Erbsubstanz betroffen, welche das Wachstum und die Teilung steuern, kann Krebs entstehen. Im Fall bösartiger Tumore, welche unkontrolliert über ihre ursprüngliche örtliche Begrenzung hinaus wachsen und die Strukturen des umgebenen Gewebes zerstören, ist eine realitätsnahe Vorhersage über die Ausbreitung des Geschwulstes von großem Interesse.
Mit Hilfe eines komplexen mathematischen Modells, welches neben molekularen Diffusions- und Taxisprozessen sowohl zelluläre als auch gewebebezogene Komponenten umfasst, wird im Rahmen dieses Praktikums die Ausbreitung unterschiedlicher Mutationstypen untersucht. Die Tumorzellen, ob nun wuchernd oder ruhend, werden dabei als raum-, zeit- und altersabhängig betrachtet. Zudem wird die Dichte des umliegenden makromolekularen Gewebes, die Konzentration eines von den Tumorzellen produzierten abbauförderndes Enzyms und das zur Verfügung stehende Sauerstoffvorkommen simuliert.
Zur numerischen Lösung der gekoppelten partiellen Differentialgleichungen werden zwei unterschiedliche Ansätze verwendet. Zum Einen wird das kontinuierliche Modell in dem Softwaretool COMSOL Multiphysics eingebunden, eine 2D/3D finite Elemente Diskretisierung durchgeführt und das Problem entsprechend gelöst. Zum Anderen wird ein hybrid diskret-kontinuierlicher Ansatz, bei welchem die Modellgleichungen mittels einer finiten Differenzenmethode diskretisiert und der Pfad jeder einzelnen Tumorzelle verfolgt wird, in Matlab implementiert.
Beispiel 1: Die erste Abbildungsreihe zeigt die zeitliche Entwicklung eines Tumors unter Berücksichtung unterschiedlicher Mutationsstufen (gelb, türkis, rot und braun). Hierbei ist deutlich das Wachstum des Geschwulstes und aufgrund der diskret-kontinuierlichen Betrachtung auch die Streuung durch aggressive und sehr agile Krebszellen (rot und insbesondere braun) außerhalb des Kerntumors (hellblau) zu erkennen. Der dritte Plot zeigt schließlich die Bildung eines nekrotischen Kerns (dunkelblau), wie er typischerweise durch eine mangelnde Blutversorgung gebildet wird.
Beispiel 2: In dieser Abbildungsreihe werden die Resultate eines in Comsol implementierten Szenarios präsentiert. Hierbei wurde der kontinuierliche Ansatz zugrundegelegt und entsprechend die Konzentrationsdichte der Tumorzellen (nur eine Mutationsstufe), welche durch die Spektralfarben des Lichtes wiedergespiegelt werden (je näher an rot desto höher die Konzentration), betrachtet. Auch in diesem Modell wird das Wachstum des Geschwulstes und die Entstehung eines abgestorbenen Tumorkerns sehr gut wiedergegeben. Allerdings kann die Streuung einzelner, mutierter Zellen nur schwer/unscharf dargestellt werden.
Studierende: Christian Grumann, Bernd Kuhlenschmidt und Sven Wagner
Zwischenpräsentation:
Folien
Kooperation:
Prof. Dr. Normann Willich (Klinik für Strahlentherapie, Universitätsklinikum Münster)Dr. Iris Ernst (Klinik für Strahlentherapie, Universitätsklinikum Münster)
Modellierung der Patella
|
| © www.dreo.de |
Das menschliche Kniemodell als Objekt der Biomechanik ist bereits gut erforscht, so finden sich zahlreiche Ansätze zur mathematischen und mechanischen Beschreibung. Hierbei wird jedoch weitestgehend die Bewegung und Position der Kniescheibe vernachlässigt. Dabei übernimmt gerade die Patella eine wesentliche Rolle zur Übertragung der von der ventralen Oberschenkelmuskulatur ausgeübten Kräfte. Zudem schützt sie unser Kniegelenk. Im Rahmen dieses Praktikums soll daher ein erster Ansatz zur Modellierung der Kniescheibe unter Berücksichtigung möglichst vieler realitätsrelevanter Komponenten geschaffen werden. Eine anschließende Implementierung zur Berechnung der Patellapositionierung für unterschiedlichste Beugungen des Kniegelenkes und unter Berücksichtigung aktiver Muskelkräfte wird schließlich in dem mathematischen Programmpaket Matlab erfolgen.
Studierende: Felix Brockherde und Johann Jakob Preuß
Zwischenpräsentation:
Folien
Kooperation:
Dr. Vincent Hofbauer (Unfallchirurgie, Universitätsklinikum Münster)Praktikum "Anwendungen Partieller Differentialgleichungen"
Optionsbewertung
Abstract: Ein typisches Merkmal heutiger Finanzmärkte ist der ausgeprägte Handel mit Optionen, d.h. mit Verträgen, die einem garantieren, ein Produkt in der Zukunft zu einem vorher festgelegten Preis kaufen (Call-Option) oder verkaufen (Put-Option) zu können. Optionen tragen der Absicherung gegen unerwünschte Preisschwankungen bei. Man unterscheidet bei dem Zeitpunkt der Optionseinlösung zwischen Europäischen (Einlösung nur bei Laufzeitende) und Amerikanischen (Einlösung während der gesamten Laufzeit) Optionen. Aktienkursverläufe lassen sich mit Hilfe der Brownschen Bewegung simulieren.
Übernahmespekulationen, veröffentlichte Gewinnerwartungen oder Bankenkrisen können zu plötzlichen starken Aktienkursänderungen führen. Die Modellierung durch einen Wiener Prozess ist daher nicht ausreichend und muss hinsichtlich dieser Kurssprünge modifiziert werden. Sowohl für Kursverläufe mit als auch ohne Sprünge wurden numerische Berechnungen der Optionswerte auf Grundlage der Black-Scholes-Gleichung durchgeführt. Verschiedene Restlaufzeiten wurden miteinander verglichen und numerische, diskretisierte Lösungen analytischen Lösungsfunktionen gegenübergestellt.
Studierende: Christof Heuer und Fabian Lenz
Abschlusspräsentation:
Folien
Kooperation:
Prof. Dr. Nicole Branger (Lehrstuhl für Derivate und Financial Engineering, Universität Münster)
Optimierung der Geometrie eines Kühlkörpers
Abstract: Elektrische Bauteile erzeugen im Betrieb Abwärme. Diese muss häufig in geeigneter Form abgeleitet werden, um das Bauteil vor Überhitzung zu schützen. Als Beispiele betrachte man Mikroprozessoren oder Brennstoffzellen. Eine Möglichkeit zur effizienten Wärmeabführung ist die Verwendung von Kühlkörpern. Über eine Kontaktfläche zum wärmeerzeugenden Bauteil wird die entstehende Hitze auf das metallische Material des Kühlkörpers übertragen. Um den Wärmeaustausch mit der Umgebung zu maximieren, ist man bestrebt, die Oberfläche des Kühlkörpers möglichst groß zu gestalten, weshalb Kühlkörper meist aus mehreren dünnen, metallischen Kühlrippen bestehen.
Bei diesem Projekt ging es darum, die Geometrie des Kühlkörpers zu optimieren mit dem Ziel, dass die Wärme möglichst gut von der Kontaktfläche abgeleitet wird. Modelliert wird die Temperaturverteilung auf dem Gebiet des Kühlkörpers durch die stationäre Wärmeleitungsgleichung in 2D. Als Optimierungsvariablen dienen bestimmte Parameter, welche die Geometrie des Körpers vollständig beschreiben. Zur Implementierung des Problems wurde die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet.
Studierende: Johann Jakob Preuß und Jan Michael Schulte
Abschlusspräsentation:
Folien
Praktikum "Mathematik und Medizin"
Bildsegmentierung für PET/CT
Abstract: In Bildern der Positronen-Emissions-Tomographie (PET) werden biochemische und physiologische Prozesse durch hohe Farb-Intensitätswerte visualisiert. Das wird in der medizinischen Diagnostik z.B. zur Erkennung von Tumoren oder zur Messung des Blutflusses im Herzen verwendet. Die Auflösung von PET-Bildern ist z.Zt. allerdings noch auf 4-6mm begrenzt. Mit Hilfe der Computertomographie (CT) und Entfaltungs-Verfahren kann eine Verbesserung von PET-Bildern erreicht werden, da für die Computertomographie eine Auflösung von 1mm kein Problem darstellt. Der wesentliche Schritt besteht dabei in der Segmentierung des Ziel-Objekts (Tumor, Herzwand) im CT-Bild, welche die genaue Lage und Größe des Objekts liefert. Hierdurch können Farb-Intensitätswerte im PET-Bild entsprechend angepasst werden. Dies ist insbesondere bei kleinen Objekten von zentraler Bedeutung.
Studierende: André Gripshöfer, Sebastian Westerheide
Abschlusspräsentation:
Folien
Toolbox zum Chan-Vese-Modell: zur Download-Seite
Kooperation:
PD Dr. Klaus Schäfers (European Institute of Molecular Imaging (EIMI))Dipl.-Phys. Florian Büther (European Institute of Molecular Imaging (EIMI))
Dipl.-Inf. Mohammad Dawood (European Institute of Molecular Imaging (EIMI))
Inverses Problem der Elektrokardiographie
Abstract: Durch EKG-Messungen wird das elektrische Potential des Herzens an üblicherweise 12 Punkten der Körperoberfläche gemessen. Hierüber werden Rückschlüsse auf das tatsächliche Potential an der Herzoberfläche gezogen. Unregelmäßigkeiten im EKG sind Indikatoren für Erkrankungen des Herzens. Für bestimmte Krankheitsbilder (z.B. Arrhythmien) ist eine Messung an 12 Punkten zu ungenau. Deshalb führt man Messungen an einer größeren Anzahl von Elektroden, die auf dem Torso des Patienten angebracht werden, durch (BSPM - body surface potential mapping). Um Störungen des Herzens genau zu lokalisieren, wird ausgehend von den Messungen am Torso das Potential am Herzen errechnet (Inverses Problem der Elektrokardiographie). Zielsetzung aktueller Forschung mit BSPM-Messungen ist es Therapien genauer planen zu können, wie z.B. die ideale Platzierung eines Herzschrittmachers.
Studierende: Sema Mpairamoglou, Patrick Verfürth
Abschlusspräsentation:
Folien
Kooperation:
PD Dr. Christian Vahlhaus (Kardiologie, Universitätsklinikum Münster)Alexander Samol (Kardiologie, Universitätsklinikum Münster)
Potentialänderung in Nervenzellen
Abstract: Die Weiterleitung elektrischer Impulse in Nervenzellen, z.B. im Gehirn, wird im Wesentlichen durch den Austausch von Kalium-, Natrium- und Kalzium-Ionen durch die Zellmembran gesteuert. Um die Funktionsweise der verschiedensten Bereiche des Gehirns zu verstehen, ist es zunächst notwendig einzelne Nervenzellen und deren charakteristische Potentialverläufe zu untersuchen. Im Thalamus ist etwa das tonische und Burst-Verhalten wichtig. Das grundlegende mathematische Modell zur Beschreibung der Potentialänderung in Nervenzellen ist das Hodgkin-Huxley-Modell, welches mathamatisch ein System von vier gewöhnlichen Differentialgleichungen darstellt. Numerisch gelöst wird das Modell mit Standard-Verfahren wie dem impliziten Euler- oder Crank-Nicholson-Verfahren. Typisch für Nervenzellen im Thalamus ist die Sensitivität gegenüber kleinen Impulsänderungen. So muss ein bestimmter Schwellwert zur Auslösung eines Aktionspotentials überschritten werden. Bleibt man auch nur geringfügig unter diesem Schwellwert passiert nichts. Die numerische Simulation dieses Verhaltens gelingt bereits mit den genannten Standard-Verfahren, auf denen auch das in der Physiologie zur Simulation neuronaler Netze weit verbreitete Programm NEURON basiert. In der modernen Hirnforschung ist ein zentraler Aspekt bei der Untersuchung der Thalamus-Region das bessere Verständnis der Ursachen für Epilepsie.
Studierende: Paul Eichinger, Julia Meskauskas
Abschlusspräsentation:
Folien
Kooperation:
Prof. Dr. Thomas Budde (Institut für Physiologie I, Universitätsklinikum Münster)Dipl.-Inf. Patrick Meuth (Institut für Physiologie I, Universitätsklinikum Münster)
Funktionstests der Wirbelsäule in der Unfallchirurgie
Abstract: Die Funktionsfähigkeit der Wirbelsäule kann man z.B. durch Beweglichkeits-Messungen (seitliche Neigung, Bewegung nach vorne/nach hinten) testen. Um Aussagen über die Einsatzmöglichkeiten von Bandscheiben-Prothesen treffen zu können, werden solche Messungen in der Unfallchirurgie an Rinderwirbelsäulen durchgeführt. Die Messungen übernimmt dabei ein ehemaliger Industrie-Roboter. Ein Teil der Wirbelsäule (mehrere Wirbel), bei denen etwa eine Bandscheibe durch eine Prothese ersetzt wurde, werden in den Roboter eingespannt, und die Neigung der Wirbelsäule unter Kraftausübung gemessen. Dadurch erhält man eine Messreihe aus Drehmoment-Winkel-Paaren. Zur Charakterisierung der Beweglichkeit der Wirbelsäule dienen z.B. der Bereich, in dem die Wirbelsäule ohne Kraftausübung bewegt werden kann (Neutrale Zone), und bestimmte Steigungen in der Messreihe. Diese werden mit numerischen Verfahren, wie etwa linearer Ausgleichsrechnung oder Glättungsmethoden bestimmt.
Studierende: Johann Jakob Preuß, Michael Steffes
Abschlusspräsentation:
Folien
Kooperation:
Dr. Rene Hartensuer (Unfall-, Hand- und Wiederherstellungschirurgie, Universitätsklinikum Münster)Dipl.-Ing. Steffen Schanz (Unfall-, Hand- und Wiederherstellungschirurgie, Universitätsklinikum Münster)
