45. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 7 ...

<strong>45.</strong> <strong>Mathematik</strong>-<strong>Olympiade</strong><br />

<strong>2.</strong> <strong>Stufe</strong> (<strong>Regionalrunde</strong>)<br />

<strong>Klasse</strong> 7<br />

Aufgaben<br />

c○ 2005 Aufgabenausschuss des <strong>Mathematik</strong>-<strong>Olympiade</strong>n e.V.<br />

www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten.<br />

Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und Nebenrechnungen soll deutlich erkennbar<br />

in logisch und grammatisch einwandfreien Sätzen dargestellt werden. Zur Lösungsgewinnung<br />

herangezogene Aussagen sind zu beweisen. Nur wenn eine so zu verwendende Aussage aus dem<br />

Schulunterricht oder aus Arbeitsgemeinschaften bekannt ist, genügt es ohne Beweisangabe, sie<br />

als bekannten Sachverhalt anzuführen.<br />

450721<br />

a) Martin hat fünf Kugeln: eine blaue, zwei rote und zwei weiße. Er will die Kugeln so auf<br />

zwei Schalen verteilen, dass in einer Schale zwei und in der anderen drei Kugeln liegen.<br />

In beiden Schalen sollen dabei mindestens zwei Kugeln unterschiedliche Farbe haben.<br />

Schreibe alle Möglichkeiten für eine derartige Verteilung auf!<br />

b) Martina hat neun Kugeln: drei blaue, drei rote und drei weiße. Sie verteilt ihre Kugeln<br />

auf drei Schalen. In die erste legt sie zwei Kugeln, in die mittlere drei und in die letzte<br />

vier. In jeder Schale sollen aber mindestens zwei Kugeln verschiedenfarbig sein.<br />

Wie viele unterschiedliche Verteilungen sind jetzt möglich?<br />

Hinweis: Beachte, in dieser Aufgabe sind Kugeln gleicher Farbe nicht unterscheidbar!<br />

450722<br />

Die Teilnehmer einer Arbeitsgemeinschaft <strong>Mathematik</strong> veranstalten ein Wettrechnen. Sie wollen<br />

ohne Verwendung von Taschenrechnern Summenwerte ermitteln.<br />

Es werden folgende Aufgaben gestellt:<br />

a) Berechne die Summe der geraden Zahlen von 2 bis 100 !<br />

b) Berechne die Summe der ungeraden Zahlen von 5 bis 2005 !<br />

c) Berechne die Summe mit dem ersten Summanden 533 und dem letzten Summanden 866,<br />

wobei die Differenz zweier aufeinander folgender Summanden stets 3 beträgt!<br />

450723<br />

Ein Quadrat mit den Eckpunkten A, B, C und D hat die Seitenlänge 54 mm. Die Mittelpunkte<br />

der Seiten BC und CD heißen H bzw. K.<br />

a) Begründe, warum die Dreiecke ABH, AHC, ACK und AKD den gleichen Flächeninhalt<br />

F haben!<br />

b) Welchen Flächeninhalt hat das Dreieck HKA?<br />

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450724<br />

Mit einer zweistelligen Zahl werden nacheinander die folgenden drei (Rechen-) Operationen<br />

ausgeführt:<br />

(1) An das Ende der Ausgangszahl wird ihre Quersumme gehängt, wenn dadurch eine<br />

dreistellige Zahl entsteht.<br />

(2) Von der so entstandenen Zahl wird die Ausgangszahl subtrahiert.<br />

(3) Zu der nun entstandenen Zahl wird das Neunfache der Zehnerziffer der Ausgangszahl<br />

addiert.<br />

a) Ermittle alle zweistelligen Zahlen, für welche die drei Operationen nacheinander ausführbar<br />

sind! Wie viele Zahlen sind das?<br />

b) Zeige: Die am Ende erhaltene Zahl ist stets das Zehnfache der Ausgangszahl!