Die Rechtecks-Darstellung von Produkten - Mathematik

<strong>Die</strong> <strong>Rechtecks</strong>-<strong>Darstellung</strong> <strong>von</strong> <strong>Produkten</strong><br />

1. Systematisches Auszählen <strong>von</strong> Rechtecken<br />

<strong>Die</strong> Veranschaulichung mit Skalen macht die Wirkung der Multiplikation als<br />

"gleichmäßige (proportionale) Verzerrung" des Zahlenraumes deutlich und vermittelt<br />

eine gute Größenvorstellung <strong>von</strong> <strong>Produkten</strong>. Nur bei sehr einfachen Beispielen ist die<br />

<strong>Darstellung</strong> aber zur Ermittlung exakter Ergebnisse geeignet. Ein universelles Mittel<br />

zur Veranschaulichung und systematischen Zerlegung <strong>von</strong> <strong>Produkten</strong> und damit zur<br />

Bestimmung ihres Wertes ist die <strong>Rechtecks</strong>darstellung.<br />

Flächeninhalte kann man zwar durch Auslegen mit einer Einheitsfläche messen;<br />

dieser Messprozess ist aber nicht direkt auf eine Skala übertragbar, weshalb es auch<br />

kein Messinstrument für Flächeninhalte gibt. Durch geschickte Wahl der<br />

Einheitsfläche ist es allerdings (in vielen Fällen) möglich, den Inhalt aus zwei<br />

Längenmaßen – die auf einer Skala ablesbar sind – durch Rechnung zu bestimmen.<br />

A = 4 ⋅ (5 cm²) = (4 ⋅ 5) cm² A = [(4 ⋅ 5) cm²] : 2<br />

<strong>Die</strong> Maßeinheit für den Flächeninhalt wird sinnvollerweise in Abhängigkeit <strong>von</strong> der<br />

Maßeinheit für die Seitenlängen so gewählt, daß die Maßzahl für den Inhalt eines<br />

<strong>Rechtecks</strong> genau dem Produkt der Maßzahlen der Seitenlängen entspricht. Ein<br />

Flächeninhalt kann deshalb als formales Produkt zweier Längen aufgefaßt werden.<br />

4 cm 5 cm = (4 5) cm²<br />

Anmerkung: <strong>Die</strong> Multiplikation zweier Größen macht in vielen Fällen keinen<br />

konkreten Sinn, weil es keine zur Bestimmung <strong>von</strong> Flächeninhalten entsprechende<br />

Anwendung gibt (4 g ⋅ 5 g = 20 g² ???). Allerdings ist es durchaus möglich und<br />

gebräuchlich, Produkte <strong>von</strong> Größen als formale Größen aufzufassen (s. 5.3).<br />

Rechtecke sind sehr einfach in Teilrechtecke zu<br />

zerlegen. Der Inhalt eines <strong>Rechtecks</strong> mit<br />

"schwierigen" Seitenlängen kann deshalb immer<br />

aus dem Inhalt <strong>von</strong> einfacher zu bestimmenden<br />

Teilrechtecken zusammengesetzt werden.<br />

Entsprechend setzen sich Produkte immer aus<br />

einfacheren <strong>Produkten</strong> zusammen. Durch die<br />

dezimale Gliederung der Längenmaße werden<br />

auch die <strong>Rechtecks</strong>flächen entsprechend<br />

unterteilt.<br />

<strong>Die</strong> Bestimmung der Teilinhalte reduziert sich<br />

auf die Aufgaben des kleinen 1x1 sowie auf das<br />

Multiplizieren <strong>von</strong> Zehnerpotenzen.<br />

- 1 -<br />

27 ⋅ 34<br />

= (2⋅3)⋅(10⋅10) + (2⋅4)⋅10 + (7⋅3)⋅10<br />

+ 7⋅4

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2. Multiplikation großer Zahlen<br />

Besonders wichtig ist hier der Zusammenhang zwischen der Zehnergliederung <strong>von</strong><br />

Längeneinheiten (Zehnerpotenzen) und der Hundertergliederung der<br />

entsprechenden Flächeneinheiten.<br />

<strong>Die</strong> flächenhafte Gliederung eines Produktes durch passende (dezimale) Gliederung<br />

der Faktoren ergibt ein zuverlässiges Verfahren zur Berechnung des Produktes, das<br />

in wenigen Schritten in den gewohnten schriftlichen Algorithmus übergeführt werden<br />

kann. <strong>Die</strong> Gliederung ist dabei allerdings nicht<br />

mehr maßstabsgetreu.<br />

Bsp.: 534 ⋅ 278<br />

= (5⋅100 + 3⋅10 + 4) ⋅ (2⋅100 + 7⋅10 + 8)<br />

Das Produkt setzt sich aus 9 Teilen zusammen,<br />

die nach ihrem Stellenwert geordnet und<br />

zusammengefasst werden können.<br />

Auch bei großen Faktoren aus dem Bereich der natürlichen Zahlen ist es auf diese<br />

Weise noch mindestens denkbar, die Vorstellung der mehrfachen Addition aufrecht<br />

zu erhalten und das systematische (reihenweise) Auszählen <strong>von</strong> Rechtecken als<br />

(äußerst hilfreiche) anschauliche Interpretation aufzufassen.<br />

3. Multiplikation <strong>von</strong> Dezimalbrüchen<br />

Bei Dezimalbrüchen muss allerdings ein Modellwechsel vollzogen werden, wenn die<br />

Multiplikation einen greifbaren Sinn bekommen soll: ein Produkt wie 0,62 ⋅ 1,43 kann<br />

nicht als Summe <strong>von</strong> gleich großen Summanden ermittelt werden. Dagegen ist ein<br />

Rechteck mit den Seitenlängen 0,62 m und 1,43 m leicht herzustellen und auch sein<br />

Flächeninhalt kann zumindest überschlägig gut mit der Flächen-Maßeinheit 1 m²<br />

verglichen werden.<br />

- 2 -

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Ein Produkt zweier Dezimalbrüche wird definiert als Inhalt eines <strong>Rechtecks</strong>,<br />

dessen Seitenlängen den beiden Faktoren entsprechen.<br />

<strong>Die</strong>se Festsetzung verallgemeinert nicht nur eine vertraute Vorstellung <strong>von</strong> der<br />

Multiplikation natürlicher Zahlen, sie verhilft auch zu einem sehr effektiven Verfahren,<br />

mit dem der exakte Wert eines Produktes bestimmt werden kann. Mit der<br />

Übertragung der Skalen <strong>von</strong> den Seitenlängen auf die Flächen entstehen nämlich<br />

kleinere Vergleichsflächen, die einen genaueren Vergleich ermöglichen (Bild S. 47):<br />

Quadrat: A = 1 m² oder A = (10⋅10) dm² oder A = (100⋅100)cm² = 10000cm²<br />

Rechteck: A » 1 m² oder A » (6⋅14) dm² oder A = (62⋅143)cm² = 8866cm²<br />

8866<br />

Damit ist das Rechteck exakt ausgemessen: ARechteck = m² = 0,8866 m²<br />

10000<br />

<strong>Die</strong> formale Multiplikation <strong>von</strong> Längen für die Bestimmung <strong>von</strong> Flächeninhalten (bei<br />

Rechtecken) lässt sich also verallgemeinern:<br />

62 143<br />

0,62 m 1,43 m = m m :=<br />

100 100<br />

62 ⋅ 143<br />

m² (= (8866 : 10000) m² = 0,8866 m²)<br />

100 ⋅100<br />

<strong>Die</strong>se bei der Inhaltsbestimmung <strong>von</strong> Rechtecken sinnvolle Verallgemeinerung lässt<br />

sich sofort auch auf "reine" Dezimalbrüche übertragen.<br />

62 143<br />

0,62 1,43 = :=<br />

100 100<br />

62 ⋅ 143<br />

100 ⋅ 100<br />

62 ⋅ 143<br />

=<br />

10000<br />

- 3 -<br />

(= 8866 : 10000 = 0,8866)<br />

Für die vollständige Formulierung einer Regel muss noch allgemein geklärt werden,<br />

wie sich die Kommastellen der Faktoren auf die Kommastellen im Ergebnis<br />

auswirken. Das geht ganz analog wie bei der Berechnung <strong>von</strong> <strong>Produkten</strong> großer<br />

Zahlen.<br />

0,1 ⋅ 0,1 = 1 : 100<br />

= 0,01<br />

0,01 ⋅ 0,01 = 0,01 : 100<br />

= 0,0001<br />

0,001 ⋅ 0,001 = 0,0001 : 100<br />

= 0,000001<br />

Das <strong>Rechtecks</strong>modell liefert zunächst eine Vorstufe der endgültigen Kommaregel,<br />

weil nur gleichnamige Faktoren (mit gleich vielen Kommastellen) das Auszählen der<br />

Fläche mit Quadraten möglich machen.<br />

2,7 ⋅ 1,55 = 2,70 ⋅ 1,55 (= 270⋅0,01 ⋅ 155⋅0,01) = (270 ⋅ 155) ⋅ 0,01² = 41850 ⋅ 0,0001<br />

<strong>Die</strong> Regel für Faktoren mit gleich vielen Kommastellen (das Ergebnis hat doppelt so<br />

viele Kommastellen wie jeder Faktor) vereinfacht sich nach wenigen Übungen auf die<br />

bekannte Form.

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3. Multiplikation <strong>von</strong> Brüchen<br />

<strong>Die</strong> gleiche Grundidee wie bei der Multiplikation <strong>von</strong> Dezimalbrüchen verhilft<br />

schließlich zu einer direkten Veranschaulichung der Regel für die Multiplikation <strong>von</strong><br />

Brüchen. Wieder bekommt ein formales Produkt, das nicht als mehrfache Addition<br />

gedeutet werden kann, als Maßzahl für den Inhalt einer <strong>Rechtecks</strong>fläche einen<br />

greifbaren Sinn.<br />

Wie bei Dezimalbrüchen ergibt die Übertragung<br />

der Skaleneinteilungen auf die<br />

Flächen ein feineres Flächenmaß (F), mit<br />

dem sowohl das Einheitsquadrat wie das<br />

Rechteck gemessen werden können.<br />

Ganz analog kann man nun auch die bei<br />

Flächen gewonnene Regel zur sinnvollen<br />

Definition eines Produktes <strong>von</strong><br />

Bruchzahlen benutzen:<br />

Das <strong>Rechtecks</strong>modell der Multiplikation <strong>von</strong><br />

Brüchen schlägt auch die Brücke zu der für<br />

Anwendungen wichtigen Vorstellung "Bruchteil vom<br />

Bruchteil". Offensichtlich kann der Flächeninhalt des<br />

3 2<br />

Rechteckes mit den Seitenlängen m und m auf<br />

4 5<br />

zwei Weisen beschreiben werden:<br />

3 7 3 2<br />

m ⋅ m ist dasselbe wie <strong>von</strong> m²<br />

4 5<br />

4 5<br />

- 4 -<br />

3 7<br />

m ⋅ m = ? m²<br />

4 5<br />

Quadrat: 4⋅5 F Rechteck: 3⋅7 F<br />

3 7 3 ⋅ 7<br />

Also: m ⋅ m = m²<br />

4 5 4 ⋅ 5<br />

3 7<br />

⋅ :=<br />

4 5<br />

Anmerkung 1: Das letzte Beispiel wurde für Brüche < 1 formuliert, weil die<br />

Bruchteilvorstellung in diesem Bereich leichter zugänglich ist. Umgekehrt ist es für<br />

das Messen eines <strong>Rechtecks</strong>inhaltes günstig, wenn die zu messende Fläche<br />

(deutlich) größer ist als die Maßeinheit.<br />

Anmerkung 2: Obwohl Dezimalbrüche nur eine andere Schreibweise für Brüche sind,<br />

legt der Alltagssprachgebrauch analoge Formulierungen wie bei Brüchen (0,8 <strong>von</strong><br />

4,3 ??) nicht nahe. In der Form "Das 0,8-fache <strong>von</strong> 4,3" ist das allerdings doch<br />

möglich und stellt zudem den Zusammenhang zum Vervielfachen her ("Das 3-fache<br />

<strong>von</strong>").<br />

3 ⋅ 7<br />

4 ⋅ 5

---

Anmerkung 3: Auch bei irrationalen Maßzahlen <strong>von</strong> Seitenlängen kann der Inhalt<br />

eines <strong>Rechtecks</strong> immer bestimmt werden. Dazu ergeben die Näherungsprozesse,<br />

die zur Bestimmung der Seitenlängen notwendig sind, einen angepassten<br />

Näherungsprozess für den <strong>Rechtecks</strong>inhalt:<br />

Maßzahl exakt Näherungen<br />

Länge 3 1 1,7 1,73 1,732 ...<br />

Breite p 3 3,1 3,14 3,141 ...<br />

Inhalt 3 ⋅ p 3 5,27 5,4322 5,4402.. ...<br />

<strong>Die</strong> <strong>Rechtecks</strong>vorstellung ist also geeignet, alle Produkte <strong>von</strong> positiven Zahlen<br />

mit einer greifbaren Vorstellung zu verbinden. Zwar hilft sie nur wenig bei einem<br />

Größenordnungsvergleich zwischen den Faktoren und dem Produkt (weil Längen<br />

und Flächeninhalte nicht miteinander verglichen werden können!). Aber sie ergibt<br />

sehr einfache und gleichzeitig effektive Verfahren zur systematischen Bestimmung<br />

<strong>von</strong> exakten <strong>Produkten</strong>. Darüber hinaus erklärt das <strong>Rechtecks</strong>modell alle Regeln der<br />

Rechenoperation Multiplikation auf einheitliche Weise. Wegen seiner Universalität<br />

und der direkten Verbindung <strong>von</strong> verschiedenen Repräsentationsebenen ist das<br />

Modell also ein ausgezeichneter Rahmen für intensive Lernerfahrungen zur<br />

Multiplikation.<br />

Bsp.: Quadratzahlen <strong>von</strong> "5-Zahlen"<br />

75² = 70 ⋅ 80 + 25<br />

= (7⋅8)⋅100 + 25<br />

Allgemein:<br />

(10a+5)² = a⋅(a+1)⋅100 + 25<br />

Bsp.: Abschätzen <strong>von</strong> <strong>Produkten</strong><br />

3088 » 3000 + 3% (<strong>von</strong> 3000)<br />

5254 » 5000 + 5% (<strong>von</strong> 5000)<br />

3088 ⋅ 5254 » 3000⋅5000 + 8% (<strong>von</strong> 15000000)<br />

= 16200000<br />

Bsp.: Ergebnisgleiche Produkte<br />

72 ⋅ 34 = 36 ⋅ 68<br />

Durch gegensinniges Verändern (Teilen<br />

und Vervielfachen) der beiden Faktoren<br />

entsteht immer ein Produkt mit gleichem<br />

Ergebnis.<br />

- 5 -