WahrscheinlichkeitsVerteilungen Kap. 5 - FB 4 Allgemein

Allgemein kann man bei Erhöhung der Anzahl der Versuchsdurchführungen feststellen, dass eine 

Stabilisierung der relativen Häufigkeiten eines Ereignisses A eintritt. Bei großem 

Stichprobenumfang (oder großer Anzahl von Versuchen) schwanken die relativen Häufigkeiten 

mehr oder minder stark um einen festen Zahlenwert. 

Den festen Zahlenwert, um den die relativen Häufigkeiten schwanken, nennt man die 

Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A. Die Wahrscheinlichkeit P(A) kann als ein Schätzwert 

für die relative Häufigkeit verwendet werden. 

Den Stabilisierungseffekt nennt man auch das Gesetz der großen Zahlen. Dieser 

Stabilisierungseffekt tritt nur unter den Bedingungen ein, 

a) dass der Versuch jedes Mal unter derselben Bedingung durchgeführt wird. 

b) dass die einzelnen Versuche keinen Einfluss auf die Ergebnisse nachfolgender Versuche 

haben. 

! 

Ein Häufgikeitspolygon ist ein Liniendiagram, bei dem die Klassenmitten auf den Spitzen der 

Rechtecke im Histogramm mit einander verbunden werden. Der Inhalt der Fläche unter dem 

Polygon ist gleich dem der Rechtecke des Histograms. 

Das Diagramm, das die relativen kumulierten Häufigkeiten für klassierten Häufigkeiten darstellt, 

wird kumulatives relatives Häufigkeitspolygon, Summenkurve oder Empirische 

Verteilungsfunktion der klassierten Häufigkeitsverteilungen genannt. 

" 

Aus der folgende Liste für die Wochenlöhne in $ von 10 Angestellten der Firma P&R wurde eine 

Tabelle der klassierten Häufigkeiten erstellt. 

{ 241,5 ; 244 ; 244 ; 248 ; 248 ; 250,4 ; 251 ; 254,1 ; 255 ; 256,2 } 

# Erstellen Sie eine Tabelle der Häufigkeiten, ein Histogramm der Klassendichten der relativen 

Häufigkeiten, ein Polygon sowie die Empirische Verteilungsfunktion. 

# Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Löhne weniger als 248 [$] sind? 

$% & 

# M = 5 ; N = 10 

Spannweite: 256,2 – 241 = 15,2 260 – 240 = 20 

j Wochenlohn Klassen Klassen Abs. Rel. 

Klasse: -Breite: -Mitte: Häufig. Häufigkeit: 

K j 

d j 

m j 

h j 

f j 

Klassen-Dichte 

der Rel. Häufig. 

f * j 

Kumulierte 

Rel. 

Häufig F j 

1 [ 240 ; 244 ) 4 242 1 1 / 10 = 0,1 0,1 / 4 = 0,025 0,1 

2 [ 244 ; 248 ) 4 246 2 0,2 0,05 0,3 

3 [ 248 ; 252 ) 4 250 4 0,4 0,1 0,7 

4 [ 252 ; 256 ) 4 254 2 0,2 0,05 0,9 

5 [ 256 ; 260 ) 4 258 1 0,1 0,025 1,0 

1

Häufigkeiten 

0,1 

0,075 

0,05 

0,025 

f * j 

Polygon 

Histogramm der 

Klassendichten der 

rel. Häufigkeiten 

238 242 246 250 254 258 262 

1 

0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

Empirische Verteilungsfunktion 

Kumulatives Relatives 

Häufigkeitspolygon 

# aus dem Histogramm: 

P ( X < 248 ) = f * 1 ⋅ d 1 + f * 2 ⋅ d 2 = 4 ⋅ 0,025 + 4 ⋅ 0,05 = 0,3 

Häufigkeiten 

F j 

240 244 248 252 256 260 

oder einfacher aus der Empirische Verteilungsfunktion (Kumulierte Relativen Häufigkeiten: 

P ( X < 248 ) = F 2 = 0,3 

'( # 

Wählt man aus einer Grundgesamtheit eine Stichprobe mit sehr großem Umfang, so sind viele 

Beobachtungen vorhanden. Somit ist es theoretisch möglich die Klassenintervalle sehr klein zu 

wählen und trotzdem eine erfassbare Anzahl von Beobachtungen in jeder Klasse zu erhalten. 

Folglich kann das relative Häufigkeitspolygon durch ein geglättetes Häufigkeitspolygon oder 

auch Häufigkeitskurve genannt ersetzt werden. 

In ähnlicher Weise erhält man geglättete kumulative relative Häufigkeitspolygone (geglättete 

Summenkurven). Im Allgemeinen ist es leichter, ein kumulatives relatives Häufigkeitspolygon 

(eine Summenkurve) zu glätten. 

In der Praxis nehmen Häufigkeitskurven gewisse Formen an, wie Parabeln, symmetrische oder 

unsymmetrische Gaußsche Glockenkurve oder Graphen von Exponentialfunktionen. Mit Hilfe der 

Methoden der Interpolation können anschließend Funktionsgleichungen für diese Kurven erstellt 

werden. 

) * 

Definition 1) Zufallsvariable 

Die Zufallsvariable X ist eine Funktion, die jedem ElementarErEigniss aus der Ergebnismenge 

eines Zufallsexperimentes genau eine Zahl zuordnet. 

Die Zufallsvariable heißt diskret, wenn sie endlich viele oder abzählbar unendlich viele reelle 

Werte annehmen kann. 

Die Zufallsvariable heißt stetig, wenn sie jeden beliebigen reellen Wert in einem endlichen 

oder unendlichen Intervall annehmen kann. 

" + & 

X : Zufallsvariable (Funktion) mit großen Buchstaben. 

x k : Werte, die die Zufallsvariable annimmt, mit kleinen Buchstaben. 

X = x k ; mit k = 1 ; 2 ; . . . 

2

" 

Folgende Zufallsvariable ist gegeben: 

X : „Ereichte Augenzahl beim Wurf eines homogenen Würfels“ 

Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten, für das Eintreten der jeweiligen Augenzahlen an. 

$% & 

P ( X = x 1 ) = P ( X = 1 ) = 1/6 ; P ( X = x 2 ) = P ( X = 2 ) = 1/6 ; 

P ( X = x 3 ) = P ( X = 3 ) = 1/6 ; P ( X = x 4 ) = P ( X = 4 ) = 1/6 ; 

P ( X = x 5 ) = P ( X = 5 ) = 1/6 ; P ( X = x 6 ) = P ( X = 6 ) = 1/6 . 

) * 

Definition 2) Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariable 

Sei X eine diskrete Zufallsvariable mit den Werten x 1 , x 2 , . . . . 

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariable X kann wie folgt durch die 

Wahrscheinlichkeitsfunktion f (x ) beschrieben werden. 

f (x k ) = p k = P ( X = x k ) 

Dabei ist p k die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X den Wert x k annimmt. 

Die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariable X ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die 

Zufallsvariable X einen Wert annimmt, der kleiner oder gleich einer vorgegebenen reellen Zahl x 

ist. 

F 

( x ) = P ( X ≤ x ) = f ( x ) 

x k 

Bemerkung: 

Die Wahrscheinlichkeiten f (x k ) = p k haben eine Analogie zu den relativen Häufigkeiten f j 

Die Verteilungsfunktion F (x ) hat eine Analogie zu den kumulierten relativen Häufigkeiten F j 

Eigenschaften der Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsvariable 

Sei X eine diskrete Zufallsvariable mit den Werten x 1 , x 2 , . . . ., so besitzt die 

Wahrscheinlichkeitsfunktion folgende Eigenschaft: 

k 

( x ) = 1 

f , mit f (x k) 0 

k 

Bemerkung: 

Die Ereignisse X = x k bilden eine disjunkte Zerlegung von und wegen P ( ) = 1 gilt: 

1 

= 

P 

( Ω ) = f ( x ) 

k 

p k 

k 

≤ 

x 

k 

3

" ) 

Folgende Zufallsvariable ist gegeben: 

X : „Ereichte Augenzahl , beim Wurf eines homogenen Würfels“ 

Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X graphisch dar. 

X = x k = k 1 2 3 4 5 6 

P (X = x k ) = P (X = k ) = f ( k ) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 

F ( x k ) = F ( k ) 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 6/6 

Stabdiagramm der Wahrscheinlichkeitsfunktion 

f ( xk ) 

1 / 6 

0,15 

0,10 

0,05 

0 

0 1 2 3 4 5 6 

Augenzahl 

x k 

F ( x k ) k ) 

) * 

1 

2 / 6 

1 / 6 

Definition 3) Dichtefunktion und Wahrscheinlichkeitsdichte 

Verteilungsfunktion 

– 1 0 1 2 3 4 5 6 xk Augenzahl 

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer stetigen Zufallsvariable X lässt sich durch die 

Dichtefunktion oder Wahrscheinlichkeitsdichte f (x) oder durch die dazugehörige 

Verteilungsfunktion: 

F 

beschreiben. 

( x ) = P ( X ≤ x ) = f ( u ) du 

Die Dichtefunktion erfüllt folgende Eigenschaften: 

f (x) 0 

f ist stetig bis auf endliche Punkte 

− 

∞ 

∞ 

f 

( x ) dx = 1 

− 

x 

∞ 

x k 

4

" , 

Die Lebensdauer T (in Jahren) eines bestimmten elektronischen Bauteils sei eine 

exponentialverteilte Zufallsgröße mit der Dichtefunktion: 

f 

( t ) 

= 

0 

0 , 1 e 

für 

≤ 

0 

− 0 , 1t 

für t > 0 

t 

# Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von T graphisch dar. 

# Wie groß ist der Anteil an Bauelemente, deren Lebensdauer den Wert t = 10 Jahren 

überschreitet? 

$% & 

# Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist 

F 

( t ) = f ( u ) 

t 

d u 

= 

t 

− 

∞ 

0 d u 

− ∞ 

− 0 , 1 u 

0 , 1 e du für t > 0 1 − e für t > 0 

0 

0 

Dichtefunktion Verteilungsfunktion 

P 

f ( t ) 

t 

# Die Zufallsvariable ist: T. Die Wahrscheinlichkeit für alle Zeiten unterhalb von t = 10 Jahren 

lässt sich berechnen durch: 

( T ≤ 10 ) = F ( 10 ) = f ( t ) 

= 

− 

0 

10 

∞ 

+ 

d t 

0 , 1 ⋅ 

= 

e 

− 

0 

∞ 

( − 0 , 1 ) 

für 

0 ⋅ d t 

− 0 , 1 t 

oder einfacher mit der Verteilungsfunktion F ( t ) 

P 

− 0 , 1⋅ 

10 

( T ≤ 10 ) = F ( 10 ) = 1 − e = 0 , 632 

t 

F ( t ) 

+ 

10 

0 

10 

0 

= 

≤ 

0 

0 , 1e 

= 

0 

− 0 , 1 t ⋅ d t 

− 

0 , 1t 

für 

[ − 1 ( − e ) − ( − 1 ) ] = 0 , 632 

t 

t 

≤ 

0 

5

Für die Gesamtwahrscheinlichkeit der Dichtefunktion gilt: f ( t ) dt = 1 

Folglich ist die Wahrscheinlichkeit für alle Zeiten oberhalb von t = 10 Jahren: 

P 

∞ 

− ∞ 

( T > 10 ) = 1 − [ P ( T ≤ 10 ) ] = 1 − 0 , 632 = 0 , 368 

Also rund 36,8% der Bauteile sind nach t = 10 Jahren noch funktionsfähig. 

f ( t ) 

F ( 10 ) = P ( T 10 ) 

P ( T > 10 ) 

, - . . ' / . # 

Führt man ein Zufallsexperiment sehr oft durch (N ∞) , so nähern sich die relativen 

Häufigkeiten fk für die jeweiligen Werte xk den jeweiligen Werten der 

Wahrscheinlichkeitsfunktion f (xk) = pk an. 

Definition 4) Erwartungswert einer Zufallsvariable 

Der Erwartungswert E( X ) einer Zufallsvariable X ist: 

( x ) 

µµµµ = x ⋅ f , falls X diskret ist. 

k 

k 

p k 

k 

Dabei ist p k = f ( x k ) die Wahrscheinlichkeitsfunktion der diskreten Zufallsvariable. 

∞ 

( x ) dx 

µµµµ = x ⋅ f , falls X stetig ist. 

− ∞ 

Dabei ist f ( x ) die Dichtefunktion der stetigen Zufallsvariable. 

t 

6

" 

Folgende Zufallsvariable ist für das Zufallsexperiment „Wurf eines homogenen Würfels“ gegeben: 

X : Ereichte Augenzahl beim einmaligem Wurf eines Würfels 

Bestimmen Sie den Erwartungswert für diese Zufallsvariable des Zufallsexperiments. 

$% & 

Die Zufallsvariable X kann die Werte x k = k = 1 ; 2 ; . . . ; 6 annehmen 

µµµµ 

= 

k 

x 

k 

⋅ 

f 

p k 

6 

6 

( x ) == 

k ⋅ f ( k ) = 1 ⋅ + 2 ⋅ + + 6 ⋅ = 3 , 5 

k 

k = 1 

k = 1 

" 0 


exponentialverteilt Zufallsgröße mit der Dichtefunktion: 

f ( t ) 

Berechnen Sie die mittlere Lebensdauer des Bauteils. 

$% & 

µµµµ = 

∞ 

− ∞ 

= 0, 

1⋅ 

t ⋅ f 

( t ) 

t 

lim 

d t 

→ ∞ 

= 

0 

0 

− ∞ 

t ⋅ 0 ⋅ dt 

− 0, 

1t 

− 1 

⋅ e 2 

0, 

1 

+ 

− 0, 

1t 

0 

− 

t 

t ⋅ 0, 

1e 

1 

6 

− 0, 

1t 

dt 

= 

− 0, 

1 ⋅ 0 − 1 

⋅ e 

2 

0, 

1 

Also beträgt die mittlere Lebensdauer des Bauteils 10 Jahre. 

∞ 

f 

( t ) 

= 

1 

6 

0, 

1 ⋅ 

− 0, 

1⋅ 

0 

1 

0 

0 , 

1 e 

− 0, 

1t 

0, 

1 

= 

1 

6 

− 0 , 1t 

für t > 0 

2 

− 1 

⋅ e 

1 

0, 

1⋅ 

0, 

1 

für 

2 

t 

− 0, 

1t 

≤ 

∞ 

0 

0 

= 10 [ Jahre] 

7

, 1 + . 

Varianz der Stichprobe für Stichproben mit sehr großem Umfang 

Ist die Anzahl der Wiederholungen eines Zufallsexperiments (die Anzahl der Elemente einer 

Stichprobe) sehr groß (N ∞) so kann die Varianz mit Hilfe von absoluten bzw. relativen 

Häufigkeiten wie folgt berechnet werden. 

s 

2 

= 

= 

M 

k 

M 

k 

f 

h 

k 

k 

⋅ 

⋅ 

N 

2 

( x − x ) Sehr große N h ⋅ ( x − x ) 

− 

( x − x ) 

k 

k 

1 

2 

=== 

=== 

Dabei gibt M die Anzahl der verschiedenen Merkmalausprägungen. 

Führt man ein Zufallsexperiment sehr oft durch (N ∞) , so nähern sich die relativen 

Häufigkeiten f k für die jeweiligen Werte k den jeweiligen Werten der 

Wahrscheinlichkeitsfunktion f (k) = f (xk) = pk an. 

Definition 5) Varianz ² und Standardabweichung einer Zufallsvariable 

Die Varianz VAR( X ) einer Zufallsvariable X ist: 

p k 

M 

( ) ( ) 2 

x ⋅ x 

2 = k k µµµµ 

k 

k 

σσσσ f − , falls X diskret ist. 

k 

N 

k 

2 

= 

M 

k 

h 

N 

k 

⋅ 

( x − x ) 

Dabei sind p k = f ( x k ) die Wahrscheinlichkeitsfunktion und der Erwartungswert der 

diskreten Zufallsvariable. 

∞ 

2 2 

σσσσ = f ( x ) ⋅ ( x − µµµµ ) dx 

− 

∞ 

, falls X stetig ist. 

Dabei sind f ( x ) die Dichtefunktion und der Erwartungswert der stetigen Zufallsvariable. 

Die Standardabweichung ist: σσσσ = 

2 

σσσσ 

Bemerkung: 

Die Varianz für diskrete bzw. stetige Zufallsvariablen kann auch mit der bequemeren Formel 

berechnet werden. 

2 

2 

( x ) ⋅ x 

2 

= 

k 

µµµµ 

k 

k 

σσσσ f − , falls X diskret ist. 

∞ 

2 2 

2 

σσσσ = ( x ) ⋅ x dx − µµµµ 

− 

∞ 

f , falls X stetig ist. 

k 

2 

8

" 2 

Folgende Zufallsvariable ist für das Zufallsexperiment „Wurf eines homogenen Würfels“ gegeben: 

X : Ereichte Augenzahl beim einmaligem Wurf eines Würfels 

Berechnen Sie die Varianz für diese Zufallsvariable des Zufallsexperiments. 

$% & 

Die Zufallsvariable X kann die Werte x k = k = 1 ; 2 ; . . . ; 6 annehmen. 

Im Beispiel 5 ergab sich für den Erwartungswert: µµµµ = 3,5 .Somit ergibt sich für die Varianz: 

σσσσ 

2 

= 

= 

k 

1 

⋅ 

6 

2 

( x ) ⋅ ( x − ) == 

== f ( k ) ⋅ ( k − 3 , 5 ) 

f µµµµ 

k 

k 

1 

2 

2 

2 

( 1− 

3 , 5 ) + ⋅ ( 2 − 3 , 5 ) + + ⋅ ( 6 − 3 , 5 ) = 2 , 916 

6 

k = 1 

6 

k = 1 

Man kann die Varianz auch mit Hilfe der bequemeren Formel ausrechnen. 

σσσσ 

2 

= 

6 

k = 1 

f 

1 

2 

2 

2 

2 

2 

( k ) ⋅ k − 3 , 5 = ⋅ 1 + + ⋅ 6 − 3 , 5 = 2 , 916 

" 3 


exponentialverteilte Zufallsgröße mit der Dichtefunktion: 

f 

( t ) 

= 

0 

0 , 1 e 

, 

t 

für 

≤ 

0 

− 0 1 für t > 0 

t 

6 

Die mittlere Lebensdauer dieses Bauteils beträgt 10 Jahre (s. Bsp. 6). Berechnen Sie die 

Standardabweichung für die Lebensdauer des Bauteils. 

$% & 

σσσσ 

∞ 

0 

∞ 

2 = f 

= 

− 

∞ 

2 

2 

− 0 , 1t 

2 

( t ) ⋅ ( t − µµµµ ) d t == 

0 ⋅ ( t − 10 ) dt + 0 , 1e 

⋅ ( t − 10 ) dt 100 

µµµµ = 10 − 

Also beträgt die Standardabweichung: = 10 [Jahre] 

Man kann die Varianz auch mit Hilfe der bequemeren Formel ausrechnen. 

0 

∞ 

2 2 

− 0 , 1t 

0 , 1e 

2 10 

σσσσ = 0 ⋅ t ⋅ dt + 

⋅ t ⋅ dt − = 100 

− 

∞ 

= 10 [Jahre] 

0 

∞ 

1 

6 

1 

6 

0 

2 

2 

9

WahrscheinlichkeitsVerteilungen Kap. 5 - FB 4 Allgemein

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