Codierung

Datenverarbeitung I 

d=3 

Kanal Störung 

Codierung 

Code 

c = [1101] c(x) = x 3 + x 2 + 1 


Kanalcodierung 

1001111100100011100 

parity 

Vorlesung Datenverarbeitung 1 WS 2005/2006 Dr.-Ing. Stefan Freinatis 

Vorschrift für die eindeutige Zuordnung von Zeichen 

eines Zeichenvorrats (Alphabet I) zu den Zeichen 

eines anderen Zeichenvorrates (Alphabet II). 

Beispiel Morsecode: Alphabet I Alphabet II 

a 

b 

c 

... ... 

Vorlesung Datenverarbeitung 1 WS 2005/2006 Dr.-Ing. Stefan Freinatis


Beispiel ASCII: Alphabet I 

... 

Alphabet II 

... 

97 a 

Alphabet I Alphabet II 

1 

2 

3 

... 


001 

010 

011 

... 

98 

99 

... 

b 

c 

... 

Beispiel Binärcode 

8421-Code, 3 Bit 


Aufgabe der Codierung ist die Darstellung von Daten 

in eine für den jeweiligen Zweck geeignete Form. 

Zwecke können sein: 

• Repräsentation von Daten 

ggf. mit möglichst geringer Anzahl von Zeichen (Komprimierung) 

• Verarbeitung von Daten 

z.B. Digitalrechner, Bildverarbeitung, ..., ggf. mit Fehlerkorrektur. 

• Verschlüsselung von Daten 

• Übertragen von Daten 

Anpassung an Übertragungsweg, ggf. mit Sicherung 



Codierungsarten 

Unterscheidung nach Aufgabengebiet 

• Quellencodierung (source coding) 

Reduktion von Redundanz (Datenkompression), z.B. *.zip. 

Reduktion von Irrelevanz (Datenreduktion), z.B. MP3 (Musik, Sprache). 

• Kanalcodierung (channel coding) 

Gezieltes Einbringen von Redundanz zur Fehlersicherung (Fehlererkennung 

oder Fehlerkorrektur), z.B. Hamming-Code, CRC. 

• Leitungscodierung (line coding) 

Anpassung der Daten an die physikalischen Eigenschaften des 

Übertragungsweges (Kabel, Funk, Lichtwellen, Infrarot, ...). 

Beispiel: Leitungscodes (NRZ, ... ) oder Modulationsarten (QAM, ...). 



Datenübertragung (Nachrichtenübertragung) 

Quelle 

Senke 

Quellencodierung 

Sender 

Empfänger 

Quellendecodierung 


Kanaldecodierung 

Leitungscodierung 

Kanal 

Leitungsdecodierung 


Störung



Sicherung der Daten gegen Fehler (Störungen). Fehler sollen möglichst 

erkennbar sein, oder sogar korrigierbar. 

Grundprinzip jeder Fehlersicherung 

Hinzufügen von Redundanz zur ‚Nutzlast (payload)‘ 

Aufgabe der Kanalcodierung 

Nutzlast 

Bildung einer Gesamtmenge von Codeworten. Aufteilung dieser 

Menge in zugelassene und nicht-zugelassene Codeworte. 

zugelassene 

Codeworte 


Fehler 

nicht-zugelassene 

Codeworte 


Unter Fehler verstehen wir ein oder mehrere verfälschte 

Bits in einem Codewort (oder Datenwort). Ursache sind 

Störungen irgendwelcher Art auf dem Weg vom Sender 

zum Empfänger. 

„Anzahl Fehler“ in einem Codewort = Anzahl verfälschter 

(umgekippter) Bits in dem Codewort. 

Gesendet: 1011 

Empfangen: 1101 

2 Fehler 


Redundanz


Sicherung durch Paritätsbit 

Jedem Datenwort wird ein zusätzliches Bit zugefügt (das 

Paritätsbit), so dass das neue Codewort vereinbarungsgemäß 

entweder 

• gerade Parität 

• oder ungerade Parität hat. 

Parität: „Ist die Anzahl Einsen in einem Codewort 

eine gerade Zahl oder eine ungerade?“ 

Beispiele: 


00: Parität ist gerade (even parity) 

01011: Parität ist ungerade (odd parity) 


Sichern Sie die 4 Datenworte (Nutzlast) durch Anfügen eines 

Paritätsbits auf gerade Parität. 

Nutzlast: 

00 

01 

10 

11 

Neue Codeworte: 

000 

011 

101 

110 

Wie lautet die Menge der gültigen (zugelassenen) Codeworte, wie 

lautet die Menge der ungültigen (nicht-zugelassenen) Codeworte? 

Gültige Codeworte: {000, 011, 101, 110} 

Ungültige Codeworte: {001, 010, 100, 111} 

Paritätsbits 


Grundbegriffe Codierung 

Codewort 

Binärwort zur gesicherten Übertragung. Besteht aus Informationsbits 

(Nutzlast) und zugefügter Redundanz (Prüfbits). 

c Ein beliebiges Codewort, [c n-1 , ... , c o ] 

n Anzahl Bits des Codewortes (Codewortlänge) 

k Anzahl Informationsbits 

n-k Anzahl Prüfbits 

Codewort enthält Informationswort u und Prüfwort p. 

Informationswort und Prüfwort m üssen nicht unbedingt ‚hintereinander‘ 

angeordnet sein, sie können auch ineinander verzahnt sein. 



Code 

Ein Code ist eine Menge bestimmter Codeworte. Die 

Menge umfasst die „zugelassenen (gültigen)“ Codeworte. 

Man spricht bei den nicht-zugelassenen Codeworten ebenfalls von „Codeworten“. 

zugelassene 

Codeworte 

Code 

nicht-zugelassene 

Codeworte 

Blockcode 

Ein (n,k)–Blockcode C ist ein Code bestehend aus n-stelligen 

Codeworten. Alle Codeworte in C haben k Informationsbits. 

Anzahl Worte: N = 2 n . Anzahl gültige Codeworte: K = 2 k . 



Gewicht (weight) 

Gewicht = Anzahl „Einsen“ im Codewort. 

w 

∑ − 

= 

= 

1 n 

ci 

i 0 

Beispiel: w(1011) = 3 

Hamming-Abstand (Hamming distance) 

Anzahl Stellen (Bitpositionen), in denen sich zwei Codeworte 

x und y voneinander unterscheiden. 

d ( x, y) 

= w( 

x ⊕ y) 

⊕ = XOR (bitweise) 



Mindest Hamming-Abstand 

Der kleinste festgestellte Hammingabstand zwischen den 

Codeworten eines Codes C. 

d min = min( d( 

ci, 

c j ) | ci 

, c j ∈ C, 

i ≠ 

j) 

Idealerweise haben alle Codeworte eines Codes untereinander 

den gleichen Hammingabstand. 



Fehlererkennung 

Das Auftreten eines Fehlers kann erkannt werden, wenn 

das empfangene Codewort ein ungültiges Codewort ist. 

⇒ Für eine Fehlererkennung muss der Mindest-Hammingabstand 

zwischen den Codeworten (den gültigen) mindestens 2 sein, 

um „Platz“ für ungültige Codeworte zu schaffen. 


Fehlerkorrektur 

d=2 

= gültiges Codewort 

= ungültiges Codewort 


Ein Fehler kann korrigiert werden, wenn bekannt ist, 

welches Bit fehlerhaft ist. 

⇒ Für eine Fehlerkorrektur muss das ungültige Codewort eindeutig 

einem gültigen Codewort zugeordnet werden können. 

Der Mindest-Hammingabstand muss mindestens 3 sein. 

d=3 





Anzahl erkennbarer Fehler 

F e 

= d min −1 

Anzahl korrigierbarer Fehler 

F k 

F k 

min −1 

= 

2 

d 

d 

= 

2 

min − 

1 


für d (Hammingabstand) ungerade 

für d (Hammingabstand) gerade 


Darstellung Code im Coderaum 

Hier: n = 3, k = 2 

100 

110 

000 

111 

010 

101 

Hammingabstand d = 2 

Ein Einzelfehler kann erkannt werden. 

001 

011 





Darstellung Code im Coderaum 

Hier: n = 3, k = 1 

100 

110 

000 

111 


Korrigierkugel 

010 

101 

Hammingabstand d = 3 

Ein Einzelfehler kann korrigiert werden, 

ein Doppelfehler kann erkannt werden. 

001 

011 




Die Korrigierkugel um ein gültiges Codewort c i enthält alle ungültigen 

Codeworte, die ‚näher‘ (Hammingabstand) an c i liegen als an jedem 

anderen gültigen Codewort. 000 

Die Korrigierkugel um 000 

enthält 100, 010 und 001. 

Die Korrigierkugel um 111 

enthält 110, 101 und 011. 

100 

110 

111 

010 

101 

001 

011 



Eine Korrigierkugel sollte sich nicht mit anderen Korrigierkugeln über- 

schneiden. Sie umschließt unter dieser Bedingung Z Codeworte eines 

n-stelligen Codes mit der Fehlererkennung F k . 

Anzahl Codeworte pro Kugel: 

1 

0 = 

⎛n⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ ⎠ 

Das gültige Codewort (Zentrum der Kugel) 

⎛n 

⎞ 

⎜ ⎟ = n 

⎝1⎠ 

Die Nachbarkugeln mit d = 1 zum Zentrum 

... usw. 


Perfekter Code 

Z 

= K F 

∑ 

i = 0 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

n 

i 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

100 

110 

000 

111 

010 

101 


Ein Code heißt dichtgepackt oder perfekt wenn alle N=2 n Worte 

von den Korrigierkugeln ohne Überschneidung erfasst werden. 

Dann ist: 

k 

2 = 

2 

Z 

n 

bzw. 

Z 

F 

K 

= ∑ 

i = 0 

⎛n⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ i ⎠ 

n− 

k 

Die Gleichung beschreibt die so genannte Hammingschranke für 

perfekte Codes. Sie gibt an, wieviel Kontrollbits n-k für eine 

Fehlerkorrektur F k mindestens aufgewendet werden müssen 


= 

2 

001 

011


Hammingschranke 

Bei einem nicht-perfekten Code gilt allgemein: 

Z 

F 

K 

= ∑ 

i= 

0 

⎛n⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ i ⎠ 

≤ 

ld(x) = logarithmus dualis 

2 

n−k 

bzw. 

ld ( Z ) ≤ n − k 

log( x) 

ln( x) 

ld ( x) 

= = 

log( 2) 

ln( 2) 


Hammingcode Codierung 

(7, 4)-Hammingcode 

n = 7 (Anzahl Bits gesamt) 

k = 4 (Anzahl Informationsbits) 

⇒ n-k = 3 (Anzahl Prüfbits) 

Die drei Prüfbits sind Paritätsbits. Sie befinden sich an den 

Positionen 2 i , also hier 1, 2, 4. D = Informationsbit, C = Prüfbit. 

Position 

Bedeutung 

7 

111 

D4 

6 

110 

D3 

5 

101 

D2 

Achtung! Positionen werden ab 1 gezählt, nicht ab 0. The least significant bit is at position 1. 

4 

100 

C3 

3 

011 

D1 

2 

010 

C2 

1 

001 

C1 


Beispiel 1


Prüfschema (Codierung / Encoding) 

Die Prüfbits ergänzen zu gerader Parität. 

C1: sorgt für gerade Parität über Bits an Positionen xx1 (binär), 

also Bits 1, 3, 5, 7. Codierschema: C1 = Bit 3 ⊕ Bit 5 ⊕ Bit 7. 

C1 prüft also D1, D2, D4 und sich selber 

C2: sorgt für gerade Parität über Bits an Positionen x1x (binär), 



C3: sorgt für gerade Parität über Bits an Positionen 1xx (binär), 





Codierung (Encoding) 

Beispielhafte Nutzlast: u = 

Position 

Bedeutung 

Codewort 

7 

111 

D4 

0 

6 

110 

D3 

D4 

0 

D3 

1 

D2 

0 

C3 = Bit 5 ⊕ Bit 6 ⊕ Bit 7 = 0 ⊕1 ⊕0 = 1 

1 

5 

101 

D2 

0 

4 

100 

C3 

C1 = Bit 3 ⊕ Bit 5 ⊕ Bit 7 = 1 ⊕0 ⊕0 = 1 

C2 = Bit 3 ⊕ Bit 6 ⊕ Bit 7 = 1 ⊕1 ⊕0 = 0 

1 

3 

011 

D1 

D1 

1 


1 

2 

010 

C2 

0 

1 

001 

C1 

1


Decodierung (Decoding) 

Empfangenes Wort: 0101101 

Position 

Bedeutung 

Codewort 

7 

111 

D4 

0 

6 

110 

D3 

1 

5 

101 

D2 

C3‘ = Bit 4 ⊕ Bit 5 ⊕ Bit 6 ⊕ Bit 7 = 1 ⊕0 ⊕1 ⊕0 = 0 

0 

4 

100 

C3 

1 

3 

011 

D1 


1 

2 

010 

C2 





Empfangenes Wort: 0001101 

Position 

Bedeutung 

Codewort 

7 

111 

D4 

0 

6 

110 

D3 

0 

5 

101 

D2 


0 

4 

100 

C3 

1 

3 

011 

D1 

0 

1 

001 

C1 

1 

Syndromvektor 


1 

2 

010 

C2 



0 

1 

001 

C1 

1 

Syndromvektor 

000 = Everything is ok 

110 = 6 decimal = Bit 6 is wrong! (single fault 

assumption)


Syndromvektor 

Der Syndromvektor C3‘C2‘C1‘ gibt die Position des 

verfälschten Bits an. 

Position 000 = kein Fehler 

Syndromvektor 

C1‘ = Bit 1 ⊕ Bit 3 ⊕ Bit 5 ⊕ Bit 7 



Aber Vorsicht, das gilt nur bei Einzelfehlerannahme! Bei 

einem Doppelfehler ‚irrt‘ der Syndromvektor. 




Empfangenes Wort: 0001100 (gesendet wurde 0101101) 

Position 

Bedeutung 

Codewort 

7 

111 

D4 

0 

6 

110 

D3 

0 

5 

101 

D2 


0 

4 

100 

C3 

1 

3 

011 

D1 


1 

2 

010 

C2 



0 

1 

001 

C1 

0 

Syndromvektor 

Syndrom vector is ‚in error‘. Claims bit 7 to be 

faulty, but it was bit 6 and bit 1 (double fault)


Eigenschaften des (7,4)-Hammingcodes 

• Hammingdistanz d min = 3 

d =3 

min 

• Anzahl erkennbarer Fehler: 2 

• Anzahl korrigierbarer Fehler: 1 

• Ist ein systematischer Code (ist zudem perfekt) 

Quellwort und Pr üfwort sind systematisch innerhalb des Codewortes angeordnet 

Aufpassen: Entweder kann 1 Fehler korrigiert werden oder es können bis zu 2 Fehler 

erkannt werden. Nicht beides gleichzeitig! Betriebsmodus des Empfängers entscheidet. 


Algebraische Strukturen Codierung 

Axiome für die „Gruppe“ (Group) 

• Die Summe von zwei Elementen a ⊕bist definiert und 

ergibt wieder ein Element der Gruppe. 

• Für die Summe gilt (a ⊕b)⊕c = a ⊕(b ⊕c). 

Assoziativität 

• Es existiert ein Null-Element für die Addition. Für jedes 

beliebige a gilt: a ⊕0=a. 

• Jedes Element a besitzt ein inverses Element für die 

Addition, so dass a ⊕a -1=0. 



Axiome für den „Ring“ (Ring) 

Es gelten die Axiome der Gruppe. Zus ätzlich gilt: 

• Die Summe ist kommutativ: a ⊕b = b ⊕a 

• Das Produkt zweier Elemente a ⊗bist definiert und 

ergibt wieder ein Element der Gruppe. 

• Für das Produkt gilt (a ⊗b)⊗c = a ⊗(b ⊗c). 

Assoziativität 

• Ferner gilt: a ⊗(b ⊕c) = (a ⊗b) ⊕(a ⊗c). 

Distributivität 



Axiome für den „Körper“ (Feld) (field) 

Es gelten die Axiome des Rings. Zusätzlich gilt: 

• Das Produkt ist kommutativ: a ⊗b = b ⊗a 

• Es existiert ein Eins-Element für die Multiplikation. Für 

jedes beliebige a gilt: a ⊗1=a. 

• Jedes Element a ≠0 besitzt ein inverses Element für 

die Multiplikation, so dass a ⊗a -1=1. 

Eine Menge M = {0, 1, ... K-1} stellt in Verbindung mit der Modulo-K-Rechnung 

einen Körper dar, wenn K eine Primzahl ist. Dieser Körper heißt auch Galois - 

Feld (GF). Wenn M = {0, 1} GF(2). Wir arbeiten hier mit GF(2), Binärcodes. 



Galois-Feld GF(2) = {0, 1} 

• Addition 

⊕ 0 1 

0 0 1 

1 1 0 

Es gibt keinen Übertrag (no carry) 

• Null-Element der Addition: 0 

• Inverses Element der Addition: Jedes Element ist zu 

sich selbst invers: 1+1=0, 0+0=0. 

Die „Addition“ in GF(2) entspricht 

dem logischen XOR. 



Galois-Feld GF(2) = {0, 1} 

• Produkt 

⊗ 0 1 

0 0 0 

1 0 1 

• Eins-Element der Multiplikation: 1 

Das „Produkt“ in GF(2) entspricht 

dem logischen AND. 

• Inverses Element der Multiplikation: 1 

Das gilt natürlich nicht für die 0, siehe Körper. 


Codeklassen Codierung 

Blockcodes 

Gruppencodes 

(= Linearcodes) 

Zyklische Codes 

Systematisch 



Systematische Codes 

Systematisch 

Ein Code Blockcodes ist systematisch wenn sich die Informationsbits 

(Nutzlast) und die Prüfbits an festgelegten Positionen 

innerhalb des Codewortes befinden. Die Nutzlast kann 

dann einfach Gruppencodes ‚entnommen‘ werden. 

Bei nicht-systematischen Codes benötigt man eine 

Zuordnungstabelle „Nutzlast ↔ Codewort“. 


Blockcode 

Ein (n,k)–Blockcode ist ein Code bestehend aus n-stelligen 

Codeworten. Alle Codeworte haben k Informationsbits. 



Gruppencode 

Systematisch 

Ein Gruppencode Blockcodes erfüllt die Axiome einer algebraischen 

Gruppe. Die Linearkombination von Codeworten ergibt 

wieder ein Codewort. Wird auch Linearcode genannt. 

Gruppencodes 

In der Literatur findet man auch die Bezeichnung linearer Blockcode. 


Ein Gruppencode Zyklische ist Codes zyklisch wenn die zyklische Verschiebung 

(Rotation) jedes beliebigen Codewortes 

wieder ein Codewort ergibt. 


Gruppencode Codierung 

Beispiel für einen nicht-systematischen Code 

Hier ein nicht-systematischer Gruppencode 

Quellwort u Codewort c 

000 1110100 

001 0000000 

010 0100111 

011 1010011 

100 0011101 

101 0111010 

110 1001110 

111 1101001 

Der Code ist nicht systematisch. Man 

kann anhand des Codewortes nicht 

erkennen, welches Quellwort ‚dahinter 

steckt‘. 

Der Code ist linear. Die Addition zweier 

Codeworte ergibt wieder ein Codewort. 


Beispiel 2


Generatormatrix 

Ein (n, k)–Gruppencode kann durch eine k x n Generator- 

matrix G definiert werden. Die Zeilenvektoren von G 

heißen Generatorworte. Die Generatorworte sind linear 

unabhängig voneinander. 

Erzeugung eines Codewortes: c = u • G 

Mit u = Quellwort (k Bit) 

G = Generatormatrix (k x n) 

c = erzeugtes Codewort (n Bit) 



Beispiel Erzeugung eines Codewortes: c = u • G 

011 

u 

1101001 

1010011 

1110100 

G 

= 0100111 


c


Beispiel Erzeugung eines Codes: C = U • G 

000 

001 

010 

011 

100 

101 

110 

111 

U = Quellwortmatrix (2 k x k) 

1101001 

1010011 

1110100 

= 


0000000 

1110100 

1010011 

0100111 

1101001 

0011101 

0111010 

1001110 

Beispiel 3 

C = erzeugte Codewortmatrix (2 k x n) 



Der erzeugte Code ist linear. 

Die Addition zweier Codeworte 

ergibt wieder ein Codewort. 

Der erzeugte Code ist 

systematisch. 

Das mag auf den ersten Blick nicht 

erkennbar sein, ist aber so ☺. 

u = [u 2 u 1 u 0 ] 

c = [.. .. .. u 2 u 0 u 1 ..] 


000 0000000 

001 1110100 

010 1010011 

011 0100111 

100 1101001 

101 0011101 

110 0111010 

111 1001110 

u = [u 2 u 1 u 0 ] 



Anmerkung 

Die Definition eines systematischen Codes schreibt lediglich vor, dass 

sich die Quellwortbits immer an den gleichen festen Positionen innerhalb 

der Codeworte befinden. Bei einen systematischen Code kann man das 

Quellwort – bildlich gesprochen – aus dem Codewort ‚herausziehen‘. Wie 

Nutzlast und Prüfbits innerhalb des Codewortes angeordnet sind, spielt 

keine Rolle — Hauptsache, sie lassen sich systematisch trennen. 

Der Hammingcode aus Beispiel 1 ist ein systematischer Gruppencode. 

In der Literatur findet sich gelegentlich die Auffassung, dass bei einem 

systematischen Code Quellwort und Prüfwort je en bloc angeordnet sein 

sollen (und nicht gemischt). 

Diese en bloc-Anordnung werden wir hier als „klar-systematisch“ 

bezeichnen. 



Erzeugung eines klar-systematischen Gruppencodes 

Die Generatormatrix für einen systematischen Code besteht aus k Ein- 

heitsvektoren (Spaltenvektoren) und n-k Prüfvektoren (Spaltenvektoren). 

Durch die k Einheitsvektoren werden die Quellwortbits 1:1 in feste 

Positionen des Codewortes kopiert. 

Für einen klar-systematischen Code werden die k Einheitsvektoren zu 

einer Einheitsmatrix I zusammengefasst. Die Prüfstellenvektoren 

werden zu einer Prüfstellenmatrix P zusammengefasst. Nutzlast und 

Prüfbits werden dadurch nebeneinander (en bloc) angeordnet. 

Aufbau Generatormatrix: G = [ I P ] oder G = [ P I ]. 

Mit I = Einheitsmatrix (k x k) 

P = Prüfstellenmatrix (k x (n-k)) 




Beispiel: Erzeugung eines (7,4)-Hammingcodewortes 

Hier [I P] Schema 

u = Quellwort (1 x k) 

0101 

I = Einheitsmatrix (k x k) 

1000 111 

0100 110 

0010 101 

0001 011 


= 0101101 

Bei diesem Hammingcode sind die Prüfstellen en bloc hinter dem 

Informationswort angeordnet: c = [u p]. 

c = Codewort (1 x n) 

P = Prüfstellenmatrix (k x (n-k)) 



Decodierung eines klar-systematischen Gruppencodes 

Die Decodierung (genauer: die Kontrolle der Prüfbits) erfolgt mittels 

einer Prüfmatrix H: 

s = c • H T 

Mit s = Syndromvektor (1 x (n-k)) 

c = empfangenes (Code)wort (1 x n) 

H = Prüfmatrix ((n-k) x n) 

H T = Transponierte Prüfmatrix (n x (n-k)) 

Jedes gültige Codewort c erzeugt den Nullvektor s = 0. 

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Prüfmatrix 

Die Prüfmatrix H setzt sich zusammen aus der transponierten Prüf- 

stellenmatrix P T und einer Einheitsmatrix I n-k der Größe (n-k) x (n-k). 

Beispiel: 

G = [ I P ] = 

1000 111 

0100 110 

0010 101 

0001 011 

H = [ P T I n-k ] = 

H = [ P T I n-k ] 

1110 100 

1101 010 

1011 001 

H T = 

111 

110 

101 

011 

100 

010 

001 



Beispiel: Decodierung eines (7,4)-Hammingcodewortes 

c = empfangenes Wort (1 x n) 

0101101 

111 

110 

101 

011 

100 

010 

001 

= 000 

H T = Transponierte Prüfmatrix (n x (n-k)) 

s = Syndromvektor (1 x (n-k)) 



0101101 

111 

110 

101 

011 = 000 

100 

c =[u3u2u1u0 p2p1p0 ] 

010 

001 

s =[s2s1 s0 ] 

Fortsetzung Beispiel ... 

Paritätsprüfungsschema: 

s 2 = u 3 ⊕ u 2 ⊕u 1 ⊕ p 2 (definiert durch Spalte 1 von H T ) 





Beispiel: Decodierung eines (7,4)-Hammingcodewortes 

Hier fehlerhaftes (ungültiges) Codewort empfangen 

001101 0 

111 

110 

101 

011 

100 

010 

001 

= 110 

= 6 dezimal 

Bitte beachten: Der Syndromvektor zeigt auf das verfälschte Bit in der 

Zählweise „Niederwertigstes Bit an Position 1“ ! Er zeigt hier auf c 5 . 



Eigenschaften der Prüfmatrix H 

• H ist eine (n-k) x n Matrix 

• H T ist eine (n x (n-k)) Matrix 

• Ein gültiges Codewort erzeugt den Nullvektor: 

c • H T = 0 für c ∈ C. 

• Für ein ungültiges Codewort c ∉ C gilt: c • H T ≠ 0. 

• G und H T sind zueinander orthogonal. 



Eigenschaften eines Gruppencodes 

• Jedes Codewort ist eine Linearkombination von 

Generatorworten (Zeilen) der Generatormatrix G. 

• Der Code besteht aus allen Linearkombinationen 

der Generatorworte aus G. 

• Die Addition zweier Codeworte ergibt wieder 

ein Codewort. 

• Der Nullvektor ist immer im Code enthalten. 

• Ein Gruppencode kann systematisch oder 

nicht-systematisch sein. 


Polynome Codierung 

Polynomdarstellung von Codeworten 

Ein Codewort c (Vektor) kann durch ein Polynom c(x) dargestellt 

werden. Der Grad des Polynoms wird hier mit s bezeichnet. 

c = [c n-1, ... , c o ] 

c( 

x) 

= 

0 

i 

∑ci ⋅ x 

i = n−1 

Beispiele: c = [1101] c(x) = x 3 + x 2 + 1 s = 3 

c = [000] c(x) = 0 s = n.a. 

c = [010] c(x) = x s = 1 



Sei a(x) = x 3 + x 2 + 1, b(x) = x 2 + 1 

a(x) ⊕ b(x) = x3 + x2 + x2 + 1 + 1 

= x3 Addition 

a(x) ⊗ b(x) = x5 + x4 + x3 + x2 + x2 + 1 

= x5 + x4 + x3 Multiplikation 

+ 1 

a(x) ÷ b(x) 

Division 

⊕ 0 1 

0 0 1 

1 1 0 

⊗ 0 1 

0 

0 0 

1 0 1 

x 3 + x 2 + 1 ÷ x 2 + 1 = x + 1 

x 3 + x 

x 2 + x + 1 

x 2 + 1 

x (Rest) 



Irreduzibilität 

Ein Polynom ist irreduzibel (nicht spaltbar) wenn es sich nicht in 

Teilpolynome zerlegen lässt. Ähnlich wie bei Primzahlen ist ein 

irreduzibles Polynom nicht ohne Rest durch ein anderes Polynom 

teilbar. 

c(x) = x 3 + x + 1 ist irreduzibel 

c(x) = x 2 + x ist reduzibel = x · (x + 1) 

Alle Polynome, die keine 1 besitzen, sind auf jeden Fall reduzibel, weil sie 

durch x teilbar sind (x kann ausgeklammert werden). 



Periode 

Die Periode r eines Polynoms c(x) ist der kleinste Wert r für den 

gilt: Das Polynom x r + 1 ist ohne Rest durch c(x) teilbar. 

Bestimmung Periode: Mit r = s beginnen* und Division 

x r + 1 ÷ c(x) 

durchführen. Wenn ein Rest verbleibt: r = r + 1. Solange fortfahren bis 

Division ohne Rest. r gibt dann die Periode von c(x) an. 

Beispiel: Das Polynom x 3 + x + 1 hat die Periode r = 7, denn x 7 +1 ist 

ohne Rest durch x 3 + x + 1 teilbar: x 7 + 1 ÷ x 3 + x + 1 = x 4 + x 2 + x + 1. 

* Nur bei irreduziblen Polynomen, sonst mit r =1 beginnen. 



Primitivität 

Sei c(x) ein Polynom vom Grad s. Sei r die Periode des Polynoms. 

Das Polynom c(x) ist primitiv wenn gilt: 

2 s – 1 = r 

Man sagt auch, das Polynom sei ‚maximalperiodisch‘. Ein 

primitives Polynom ist immer auch irreduzibel. 

Beispiel: Das Polynom x 3 + x + 1 hat s = 3 und r = 7. 

Wegen 2 3 – 1 = 7 ist das Polynom primitiv. 



Polynombeispiele: 

c(x) = x 6 + x 3 + 1 

Irreduzibel. Grad s = 6. Periode r = 9. Nicht primitiv. 

c(x) = x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 

Irreduzibel. Grad s = 4. Periode r = 5. Nicht primitiv. 

c(x) = x 4 + x + 1 

Irreduzibel. Grad s = 4. Periode r = 15. Primitiv. 


Zyklische Codes Codierung 


Zur Erzeugung von zyklischen Codes werden Generator- 

polynome verwendet. 

Die verwendeten Generatorpolynome müssen primitiv sein. 

Zyklische Eigenschaft nämlich nur wenn r (Periode) = n (Codewortlänge) 

Für einen zyklischen (n, k)–Code benötigt man ein 

Generatorpolynom mit Grad s = n-k und Periode r = n. 

Prinzip der Fehlererkennung 

Das Codewort muss ohne Rest durch das Generatorpolynom 

teilbar sein. Fehlerkorrektur mit Hilfe einer Syndromtabelle. 



Zwei Verfahren zur Generierung zyklischer Codes 

• „Matrixmultiplikation“ 

Erzeugt in der Regel einen nicht -systematischen Code. 

• „Divisionsmethode“ 

Aufwendiger, erzeugt aber einen klar-systematischen Code. 

Für die folgenden Ausführungen wird dieses Generatorpolynom 

verwendet: 

Generatorpolynom: g(x) = x 3 + x + 1, s = 3, r = 7 

Wort: g = [1011] 



Nicht-systematische zyklische Codes 

Beispiel: Konstruktion eines zyklischen (7,4)–Gruppencodes 

n = 7, k = 4, n–k = 3 

Mit dem Wort g = [1011] wird eine k x n Generatormatrix mit 

Bandstruktur erzeugt. 

G = 

1011000 

0101100 0010110 0001011 

Erzeugung des Codes durch: C = U • G (siehe nächste Seite). 




Beispiel 4 

0000 0000000 

0001 0001011 

0010 0010110 

0011 0011101 

Der Code ist zyklisch. Die Rotation eines 

Codewortes ergibt wieder ein Codewort. 

0100 0101100 

0101 0100111 

0110 0111010 

0111 0110001 

1000 1011000 

Das heißt aber nicht, dass man nur durch 

Rotation eines beliebigen Codewortes alle 

anderen Codeworte erhält. 

1001 1010011 

1010 1001110 

1011 1000101 

Der Code ist linear (sowieso, weil Gruppencode). 

Der Code ist aber nicht systematisch. 

1100 1110100 

1101 1111111 

1110 1100010 

1111 1101001 

Jedes Codewort c(x) ist durch g(x) ohne 

Rest teilbar. 



Systematische zyklische Codes 

Hier Erzeugung eines Codewortes für Quellwort u =[0101] bzw. u(x) = x 2 + 1 

Schritt 1 

Das Quellpolynom u(x) wird mit x n-k multipliziert. Dadurch 

werden ‚hinten‘ n-k freie Stellen geschaffen. 

u´(x) = u(x) · x n-k = (x 2 + 1) · x 3 = x 5 + x 3 

u´ =[0101000] 

Die Multiplikation entspricht einer Verschiebung des Quell- 

wortes u um n-k Stellen nach links. An den niederwertigsten 

Positionen ist jetzt Platz für Prüfbits. 



Schritt 2 

Das Polynom u´(x) wird durch das Generatorpolynom g(x) 

dividiert. Das Restpolynom r(x) wird zu u´(x) addiert. Daraus 

entsteht das Codewort c(x). 

c(x) = u´(x) + r(x) 

x 5 + x 3 ÷ x 3 + x + 1 = x 2 

x 5 + x 3 + x 2 

x 2 = r(x) = Rest r =[100] 

⇒ c(x) = x 5 + x 3 + x 2 

c =[0101100] 



Beispiel 5 

Schritte 1 und 2 müssen jetzt für alle an- 

deren 15 Quellworte durchgeführt werden. 

Schließlich ergibt sich der Code wie 

nebenstehend gezeigt. 

Der Code ist systematisch. Die ersten 4 Bits 

von links entsprechen dem Quellwort u. 

c = [u 3 u 2 u 1 u 0 p 2 p 1 p 0 ] 

Die Codeworte sind identisch mit denen des nichtsystematischen 

Codes (Beispiel 4), jedoch ist die 

Zuordnung u ↔ c hier eine andere. 

Der Code ist selbstverständlich linear. Wieder gilt: Jedes 

Codewort c(x) ist durch g(x) ohne Rest teilbar. 

Decodierung 


0000 0000000 

0001 0001011 

0010 0010110 

0011 0011101 

0100 0100111 

0101 0101100 

0110 0110001 

0111 0111010 

1000 1000101 

1001 1001110 

1010 1010011 

1011 1011000 

1100 1100010 

1101 1101001 

1110 1110100 

1111 1111111 



Ob systematischer oder nicht-systematischer Code, das 

empfangene Codewort muss erst durch das Generatorpolynom 

dividiert werden. 

c(x) ÷ g(x) = q(x) + r(x) 

Für den Fall r(x) = 0 

• kann beim systematischen Code das Nutzwort einfach 

entnommen werden (Position innerhalb c(x) ist ja bekannt). 

• stellt beim nicht-systematischen Code der Quotient das 

Nutzwort dar. 

Für den Fall r(x) ≠ 0 Korrektur mittels Syndromtabelle. 



Beispiele Decodierung 

Hier systematischer Code aus Beispiel 5. Annahme: kein Fehler. 

Quellwort u = [1100] 

Codewort c = [1100010] 

x6 + x5 + x ÷ x3 + x + 1 = x3 + x2 x 

+ x 

6 + x4 + x3 x5 + x4 + x3 + x 

x5 + x3 + x2 x 4 + x 2 + x 

x 4 + x 2 + x 

0 = r(x) 

Der Quotient [1110] hat keine 

weitere Bedeutung. 

Rest = 0, Quellwort (Nutzlast) 

kann entnommen werden. 



Beispiele Decodierung 

Hier nicht-systematischer Code aus Beispiel 4. Annahme: kein Fehler 

Quellwort u = [1100] 

Codewort c = [1110100] 

x6 + x5 + x4 + x2 ÷ x3 + x + 1 = x3 + x2 x6 + x4 + x3 x5 + x3 + x2 x5 + x3 + x2 0 = r(x) 

Der Quotient [1100] hat eine 

Bedeutung. Es ist das Quellwort u! 

Rest = 0, der Quotient stellt die 

Nutzlast (das Quellwort) dar.

Codierung

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