Kapitel 1: Berechenbarkeitstheorie Gliederung 1 ...

Kapitel 1: Berechenbarkeitstheorie 

Gliederung 

1. Berechenbarkeitstheorie 

2. Grundlagen 

3. Grundlegende Ergebnisse aus der Komplexitätstheorie 

4. Die Komplexitätsklassen P und NP 

5. Die Komplexitätsklassen RP und BPP 

1.1. Turing-Maschinen und die Chursche These 

1.2. Entscheidbare und semi-entscheidbare Sprachen 

1.3. Ausblick: Grenzen formaler Methoden 

1/3, Folie 1 © 2009 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Komplexitätstheorie 


Zielstellung 

! eine interessante Sprache kennen lernen, die nicht semi-entscheidbar ist 

• hierzu ist ein wenig „auszuholen“ 

... interessieren uns dafür, ob man die Menge der wahren 

arithmetischen Formeln algorithmisch in den Griff bekommt 

! Beispiele für arithmetische Formeln 

• F(x) = !y !z ( ¬(y = 1) " ¬(z = 1) " ¬(y = x) " ¬(z = x) " (y*z = x) ) 

... F ist für ein x genau dann wahr, wenn x keine Primzahl ist 

• F‘ = #x ( F(x) $ !x‘ ( ¬(x‘ = 0) " ¬F(x+x‘) ) ) 

... F‘ ist genau dann wahr, wenn es unendlich viele Primzahlen gibt 

1/3, Folie 2 © 2009 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Komplexitätstheorie


Einordnung 

! Weshalb interessant? 

• aus Sicht der Mathematik 

• Herangehensweise: axiomatische Methode 

• formuliere allgemein anerkannte wahre Aussagen (/* Axiome */) 

• verwende diese Axiome und wohl definierte (formale) Regeln, 

um weitere (hoffentlich „interessante“) wahre Aussagen zu 

beweisen 

... diese Herangehensweise hat Grenzen (/* es genügt bereits, daß man 

sich mit Zahlentheorie (über den natürlichen Zahlen) beschäftigt */) 

... jede rekursiv aufzählbare Axiomatisierung der Zahlentheorie besitzt 

wahre Aussagen, die nicht beweisbar sind (/* Gödelscher Unvollständigkeitssatz 

*/) 



Einordnung 

! Weshalb interessant? 

• aus Sicht der Informatik 

• automatisches Beweisen (/* Dienstleistung für die Mathematik */) 

• Programmverifikation (/* Korrektheit von Programmen */) 

• Künstliche Intelligenz (/* Agentensysteme, Planung */) 

• IT-Sicherheit (/* Nachweis sicherheitskritischer Eigenschaften */) 

• ... 

... Verwendung formaler Methoden 



Einordnung 

! Herangehensweise - Programmverfikation 

• es geht um die Frage, ob ein Computerprogramm das tut, was es soll, 

d.h. ob es bestimmte Anforderungen erfüllt (/* diese Frage wird bspw. 

lebenswichtig, wenn Computer in sicherheitsrelevanten Bereichen wie 

z.B. bei der Steuerung von Verkehrsmitteln oder in der Medizin 

eingesetzt werden */) 

• Einsatz von formalen Methoden, um systematisch obige Frage zu 

beantworten (/* Anwendung der axiomatischen Methode */) 

... wenn bei der Präzisierung der Anforderungen Aussagen über 

natürliche Zahlen eine Rolle spielen (/* und das wird fast immer der 

Fall sein */), haben diese Ansätze ihre Grenzen 

... selbst, wenn die präzisierten Anforderungen erfüllt sind, kann es 

sein, das man das nicht formal beweisen kann 



Grundlagen 

! zur Verfügung stehende Ausdrucksmittel 

• Konstanten: 0,1,2, ... 

• Variablen: x 1,x 2,x 3, ... 

• Relationen: = (/* zweistellige Relation */) 

• Operatoren: +, * (/* zweistellige Operatoren */) 

• Quantoren: !,# 

• Konnektoren: ¬,%," 

die Konstanten 0,1,2, ... können als Abkürzungen für 0,S(0),S(S(0)), ... 

aufgefasst werden(/* d.h. man benötigt de facto eine Konstante und 

einen einstelligen Operator S(.) */) 



Grundlagen 

! Begriff: (arithmetischer) Term 

• Jede Konstante ist ein Term. 

• Jede Variable ist ein Term. 

• Wenn t 1 und t 2 Terme sind, so sind auch t 1 + t 2 sowie t 1 * t 2 Terme. 

! Begriff: (arithmetische) Formel 

• Wenn t 1 und t 2 Terme sind, so ist (t 1 = t 2) eine Formel. 

• Wenn F und G Formeln sind, so sind auch ¬F, (F%G) sowie (F"G) 

Formeln. 

• Wenn x eine Variable und F eine Formel ist, so sind auch !x F und #x F 

Formeln. 



Grundlagen 

! Begriff: Belegung 

• Eine Belegung & ist eine Abbildung von der Menge der Variablen in 

die Menge der Konstanten. 

• Erweiterung auf Terme: 

• &(n) = n, wobei n eine Konstante ist 

• &((t 1 + t 2)) = &(t 1) + &(t 2), wobei t 1 und t 2 Terme sind 

• &((t 1 * t 2)) = &(t 1) * &(t 2), wobei t 1 und t 2 Terme sind 

... Interpretation im Standardmodell der natürlichen Zahlen (/* in dem es die 

Konstanten 0,1,2, ... gibt und die Operatoren + und * wie üblich interpretiert 

werden */) 

... die Aussagen, die im Standardmodell notwendigerweise wahr sein 

müssen, kann man auch mit Hilfe von Axiomen (/* den Peano-Axiomen */) 

beschreiben 



Grundlagen 

! Abkürzung 

• F(x/n) bezeichnet die Formel, die aus F entsteht, in dem alle freien 

Vorkommen der Variablen x durch die Konstante n ersetzt werden. 

... ein Vorkommen von x in F heißt gebunden, falls x in einer Teilformel 

von F der Form !x G und oder "x G vorkommt 

... andernfalls heißt das Vorkommen von x frei 



Grundlagen 

! Begriff: wahre (arithmetische) Formeln 

• Die Formel (t 1 = t 2) ist wahr, falls &(t 1) = &(t 2) für alle Belegungen & gilt. 

• Die Formel ¬F ist wahr, falls F nicht wahr ist. 

• Die Formel (F%G) ist wahr, falls F wahr ist oder G wahr ist. 

• Die Formel (F"G) ist wahr, falls F wahr ist und G wahr ist. 

• Die Formel !x F ist wahr, falls es eine Konstante n gibt, so daß F(x/n) 

wahr ist. 

• Die Formel #x F ist wahr, falls für alle Konstanten n gilt, daß die Formel 

F(x/n) wahr ist 



Zentrale Fragestellung 

! ... umgangsprachlich 

! ... formal 

Bekommt man die Menge aller wahren arithmetischen Formeln algorithmisch 

in den Griff? 

• es sei MF die Sprache aller arithmetischen Formeln 

• es sei MWF die Sprache aller wahren arithmetischen Formeln 

Ist die Sprache MWF entscheidbar? 

Ist die Sprache MWF semi-entscheidbar? 

... beide Fragen sind mit NEIN zu beantworten !!! 



Einordnung 

! Vorüberlegung 

! Konsequenz 

• es sei F ' MF (/* d.h. F ist eine (arithmetische) Formel */) 

Dann gilt entweder F ' MWF oder ¬F ' MWF (/* entweder ist F eine wahre 

(arithmetische) Formel oder ¬F ist eine wahre (arithmetische) Formel */). 

... das liegt daran, daß (arithmetische) Formeln im Standardmodell 

der natürlichen Zahlen interpretiert werden 

Wenn die Sprache MWF semi-entscheidbar ist, dann ist die Sprache MWF 

auch entscheidbar. 



Hintergrund 

! Ausdrucksmächtigkeit arithmetischer Formeln 

• es sei M irgendeine Turing-Maschine, die als Eingaben Wörter aus 

{ 0,1 }* und als Ergebnisse Wörter aus { 0,1 }* berechnet 

• es sei cod(.) eine berechenbare Funktion, mit der man jeder 

Zeichenkette aus { 0,1 }* auf eineindeutige Art und Weise eine 

natürliche Zahl zuordnen kann 

Dann gibt es eine arithmetische Formel F ' MF mit den freien Variablen x 

und y, so daß für alle Wörter u,u‘ ' { 0,1 }* die folgenden Aussagen 

äquivalent sind: 

1. M berechnet bei Eingabe u das Ergebnis u‘. 

2. F‘ ist eine wahre arithmetische Aussage, wobei F‘ aus F 

entsteht indem x durch cod(u) und y durch cod(u‘) ersetzt wird. 

... M ist unter Verwendung von F arithmetisch repräsentierbar 



Zentrales Ergebnis 

! ... der zu beweisende Satz 

Die Sprache MWF ist nicht entscheidbar. 

... demzufolge ist die Sprache MWF auch nicht semi-entscheidbar 



Unentscheidbarkeit der Sprache MWF 

! Beweis (/* Reduktion */) 

• es seien ( = { 0,1 } und L ) (* eine Sprache die semi-entscheidbar, 

aber nicht entscheidbar ist 

• außerdem sei M eine Turing-Maschine für L (/* d.h. M kann benutzt 

werden um zu zeigen, daß M semi-entscheidbar ist */) 

• ferner sei F die arithmetische Formel mit den freien Variablen x und y, 

die die Turing-Maschine M repräsentiert 

• wir suchen eine Turing-Maschine R die folgendes leistet: 

• auf jeder Eingabe w ' (* berechnet R ein Ergebnis w‘ ' (* 

• falls w ' L, so ist w‘ ' MWF 

• falls w * L, so ist w‘ * MWF 

... wir gehen davon aus, daß Formeln aus MF als Zeichenketten 

über dem Alphabet { 0,1 } repräsentiert werden kann 



Unentscheidbarkeit der Sprache MWF 

! Beweis (cont.) 

• es sei w ' (* 

• dann arbeitet R bei Eingabe von w wie folgt 

• R bestimmt cod(w) und cod(1) 

• R berechnet das Ergebnis F‘ (/* = w‘ */), wobei F‘ die 

Formel ist, die entsteht, wenn in F die freie Variable x 

durch cod(w) und die freie Variable y durch cod(1) 

ersetzt wird 

• offenbar gilt: w ' L gdw. M bei Eingabe von w das Ergebnis 1 berechnet 

• da F die Turing-Maschine M arithmetisch repräsentiert, gilt deshalb: 

• w ' L gdw. F‘ ' MWF 



Einordnung 

! Konsequenzen 

• was wir gerade bewiesen haben, ist unter dem Namen Gödelscher 

Unvollständigkeitssatz bekannt ... 

Jedes formale Beweissystem, das zumindest eine Theorie der natürlichen 

Zahlen (/* mit Addition und Multiplikation */) enthält, ist notwendigerweise 

unvollständig, d.h. es gibt wahre Aussagen, die nicht beweisbar sind. 

... das ist ein generelles Problem für jedes Gebiet, in dem man Dinge 

präzise formulieren will (/* wenn der Gegenstandsbereich hinreichend 

komplex ist, gibt es Aussagen, von denen man nicht nachweisen kann, 

ob sie richtig oder falsch sind */)

Kapitel 1: Berechenbarkeitstheorie Gliederung 1 ...

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