Kapitel 6 Supraleitung

Kapitel 6 

Supraleitung 

6.1 Historische Entwicklung 

Die Entdeckung der Supraleitung war wesentlich getrieben von dem Versuch ein besseres 

Verständnis des elektrischen Leitungsmechanismus in Metallen zu gewinnen. 

Zu Beginn des 20. Jahrhunderts war diese Kenntnis noch ziemlich lückenhaft. Bezüglich 

der Frage des elektrischen Widerstand für T → 0 gab es drei denkbare Möglichkeiten 

• James Dewar (1904): 

Der Widerstand geht mit sinkendem T stetig gegen Null 

(naheliegend wg. starker Abnahme von ρ mit sinkendem T ). 

• Heinrich F. L. Matthiesen (1884): 

Der Widerstand strebt mit sinkendem T einem festen Grenzwert zu 

d.h. ρ(T → 0K)→ ρ rest , 

(ρ rest ist vom Reinheitsgrad abhängig) 

→ Matthiesen-Regel 

ρ(T ) ≈ ρ rest + ρ phonon (T ) (MatthiessenscheRegel). (6.1) 

Streuung der Elektronen im Festkörper an Gitterfehlern und Phononen 

• Lord Kelvin (1902): 

Der Widerstand steigt mit sinkendem T bei T nahe 0 K stark 

(→ Lokalisierung der Elektronen). 

329

330 Kapitel 6 Supraleitung 

Abb. 6.1: Zur Temperaturabhängigkeit 

des elektrischen 

Widerstands von Metallen 

bei tiefen Temperaturen 

[aus W. Buckel, Supraleitung, 

VCH Weinheim, 

5. Aufl. (1994); Abb.1]. 

Daraus motivierten sich die Bestrebungen von K. Onnes mit Helium das letzte noch 

nicht verflüssigte Edelgas zu verflüssigen und damit im Kelvin-Bereich experimentieren 

zu können. 

• 1908: Erste Verflüssigung von Helium, 

T siede (p =1bar)=4.2 K 

Durch Druckerniedrigung (Abpumpen) 

sogar T ∼ 1 K erreichbar 

• 1908-1911: Untersuchung des spezifischen Widerstandes sehr reiner Metalle 

(z.B. Platin, Gold) 

→ Restwiderstand abhängig vom Reinheitsgrad 

(entspricht Kurve 2 in Abb.6.1) 

Allerdings neigte Onnes zur Annahme, daß der Widerstand in absolut 

reinen Proben gegen Null gehen sollte (Kurve 1 in Abb.6.1). 

• 1911: Onnes wechselt zu Quecksilber (Hg), 

in der Hoffnung dieses noch reiner herstellen zu können 

(durch wiederholte Destillation) 

→ beobachtete in der Tat einen verschwindenden (unmeßbar kleinen) 

Widerstand bei T =4.2K.

6.1 Historische Entwicklung 331 

Bei genauerer Betrachtung stellte er jedoch fest, daß der Übergang zu R=0 in einem 

T -Intervall von wenigen 10mK stattfand: 

Abb. 6.2: Supraleitungvon 

Quecksilber [nach H.K. Onnes, 

Comm. Leiden 120b 

(1911), aus W. Buckel, Supraleitung, 

VCH Weinheim, 

5. Aufl. (1994); Abb.3]. 

”.. Mercury has passed into a new state, which on account of its extraordinary electrical 

properties may be called the superconductive state” 1 . 

→ Widerstand verschwindet für T


Geschichte der Supraleitung (SL) 

1908 Heliumverflüssigung (K. Onnes, Leiden) 

1911 Entdeckung der Supraleitung (K. Onnes, Leiden) ρ = 0 – Nobelpreis 1913 

1933 Meissner-Ochsenfeld-Effekt B =0 

1935 London-Theorie (phänomenologisch) 

– lineare Elektrodynamik der SL 

1950 Ginzburg-Landau-Theorie (phänomenologisch) 

–ausTheoried.Phasenübergänge → Ordnungsparameter 

1957 BCS-Theorie – mikroskopische Theorie 

(John Bardeen, Leon N. Cooper, John R. Schrieffer) – Nobelpreis 1972 

1957 exp. Bestimmung der Energielücke aus IR-Absorption 

– Glover, Tinkham 

1960/61 exp. Bestimmung der Energielücke aus 

Tunnelexperimenten – Giaever – Nobelpreis 1973 

1960 Flussquantisierung – Doll, Näbauer; Deaver, Fairbank 

1962 Josephson-Effekt (Theorie) – B.D. Josephson – Nobelpreis 1973 

1963 exp. Bestätigung des dc Josephson-Effekts – Anderson, Rowell 

bis 1986 höchste Sprungtemperatur: T c =23K in Nb 3 Ge 

Entwicklung von Anwendungen: Energietechnik, Elektronik 

1986 Entdeckung der Hochtemperatur-Supraleitung (HTS) 

in La-Ba-Cu-O – J.G. Bednorz, K.A. Müller – Nobelpreis 1987 

Rekord-T c =133K in HgBa 2 Ca 2 Cu 3 O 8 

2003 Supraleitung stellt aktuelles, vielseitiges Forschungsgebiet dar 

Anmerkungen: 

• die Entwicklung der Helium-Verflüssigung war wesentliche Voraussetzung für die 

Entdeckung der Supraleitung. 

Flüssiges Helium (LHe) ist wichtigstes Kühlmittel für Experimente im Kelvin- 

Bereich. 

• Die BCS-Theorie erlaubt sehr gute Beschreibung des supraleitenden Zustands. 

Daher galt das Gebiet bis Mitte der achtziger Jahre als nahezu ”abgeschlossen”. 

• Die HTS erbrachte eine schlagartige Wiederbelebung der SL-Forschung. 

→ viele neue und interessante Aspekte und Impulse für SL: 

– Materialien: stark anisotrope, geschichtete Kuprate – reichhaltige Defektstruktur 

– Grundlagen: Mechanismus der HTS bis heute ungeklärt. Unkonventionelle 

Symmetrie des Ordnungsparameters 

– Anwendungen: spezielle Eigenschaften und vereinfachte Kühltechnik mit 

flüssigem Stickstoff (LN s ) steigern das Anwendungspotential.

6.2 Grundlegende Eigenschaften 333 

6.2 Grundlegende Eigenschaften 

Widerstand R→ 0 

Messung ist natürlich immer durch eine Nachweisgrenze der Apparatur limitiert. 

empfindlichste Messung: 

Abklingen eines Dauerstroms in einem supraleitenden Ring 

= genaueste Nachweismethode für R =0 

Abb. 6.3: Erzeugung 

eines Dauerstroms 

in einem supraleitenden 

Ring[aus 

W. Buckel, Supraleitung, 

VCH Weinheim, 

5. Aufl. (1994); Abb.5]. 

Ersatzschaltbild: 

Abkühlen des Rings der Induktivität L im externen Magnetfeld. 

Im supraleitenden Zustand (T


In der Tat ist selbst mit modernster Ausrüstung kein Widerstand meßbar. Dies liefert 

eine untere Grenze für den spezifischen Widerstand im supraleitenden Zustand von 

bei T =4.2K (z.B. in Nb mit T c =9.25 K). 

ρ


Wichtige supraleitende Materialien 

Bald nach der Entdeckung der Supraleitung wurde dieses Phänomen auch in anderen 

Metallen gefunden. 

→ Viele Metalle und intermetallische Verbindungen. Beispiele: 

T c [K] Entdeckung 

Hg 4.15 1911 

Pb 7.20 

Nb 9.20 

Nb 3 Sn 18.3 1952 

Nb 3 Ge 23 1972 

MgB 2 40 2001 

Tabelle 6.1: ”LTS” (low-T c superconductors), 

”konventionelle Supraleiter” 

→ Kuprat-Verbindungen (dotierte Oxide) 

T c [K] Entdeckung 

La 2−x Sr x CuO 4−y 30 1987 

YBa 2 Cu 3 O 7 90 1988 

Bi 2 Sr 2 CaCu 2 O 8 90 1988 

Tl 2 Ba 2 CaCu 2 O 8 90 1988 

Tl 2 Ba 2 Ca 2 Cu 3 O 10 125 1988 

HgBa 2 CaCu 3 O ∗ 8 135 1993 

u.v.a. 

∗ bei p = 1 bar, unter Druck bis 160 K 

Tabelle 6.2: ”Hochtemperatursupraleiter”, 

”HTS”, (high-T c superconductors) 

Abb. 6.5: Hochtemperatursupraleiter Bi-2212: Kristallstruktur (links) und TEM-Bild 

(rechts).


Abb. 6.6: Zeitliche Entwicklungder Entdeckungvon Materialien mit Sprungtemperatur T c 

[adaptiert aus Spektrum der Wissenschaften, Mai 1997]. 

Einige exotische Verbindungen 

• Dotiertes SrTiO 3 ,(Ba, K)BiO 3 → T c 40 K 

Ruthen-Oxide (z.B. Sr 2 RuO 4 T c =1.5K 

Ruthenokuprate (z.B. RuSr 2 GdCu 2 O 8 T c ≈ 50 K) 

Abb. 6.7: Ruthenokuprat Ru-1212: Kristallstruktur (links) und schematische Darstellungder 

Schichtstruktur als Ferromagnet/Isolator/Supraleiter-Stapel (rechts).


• Organische Supraleiter 

insbes. ”Bechgaard-Salze (Kettenmoleküle) 

Abb. 6.8: Stukturformel von BEDT-TTF 

z.B. K − (BEDT − TTF) 2 Cu[N(CN) 2 )]Br → T c =11.2K 

• ”Schwere-Fermionen-Supraleiter” 

z.B. UPt 3 → T c =1.5K 

sehr grosse effektive Masse m eff ≈ 100 ...1000 m e 

→ grosse Zustandsdichte bei E F , starke Elektronen-Korrelationen 

• Dotierte Fullerene (C 60 ), z.B. K 3 C 60 (T c =19K)oderRb 2 CsC 60 (T c =31K) 

Abb. 6.9: Struktur von C 60 

⇒ Supraleitung ist ein häufiges Phänomen bei tiefen Temperaturen! 

Technologisch wichtig: 

• Nb, Pb, Nb 3 Sn, Al 

• Hochtemperatursupraleiter, vor allem 

– YBa 2 Cu 3 O 7 (YBCO) 

– Bi 2 Sr 2 CaCu 2 O 8 (BSCCO, Bi-2212) 

– Bi 2 Sr 2 Ca 2 Cu 3 O 10 (Bi-2223) 

– Tl 2 Ba 2 CaCu 2 O 8 (Tl-2212) 

Für die Grundlagen: 

derzeit Hochtemperatursupraleiter, exotische Verbindungen


Supraleiter im Magnetfeld 

Erwartung bei idealer Leitfähigkeit: 

Maxwell: 

˙⃗B = −rotE 

⃗ } 

Ohm: E ⃗ = ⃗j/σ 

⇒ ˙⃗ B = − 

1 

σ rot ⃗j → 0 → für σ →∞ 

⇒ ⃗ B ist konstant nach Durchgang durch T c . 

→ 2Möglichkeiten: 

1. zuerst kühlen in B =0 ⇒ Feldverdrängung 

dann Feld B anlegen (bei T


”Typ-I-Supraleiter” 

Abb. 6.10: Supraleiter I. Art im Magnetfeld: der Meissner-Effekt 

• Immer Feldverdrängung für T


Typ-II-Supraleiter 

B


Flussschläuche formen Dreiecksgitter (”Abrikosov-Gitter”) 

Abb. 6.14: Schematische Darstellungder Shubnikov-Phase. Magnetfeld und Supraströme 

sind nur für zwei Flussschläuche gezeichnet [aus W. Buckel, Supraleitung, VCH Weinheim, 

5. Aufl. (1994); Abb.78]. 

Abbildung des Abrikosov-Gitters: 

durch Bestäuben (”Dekorieren”) mit Eisenkolloid 

Aufwärmen → Anschauen unter dem Mikroskop 

(Eßmann, Träuble, 1966) 

Abb. 6.15: Elektronenmikroskopische Aufnahme eines Flussquantengitters nach der Dekoration 

mit Eisenkolloid [aus W. Buckel, Supraleitung, VCH Weinheim, 5. Aufl. (1994); Abb.79].


Materialien: 

Fast alle Supraleiter mit T c 5K. 

Nb: B c2 =0.2 T, 

Nb 3 Sn: B c2 =23T, 

Bi2212: 

— B c2 ∼ 30 T (Feld ⊥ CuO 2 -Ebene) 

— B c2 > 300 T (Feld ‖ CuO 2 -Ebene) 

Abb. 6.16: Typ-II-SL: Feld B i im Supraleiter 

vs. externes Feld B ext ; Annahme: Stabförmige 

Probe, keine Feldkompression durch Entmagnetisierungsfaktoren. 

Abb. 6.17: Demonstration des Meissner-Effekts durch Levitation: Supraleiter wird im Magnetfeld 

über Ringmagnet abgekühlt. Die Feldverdrängung infolge des Meissner-Effekts führt 

zu Levitation. 

”Pinning”: 

Die Flussfäden (Abrikosov-Vortices) besitzen einen normalleitenden Kern 

→ energetisch günstiger wenn sich normalleitender Kern in nicht-supraleitendem Bereich 

(Defekt) befindet 

→ Defekte wirken als Haftzentren für Flussfäden 

Abb. 6.18: Pinningin Typ-II Supraleitern führt zu Stabilität bei Levitation.


Abb. 6.19: Schwebender Sumo


Flussquantisierung im supraleitenden Ring 

Wir hatten gesehen, dass durch Induktion ein Dauerstrom in einem supraleitenden 

Ring (od. Zylinder) angeworfen werden kann 

→ erzeugt ”eingefrorenen” Fluss 

”klassische” Erwartung: eingefrorener Fluss kann beliebige Werte annehmen. 

aber, Vermutung von F. London: 3 

quantenmechanische Betrachtung → magnetischer Fluss im Supraleiter ist quantisiert, 

in Einheiten von h/e 

→ Flussquantisierung ist Folge der quantenmechanischen Natur des supraleitenden 

Zustands: 

Supraleitendes Kondensat ist durch makroskopische Wellenfunktion 

(∼ 10 23 Teilchen!) mit definierter Phase beschreibbar: 

Ψ=Ψ 0 · e iϕ (6.6) 

mit |Ψ| 2 = n s (Dichte supraleitender Ladungsträger, aus BCS-Theorie). 

Betrachte supraleitenden Ring: 

Die Supraleiter-Wellenfunktion muß eindeutig sein. 

⇒ bei Umlauf entlang eines beliebigen Weges muss die Phase ϕ modulo 2π 

in sich übergehen ∮ 

⃗∇ϕ d ⃗ l = n · 2π; n =0, ±1,... (6.7) 

aus der Quantenmechanik: 

• kanonischer Impuls eines Teilchens im Magnetfeld ( ⃗ B =rot ⃗ A): 

• Teilchenstromdichte für supraleitende Ladungsträger 

(Dichte n s , Geschwindigkeit v s , Masse m s , Ladung q s ): 

n s ⃗v s = 

⃗p = ⃗ k = m⃗v + q ⃗ A (6.8) 

i ( 

Ψ · 

2m ⃗∇Ψ ∗ − Ψ ∗ · ⃗∇Ψ 

) 

s 

} {{ } 

− q sn s 

m s 

· ⃗A (6.9) 

mit (6.6): 

= −2in s 

⃗ ∇ϕ 

3 F. London, Superfluids, Vol. I, p. 152, Wiley (1950).


also 4 ⃗ ∇ϕ = m s ⃗v s + q s 

⃗ A ≡ ⃗p (6.10) 

→ verknüpft Suprastromdichte j s = q s n s v s mit räumlichem Phasengradienten 

und dem Magnetfeld ⃗ B =rot ⃗ A: 

⃗j s = q sn s 

⃗ 

q ∇ϕ + 

sn 2 s A ⃗ (6.11) 

m s m s 

Die Beziehung (6.10) eingesetzt in die Forderung (6.7) der Eindeutigkeit der Wellenfunktion 

liefert 

∮ 

n · 2π = ⃗∇ϕ d ⃗ l 

= 1 ∮ 

(m s ⃗v s + q sA)d ⃗ ⃗ l 

 

mit j s = q s n s v s : = m ∮ 

s 

⃗j s d 

q s n ⃗ l + q ∮ 

s 

⃗Ad 

s 

⃗ l 

(6.12) 

} {{ } 

nach Satz v. Stokes: 

= ∫ rotAd ⃗ F ⃗ = ∫ 

F 

F 

⃗Bd ⃗ F =Φ 

×(/q s ) ⇒ n · 

h 

= m s 

q }{{} s n s qs 

}{{} 

2 

≡Φ 0 

≡Λ≡µ 0 λ 2 L 

∮ 

⃗j s d ⃗ l + Φ (6.13) 

nΦ 0 = µ o λ 2 L 

∮ 

⃗j s d ⃗ l + Φ 

”Fluxoidquantisierung” 

(6.14) 

mit ”Flussquant” Φ 0 ≡ h/q s 

und ”London-Eindringtiefe” λ L ≡ (m s /µ 0 n s q 2 s) 1/2 

Häufig fließen Ströme im Supraleiter nur in einer sehr dünnen Schicht 

(erstreckt sich über die London-Eindringtiefe λ L – typischerweise 100 nm). 

Dann kann der Integrationsweg in das Innere des Supraleiters gelegt werden – dort ist 

j s =0( ∮ ⃗j s d ⃗ l exponentiell klein), und es gilt die Flussquantisierung. 

nΦ 0 = Φ 

”Flußquantisierung” 

(6.15) 

4 Die Beziehung ⃗ ∇ϕ = ⃗p in die Bedingung für die Eindeutigkeit von Ψ eingesetzt liefert ∮ ⃗p d⃗s = 

n · h; entspricht also der Quantenbedingung des Bohr’schen Atommodells. Im Wellenbild entspricht 

dies der Forderung, dass eine Welle bei einem Umlauf in sich übergehen muss, also die Wellenlänge 

λ = h/|⃗p| ”passen” muss.


Experiment (Doll, Näbauer, 1961) 5 

Messung des magnetischen Flusses in einem supraleitenden Hohlzylinder 

in Abhängigkeit des extern angelegten Einkühlfeldes B ext : 

1. B ext bei T>T c anlegen und Probe in B ext kühlen 

2. B ext wegnehmen → wegen Ḃ = 0: Fluß bleibt ”eingefroren”; 

Zylinder verhält sich wie ein Stabmagnet, Moment⃗µ 

3. Wechselfeld B ac parallel zu ⃗µ anlegen. 

-Drehmoment ⃗ T = ⃗µ × ⃗ B ac 

- Zylinder schwingt; Amplitude ∝ µ ∝ Φ an Resonanz. 

Dann aufwärmen und wiederholen für verschiedene Werte für B ext 

Abb. 6.20: Experimenteller Nachweis der Flussquantisierungin Pb nach Doll und Näbauer: 

experimenteller Aufbau (links) [aus W. Buckel, Supraleitung, VCH Weinheim, 5. Aufl. (1994); 

Abb.22] und Messergebnis (rechts) [aus R. Doll, M. Näbauer, Phys. Rev. Lett. 7, 51 (1961)]. 

5 R. Doll, M. Näbauer, Phys. Rev. Lett. 7, 51 (1961)


Schwierigkeit des Experiments: 

Nachweis von sehr kleiner Flussänderung 

→ Präparation von Flusszuständen mit möglichst kleinem n 

(liefert große relative Änderung) 

⇒ kleine Ringfläche erforderlich 

Für Querschnittfläche A =1mm 2 : 

Erzeugung eines Flussquant bereits durch sehr kleines Feld B Φ0 =Φ 0 /A ≈ 2nT 

(Erdmagnetfeld ist mit ca. 60 µT um Faktor 3000 größer !) 

im Experiment: 

Röhrchen mit Durchmesser 10 µm (r =5µ m) ergibt B Φ0 =Φ 0 /πr 2 ≈ 26 µT 

(ist mit sorgfältiger Abschirmung machbar) 

Ähnliches Experiment: Deaver, Fairbank, 1961 6 

⇒ Ergebnis: 

im Zylinder ”eingefrorener” Fluss 

Φ=B ext · A + L · I = nΦ 0 , n =0, ±1,... (6.16) 

mit dem Flussquant 

Φ 0 ≡ h 2e =2.07 · 10−15 Vs (6.17) 

Unterschied zu London’s Vermutung: 

q s =2e statt e im Nenner → Ladungsträger des Suprastroms sind Cooper-Paare, 

und nicht einzelne Elektronen 

Anmerkung: 

√ 

⇒ London − Eindringtiefe λ L = 

ms 

n s (2e) 2 µ 0 

(6.18) 

die Fluxoidquantisierung gilt nicht nur für einen supraleitenden Ring (SL mit Loch), 

sondern allgemein für einen Supraleiter der von magnetischem Fluss durchsetzt ist. 

→ Flussquanten in Typ-II Supraleitern 

6 B. S. Deaver Jr., W M. Fairbank, Phys. Rev. Lett. 7, 43 (1961)


Feldverdrängung im Meißner-Zustand 

Betrachte homogenen, massiven Supraleiter im Feld: 

wie beim Ring: 

Fluxoidquantisierung 

n Φ 0 = µ o λ 2 L 

∮ 

⃗j s d ⃗ l +Φ 

gilt für jeden Weg im Supraleiter. 

Ziehe den Integrationsweg auf einen Punkt zusammen. 

• Φ → 0, da die Fläche → 0 

• ∮ ⃗j s d ⃗ l → 0, da der Umfang → 0 

⇒ n Φ 0 =0 ⇒ n = 0 als einzige Lösung 

∫ 

mit (6.14) ⇒ Φ= 

⃗Bd ⃗ F = −µ 0 λ 2 L 

∮ 

⃗j s d ⃗ l 

oder (mit ∮ ⃗j s d ⃗ l = ∫ F 

rot⃗j s d ⃗ F ) 

⃗B = −µ 0 λ 2 Lrot⃗j s 2. London-Gleichung (6.19) 

Vergleiche mit der Maxwell-Gleichung: 

∮ 

∫ 

⃗ 

Bd ⃗ l = µ 0 (⃗j + ε 0 

˙⃗E) dF 

⃗ 

oder rot ⃗ B = µ 0 

⃗j (6.20) 

mit 

gilt dann 

rot rotB ⃗ =graddiv } {{ B ⃗ } −∆B ⃗ (6.21) 

=0 

∆ ⃗ B = −rotµ 0 

⃗j s (6.22) 

mit 2. London-Gleichung (6.19) 

⇒ ∆ ⃗ B = 1 

λ 2 L 

⃗B (6.23)


Lösung von ∆B ⃗ = λ −2 ⃗ L 

B, 

z.B. für supraleitenden Halbraum (x >0) mit B ⃗ ⊥ x: 

B = B ext · e −x/λ L 

Feld klingt im Supraleiter exponentiell mit der Eindringtiefe λ L ab. 

Abb. 6.21: Abklingen des Magnetfeldes am 

Rand eines supraleitenden Halbraums. 

Wegen rot ⃗ B = µ 0 

⃗j ⇒ auch ⃗j klingt proportional zu e −x/λ L 

Stromdichte am Rand (⊥ x, ⊥ ⃗ B): 

ab. 

London-Eindringtiefe 

j = − 1 µ 0 

∂B 

∂x = B(x) 

µ 0 λ L 

wegen λ L ∝ n −1/2 

s : 

mit T → T c geht n s → 0 und daher λ L →∞ 

Wert steigt mit sinkendem T → empirische Formel: 

λ L (T )= 

λ L (0) 

[ ( ) ] 4 1/2 

(6.24) 

T 

1 − 

T c 

Typische Werte für λ L ,(T =0) 

In 

Pb 

Nb 

YBCO 

24 nm 

32 nm 

30-90 nm 

150 nm (B ‖ Ebenen) 

>800 nm (B ⊥ Ebenen)


Flußschläuche in Typ-II-Supraleiter 

• Ausbilden eines normalleitenden ”Kerns” auf Achse des Flussschlauchs 

• n = ±1 in Fluxoidquantisierungsbedingungen. 

• Feld im Flussschlauch B ∝ e −r 

λ L /√ 

r 

λ L 

• Feld im Zentrum B max ≈ Φ 0 

πλ 2 L 

für radialen Abstand vom Zentrum r ≫ λ L 

≈ 50 ...100 mT 

Anmerkung zur London-Theorie 

geht aus von ”2-Flüssigkeiten”-Modell: 

Ladungsträgerdichte 

n = n s + n n (6.25) 

mit Dichten n s der supraleitenden und n n der normalleitenden Ladungsträger 

mit n s → 0für T → T c und n n → 0für T → 0K 

Annahmen: 

(i) genügend kleine E- ⃗ und H-Felder ⃗ → n s unabhängig von E ⃗ und H ⃗ 

(ii) n s ist räumlich konstant 

⇒ London-Gleichungen = lineare Beziehungen zwischen j s , E ⃗ und H ⃗ 

• Zusammenhang j s (E) = 1. London-Gleichung: 

Bewegungsgleichung für supraleitenden Ladungsträger im E-Feld: ⃗ 

mit der Suprastromdichte 

folgt dann 

und damit 

⃗E = d ) (Λ⃗j s mit 

dt 

m s 

d⃗v s 

dt = q s ⃗ E 

⃗j s = n s q s ⃗v s 

( ) 

d ⃗ j s 

m s = q sE 

⃗ 

dt n s q s 

Λ ≡ m s 

n s q 2 s 

≡ µ 0 λ 2 L (1. London − Gl.) (6.26) 

Konsequenz: im stationären Zustand, d.h. = 0 gilt E ⃗ = 0 im 

dt 

Supraleiter (”verlustfreier Stromtransport”) 

• Zusammenhang j s (B) = 2. London-Gleichung 

⃗j s = − 1 Λ ⃗ A 

beschreibt Stromdichte an Oberfläche, die externes Feld abschirmt 

→ ”idealer Diamagnetismus” 

d⃗j s

6.3 Thermodynamik der Supraleiter 351 

6.3 Thermodynamik der Supraleiter 

6.3.1 kritisches Feld von Massiv-Supraleitern 

- thermodynamisches kritisches Feld 

betrachte langen Zylinder eines Typ-I-Supraleiters im longitudinalen homogenen Feld 

H 0 

Frage: was ist das kritische Feld H c ? 

sei H 0


[cgs] F n − F s0 = H2 c 

8π 

[SI] F n − F s0 = µ 0H 2 c 

2 

= B2 c 

2µ 0 

(6.29) 

H c ist also ein Maß welches angibt um wieviel der supraleitende Zustand gegenüber 

dem normalleitenden Zustand energetisch (bzgl. freier Energie) günstiger ist. 

→ H c mißt Differenz in freier Energie N-SL 

→ thermodynamisches kritisches Feld 

6.3.2 Entropie eines Supraleiters 

aus der Thermodynamik: 

• δQ = δW + δU (1. Hauptsatz) 

(Q:Wärmemenge; W : verrichtete Arbeit; U innere Energie – jeweils pro Volumen) 

• Freie Energiedichte F = U − TS 

(T : Temperatur; S: Entropie) 

• δF = δU − TδS − SδT 

• für reversible Prozesse gilt δQ = TδS ⇒ (mit 1.Hauptsatz) δU = TδS − δW 

⇒ δF = −δW − SδT 

( ) ∂F 

⇒ S = − 

(6.30) 

∂T 

W 

Mit (6.30) berechnen wir nun den Entropieunterschied NL↔SL 

Aus (6.30) und (6.29) folgt 

S s − S n = 

= 

( ) ( ) 

∂Fn ∂Fs 

− 

∂T 

W 

∂T 

( ) 

∂(Fn − F s ) 

= 1 

8π 

= H c 

4π 

∂T 

( ) ∂H 

2 

c 

∂T 

( ) ∂Hc 

∂T 

W 

W 

W 

W 

(6.31) 

⇒ folgende physikalische Resultate: 

• aus Nernst-Theorem: S(T =0)=0 ⇒ S s (T =0)− S n (T =0)=0− 0=0 

( ) ∂Hc 

⇒ 

=0 

∂T 

T =0 

d.h. waagrechte Tangente der H c (T )-Kurve bei T =0


• aus experimentellem Befund: H c (T ) ist monoton fallend 

⇒ für alle 0


6.3.3 Spezifische Wärme 

Definition: spezifische Wärme 

Differenz SL-NL: 

C ≡ T · ∂S 

∂T 

C s − C n = T · ∂(S s − S n ) 

∂T 

(6.32) 

(6.33) 

mit S s − S n aus (6.31) folgt dann 

C s − C n = T 4π 

[ (∂Hc 

∂T 

) ] 

2 

∂ 2 H c 

+ H c 

∂T 2 

(6.34) 

bei T = T c : es gilt H c =0 

⇒ 

(C s − C n ) T −Tc = T c 

4π 

( ) 2 ∂Hc 

(6.35) 

∂T 

T =T c 

Diese – als Rutgers-Gleichung bekannte – Beziehung impliziert einen Sprung der 

spezifischen Wärme bei T = T c 

Die Höhe des Sprungs ist nach (6.35) ∝ T c und zum Quadrat der Steigung der H c (T )- 

Kurve bei T c 

Abb. 6.23: Temperaturabhängigkeit 

der spezifischen 

Wärme eines Supraleiters 

[aus V.V. Schmidt, 

The Physics of Superconductors, 

Springer, Berlin 

(1997); Abb.1.11].


Temperaturabhängigkeit der spezifischen Wärme: 

Form der Kurve aus dem Experiment 

bei T>T c : 

bei Metallen dominiert üblicherweise der elektronische Beitrag zu spezifischen Wärme 

→ C n ∝ T 

bei T


6.4 Die Ginzburg-Landau-Theorie 

(auch ”GLAG” = Ginzburg-Landau-Abrikosov-Gorkov) 

ist eine phänomenologische Theorie (erklärt nicht den ”Mechanismus” der Supraleitung) 

– berücksichtigt aber Quanteneffekte 

wesentliche Annahmen: 

• Wellenfunktion Ψ(⃗r, t) beschreibt die Gesamtheit der supraleitenden Ladungsträger 

(kohärenter Zustand) 

• Ψ ≡ Ordnungsparameter der supraleitenden Phase 

ausgehend von Landau’s Theorie der Phasenübergänge 2. Ordnung 

(für T − T c ≪ T c ) 

→|Ψ| =0für T>T c 

|Ψ| > 0für T 0 

7 Für Teilchen der Masse m gilt E kin 

/Vol. = 1 m |−i∇Ψ|2 .

6.4 Die Ginzburg-Landau-Theorie 357 

→ Thermodynamisch korrekte Behandlung des Supraleiters nahe T c 

→ Erklärt Unterschied Typ I / Typ II Supraleiter 

Abrikosov (1957): 

GL-Theorie für supraleitende Legierungen 

⇒ Theorie für Typ-II Supraleiter 

Ergebnis: 

σ ns > 0für Typ-I-SL 

σ ns < 0für Typ-II-SL → kein Meissner-Effekt für B>B c1 

Magnetfeld dringt in SL ein 

als einzelne Flussfäden 

Supraleitung existiert bis zu hohen Feldern B c2 

starte mit einfachstem Fall: 

homogener Supraleiter und H=0 

→ Ψ ist unabhängig von ⃗r 

Taylor-Entwicklung der freien Energiedichte in |Ψ| 2 nahe T c : 

F s0 = F n + α|Ψ| 2 + 1 2 β|Ψ|4 + ... (6.37) 

genügend nahe bei T c ist |Ψ| 2 klein, so dass die Entwicklung in guter Näherung nach 

dem Term |Ψ| 4 abgebrochen werden kann. 

Suche nun |Ψ 0 | 2 für das F s0 minimal wird, also 

dF s0 

d|Ψ 0 | =0 ⇒ α + β|Ψ 0| 2 =0 

2 

⇒ |Ψ 0 | 2 = −α/β (6.38) 

Eingesetzt in (6.37): 

F s0 = F n − α2 

β + α2 

2β 

= F n − α2 

2β 

⇒ F n − F s0 = α2 

2β = µ 0Hc 

2 

2 

= B2 c 

2µ 0 

} {{ } 

aus6.29 

(6.39) 

damit gilt also für die Koeffizienten der Taylor-Entwicklung 

Bc 2 = µ 0α 2 

β 

⇒ β>0 (6.40)


T -Abhängigkeit von α und β: 

• α(T ): 

aus |Ψ 0 | 2 = −α/β folgt mit 

|Ψ 0 | 2 =0 für T = T c ⇒ α =0 beiT = T c 

|Ψ 0 | 2 > 0 für TT c 

⇒ in 1. Ordnung (in T − T c ): β = const 

→ Setze 

( ) T 

α(T ) = α 0 − 1 

T c 

β = β 0 = const (mit α 0 ,β 0 > 0) (6.41) 

Zusammenhang zwischen den Koeffizienten α, β und B c , n s : 

mit 

n s = |Ψ 0 | 2 = − α β 

⇒ 

β = − α n s 

da B 2 c = µ 0 α 2 /β gilt also 

α = − 1 µ 0 

B 2 c 

n s 

β = 1 µ 0 

B 2 c 

n 2 s 

(6.42) 

liefert also für kritisches Feld nahe T c : 

B 2 c = −µ 0 n s α = µ 0 n s α 0 (1 − T T c 

)


allgemeiner Fall: inhomogener Supraleiter im Magnetfeld 

Die entscheidende Erweiterung der phänomenologischen Beschreibung erfolgte nun 

durch den Ansatz für die Gibbs-Funktion des Supraleiters im Magnetfeld unter der 

Berücksichtigung einer möglichen räumlichen Variation von Ψ: 

- inhomogener SL → Ψ(⃗r) 

- externes Magnetfeld H 0 

- Gibbsche freie Energiedichte: G = F − ⃗ B · ⃗H 0 

liefert neue Terme: 

• kinetische Energie der supraleitenden Ladungsträger 

→ Einfluß des Gradienten ∇Ψ: ⃗ 

In Analogie zur Schrödinger-Gleichung; Energieterm: 

p 2 

2m → 1 ∣ ∣∣∣ 

∇Ψ 

2m s i ⃗ 2 

∣ 

• Einfluß von Magnetfeldern: 

1. Gradiententerm 

→ 1 ∣( ) 

∣∣∣ 

∇−q 

2m s i ⃗ sA ⃗ Ψ 

∣ 

berücksichtigt eine mögliche räumliche Variation der Dichte der supraleitenden 

Ladungsträger und des Magnetfeldes im Innern des SL 

(erfasst Supraströme, die zur Variation des Magnetfeldes erforderlich sind) 

2. Feldverdrängung im Supraleiter 

→ 1 

2µ 0 

| ⃗ B ext − ⃗ B i | 2 ; ⃗ B =rot ⃗ A 

erfasst Energie, die nötig ist um das Magnetfeld von B 0 (außerhalb des SL) 

auf B i zu ändern 

(maximale Verdrängungsenergie in Meissner-Phase: B i =0) 

2 

⇒ G s = G n + α|Ψ| 2 + 1 2 β|Ψ|4 + 1 2 | ⃗ B 0 − ⃗ B i | 2 + 1 

2m s 

|(−i ⃗ ∇−q s 

⃗ A)Ψ| 

2 

(6.43) 

Problemstellung: 

• Finde Differentialgleichung für Ψ(⃗r) und ⃗ A(⃗r), 

die Gibbsche Freie Energie G = ∫ GdV minimiert 

(→ physikalisch realisierter Zustand) 

• Identifiziere α, β mit meßbaren Größen


Die Ginzburg-Landau-Gleichungen 

Minimierung von G durch Variationsprinzip: δG = 0, Variation nach Ψ, Ψ ∗ , ⃗ A. 

Man findet: 8 

• Variation nach Ψ ∗ αΨ+β|Ψ| 2 Ψ+ 1 

2m s 

(−i ⃗ ∇−q s 

⃗ A) 2 Ψ = 0 (6.44) 

1. Ginzburg-Landau-Gleichung 

(Variation nach Ψ: Gleiches Ergebnis mit Ψ → Ψ ∗ ) 

Die 1. GL-Gleichung entspricht einer Schrödinger-Gleichung mit Eigenwert −α, 

bis auf den Term in |Ψ| 2 : 

→ Ψ erzeugt ein quasi auf sich selbst wirkendes Potential 

→ begünstigt eine möglichst homogene Verteilung von Ψ(⃗r) 

• Variation nach ⃗ A 

⃗j s = iq s 

2m s 

(Ψ ∗ ⃗ ∇Ψ − Ψ ⃗ ∇Ψ ∗ ) − q2 s 

m s 

|Ψ| 2 ⃗ A (6.45) 

2. Ginzburg-Landau-Gleichung 

= quantenmechanischer Ausdruck für Teilchenstrom mit Wellenfunktion Ψ 

• Zu ergänzen durch geeignete Randbedingungen: 

z.B. kein Strom fliesse durch Supraleiter-Vakuum/Isolator-Grenzfläche 

(j s ⊥ Oberfläche = 0) 

⇒ ⃗n(−i ⃗ ∇−q s 

⃗ A)Ψ = 0 (⃗n : Normaleneinheitsvektor) (6.46) 

Anmerkung: 

Vergleiche die zweite Ginzburg-Landau-Gleichung mit London: 

rot ⃗ B = −µ 0 λ 2 ⃗j s 

oder ⃗ A = −µ 0 λ 2 j s 

⇒ Ginzburg-Landau → London, wenn der Gradiententerm = 0! 

8 siehe z.B. V.V. Schmidt, The Physics of Superconductors, Springer, Berlin (1997); Seite ??ff


Lösung der Ginzburg-Landau-Gleichungen 

Die Lösung der GL-Gleichungen ermöglicht die Bestimmung der Stromverteilung und 

der Magnetfeldverteilung für spezielle Fälle 

(rein mathematisches Problem) 

→ für den einfachen Fall eines homogenen SL im Nullfeld haben wir schon vor 

Einführung der Gradiententerme eine Lösung erhalten. 

Die Shubnikov-Phase ist – wie von Abrikosov gezeigt wurde – ein Lösung der GL- 

Gleichungen. 

Normierung der GL-Gleichungen 

für die Durchführung von Rechnungen wird üblicherweise eine Lösung für die normierte 

Wellenfunktion gesucht: 

dimensionslose Wellenfunktion 

ψ(⃗r) ≡ Ψ(⃗r) mit Ψ 2 0 = n s = |α| 

Ψ 0 β 

mit den (zunächst formalen) Definitionen 

ξ 2 

λ 2 

≡ 

≡ 

2 

2m s |α| 

m s 

= 

m sβ 

n s qsµ 2 0 µ 0 qs|α| 

2 

(6.47) 

folgen die normierten GL-Gleichungen 

−ψ + |ψ| 2 ψ + ξ 2 (i ⃗ ∇ + 2π 

Φ 0 

⃗ A) 2 ψ = 0 (6.48) 

und 

iΦ 0 

⃗j s = 

4πµ 0 λ 2 (ψ∗ ∇ψ ⃗ − ψ∇ψ ⃗ ∗ ) − 1 

µ 0 λ 2 |ψ|2 A ⃗ 

( ) 

mit ψ=e iϕ = |ψ|2 Φ0 

µ 0 λ 2 2π ∇ϕ − A ⃗ . (6.49) 

Aus der Randbedingung (6.46) wird 

⃗n(i ⃗ ∇ + 2π 

Φ 0 

⃗ A)ψ = 0 (6.50)


Eichinvarianzder GL-Gleichungen 

Das Vektorpotential ⃗ A ist durch das Magnetfeld ⃗ B =rot ⃗ A nicht eindeutig festgelegt. 

Mit ⃗ A = ⃗ A ′ + ∇φ (φ sei eine beliebige eindeutige, skalare Funktion) gilt 

⃗B =rot ⃗ A =rot( ⃗ A ′ + ∇φ) =rot ⃗ A ′ +rot∇φ 

} {{ } 

=0 

Frage: 

hängen die Lösungen der GL-Gleichungen von der Wahl von ⃗ A ab ? 

⇔ sind die GL-Gleichungen eichinvariant ? 

Es lässt sich zeigen, dass dies der Fall ist für die folgende Transformation: 

⃗A = A ⃗′ + ∇φ 

[ 

ψ = ψ ′ exp i 2π ] 

φ(⃗r) 

Φ 0 

(6.51) 

wichtige Konsequenz: 

es lässt sich (für einfach zusammenhängende Körper) immer eine Eichung finden in der 

ψ reell wird. 

Charakteristische Längen 

Wir suchen nun nach der physikalischen Bedeutung der im Zuge der Normierung der 

GL-Gleichungen eingeführten Größen ξ und λ. 

• ξ =( 2 /2m s |α|) 1/2 

einfaches Beispiel: Normal-Supraleiter-Grenzfläche (x = 0; SL im Bereich x>0) 

Die Dichte der SL-Ladungsträger – und damit |ψ| – muss an der Grenzfläche zum 

NL hin absinken (im Inneren des SL gilt |ψ| =1). 

Frage: über welche Länge sinkt |ψ| ab ? 

- 1-dim. Problem: ψ(⃗r) → ψ(x) 

- 1-fach zusammenhängender SL → ψ reell 

mit der Eichung A ⃗ = 0 folgt aus der (normierten) 1. GL-Gleichung (6.48) 

0 = −ψ + |ψ| 2 ψ + ξ 2 (i ⃗ ∇) 2 ψ 

= −ψ + ψ 3 − ξ 2 d2 ψ 

dx 2 (6.52)


Annahme: 

sei NL eine sehr dünne Schicht → geringe Abweichung von ψ =1anderOberfläche 

(ψ =1− ε mit ε ≪ 1) 

unter Vernachlässigung aller quadratischen und kubischen Terme in ε gilt dann 

ξ 2 d2 ε 

− 2ε =0 

dx2 ⇒ ε = ε(0) · e −√ 2x/ξ 

mit 

ε → 0für x →∞ 

d.h. ξ ist die Abklinglänge des Ordnungsparameters, bzw. der SL-Ladungsträgerdichte 

Aus der oben abgeleiteten T -Abhängigkeit des Koeffizienten α folgt für die häufig 

auch mit ξ GL bezeichnete ”Ginzburg-Landau-Kohärenzlänge” 

√ 

ξ GL = 

2 

2m s |α| = 

ξ GL(0) 

√1 − T T c 

(6.53) 

• λ =(m s β/µ 0 q 2 s|α|) 1/2 

dies ist die bereits im Rahmen der Flussquantisierung eingeführte London- 

Eindringtiefe λ L 

→ Abklinglänge für Magnetfelder im SL 

Die T -Abhängigkeit nahe T c ist wegen λ ∝ |α| −1 dieselbe wie für die 

Kohärenzlänge 

√ 

λ L = 

m s β 

µ 0 qs|α| = λ L(0) 

(6.54) 

√1 2 − T T c 

Die GL-Theorie führt also zwei charakteristische Längen ein (ξ GL ,λ L ). 

Das Verhältnis beider Größen ist definiert als der Ginzburg-Landau-Parameter 

κ ≡ λ L 

ξ GL 

(6.55) 

Aus der oben abgeleiteten Beziehung Bc 2 = µ 0 α 2 /β und den Definitionen für λ und ξ 

folgt 

κ = λ 2 1 · 

λξ 

= √ 2 2π λ 2 B c (6.56) 

Φ 0 

bzw. die nützliche Beziehung 

√ 

2Bc = Φ 0 

2π · 1 

(6.57) 

λξ 

Eine wichtige Konsequenz ergibt sich aus dem Wert des GL-Parameters κ. 

Hierzu betrachten wir die ...


Energie einer N-S Grenzfläche 

Wir betrachte einen Festkörper der eine Grenzfläche zwischen einem normalleitenden 

(NL) und supraleitenden (SL) Bereich bildet. 

Abb. 6.25: NL-SL-Grenzfläche mit 

externem Magnetfeld parallel zur 

Grenzfläche zwischen NL- und SL- 

Halbraum 

Die Betrachtung der Gibbschen freien Energiedichten G n im NL-Bereich und G s im 

SL-Bereich – in genügend großem Abstand von der Grenzfläche – liefert G n = G s . 

Die Grenzflächenenergiedichte ist dann definiert als 

σ ns = 

∫ ∞ 

(G sH − G n )dx (6.58) 

−∞ 

Die Berechnung im Rahmen der GL-Theorie liefert für σ ns 

∫∞ 

[ ( ) ] 

2 

σ ns = 2B2 c dψ 

ξ 2 + B(B − B c) 

dx (6.59) 

µ 0 dx 

−∞ 

Hierbei liegt im NL-Bereich gerade das kritische Feld B c an. Dieses fällt im SL-Bereich 

stetig auf Null ab. 

Die Amplitude der (normierten) Wellenfunktion fällt vom Wert ψ ∞ = 1 im Inneren 

des SL-Bereichs über der Grenzfläche stetig auf den Wert ψ =0ab. 

Die Grenzflächenenergie enthält nach der obigen Gleichung zwei Beiträge: 

• linker Term im Integral ( ⃗ ∇ψ) 2 > 0: 

Aufgrund des Abfalls der Dichte der supraleitenden Ladungsträger ”opfert” der 

SL Kondensationsenergie an der Grenzfläche 

→ positiver Beitrag zu σ ns ∝ B 2 c · ξ 

(tritt nicht auf im Rahmen der London-Theorie !) 

2B 2 c 

• rechter Term im Integral B(B − B c ) < 0: 

Feld kann in Supraleiter eindringen 

→ Weniger Feldverdrängungsenergie 

→ negativer Beitrag (Energiegewinn) zu σ ns ∝−Bc 2 · λ


Veranschaulichung beider Grenzfälle: 

• κ ≪ 1 ⇔ λ L ≪ ξ Gl 

Abb. 6.26: Räumliche Variation 

des Ordnungsparameters 

ψ und des Magnetfelds 

H an SL-NL- 

Grenzfläche – Grenzfall 

κ ≪ 1 [aus V.V. Schmidt, 



(1997); Abb.3.4]. 

dψ/dx-Term dominiert ⇒ σ ns ∝ ξ · B 2 c > 0 → Grenzfläche energetisch 

ungünstig 

• κ ≫ 1 ⇔ λ L ≫ ξ Gl 

Abb. 6.27: Räumliche Variation 

des Ordnungsparameters 

ψ und des Magnetfelds 

H an SL-NL- 

Grenzfläche – Grenzfall 

κ ≫ 1 [aus V.V. Schmidt, 



(1997); Abb.3.5]. 

B-Term dominiert ⇒ σ ns ∝−λ·B 2 c < 0 → Grenzfläche energetisch günstig


Genaue Rechnung im Rahmen der GL-Theorie 

liefert Kriterium κ = λ L 

ξ GL 

≷ √ 1 

2 

: 

κ < √ 1 

2 

κ > √ 1 

2 

:Typ− I − Supraleiter (kein Aufbau innerer Grenzflächen) 

:Typ− II − Supraleiter (Aufbau möglichst vieler innerer Grenzflächen) 

für Typ-II-Supraleiter: 

Nebenbedingung aus Flussquantisierung → minimaler Fluß Φ = Φ 0 

⇒ Bildung von Flussschläuchen mit normalleitendem Kern 

(d.h. nicht so viele Grenzflächen erlaubt!) 

• Achse des Flussschlauches ist ‖ B ⃗ ext 

• senkrecht zur Achse: 

- SL-Ladungsträgerdichte: 

Abfall ψ 2 → 0 (im Zentrum) auf Längenskala ξ Gl 

- Magnetfeld: 

Maximal auf der Achse; Abklingen auf der Längenskala λ L 

Abb. 6.28: Abrikosov- 

Flusswirbel: Schematische 

Darstellungdes Magnetfeldes 

B(r) und der 

SL-Ladungsträgerdichte 

n s (r) 

• Mindestfeld um Schlauch aufzubauen (≡ B c1 ) 

Φ ≈ πλ 2 LB c1 

! 

=Φ 0 ⇒ B c1 ≈ Φ 0 

πλ 2 L 

(6.60) 

Genaue Rechnung (GL-Theorie): 

B c1 = Φ 0 

ln(κ + const) (6.61) 

4πλ 2 L


• Maximalfeld für supraleitenden Zustand (≡ B c2 ) 

falls sich NL-Kerne ”berühren” → nur N übrig 

Für B>B c1 → Bildung von immer mehr Flußwirbeln 

→ Wirbelabstand verringert sich 

B c2 : Wirbelabstand ≈ ξ Gl 

Genaue Rechnung: 

→ πξ 2 GlB c2 ≈ Φ 0 ⇒ B c2 ≈ Φ 0 

πξ 2 Gl 

B c2 = Φ 0 

2πξ 2 Gl 

(6.62) 

(6.63) 

Typische Werte 

Tabelle 6.4: Kritische Temperatur T c , London-Eindringtiefe λ L , Ginzburg-Landau- 

Kohärenzlänge ξ GL , kritische Felder und SL-Typ für verschiedene Materialien; für die 

T -abhängigen Größen sind die Werte bei tiefen T angegeben 

Material T c [K] λ L [nm] ξ GL [nm] κ B c [T] B c1 [T] B c2 [T] SL-Typ 

Al 1.2 16 1600 ∼0.01 0.01 — — I 

In 3.4 24 360 ∼0.07 — — I 

Pb 7.2 37 83 ∼0.45 0.08 — — I 

Nb 9.2 39 38 ∼1 0.21 0.2 0.27 II(I) ∗ 

YBa 2 Cu 3 O 7 92 140 ⊥ 1.5 ab ∼90 1.1 0.085 ⊥ 130 ⊥ II 

700 ‖ ∼ 0.3 c ∼2300 0.025 ‖ 

Bi-2212 ∗∗ 90 200 − 300 ⊥ ∼ 2 ab 100 − 150 0.39 0.1 ⊥ 33 ⊥ II 

> 5 · 10 4 ‖ < 0.1 c > 5 · 10 5 ‖ 6 · 10 −4 ‖ 1600 

∗ : je nach Grad der Verunreinigung; hochreines Nb ist Typ-I-SL 

∗∗ Bi 2 Sr 2 CaCu 2 O 8 

⊥ für Magnetfelder senkrecht zu den Cu-O-Ebenen (ab-Ebenen) 

‖ für Magnetfelder parallel zu den Cu-O-Ebenen (ab-Ebenen) 

ab in der ab-Ebene; c entlangder c-Achse 

Aufgrund der Anisotropie der HTS sind deren Werte abhängig von der Kristallrichtung.


Maximale Stromtragfähigkeit im Supraleiter 

Betrachte supraleitenden Draht; der maximale Suprastrom ist der ”kritische Strom”. 

(a) Draht sei im Meißner-Zustand (Typ-I-Supraleiter 

oder so dünner Typ-II-Supraleiter, daß keine Flusswirbel sich ausbilden) 

1. Betrachtungsweise: 

Eigenfeld durch Strom erreicht B c → Zusammenbruch der Supraleitung 

Maxwell : j ≈ B 

µ 0 λ 

µ 0 λ 

(falls die Drahtdicke ∼ 2λ) 

2. Betrachtungsweise: 

Stromtransport → kinetische Energie steigt 

Freie Energiedichte (magnetische Terme vernachlässigt, wg. dünner Probe): 

F s = F n −|α|n s + β 2 n2 s + n s 

m s 

2 v2 s 

} {{ } 

E kin 

(6.64) 

Der Gleichgewichtswert für n s (v s ) folgt aus der Forderung, dass F s = Minimum. 

∂F s 

∂n s 

= −|α| + βn s + m s 

2 v2 s = 0 (6.65) 

⇒ 

d.h. (nach Ginzburg-Landau) n s sinkt ∝ v 2 s 

Für die Suprastromdichte gilt dann 

n s = |α| 

β − m s 

2β · v2 s (6.66) 

j s = q s · n s · v s 

= q s|α| 

β · v s − q sm s 

2β · v3 s (6.67) 

Abb. 6.29: Dichte der SL-Ladungsträger 

n s und Suprastromdichte j s in einem 

dünnen Draht/Film als Funktion der Geschwindigkeit 

v s der SL-Ladungsträger [aus 

V.V. Schmidt, The Physics of Superconductors, 

Springer, Berlin (1997); Abb.3.10].


j s ist maximal (= j c )wenn 

∂j s 

= 0 (6.68) 

∂v s 

Dann folgt nach Ableiten von (6.67) 

v s,max = 2|α| 

3m s 

(6.69) 

Eingesetzt in (6.67) liefert mit (6.66) die kritische Stromdichte 

√ 

2|α| 2 |α| 

j c ≡ j s (v s,max )=2e · · 

(6.70) 

3β 

}{{} } {{ 

3 m 

} 

n s(v s,max) v s,max 

Mit steigender Stromdichte j s steigt zwar die Geschwindigkeit der SL- 

Ladungsträger 

– dies ist aber verknüpft mit einem Abfall der Dichte der Ladungsträger 

Mechanismus: 

Durch Zuführen von kinetischer Energie werden immer mehr Cooper-Paare aufgebrochen 

und stehen somit nicht mehr für den verlustfreien Stromtransport zur 

Verfügung 

→ j s (v s,max )=Paarbrechungs-Stromdichte ’depairing current density’ 

Mit 

- der Dichte der SL-Ladungsträger im stromlosen Fall n s,0 = |α|/β, 

- dem kritischen Feld B c = √ n s,0 |α|µ 0 und 

- der London-Eindringtiefe aus (6.54) 

folgt dann für die kritische Stromdichte 

( ) 3/2 { 2 B c 10 

j c = 

∼ 

8 A/cm 2 HTSL 

3 µ 0 λ L 10 7 A/cm 2 LTS 

(6.71)


(b) Kritischer Strom von Typ-II-Supraleiter 

Typischer Mechanismus in dünnen Filmen oder Drähten der Breite/Dicke >λ L : 

der Transportstrom erzeugt Flusswirbel im Supraleiter 

(falls diese nicht schon aufgrund eines externen Magnetfeldes im SL sind) 

• Für I ≠0→ Lorentz-Kraft(dichte) auf Flusswirbel 

⃗f L = ⃗j × ⃗ Φ 0 (6.72) 

Abb. 6.30: Lorentz-Kraft auf Flusswirbel in einem stromdurchflossenen supraleitenden Film 

im B-Feld 

→ Flusswirbel wandern mit Geschwindigkeit ⃗v L 

→ Dissipation ∇V ⃗ = E ⃗ = B ⃗ × ⃗v L 

→ Kein Suprastrom(!) – falls Supraleiter perfekt homogen 

• Flusslinienverankerung (Pinning) 

(Punkt-/Linien)Defekte, Größenskala ξ Gl im Supraleiter 

→ normalleitend (oder schwach supraleitend) 

→ weniger Verlust an Kondensationsenergie, 

falls Kern der Flusslinien durch Defekt geht. 

→ Vortex ”haftet” an Defekt (pinning) 

→ Suprastrom > 0, solange ⃗ f Lorentz < ⃗ f Pinning 

kritische Stromdichte (wenn f ⃗ Lorentz = f ⃗ Pinning erreicht) 

= ’depinning’ Stromdichte 

→ reale Stromdichten bis zu einige 10 6 A/cm 3 

(HTS Dünnfilme, T=77 K) erreichbar – abhängig von Defektstruktur 

gezieltes Einbringen von Defekten → ’harte’ Supraleiter für Anwendungen

6.5 Mikr. Verständnis der SL 371 

Verankerung von Flusswirbeln = Pinning 

Abb. 6.31: Defekte im Supraleiter wirken als Pinning-Zentren. Solche Defekte können auf 

natürliche Weise bei der Herstellungdes Materials entstehen. Sie können auch nachträglich 

in den Supraleiter eingebracht werden - z.B. durch Beschuss mit schweren Ionen: erzeugt 

’kolumnare’ Defekte mit zufälliger Verteilung 

Das Einbringen von zufällig verteilten Defekten als Haftzentren für Flussfäden führt 

zu einer Störung des regelmäßigen Flusslininengitters (Abrikosov-Gitter) 

Abbildung z.B. durch Bitter-Dekoration: 

Abb. 6.32: Abbildungvon Flusswirbeln in einem Hochtemperatursupraleiter vor und nach 

Beschuss mit schweren Ionen 

6.5 Zum mikroskopischen Verständnis 

der Supraleitung 

Vorbemerkung 

GLAG-Theorie beschreibt:


→ thermodynamische Eigenschaften (B c ,B c1 ,B c2 ,j c ,...) 

→ Verhalten an Grenzflächen (Flusswirbel, Kohärenzlänge, magnet. Eindringtiefe) 

→ Supraleitung als geordneten Zustand (Ordnungsparameter) 

mit kohärentem Verhalten der Ladungsträger 

Problem: 

Differenz in der freien Energiedichte 

F n − F s0 = B2 c 

2µ 0 

17 eV 

z.B. mit B c(Nb)=0.2T→ ≈ 10 

cm 3 

Mit einer typischen Elektronendichte in Metallen n el ≈ 10 22 cm −3 folgt daraus eine 

Differenz in der freien Energie pro Elektron 

F n − F s0 

n el 

≈ 10 −5 eV 

zum Vergleich: 

typischer Wert für Coulomb-Wechselwirkung zwischen Elektronen ≈ 1eV 

(ist häufig vernachlässigbar in theoretischer Beschreibung von Metallen) 

⇒ wie kann dieser minimale Energiegewinn von ca. 10 −5 eV/Elektron im SL- 

Zustand zu einem kohärenten Verhalten der Ladungsträger führen, 

wenn selbst die häufig vernachlässigbare Coulomb-Wechselwirkung um 5 

Größenordnungen stärker ist ?? 

GLAG-Theorie erklärt nicht: 

• mikroskopischen Mechanismus der zu geordnetem Zustand führt 

• Wert der kritischen Temperatur T c (”Ordnungstemperatur”) 

• Abwesenheit der Dissipation bei Stromtransport 

Der physikalische Mechanismus der Supraleitung wurde erst knapp 50 Jahre nach der 

Entdeckung aufgeklärt.


experimentelle Beobachtungen 

(die wichtig für die Entwicklung, bzw. Bestätigung der mikroskopischen Theorie waren) 

• Isotopeneffekt: Sprungtemperatur T c hängt von der Masse M der Ionen ab 

(Effekt wurde erstmals 1950 an Hg gefunden) 

Beispiele: 

– Quecksilber (Hg): 

mittleres Atomgewicht M = 199.5 → T c =4.185 K 

M = 203.4 → T c =4.146 K 

– Zinn (Sn) 

T c ∝ 1 

M α mit α ≈ 1 2 

Abb. 6.33: Isotopeneffekt für Zinn (Sb) 

mit Ergebnissen verschiedener Autoren [aus 

H. Ibach, H. Lüth Festkörperphysik, Springer, 

Berlin (1995); Abb.10.15]. 

– weitere Materialien: 

Material Hg Sn Pb Cd Tl 

Exponent α 0.50 0.47 0.48 0.5 0.5 

Bei einer harmonischen Schwingung der Atomrümpfe mit Masse m im Gitter 

gilt für die Schwingungsfrequenz ω = √ k/m. 

Hierbei ist k die Kraftkonstante im linearen Kraftgesetz F = −k · x 

(F : Kraft; x: Auslenkung). 

Die Kraftkonstante k hängt von der Bindung der Atome im Metall ab; 

k sollte bei Variation der Isotopenmasse unverändert bleiben 

⇒ Debye-Frequenz 

ω D ∝ 1 √ 

M 

Der Isotopeneffekt lässt also auf eine nahezu lineare Abhängigkeit der Sprungtemperatur 

T c von der Debye-Frequenz schliessen 

→ Indiz, daß Gitterschwingung an Wechselwirkung beteiligt ist 

Anmerkung: Beobachtung gilt für viele konventionelle Supraleiter; Hochtemperatursupraleiter 

zeigen wesentlich komplizierteres Verhalten


• Flussquantisierung 

Die Experimente (im Jahr 1961) von Doll, Näbauer und Deaver, Fairbank ergaben 

für den Wert des magnetischen Flussquants 

Φ 0 ≡ h q s 

= h 2e 

also q s =2e 

→ klarer Beleg, dass 

(i) die supraleitenden Ladungsträger aus Elektronen-Paaren bestehen, 

und dass 

(ii) sich die Gesamtheit dieser Paare in einem kohärenten Zustand befindet. 

• Energielücke 

Im supraleitenden Zustand existiert am Fermi-Niveau eine Energielücke (”gap”) 

im Anregungsspektrum der normalleitenden Elektronen. 

Diese Energielücke ist dafür verantwortlich, dass die Cooper-Paare keine Streuung 

erfahren 9 , was zum verlustfreien Ladungstransport führt. 

Die Existenz der Energielücke wird im Rahmen der BCS-Theorie erklärt. Es gab 

eine Reihe von Experimenten, die auf eine Energielücke im Supraleiter hinweisen 

und somit die BCS-Theorie bestätigen konnten. 

1. Ferninfrarotabsorption 

erster experimenteller Nachweis der Existenz einer Energielücke durch 

Glover und Tinkham (1957) 

Abb. 6.34: Experimenteller Nachweis 

der Energielücke mittels 

Infrarot-Absorption in V, In und 

Sn. Aufgetragen ist die normierte 

Differenz der reflektierten Intensitäten 

I s im supraleitenden und 

I n im normalleitenden Zustand 

vs. Photonenfrequenz ν (∝ Energie) 

[aus W. Buckel, Supraleitung, VCH 

Weinheim, 5. Aufl. (1994); Abb.25]. 

Die reflektierte Intensität fällt im SL-Zustand stark ab, wenn die Photonenenergie 

ausreicht Cooper-Paare aufzubrechen. 

→ keine Anregung (d.h. Absorption) für hν < 2∆! 

Häufig 2∆ ≈ 3.5k B T c Beispiel: Sn In Ta Pb 

2∆/kT c 3.5 3.9 3.0 4.4 

9 solange die kinetische Energie der Cooper-Paare nicht zu groß wird


2. Ultraschallabsorption 

Dämpfung einer Schallwelle (Strom kohärenter Phononen) erfolgt unterhalb 

von T c durch Streuung an ungepaaarten Elektronen. 

(solange die Phononenenergie ≪ 2∆) 

Die Dichte n n der ungepaarten Elektronen steigt exponentiell mit dem Temperatur 

n n ∝ e −∆/k BT 

⇒ messbarer exponentieller Anstieg der Ultraschallabsorption 

mit steigendem T liefert ∆ 

3. Spezifische Wärme 

bei tiefen Temperaturen dominiert der Beitrag des Elektronensystems den 

Wert und die T -Abhängigkeit der spezifischen Wärme. 

Ähnlich wie bei der Ultraschallabsorption findet man im Experiment einen 

exponentiellen Anstieg mit T 

C ∝ e −∆/kT für T ≪ T c 

4. Quasiteilchen-Tunneln 

Das Tunneln von normalleitenden Elektronen (”Quasiteilchen”) in N-I-S- 

Kontakten 10 oder S-I-S-Kontakten ist eine der wohl direktesten und elegantesten 

Methoden zur experimentellen Bestimmung der Energielücke in 

Supraleitern. 

Solche Experimente wurden erstmals zu Beginn der 60er Jahre von I. Giaever 

durchgeführt. 11 

Bei T = 0 stehen in N-I-S-Kontakten für Spannungen U


Elektron-Phonon-Wechselwirkung 

1950/51 wurde von Fröhlich und von Bardeen eine Wechselwirkung von Elektronen 

über Gitterschwingungen vorgeschlagen: 

formale Beschreibung: 

e − − e − -Wechselwirkung über Austausch virtueller Phononen: 

virtuelles Phonon (T =0): 

Wellenvektor q ph 

Energie ω q 

Impulserhaltung: 

⃗ k1 + ⃗ k 2 = ⃗ k ′ 1 + ⃗ k ′ 2 

Abb. 6.35: Schematische Darstellungder 

e − e − -Wechselwirkung über Austausch virtueller 

Phononen 

anschaulich: 

- e − zieht positiv geladenen Ionenrümpfe an 

→ erzeugt eine Ladungspolarisationswolke (aus pos. Ionen) 

- ein durch das Gitter laufendes e − zieht Ladungspolarisationswolke hinter sich her 

- aufgrund der wesentlich größeren Masse der Ionenrümpfe erfolgt die Bewegung 

der Polarisationswolke zeitlich retardiert 

(dynamischer Effekt !!) 

- ein zweites e − wird von der Polarisationswolke angezogen 

→ Gitter vermittelt attraktive Wechselwirkung zwischen zwei e − 

(Retardation ermöglicht Überwindung der Coulomb-Abstoßung) 

Abb. 6.36: Schematische Darstellungder Anziehungzweier Elektronen über e − -Phonon- 

Wechselwirkung


Abschätzung – zur Bedeutung der Retardation: 

wie weit kommt 1. e − bis Verzerrung maximal ist ? 

Phononenschwingungsdauer: 

τ q = 2π ≤ 2π ω D : Debye− Frequenz 

ω q ω D 

⇒ 1. e − mit Fermi-Geschwindigkeit v F kommt ∆r ≥ v F · 2π 

ω D 

mit v F ≈ 10 8 cm und 2π/ω D ≈ 10 −13 s 

⇒ ∆r < ∼ 100 nm ≫ Reichweite der Coulomb-WW 

(wird über wenige Åabgeschirmt) 

Cooper-Paare 

weit 

Cooper (1956) betrachtete Fermi-Kugel (freies Elektronengas) + 2 Elektronen 

zeigte, dass beliebig schwache, attraktive e − e − Wechselwirkung ausreicht um 2 Elektronen 

zu binden 

zwei wichtige Bedingungen: 

(i) es gibt eine maximale Energieänderung ω c beim Übergang ⃗ k i → ⃗ k ′ i (i =1, 2) 

(ii) Pauli-Prinzip: 

Streuung ist nur in unbesetzte Zustände | ⃗ k ′ | >k F möglich 

⇒ e − − e − -WW ist nur möglich für Elektronen auf der Schale der Fermi-Kugel mit 

Energie 

|E k − E F |≤ω c bzw. |E ′ k − E F |≤ω c 

Cooper zeigt, dass Wechselwirkung maximal wird für Elektronen mit ⃗ k 1 = − ⃗ k 2 

und entgegengesetztem Spin. 

→ Cooper-Paar: { ⃗ k ↑, − ⃗ k ↓} 

beschrieben durch Wellenfunktion mit 

- Spin =0 → Spin-Singulett-Zustand (| ↑↓〉 − | ↓↑〉) 

- Bahndrehimpuls l =0(s-Wellensymmetrie) 

d.h. antisymmetische Spinfunktion ψ und symmetrische Ortsfunktion φ 

quantenmechanische Rechnung: 

→ Lösung der Schrödinger-Gleichung für zwei Elektronen 

mit attraktiver Wechselwirkung – beschreiben durch Potential V 

(Betrachtung der Symmetrie der Wellenfunktion 

→ Ortsfunktion φ(⃗r 1 ,⃗r 2 ) muss symmetrisch sein) 

E ≈ 2E F − 2ω c e −2/N (E F )V 

ω c ist die maximale Frequenz, für die V attraktiv ist; 

N(E F ): Zustandsdichte am Fermi-Niveau E F 

⇒ Absenkung der Gesamtenergie durch Bilden eines Cooper-Paars 

(im Vergleich zum Fall ungepaarter e − : E =2E F ) 

⇒ Instabilität des Fermi-Sees im Grundzustand (T =0)


BCS-Theorie 

Bardeen, Cooper, Shrieffer, 1957 

Erweiterung auf alle Elektronen (Vielteilchentheorie) 

Ansatz: 

Grundzustand des Supraleiters ist aufgebaut aus Paarzuständen ( ⃗ k ↑, − ⃗ k ↓), 

→ mit gemeinsamen Schwerpunkt im ⃗ k-Raum 

→ Spin-Singuletts 

→ Durch Wechselwirkung V kk ′: 

Paar kann vom Zustand | ⃗ k ↑; − ⃗ k ↓〉 

in Zustand | ⃗ k ′ ↑; − ⃗ k ′ ↓〉 übergehen. 

→ Wellenfunktion = Superposition von (Paar-)Zuständen 

wobei 

vk 

2 ≡ Wahrscheinlichkeit, dass Zustand |⃗ k ↑; − ⃗ k ↓〉 besetzt ist; 

≡ Wahrscheinlichkeit, dass Zustand |⃗ k ↑; − ⃗ k ↓〉 leer ist; 

u 2 k 

Lösung der Vielteilchen-Schrödinger-Gleichung 

mit obigem Ansatz für den SL-Grundzustand folgt für die Energie: 

E s = ∑ k 

2ɛ k v 2 k + ∑ k,k ′ V k,k ′ v k u k ′v k ′u k (6.73) 

Der erste Term ist die gesamte kinetische Energie des Systems. Hierbei ist ɛ k die Energie 

eines Elektrons im Zustand ⃗ k, bezogen auf das Fermi-Niveau, also 

ɛ k = 2 k 2 

2m − 2 kF 

2 

2m 

Der zweite Term beschreibt die mittlere potentielle Energie der e − e − -Wechselwirkung, 

mit dem Matrixelement V k,k ′


In der BCS-Näherung setzten wir für V k,k ′: 

{ −V |ɛk |, |ɛ 

V ⃗k k ⃗′ = 

k ′| < ω c 

0 sonst 

(6.74) 

Minimierung der Energie E s bezüglich v 2 k , 

d.h. die Forderung 

∂E s 

∂v 2 k 

liefert mit (6.73),(6.74) 

wobei 

mit 

=0 

vk 2 = 1 ( 

1 − ɛ ) 

k 

2 E k 

u 2 k =1− vk 2 = 1 ( 

1+ ɛ ) 

k 

2 E k 

E k ≡ 

∆ ≡ V 

(6.75) 

√ 

ɛ 2 k +∆2 (6.76) 

′ 

∑ 

k 

v k u k (6.77) 

(in der Definition von ∆ läuft die Summation nur über k-Werte mit |ɛ k |≤ω D ) 

Abb. 6.37: Abhängigkeit vk 2 vs. k. Am Fermi-Niveau gilt ɛ k = 0. Der Energiebereich, in dem 

vk 2 von1auf0absinktbeträgt ca. 2∆ [aus V.V. Schmidt, The Physics of Superconductors, 

Springer, Berlin (1997); Abb.6.5]. 

wesentliches Ergebnis: 

die Gesamtenergie des Systems ist minimal wenn die Verteilung vk 2 (k) an besetzten 

Paarzuständen – und damit auch die Verteilung u 2 k (k) =1− v2 k an unbesetzten Paarzuständen 

– am Fermi-Niveau ”ausgeschmiert” ist. 

Die Breite der Verschmierung beträgt ca.2∆


Vergleich: (für T =0) 

∆=0→ ungepaarte Elektronen: 

Zustand ⃗ k entweder besetzt oder leer 

→ v k ,u k entweder 0 oder 1. 

∆ ≠0→ Cooper-Paare: 

→ Übergangsbereich um k F , 

in dem v k und u k ≠0 

Abb. 6.38: Besetzungswahrscheinlichkeiten für Paarzustände vs. Wellenvektor. 

Links: ohne attraktive e − e − -WW (∆ = 0); rechts: mit attraktiver e − e − -WW (∆ = 0) 

Rolle von ∆ → Ordnungsparameter für Cooper-Paarung 

|∆| =0 für T>T c 

|∆| ≠ 0 bei Supraleitung. 

Es zeigt sich: |∆| ∝|ψ Gl | 

Anmerkung: 

Die BCS-Theorie beschreibt 

(i) die Besetzung von Paarzuständen oberhalb des Fermi-Niveaus 

→ Erhöhung der kinetischen Energie des Gesamtsystems; 

(ii) attraktive e − e − -Wechselwirkung 

→ Absenkung der potentiellen Energie 

⇒ Erniedrigung der Gesamtenergie im supraleitenden Zustand ! 

wie groß ist ∆ ? 

Einsetzen von (6.75) in (6.77) liefert 

Mit 

1= V 2 

′ 

∑ 

k 

′ 

∑ 

k 

... → 

( 

ɛ 

2 

k +∆ 2) −1/2 

∫ω c 

−ω c 

... N(ɛ) dɛ 

(N(ɛ): Zustandsdichte bei der Energie ɛ = E − E F ) 

und unter der Annahme, dass im Integrationsintervall N(ɛ) ≈ N(0) = const folgt 

1= N(0)V 

2 

∫ω c 

−ω c 

( 

ɛ 2 +∆ 2) −1/2 

(6.78) 

(6.79)


Nach Auswertung des Integrals folgt 

ω c 

∆ =sinh ( 1 

N(0)V 

Mit guter Näherung für die meisten Supraleiter: N(0)V ≤ 0.3 gilt dann 

( 

∆ ≈ 2ω c exp − 1 ) 

N(0)V 

) 

(6.80) 

(6.81) 

also ∆ ∝ ω c 

→ falls Elektron-Phonon-Wechselwirkung: 

ω c ≈ höchstfrequentes Phonon ≈ ω Debeye 

Abschätzung: 

mit Debye-Temperatur ω D /k B ≈ 100 K und N(0)V ≈ 0.3 

⇒ ∆ ≈ k B · 7K ≈ 0.6meV 

Energie des Grundzustands 

• Normalleiter: V =0 → E n = ∑ 

• Supraleiter: → (6.73) 

damit gilt für die Differenz 

k


Anregung aus dem Grundzustand: ”Quasiteilchen” und Energielücke 

Wir gehen aus vom Grundzustand des Supraleiters 

und fragen nach der Energie, die erforderlich ist ein ungepaartes Elektron hinzuzufügen 

→ Einfachster angeregter Zustand: 

alle Elektronen bis auf eine Elektron im Zustand |↑,k〉 gepaart. 

Analog zur Berechnung des Grundzustandes 12 liefert die BCS-Theorie für die Energie 

diese Zustands: 

E a = E 0 + E k 

= E 0 + 

√ɛ 2 k +∆2 , ɛ k = 2 k 2 

2m − 2 kF 

2 

2m 

(6.84) 

Abb. 6.39: Anregungsspektrum eines Supraleiters: Energie E k eines ungepaarten Elektrons 

vs. kinetischer Energie 

→ Beschreibt ”Quasiteilchen” mit Energie E k (anstelle ε k der freien Elektronen) 

→ Mindestenergie ∆ zur Anregung notwendig – wenn k = k F 

→ Erklärung der Infrarotabsorption 

Ein Cooper-Paar → Zwei Quasiteilchen → Mindestenergie 2∆ 

→ ∆ tritt hier als Energielücke auf 

→ Energielücke und Paardichte proportional zueinander! 

12 siehe z.B. V.V. Schmidt, The Physics of Superconductors, Springer, Berlin (1997); Seiten 149-150.


Zustandsdichte der Quasiteilchen 

Die Energie E k der Quasiteilchen in Abhängigkeit vom Wellenvektor k aus (6.84) ist 

unten links dargestellt. 

Abb. 6.40: Spektrum elementarer Anregungen E k eines Supraleiters (links) und ihre Zustandsdichte 

ρ(E) (rechts) [aus V.V. Schmidt, The Physics of Superconductors, Springer, 

Berlin (1997); Abb.6.7]. 

Diese Darstellung gilt für T = 0 mit einer Energielücke ∆ = ∆ 0 . 

Aus der Darstellung ist ersichtlich, dass die Dichte der Zustände ansteigt, 

wenn E k → ∆ 0 . 

Definition: 

Zustandsdichte ρ(E) ≡ dν 

dE 

= 

Zahl d. Energieniveaus/Vol. 

Energie − Intervall 

mit der Zustandsdichte in der Nähe des Fermi-Niveaus im normalleitenden Zustand 

gilt dann 

dν 

dɛ = N(0) 

ρ(E) = dν 

dɛ 

dɛ 

dE 

E 

= N(0) √ 

E2 − ∆ 2 0 

(6.85) 

d.h. die Zustandsdichte der elementaren Anregungen 

- ist Null innerhalb der Energielücke 

- divergiert für E → ∆ 0 

- geht gegen N(0) für E>∆ 0


Temperaturabhängigkeit der Energielücke 

Thermische Anregung (beträchtlich wenn k B T ∼ 2∆) von Quasiteilchen 

→ ”Aufbrechen von Cooper-Paaren 

mit der Wahrscheinlichkeit 

1 

f(E k )= 

e E k/kT 

+1 

→ Rückwirkung auf Grundzustand 

(Zustände im ⃗ k-Raum sind von Einteilchen-Anregungen besetzt 

→ stehen für e − e − -WW nicht mehr zur Verfügung) 

⇒ Erhöhung der SL-Energie und Verringerung der Energielücke 

(siehe (6.77): ∆ ≡ V ∑′ k v ku k ) 

→ T -abhängige Energielücke 

∆(T )=V 

′ 

∑ 

k 

v k u k (1 − f(E k )) 

Auswertung 13 ergibt ∆(T ) ∝ (T c − T ) 1/2 für T nahe T c 

und den unten dargestellten Verlauf für ∆(T ) 

Abb. 6.41: Temperaturabhängigkeit 

der Energielücke: 

Ergebnis der 

BCS-Theorie (gestrichelt) 

und Vergleich mit experimentellen 

Daten, die 

aus Tunnelexperimenten 

von Giaever und Megerle 

gewonnen wurden [aus 

V.V. Schmidt, The Physics 

of Superconductors, 

Springer, Berlin (1997); 

Abb.6.16]. 

Bei T = T c wird ∆ = 0. Mit dem Ergebnis für ∆(T ) aus der BCS-Theorie lässt sich 

damit ein Zusammenhang zwischen ∆(T = 0) und T c herleiten: 

2∆ 0 = 3.52 k B T c 

und k B T c = 1.14ω D exp 

( 

− 1 ) 

N(0)V 

(6.86) 

⇒ T c ∝ ω D ∝ 1 √ 

M 

, falls Wechselwirkung via Gitterschwingungen. 

→ erklärt den Isotopeneffekt! 

13 siehe z.B. V.V. Schmidt, The Physics of Superconductors, Springer, Berlin (1997); Seite 154.


Die BCS-Kohärenzlänge ξ 0 

Maß für die Distanz, über die zwei Elektronen paar-korreliert sind. 

• ξ 0 muß ∝ v Elektron ≈ v F wachsen. 

• ξ 0 wächst, je langsamer das Gitter relaxiert ⇒ ξ 0 ∝ 1 

ω D 

. 

mit T c ∝ ∆ ∝ ω D 

⇒ ξ 0 ∝ 1 ∆ ∝ 1 T c 

Genaue Rechnung (BCS-Theorie): 

ξ 0 = v F 

π|∆| 

Typischer Wert ∼ 100 nm ≫ Gitterkonstante (für konventionelle Supraleiter) 

→ für Ladungsträgerkonzentrationen ∼ 10 23 /cm 3 

mit Bruchteil ∆ 0 /E F ∼ 10 −3 der durch Paarbildung 

zur Kondensationsenergie beiträgt 

→∼10 5 Cooper-Paare pro Kohärenzvolumen ξ 3 

→ Starker Überlapp der Paare 

dagegen: Hoch-T c : ξ ∼ 15 Å, n ∼ 10 21 /cm 3 

→ nur wenige Paare in Kohärenzvolumen


Anmerkung zur BCS-Theorie 

→ Nimmt schwache Wechselwirkung V kk ′ 

an. 

→ Erklärt wesentliche Grundzüge der Supraleitung. 

→ Genauere Betrachtung der Elektronen-Phononen-Wechselwirkung 

→ ”Eliashberg-Theorie” 

BCS + Eliashberg: Sehr gute Beschreibung konventioneller Supraleiter. 

→ BCS geht in GLAG über für T → T c 

Hochtemperatursupraleiter 

→ Paar-Mechanismus derzeit unklar! (evtl. (Antiferro-)magnetische Wechselwirkung) 

Bekannt: 

Ebenfalls Spin-Singulett-Cooper-Paare. 

Aber: Bahndrehimpuls 2 → d x 2 −y 2-Symmetrie 

(Low-T c : s-Zustand, 0) 

Abb. 6.42: (a): |∆| = const, Low-T c . (b): ∆ ∝ d x 2 −y 2 

Vorzeichenwechsel von k x → k y 

→ Nullstellen in Diagonalrichtung, → 

→ ∆ wird richtungsabhängig 

→ Nullstellen in Diagonalrichtung 

→ Vorzeichenwechsel bei Drehung von 90 ◦ im k-Raum 

Konsequenzen: 

• Anregungen von Quasiteilchen bereits bei kleinen Energien möglich 

(ändert z.B. T -Abhängigkeit der spezifischen Wärme oder der London- 

Eindringtiefe) 

• Vorzeichenwechsel kann zu halbzahligen Flussquanten führen


Quasiteilchen-Tunneln 

Wir betrachten nun das elastische Tunneln von ungepaarten Elektronen (”Quasiteilchen”) 

in N-I-S-Tunnelkontakten. 

Es gelten die allgemeinen Überlegungen, wie sie bei der Behandlung des Magnetotunnelwiderstands 

(Kap. 5.6) diskutiert wurden; d.h. insbesondere muss die isolierende 

Tunnelbarriere genügend dünn sein (typisch ∼ 1 nm), so dass ein Überlapp der Wellenfunktionen 

zwischen der N- und S-Elektrode zu einer endlichen Wahrscheinlichkeit 

für das Tunneln durch die Barriere führt. 

Abb. 6.43: Schematisch 

Darstellungeiner Struktur 

für Tunnelexperimente: 1 – 

Substrat; 2 – metallischer 

Film (untere Elektrode); 

3 – zweiter metallischer 

Film (obere Elektrode); 

beide Filme sind durch eine 

dünne isolierende Schicht 

getrennt [aus V.V. Schmidt, 



(1997); Abb.6.9]. 

In Kap.5.6 wurde gezeigt, dass eine angelegte äußere Spannung V die elektronischen 

Zustände entlang der Energieachse um eV relativ zueinander verschiebt 14 

Damit entsteht Netto-Tunnelstrom 

I ≡ I 12 − I 21 ∝ 

∫ 

+∞ 

−∞ 

|D(ɛ)| 2 × N 1 (ɛ − eV )N 2 (ɛ) × [f(ɛ − eV ) − f(ɛ)]dɛ. (6.87) 

(|D| 2 : Tunnelmatrixelement; N i : Zustandsdichten in den beiden Elektroden (i =1, 2)) 

Hierbei ist f(ɛ) die Fermi-Verteilung: 

f(ɛ) ≡ 

1 

exp{ɛ/k B T } +1 . (6.88) 

Für den Fall des N-I-N-Kontakts findet man mit der Annahme einer energieunabhängigen 

Zustandsdichte N ni am Fermi-Niveau und einem energieunabhängigen Tunnelmatrixelement 

die einfache Beziehung für eine lineare I − V -Kennlinie 

∫+∞ 

I ∝ N n1 N n2 |D| 2 [f(ɛ − eV ) − f(ɛ)]dɛ. (6.89) 

−∞ 

14 Konvention: positive Spannung senkt rechte Elektrode (2) gegenüber linker Elektrode (1) um 

Energie eV ab ⇒ Tunnelstrom I 12 

.


Aus (6.87) ist ersichtlich, dass die Zustandsdichte ganz wesentlich den Tunnelstrom 

bestimmt. Damit wird auch eine deutliche Änderung der Tunnelcharakteristik erwartet, 

wenn eine oder beide metallische Elektroden in den supraleitenden Zustand übergehen. 

NIS-Kontakt: 

Im folgenden betrachten wir den Fall, daß eine der beiden Elektroden supraleitend 

ist, d.h. wir haben einen NIS-Kontakt. Für die Zustandsdichte der Quasiteilchen im 

Supraleiter folgt aus der BCS-Theorie: 

|ɛ| 

N s (ɛ) =N n (0) √ wenn |ɛ| ≥∆ 

ɛ2 − ∆ 2 

N s (ɛ) =0 wenn |ɛ| < ∆ (6.90) 

Die Zustandsdichte verschwindet also im Bereich der Energielücke 2∆ um die Fermi- 

Energie. 

Beim Anlegen einer Spannung V [s. Abb.6.44(a)] fließt daher zunächst kein (für T =0), 

bzw. nur ein sehr kleiner (für endliche T ) Tunnelstrom, der abrupt ansteigt wenn eV = 

∆ erreicht wird, da dann die besetzten Zustände am Fermi-Niveau des Normalleiters 

einer hohen Dichte von freien Zuständen im Supraleiter gegenüberstehen. Wird eV ≫ 

∆ geht die Tunnelkennlinie wieder in die (in einfachster Näherung) lineare Kennlinie 

des NIN-Kontakts über (s. Abb.6.44(b)). 

Abb. 6.44: N/I/S-Kontakt: (a) Energieschema; (b) IV-Kennlinien


Unter der Annahme daß die Zustandsdichte des Normalleiters unabhängig von ɛ ist 

kann diese wieder vor das Integral gezogen werden, und der Tunnelstrom ergibt sich zu: 

∫+∞ 

I ∝ N n N s (ɛ)[f(ɛ − eV ) − f(ɛ)]dɛ. (6.91) 

Für die differentielle Leitfähigkeit G ≡ (∂I/∂V ) folgt damit: 

−∞ 

G SN (V ) ∝ 

∫ 

+∞ 

N s (ɛ)K(ɛ − eV )dɛ. (6.92) 

G SN 

−∞ 

ergibt sich also aus der Faltung der supraleitenden Zustandsdichte N s (ɛ) und 

K(ɛ − eV ), der Ableitung der Fermi-Funktion f(ɛ − eV )nachV : 

exp[β(ɛ − eV )] 

K = eβ 

{1+exp[β(ɛ − eV )]} . (6.93) 

2 

Hierbei ist β ≡ 1/k B T . 

In Abb.6.5 sind die Zustandsdichte, 

die Funktion K und die 

aus Gl.(6.92) berechnete Tunnelleitfähigkeit 

zusammen dargestellt: 

Die Funktion K besitzt ein 

Maximum bei ɛ = eV und wird 

zur Delta-Funktion im Limit 

T → 0. In diesem Limit besitzt 

G SN (V ) denselben funktionalen 

Verlauf wie N s (ɛ). Das heißt die 

Messung der Tunnelkennlinie 

liefert bei tiefen Temperaturen 

gerade die Zustandsdichte des 

Supraleiters. 

Abb. 6.45: N/I/S-Kontakt: (a) Zustandsdichte 

vs ɛ/∆ nach Gl.(6.90); 

(b) Funktion K nach Gl.(6.93); 

(c) Tunnelleitfähigkeit nach Gl.(6.92) 

[nach R. Meservey, P. M. Tedrow, 

Physics Reports 238, 173 (1994)].


Die eben beschriebene Analyse geht zurück auf Giaever und Megerle 15 . Sie wurde von 

Tedrow und Meservey auf FM/I/S-Kontakte erweitert. Dies ermöglicht die Bestimmung 

der Spinpolarisation von Ferromagneten 16 

S-I-S-Kontakte 

Der Fall von Quasiteilchen-Tunneln in S-I-S-Kontakten ist in Abb.6.46 dargestellt, für 

zwei Supraleiter mit unterschiedlicher Energielücke ∆ I ,∆ II . 

Abb. 6.46: Zum Tunnelstrom zwischen zwei Supraleitern, für den Fall endlicher Temperatur 

T [aus W. Buckel, Supraleitung, VCH Weinheim, 5. Aufl. (1994); Abb.31]. 

Die thermische Besetzung von angeregten Zuständen oberhalb der Energielücke führt 

zu einem Anstieg der Tunnelleitfähigkeit bei eV =∆ II − ∆ I , da unter dieser Bedingung 

die thermisch besetzten Zustände einer hohen Dichte unbesetzter Zustände in der 

anderen Elektrode gegenüberstehen. 

Mit weiter steigender Spannung nimmt der Tunnelstrom wieder ab, bis ein steiler Anstieg 

des Tunnelstroms bei eV =∆ II +∆ I erfolgt. Hier stehen nun eine hohe Dichte 

besetzter Zustände (unterhalb der Energielücke) einer hohen Dichte freie Zustände in 

der anderen Elektrode gegenüber. 

Das Maximum in der Tunnelleitfähigkeit bei eV =∆ II − ∆ I verschwindet im Fall 

T → 0, da dann keine thermisch angeregten Quasiteilchen zur Verfügung stehen. 

15 I. Giaever, K. Megerle, Phys. Rev. 122, 1101 (1961) 

16 P.M. Tedrow, R. Meservey, Phys. Rev. Lett. 26, 192 (1971)


Alternative Betrachtung: Cooper-Paare und 

”angeregte” Quasiteilchenzustände 

Äquivalent zu der Beschreibung des Quasiteilchentunnelns im Halbleiter-Modell ist die 

Betrachtung der Cooper-Paare bei E = E F und der angeregten Zustände oberhalb der 

Energielücke: 

NIS-Kontakt: 

Abb. 6.47: Energieschema des NIS-Tunnelkontakts: (a) V =0,ɛ F im NL fällt mit Grundzustandsenergie 

des SL zusammen; (b),(c) V ≠0,|eV | > ∆, endlicher Tunnelstrom von N→S 

(b), bzw. von S→N [ausV.V.Schmidt,The Physics of Superconductors, Springer, Berlin 

(1997); Abb.6.11]. 

Abb. 6.48: Strom-Spannungs-Charakteristik eines NIS-Tunnelkontakts [aus V.V. Schmidt, 

The Physics of Superconductors, Springer, Berlin (1997); Abb.6.12].


S 1 IS 2 -Kontakt: 

Abb. 6.49: S 1 IS 2 -Tunnelkontakt: Energieschema bei T = 0 und V = 0 (links) bzw. V > 

(∆ 1 +∆ 2 ) (mitte); Strom-Spannungs-Charakteristik (rechts) [aus V.V. Schmidt, The Physics 

of Superconductors, Springer, Berlin (1997); Abb.6.13]. 

Abb. 6.50: S 1 IS 2 -Tunnelkontakts bei T > 0: (a) V = 0, gleich viele angeregte Zustände in 

S 1 und S 2 bei gleicher Energie ⇒ I = 0; (b) eV =∆ 1 − ∆ 2 ⇒ Tunnelstrom von S 1 →S 2 

(maximal wegen hoher Zustandsdichte); (c) V umgekehrt zu (b) → angeregtes QT tunnelt 

von S 1 →S 2 (Prozess 1) und relaxiert dort mit zweitem QT in den Grundzustand (Prozess 2) 

– die hierbei frei werdende Energie reicht aus um in S 1 ein Cooper-Paar aufzubrechen (Prozess 

3) [aus V.V. Schmidt, The Physics of Superconductors, Springer, Berlin (1997); Abb.6.14].


Verlustfreier Stromtransport 

Frage: 

wie folgt aus der BCS-Theorie unendliche Leitfähigkeit im SL-Zustand? 

Antwort: 

hierfür ist wesentlich die Existenz der Energielücke verantwortlich. 

Betrachte Ringgeometrie (Induktivität L, Widerstand R): 

Im Fall I = 0 ist die Fermi-Kugel um ⃗ k = 0 zentriert, d.h. ∑ k ⃗ k =0 

Durch B-Feldänderung induzierter Strom: I ∝ e − R L ·t 

Normalleiter: Relaxation durch Streuprozesse 

Abb. 6.51: Fermi-Kugel: (a) bei I =0im ⃗ k-Raum zentriert; (b) im Normalleiter relaxiert 

Auslenkung(Strom I>0) der Fermi-Kugel durch Streuprozesse; (c) im Supraleiter erfordert 

Relaxation durch Streuprozesse das Aufbrechen von Cooper-Paaren. 

Supraleiter: 

alle Cooper-Paare besitzen gemeinsamen Schwerpunkt (hier: ∆k bei I>0). 

→ Im Kondensat ist nur schwerpunkterhaltende Streuung möglich. 

Relaxation ist nur möglich durch Aufbrechen von Cooper-Paaren 

(oder ”gleichzeitige” Verschiebung aller Paare um −∆k). 

Beispiel: 

Relaxation des Zustandes mit Wellenvektor (k F +∆k) · ê x 

durch Streuung in Zustand (−k F +∆k) · ê x 

→ Verringerung an kinetischer Energie: 

∆E kin ≡ 2 [ 

(∆k + kF ) 2 − (∆k − k F ) 2] = 22 k F 

2m 

m · ∆k 

erfordert aber Energie 2∆ für Aufbrechen von Cooper-Paar. 

⇒ nur möglich, wenn ∆k ∝ I groß genug → falls Depairing-Stromdichte erreicht ist 

einfache Abschätzung (aus ∆E kin = 2∆) liefert nahezu identischen Ausdruck für die 

Depairing-Stromdichte j c,dp wie aus GL-Theorie.


6.6 Schwache Supraleitung – Josephson Effekte 

Wir betrachten nun zwei Supraleiter S 1 und S 2 . Diese werden beschrieben durch ihre 

makroskopische Wellenfunktion Ψ 1 = |Ψ 1 |·e iϕ 1 

bzw. Ψ 2 = |Ψ 2 |·e iϕ 2 

mit Amplituden |Ψ i | und Phasen ϕ i (i =1, 2). 

Im Rahmen der Diskussion der Flussquantisierung hatten wir gesehen, dass der Impuls 

der supraleitenden Ladungsträger die Verknüpfung (6.10) zwischen dem Gradienten 

⃗∇ϕ der Phase und der Geschwindigkeit ⃗v s liefert 

⃗ ∇ϕ = m s ⃗v s + q s 

⃗ A bzw. ⃗ ∇ϕ − 

q s 

⃗ A 

} {{ } 

≡ ⃗ ∇φ 

= m s 

⃗v s . (6.94) 

Hierbei bezeichnen wir ⃗ ∇φ auch als den eichinvarianten Phasengradienten. DurchIntegration 

erhält man die eichinvariante Phase 

φ(⃗r) =ϕ(⃗r) − q s 

 

∫ ⃗r 

⃗r 0 

⃗ Ad⃗r (6.95) 

Die Stromdichte j s = q s n s v s ist gemäß obiger Beziehung mit dem Phasengradienten im 

Supraleiter verknüpft: 

⃗j s = q ( 

sn s 

 

m ⃗ ) 

∇ϕ + q sA ⃗ = q sn s 

∇φ s m ⃗ . (6.96) 

s 

Diese Beziehung hatten wir – in leicht veränderter Form – als die 2. Ginzburg-Landau- 

Gleichung kennengelernt. 

Frage: was passiert wenn die beiden Supraleiter über eine Schwachstelle 

miteinander gekoppelt werden ? 

→ Beziehungen zwischen Wellenfunktionen Ψ i , Phasen ϕ i ,bzw.StromI 

über Schwachstelle ? 

prinzipiell mögliche ’Schwachstellen’ (weak links): 

• Kopplung über isolierende Tunnelbarriere (I) 

→ S-I-S Tunnel-Kontakt 

(mit einem wenige nm dicken Isolator) 

• Kopplung über normalleitenden Bereich (N) 

→ S-N-S-Kontakt

6.6 Schwache Supraleitung – Josephson Effekte 395 

• Kopplung über ’Einschnürung’ 

(der Länge ∼ ξ) 

schwache, aber endliche Kopplung → Überlapp der Wellenfunktionen Ψ i 

→ Suprastrom über Barriere 

S-Barriere-S-Anordnung: 

(Barrierenebene ⊥ x; Querschnittsfläche A J = const) 

Bei Einspeisen eines konstanten Stroms I in die Anordnung (hier: I in x-Richtung) 

muss die Suprastromdichte in x-Richtung konstant sein: 

damit gilt wegen ⃗j s ∝ n s 

⃗ ∇φ aus (6.96) 

j s (x) =I/A J = const 

n s (x) · ∂φ (x) =const . (6.97) 

∂x 

Eine Änderung in der Ladungsträgerdichte n s an der Schwachstelle wird durch eine 

entsprechende Änderung in ∂φ/∂x kompensiert. 

im Barrierenbereich: 

n s klein 

⇒ ∂φ/∂x groß 

⇒ φ(x) macht Stufe 

Für sehr dünne Barriere mit n s → 0 ⇒ φ(x) macht einen ’Sprung’ an der Barriere 

⇒ Schwachstelle charakterisiert durch 

Phasendifferenz δ ≡ φ 2 − φ 1 

= ϕ 2 − ϕ 1 − q s 

 

∫ 2 

1 

A x dx (6.98) 

→ analog zu (6.96) für die Stromdichte im homogenen SL wird 

die Suprastromdichte über den Kontakt zu einer Funktion der Phasendifferenz 

j s = j s (δ)


Frage: wie sieht diese Funktion j s (δ) aus? 

→ ’Motivation’ für j s (δ) aus einfachen Überlegungen: 

• Phasen φ i sind eindeutig modulo 2π 

⇒ j s = periodische Funktion von δ 

j s = 

∑ j 0n sin nδ + ∑ ˜j 0n cos nδ (n =1, 2,...) 

n 

n 

• Zeitumkehrinvarianz 

j s →−j s unter Zeitumkehr 

Phase δ →−δ unter Zeitumkehr (ψ ∝ e −iωt ) 

⇒ cos-Terme scheiden aus 

} 

⇒ j s (δ) =−j s (−δ) 

⇒ j s = ∑ n 

j 0n sin nδ 

• Sehr häufig: Schnelle Konvergenz j 0n ≪ j 01 für n>1 

⇒ j s = j 0 sin δ 1. Josephson-Gleichung (6.99) 

Suprastrom über Barriere = ”Josephson-Strom” 

Entspricht in SIS-Tunnelkontakt dem Tunneln von Cooper-Paaren durch eine 

isolierende Barriere. Diesen Fall hat Josephson bei seiner Herleitung der Josephson- 

Gleichungen betrachtet. 17 

Bemerkung: Dünne Brücke 

→ Verengter Querschnitt; I vorgegeben 

→ j s in Brücke der Länge ∼ ξ stark erhöht 

→ ∂φ/∂x ebenfalls sehr groß 

→ Phasengradient kann ebenfalls durch ’Sprung’, 

d.h. durch Phasendifferenz δ beschrieben werden 

→ Verhalten wie bei SIS, SNS 

17 Eine von Feynman vorgeschlagene Herleitung basierend auf zeitabhängigen Schrödinger- 

Gleichungen für zwei schwach gekoppelte quantenmechanische Systeme ist in W. Buckel, Supraleitung, 

VCH Weinheim, 5. Aufl. (1994); AnhangA zu finden.


Zeitliche Änderung von δ : 

δ = ϕ 2 − ϕ 1 − 2e 

 

˙δ = ˙ϕ 2 − ˙ϕ 1 − 2e 

 

∫ 2 

1 

∫ 2 

A x dx 

A˙ 

x dx 

1 

} {{ } 

−U ind 

(6.100) 

die Schrödinger-Gleichung für ein quantenmechanisches System im stationären Zustand 

i ∂Ψ 

∂t 

= EΨ (6.101) 

ergibt mit dem Ansatz Ψ(t) =|Ψ|e iϕ(t) den Energieeigenwert 

somit gilt 

E = − ∂ϕ 

∂t 

˙ϕ 2 − ˙ϕ 1 = E 1 − E 2 

 

; (6.102) 

= q s 

U 21 

Damit folgt für den gesamten Spannungsabfall über die Barriere 

U = q s 

˙δ 

= Φ 0 

2π ˙δ 2. Josephson-Gleichung (6.103)


Konsequenzen aus den Josephson-Gleichungen 

1. Sei U =0 ⇒ δ = const = δ 0 ⇒ j s = j 0 sin δ 0 

Maximalwert: sin δ 0 =1 ⇒ j s = j 0 

→ Suprastrom; kritische Stromdichte j 0 ≪ j c,paarbrechung . 

→ ”schwache Supraleitung” 

Beispiel: 

Nb/Al-ALO x /Nb- 

Tunnelkontakte 

je nach Barrierendicke 

j 0 ∼ 10 ...10 4 A/cm 2 

(beiT =4.2K) 

Abb. 6.52: Strom-Spannungs- 

Kennlinie eines Josephson- 

Tunnelkontakts aus gleichen 

Supraleitern [aus W. Buckel, 

Supraleitung, VCH Weinheim, 

5. Aufl. (1994); Abb.37]. 

2. Sei U = U 0 = const. 

⇒ δ = δ 0 + 2π U 0 · t 

Φ 0 

d.h. δ wächst linear in der Zeit t an, und 

j s = j 0 sin[δ 0 + ω J t] mit ω J = 2π U 0 (6.104) 

Φ 0 

⇒ Wechselstrom mit der Josephson-Frequenz 

f J ≡ ω J 

2π = U 0 

= 2e 

Φ 0 h · U 0 = 483.6GHz · U 0 /mV (6.105) 

→ Spannungssteuerbare Hochfrequenzquelle 

→ Proportionalitätskonstante Φ 0 ≡ h/2e → Naturkonstante 

→ Effekt wird zur Definition des Volts benutzt 

Vergleiche: (a) Bloch-Oszillationen: f B = e U h 

(b) Quanten-Hall-Effekt: R H = 1 h 

(definiert Ω) 

n 

}{{} e 2 

=25.8kΩ 

Interpretation des Josephson-(Wechsel-)Stroms als Quanteninterferenz: 

U ≠0→ Phasen der makroskopischen Wellenfunktionen Ψ i = |Ψ i |e iϕ i 

in beiden Supraleitern (i =1, 2) ”laufen gegeneinander”. 

Josephson-Wechselstrom ⇔ Zeitliche Interferenz dieser Wellen


Typen von Josephson-Kontakten 

Abb. 6.53: Verschieden Typen von Josephson-Kontakten: (a) SIS-Tunnelkontakt; (b) planarer 

SNS-Kontakt; (c) normalleitender Film (N) unterdrückt lokal den Ordnungsparameter 

im darunter liegenden supraleitenden Film (S); (d) Dayem-Brücke (Aufsicht); (e) Brücke 

mit variabler Filmdicke (Querschnitt); (f) HTS-Korngrenzenkontakt [aus V.V. Schmidt, The 

Physics of Superconductors, Springer, Berlin (1997); Abb.4.1]. 

oder: intrinsische Josephson-Kontakte in stark anisotropen HTS 

(insbes. BiSrCaCuO-Einkristalle) 

Abb. 6.54: Hochtemperatursupraleiter 

Bi-2212: Kristallstruktur 

(links) und 

Strom-Spannungs- 

Kennlinien (rechts) [aus 

R. Kleiner, P. Müller, 

Phys. Rev. B 49, 1327 

(1994)].


Strom-Spannungs-Kennlinien von Josephson-Kontakten 

Nun suchen wir den Zusammenhang zwischen dem Strom I über den Josephson- 

Kontakt und der über dem Kontakt abfallenden Spannung U. 

Ein für viele Kontakt-Typen sehr gut geeignetes Modell ist das sogenannte resistively 

and capacitively shunted junction model (RCSJ-Modell). 

Hierbei berücksichtigen wir vier Terme, die zum Strom über den Kontakt beitragen: 

Abb. 6.55: Ersatzschaltbild eines 

Josephson-Kontakts im RCSJ-Modell. 

• Josephson-Strom: I 0 sin δ 

• Verschiebestrom über die Kapazität C des Kontakts, der bei zeitlich veränderlicher 

Spannung U fließt: I d = C ˙U 

• dissipativer Strombeitrag der Quasiteilchen, bzw. Strom, der durch einen häufig 

verwendeten parallelen Widerstand R fließt: I qp = U/R 

• Rauschstrom I N (t) aufgrund von thermischem Rauschen 18 im Normalwiderstand 

R bei endlicher Temperatur T 

Gemäß den Kirchhoff’schen Regeln gilt damit für den Gesamtstrom I über den Kontakt: 

I + I N (t) =I 0 sin δ + U R + C ˙U (6.106) 

Mit Hilfe der 2. Josephson-Gleichung ˙δ =2eU erhalten wir dann eine Differentialgleichung 

für die Phasendifferenz am Josephson-Kontakt 

I + I N (t) =I 0 sin δ + 

 

2eR ˙δ + C 

2e ¨δ (6.107) 

Im Fall einer endlichen Spannung U ≠ 0 fließen Josephson Wechselströme 

⇒ ebenfalls oszillierender dissipativer Strom I dp (t) 

⇒ hochfrequente Spannung U(t) mit Gleichspannungsanteil 

V ≡〈U〉 = 1 T 

∫ T 

0 

dt U(t) (6.108) 

Die Lösung der Differentialgleichung (6.109) für einen vorgegebenen Gesamtstrom I 

liefert δ(t) ⇒ U(t) ⇒ V 

und somit also die experimentell leicht zugängliche (Gleich-)Strom-Spannungs- 

Kennlinie I(V ) 

18 Dies wird auch als Nyquist- oder Johnson-Rauschen bezeichnet; die Rauschleistungvon I N 

skaliert 

mit k B 

T/R


einfacher Fall: C=0 & T=0: 

Vernachlässigen wir zunächst mal thermische Fluktuationen (I N = 0) und den Beitrag 

des Verschiebestroms (I d = 0), dann vereinfacht sich (6.107) zu 

I = I 0 sin δ + 

Integration und Einsetzen in U =(Φ 0 /2π) ˙δ ergibt 

( ) 2 

I 

I 0 

− 1 

U(t) =I 0 R 

I 

I 0 

+cosωt 

mit 

 

2eR ˙δ (6.109) 

√ ( 

ω = 2π ) 2 I 

I 0 R − 1 (6.110) 

Φ 0 I 0 

Normierung: 

- Spannung bezogen auf die charakteristische Spannung V c ≡ I 0 R (”I 0 R-Produkt”) 

u ≡ U/V c bzw. v ≡〈u〉 = V/V c 

- Strom bezogen auf maximalen Josephson-Strom I 0 

i ≡ I/I 0 

- Frequenz bezogen auf charakteristische Frequenz ω c ≡ 2πI 0 R/Φ 0 ≡ 1/τ c 

(also die Josephson-Frequenz ω J bei der charakteristischen Spannung V c ) liefert 

u(t) = i2 − 1 

i +cosωt 

mit 

ω 

ω c 

= √ i 2 − 1 (6.111) 

Dies bedeutet, dass die Spannung über den Kontakt (für I>I 0 )mitderFrequenzω 

oszilliert. Diese Frequenz ist stromabhängig und geht gegen Null für I → I 0 bzw. steigt 

linear mit ω c · I für I ≫ I 0 

Abb. 6.56: RSJ-Modell: (a) Spannungvs. Zeit; (b) Strom-Spannungskennlinie (für zeitlich 

gemittelte Spannung V ) 

Die zeitlich gemittelte Spannung ist v = √ i 2 − 1(für I>I 0 ), 

d.h. bei Erreichen von I = I 0 steigt die Spannung abrupt an und nähert sich asymptotisch 

dem ohmschen Verlauf V = I · R für I ≫ I 0 .


Analogsysteme: 

• Physikalisches Pendel 

Pendel 

Auslenkungswinkel δ 

Winkelgeschwindigkeit ˙δ 

externes Drehmoment T P 

Trägheitsmoment Θ 

Dämpfung η 

statischer Fall (V =0): 

Josephsonkontakt 

Phasendifferenz δ 

Spannung U 

Strom I 

Kapazität C 

Widerstand R 

→ analoge Differentialgleichung 

T P = Mglsin δ +Θ¨δ + η ˙δ 

(M: Pendelmasse, g: Erdbeschleunigung, 

l: Pendellänge) 

→ I-V -Kennlinie durch 

Analogiebetrachtung 

- ohne Drehmoment (I =0): 

bei vernachlässigbarer Dämpfung (R = 0) und T =0(I N = 0) folgt aus (6.107) 

0=I 0 sin δ + C 

2e ¨δ (6.112) 

Lösung : δ(t) =δ 0 sin(ω p t) mit ω p ≡ 

D.h. das Pendel oszilliert um Ruhelage mit der Plasmafrequenz ω p . 

( ) 1/2 2π I 0 

(6.113) 

Φ 0 C 

- endliches, aber kleines Drehmoment (I >I 0 ) ⇒ endliche Auslenkung δ ≠0 

dynamischer Fall (V ≠0): 

Wird das Drehmoment ausreichend groß (I >I 0 ), so schlägt das Pendel um und läuft 

mit endlicher Winkelgeschwindigkeit ˙δ ≠0. 

Wird nun das Drehmoment zurückgefahren, so hängt die Dynamik wesentlich vom 

Verhältnis zwischen Dämpfung und Trägheitsmoment ab ( ˙δ- vs.¨δ-Term). 

Wird beschreiben durch Stewart-McCumber-Parameter 

( ) 2 ωc 

β C ≡ = 2π I 0 R 2 C (6.114) 

ω p Φ 0 

- starke Dämpfung β C ≪ 1 

→ nicht-hysteretische IV -Kennlinie 

- schwache Dämpfung β C 

> ∼1 

→ hysteretische IV -Kennlinie 

Abb. 6.57: Strom-Spannungskennlinien 

im RCSJ-Modell berechnet für unterschiedlich 

starke Dämpfung(verschiedene 

Werte für β C ).


• gekipptes Waschbrettpotential 

In einer sehr anschaulichen Analogie zu einem mechanischen System beschreibt die 

Gleichung (6.107) für die Phasendifferenz δ die Bewegung eines Teilchens in einem 

1-dimensionalen Potential entlang der Koordinate δ. 

Um dies zu zeigen stellen wir Gleichung (6.107) um 

Φ 0 

2π C¨δ + Φ 0 1 

2π R ˙δ = −I 0 sin δ +(I + I N ) ≡− 2π ∂U J 

Φ 0 ∂δ 

, (6.115) 

Hierbei definierten wir das sogenannte gekippte Waschbrettpotential als 

U J ≡ Φ 0 

2π {I 0(1 − cos δ) − (I + I N )δ} . (6.116) 

Die Amplitude des Potentials ist durch die Josephson-Kopplungsenergie 

E J ≡ I 0Φ 0 

2π 

gegeben. Mit der Normierung von U J auf E J schreibt sich obige Gleichung als 

(6.117) 

u J ≡ U J 

E J 

=1− cos δ − (i + i N )δ . (6.118) 

Die Bewegungsgleichung für die Phasendifferenz (6.115) ist damit äquivalent zu Bewegungsgleichung 

mẍ + ξẋ = − ∂W(x) 

∂x 

+ F d + F N = − ∂[W (x) − (F d + F N ) · x] 

∂x 

. (6.119) 

eines punktförmigen Teilchens der Masse m, mit Reibungskoeffizient ξ, dassichim 

Ortsraum entlang der Koordinate x in einem Potential W (x) unter Einfluss einer externen 

treibenden Kraft F d und einer thermischen Rauschkraft F N bewegt. 

Man kann die antreibenden Kräfte F = F d +F N mit dem Potential W zusammenfassen, 

und gelangt somit zu dem aufgrund der Kräfte ’verkippten’ Potential 

U m (F, x) ≡ W (x) − F · x .


Durch Vergleich von (6.115) mit (6.119) sehen wir, dass die Dynamik des RCSJ- 

Kontakts analog ist zur Bewegung eines Teilchens entlang der Ortskoordinate δ mit 

Masse ∝C, Reibung ∝ 1/R im cos-förmigen Potential U J , welches durch den Bias- 

Strom I verkippt wird. Gemäß der zweiten Josephson-Beziehung entspricht damit die 

am Kontakt abfallende Spannung U der Geschwindigkeit v =ẋ des Teilchens (Abb.6.6). 

statischer Fall: 

Im stromlosen Zustand I = 0 (ohne äußere Kraft) ist unser ’Teilchen’ in einem der 

Minima des unverkippten cos-Potential gefangen. Dort oszilliert es mit der Plasmafrequenz 

ω p und die mittlere Spannung (Geschwindigkeit) ist Null. 

dynamischer Fall: 

Mit steigendem Bias-Strom verringert sich die Höhe der Barriere zum nächsten lokalen 

Minimum. Bei I = I 0 schliesslich verschwinden die lokalen Minima, und das ’Teilchen’ 

bewegt sich mit endlicher mittlerer Geschwindigkeit (Abb.6.6). 

U 

J 

i = 0 

2 E 

J 

i = 0 . 5 

i = 1 

0 1 2 3 

δ/2π 

Abb. 6.58: Waschbrettpotential 

des Josephson-Kontakts im 

RCSJ-Modell, mit Amplitude E J 

(Kopplungsenergie). Der normierte 

Bias-Strom i = I/I 0 verkippt das 

Potential. Bei i = 1 verschwinden die 

lokalen Minima. 

Einfluss der Dämpfung 

Im stark gedämpften Fall ist die Masse des Teilchens vernachlässigbar, d.h. der Reibungsterm 

∝ ˙δ dominiert. 

Beim Zurückfahren des Stroms bilden sich bei I = I 0 wieder lokale Minima im Waschbrettpotential 

aus, und das Teilchen bleibt dort sofort hängen. 

Im Fall schwacher Dämpfung spielt die träge Masse des Teilchens eine wesentliche Rolle. 

Beim Zurückfahren des Stroms läuft das Teilchen bei I

i 


Dynamik unter Einwirkung eines Wechselstroms 

betrachte den Fall eines antreibenden Stroms I = I dc + I ac sin ω ac t mit einer Gleichstromkomponente 

I dc und einer Wechselstromamplitude I ac . 

experimentelle Beobachtung: 

Auftreten von Bereichen konstanter Spannung in I dc (V )-Kennlinie = Shapiro-Stufen 

Abb. 6.59: Strom-Spannungs-Kennlinien eines Josephson-Kontakts unter Einwirkung eines 

überlagerten Wechselstroms mit normierter Amplitude i as ≡ I ac /I 0 mit Frequenz ω ac = 

ω c ; berechnet mit RSJ-Modell [nach K.K. Likharev, Dynamics of Josephson Junctions and 

Circuits,Gordon and Breach, New York (1986)]. 

Anschauliche Bedeutung: 

Der ac-Strom erzeugt eine periodische Modulation der Verkippung des Potentials um 

einen mittleren Kippwinkel (gegeben durch den dc-Strom). 

U 

J 

U 

J 

/E 

J 

= − c o sδ − ( i + i 

a c 

s i nω a c 

t )δ 

i-iac 

i+ iac 

0 1 2 3 

δ/2π 

Abb. 6.60: Veranschaulichungder Entstehungvon 

Shapiro-Stufen im Waschbrettpotential 

eines Josephson-Kontakts 

im RCSJ-Modell. Auf einer Shapiro-Stufe 

ändert sich die Phasendifferenz δ pro Anregungsperiode 

um 2π. 

Unter passenden Bedingungen ist die Bewegung des ’Teilchens’ mit der externen Anregung 

synchronisiert: 

⇒ Änderung von δ um n · 2π pro Anregungsperiode T ac =2π/ω c . 

⇒ ˙δ = n · 2π/T ac = n · ω ac 

Diese Synchronisation ist innerhalb bestimmter Kippwinkelbereiche (Strom-Intervalle) 

stabil. Dort ist dann die mittlere Geschwindigkeit (dc Spannung) lediglich durch die 

Frequenz der ac-Anregung gegeben – unabhängig vom genauen Wert des mittleren 

Kippwinkels (dc Stroms). Dadurch entstehen Strom-Stufen konstanter Spannung: 

V n = Φ 0 

2π ˙δ = n Φ 0 

2π ω ac = n · V 1 mit V 1 ≡ Φ 0 · f ac (6.120) 

V 1 /mV = f ac /483 GHz → Anwendung: Spannungsnormal !


Josephson-Kontakt im Magnetfeld 

Betrachte Josephson-Kontakt mit Barriere in der (x, y)-Ebene und Strom I senkrecht 

dazu (entlang ê z ). 

Abb. 6.61: Geometrie eines 

Josephson-Kontakts im externen 

Magnetfeld ⃗ B; t: Barrierendicke; 

b: Länge des Kontakts entlang 

x-Richtung(⊥ ⃗ B). 

Das Magnetfeld dringe homogen in die Barriere ein (entlang x-Richtung). Dies ist dann 

der Fall wenn die Kontaktlänge b genügend klein ist, so dass das Eigenfeld des Stroms 

vernachlässigbar ist (= Limit kleiner Kontakte). 

Die Dicke der supraleitenden Elektroden sei >λ L → das Magnetfeld dringt ∼ λ L in 

die Elektroden ein 

→ magnetischer Fluss durch Kontakt: Φ = B · b(2λ L + t) =B · t eff · b 

mit der effektiven, magnetischen Dicke des Kontakts t eff ≡ 2λ L + t 

Gesucht: 

Zusammenhang zwischen Phasendifferenz δ und Flussdichte B 

Wir gehen dabei analog zur Herleitung der Flussquantisierung vor. D.h. wir integrieren 

den Phasengradienten ⃗ ∇ϕ =(m s /)⃗v s +(q s /) ⃗ A entlang der gestrichelten Linie in 

obiger Abbildung 

Weg2 → 1: ϕ(1) − ϕ(2) = 

Weg1 ′ → 2 ′ : ϕ(2 ′ ) − ϕ(1 ′ ) = 

∫ 1 

2 

∫ 2 ′ 

⃗∇ϕd ⃗ l = 2π 

Φ 0 

µ 0 λ 2 L 

1 ′ ⃗ ∇ϕd ⃗ l = 

2π 

Φ 0 

µ 0 λ 2 L 

∫ 1 

2 

∫ 2 ′ 

⃗j s d ⃗ l + 2π ∫ 1 

⃗Ad 

Φ ⃗ l 

0 

1 ′ ⃗j s d ⃗ l + 2π 

Φ 0 

∫ 2 ′ 

1 ′ ⃗ Ad ⃗ l 

2 

(mit j s = n s q s v s ;Φ 0 = h/q s ; µ 0 λ 2 L = m s/n s q 2 s) 

[ ∫ 

Addition beider Gleichungen und Hinzufügen von 2π 2 ∫ 

⃗ 

Φ 0 2 Ad ⃗ 1 ′ 

l + ′ 1 

Seiten liefert 

ϕ(2 ′ )−ϕ(2)− 2π ∫2 ′ 

Φ 0 

2 

⎛ 

⃗Ad ⃗ l−⎝ϕ(1 ′ ) − ϕ(1) − 2π ∫ 

Φ 0 

1 ′ 

1 

⎞ 

⃗Ad ⃗ l⎠ = 2π ∮ 

Φ 0 

⃗Ad ⃗ ] 

l 

auf beiden 

⎛ 

⎞ 

⃗Ad ⃗ l+ 2π ∫ 1 ∫ 2′ 

µ 0 λ 2 ⎝ 

L 

⃗j s d 

Φ ⃗ l + ⃗j s d ⃗ l⎠ 

0 

2 

1 ′ 

(6.121)


Auswertung von (6.121): 

linke Seite: 

Mit dem Abstand dx zwischen den Integrationswegen 1 → 1 ′ und 2 ′ → 2inx-Richtung 

folgt mit Hilfe der Definition (6.98) der Phasendifferenz δ für die linke Seite 

δ(x + dx) − δ(x) . 

rechte Seite: 

das Ringintegral über das Vektorpotential ergibt den magnetischen Fluss Φ = B·t eff ·dx 

durch die vom Integrationsweg eingeschlossene Fläche. 

Mit genügender Dicke der Elektroden im Meissner-Zustand ist der Beitrag der Integrale 

über die Stromdichten exponentiell klein und kann vernächlässigt werden. 

Ergebnis: 

dδ 

dx = 2π Bt eff (6.122) 

Φ 0 

Dies bedeutet, dass die Phasendifferenz entlang des Kontakts linear ansteigt (Steigung 

durch B bestimmt). Integration entlang x 

⇒ 

δ(x) =δ(0) + 2π 

Φ 0 

Bt eff · x 

und eingesetzt in die 1. Josephson-Gleichung ergibt 

[ 

j s (x) =j 0 sin δ(0) + 2π ] 

Bt eff · x 

Φ 0 

⇒ Josephson-Stromdichte j s (x) oszilliert 

Stromdichte für 

B = Φ 0 

t eff b 

Stromdichte für 

Φ 0 

B = 1 2 t eff b


Maximaler Suprastrom: Integriere j s (x) über die Kontaktfläche: 

I s = 

mit Φ = Bt eff b 

∫ a 

0 

dy 

∫ b 

0 

( 

) 

cos δ 0 + 2π 

Φ 0 

Bt eff x 

dxj 0 sin δ(x) =−j 0 · a · ( ) 

2π 

Φ 0 

Bt eff ∣ 

= j 0 · b · a · sin δ(0) sin π Φ Φ 0 

π Φ Φ 0 

I s vorgeben ⇒ δ(0) stellt sich ein 

Maximalwert: sin δ(0) ± 1 

Maximaler Suprastrom über Kontakt: 

∣ sin π Φ ∣∣∣∣ 

Φ 

I 0 (Φ) = I 0 (0) · 

0 

(6.123) 

∣ π Φ Φ 0 

b 

0 

Vergleiche: Optik, Beugung am Einzelspalt. 

Abb. 6.62: Abhängigkeit des maximalen 

Josephson-Stroms von 

einem Magnetfeld in der Ebene 

des Tunnelkontakts (1 G entspricht 

0.1 mT) [aus W. Buckel, 

Supraleitung, VCH Weinheim, 

5. Aufl. (1994); Abb.38].


Anmerkung: 

Mit der Maxwell-Gleichung rotB ⃗ = µ 0 

⃗j folgt aus der Beziehung (6.122) für den Gradienten 

der Phasendifferenz 

√ 

d 2 δ 

dx = 1 j z 

Φ 0 

mit λ 2 λ 2 J ≡ 

(6.124) 

J 

j 0 πµ 0 t eff j 0 

λ J ist die Josephson-Eindringtiefe und beschreibt – analog zur London-Eindringtiefe 

–dieLängenskala, über die ein Kontakt mit genügend großer Länge Magnetfelder 

abschirmen kann. 

Unterscheidung: 

”Kurze Josephson-Kontakte: b < ∼4λ J 

”Lange Josephson-Kontakte”: b > ∼4λ J 

In langen Kontakten kann das Eigenfeld der Josephson-Ströme ein Flussquant Φ 0 im 

Kontakt erzeugen. 

→ Ausbildung von Flusswirbeln über Barriere 

=”Josephson-Flussquanten” 

=”Fluxonen” 

=”Josephson-Solitonen” 

Fluxonen verhalten sich wie relativistische Teilchen 

(Grenzgeschwindigkeit c ≈ 10 −3 c; Längenkontraktion, Fluxon-Antifluxon-Paarbildung, 

u.v.a. Effekte) 

→ siehe Spezialvorlesung


6.7 SQUIDs: supraleitende Quanteninterferometer 

6.7.1 Prinzipielle Funktionsweise 

SQUID = Superconducting QUantum Interference Device 

Besteht aus einem supraleitenden Ring (meist Dünnfilm), der von einem (rf SQUID) 

od. zwei (dc SQUID) Josephson-Kontakten unterbrochen ist: 

Abb. 6.63: SQUID-Typen: (a) rf SQUID ist an Schwingkreis gekoppelt, der mit I rf angeregt 

wird; Auslesesignal: V rf ; (b) dc SQUID wird mit Strom I dc betrieben; Auslesesignal: V dc . 

Das SQUID kombiniert zwei grundlegende Effekte die auf der makroskopische Phasenkohärenz 

im Supraleiter beruhen 

–dieFlussquantisierung und den Josephson-Effekt 

Resultat: 

periodische Antwort auf externen magnetischen Fluss Φ a 

- im max. Josephson-Strom I 0 

oder 

- in der zeitlich gemittelte Spannung V über die Josephson-Kontakte (im dc SQUID) 

oder 

- in der ac-Spannung des Schwingkreises (im rf-SQUID) 

mit Periode = 1Φ 0 

⇒ empfindlichster Detektor für magnetischen Fluss !! 

Typische Werte für Empfindlichkeit (kommerzielle SQUIDs bei T =4.2 K): 

Flussrauschen: S 1/2 

Φ 

≈ 1 − 10µΦ 0/ √ Hz 

Magnetfeldrauschen: S 1/2 

B 

≈ 1 − 10fT/√ Hz 

Energieauflösung: ɛ ≈ 10 −31 − 10 −32 J/Hz 

Rechenbeispiel: 

10 −31 J ≈ m e · g · 1cm 

Differenz der potentiellen Energie eines Elektrons, das im Schwerefeld der Erde um 

1 cm angehoben wird.

6.7 SQUIDs: supraleitende Quanteninterferometer 411 

6.7.2 dc SQUID 

Das dc SQUID (dc: ’direct current’/Gleichstrom) besteht aus einem supraleitenden 

Ring, der von zwei Josephson-Kontakten unterbrochen ist (s. Abb.6.64). Es wird von 

einem Gleichstrom I gespeist (’bias current’) und der Ring ist durchsetzt von einem 

externen magnetischen Fluss Φ a aufgrund eines angelegten Magnetfeldes H = B/µ 0 . 

Abb. 6.64: Schematische Darstellungeines dc SQUIDs. 

Ein variabler externer Fluss führt zu einer Modulation des maximalen Suprastroms 

(’kritischer Strom’) I c , bzw. bei konstantem Bias-Strom I>I c zu einer Modulation der 

Gleichspannung V über das SQUID mit einer Periode, gegeben durch das elementare 

Flussquant Φ 0 . 

Diese Eigenschaft wurde erstmals im Jahr 1964 19 , d.h. zwei Jahre nach der Entdeckung 

des Josephson-Effekts gezeigt. (s. Abb.6.65) 

Abb. 6.65: Modulation des kritischen Stroms eines dc SQUIDs vs. Magnetfeld; Inset zeigt 

Geometrie des SQUIDs: a,b: Sn-Film (ca. 100 nm), c: Sn-Oxid (Barriere), d: Al 2 O 3 -Substrat 

[aus R. C. Jaklevic et al.] 

19 R. C. Jaklevic, J. Lambe, A. H. Silver, J. E. Mercereau, Phys. Rev. Lett. 12, 159 (1964)


Gesamtfluss im dc SQUID 

Wir leiten zunächst eine wichtige Beziehung her welche die Phasendifferenzen δ k über 

die beiden Josephson-Kontakte (k =1, 2) mit dem magnetischen Fluss durch den Ring 

verknüpft. Diese folgt aus der Fluxoidquantisierung als Folge der Eindeutigkeit der 

supraleitenden Wellenfunktion 

∮ 

2πn = ⃗∇ϕd ⃗ l , (6.125) 

mit dem Phasengradienten 

⃗∇ϕ = 1 (m s ⃗v s + q s 

⃗ A)= 

2π 

Φ 0 

( ⃗ A + µ 0 λ 2 L ⃗ j s ) . (6.126) 

Da bei dem Auswerten des Ringintegrals in (6.125) der Integrationsweg über die beiden 

Josephson-Kontakte verläuft benötigen wir zudem die Definition (6.98) der Phasendifferenz 

eines Josephson-Kontakts, zwischen den Punkten a und b in den supraleitenden 

Elektroden 

δ = ϕ b − ϕ a − 2π ∫ b 

⃗Ad 

Φ ⃗ l . (6.127) 

0 

Die Herleitung geht nun ähnlich wie bei der Bestimmung von δ(x) eines Josephson- 

Kontakts im Magnetfeld – zum Integrationsweg siehe Abb. 6.66. 

Integration im Supraleiter [mit (6.126)]: 

a 

-Weg2→ 1 

∫ 1 

2 

⃗∇ϕd ⃗ l = 2π 

Φ 0 

∫ 1 

2 

⃗Ad ⃗ l + 2π ∫ 1 

µ 0 λ 2 L 

⃗j s d 

Φ ⃗ l . (6.128) 

0 2 

-Weg1 ′ → 2 ′ ∫ 2 ′ 

∫ 

∇ϕd ⃗ ⃗ 

2π 2 ′ 

l = Ad ⃗ ⃗ 

2π l + µ 0 λ 2 L 

1 Φ ′ 0 1 Φ ′ 0 

∫ 2 ′ 

1 ′ ⃗j s d ⃗ l . (6.129) 

Abb. 6.66: dc SQUID (schematisch) zur Herleitungvon δ 1 − δ 2 ; der Integrationsweg ist als 

gestrichelte Linie eingezeichnet.


Integration über Kontakte [mit (6.127)]: 

-Weg1→ 1 ′ ∫ 1 ′ 

-Weg2 ′ → 2 

∫ 2 

1 

⃗∇ϕd ⃗ l = ϕ 1 ′ − ϕ 1 = δ 1 + 2π 

Φ 0 

∫ 1 ′ 

1 

⃗Ad ⃗ l . (6.130) 

∇ϕd ⃗ ⃗ l = −(ϕ2 ′ − ϕ 2 )=−(δ 2 + 2π ∫ 2 ′ 

⃗Ad 

2 Φ ⃗ l) . (6.131) 

′ 0 2 

Einsetzen von (6.128) bis (6.131) in (6.125) liefert dann 

{ ∮ 

( ∫ 

2πn = δ 1 − δ 2 + 2π 

1 ∫ )} 

2 ′ 

Ad ⃗ ⃗ l + µ0 λ 2 L 

⃗j s d 

Φ ⃗ l + ⃗j s d ⃗ l . (6.132) 

0 2 

1 ′ 

Mit ∮ ∫ ∫ 

Ad ⃗ ⃗ l = ⃗Bdf ⃗ 1 

= Φ und mit der Ersetzung + ∫ 2 ′ 

≡ ∮ (die Kontur C ′ 

2 1 ′ C ′ 

entspricht dem geschlossenen Integrationsweg in Abb.6.66 abzüglich der Integration 

über die beiden Kontakte) folgt dann 

δ 2 − δ 1 +2πn = 2π { ∮ } 

Φ+µ 0 λ 2 L 

⃗j s d 

Φ ⃗ l ≡ 2π Φ T . (6.133) 

0 C Φ ′ 0 

Die in (6.133) definierte Größe Φ T ist der Gesamtfluss im SQUID. 

Zusammenhang zwischen Φ und Φ T : 

Der über das Integral ∫ Bdf definierte Fluß im SQUID-Ring setzt sich aus zwei Beiträgen 

zusammen: 

Φ=Φ a + L geom J . (6.134) 

Hierbei ist Φ a = B · A eff der extern angelegte Fluss. 20 Zusätzlich trägt der im SQUID- 

Ring zirkulierende Strom J (s. Abb.6.64) aufgrund der geometrischen Induktivität des 

Rings zum Fluss Φ bei. 

Das Integral über die Suprastromdichte ⃗j s liefert einen weiteren Beitrag L kin J, der aber 

meist vernachlässigt werden kann. 21 

Damit gilt für den gesamten Fluss die häufig verwendete Beziehung 

Φ T =Φ a + LJ . (6.135) 

Definition von J: 

Die Ströme durch die beiden SQUID-Arme (s. Abb.6.64) lassen sich schreiben als 

I 1 = I 2 + J und I 2 = I 2 − J . (6.136) 

Damit ist der im SQUID-Ring zirkulierende Strom definiert als 

J = I 1 − I 2 

2 

. (6.137) 

20 Die effektive Fläche A eff 

des SQUIDs wird als Verhältnis von Φ a 

/B definiert. 

21 Hierbei ist L kin 

die kinetische Induktivität des SQUID-Rings; diese ist meist gegenüber der geometrischen 

Induktivität vernachlässigbar und liefert nur dann einen signifikanten Beitrag zur Gesamtinduktivität 

L = L geom 

+L kin 

wenn die Filmdicke klein gegenüber λ L 

ist und/oder wenn die Linienbreite 

des SQUID-Rings sehr klein ist.


dc SQUID – statischer Fall 

Um die Wirkungsweise des dc SQUIDs – also die periodische Modulation mit dem 

externen magnetischen Fluss Φ a – zu verstehen betrachten wir zunächst den statischen 

Fall (V = 0), d.h. wir fragen nach dem maximalen Suprastrom (kritischer Strom) I c 

des SQUIDs und nach seiner Abhängigkeit I c (Φ a ). 

Entsprechend der Abb.6.64 teilt sich der Bias-Strom I auf in die Ströme I 1 und I 2 

durch den linken, bzw. rechten SQUID-Arm (1 bzw. 2). 

Für die beiden Josephson-Kontakte 1 und 2 mit Phasendifferenzen δ 1 und δ 1 gilt 

I 1 = I 0,1 sin δ 1 und I 2 = I 0,2 sin δ 2 . (6.138) 

(I 0,k : max. Josephson-Strom der Kontakte k =1, 2) 

Mit dem Kirchhoff’schen Gesetz für die Ströme gilt 

I = I 0,1 sin δ 1 + I 0,2 sin δ 2 . (6.139) 

Im Fall identischer kritischer Ströme I 0,1 = I 0,2 = I 0 gilt mit der trigonometrischen 

Beziehung sin α +sinβ =2cos( β−α α+β 

) · sin( ) 

2 2 

( ) ( ) 

δ2 − δ 1 δ1 + δ 2 

I =2I 0 cos · sin 

. (6.140) 

2 

2 

Mit (6.133) in (6.140) folgt 

I =2I 0 cos 

( 

πn + πΦ ) ( 

T 

· sin δ 1 + πn + πΦ ) 

T 

Φ 0 Φ 0 

; (6.141) 

Mit der Beziehung cos(πn+x)·sin(πn+y) =(−1) n·cos(x)·(−1) n·sin(y) =cos(x)·sin(y) 

gilt dann 

( ) ( 

πΦT 

I =2I 0 cos · sin δ 1 + πΦ ) 

T 

. (6.142) 

Φ 0 Φ 0 

Der durch Gleichung (6.142) gegebene Suprastrom kann nun durch Variation der Phasendifferenz 

δ 1 maximiert werden - für gegebenen magnetischen Fluss und unter Berücksichtigung 

der Beziehung Φ T =Φ a + LJ aus (6.135). 

Im allgemeinen Fall hängt der Gesamtfluss Φ T vom externen Fluss Φ a und von dem 

zirkulierenden Strom J ab, welcher wiederum die Phasendifferenzen über die Kontakte 

moduliert. Die Lösung dieses Problems ist daher nicht trivial und erfolgt numerisch. 

Wir zeigen hier analytisch das einfache Ergebnis von zwei Spezialfällen: 

Hierzu führen wir vorher noch eine wichtige Größe ein, den sogenannten Abschirmparameter 

β L ≡ 2I 0L 

; (6.143) 

Φ 0 

Dieser beschreibt die Stärke des maximal möglichen - durch J erzeugten - Flusses 

Φ J,max = J max L = I 0 L, normiert auf ein halbes Flussquant Φ 0 /2.


(I) kleine SQUID Induktivität – β L ≪ 1: 

d.h. der Fluss der von dem maximal möglichen Ringstrom erzeugt werden kann ist 

vernachlässigbar klein. 

⇒ 

Φ T ≈ Φ a 

damit ist die Abschirmwirkung des SQUID-Rings vernachlässigbar (s. Abb.6.67(a)) 

Einsetzen in (6.142) ergibt 

( ) πΦa 

I ≈ 2I 0 cos 

Φ 0 

( 

· sin δ 1 + πΦ ) 

a 

Φ 0 

. (6.144) 

I wird maximal wenn sin(δ 1 + πΦa 

Φ 0 

)=±1 

⇒ kritischer Strom des dc SQUIDs: 

( )∣ I c ≈ 2I 0 · 

∣ cos πΦa ∣∣∣ 

Φ 0 

. (6.145) 

Diese Beziehung ist analog zum optischen Beugungsmuster am Doppelspalt. 

D.h. der kritische Strom I c (Φ a ) moduliert von seinem maximal möglichen Wert 2I 0 auf 

Null mit einer Periode Φ 0 (s. Abb.6.67(b)). 

Im Limit β L ≪ 1 ist die Modulationsamplitude maximal und beträgt 

∆I c =2I 0 . 

Abb. 6.67: dc SQUID im Limit β L ≪ 1: (a) Gesamtfluss Φ T vs. externer Fluss Φ a ; (b) 

kritischer Strom vs. Φ a .


(II) grosse SQUID Induktivität – β L ≫ 1: 

Im Gegensatz zu einem geschlossenen supraleitenden Ring, kann das dc SQUID den im 

Ring eingeschlossenen Fluss ändern, d.h. die ganze Zahl n in der Fluxoidquantisierung 

(6.125) bzw. (6.133) passt sich immer so an, dass der Abschirmstrom minimiert wird, 

und der aufgrund des zirkulierenden Stroms erzeugte Fluss LJ maximal Φ 0 /2beträgt 

(LJ ≤ Φ 0 /2). 

Im Limit β L ≫ 1 folgt somit LJ ≤ Φ 0 /2 ≪ LI 0 ⇒ J ≪ I 0 . 

Daher wirkt sich der Ringstrom - unabhängig vom externen Fluss - praktisch nicht auf 

die Phasendifferenzen der Kontakte aus, d.h. δ 2 − δ 1 ≈ 0. 

Somit vereinfacht sich (6.133) zu 

Φ T ≈ nΦ 0 

Mit (6.135) gilt also 

und damit 

Φ T =Φ a + LJ ≈ nΦ 0 ; (6.146) 

J ≈− Φ a − nΦ 0 

L 

. (6.147) 

Man sieht sofort, dass für grosse L der Ringstrom J → 0 

⇒ maximaler Strom ist unabhängig vom externen Fluss I 1 ≈ I 2 = I 0 , 

d.h. der kritische Strom ist I c ≈ 2I 0 für alle Φ a . 

Im Gegensatz zum Limit β L ≪ 1 ist daher die Modulation von I c (Φ a ) sehr gering. 

Eine relative einfache Herleitung liefert für die maximale Änderung des kritischen 

Stroms 

∆I c ≈ Φ 0 

L = 2 I 0 ≪ I 0 

β L 

Abb. 6.68: dc SQUID im Limit β L ≫ 1: (a) Gesamtfluss Φ T vs. externer Fluss Φ a ; (b) 

kritischer Strom vs. Φ a und maximale Ströme von I 1 und I 2 .


dc SQUID – dynamischer Fall 

Im Prinzip kann die Modulation I c (Φ a ) nun genutzt werden, um kleinste Änderungen 

des externen magnetischen Flusses zu messen. 

Aus praktischen Gründen ist es aber wesentlich einfacher, das dc SQUID im dynamischen 

Zustand, d.h. bei V ≠ 0 zu betreiben – mit einem konstanten Bias-Strom I – 

und die Abhängigkeit V (Φ a ) zu nutzen. 

Im Spannungszustand spielen natürlich auch der Widerstand R k und die Kapazität 

C k der beiden Josephson-Kontakte eine Rolle. Zur Beschreibung verwendet man das 

RCSJ-Modell der Kontakte 22 , d.h. jeder Kontakt wird beschrieben als Parallelschaltung 

des Josephson-Elements (mit kritischem Strom I 0 ) mit einem ohmschem Widerstand 

R (Quasiteilchenstrom) und einer Kapazität C (Verschiebestrom). 

Anmerkung: 

Das RCSJ-Modell vernächlässigt Variationen der Kontaktparameter entlang des Kontaktes 

– nimmt also quasi-punktförmige Kontakte an. Diese Näherung ist insbesondere 

gut wenn die Breite des Kontaktes W ≤ 4λ J . Man spricht dann von einem kurzen 

Kontakt (short junction limit). 

dc SQUID im RCSJ-Modell 

Wir betrachten nun also ein dc SQUID mit zwei Josephson-Kontakten, die gemäß dem 

RCSJ-Modell beschrieben werden – s. Abb.6.69(a). 

Die Strom-Spannungskennlinie (I − V -Kurve) moduliert dann in Abhängigkeit des 

externen Flusses Φ a zwischen den in Abb.6.69(b) gezeigten Kurven 

–mitI c,max =2I 0 bei Φ a = nΦ 0 und I c,min bei Φ a =(n + 1 2 )Φ 0. 

Das dc SQUID wird dann bei einem konstanten Strom I = I B (nahe bei I B =2I 0 ) 

betrieben, und es wird die zeitlich gemittelte Spannung V in Abhängigkeit des externen 

Flusses Φ a ausgelesen [s. Abb.6.69(c)]. 

Abb. 6.69: dc SQUID: (a) schematische Darstellungmit RCSJ-Kontakten; (b) Strom- 

Spannungs-Charakteristik; (c) Spannungs-Fluss-Charakteristik 

22 W. C. Stewart, Current-voltage characteristics of Josephson junctions, Appl.Phys.Lett.12, 277 

(1968); D. E. McCumber, Effect of ac impedance on dc voltage-current characteristics of Josephson 

junctions, J.Appl.Phys.39, 3113 (1968).


Anmerkung: 

Um einen eindeutigen Spannungswert V (Φ a ) zu erhalten verwendet man nichthysteretische 

Kontakte, d.h. mit einem McCumber-Parameter β c ≡ 2π 

Φ 0 

I 0 R 2 C < ∼1. 

Die über das dc SQUID abfallende Spannung oszilliert also mit dem externen Fluss 

mit einer Periode von Φ 0 – das dc SQUID wird also als Fluss-zu-Spannungs Konverter 

betrieben. 

Als wesentliche Kenngröße führen wir die sogenannte Fluss-zu-Spannungs Transferfunktion 

(kurz: Transferfunktion) ein. Dies ist die Steigung ∂V/∂Φ a der V (Φ a )-Kurve. 

Die Steigung hängt natürlich sowohl von dem gewählten Bias-Strom, als auch von dem 

Arbeitspunkt auf der Φ a -Achse ab. In der Regel bezeichnet man die Transferfunktion 

als die bzgl. I B und Φ a maximierte Steigung 23 ,also 

( ∂V 

V Φ ≡ 

∂Φ a 

)max 

. (6.148) 

Eine vom SQUID detektierte kleine Flussänderung δΦ erzeugt eine messbare Spannungsänderung 

δV = V Φ · δΦ . (6.149) 

Damit ist klar, dass die Optimierung der Empfindlichkeit eines SQUIDs ganz wesentlich 

die Maximierung der Transferfunktion erfordert – diese hängt insbesondere von den 

wichtigsten SQUID-Parametern L, I 0 und R ab. 

grobe Abschätzung: 

Aus der Modulationstiefe ∆I c lässt sich die maximale Spannungsänderung abschätzen 

zu 

∆V ≈ ∆I c · R . 

Wir betrachten den wichtigen Fall β L ≈ 1. Hierfür gilt 24 

∆I c ≈ I 0 ≈ Φ 0 

2L 

und damit 

∆V ≈ ∆I c · R ≈ Φ 0R 

. 

2L 

Diese Spannungsänderung resultiert aus einer Änderung des externen Flusses um 

∆Φ = Φ 0 /2, d.h. für die Transferfunktion erwartet man 

V Φ ≈ 2∆V 

Φ 0 

≈ R L ≈ 2I 0R 

Φ 0 

. 

⇒ grosses R und kleines L, bzw. grosses I 0 R erforderlich ! 

23 typischerweise bei I B 

≈ 2I 0 

und Φ a 

≈ (n ± 1 4 )Φ 0 . 

24 folgt aus numerischer Simulation


Abb. 6.70: YBCO dc SQUID: (a) I-V-Kurve; (b) V-Φ-Charakteristik bei verschiedenen Bias- 

Strömen. 

Abbildung 6.70 zeigt ein typisches experimentelles Ergebnis für ein YBa 2 Cu 3 O 7−δ dc 

SQUID. Aus den gemessenen Werten für I 0 und R, bzw. der geometrischen Induktivität 

L = 40 pH folgt für dieses SQUID β L = 4. Aus der oben vorgenommenen groben 

Abschätzung V Φ ≈ R/L folgt dann V Φ ≈ 65 µVΦ 0 ,inguterÜbereinstimmung mit dem 

experimentell ermittelten Wert. 

Praktische SQUIDs 

Ein SQUID misst sehr empfindlich den magnetischen Fluss Φ a durch den SQUID-Ring. 

Für Anwendungen ist man jedoch meist an der magnetischen Flussdichte B interessiert. 

Hierbei gilt B =Φ a /A eff ; mit der effektiven Fläche A eff des SQUIDs. Je größer die 

effektive Fläche, desto kleiner kann eine Änderung in B sein, die von dem SQUID noch 

detektiert werden kann (bei vorgegebener Empfindlichkeit gegen magnetischen Fluss). 

Eine typische SQUID-Struktur – ein sogenanntes washer-SQUID – ist unten gezeigt 

Abb. 6.71: ”Washer” zur 

Flussfokussierung: (a) Grundstruktur; 

(b) washer dc SQUID 

– hier ist eine Version eines 

HTS SQUIDs gezeigt, mit zwei 

Josephson-Kontakten an der 

Korngrenze (gestrichelte Linie). 

Für die einfache quadratische Washer-Struktur gilt: 

L =1.25µd und A eff = d · D 

Die Optimierung der Feldempfindlichkeit erfordert meistens kleine Werte für L,umeine 

gute Flussempfindlichkeit zu erhalten und große Werte für A eff ⇒ Magnetometer


SQUIDs für Messungen von Magnetfelder und Feldgradienten 

Ganz allgemein besteht ein SQUID-basiertes Meßsystem aus drei Teilen (s. Abb.6.72): 

Mit Hilfe eines geeigneten Einkoppelkreises (”Input-circuit”) wird eine physikalische 

Meßgröße δx in einen magnetischen Fluss δΦ umgewandelt, im SQUID detektiert und 

von einer geeigneten Ausleseelektronik in der Regel in ein Spannungssignal δV umgewandelt. 

Abb. 6.72: Prinzipieller Aufbau eines SQUID basierten Meßsystems. 

Für die empfindliche Detektion von Magnetfeldern werden supraleitende Flusstransformatoren 

eingesetzt 

Abb. 6.73: Supraleitende Flusstransformatoren zur Detektion von Magnetfelder und Feldgradienten 

[aus J.Clarke, SQUID fundamentals; in H. Weinstock (Ed.), SQUID Sensors: Fundamentals, 

Fabrication and Applications, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, (1996) ].

6.8 Supraleiter in der Anwendung 421 

6.8 Supraleiter in der Anwendung 

Ausnützen von R =0 

→ Supraleitende Kabel 

Konventionelle Supraleiter 

→ Kühlung mit flüssigem Helium nötig 

→ unwirtschaftlich 

Hochtemperatursupraleiter 

→ Kühlung mit flüssigem Stickstoff ok 

→ derzeit intensives Forschungsgebiet 

→ Supraleitende Magneten 

– Konventionelle Magnete B ≫ 1Tesla 

→ starke Erwärmung, aufwändige Kühlung notwendig 

– Supramagneten: Maximalstrom I max = I c (B) 

mit Nb 3 Sn → Felder bis ∼ 20 Tesla (T


→ Supraleiter als passive Mikrowellenelemente 

z.B. Resonatoren, Filter, Zuleitungen 

Mikrowellenfrequenzen: R ≠0,aberR supra ≪ R kupfer , falls die Frequenz nicht 

zu hoch ist. 

→ kleine, kompakte Bauelemente. 

Beispiel: Filter für Satelliten-Kommunikationstechnik. 

Satellit: Empfang von Bodenstation → Verstärkung → Abstrahlung. 

Problem: keine Breitbandverstärkung durch einen Verstärker 

im gesamten Frequenzbereich 

Lösung: Signal in viele Kanäle aufteilen, einzeln verstärken 

⇒ Filter erforderlich! 

Abb. 6.74: Schematische Darstellungder Durchlasscharakteristik eines Filters mit idealer 

Durchlasskurve (links) und eines realen Filters (rechts) aus Approximation durch geeignete 

Kombination von Resonatoren. 

Güte der Struktur muß hoch sein ⇒ kleine Dissipation. 

Energie im Inneren des Resonators gespeichert. 

Dissipation an der Oberfläche 

⇒ möglichst große Volumina bei Normalleitern 

→ große, schwere Satelliten → teuer! 

Supraleiter → kompakte Bauweise, schärfere Durchlasskurven 

Derzeit erste Tests mit HTSL in Satelliten im Gang.

6.8 Supraleiter in der Anwendung 423 

Ausnützen der Feldverdrängung: Levitation 

→ Supraleiter schweben auf Magneten 

→ Typ-II-Supraleiter mit starkem Pinning 

→ Im Feld gekühlter Supraleiter versucht, bei B ≈ const. zu bleiben. → sogar 

”hängende” Supraleiter möglich 

Ausnützen von Quanteninterferenz 

→ Josephson-Kontakte als Oszillatoren, Detektoren, Mischer, digitale Bauelemente. 

Maximale Frequenzen bis in THz-Bereich möglich 

→ Manipulation einzelner Flußquanten 

→ digitale Schaltkreise, ”Rapid Single Flux Quantum Logic” 

→ sehr schnell, wenig Dissipation 

→ SQUIDs als Detektoren für Magnetfelder 

Feldauflösung bis ∼ 10 −15 Tmöglich (!) 

→ Reicht zur Detektion von Hirnmagnetismus 

→ Zerstörungsfreie, schnelle Detektion magnetischer Signale! 

→ Zahlreiche Einsatzfelder (Medizin, Geologie, Werkstoffprüfung, Grundlagenexperimente 

wie Detektion von Gravitationswellen)

424 Kapitel 6 Supraleitung

Kapitel 6 Supraleitung

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