Konfidenzintervalle / Signifikanztest Die Bestimmung von Quantilen ...

Statistik – R<br />

SS 2007<br />

8. Übung<br />

<strong>Konfidenzintervalle</strong> / <strong>Signifikanztest</strong><br />

<strong>Die</strong> <strong>Bestimmung</strong> <strong>von</strong> <strong>Quantilen</strong> mit Hilfe <strong>von</strong> R kann aus der folgenden Tabelle entnommen<br />

werden.<br />

Verteilung „Name der Verteilung“ Quantile<br />

Rechteckverteilung unif qunif(p,min,max)<br />

Exponentialverteilung exp qexp(p,rate)<br />

Normalverteilung norm qnorm(p,mean,sd)<br />

Student-t-Verteilung t qt(p,df)<br />

Chiquadrat-Verteilung chisq qchisq(p,df)<br />

F-Verteilung f qf(p,df1,df2)<br />

Beispiel: qnorm(p=0.5,mean=0,sd=1) ergibt den Wert 0, da die Fläche <strong>von</strong> -∞ bis 0 gleich 0.5 ist.<br />

Hinweis:<br />

In R wird bei Eingabe der obigen Befehle immer das untere Quantil ausgegeben.<br />

qnorm(0.05,0,1)<br />

[1] -1.644854<br />

qnorm(0.95,0,1)<br />

[1] 1.644854<br />

Schauen Sie sich zur Veranschaulichung eine Standnormalverteilung an, probieren Sie folgende<br />

Befehle aus und diskutieren Sie was sie bewirken:<br />

• qnorm(0.1,0,1)<br />

• qnorm(0.1,0,1,lower.tail=F)<br />

• qnorm(0.9)<br />

• qnorm(0.9,lower.tail=F)

---

Statistik – R<br />

8. Übung<br />

SS 2007<br />

Aufgabe 1:<br />

Aus einer Stichprobe, die die Brennzeiten <strong>von</strong> Glühbirnen enthält, können folgende Informationen<br />

entnommen werden:<br />

- die durchschnittliche Brennzeit aus der Stichprobe beträgt 1092,9 Stunden<br />

- der Standardabweichung in der Stichprobe beträgt 206,1175 Stunden<br />

- alle beobachtete Brennzeiten liegen zwichen 600 und 1600 Stunden<br />

(1) Es wird angenommen, dass die Beobachtungen normalverteilt sind. Erzeugen Sie mit Hilfe <strong>von</strong><br />

rnorm eine Stichprobe der Größe n = 30 und speichern Sie diese unter gluehsp1.dat. Als<br />

Parameter nehmen Sie die geschätzten Werte aus der Stichprobe.<br />

(2) Teilen Sie das Grafikfenster mit Hilfe des Befehls par(mfrow=c(2,1)) in zwei Bereiche<br />

auf.<br />

(3) Zeichnen Sie anschließend in den oberen Bereich die Dichtefunktion mit den <strong>von</strong> Ihnen<br />

geschätzten Parametern. (Lassen Sie das Grafikfenster für die nächsten Teilaufgaben geöffnet.)<br />

(4) Mit Hilfe der selbstgeschriebenen Funktion konfi.fun(daten,Konfidenzniveau)<br />

können Sie das Konfidenzintervall [C - ;C + ] für µ bei unbekanntem σ² bestimmen. Bestimmen Sie<br />

die Grenzen der <strong>Konfidenzintervalle</strong> für den Mittelwert der erzeugten Stichprobe mit folgenden<br />

Konfidenzniveaus: 0.99, 0.95, 0.90.<br />

(5) Erzeugen Sie nun eine Stichprobe der Größe n = 300 und speichern Sie die Werte unter dem<br />

Namen gluehsp2.dat ab. Wiederholen Sie die Schritte 3) und 4). Was fällt Ihnen auf?<br />

Aufgabe 2:<br />

Berechnen Sie die Aufgabe 224/1 aus den Übungsaufgaben mit Hilfe <strong>von</strong> R. Beachten Sie, dass<br />

zum Berechnen dieses Konfidenzintervalls Werte aus einer Chiquadrat- Verteilung benötigt<br />

werden. (R- Befehl: siehe Übersicht Seite 1)

---

Statistik – R<br />

8. Übung<br />

SS 2007<br />

Aufgabe 3:<br />

<strong>Die</strong> (standardisierte) Prüfgröße für einen Test über den Anteilswert π berechnet sich nach der<br />

Formel<br />

Z<br />

( X − nπ<br />

0<br />

)<br />

= n π (1 −π<br />

0<br />

0<br />

)<br />

(6) Betrachten Sie Aufgabe 243/2. Überlegen Sie zunächst, ob der Ablehnungsbereich im<br />

vorliegenden Test links-, rechts- oder beidseitig ist. Berechnen Sie dann die Prüfgröße in R!<br />

(7) Mit dem Befehl qnorm(0.05,0,1) erhält man das 5%-Quantil der<br />

Standardnormalverteilung. Vergleichen Sie den <strong>von</strong> R ausgegebenen Wert mit dem Wert aus<br />

der Tabelle.<br />

(8) <strong>Die</strong> Obergrenze des Ablehnungsbereiches ist –1.645 für ein Signifikanzniveau <strong>von</strong> α = 0.05.<br />

Bestimmen Sie die Obergrenze des Ablehnungsbereiches jeweils für ein Signifikanzniveau <strong>von</strong>:<br />

α = 0.01; α = 0.1; α = 0.15.<br />

Für welches Niveau α fällt die Prüfgröße Z in den Ablehnungsbereich?