Symmetrie im geometrischen Kontext - Mohr.lehrer.belwue.de

Pädagogische Hochschule Ludwigsburg – Institut für Mathematik und Informatik 

Geometrie (Mohr) 

Symmetrie ebener Figuren 

Symmetrie im geometrischen Kontext 

Definition: 

1. Eine ebene geometrische Figur ist symmetrisch, wenn 

es mindestens eine nichttriviale Deckabbildung gibt. 

2. Eine Deckabbildung (oder Symmetrie) ist eine 

Abbildung der Ebene auf die Ebene, die die Figur auf 

sich selbst abbildet. 

Es gibt stets die triviale Deckabbildung der Identität 

Drehung um 0°). 

Mögliche Deckabbildungen: 

Drehung, Verschiebung (beide orientierungstreu), 

Achsenspiegelung (nicht orientierungstreu), sowie 

Kombinationen davon. 

Beachte: Die Punktspiegelung ist eine spezielle 

Drehung (um 180°). 

Mit Bezug auf die Deckabbildungen spricht man von 

Achsensymmetrie, Dreh- oder Rotationssymmetrie, 

Translationssymmetrie. 

Anmerkungen: 

1. Symmetrie im Raum kann analog definiert werden. 

Dies wird jedoch in der Grundschule nicht 

angesprochen. 

2. Symmetrie bezeichnet mathematisch also nicht nur 

das Phänomen, dass eine Figur symmetrisch ist, 

sondern auch die Abbildung, die dem Phänomen 

zugrunde liegt.




Die Gruppe der Deckabbildungen (Diedergruppe) des 

Quadrats 

a 1 a 4 a 3 

a 2 

M 

Es gibt acht Deckabbildungen: 

– vier Achsenspiegelungen S 1 , S 2 , S 3 und S 4 an den 

Achsen a 1 , a 2 , a 3 und a 4 

– vier Drehungen D 0 =Id (Identität), D 1 , D 2 und D 3 um den 

Punkt M mit den Drehwinkeln 0°, 90°, 180° und 270°. 

Die acht Abbildungen bilden eine (nicht-kommutative) 

Gruppe, die Diedergruppe des Quadrats, mit folgender 

Verknüpfungstafel: 

(Beachte: Zuerst wird die Abbildung in der linken Spalte ausgeführt, dann die in der 

oberen Zeile.) 

○ D 0 =Id D 1 D 2 D 3 S 1 S 2 S 3 S 4 

D 0 =Id Id D 1 D 2 D 3 S 1 S 2 S 3 S 4 

D 1 D 1 D 2 D 3 Id S 2 S 3 S 4 S 1 

D 2 D 2 D 3 Id D 1 S 3 S 4 S 1 S 2 

D 3 D 3 Id D 1 D 2 S 4 S 1 S 2 S 3 

S 1 S 1 S 4 S 3 S 2 Id D 3 D 2 D 1 

S 2 S 2 S 1 S 4 S 3 D 1 Id D 3 D 2 

S 3 S 3 S 2 S 1 S 4 D 2 D 1 Id D 3 

S 4 S 4 S 3 S 2 S 1 D 3 D 2 D 1 Id




Gründe für die Behandlung des Themas (1) 

Symmetrie ist eine fundamentale Idee oder Kernidee 

des Geometrieunterrichts. 

Fundamentale Ideen (Heinrich Winter, 1976, 2001) sind 

„Ideen, die starke Bezüge der Wirklichkeit haben, 

verschiedene Aspekte und Zugänge aufweisen, sich 

durch hohen inneren Beziehungsreichtum auszeichnen 

und in den folgenden Schuljahren immer weiter 

ausbauen lassen.“




Gründe für die Behandlung des Themas (2) 

Aspekte der Symmetrie: 

• Formaspekt: zwei „Hälften“ einer 

(achsensymmetrischen) Figur 

• algebraischer Aspekt: Die Menge der (mind. 2) 

Deckabbildungen (Identität und Achsenspiegelung) 

ist eine Gruppe der Ordnung 2 oder höher. 

• ästhetischer Aspekt: Achsensymmetrie als 

ästhetisches Prinzip 

• ökonomisch-technischer Aspekt: 

Achsensymmetrische Lösungen sind oft optimal. 

• arithmetischer Aspekt: achsensymmetrische 

Anordnung von Punktmustern gerader Anzahl bzw. 

der negativen und positiven Zahlen 

• kognitiver Aspekt: Symmetrische Darstellungen und 

Zusammenhänge sind schneller erkennbar und 

speicherbar. 

• Ausbau im Laufe der Schulzeit (Spiral-Curriculum): 

u.a. ebene Achsensymmetrie (PS), 

Punktspiegelung, Drehung, Verschiebung (Sek. I), 

rechnerische Behandlung in analytischer Geometrie 

(Sek. II) 

Konsequenz: 

Das Thema „Symmetrie“ ist in allen Lehr- und 

Bildungsplänen zu finden (auf nahezu allen Stufen).




Behandlung des Themas in der Grundschule 

Beschränkung in zweierlei Hinsicht: 

1. Die Achsensymmetrie wird als die 

Kongruenzabbildung der Ebene ausführlich behandelt. 

Gründe dafür: 

a) Es ist die nächstliegende Symmetrie. 

b) Eine exemplarische Symmetrie genügt zur 

Verdeutlichung des Prinzips der Symmetrie. 

c) Jede andere Kongruenzabbildung der Ebene ist 

als Verkettung mehrerer Achsenspiegelungen 

darstellbar. 

2. Es werden nur Symmetrien ebener Figuren betrachtet 

(da anschaulicher). 

Andere Kongruenzen bzw. Symmetrien (z.B. 

Verschiebungen bzw. räumliche Figuren) werden 

höchstens auf intuitiver Ebene, aber nicht systematisch, 

thematisiert.




Voraussetzungen zur Behandlung des Themas mit 

Grundschülern 

1. Alle Kinder können zu Beginn der Grundschulzeit 

symmetrische Eigenschaften erfassen. Gründe: 

Bestreben der Kinder nach Ordnung und Schönheit, 

Strukturierung ihrer Umwelt u.ä. 

2. Bekannt sind Symmetrien 

• am Körper (Hände, Arme, Beine, Gesicht usw.), 

• an Tieren (Schmetterlinge, Käfer, Fliegen, Vögel 

usw.), 

• an Bauwerken (Fensteranordnungen, Erker u.ä.), 

• an Gebrauchsgegenständen (Fernseher, Schrank, 

Lampen, Tisch, Stuhl, Löffel usw.). 

Störungen in der Symmetrie verursachen Probleme: 

wackelnder Stuhl, abstürzende Papierschwalbe u.ä.). 

Später kann thematisiert werden, dass die Biologie 

genau genommen keine exakten Symmetrien kennt (z.B. 

Gesicht)! 

3. Die Kinder haben z.T. Erfahrungen im Herstellen 

symmetrischer Figuren durch Falten und Klecksen, 

Falten und Schneiden, Legen oder auch Spiegeln 

(Spiegelbild im See oder Handspiegel).




Stufung der Schwierigkeitsgrade 

Mögliche Aufgabenstellungen, geordnet nach 

steigendem Schwierigkeitsgrad: 

• Erkennen von Symmetrien: „Zeichne die 

Spiegelachse(n).“ 

o einzelne Figur mit darin befindlicher Symmetrieachse 

(z.B. Verkehrszeichen, Gesicht, Buchstabe) 

o zwei symmetrische Figuren (z.B. zwei Autos, die 

aufeinander zu fahren; Symmetrieachse dazwischen) 

• Herstellen von Symmetrien: 

o „Vervollständige die Figur, indem du die fehlende 

Hälfte zeichnest.“ 

Beispiele: halbes Männlein, halbes Gesicht, Wörter 

mit fehlender oberer Hälfte („Geheimschrift“), halbe 

abstrakte Figuren (halbes Herz usw.). 

Diese Bilder werden von Kindern als unvollständig 

empfunden, da sie sich das ganze Bild im Geist 

vorstellen können (z.B. Gesicht). Die Aufgabenstellung 

greift also ein Bedürfnis der Kinder auf. 

o „Spiegele das Bild nach rechts/links.“ 

Beispiele: Auto, Haus usw. 

Diese Bilder werden als schon vollständig 

empfunden, insbesondere dann, wenn die 

Symmetrieachse die vorhandene Figur nicht berührt. 

Die Aufgabenstellung ist für Kinder willkürlich. 

Außerdem gilt generell, dass die Lage der 

Symmetrieachse den Schwierigkeitsgrad beeinflusst von 

leicht (senkrecht) über mittel (waagerecht) bis schwer 

(schräg).




Symmetrie im fächerverbindenden Unterricht 

• Symmetrie an Kunstwerken 

• Sachunterricht: Wie funktioniert ein Spiegel? 

Symmetrie von Blättern, Tieren, Verkehrszeichen, 

Flaggen, Firmenzeichen, Fußballlogos usw. 

• Deutschunterricht: Symmetrieachsen in Buchstaben 

und Wörtern: HEIDI, DIE DICKE HEXE sowie 

Palindrome wie OTTO, RELIEFPFEILER, EIN 

NEGER MIT GAZELLE ZAGT IM REGEN NIE 

(GOETHE). 

• Arithmetikunterricht: Symmetrieachsen in Ziffern 

und Zahlen, Addition und Subtraktion „symmetrischer“ 

Zahlen (Spiegelzahlen) ohne Zehnerübergang 

• Sportunterricht: Darstellen symmetrischer Figuren 

(und Körper) sowie gymnastische Übungen 

(Hampelmann, Spiegeltanz, Spiegellauf).




Weitere Aktivitäten 

• Suchen von Fehlern in/Vervollständigen von „fastsymmetrischen“ 

Bildern 

• Arbeiten am Geo-Brett (Spannen von Figuren mit 

Gummis) 

• Figuren mit mehreren Symmetrieachsen 

(Rechtecke, Quadrate usw.): Mehrfachfalten, Arbeit 

mit zwei (und mehr?) Spiegeln, Faltdeckchen 

• Lesen von Spiegel- oder unvollständiger Schrift 

• Andere Symmetrien: Ornamente, Spielkarten u.ä.




Anwesenheitsaufgaben: 

1. Finden Sie alle Deckabbildungen für folgende ebenen 

geometrischen Figuren: Kreis, Quadrat, Rechteck, 

regelmäßiges Fünfeck, Parallelogramm. 

2. Entwickeln Sie einen Zugang (Einstieg und erste 

Schritte) zur Behandlung der Achsensymmetrie im 

Unterricht auf der Basis von 

• Legen 

• Falten 

• Falten und Schneiden 

• Spiegeln mit einem Handspiegel 

• Falten und Klecksen 

• Zeichnen auf Gitterpapier 

Bewerten Sie den Zugang im Hinblick auf entdeckendes 

Lernen, Lernen durch Handlung, spielerisches Lernen, 

produktorientiertes Lernen, Vor- und Nachteile.

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