4 Zahlendarstellung im Rechner (Fortsetzung)

4 Zahlendarstellung im Rechner (Fortsetzung) 

4.1 Gleitkommazahlen 

Bisher haben wir nur ganze Zahlen betrachtet. Nun wollen wir auch reelle 

(gebrochene) Zahlen zulassen. Wie kann man aber 

1.) das Komma darstellen, wo die beiden binären Zeichen 0 und 1 schon belegt 

sind? Und wie kann man 

2.) einen unendlichen Zahlenbereich (zwischen zwei beliebigen reellen Zahlen 

liegen unendlich viele weitere reelle Zahlen!) mit endlich vielen Ziffern (Bits) 

so darstellen, dass ein endliches System (unser Computer) damit rechnen 

kann? 

Bei der Gleitpunktdarstellung ist die Kommastelle Bestandteil der Zahl. Dies 

erreicht man durch einen kleinen Kunstgriff: 

Die technisch wissenschaftliche Notation gibt die Kommaposition über einen 

Exponenten an. So kann z.B. die Zahl 3,84 auch so geschrieben werden: 

1. 384 x 10 -2 

2. 0,0384 x 10 2 

3. 38,4 x 10 -1 

Gesucht ist eine Darstellung, die folgendes leistet: 

• Sie soll ein möglichst großes Intervall der reellen Zahlen umfassen. 

• Ihre Genauigkeit soll bei kleinen Zahlen sehr hoch, bei großen Zahlen 

niedriger sein 

(Bei einem Betrag von 500.000€ auf dem Konto ist es relativ unwichtig, wie 

viel Cent hinter dem Komma stehen. 

Beim Versuch mit dem letzten Kleingeld eine DVB-Fahrkarte zu kaufen 

spielen Cents eine ungleich wichtigere Rolle.) 

Die Gleitpunktdarstellung erfüllt diese beiden Forderungen. Die Idee dahinter ist 

ganz einfach: 

Kleine Zahlen benötigen wenige Stellen vor dem Dezimalpunkt, so dass wir ihnen 

viele Stellen hinter dem Punkt und damit eine größere Genauigkeit spendieren 

können. 

Bei großen Zahlen ist es genau umgekehrt. 

Der Vorteil ist, dass man auf kurze und übersichtliche Weise einen sehr großen 

Zahlenbereich darstellen kann. Diese Darstellungsweise hat auch enorme Vorteile für 

die Zahlendarstellung in Computern: Hier ist man durch die Hardware auf eine oder 

wenige Wortgrößen (Anzahl von Bits) festgelegt, in denen ein Operand untergebracht 

werden muss. Würde nun nur die normale Dualdarstellung verwendet, könnte man 

bereits die Zahl 10 Milliarden in einem 32-Bit Wort nicht mehr darstellen. Wenn man 

andererseits auch gebrochene Zahlen in Festkommadarstellung zulassen möchte 

18

und jeweils 16 Bit vor und 16 Bit nach dem Komma verwendet, scheitert man bereits 

an der Zahl 100000. Der Bereich darstellbarer Zahlen ist in diesem Falle 

− 

2 

Gleitpunktzahlen bestehen nach dem Gesagten also aus drei Bestandteilen: 

• Dem Vorzeichenbit: V 

• Dem Exponenten: E 

• Der Mantisse: M 

Das Vorzeichenbit gibt an, ob die vorliegende Zahl positiv ('0') oder negativ ('1') ist. 

Der Exponent ist eine Binärzahl, zum Beispiel im Bereich -127 bis +127, die angibt, 

mit welcher Potenz einer Basiszahl b die vorliegende Zahl zu multiplizieren ist. 

Die Mantisse besteht aus Binärziffern m1...mn und gibt den Wert der vorliegenden 

Zahl an. 

Der Zahlenwert ergibt sich aus der Formel: 

Wert = Mantisse x Basis Exponent 

wobei das Vorzeichen +1 ist, wenn V=0 ist und -1, wenn V=1 ist. Dabei wird die 

Mantisse als positive Dualzahl und der Exponent als Dualzahl in 

Zweierkomplementdarstellung interpretiert. 

In den obigen Beispielen haben die Gleitpunktzahlen keine einheitliche Darstellung 

bezüglich der Vorkommastelle. 

Folglich gibt es unendlich viele Darstellungsmöglichkeiten für eine Zahl! 

--> Zur Bildung der normierten Gleitpunktzahl muss diejenige Darstellung gefunden 

werden, in der das (binäre) Ergebnis eine 1 vor dem Komma führt. 

Normierte Gleitpunktzahlen 

Motivation für eine Normierung: 

Es soll für jede darstellbare Zahl genau eine Darstellung als Gleitpunktzahl geben. 

• eindeutige Darstellung durch Normierung. 

15 

bis 2 

15 

− 2 

−16 

• Da durch die Normalisierung im Binärsystem immer eine 1 vor dem Komma 

stehen muß, kann man diese auch weglassen. 

In der Mantisse werden dann nur noch die Stellen hinter dem Komma 

notiert! (Die führende "1," steht also gedacht links vor der Mantisse.) 

19

• Durch die Einsparung der führenden 1 können die Bits der Mantisse optimal 

ausgenutzt werden, was besonders bei unendlich vielen Nachkommastellen 

(periodische Zahlen) eine höhere Rechengenauigkeit ermöglicht. 

Gleitpunktzahlen nach IEEE 754 

Nach IEEE 754 (Institute of Electrical and Electronics Engineers) normierte 

Gleitpunktzahlen verwenden b = 2 als Basiszahl. 

Zwei von IEEE verabschiedete Normen werden heute in den meisten Rechnern 

verwendet: 

• Short Real (einfache Genauigkeit) mit insgesamt 32 Bit: 

Vorzeichen - 1 Bit, Exponent - 8 Bit, Mantisse - 23 Bit 

• Long Real (doppelte Genauigkeit) mit insgesamt 64 Bit: 

Vorzeichen - 1 Bit, Exponent - 11 Bit, Mantisse - 52 Bit 

Im Folgenden betrachten wir einige Beispiele im Short Real Format mit 32 Bit: 

V Exponent ---> Mantisse ------------------------------------> 

1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 

-3,7510 = 1100 0000 0111 0000 0000 0000 0000 00002 

= C070000016 


0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 

3,7510 = 0100 0000 0111 0000 0000 0000 0000 00002 

= 4070000016 

Rechenfehler mit Gleitpunktzahlen 

Dezimale Gleitpunktzahlen und binäre Gleitpunktzahlen kann man ineinander 

umrechnen. 

Allerdings geht dieser Umrechnungsvorgang in beiden Richtungen nicht immer auf, 

wenn wir jeweils eine bestimmte Anzahl von Ziffern für die Mantisse vorschreiben 

(also die Genauigkeit einer Zahl begrenzen, indem wir die folgenden Stellen 

abschneiden). 

20

So lässt sich zum Beispiel die dezimale Zahl 0,1 nicht exakt durch eine 32-Bit- 

Gleitpunktzahl darstellen, wie das folgende Beispiel zeigt: 


0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 

0,110 ≈ 0011 1101 1100 1100 1100 1100 1100 11012 

= 3DCCCCCD16 

(Im 64-Bit-Format mit doppelter Genauigkeit sieht man, dass der Wert der Zahl 

eigentlich = 0,10000000149011612) 


0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 

0,110 ≈ 0011 1101 1100 1100 1100 1100 1100 11002 

= 3DCCCCCC16 

(Im 64-Bit-Format mit doppelter Genauigkeit sieht man, dass der Wert der Zahl 

eigentlich = 0,09999999403953552) 

Wertebereiche reeller Zahlen in Programmiersprachen 

Wertebereich Bit Java C++ 

-3,4x10 38 bis +3,4x10 38 32 float float 

-1,7x10 308 bis +1,7x10 308 64 double double 

Konvertierung reeller Zahlen in 32-Bit IEEE 754 Gleitpunktzahlen 

• Zunächst das generelle methodische Vorgehen: 

1. Das Vorzeichen wird mit 0 für positive Zahlen und 1 für negative Zahlen 

codiert. 

2. Konvertierung des ganzzahligen Anteils 

3. Der gebrochene Anteil wird sukzessive mit 2 multipliziert. 

• Wenn das Ergebnis größer (oder gleich) 1 ist, wird 1 subtrahiert und 

eine 1 als Ergebnis notiert. 

• Wenn das Ergebnis kleiner als 1 ist, wird erneut mit 2 multipliziert und 

eine 0 als Ergebnis notiert. 

• Diese Berechnung wird solange wiederholt, bis das Ergebnis gleich 0 

ist. 

• (Achtung! Dieser Prozess kann unendlich lange fortschreiten. Die 

Genauigkeit der Berechnung wird durch die für die Mantisse verfügbare 

Anzahl der Stellen begrenzt!) 

4. Das Ergebnis wird als Festkomma-Zahl notiert. 

21

5. Die Festkomma-Zahl wird normalisiert, d.h. das Komma wird so weit nach 

rechts oder links verschoben, bis vor dem Komma eine 1 steht. 

6. Die Anzahl der Stellen, um die das Komma verschoben wird, ergibt den Wert 

des Exponenten. 

7. Wird das Komma nach rechts verschoben, ist der Exponent negativ, wird er 

nach links verschoben, ist der Exponent positiv. 

8. Der Exponent e wird als natürliche Zahl e' codiert mit Wert e' = e + 127 

(Zum Exponenten addiert man einen sog. Bias von 127 und speichert das 

Ergebnis als vorzeichenlose 8-Bitzahl. Dies ist eine weitere Methode, um 

positive und negative Zahlen darzustellen. Sie wird im Falle von 

Gleitpunktzahlen angewendet, um Vergleiche zwischen verschiedenen 

Gleitpunktzahlen technisch besonders einfach zu machen.) 

9. Die Nachkommastellen (!) werden genommen und auf die Breite der 

Mantisse nach rechts mit Nullen aufgefüllt. 

10. Die Bits werden in der Reihenfolge Vorzeichen - Exponent - Mantisse 

angeordnet. 

Die Konvertierung am Beispiel 

• Beispiel: Konvertierung von (-3.75)10 in eine Gleitpunktzahl: 

• 

1. Vorzeichen: 1 

2. 3 = (11)2 

3. 0.75 * 2 = 1.5 

1.5 - 1 = 0.5 --> 1 als Ergebnis notieren. 

0.5 * 2 = 1 

1 - 1 = 0 --> 1 als Ergebnis notieren. 

4. Festkomma-Darstellung: (11.11)2 

5. Normalisieren: 1.111 * 2 1 

Da die erste Ziffer immer 1 ist, fällt diese nach der Normalisierung weg! 

6. Exponent: 1 --> e' = 1 + 127 = 128 = (1000 0000)2 

7. Die Nachkommastellen der Mantisse m mit Nullen auffüllen: 

m = (111 0000 0000 0000 0000 0000)2 

8. Das Ergebnis: 1100 0000 0111 0000 0000 0000 0000 0000 

22

Gleitkomma-Arithmetik 

Die Multiplikation von Gleitkommazahlen ist einfach, denn es gilt laut den 

Potenzgesetzen: 

e1 

e2 

e1 

+ e2 

m1 

⋅ 2 ⋅ m2 

⋅ 2 = m1 

⋅ m2 

⋅ 2 

Das bedeutet, dass die Mantissen als normale Dualzahlen multipliziert werden 

können und die Exponenten addiert werden. Das gleiche gilt für die Division. 

Schwieriger ist dagegen die Addition: Hier muss zunächst dafür gesorgt werden, 

dass die Exponenten angeglichen werden, denn eine Addition der Mantissen kann 

entsprechend den Potenzgesetzen nur dann richtig ausgeführt werden, wenn die 

Exponenten gleich sind: 

1 

e1 

( m + m ) 

m ⋅ 

⋅ 

e 

2 2 

1 2 

1 e1 

+ m ⋅ 2 = 2 

Zu diesem Zweck muss zunächst ermittelt werden, welcher Exponent der größere ist 

und die Exponentendifferenz d wird mittels einer Subtraktion gebildet. Sodann wird 

die Mantisse der Zahl mit dem kleineren Exponenten um d Stellen nach rechts 

verschoben, wobei von links Nullen nachgezogen werden. Dies entspricht einer 

Division der Mantisse durch 2 d bei gleichzeitiger Vergrößerung des Exponenten um 

d. Nun kann die Addition auf den angepassten Mantissen durchgeführt werden, 

wobei der größere Exponent der Operanden zum Exponenten des Ergebnisses wird. 

Durch die Addition kann es passieren, dass im Ergebnis eine Folge von führenden 

Nullen entsteht. Um aber für nachfolgende Operationen die Genauigkeit nicht 

einzuschränken, wird die Mantisse des Ergebnisses nun wieder nach links 

verschoben, bis die erste signifikante Stelle eine 1 ist. Wenn die Verschiebedistanz d’ 

ist, muss schließlich der Exponent noch um d’ vermindert werden, damit der Wert 

des Ergebnisses nicht verändert wird. 

23

Hausaufgaben zur Übung 5 

Stellen Sie folgende Dezimalzahlen als Gleitkommazahlen im Format IEEE 754 mit 

32 Bit dar. 

a) 13,84 b) 9,37 

c) 10,1 d) 0,77 

e) -8,62 f) -13,75 

24

4 Zahlendarstellung im Rechner (Fortsetzung)

Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.

Template löschen?

Als Template speichern?