¨Ubungen zur Thermodynamik und Statistik

Übungen <strong>zur</strong> <strong>Thermodynamik</strong> <strong>und</strong> <strong>Statistik</strong><br />

Prof. Dr. K. Fesser WS 06/07<br />

Blatt 3<br />

Abgabe: Mittwoch, 08.11.06 vor der Vorlesung<br />

Aufgabe 7<br />

Klassische Rotatoren<br />

Die Rotationsbewegung eines zweiatomigen Moleküls<br />

wird klassisch durch die Winkelvariablen θ <strong>und</strong> φ <strong>und</strong><br />

die dazugehörigen kanonischen Impulse p θ <strong>und</strong> p φ beschrieben.<br />

Die Hamiltonfunktion ergibt sich zu<br />

H rot = 1 ( ) 2 1<br />

pθ +<br />

2I 2I sin 2 θ<br />

z<br />

θ<br />

ϕ<br />

( ) 2<br />

x<br />

pφ .<br />

y<br />

a) Berechnen Sie die Zustandssumme Z <strong>und</strong> daraus die freie Energie U <strong>und</strong> die Entropie<br />

S eines kanonischen Ensembles von N klassischen Rotatoren.<br />

b) Bestimmen Sie daraus die spezifische Wärme C rot<br />

v<br />

pro Rotator.<br />

Aufgabe 8<br />

Quantenmechanischer Rotator<br />

(4 Punkte)<br />

Das Energiespektrum der Rotationsbewegung eines quantenmechanischen zweiatomigen Moleküls<br />

hat die Form<br />

E l = 2<br />

l(l + 1) ≡ Bl(l + 1) .<br />

2I<br />

Für ein heteronukleares Molekül ist der Eigenwert E l (2l + 1)-fach entartet.<br />

a) Schreiben Sie die quantenmechanische Zustandssumme für ein Molekül auf, das sich in<br />

Kontakt mit einem Wärmebad befindet.<br />

b) Berechnen Sie die Zustandssumme näherungsweise für hohe (B/k B T ≪ 1) <strong>und</strong> tiefe<br />

(B/k B T ≫ 1) Temperaturen <strong>und</strong> bestimmen Sie in den jeweiligen Grenzfällen die innere<br />

Energie U <strong>und</strong> die spezifische Wärme Cv<br />

rot eines Moleküls.<br />

Hinweis: Benutzen Sie für hohe Temperaturen die Euler-McLaurin-Formel,<br />

∞∑<br />

f(n) =<br />

n=0<br />

∫ ∞<br />

0<br />

f(x)dx + 1 2 f(0) − 1 12<br />

df<br />

dx (0) + 1 d 3 f<br />

720 dx 3 (0) ,<br />

um zunächst eine asymptotische Entwicklung der Zustandssumme für hohe T herzuleiten<br />

<strong>und</strong> entwickeln Sie dann U bzw. Cv<br />

rot nach Potenzen von B/k B T . Bei tiefen Temperaturen<br />

berücksichtigen Sie hingegen nur die ersten beiden Terme in der Zustandssumme.<br />

c) Skizzieren Sie die spezifische Wärme eines Moleküls. Was fällt Ihnen auf, wenn Sie das<br />

Ergebnis mit dem aus Aufgabe 7 vergleichen?<br />

Aufgabe 9<br />

Einstein Festkörper<br />

(8 Punkte)<br />

Der Einstein Festkörper ist ein Modell <strong>zur</strong> Beschreibung der thermodynamischen Eigenschaften<br />

dispersionsloser Phononen. Er besteht aus einem dreidimensionalen Gitter an dessen N<br />

Gitterplätzen sich jeweils drei harmonische Oszillatoren befinden, für jede Raumrichtung einer.

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Die Oszillatoren schwingen mit der Frequenz ω <strong>und</strong> sind nicht gekoppelt. Die Gesamtenergie<br />

des Systems ist deshalb<br />

E = ω<br />

3N∑<br />

i=1<br />

n i + 3 2 Nω ,<br />

wobei n i die Anzahl der Energiequanten im i-ten Oszillator ist. Die Gesamtzahl der Energiequanten<br />

im Gitter M = ∑ 3N<br />

i=1 n i sei fest vorgegeben. Berechnen Sie unter der Annahme<br />

N ≫ 1 <strong>und</strong> M ≫ 1<br />

a) die Gesamtzahl der mikroskopischen Zustände mit der Energie E,<br />

b) die Entropie S als Funktion der Temperatur T <strong>und</strong> der Anzahl der Gitterplätze N,<br />

c) <strong>und</strong> schließlich die Wärmekapazität C N (T ) des Festkörpers.<br />

(6 Punkte)