Relationen: Definitionen und Sätze

<strong>Relationen</strong>: <strong>Definitionen</strong> <strong>und</strong> <strong>Sätze</strong>1 Allgemeine <strong>Definitionen</strong>Definition 1.1 Seien M, N Mengen. Eine Relation R zwischen M <strong>und</strong> N ist eine Teilmengedes kartesichen Produkts M × N, also R ⊆ M × N. Wenn M = N, dann spricht man voneiner Relation auf M. Man schreibt aRb statt (a,b) ∈ R.Definition 1.2 (Eigenschaften von <strong>Relationen</strong> auf M)Sei M eine Menge <strong>und</strong> R eine Relation auf M. Die Relation R heißt(1) reflexiv, falls ∀a ∈ M: aRa.(2) symmetrisch, falls ∀a,b ∈ M: aRb → bRa.(3) transitiv, falls ∀a,b,c ∈ M: aRb∧bRc → aRc.(4) Äquivalenzrelation, falls R reflexiv, symmetrisch <strong>und</strong> transitiv ist.(5) antisymmetrsich, falls ∀a,b ∈ M, aRb∧bRa → a = b.(6) Ordnungsrelation (Partialordnung), falls R reflexiv, antisymmetrisch <strong>und</strong> transitiv ist.(7) konnex, falls ∀a,b ∈ M, aRb∨bRa.(8) Totalordnung, falls R eine konnexe Partialordnung ist.(9) asymmetrisch, falls ∀a,b ∈ M, aRb → ¬(bRa).Definition 1.3 (Eigenschaften von <strong>Relationen</strong> zwischen M <strong>und</strong> N, M = N nich ausgeschlossen)Seien M <strong>und</strong> N Mengen <strong>und</strong> R ⊆ M ×N eine Relation zwischen M <strong>und</strong> N. R heißt(1) linkstotal, falls ∀a ∈ M ∃b ∈ N: aRb.(2) rechtstotal, falls ∀b ∈ N ∃a ∈ M: aRb.(3) rechtseindeutig, falls ∀a ∈ M ∀b,c ∈ N: aRb∧aRc → b = c.(4) linkseindeutig, falls ∀a,b ∈ M ∀c ∈ N: aRc∧bRc → a = b.(5) eindeutig, falls R rechtseindeutig <strong>und</strong> linkseindeutig ist.Bemerkung:• Eine linkstotale, rechtseindeutige Relation entspricht einer Funktion.• Eine surjektive Funktion ist zusätzlich noch rechtstotal.• Eine innjektive Funktion ist zusätzlich linkseindeutig <strong>und</strong> somit eindeutig.1

2 ÄquivalenzrelationenÄquivalenzrelationen werden oft mit ∼ bezeichnet.Definition 2.1 Sei M eine Menge <strong>und</strong> ∼ eine Äquivalenzrelation auf M. Für jedes a ∈ Mheißt[a] ∼ := {x ∈ M: a ∼ x}die Äquivalenzklasse von a unter ∼. Jedes x ∈ [a] ∼ heißt Repräsentant von [a] ∼ .Satz 2.2 (Partition in Äquivalenzklassen)Sei ∼ eine Äquivalenzrelation auf M. Wir bezeichnen mit M/ ∼ die Menge aller Äquivalenzklassen.M/ ∼ := {[a] ∼ : a ∈ M}.Dann bilden die Äquivalenzklassen eine Partition der Menge M, d.h. jede Äquivalenzklasse istnicht leer, die Äquivalenzklassen sind paarweise disjunkt <strong>und</strong> die Vereinigung aller Äquivalenzklassenist gleich M.3 OrdnungsrelationenPartialordnungen bezeichnet man oft mit ≼, ≤. Die Notation ≤ wird generell auch dannverwendet, wenn die Menge auf der ≤ operiert keine Zahlenmenge ist. ≤ bedeutet also nichtimmer die übliche ”ist kleiner als oder gleich wie“ Relation auf Zahlenmengen.Definition 3.1 Sei M eine Menge <strong>und</strong> ≤ eine Partialordnung auf M. Ein Element x ∈ Mheißt:(1) kleinstes Element von M, falls ∀a ∈ M : x ≤ a.(2) größtes Element von M, falls ∀a ∈ M : a ≤ x.(3) minimales Element von M, falls ∀a ∈ M : a ≤ x → a = x.(4) maximales Element von M, falls ∀a ∈ M : x ≤ a → a = x.Wenn auf eine Menge M eine Partialordnung definiert ist, dann sagen wir auch ”M istpartialgeordnet“.Proposition 3.2 Sei M eine partialgeordnete Menge. Dann enthält M höchstens ein kleinstesElement. Analog enthält M höchstens ein größtes Element.Bemerkung:Falls mdaseinzigeminimale(maximale) ElementeinerpartialgeordnetenMengeM ist, so muss m nicht zwangsweise das kleinste (größte)) Element in M sein.Das Hasse-Diagramn.(Kleine) Endliche partialgeordnete Mengen können mit Hilfe des Hasse-Diagramms graphischdargestellt werden. Beim Hasse-Diagramm einer partialgeordneten Menge M mit Partialordnung≤ werden die Elemente von M als Punkte in der Ebene oder im Raum dargestellt. ZweiPunkte a,b ∈ M werden durch ein Geradenstuck verb<strong>und</strong>en, wenn a ≤ b, a ≠ b gilt <strong>und</strong>2

es kein c ∈ M \ {a,b} gibt mit a ≤ c ≤ b. Die Richtung der Verbindung zwischen a <strong>und</strong> bwird so gewählt, dass ”die Reihenfolge“ von a <strong>und</strong> b zum Ausdruck gebracht wird. Zu diesemZweck werden manchmal auch Pfeile verwendet. Die Verbindungen der Elemente mit sichselbst (Schleifen) werden nicht gezeichnet. Das Hasse-Diagramm ist natürlich zyklenfrei.Definition 3.3 Sei M eine partialgeordnete Menge <strong>und</strong> N ⊆ M.(1) Ein Element x ∈ M heißt obere Schranke für N, falls ∀y ∈ N: y ≤ x. Eine Menge N.die eine obere Schranke besitzt, heißt nach oben beschränkt.(2) Ein Element x ∈ M heißt untere Schranke für N, falls ∀y ∈ N: x ≤ y. Eine Menge N.die eine untere Schranke besitzt, heißt nach unten beschränkt.(3) Falls die Menge der oberen Schranken von N ein kleinstes Element besitzt, so heißt diesesElement Supremum von N. Dieses Element wird mit sup N bezeichnet.(4) Falls die Menge der unteren Schranken von N ein größtes Element besitzt, so heißt diesesElement Infimum von N. Dieses Element wird mit inf N bezeichnet.(5) Eine Telmenge K ⊆ M heißt Kette in M, falls ∀a,b ∈ K : a ≤ b∨b ≤ a.Definition 3.4 Sei M eine Menge. eine Partialordnung ≤ auf M heißt Wohlordnung, wennjede nichtleere Teilmenge N ⊆ M ein kleinstes Element besitzt.Bemerkung: Eine Wohlordnung ist eine Totalordnung, aber nicht umgekehrt.Satz 3.5 (Lemma von Zorn)Sei M eine nichtleere partialgeordnete Menge mit Partialordnung ≤ <strong>und</strong> mit der Eigenschaft:jede Kette K ⊆ M besitzt eine obere Schnranke in M. Dann besitzt M ein maximales Element.Satz 3.6 (Wohlordnungssatz)Sei M eine Menge. Es gibt eine Wohlordnung in M.Satz 3.7 (Das Auswahlaxiom)Sei (M λ ) λ∈J ein System von nichtleeren Mengen. Dann gibt es eine Funktion f: J → ∪ λ∈J M λ ,sodass ∀λ ∈ J: f(λ) ∈ M λ .Satz 3.8 Die <strong>Sätze</strong> 3.7, 3.5 <strong>und</strong> 3.6 sind untereinander äquivalent.3