Quadratische Textgleichungen – Zahlrätsel - Lösungen

<strong>Quadratische</strong> <strong>Textgleichungen</strong> – Zahlrätsel – Lösungen1. Addiert man zu einer Zahl ihre Quadratzahl, so erhält man 56.Gesuchte Zahl: xx + x² = 56hat als Lösung:x 1 = –8x 2 = 7Antwort: Die Zahl ist 8 oder –7.2. Addiert man zu einer Zahl ihre Quadratzahl, so erhält man 132.Gesuchte Zahl: xx + x² = 132hat als Lösung:x 1 = 11x 2 = –12Antwort: Die Zahl ist 11 oder –12.3. Multipliziert man zwei aufeinander folgende Zahlen, so erhält man 812. Wieheißen die Zahlen?1. Zahl: x2. Zahl: x + 1x(x + 1) = 812hat als Lösung:x 1 = 28x 2 = –29Die Zahlen sind 28 und 29 bzw. –29 und –28.4. Das Produkt zweier aufeinander folgender Zahlen ist 552.1. Zahl: x2. Zahl: x + 1x(x + 1) = 552hat als Lösung:x 1 = 23x 2 = –24Die gesuchten Zahlen sind 23 und 24 bzw. –24 und –23.5. Multipliziert man eine Zahl mit der um 5 größeren Zahl, so erhält man 374.1. Zahl: x2. Zahl: x + 5x(x + 5) = 374hat als Lösung:x 1 = 17x 2 = –22Die gesuchten Zahlen sind 17 und 22 bzw. –22 und –17.

---

11. Zwei Zahlen unterscheiden sich um 5. Die Summe ihrer Quadrate ist 625.1. Zahl: x2. Zahl: x + 5x² + (x + 5)² = 625hat als Lösung:x 1 = 15x 2 = –20Die gesuchten Zahlen sind 15 und 20 bzw. –20 und –15.12. Wenn man in dem Produkt aus 13 und 17 jeden Faktor um die gleiche Zahlvergrößert, so erhält man als Ergebnis 396.Gesuchte Zahl: x(13 + x)(17 + x) = 396hat als Lösung:x 1 = 5x 2 = –35Die Faktoren wurden um 5 bzw. um –35 vergrößert.13. Verkleinert man in dem Produkt aus 23 und 35 jeden Faktor um die gleicheZahl, so erhält man als Ergebnis 589.Gesuchte Zahl: x(23 – x)(35 – x) = 589hat als Lösung:x 1 = 4x 2 = 54Die Faktoren wurden um 4 bzw. um 54 verkleinert.14. Das Produkt zweier Zahlen ist 1596. Die eine Zahl liegt genau so weit über 40wie die andere unter 40.Gesuchte Zahl: x(40 + x)(40 – x) = 1596hat als Lösung:x 1 = 2x 2 = –2Die Zahl 40 muss um 2 (bzw. –2) vermehrt bzw. vermindert werden. Somitheißen die beiden Zahlen 42 und 38 (bzw. 38 und 42).15. Das Produkt zweier Zahlen ist 899. Die eine Zahl liegt genau so weit über 30wie die andere unter 30.Gesuchte Zahl: x(30 + x)(30 – x) = 899hat als Lösung:x 1 = 1x 2 = –1Die Zahl 30 muss um 1 (bzw. –1) vermehrt bzw. vermindert werden. Somitheißen die beiden Zahlen 31 und 29 (bzw. 29 und 31).

---

16. Addiert man die Kehrwerte zweier aufeinander folgender natürlicher Zahlen, soerhält man 127 .1. Zahl: x2. Zahl: x + 11 1 7+ =x x + 1 12hat als Lösung:x 1 = 34x 2 = − (entfällt)7Die gesuchten Zahlen sind 3 und 417. Zwei natürliche Zahlen unterscheiden sich um 2. Addiert man ihre Kehrwerte,so erhält man als Ergebnis 1235 .1. Zahl: x2. Zahl: x + 21 1 12+ =x x + 2 35hat als Lösung:x 1 = 57x 2 = − – entfällt als Lösung6Die Zahlen sind 5 und 7.18. Addiert man zum Quadrat einer Zahl 96, so erhält man 321.Gesuchte Zahl: xx² + 96 =321hat als Lösung:x 1 = 15x 2 0 = –15Die Zahl ist 15 oder –15.19. Das Quadrat aus der Summe einer Zahl und der Zahl 5 hat den Wert 64.Gesuchte Zahl: x(x + 5)² = 64hat als Lösung:x 1 = 3x 2 = –13

---

20. Zerlege 96 in zwei ganzzahlige Faktoren, deren Differenz 4 beträgt.1. Zahl: x2. Zahl: x – 4x ⋅ (x − 4) = 96hat als Lösung:x 1 = –8x 2 = 12Die Zahlen sind –8 und –12 bzw. 8 und 12.21. Für welche Zahlen a hat die Gleichung x² + 22x + a = 0a) keine Lösung,b) eine Lösung,c) zwei Lösungen?Aus− 22 ± 484 − 4 ⋅ ax1;2=2ergibt sich:a > 121: keine Lösunga = 121: eine Lösunga < 121: zwei Lösungen22. Wie heißen die Zahlen, deren Quadrat um 24 größer ist als ihr 10-faches?Gesuchte Zahl: xx² – 24x = 10xhat als Lösung:x 1 = –2x 2 = 12Die Zahl ist –2 oder 12.23. Die Summe zweier Zahlen ist 50. Vermindert man die erste Zahl um 4,vergrößert aber die zweite Zahl um 4, so entstehen zwei neue Zahlen. Bildetman nun von diesen neuen Zahlen die Kehrwerte, so ist die Summe derKehrwerte 112 .Wie heißen die ursprünglichen Zahlen?1. Zahl: x2. Zahl: yI. x + y = 501 1 1II.+ =x − 4 54 − x 12führt zu:x² – 58x + 816 = 0hat als Lösung:x 1 = 24 (y 1 = 26)x 2 = 34 (y 2 = 16)Die Zahlen sind 24 und 26 bzw. 34 und 16.

---

24. a) Vermehrt man eine Zahl um ihre Quadratzahl, so erhält man 30. Wie heißtdie Zahl?b) b) Welche Zahl ist um 42 kleiner als ihre Quadratzahl?a) Gesuchte Zahl: xb) Gesuchte Zahl: xx² + x = 30x² − 42 = xx² + x − 30 = 0a = 1; b = 1; c = − 30− 1± 1+20x1,2=2− 1±11x1,2=2x = 5; x = − 61 2x² − x − 42 = 0a = 1; b = − 1; c = − 421± 1+168x1,2=21±13x1,2=2x = 7; x = − 61 225. a) Welche Zahl muss man mit der um 4 größeren Zahl multiplizieren, um dasProdukt 21 zu erhalten?b) b) Welche Zahl muss man mit der um 5 kleineren Zahl multiplizieren, umdas Produkt 36 zu erhalten?a) Gesuchte Zahl: xb) Gesuchte Zahl: xx x + 4 = 21x x − 5 = 36( )x² + 4x − 21 = 0p= 2; q = − 212x = − 2 ± 4 + 211,2x = − 2 ± 51,2x = 3; x = − 71 2Die Zahlen sind 3 und 7 bzw. –3 und–7.( )x² − 5x − 36 = 0a = 1; b = − 5;c = − 365 ± 25 + 144x1,2=25 ± 13x1,2=2x = 9; x = − 41 2Die Zahlen sind 9 und 4 bzw. –4 und–9.26. Welche zwei aufeinanderfolgenden ganze Zahlen haben das Produkt 56 (132)?1. Zahl: x2. Zahl: x + 11. Zahl: x2. Zahl: x + 1x x + 1 = 56x x + 1 = 132( )x² + x − 56 = 0a = 1; b = 1; c = − 56− 1± 1+224x1,2=2− 1±15x1,2=2x = 7; x = − 81 2Die Zahlen sind 7 und 8 bzw.–7 und –8.( )x² + x − 132 = 0a = 1; b = 1; c = − 132− 1± 1+528x1,2=2− 1±23x1,2=2x = 11; x = − 121 2Die Zahlen sind 11 und 12 bzw.–11 und –12.

---

27. a) Zerlege 48 in zwei Faktoren, deren Summe 14 beträgt.b) Zerlege 48 in zwei Faktoren, deren Differenz 8 beträgt1. Faktor: x2. Faktor: 14 – x1. Faktor: x2. Faktor: x – 8x 14 − x = 48x x − 8 = 48( )x² − 14x + 48 = 0p= − 7; q = 482x = 7 ± 49 − 481,2x = 7 ± 11,2x = 8; x = 61 2Die Faktoren sind 8 und 6.( )x² − 8x − 48 = 0p= − 4; q = − 482x = 4 ± 16 + 481,2x = 4 ± 81,2x = 12; x = − 41 2Die Faktoren sind 12 und 4 bzw.–12 und –4.28. Zerlege 8 (12) in zwei Summanden, deren Quadrate zusammen 40 (90)ergeben.1. Summand: x2. Summand: 8 – x1. Summand: x2. Summand: 12 – xx² + 8 − x ² = 40x² + 12 − x ² = 901,21,2( )x² − 8x + 12 = 0p= − 4; q = 122x = 4 ± 16 − 12x = 4 ± 2x = 6; x = 21 2Die Summanden sind 6 und 2.1,21,2( )x² − 12x + 27 = 0p= − 6; q = 272x = 6 ± 36 − 27x = 6 ± 3x = 9; x = 31 2Die Summanden sind 9 und 3.29. Verkleinert man in dem Produkt 11⋅ 9 (17 ⋅ 23) jeden Faktor um eine Zahl, sowird das Produkt 35 (160). Wie heißt die Zahl?Gesuchte Zahl: xGesuchte Zahl: x11− x 9 − x = 3517 − x 23 − x = 160( ) ( )x² − 20x + 64 = 0p= − 10; q = 642x = 10 ± 100 − 641,2x = 10 ± 61,2x = 16; x = 41 2Die Zahl ist 16 bzw. 4.( ) ( )x² − 40x + 231 = 0p= − 20; q = 2312x = 20 ± 400 − 2311,2x = 20 ± 131,2x = 33; x = 71 2Die Zahl ist 33 bzw. 7.

---

30. 5 ⎛ 29 ⎞Addiert man zu einer Zahl ihre Kehrzahl, so erhält man2⎜10⎟ . Wie heißt die⎝ ⎠Zahl?Gesuchte Zahl: xGesuchte Zahl: x1 51 29x + =x + =x 2x 102x² − 5x + 2 = 010x² + 29x + 10 = 0a = 2; b = − 5;c = 2a = 10; b = − 29; c = 10xxx1,21,2=5 ± 25 − 164=5 ± 34= 2; x =121 2Die Zahlen sind 2 bzw. 1 .229 ± 841 − 400x1,2=2029 ± 21x1,2=205 2x1= ; x2=2 5Die Zahlen sind 5 2 bzw. .2 531. Der Zähler eines Bruches ist um 3 (2) kleiner als der Nenner. Addiert man zudem Bruch seinen Kehrwert, so erhält man 5 ⎛ 34 ⎞2⎜15⎟ . Wie heißt der Bruch?⎝ ⎠Zähler: xZähler: xx x + 3 5x x + 2 34+ =+ =x + 3 x 2x + 2 x 15x² + 3x − 18 = 0x² + 2x − 15 = 0a = 1; b = 3; c = − 18− 3 ± 9 + 72x1,2=2− 3 ± 9x1,2=2x = 3; x = − 61 2Der Bruch ist 3 −bzw. 6 .6 − 3p= 1; q = − 152x = − 1± 1+151,2x = − 1±41,2x = 3; x = − 51 2Der Bruch ist 3 −bzw. 5 .5 − 3

---

32. Die Summe der Quadrate zweier Zahlen beträgt 3,2; ihr arithmetisches Mittel1,2. Wie heißen die Zahlen?1. Zahl: x2. Zahl: yx² + y² = 3,2x + y= 1,222,4 − y ² + y² = 3,2( )y² − 2,4y + 1,28 = 0y = 1,6; y = 0,81 2x1 = 0,8; x2= 1,6Die Zahlen sind 1,6 und 0,8 bzw. 0,8 und 1,6.33. Zwei Zahlen verhalten sich wie 5 : 7. Die Summe ihrer Quadrate beträgt 1.850.Wie heißen die Zahlen?1. Zahl: x2. Zahl: yx : y = 5 : 7x² + y² = 1850⎛ 5 ⎞⎜ y ² y² 18507⎟ + =⎝ ⎠y² − 1225 = 0y = 35; y = − 351 2x1 = 25; x2= − 25Die Zahlen sind 35 und 25 bzw. –35 und –-25.34. Das Produkt zweier Zahlen beträgt 836. Die eine Zahl liegt ebensoviel über 30wie die andere unter 30. Wie heißen die Zahlen?Gesuchte Zahl: x30 + x 30 − x = 836( ) ( )x² − 64 = 0x1 = 8; x2= − 8Gesuchte Zahlen: 38 und 22 bzw. 22 und 38.35. Der dritte und der vierte Teil einer Zahl ergeben einzeln ins Quadrat erhobenund dann addiert 12,25. Wie heißt die Zahl?Gesuchte Zahl: x⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞⎜ ² ² 12,253⎟ + ⎜ =4⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠x² − 70,56 = 0x1 = 8,4; x2= − 8,4Die Zahl ist 8,4 bzw. –8,4.

---

36. Die Summe der Quadrate von vier aufeinander folgenden geraden natürlichenZahlen ist 1176. Wie heißen diese Zahlen?1. Zahl: x2. Zahl: x + 23. Zahl: x + 44. Zahl: x + 6x² + (x + 2)² + (x + 4)² + (x + 6)² = 1176x 1 = 14(x 2 = –20)Die Zahlen heißen 14, 16, 18 und 20.37. Die Summe zweier Zahlen beträgt 94, ihr Produkt 2109.Wie heißen die Zahlen?1. Zahl: x2. Zahl: yI. x + y = 94II. x ⋅ y = 2109x = 57y = 37Die Zahlen heißen 57 und 37.38. Von zwei Zahlen ist die eine um 12 größer als die andere. Das Produkt derbeiden Zahlen beträgt 864.Berechne die Zahlen.1. Zahl: x2. Zahl: x + 12x(x + 12) = 864x 1 = 24x 2 = –36Die Zahlen heißen 24 und 36 bzw. –36 und –24.39. Von zwei Zahlen ist die eine ebensoviel größer wie andere kleiner als 35. DasProdukt beider Zahlen beträgt 1104.Wie heißen die Zahlen?1. Zahl: 35 + x2. Zahl: 35 – x(35 + x)(35 – x) = 1104x 1 = 11x 2 = –11Die Zahlen heißen 46 und 24 bzw. 24 und 46.40. Um welche Zahl muss der erste Faktor des Produktes 16 · 17 vermindert undder zweite Faktor vermehrt werden, damit der Wert des Produktes um 30kleiner wird?Gesuchte Zahl: x(16 – x)(17 + x) = 242x 1 = 5x 2 = –6Die Zahl ist 5 bzw. –6.

---

41. Der Zähler eines Bruches ist um 3 kleiner als der Nenner. Vermehrt mangleichzeitig den Zähler und den Nenner um 10, so entsteht ein Bruch, derdoppelt so groß ist wie der erste Bruch.Wie heißen die Brüche?(x − 3) + 10 x − 3= 2 ⋅x + 10 xx = 51x = − 122Die Brüche heißen :2 − 12und5 − 9