Die allgemein gültigen Gesetze für den Zusammenhang von Strom und Spannung bei Wechselgrößen lauten:
Nur beim Widerstand ist i(t) und u(t) zueinander proportional, d.h. der Strom folgt exakt dem zeitlichen Verlauf der Spannung.
Für die Induktivität und die Kapazität ist die zeitliche Änderung entscheidend.
| 1 | Induktivität: Vom i(t) zu u(t) | ||
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| L | Berechne und zeichne für folgende zeitabhängige Ströme und L = 20 mH die zugehörige Spannung u(t).
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| 2 | Kondensator mit Gleichstrom aufladen | ||
| L | Berechne und zeichne den Verlauf der Spannung, wenn man einen Kondensator mit C = 200 µF für 2 s an eine ideale Stromquelle anschliesst, die konstant 2 mA liefert. Berechne die Momentanleistung s(t) und aus s(t) die Energie im Kondensator am Ende der Ladezeit. Vergleiche das Resultat mit der Energie im Kondensator ½ C·U2. | ||
| 3 | Kapazität: Vom u(t) zum i(t) und umgekehrt | ||
| M | Berechne allgemein für eine Spannung u(t) = Û sin ωt den zugehörigen Strom i(t). Zeichne die beiden Funktionen. Betrachte nun den Strom als Ladestrom für den Kondensator. Ein Streifen dq = i(t)·dt ist dann die Ladung, welche dem Kondensator zugeführt wird, bzw. bei einem negativen Strom wieder vom Kondensator wegfliesst. eine Ladungsmenge dq ändert die Spannung um du = dq/C. Überzeuge dich qualitativ davon, dass die fortlaufende Summe der Streifenflächen wieder die Ladung q(t) und dann die spannung u(t) = q(t) / C ergibt. Zeige das auch über die Integralrechnung. |
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| 4 | Addition von Sinusfunktionen | ||
| M | Die beiden Kirchhoff'schen Gesetze verlangen die Addition von Strömen, bzw. Spannungen. Sie gelten bei zeitanhängigen Größen in jedem Augenblick. Es ist daher wichtig, sich damit zu beschäftigen, was die Addition von zwei Sinusfunktionen mit gleicher Frequenz, aber unterschiedlichem Spitzenwert und Phasenlage ergibt. Addiere zwei Spannungen (i = 1, 2) der Form ui(t) = Ûi sin(ωt + φi) zu u1(t) + u2(t) = u(t). Verwende die Summensätze. Welche Eigenschaften (Maximalwert, Phase) hat die Spannung u(t). Zeige, das die Addition von zwei entsprechenen Zeigern U1 und U2 das gleiche Resultat ergibt. |
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| 5 | L und R in Serie | ||
| L | Eine Zylinderspule hat 500 Windungen aus Cu-Draht mit 0.125 mm2 Querschnitt. Die Länge der Spule ist 16 cm, der mittlere Durchmesser der Windungen beträgt 2 cm. Berechne den Ohm'schen Widerstand R der Spule und die Induktivität L der Spule. Eine Ersatzschaltung für die Spule ist eine Reihenschaltung von R und L. Durch die Spule soll ein Strom von i(t) = 1 mA sin (ωt) fließen. Die Frequenz ist so zu wählen, dass die Amplitude der Spannung am R doppelt so groß ist wie die Amplitude der Spannung am L. Berechne die Spannungen am Widerstand und an der Induktivität (Selbstinduktionsspannung). Addiere die Spannungen zu u(t) = uR(t) + uL(t). Stelle die Addition der Spannungen auch grafisch dar, z.B. durch händische Konstruktion, am Taschenrechner oder mit einer Tabellenkalkulation. Verwende auch die komplexe Darstellung und zeichne das Zeigerdiagramm für Strom und Spannungen. |
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| 6 | R-L Einschaltvorgang | ||
| S | Welcher Strom i(t) ergibt sich, wenn eine Gleichspannung U an eine Spule (R, L) angelegt wird? Der Maschensatz für eine solche Anordnung lautet:
D.h. man kann sich bei gegebenem Strom i(t) ausrechnen, um welchen Betrag di sich der Strom während des nächsten Zeitintervalls dt ändert. Beginnt man bei t = 0 mit i = 0, so kann in einer Schleife, welche die Zeit jeweils um dt erhöht, fortlaufend aus dem Strom i(t) der Strom i(t + dt) berechnet werden. Formuliere diesen Algorithmus in Pseudocode und schreibe ein Programm dazu. Zahlenwerte dazu: R = 10 Ω, L = 100 mH, Δt = 0.1 ms |
