Allgemeines Iterationsverfahren bei quadratischen Gleichungen

Bei der Lösung von quadratischen Gleichungen versuchen Schüler manchmal wie in folgendem Beispiel vorzugehen :

Obwohl das Verfahren so nicht zur exakten Lösung führt, kann man die letzte Gleichung als Ausgangsgleichung für ein Iterationsverfahren betrachten. Man beginnt mit einem Startwert x(0) und berechnet dann sukzessive

a) Führen Sie mit einem geeigneten Startwert einige Schritte durch, so dass eine Lösung der Gleichung bis auf eine Genauigkeit von bestimmt ist.
b) Die Gleichung hat zwei Lösungen. Wie muss die Iterationsvorschrift modifiziert werden, damit bei geeignetem Startwert die zweite Lösung durch das Verfahren angenähert wird ? Führen Sie damit wie in Teil a) einige Schritte durch.
c) Das Verfahren funktioniert leider nicht immer. Geben Sie ein Beispiel für eine quadratische Gleichung an, bei der das Verfahren nicht gegen die gewünschte Lösung konvergiert.

Lösung mit Maple

Zunächst Ausgabe der Lösungen

> solve(x^2+3*x-10=0,{x});

a) Konvergenz gegen Lösung x=2

> f:=x->sqrt(10-3*x);plot({x,f(x)},x=0..3);
z:=1.5; while abs(z-2)>1e-2 do z:=f(z): od;

b) Konvergenz gegen Lösung x=-5

> g:=x->-sqrt(10-3*x);
plot({x,g(x)},x=-6..0);
z:=-4.; while abs(z+5)>1e-2 do z:=g(z): od;

c)keine Konvergenz bei der Gleichung x^2-4x-5=0

> h:=x->sqrt(5-4*x);plot({x,h(x)},x=0..3);

c') bei dem Beispiel x^2-3x+2=0 treten Konvergenz und Divergenz auf

> k:=x->sqrt(3*x-2);plot({x,k(x)},x=0..3);

Bemerkung: Es handelt sich hier um eine Fixpunktiteration. Konvergenz liegt daher vor, wenn die Steigung der Iterationsfunktion (hier f,g,h,k) betragsmäßig in einer Umgebung der anzunähernden Lösung kleiner als 1 ist. Beim letzten Beispiel ist das für x=2 der Fall, für x=1 dagegen nicht.