Lineare Algebra 心得与理解 第四章 LGs Matrizen

日常声明： KIT的计算机专业一直是令人闻风丧胆的杀手专业，我作为混迹于其中的程序媛，通过此专栏梳理总结自己学习到的知识。本人能力有限，天赋有限，错误疏漏在所难免。本专栏旨在分享与讨论。

4.1 Lineare Gleichungssysteme – Grundlegendes

Definition 4.1.1 (Lineares Gleichungssystem)
R是一个kommutativer Ring. R上的线性方程组(LGS) 有 p 个等式 和 q 个未知数 ：

它的系数 a ij 和bi 都在R中，并且我们寻找解的数组 (Lösungstupel) (xj) 1≤j≤q ∈ R^q。
系统 (∗)的所有答案组成的集合，我们表示为L(∗)。
如果这个系统的(∗)的结构是右边全为0时，这个系统叫做(∗) 的homogene Gleichungssystem（齐次线性方程组)。
我们把(∗) 简写成：

在现在 R^q (所有在R中的q元数组，组成的集合【见 第1章2节】) 在加上局部加法(komponentenweiser Addition)组成一个群。 单位元是全部元素都是0的Tupel, (r1 r2 . . . rq )⊤ 的加法逆元是 (−r1 −r2 ... −rq)⊤。

Hilfssatz 4.1.2 (Das LGS aus der Sichtweise der Gruppentheorie群论角度的线性方程组)
现在我们定义一个函数：

这个函数是群同构(Gruppenhomomorphismus)。我们可以把L(∗) 写成L(Φ,b)。

「注： 这个函数的意思是：

R^q是方程组的解，R^p就是bi，比如说我有一个方程组 ：

2x + 3y + 5z + 2a = 3

6x + 2y + 6z +2a = 2

8x + 12y + 123z + 67a = 13（随便打的不一定有解)

如果有解的话，这个解（x,y,z,a）我们就可以看成是在R上的四元数组，(前面也说了，其实所谓的解方程就可以看成是寻找这个四元组。)属于R^q。而等号另一边，也就是这个函数的映射结果（3，2，13）也把它看成是R上的3元数组，它属于R^p，所以这个函数的定义域就是R上的四元数组，值域就是R上的三元数组。而这个函数的算法其实就是每个变量前面的系数所组成的矩阵（这个马上会讲到)。这样我们就把线性方程组抽象成了一个函数。」

当这个方程组是线性齐次线性方程组的时候，它的结集正好是 Kern von Φ. 当 L(Φ,b) 非空时（就是说这个方程组有解时）, 对于每一个任意的来自方程组(∗)的特殊解 x^(s) 都使下面的等式成立：

就是方程组的结集L就等于齐次线性方程的结集加上特殊解。
证明（省略）

Definition 4.1.5 ( ΦA , Produkt zweier Matrizen)
如果这个函数 Φ它的矩阵是 A，那么我们把这个函数写成 ΦA（定义域 R^q 值域R^p. 结集 L(ΦA, b)我们也可以写成L(A, b)。
那么我们根据之前的公式可以把(∗)的q行写成：

那么属于矩阵：

的 Homomorphismus 就是：

那么ΦA ◦ ΦC 的Homomorphismus R^r → R^p:

这样我们就得到了一个新的矩阵F ∈ R^p×r ,它的每个元素是：

我们把矩阵 F 叫做 Produkt A · C （来自矩阵A ∈ R^p×q和矩阵
C ∈ R^q×r)。

4.2 Invertierbare Matrizen

4.3 Die Gauß-Normalform

Definition 4.3.1 (Treppenform, Gauß-Normalform, Rang)

T = (t（i,j）) ∈ R^p×q, r ∈ N0 ,现在有从1 到q 个 S（S是自然数） 1≤S1 <S2 <S3 <···<Sr ≤q 「注：其实这里的意思就是有r个S，这如r个S从小到大排列，最大不超过q,也就是说 r≤q 」

然后满足两点：
对于所有 i 满足 1 ≤ i ≤ r 有 :t(i , si） =1 并且

∀ k /=i 有 :t (k , si）= 0并且

∀ k < si 有 :t(i , k） =0。
对于所有 i ≥ r+1 并且所有 j∈{1,...,q} 有 t(i , j)=0。

当T有Treppenform，那就说明r 就是 T的Rang ,s1,...,sr叫做T的列指针(Spaltenindizes )。

「注：比如我现在有一个R^3*4的矩阵 T:

t(1,1) t(1,2) t(1,3) t(1,4)

t(2,1) t(2,2) t(2,3) t(2,4)

t(3,1) t(3,2) t(3,3) t(3,4) 这个矩阵长这样，对吧。

那么有 1 ≤ S1 < S2 < S3 <···<Sr ≤ 4。

现在假设 1 ≤ S1 = 2 < S2 = 3 <S3 =4 ≤ 4 那么r = 3。

根据上面的公式就有：

i= 1 t(1,2) = 1 且 t(2,2) = 0 t(3,2) = 0 且 S1 = 2，k <2,k= 1 t(1,1) = 0

i= 2 t(2,3) = 1 且 t(1,3) = 0 t(3,3) =0 且 S2 = 3, k < 3, k = 1,k = 2 t(2,1) = 0 t(2,2)= 0

i=3 t(3,4) = 1 且 t(1,4) =0 t(2,4) =0 且 S3 = 4, k < 4, k = 1,2,3 t(3,1) = 0 t(3,2) = 0 t(3,3) = 0

这个矩阵就变成了这的形式：

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

」

就是数值为1那个点的所属的列必须除了这个点都是0，所属行的1的前面也必须是0。也就是说，对于任何一个矩阵，你想知道它的rang 要把它化简成这个样子，然后看它的r, 它的r是几Rang就是几。也就是说这个矩阵最后有几列只有一个1的列，这个矩阵的Rang就是几。

比如说 p = 4, q = 6,r = 3,s1 = 2,s2 = 3,s3 = 5 时这个矩阵是这样的：

Hilfssatz 4.3.3 (Lösen eines LGS mit einer Matrix in Treppenform)在阶梯形矩阵下的线性方程组解

现有一个阶梯行矩阵 T ∈ R^p×q (秩r 列指针(Spaltenindizes) s1,...,sr ) 列 b = (b1 ... bp)⊤ ∈ R^p。那么有:

a) 这个线性方程系统 T · x = b 一定有解, 当b列从 b(r+1)项, . . . ,到第 b(p)项都等于0时。 在这种情况下，特殊解是：

b) 对于 j ∈ J := {1,...,q} \{s1,...,sr}

是齐次线性方程组 T · x = 0的解. Die F ^(j) 叫做齐次线性方程组的Fundamentallosungen。

c) 每个矩阵T的齐次线性方程组的解集L(T,0) 是：

每个v ∈ L(T,0) h可以表示成

系数 xj ∈ R.

4.4 Das Gauß-Verfahren

Definition 4.4.3 (Rang einer Matrix矩阵的秩)

矩阵A的Rang是，唯一确定的 T[ 来自于形式 T = C · A, C ∈ GL p(K)]（阶梯矩阵Treppenform ）的阶梯数。

Fazit 4.4.4 (Lösungsstrategie zur Lösung eines LGS线性方程解的解法)

A ∈ K^ p×q 以及 C ∈ GLp(K), CA有阶梯矩阵。计算CAx = Cb 的出特殊解x^(s) 以及Fundamentallösungen.


Ax = b 有解, 当Rang(A) = Rang(A|b) , (A|b) 是矩阵 p × (q + 1) , 由 A 组成，b 是最后一行。矩阵(A|b) 叫扩展矩阵。

当解存在且唯一时 Rang (A) = q . Denn genau dann wird das homogene Gleichungssystem nur von der Null gelo ̈st (es gibt also keine Fundamentallo ̈sungen des homogenen Gleichungssystems), sie- he 4.3.3. Anders gesagt:

Ax = b 对于每个b 都有解, 当 A 有 Rang r = p . :

这一章没有完全整理完，只写了一些我觉得最重要的在以后会补充全。

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