Felder und Bewegung von Ladungsträgern

Systematisierung Feld

Unterschiede:

	elektrisches Feld	magnetisches Feld
Beschreibung	Das elektrische Feld ist der besondere Zustand des Raumes um elektrische Ladungen.	Das magnetische Feld ist der besondere Zustand des Raumes um Dauermagneten und stromdurchflossene Leiter
Ursache	elektrische Ladungen	Dauermagnete stromdurchflossene Leiter
Kräfte auf	geladene Körper ungeladene Körper durch Polarisierung	Dauermagnete stromdurchflossene Leiter ferromagnetische Werkstoffe
Definition einer Feldgröße	elektrische Feldstärke	magnetische Flussdichte
Kraft auf Probekörper	E = F/Q	B = F/I·l

Gemeinsamkeiten:

• besonderer Zustand des Raumes
• Träger von Energie
• an keine stofflichen Träger gebunden
• lassen sich durch Kraftwirkung nachweisen

Feld	Feldlinienbilder
real existierende Erscheinung räumlich (3D)	Modell, Vereinfachung in einer Ebene (2D)

Das Feld existiert auch zwischen den Feldlinien

Das Feldlinienbild ermöglicht Aussagen über Richtung und Betrag der Kraft auf Probekörper

1. Das Feld ist am stärksten, wenn die Feldlinien am dichtesten sind.
2. homogenes Feld (Feld überall gleich stark) ⇒ Feldlinien parallel
3. inhomogenes Feld (Feld unterschiedlich stark) ⇒ Feldlinien unterschiedlich dicht
4. Richtung der Kraftwirkung auf positive Probeladungen/ Nordpole

Bewegung von Ladungsträgern in Feldern

1. elektrisches Feld
   1. Ladungsträger parallel zu Feldlinien

   homogenes Feld ⇒gleichmäßig beschleunigte Bewegung Fel = Fmech E·Q = m·a a = U·Q/m·d

   Energiebetrachtung:
   sei v₀ = 0 so gilt: E_el = E_kin             Q·U =
   1/2
   ·m·v²
   2. Ladungsträger senkrecht zu Feldlinien

   x-Richtung: gleichförmige Bewegung, v0 = konstant y-Richtung: beschleunigte Bewegung, "elektrische Wurfparabel" Fely = Fmech E·Q = m·ay vy = ay·t = Uy·Q/m·d ·t vges = √v02+vy2

2. magnetisches Feld
   1. Ladungsträger parallel zu Feldlinien

   geradlinig gleichförmige Bewegung, weil Lorentzkraft FL = 0

   2. Ladungsträger senkrecht zu Feldlinien

   gleichförmige Kreisbewegung FL = Fr Q·v·B = m· v2/r

Massenspektrograph

d₁ stellt den Durchmesser einer Kreisbahn dar. Die in der Skizze zu d₁ gehörige Masse wäre m₁.

• Elektronenstrahl ionisiert Gasatome
• Geschwindigkeitsfilter: elektrisches und magnetisches Feld stehe senkrecht zueinander ⇒ Ionen mit gleicher Geschwindigkeit werden erhalten
• F_el übt Kraft nach unten auf positive Ionen aus
• F_L übt Kraft nach oben aus
• ⇒ alle Ionen haben am Ende die gleiche Geschwindigkeit
• B₂ = homogenes Magnetfeld ⇒ zwingt Ionen auf eine Kreisbahn
• Ionen treffen auf Fotoplatte ⇒ Bahnradius kann ermittelt werden ⇒ Bestimmung spezifische Ladung
• ⇒ Ionenmasse kann bestimmt werden

Wirkungsweise:

• Ionenquelle liefert Ladungsträger
• Beschleunigung im elektrischen Feld
• Energieerhaltungssatz:
  E_el = E_kin
Q·U =
1/2
·m·v²
v = √
2·Q·U/m
• geradlinig gleichförmige Bewegung:
  F_el = F_L
Q·E = Q·v·B₁
• gilt für jene Teilchen mit v =
  E/B₁
• im Magnetfeld B₂ gleichförmige Kreisbewegung
      F_L = F_r
Q·v·B = m·
v²/r
• Radius der Kreisbahn r =
  m·v/Q·B₂
• mit v aus Geschwindigkeitsfilter r =
  m·E/Q·B₁·B₂

Hall-Effekt

• Körper im Magnetfeld ⇒ auf Ladungsträger wirkt Lorentzkraft
• dünnes Metallband ⇒ Feldlinien senkrecht ⇒ Lorentzkraft führt dazu, dass sich Träger mit negativer Ladung in einem Punkt sammeln
• zwischen diesem Punkt und entgegengesetztem ist Spannung messbar ⇒ Hall-Spannung
• ⇒ Spannung wächst bis Kraft auf Ladungsträger = Lorentzkraft
               F_el = F_L
e·E = e·
U_H/b
=e·v·B

Herleitung:

1. Annahme:

Es gibt nur eine Sorte von beweglichen Ladungsträgern (z.B. Elektronen) die zum Strom beitragen.

2. Annahme:

Alle queren mit der gleichen Geschwindigkeit v das Silberband:
      F_L = F_el
Q·v·B = Q·E
Q·v·B = Q·
     U_H = v·B·b

Querstrom I_quer: I_quer = = ⇒t =
Geschwindigkeit der Ladungsträger: v = =
Hallspannung: U_H = ·B·b =
U_H = =·
B = ·U_H
n... Ladungsträgerdichte

Einteilung Naturkonstanten

universell	Teilchen	Feld
Lichtgeschwindigkeit Plancksches Wirkungsquantum h	Elementarladung e Masse Elektron me	Gravitationskonstante γ elektrische Feldkonstante ε magnetische Feldkonstante μ

Zusammenhänge: c = (√ε·μ  )^-1

Milikan Experiment:

geladenes Teilchen zwischen horizontalen Kondensatorplatten Elementarladung näherungsweise bestimmbar unberücksichtigt Reibungskräfte und Auftriebskräfte Radius r nicht direkt messbar (indirekt über die Sinkgeschwindigkeit eines Öltröpfchens ohne elektrisches Feld)

Radiusbestimmung - Ansatz:

Kräftegleichgewicht: F_G = F_R
resultierende Kraft = 0 ⇒ gleichförmige Bewegung
kleine Geschwindigkeiten: Stokes'sche Reibung
m·g = 6·π·μ·r·v      mit       m = ρ·V =

Radiusbestimmung:

r = 3·√

μ·v_-/2·g·(ρ_Öl-ρ_Luft)

μ... Zähigkeit der Luft 1,8·10^-5
v_-... Fallgeschwindigkeit ohne elektrisches Feld
ρ_Öl... Dichte des Öles = 910

Messgrößen:

• Spannung am Kondensator im Schwebefall
• Fallstrecke ohne Spannung
• Fallzeit ohne Spannung

Fehlerbetrachtung:

• Auftriebskräfte nicht berücksichtigt
• Temperaturabhängigkeit der Konstanten nicht beachtet

Ergebnis:

Es häufen sich die ganzzahligen Vielfachen der Elementarladung. Die Ladung ist gequantelt.
e = 1,602·10^-19 C als kleinste mögliche Ladung, da Q = k·e (ganzzahlig Vielfaches; k∈Z)

Bestimmung der spezifischen Ladung ^e/_m:

Ansatz: Lorentzkraft = Radialkraft
     F_L = F_r
e·v·B =
    =     (1)

Beschleunigung im elektrischen Feld

Ansatz:
E_el = E_kin
e·U = ·m·v²
Gleichung (1) in Gleichung (2) einsetzen: e·U = ·m·
gekürzt: U = ··B²·r²
umgeformt:

e/m

=

2·U/B²·r²

U... Beschleunigungsspannung
r... Radius der Kreisbahn