DE102006029153A1 - Vorrichtung zum Konstruieren einer Zahnverbindung - Google Patents

Abstract

Die Erfindung betrifft eine elektronische Vorrichtung zum Konstruieren einer zwei Bestandteile umfassenden Zahnverbindung. Jeder Bestandteil dieser Zahnverbindung umfaßt ein Zahnrad oder ein Zahnrad-Segment. Die Konstruktionsvorrichtung ist zum Erzeugen eines rechnerverfügbaren dreidimensionalen Konstruktionsmodells der Zahnverbindung durch Verändern eines Anfangs-Konstruktionsmodells ausgelegt. Die Zahnverbindung ist so gefertigt, daß jede Zahnflanke jedes Zahns jedes Bestandteils die Form einer Evolvente aufweist. Erfindungsgemäß umfaßt das Anfangs-Konstruktionsmodell jeweils eine rechnerverfügbare Beschreibung jeder Zahnflanke jedes Zahns jedes Bestandteils. Die Zahnflanken-Beschreibung umfaßt eine rechnerauswertbare analytische Beschreibung einer Evolvente (32), die die Geometrie der Zahnflanke festlegt. Die Konstruktionsvorrichtung weist ein Eingabegerät zum Eingeben jeweils eines Werts für jeden Parameter auf. Das Anfangs-Konstruktionsmodell wird in Abhängigkeit vom eingegebenen Wert des mindestens einen Parameters verändert. Dieser Parameter ist ein Parameter der Beschreibung der Flanke mittels der Evolvente (32).

Description

• Die Erfindung betrifft eine elektronische Vorrichtung zum Konstruieren einer zwei Bestandteile umfassenden Zahnverbindung. Jeder Bestandteil dieser Zahnverbindung umfaßt ein Zahnrad oder ein Zahnrad-Segment.
• Eine elektronische Konstruktionsvorrichtung mit den Merkmalen des Oberbegriffs des Anspruchs 1 ist aus US 6,587,741 B1 bekannt. Diese Konstruktionsvorrichtung hat Lesezugriff auf jeweils ein rechnerverfügbares Konstruktionsmodell jedes Bestandteils der Zahnverbindung. Diese Konstruktionsmodelle sind parametrisch, d. h. hängen von Parametern ab, die die Geometrie des Bestandteil-Konstruktionsmodells beschreiben und deren Werte ein Benutzer vorgeben und verändern kann.
• Die Geometrie einer Zahnflanke wird mit Hilfe einer Kurve zwischen Stützstellen beschrieben. Zwischen jeweils zwei Stützstellen wird die Kurve für die Zahnflanke näherungsweise durch ein Polynom beschrieben. Die Genauigkeit des Konstruktionsmodells hängt damit von der Anzahl und den Positionen der Stützstellen ab.
• In US 4,868,761 wird ein programmierbares CAD/CAM-System beschrieben, das dreidimensionale Freiformflächen zu fertigen vermag. Die zu fertigende Oberfläche wird mathematisch beschrieben. Wie dies im Einzelnen geschieht, wird nicht dargelegt.
• Der Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, eine Konstruktionsvorrichtung mit den Merkmalen des Oberbegriffs des Anspruchs 1 bereitzustellen, bei der die Genauigkeit des Konstruktionsmodells nicht von der Anzahl und den Positionen von Stützstellen abhängt.
• Die Aufgabe wird durch eine Konstruktionsvorrichtung mit den Merkmalen des Anspruchs 1 gelöst. Vorteilhafte Ausgestaltungen sind in den Unteransprüchen angegeben.
• Die Konstruktionsvorrichtung ist zum Erzeugen eines rechnerverfügbaren dreidimensionalen Konstruktionsmodells der Zahnverbindung durch Verändern eines Anfangs-Konstruktionsmodells ausgelegt. Dieses Anfangs-Konstruktionsmodell umfaßt mindestens einen Parameter.
• Die Zahnverbindung ist so gefertigt, daß jede Zahnflanke jedes Zahns jedes Bestandteils die Form einer Evolvente aufweist. Erfindungsgemäß umfaßt das Anfangs-Konstruktionsmodell jeweils eine rechnerverfügbare Beschreibung jeder Zahnflanke jedes Zahns jedes Bestandteils. Die Zahnflanken-Beschreibung umfaßt eine rechnerauswertbare analytische Beschreibung einer Evolvente, die die Geometrie der Zahnflanke festlegt.
• Die Konstruktionsvorrichtung weist Eingabegerät zum Eingeben jeweils eines Werts für jeden Parameter auf. Das Anfangs-Konstruktionsmodell wird in Abhängigkeit vom eingegebenen Wert des mindestens einen Parameters verändert. Dieser Parameter ist ein Parameter der Beschreibung der Flanke mittels der Evolventen.
• Die erfindungsgemäße Konstruktionsvorrichtung umfaßt ein Anfangs-Konstruktionsmodell, welches die Bestandteile der Zahnverbindung analytisch beschreiben. Diese analytische Beschreibung ist wesentlich genauer als eine näherungsweise Beschreibung durch Interpolationskurven oder Splines zwischen Stützstellen. darüber hinaus hat die Verwendung einer Näherungslösung mit Stützstellen den Nachteil, daß die Genauigkeit des Konstruktionsmodells stark und in nicht vorhersagbarer Weise von der Anzahl und den Positionen der Stützstellen abhängt. Bei wenigen Stützstellen ist das Modell zu ungenau. Bei vielen Stützstellen erfordert die Verarbeitung des Konstruktionsmodells eine hohe Rechenleistung, was zu einer langen Laufzeit führt. Beides ist von Nachteil.
• Jede Zahnflanke der Zahnverbindung wird als Evolvente beschrieben. Werden die Zahnflanken aus einem Rohteil durch ein Wälzverfahren (Hüllschnittverfahren) hergestellt, so vollführt ein rundes Werkzeug eine Abrollbewegung. Diese Abrollbewegung bewirkt, daß die Geometrie der Zahnflanke eine Kurve beschreibt, die eine Evolvente ist. Wird ein straff gespannter Faden von einem Zylinder abgewickelt, so beschreibt jeder Punkt auf dem gestrafften Teil des Fadens eine Kreisevolvente.
• Eine Zahnverbindung mit Zahnflanken, die die Form von Evolventen haben, hat gewünschte technische Eigenschaften: Zwei korrespondierende Zahnräder sind ständig im Eingriff miteinander, und die Verbindung ist unempfindlich gegenüber Änderungen des Abstands zwischen den Drehachsen der Zahnverbindung. Die Zahnflanken rollen aneinander ab und gleiten nicht aneinander vorbei oder gar aneinander ab. Daher werden die Zahnflanken auch dann bevorzugt in Form von Evolventen gefertigt, wenn als Fertigungsverfahren nicht ein Wälzverfahren angewendet wird.
• Die Konstruktionsvorrichtung erzeugt ein rechnerverfügbares dreidimensionales Konstruktionsmodell einer Zahnverbindung. Dieses Konstruktionsmodell umfaßt rechnerverfügbare Konstruktionsmodelle der Bestandteile der Zahnverbindung. Das Konstruktionsmodell der Zahnverbindung läßt sich beispielsweise für folgende technische Anwendungen verwenden:
• – Durch Auswertung des Konstruktionsmodells wird die Zahnverbindung untersucht, ohne daß bereits eine reale Zahn verbindung vorzuliegen braucht. Dadurch sind Untersuchungen frühzeitig im Produktentstehungsprozeß möglich. Beispielsweise wird das Gewicht der Zahnverbindung vorhergesagt. Oder eine Toleranzuntersuchung wird mittels des Konstruktionsmodells durchgeführt. Hierbei werden die Abmessungen der Bestandteile innerhalb vorgegebener Toleranzen variiert. Mit Hilfe der Bestandteil-Konstruktionsmodelle werden Simulationen durchgeführt. In den Simulationen wird z. B. das resultierende Spiel der Zahnverbindung ermittelt und mit einer vorgegebenen Schranke verglichen.
• – Das Konstruktionsmodell der Zahnverbindung wird vernetzt. Gemäß der Methode der Finiten Elemente wird eine Untersuchung der Zahnverbindung z. B. auf Betriebsfestigkeit, auf Schwingungen, auf Verschleiß und/oder auf die Lebensdauer durchgeführt.
• – Auf Basis des Konstruktionsmodells werden Zeichnungen der Zahnverbindung erzeugt und ausgedruckt. Diese Zeichnungen zeigen die Zahnverbindung aus verschiedenen Blickrichtungen und sind bemaßt. Diese Zeichnungen werden verwendet, um die Zahnverbindung zu fertigen.
• – Eine reale Zahnverbindung wird gefertigt. Die gefertigte reale Zahnverbindung umfaßt beispielsweise mehrere Zahnräder oder eine Welle und eine Nabe. Um diesen Prototyp herzustellen, wird ein Werkstück durch Fräsen in eine Form gebracht, die durch das Konstruktionsmodell der Zahnverbindung vorgegeben ist. Das Konstruktionsmodell steuert somit den Fertigungsvorgang.
• – Durch Analyse des Konstruktionsmodells werden Referenz-Meßpunkte definiert. Das Konstruktionsmodell liefert die exakten Positionen dieser Meßpunkte in einem vorgegebenen Referenz-Koordinatensystem. Eine reale Zahnverbindung wird so wie durch das Konstruktionsmodell vorgegeben gefertigt. Die reale Zahnverbindung wird in einem Koordinatensystem positioniert und orientiert. Dieses Koordinatensystem wird mit dem Referenz-Koordinatensystem in eine Beziehung ge bracht. Die reale Zahnverbindung wird vermessen, und zwar an Meßpunkten im Koordinatensystem, die den Referenz-Meßpunkten im Referenz-Koordinatensystem entsprechen. Ermittelt wird der jeweilige Abstand zwischen dem Referenz-Meßpunkt und dem gemessenen Meßpunkt. Bei einer nahezu exakten Fertigung sind alle Abstände gleich Null. In der Realität wird verlangt, daß die Abstände eine zuvor festgelegte Toleranz einhalten. In der Praxis treten hingegen oft Abweichungen auf, die die Toleranz übersteigen. Dadurch wird die reale Zahnverbindung mit dem Konstruktionsmodell verglichen.
• Vorzugsweise umfaßt das Konstruktionsmodell zusätzlich eine rechnerverfügbare Kurve, die den jeweiligen Zahnfuß beschreibt. Diese Kurve legt insbesondere die Fußrundung fest. Die Zahnflanke wird vorzugsweise als mittels der Evolvente und der Kurve des Zahnfußes beschrieben.
• Im Folgenden wird ein Ausführungsbeispiel der Erfindung anhand der beiliegenden Zeichnungen näher beschrieben. Dabei zeigen:
• 1. zwei Stirnräder gemäß DIN 3960;
• 2. vier Welle-Nabe-Verbindungen DIN 5480;
• 3. ein Tellerrad und ein Ritzel im Eingriff;
• 4. Kupplungsflansch, Hinterachswelle und Wellenkegelrad;
• 5. eine Veranschaulichung des kontinuierlichen Walzfräsens;
• 6. das Fräsen einer Zahnlücke mit einem Profilscheiben-Fräser;
• 7. Größen, die ein Stirnrad einer Zahnverbindung bestimmen,;
• 8. Größen an einer Evolvente;
• 9. weitere Größen an einer Evolvente;
• 10. die Steigungshöhe und den Steigungswinkel eines Schrägstirnrades;
• 11. ein Gesamtmodell einer Zahnverbindung;
• 12. eine geometrische und analytische Beschreibung eines Bogenstücks;
• 13. die Abhängigkeit eines Punkts der Evolvente von weiteren Größen;
• 14. die Berechnung des Verdrehwinkels und der Zahnlückenweite;
• 15. die Berechnung des Verdrehwinkels der Evolvente für Innenverzahnungen;
• 16. verschiedene Bezugsprofile der Evolventenverzahnung;
• 17. ein Werkzeugbezugsprofil;
• 18. die Erzeugung einer Fußausrundung;
• 19. die Zusammenhänge bei der Erzeugung einer Fußrundungskurve;
• 20. die geometrische Beschreibung eines Punktes auf der Fußrundungskurve;
• 21. die Trigonometrie der Kopfabrundung;
• 22. das Abrollen des Werkzeugs beim Fertigen eines Zahnrades;
• 23. einen Ausschnitt aus dem Bezugsprofil;
• 24. wie eine Kurve dem Konstruktionswerkzeug verfügbar gemacht wird;
• 25. eine Veranschaulichung des Wälzfaktors G;
• 26. das Verschneiden von verkürzter Evolvente und Fußrundungskurve;
• 27. die Generierung eines Zahnlücken-Profils mittels der Kurve von 26 und Kreisteilstücken;
• 28. schematisch die beiden Zentralkurven für Gerad- und Schrägverzahnung;
• 29. eine Zahnwellen-Verbindung mit Evolventenflanken;
• 30. die Geometrien der Zahnlücken von welle und Nabe;
• 31. die Positivgeometrie einer Nabeverzahnung;
• 32. zwei Varianten von Wellenausläufen;
• 33. zwei Varianten einer Nabeverzahnung.
• Im Ausführungsbeispiel wird die Konstruktionsvorrichtung zur Konstruktion von folgenden Zahnverbindungen verwendet:
• – einer Stirnradverzahnung gemäß DIN 3960,
• – einer Welle-Nabe-Verbindung gemäß DIN 5480 und
• – einem Tellerrad und einem Ritzel, das in das Tellerrad eingreift.
• 1 zeigt oben ein schrägverzahntes Stirnrad 10 und unten ein geradverzahntes Stirnrad 11 mit Unterschnitt, beide gemäß DIN 3960.
• Gemäß DIN 5480 werden Zahnwellen-Verbindungen dazu eingesetzt, Wellen und Naben lösbar verschiebbar oder fest zu verbinden. Die Zahnwellen-Verbindungen besitzen die für die Drehmomentübertragung und die Zentrierung erforderlichen Eigenschaften. Das wesentliche Unterscheidungsmerkmal dieser Verzahnungssysteme ist der Eingriffswinkel, der 30°, 37,5° oder 45° beträgt. Verbindungen mit 30° Eingriffswinkel haben den weitesten Anwendungsbereich erlangt
• 2 zeigt Bestandteile einer Welle-Nabe-Verbindungen DIN 5480. Hierbei zeigt 2 von oben nach unten:
• – eine Nabe 12 gemäß DIN 5480 ohne Auslauf,
• – eine Welle 13 gemäß DIN 5480 ohne Auslauf,
• – eine Welle 14 gemäß DIN 5480 mit Auslaufradius und
• – eine Welle 15 gemäß DIN 5480 mit Auslaufradius und Gerade.
• 3 zeigt ein Tellerrad 16 und ein Ritzel 17. Das Ritzel 17 greift in das Tellerrad 16 ein.
• 4 zeigt einen Kupplungsflansch 18, eine Hinterachswelle 19 und ein Wellenkegelrad 20 eines Hinterachsgetriebes eines Kraftfahrzeugs. In diesem Beispiel tritt ebenfalls eine Zahnverbindung auf.
• Beim Fertigen der Zahnverbindung wird zunächst jeweils ein Rohteil jedes Bestandteils der Zahnverbindung erzeugt. Aus diesen Rohteilen werden anschließend die Zahnlücken herausgefräst oder auf andere Weise entfernt, so daß die Zähne übrigbleiben. Vorzugsweise erzeugt die Konstruktionsvorrichtung daher zwei Konstruktionsmodelle:
• – ein Konstruktionsmodell, das die Rohteile der Bestandteile der Zahnverbindung beschreibt, und
• – ein Konstruktionsmodell, das quasi als Negativ die Geometrie der Zahnlücken beschreibt.
• Das Konstruktionsmodell der Zahnverbindung ist dann die Differenzmenge aus Rohteile-Konstruktionsmodell und Zahnlücken-Konstruktionsmodell.
• Um einerseits eine hohe Verzahnungsgenauigkeit zu erzielen, andererseits möglichst wirtschaftlich zu fertigen, wird eine Zahnverbindung häufig in zwei Schritten gefertigt: Im ersten Schritt wird mit großen Vorschüben und einer hohen Schnittgeschwindigkeit verzahnt. Im zweiten Schritt wird eine Feinbearbeitung durchgeführt. Zum Vorverzahnen werden hauptsächlich das Wälzfräsen, das Wälzstoßen und für Großverzahnungen das Wälzhobeln eingesetzt. Das Feinbearbeiten wird vor allem durch Wälz- oder Formschleifen durchgeführt. Verschiedene Verfahren zur Herstellung von Zahnverbindungen werden auch in G. Niemann & H. Winter: Maschinenelemente Band 2: Getriebe allgemein, Zahnradgetriebe – Grundlagen, Stirnradgetriebe, 2. Aufl., Springer-Verlag, 1989, beschrieben.
• Bei Anwendung eines Wälzverfahrens (Hüllschnittverfahrens) wird das Zahnprofil durch eine Abrollbewegung zwischen dem Werkzeug und dem herzustellenden Zahnrad erzeugt. Anstelle des Werkzeugs kann auch eine Planverzahnung, die durch das Werkzeug verkörpert wird, eingesetzt werden. Dabei bestehen die gleichen kinematischen Verhältnisse wie beim Lauf der Räder im Getriebe. Diese spangebende Formung im Wälzverfahren kann durch Hobeln, Fräsen, Stoßen, Schaben und Schleifen erfolgen.
• Beim Walzen wird die Zahnflanke von einem Werkzeug mit geradem Bezugsprofil, bei gleichzeitiger Bewegung des Werkstückes, erzeugt. Hierbei wird die Zahnflanke als eine Evolvente erzeugt. In jeder Lage tangieren die Schneiden des Profils, so daß die Zahnflanke aus einer Folge von Hüllschnitten entsteht.
• Bei einem kontinuierlichen Wälzverfahren wird Span kontinuierlich bis zur Fertigstellung aller Zähne eines zu fertigenden Bestandteils der Zahnverbindung abgenommen. Werkzeug und Werkstück drehen sich dabei wie zwei kämmende Zahnräder (Schneid-, Schabe- oder Walzrad) oder wie Schnecke (Fräs-, Schabe- oder Schleifschnecke) und Schneckenrad. 5 veranschaulicht das kontinuierliche Walzfräsen.
• Beim Teil-Wälzverfahren wird die Zahnlücke ebenso von der geraden Flanke des Werkzeugs als Hüllschnitt erzeugt, jedoch ist die Wälzbewegung des Werkzeugs nicht mehr durchlaufend, sondern hin- und hergehend. Nach dem Wälzvorgang wird das Werkzeug außer Eingriff gebracht und nach Weiterschalten des Zahnrades um einen oder mehrere Zähne (Teilvorgang) der nächste Arbeitsgang in gleicher Weise ausgeführt.
• Beim Profilverfahren wird das herzustellende Zahnrad ohne Wälzbewegung erzeugt. Hier hat das Werkzeug das Profil der Zahnlücken und wird in Richtung der Zahnflanken bewegt. Bei diesem Verfahren berühren sich Werkzeug und Zahnrad im ganzen Profil.
• Beim Teil-Profilverfahren schleift bzw. schneidet das profilierte Werkzeug (Scheiben- oder Fingerfräser, Stoß- oder Stanzwerkzeug, Räumnadel oder Schleifscheibe) eine Zahnlücke und nach dem Teilvorgang die nächste. Beim Komplett-Profilverfahren wird das ganze Zahnrad mit einem Stanz-, Zieh- oder Räumwerkzeug in einem Schnitt- oder Ziehvorgang verzahnt. 6 veranschaulicht, wie eine Zahnlücke mit einem Profilscheiben-Fräser gefräst wird.
• Bei der Herstellung im räumlichen Formverfahren dient eine „Form", die eine vollständige räumliche Matrize des Zahnrades darstellt. Die Zahnräder werden hier als Ganzes (mit Zähnen, evtl. Stirnnocken, Klauen usw.) gegossen, gesintert, gepreßt oder gespritzt.
• Die Zahnflanke stellt den wichtigsten Teil des Zahnrades dar. Sie gewährleistet, daß zwei Zahnräder ständig im Eingriff und gegenüber Achsabstandsänderungen unempfindlich sind. Des Weiteren muß die Zahnflanke so beschaffen sein, daß die Zahnräder nicht aufeinander abgleiten, sondern abrollen. So ist der Verschleiß sehr gering. Diese Eigenschaft wird durch die so genannte Kreisevolvente erreicht.
• Wird ein straff gespannter Faden von einem Zylinder abgewickelt, so beschreibt jeder Punkt auf dem gestrafften Teil des Fadens eine Kreisevolvente. Das heißt, alle Punkte einer Tangente (der Erzeugenden), die auf einem Kreis abwälzt, beschreiben Kreisevolventen. Bei Zahnrädern wird dieser Kreis als Grundkreis bezeichnet. Mit dem Grundkreisradius r_b ist daher die Evolvente eindeutig bestimmt. Der Fußpunkt T der Erzeugenden auf dem Grundkreis ist der Krümmungsmittelpunkt der Evolvente im zugehörigen Punkt Y. Die Flankennormale tangiert also stets den Grundkreis.
• Aus W. Matek et al.: Maschinenelemente-Normung, Berechnung und Gestaltung, Vieweg-Verlag, 2001, sind verschiedene Größen bekannt, die ein Stirnrad einer Zahnverbindung beschreiben. 7 veranschaulicht diese Größen. 8 und 9 veranschaulichen die Größen an einer Evolvente.
• Die Anzahl der Zähne auf dem Radumfang wird mit z bezeichnet. Gemäß DIN 3960 ist der Modul m des Bezugsprofils der Normalmodul m_n Modul im Normalschnitt der Stirnverzahnung. Es ist

  
• Hierbei ist β der Schrägungswinkel und m_t das Stirnmodul. Ein Modul ist ein Maß, das z. B. in [mm] gemessen wird.
• Der Teilzylinder ist gemäß DIN 3960 die Bezugsfläche für die Stirnverzahnung. Seine Achse fällt mit der Führungsachse des Rades (Radachse) zusammen. Dementsprechend fungiert bei einer Zahnstange die Teilebene als die Zahnstangen-Bezugsebene. Der Teilkreis ist der Schnitt des Teilzylinders mit einer Stirnschnittebene. Der Teilkreisdurchmesser d läßt sich gemäß der Rechenvorschrift

  

  berechnen.
• Der Grundzylinder ist gemäß DIN 3960 derjenige zum Teilzylinder koaxiale Zylinder, der für die Erzeugung der Evolventenfläche (Evolventenschraubenfläche) bestimmend ist. Größen am Grundzylinder werden mit dem Index b angegeben.
• Auch die folgenden Begriffsdefinitionen stammen aus DIN 3960. Der Grundkreis ist der Schnitt des Grundzylinders mit einer Stirnebene; die Evolventen des Grundkreises enthalten die nutzbaren Teile der Zahnprofile. Der Grundkreisdurchmesser d_b läßt sich gemäß der Rechenvorschrift

  

  berechnen. Hierbei ist α_t der Stirneingriffswinkel.
• Die (stets in einem Stirnschnitt liegende) Evolvente ist gemäß DIN 3960 in dem beliebigen Punkt Y um den Stirnprofilwinkel α_yt gegen den Radius (Mittelpunktstrahl) durch Y geneigt. Der Stirnprofilwinkel läßt sich gemäß der Rechenvorschrift

  

  berechnen.
• Der Stirneingriffswinkel α_t ist der spitze Winkel zwischen der Tangente an die Evolvente in ihrem Schnittpunkt mit dem Teilkreis und dem Radius (Mittelpunktsstrahl) durch diesen Schnittpunkt. Es gilt:

  
• Im Normalschnitt durch eine Evolventenschraubenfläche ist die in einem beliebigen Punkt Y an diese Fläche gelegte Tangente gegen den Halbmesser (Mittelpunktstrahl) durch Y um den Normalprofilwinkel α_yn geneigt. Der entsprechende Neigungswinkel am Teilzylinder ist der Normaleingriffswinkel α_n; er ist gleich dem Profilwinkel α_P des Bezugsprofils. Es gilt: tanαn = tanαt·cosβ tanαyn = tanαyt·cosβy
• Bei einem geradverzahnten Stirnrad ist β = 0 und α_n = α_t = α sowie α_yn = α_yt = α_y.
• Der durch den Evolventen-Ursprungspunkt U und den Berührpunkt T der Tangente vom Punkt Y an den Grundkreis bestimmte Zentrierwinkel ist der Wälzwinkel ξ_y der Evolvente. Der Grundkreisbogen UT ist gleich dem Tangentenabschnitt YT. Daher gilt: ξy = tanαyt
• Der Tangentenabschnitt YT ist der Krümmungshalbmesser ρ_y der Evolvente im Punkt Y und zugleich die zum Punkt Y gehörende Wälzlänge Ly, d.h. der vom Ursprungspunkt U der Evolvente aus abgewickelte Grundkreisbogen. Im Dreieck OTY ist er die Gegenkathete des am Kreismittelpunkt O liegenden Stirnprofilwinkels α_yt.
• Die Winkeldifferenz ξ – α_t wird Evolventenfunktion des Winkels α_t genannt und mit inv α_t (sprich: involut α_t) bezeichnet. Es gilt: invαyt = ξy – αyt = tanαyt – αyt
• Die Steigungshöhe p_z einer Evolventenschraubenfläche und damit einer Zahnflanke ist der Abschnitt einer Mantellinie eines zur Radachse konzentrischen Zylinders zwischen zwei aufeinanderfolgenden Windungen einer Evolventenschraubenfläche (einer Zahnflanke). Die Steigungshöhe ist vom Zylinderdurchmesser unabhängig. Es gilt:

  
• 10 veranschaulicht die Steigungshöhe p_z, den Schrägungswinkel β und den Steigungswinkel γ eines Schrägstirnrades. Dargestellt werden die Ebene 30 des Bezugsprofils als Profilbezugslinie sowie die Mantellinie 31 des Teilzylinders, die als Radachse fungiert.
• Die Normalteilung p_n ist die Länge des Schraubenlinienbogens zwischen zwei aufeinander folgenden Rechts- oder Linksflanken auf dem Teilzylinder im Normalschnitt der Verzahnung. Es gilt: pn = pt·cosβ
• Der Steigungswinkel γ ist der spitze Winkel, unter dem sich die Profilbezugslinie mit der Radachse kreuzt. Er ist ferner der spitze Winkel zwischen einer Tangente an eine Teilzylinder-Flankenlinie und der Ebene senkrecht zur Radachse durch den Tangentenberührpunkt. Der Schrägungswinkel β ist der spitze Winkel zwischen einer Tangente an eine Teilzylinder- Flankenlinie und der Teilzylinder-Mantellinie durch den Tangentenberührpunkt. Es gilt: |β| = 90° – |γ|
• Bei Geradstirnrädern ist γ = 90° und β = 0°. Der Steigungswinkel γ und der Schrägungswinkel β haben dasselbe Vorzeichen. Der Schrägungswinkel β_R der Rechtsflanken kann vom Schrägungswinkel β_L der Linksflanken verschieden sein.
• Die Profilverschiebung einer Evolventenverzahnung ist der Abstand der Profilbezugslinie vom Teilzylinder. Die Größe der Profilverschiebung wird mit dem Profilverschiebungsfaktor x als Vielfaches des Normalmoduls angegeben. Daher gilt: Profilverschiebung = x·mn
• Bei Geradstirnrädern gilt: Profilverschiebung = x·m.
• Falls erforderlich, ist zu unterscheiden zwischen dem für die Nennmaße der Verzahnung maßgebenden Profilverschiebungsfaktor x und dem bei der Erzeugung einer abmaßhaltigen Verzahnung anzuwendenden Erzeugungs-Profilverschiebungsfaktor x_E. Bei der Profilverschiebung x·m_n = 0 sind die Nennmaße der Zahndicke und der Lückenweite auf dem Teilkreis gleich der halben Teilung.
• Eine Profilverschiebung ist positiv, wenn die Profilbezugslinie vom Teilkreis in Richtung zum Kopfkreis verschoben ist. Dabei ist die Zahndicke im Teilkreis größer als bei der Profilverschiebung Null. Eine Profilverschiebung ist negativ, wenn die Profilbezugslinie vom Teilkreis in Richtung zum Fußkreis verschoben ist; dabei ist die Zahndicke im Teilkreis kleiner als bei der Profilverschiebung Null.
• Der Kopfzylinder ist die zylindrische Mantelfläche an den Zahnköpfen einer Verzahnung; ein Stirnschnitt ergibt den Kopfkreis. Es gilt: da = d + 2·ha = d + 2·x·mn + haP + 2·k
• Hierbei bezeichnen h_a die Kopfhöhe, h_aP die Kopfhöhe des Bezugsprofils und k die Kopfkürzung.
• Der Fußzylinder ist die zylindrische Mantelfläche am Grund der Zahnlücken einer Verzahnung. Ein Stirnschnitt ergibt den Fußkreis. Es gilt: df = d – 2·hf = d + 2·x·mn – 2·hfP
• Hierbei bezeichnen d_f den Durchmesser des Fußkreises und h_f die Fußhöhe.
• Die Zahnkopfhöhe h_a und die Zahnfußhöhe h_f eines Stirnrades werden vom Teilkreis aus angegeben. Die Nennwerte werden wie folgt berechnet: ha = haP + x·mn + k hf = hfP – x·mn
• Die Zahnhöhe h_P des Bezugsprofils wird durch die Profilbezugslinie unterteilt in die Kopfhöhe h_aP und die Fußhöhe h_fP.
• Das Kopfspiel c_P ist die Differenz zwischen der Fußhöhe h_fP des Bezugsprofils und der Kopfhöhe h_aP des Gegen-Bezugsprofils. Es gilt: hP = h*P ·mn = 2·mn + cP haP = h*aP ·mn = 1·mn hfP =h*fP ·mn = 1·mn + cP
• Die Stirnzahndicke s_t ist die Länge des Teilkreisbogens zwischen den beiden Flanken eines Zahnes. Bei einem Geradstirnrad ist die Stirnzahndicke s_t die Zahndicke s.

  
• Die Lückenweite e_t ist die Länge des Kreisbogens mit dem Durchmesser d zwischen den Zahnflanken, die eine Zahnlücke einschließen. Bei einem Geradstirnrad ist die Lückenweite e_t gleich der Lückenweite e. Zahndicke s_t und Lückenweite e_t ergeben zusammen die Teilkreisteilung p_t.
• Die Konstruktionsvorrichtung umfaßt eine elektronische Bibliothek, in der vordefinierte Ausgangs-Konstruktionsmodelle von Zahnverbindungen abgespeichert sind. Jedes dieser Ausgangs-Konstruktionsmodelle umfaßt eine rechnerverfügbare analytische Beschreibung der jeweiligen Zahnverbindung. Kommerziell verfügbare Konstruktionswerkzeuge, die eine Datenverarbeitungsanlage und ein Softwaresystem zum rechnerunterstützten Konstruieren umfassen, ermöglichen eine derartige analytische Modellierung.
• Die Zahnflanke umfaßt eine Lauffläche in Form einer Evolvente sowie einen Zahnfuß, der durch eine Fußrundungskurve beschrieben wird. Die analytischen Modelle umfassen daher die Beschreibung der Form (als Kurven) der Lauffläche als Evolvente und der Fußausrundung (Fußrundungskurve) in späterer Endlage. Endlage bedeutet, daß die Kurven bereits so im Raum verdreht sind, daß aufbauend darauf die Zahnlücke modelliert wird.
• 11 zeigt ein Gesamtmodell einer Zahnverbindung, aus dem die geometrischen Einzeldarstellungen der Evolvente und der Fußrundungskurve abgeleitet werden. Diese geometrischen Einzeldarstellungen werden verwendet, um Parametergleichungen herzuleiten. Dargestellt werden die Evolvente 32 und die Fußrundungskurve 33.
• Unter Bezug auf 8 und 9 werden nunmehr die Parametergleichungen der Evolvente hergeleitet. 12 zeigt eine geometrische und analytische Beschreibung des Bogenstücks b_E.
• Die Tangente verlängert sich um das verlassene Bogenstück ρ_y in Abhängigkeit des Verdrehwinkels ξ_y. Das abgerollte Stück des Kreises läßt sich also mit der folgenden Formel beschreiben: ρ_y = r_b·ξ ⁀_y
• Hierbei ist ξ ⁀_y der Winkel im Bogenmaß.
• Für die spätere Beschreibung des Zahnes muß die Evolvente um einen Winkel ΨE0 verdreht werden. Dieser Verdrehwinkel ΨE0 der Evolvente für Außenverzahnungen wird aus dem Maß der Zahnlücke et abgeleitet und in den Parametergleichungen bereits berücksichtigt. Weiter unten wird seine Herleitung beschrieben.
• Betrachtet man einen beliebigen Punkt Y(xE; yE) der Evolvente, ergeben sich geometrische Zusammenhänge, die durch 13 veranschaulicht werden. Es gilt:

  

  ζE = ξy – αyt + ψE0
• Der Stirnprofilwinkel α_yt wird folgendermaßen berechnet: α ⁀yt = arctanξ ⁀y
• Wie aus 13 hervorgeht, gelten folgende Zusammenhänge für den Evolventenberechnungs-Winkel ζ_E:

  
• Wird die obige Gleichung eingesetzt, so ergibt sich: xE = ry·cos(ξy – αyt + ψE0) und yE = ry·sin(ξy – αyt + ψE0)
• Hieraus erhält man die Parametergleichungen der Koordinaten der Punkte der Evolvente:

  
• Wie bereits erwähnt, muß die Evolvente für die spätere Darstellung der Lauffläche der Zahnlücke im vorgegebenen dreidimensionalen Koordinatensystem verdreht werden. Dazu dient die Formel für die Zahnlückenweite e_t. Da jedoch die Zahnlückenweite nach DIN 3960 im Teilkreisdurchmesser gemessen wird, die Evolvente jedoch im Grundkreis beginnt, ergibt sich die durch 14 gezeigte Vorgehensweise zur Berechnung des Verdrehwinkels ψ_E0 der Evolvente für Außenverzahnungen.
• Wie oben dargelegt, gilt: invαyt = ξy – αyt = tanαyt – αyt
• Werden die beliebigen Winkel (Stirnprofilwinkel α_yt, Wälzwinkel ξ_y) der Evolventenfunktion durch den Stirneingriffswinkel bzw. Stirnwälzwinkel ersetzt, ergibt sich: invαt = tanαt – αt
• In Verzahnungstabellen sind die Angaben der Winkel grundsätzlich im Gradmaß angegeben. Der korrekte Ausdruck lautet: invαt = tanα – α ⁀t
• Hierbei ist α ⁀_t der Stirneingriffswinkel im Bogenmaß.
• Die Zahnlückenweite e_t ergibt sich aus der Differenz zwischen der Stirnteilung p_t und der Zahndicke s_t: pt = mt·π und st = mt·(π2 + 2·x·tanαn) und et = pt – st
• Für die Zahnlückenweite e_t gilt daher: et = mt·π – mt(π2 + 2·x·tanαn) = mt·(π2 – 2·x·tanαn)
• Verknüpft man die in 14 dargestellte Geometrie mit den oben dargelegten Berechnungsvorschriften, so entstehen folgende Berechnungsvorschriften für den Verdrehwinkel ψ_E0:

  

  
• Durch einsetzen ergibt sich:

  
• Die α-Winkel werden, wie in Verzahnungstabellen üblich, im Gradmaß eingesetzt.
• 15 veranschaulicht die Berechnung des Verdrehwinkels ψ_E02 der Evolvente für Innenverzahnungen. Der Verdrehwinkel der Evolvente für Außenverzahnungen ψ_E0 wird aus der Lückenweite im Stirnschnitt e_t und der Evolventenfunktion im Stirnschnitt invα_t berechnet. Bei dieser Herleitung wird die spätere Modellierung der Zahnlücke als Positiv berücksichtigt. Die Zahnlücke der Nabenverzahnung soll ebenfalls als Positiv modelliert werden (Linie 34 in 15). Dazu wird der verdrehwinkel angepaßt. 15 zeigt die geometrischen Zusammenhänge.
• Bei gleichen Teilkreisdurchmessern von Nabe und Welle sind die Zahnlücke einer Nabeverzahnung e₂ und Zahndicke der dazugehörigen Wellenverzahnung s₁ gleich. Folglich gilt, vgl. 15: s1 = e2 = 2·r2·(ψ ⁀E0I – invαn)wie bereits dargelegt, gilt: invαyt = ξy – αyt = tanαyt – αyt
• Die Evolventenfunktion im Normalschnitt wird hieraus wie folgt berechnet:

  
• Aus den zuvor genannten Berechnungsvorschriften entsteht eine Berechnungsvorschrift für den Verdrehwinkel ψ_E0I der Evolvente für Innenverzahnung im Bogenmaß:

  
• Im folgenden wird auch die Fußausrundung exakt beschrieben. Die Beschreibung basiert – genau wie bei der Beschreibung der Zahnflanke – auf dem Herstellungsprozeß. Durch die genaue Beschreibung der Kinematik des Werkzeuges wird auch diese Kurve exakt beschrieben.
• Für jedes Werkzeug zur Herstellung von Zahnrädern mit Evolventenverzahnung dient ein Bezugsprofil. Bei der spanenden Zahnradherstellung wird meistens ein Verzahnwerkzeug mit geradflankigem Bezugsprofil verwendet. Das Bezugsprofil dient zur Beschränkung der Werkzeuge, um Satzrädereigenschaften (ein Werkzeug für beide Zahnräder) zu ermöglichen und um Austausch der Werkzeuge bei nahezu identischen Rädereigenschaften zu gewährleisten. Für die meisten Anwendungsfälle erhält man dadurch geeignete und ausgewogene Verzahnungen.
• 16 zeigt verschiedene Bezugsprofile der Evolventenverzahnung. In 16 wird links eine Bezugs-Zahnstange nach DIN 867 gezeigt. Dargestellt ist die Profilbezugslinie 35, das Gegen-Bezugsprofil 36, die Kopflinie 37, die Fußlinie 38 und die Fußrundung 39.
• In 16 Mitte wird ein Protuberanz-Werkzeug dargestellt. Gezeigt werden das Werkzeugprofil 40 und die Protuberanzhöhe prP0. Die Erzeugung eines Protuberanzprofils ermöglicht das Freischneiden des Zahnfußes, um Kerben beim Verzahnungsschleifen zu vermeiden. Das Bezugsprofil wird vorzugsweise zur Herleitung der Unterschnittkurve verwendet, da es die Abmessungen des Werkzeuges widerspiegelt.
• In 16 rechts wird die Zahnflanke gezeigt, die mit dem Werkzeugprofil, das in 16 Mitte dargestellt ist, erzeugt wurde.
• In 17 wird ein Werkzeugbezugsprofil gezeigt. Dieses entspricht dem Gegen-Bezugsprofil aus 16 Mitte, d.h. die Kopfhöhe des Werkzeugbezugsprofils entspricht der Fußhöhe h_fP des Stirnrad-Bezugsprofils (h_aP0 ≙ h_fP) und die Kopfabrundung des Werkzeugbezugsprofils entspricht dem Fußradius des Stirnrad-Bezugsprofils (ρ_fP ≙ ρ_aP0).
• 18 zeigt die Erzeugung einer Fußausrundung, die auch in G. Niemann & H. Winter, a.a.O. beschrieben ist. Die Kinematik wird durch folgende Vorgänge beschrieben:
  Rollt der Teilkreis auf der Wälzlinie TT ab, beschreibt die Hüllkurve des Werkzeuges die Form der Zahnlücke, wie in 18c gezeigt. Bei dieser Stoß-, Fräs-, und Schleifbewegung schneidet der Kopf des Werkzeugs den Fußkreis des Zahnrades, die gerade Flanke des Werkzeuges schneidet die Zahnflanke, und der Werkzeugkopfradius ρ_fP formt die Fußausrundung des Zahnrades. Beim Herstellen der Verzahnung kann die Wälzlinie TT von der Profilmittellinie PP des Werkzeugs um den Betrag x·m nach außen oder nach innen verschoben werden, wodurch beim Abwälzen eine positive oder eine negative Profilverschiebung entsteht (+x·m bzw. –x·m). Die Grundkreisradien r_b = r·cosα bleiben unverändert, da auch weiterhin der Teilkreis auf der Wälzlinie abrollt.
• Beim Abrollen der Wälzlinie auf dem Teilkreis taucht das Werkzeug unterhalb der Wälzlinie TT in das zu erzeugende Zahnrad ein. Bei dieser Bewegung beschreibt der Mittelpunkt des Werkzeugkopfradius unterhalb einer Profilverschiebung von einem Modul einen schleifenartigen Verlauf. In der Literatur wird dieser Verlauf auch als Schleifenevolvente bezeichnet. Oberhalb von einem Modul entspricht die Fußausrundung dem Werkzeugkopfradius, wie in 18a zu erkennen ist.
• Um die Parametergleichungen der Fußrundungskurven zu erzeugen, wird das herzustellende Zahnrad als statisch angesehen und das Werkzeug wälzt auf ihm ab. Diese Betrachtungsweise ermöglicht eine ähnliche Herangehensweise wie bei der Herleitung der Parametergleichungen der Evolvente. Beschreibt man einen Punkt der Wälzlinie, hat dieser beim Abrollvorgang den Verlauf einer Evolvente (mit r entspricht r_b). Diese Betrachtung reicht jedoch nicht aus. Darüber hinaus muß der Teil des Werkzeugs unterhalb der Wälzlinie in das Rechenmodell einbezogen werden, welcher später eintaucht und die Schleifenform erzeugt (< x·m = 1). Des Weiteren spielt der Werkzeugkopfradius eine Rolle, denn dieser Teil erzeugt die Fußrundungskurve.
• 19 zeigt schematisch die Zusammenhänge bei der Erzeugung einer Fußrundungskurve. Dargestellt sind ein abgerolltes Bogenstück 44 der Wälzlinie und die Fußrundungskurve 45.
• Dieses Gesamtmodell enthält alle Informationen, die hier zusammenfassend wiedergegeben werden:
• – Bezugsprofil enthält die Maße des Werkzeugs
• – Wälzlinie TT rollt auf Teilkreis ab
• – Wälzlinie TT kann von Profilmittellinie PP um x·m verschoben werden
• – Kopfradius des Werkzeugs erzeugt Fußausrundung
• 20 zeigt eine geometrische Beschreibung eines Punktes auf der Fußrundungskurve 45. 21 veranschaulicht die Trigonometrie der Kopfabrundung. Ein beliebiger Punkt P_U(x_U; y_U) der Fußrundungskurve 45 wird durch folgende Zusammenhänge beschrieben, die durch 20 und 21 illustriert werden.
• Der Punkt P(x, y) in 21 ist der Mittelpunkt des Kreises der Werkzeugkopfabrundung. Daher gilt X_fP = ρ_fP·sinε und y_fP= ρ_fP·cosε.
• Die Teillänge des Werkzeugs unterhalb der Wälzlinie, reduziert um den Werkzeugkopf-Radius ρ_fP, beträgt: c = hfP – x·mn – ρfP
• Der Mittelpunktabstand der Kopfrundung errechnet sich aus der Gleichung

  
• Das abgerollte Bogenstück der Wälzlinie wird wie folgt berechnet: ρU = r·α ⁀Uy
• Der Winkel des Mittelpunktabstandes ergibt sich aus der Winkelbeziehung ζU = ξUy – αUy + ψU0
• Der Gesamtwinkel der Fußrundung wird folgendermaßen bestimmt
• 
• 0 und 21 zeigen, daß folgende trigonometrische Beziehungen gelten:

  
• Die Zusammenführung der Einzelwerte führt zur Berechnung der Koordinaten des Berührungspunktes zwischen Werkzeug und Werkstück:

  
• Die Parameterform zur Beschreibung der Punktkoordinaten des Berührungspunktes hat damit folgende Form:

  
• Im folgenden wird beschrieben, wie der Verdrehwinkel der Fußrundungskurve beschrieben wird. Die Fußausrundung des Zahnrades wird vom Kopf des Werkzeuges erzeugt. Zur Herleitung des Verdrehwinkels der Fußrundungskurve werden zwei besondere Situationen der relativen Bewegung zwischen Werkstück (Zahnrad) und Werkzeug betrachtet. Diese beiden Situationen werden durch 22 illustriert.
• Die erste Situation wird in 22 links dargestellt. Das Werkzeug fängt an, den Zahn zu unterhöhlen, d.h. die Fußrundung zu erzeugen. Zu diesem Zeitpunkt befindet sich der Mittelpunkt des Kreises, der die Werkzeugkopfrundung beschreibt, genau senkrecht (in dieser Abbildung) über dem Mittelpunkt des Zahnrades.
• Die zweite Situation wird in 22 rechts dargestellt. Zahnrad und Zahn haben sich im Herstellungsprozeß so weiter gedreht, daß Zahn und Zahnrad eine gemeinsame Symmetrieachse bilden.
• Der Winkel, den das Zahnrad von der ersten zur zweiten Situation überstrichen hat, ergibt den Verdrehwinkel Ψ_U0 der Fußrundungskurve.
• 23 zeigt einen Ausschnitt aus dem Bezugsprofil. Die Stirnteilung p_t ergibt sich aus dem Produkt des Stirnmodul und der Kreiskonstante:

  
• Aus den geometrischen Zusammenhängen des in 23 dargestellten Teilausschnittes des Bezugsprofils errechnet sich die halbe Teilstrecke zur Fußbearbeitung:

  
• Die beiden folgenden Zwischengrößen ergeben, verknüpft mit der halbe Teilstrecke zur Fußbearbeitung, den Verdrehwinkel der Fußrundungskurve ψ ⁀_U0:

  

  xu2 = tanαt·(hfP – ρfP)

  
• Die Konstruktionsvorrichtung umfaßt eine elektronische Bibliothek mit mehreren Ausgangs-Konstruktionsmodellen von Zahnverbindungen. Jedes Konstruktionsmodell beschreibt zugleich das Werkzeug, mit dem die Zahnverbindung hergestellt wird, soweit wie erforderlich. Das Ausgangs-Konstruktionsmodell umfaßt mehrere Parameter, deren Werte frei vorgegeben werden können. Die Konstruktionsvorrichtung umfaßt Eingabegeräte, mit denen ein Benutzer Werte für diese Parameter vorgeben kann.
• Die folgenden Eingabe-Parameter bestimmen ein Zahnrad vollständig:

  

  Wird jedem dieser Parameter jeweils ein Wert zugeordnet, so ist das Konstruktionsmodell eindeutig festgelegt und beschreibt die Zahnverbindung vollständig.
• Das Werkzeug zur Herstellung des Zahnrades wird durch folgende Eingabe-Parameter bestimmt:

  
• Profilverschiebung x·m, Werkzeugkopfradius ρ_fP sowie Kopfhöhe h_aP und Fußhöhe h_fP werden als veränderliche Parameter verwendet. Würden an dieser Stelle feste Werte stehen, könnten im Konstruktionsmodell Geometrien sich überschneiden, was der Realität widerspricht.
• Das Konstruktionsmodell weist weitere Parameter auf, die von den Eingabe-Parametern abhängen. Um das Konstruktionsmodell übersichtlich zu strukturieren, werden dazu Parameter eingeführt, die mit den rechnerauswertbaren Rechenvorschriften zur Berechnung der oben genannten Gleichungen hinterlegt sind. Jede nachfolgende Rechenvorschrift kann sich so auf einen dieser Parameter beziehen und beinhaltet nicht erneut die gesamte Formel. Folgende Parameter werden dazu eingefügt und mit den entsprechenden Gleichungen hinterlegt:
  Teilkreisdurchmesser d, Stirneingriffswinkel α_t und Grundkreisdurchmesser d_b werden durch folgende abgespeicherte Rechenvorschriften bestimmt:

  

  db = d·cosαt
• Der Kopfkreisdurchmesser d_a und der Fußkreisdurchmesser wie folgt berechnet: da = d + 2·(h*aP ·mn + x·mn + k)und df = d + 2·mn·(x – h*fP )
• Stirnmodul m_t, Stirnteilung p_t, Werkzeugkopfradius ρ_fP und Fußhöhe h_fp werden mit folgenden Rechenvorschriften berechnet:

  

  pt = mt·π ρfP = ρfP·mn hfP = h*fP ·mn
• Die Teillänge c des Werkzeugs wird wie folgt berechnet: c = hfP – x·mn – ρfP
• Vorbereitend werden Berechnungsvorschriften für den Verdrehwinkel Ψ_E0 der Evolvente für Außenverzahnungen und für den Verdrehwinkel Ψ_U0 der Fußrundungskurve hinterlegt:

  
• Die Berechnungsvorschriften für Parameter werden in einer Form abgespeichert, in der die Konstruktionsvorrichtung sie auswerten kann. Vorzugsweise umfaßt das Softwaresystem der Konstruktionsvorrichtung eine Funktionalität, um Berechnungsvorschriften in Form von Regeln oder Abhängigkeitsvorschriften („constraints") abzuspeichern und auszuwerten. In diesen Regeln werden innerhalb expliziter Gleichungen Variablen und Konstanten für das Softwaresystem „erkennbar" definiert.
• 25 veranschaulicht, wie eine Kurve dem Konstruktionswerkzeug verfügbar gemacht wird. Eine solche Regel wird z. B. mit der Funktionalität „Parallelkurve" zu rechnerverfügbaren Kurven in einer Ebene verarbeitet. Als Basis dienen eine Bezugslinie 50 in 25 und eine Ebene 51, die tangential an dieser Linie anliegt. Ausgehend von einer Länge der Linie 50 verändert sich die daraus resultierende erste Kurve 52 in der Länge. Die Amplitude bleibt dagegen konstant.
• In gleicher Weise wird eine zweite resultierende Kurve 53 generiert. Als Basis dienen dieselbe Bezugslinie 50 und eine zweite Ebene, die senkrecht zur zuvor beschriebenen Ebene 51 steht.
• Im nächsten Schritt werden beide Kurven einander überlagert. Dadurch wird eine dreidimensionale Kurve 54 generiert. Durch Projektion dieser dreidimensionalen Kurve 54 auf die dritte im Raum vorhandene Ebene wird eine Kurve 55 auf der Basis der hergeleiteten Berechnungsvorschriften erzeugt.
• Dieses Verfahren wird in gleicher Weise zur Beschreibung der Evolvente und der Fußrundungskurve verwendet. In 25a) wird die Beschreibung der Evolvente gezeigt, in 25b) die der Fußrundungskurve. In 25c) werden beide resultierenden Kurven gezeigt.
• Vorzugsweise wird die Variable dieser Regel zwischen den Werten Null und Eins in einer vom Softwaresystem vorgegebenen Schrittfolge berechnet. der letzte berechnete Wert der Variable ξ ⁀_y entspricht dem Wert Eins. Hierbei werden die Berechnungsvorschriften

  

  angewendet.
• Der Wälzwinkel ξ_y der Evolvente kann im Wert frei gewählt werden und ist mit dem Stirnprofilwinkel α_yt verbunden:

  
• Vorzugsweise wird ein Wälzfaktor G berechnet. Dieser Wälzfaktor G bewirkt, daß die Kurve am Grundkreisdurchmesser beginnt und am Kopfkreisdurchmesser endet. Dadurch wird die Evolvente im Konstruktionsmodell auf das erforderliche Maß beschränkt. Darüber hinaus wird bei G-Werten, die immer kleiner als 1 sind, die Genauigkeit der Ergebnisse durch die gleich bleibende Zahl an Rechenschritten erhöht.
• 25 veranschaulicht den Wälzfaktor G. Gezeigt wird die verkürzte Evolvente 46. Der Wälzfaktor G wird wie folgt berechnet:

  
• Wird der Wälzfaktor G verwendet, so werden folgende Berechnungsvorschriften angewendet:

  
• Im Konstruktionsmodell wird die Evolvente, die mittels des Wälzfaktors G verkürzt wurde, mit der Fußrundungskurve verschnitten. Da von vornherein die Verdrehwinkel berücksichtigt wurden, befinden sich bereits beide Kurven in der späteren Endlage.
• 26 illustriert das Verschneiden der verkürzten Evolvente 46 und der Fußrundungskurve 33. Links ist die Ausgangslage gezeigt, rechts eine Kurve 47, die durch das Verschneiden von 46 und 33 entsteht.
• Anschließend wird jede miteinander verschnittenen Kurve 47 gespiegelt und mit zusätzlich eingefügten Kopf- und Fußkreisteilstücken verbunden. 27 zeigt die Generierung eines Zahnlücken-Profils mittels der Kurve von 26 und Kreisteilstücken. In 27 ist links eine Kurve 47 und eine durch Spiegelung der Kurve 47 entstandene Kurve 47a gezeigt. Rechts wird gezeigt, wie die Kurven 47 und 47a durch ein Kopfkreisteilstück 48 und ein Fußkreisteilstück 49 ergänzt und zu einem Zahnlückenprofil einer ebenen Verzahnung zusammengesetzt sind.
• Vorzugsweise weist das Softwaresystem der Konstruktionsvorrichtung die Funktionalität „Rippe" auf. Eine Rippe benötigt eine Zentralkurve, ein ebenes Profil und gegebenenfalls ein Referenzelement oder eine Auszugsrichtung. Die dreidimensionale rechnerverfügbare Geometrie entsteht dabei als Extrusion des Profils entlang der Zentralkurve. Die Auszugsrichtung wird verwendet, um die Ausrichtung des Profils zu beeinflussen.
• Für eine Gerade- oder Schrägverzahnung erzeugt die Konstruktionsvorrichtung zunächst zwei Zentralkurven. 28 zeigt schematisch die beiden Zentralkurven. Die erste Zentralkurve 56 ist eine „Linie" normal zum ebenen Zahnlückenprofil, deren Länge der Zahnbreite entspricht. Folglich wird dem ebenen Profil eine Höhe verliehen. Als zweite Zentralkurve 57 dient eine „Helix" (Schraubenlinie).
• Um die zweite Zentralkurve als Helix zu definieren, werden ein Startpunkt, eine Steigung P, eine Mittelachse und eine Höhe vorgegeben und Links- oder Rechtssteigung festgelegt. Um Steigung vorzugeben, wird eine Steighöhe gemäß der Rechenvorschrift

  

  berechnet. Die Zahnbreite b ist gleich der Höhe der Helix.
• Durch die Definition der Helix allein kann keine Geradverzahnung erreicht werden, da hierfür die Steigung P unendlich groß wäre. Daher wird eine zusätzliche „Regel" abgespeichert. Diese Regel trifft automatisch die Auswahl zwischen den zuvor definierten Zentralkurven. Vor der Editierung dieser Regel wird eine dritte Kurve eingefügt. Diese Kurve, hier Mittelskurve genannt, dient als Dummy. Wird ein Schrägungswinkel größer 0 verwendet, so ist die Mittelskurve gleich der Helix. Bei einem Schrägungswinkel gleich 0 ist die Mittelskurve die o.g. Linie.
• Anschließend wird die Rippe fertig gestellt. Dazu wird das ebene Zahnprofil, die Mittelskurve und Bezugslinie der Evolvente und der Unterschnittkurve zur vollständigen Definition verwendet. Abschließend wird die Rippe mit einem „Kreismuster" kreisförmig angeordnet. Es wird die Anzahl mit dem Parameter „Zähnezahl" festgelegt und die Einstellmöglichkeit „Parameter" auf „Vollständiger Kranz" gesetzt.
• Im Ausführungsbeispiel wird das parametrische Konstruktionsmodell einer Zahnverbindung in einer elektronischen Bibliothek abgespeichert, und zwar vorzugsweise als benutzerdefiniertes Gestaltungselement („user-defined feature").
• 29 zeigt eine Zahnwellen-Verbindung mit Evolventenflanken, die eine Welle und eine Nabe miteinander verbindet. Dargestellt sind das Profil 60 von Rad 1 (Welle) und das Profil 61 von Rad 2 (Nabe). Eine Wellenverzahnung ist eine Form der Stirnradverzahnung. Daher sind Berechnungsvorschriften für eine Stirnradverzahnung auch für eine Wellenverzahnung gültig. Die Parameter haben vorzugsweise folgende alternative Werte:
• – Der Eingriffswinkel α_n beträgt wahlweise 30° oder 37,5° oder 45°.
• – Die Kopfhöhe h_aP des Bezugsprofils beträgt vorzugsweise 0,45.
• – Die Fußhöhe h_fP des Bezugsprofils beträgt vorzugsweise 0,55 bei Fertigung durch Räumen, 0,60 bei Wälzfräsen und 0,65 bei Wälzstoßen.
• Diese Größen gelten gleichermaßen für die Nabeverzahnung. Die Nabeverzahnung ist jedoch eine Innenverzahnung und muß eigenständig modelliert werden. Dazu wird das Ausgangs-Konstruktionsmodell der Stirnradverzahnung angepaßt, indem einige Geometrien und Parameter ersetzt werden. Im Folgenden wird erklärt, wie dabei vorgegangen wird. Dabei sind alle Formelzeichen der Wellenverzahnung zusätzlich mit dem Index 1 und die der Nabeverzahnungen mit dem Index 2 gekennzeichnet.
• Die Zähnezahl z eines innenverzahnten Stirnrades (Hohlrades) ist als negative Größe einzusetzen. Dies entspricht der Vorstellung, daß beim Übergang von Außenrad auf ein Hohlrad der Raddurchmesser vergrößert wird, bis zunächst bei d = +∞ die Zahnstange mit z = +∞ erreicht wird. Im weiteren Verlauf des Übergangs springt der Raddurchmesser auf –∞ um und nimmt dann endliche negative Größen an. Hieraus resultieren folgende Zusammenhänge:

  
• Aus diesen Angaben resultieren alle Durchmesser der Nabeverzahnung mit negativen Vorzeichen. In der praktischen Anwendung sind die Absolutwerte zu verwenden. Hieraus resultieren folgende Berechnungsvorschriften für die Durchmesser der Nabeverzahnung:
  für den Teilkreisdurchmesser: d₂ = |–z·m_n|
  für den Grundkreisdurchmesser: d_b2 = |–z·m_n·cosα_n|
  für den Kopfkreisdurchmesser: da2 = |–z·mn + 2·mn·(x2 + h*aP )|
  für den Fußkreisdurchmesser: df2 = |–z·mn + 2·mn·(x2 – h*fP )|
• Die werte des Teilkreisdurchmessers und des Grundkreisdurchmessers der Nabeverzahnung sind identisch mit den gleichen Durchmessern der Wellenverzahnung. Kopfkreisdurchmesser und Fußkreisdurchmesser unterscheiden sich, denn bei Innenverzahnungen ist der Kopfkreis innen und der Fußkreis außen. Dies wird in 29 veranschaulicht. Hierfür wird der Wälzfaktor G individuell berechnet:

  
• Der Verdrehwinkel ψ ⁀_E0I der Evolvente für Innenverzahnungen im Bogenmaß wird gemäß folgender Rechenvorschrift berechnet:

  
• Oben wurden zwei Rechenvorschriften angegeben, um die Koordinaten eines Punkts auf der verkürzten Evolvente 46 zu berechnen. Im Folgenden werden die entsprechenden Rechenvorschriften für eine Innenverzahnung angegeben. Der Verdrehwinkel Ψ_EI der Evolvente für Innenverzahnungen wird mit negativem Vorzeichnen eingesetzt.
• 
• Die beiden zuletzt angegebenen Rechenvorschriften werden in der Konstruktionsvorrichtung in rechnerauswertbarer Form abgespeichert. Die verkürzte Evolvente 46 wird gespiegelt. Die verkürzte Evolvente 46 wird mit der gespiegelten verkürzten Evolvente durch Kopf- und Fußkreisteilstücke verbunden. Da von vornherein die Verdrehwinkel berücksichtigt werden, be finden sich bereits beide Kurven in der späteren Endlage. Die Fußrundungskurve kann in diesem Zusammenhang nicht verwendet werden. Statt dessen werden Radien angetragen.
• In 30 werden die Geometrien der Zahnlücken von Welle und Nabe gezeigt. Dargestellt sind die Zahnlücke 62 einer Welle und die Zahnlücke 63 einer Nabe. Der Lückenverdrehwinkel η gewährleistet, daß bei der Anwendung keine Änderungen vorgenommen werden müssen. Er ist folgendermaßen definiert: η = 180°z
• Anschließend wird der Zahn der Nabe mit einem Block aus dem ebenen Zahnlückenprofil extrudiert und mit einem „Kreismuster" kreisförmig angeordnet. Die Anzahl wird mit dem Parameter „Zähnezahl". 31 zeigt die fertig gestellte Positivgeometrie des Ausgangs-Konstruktionsmodells der Nabeverzahnung aus zwei verschiedenen Betrachtungsrichtungen. Auch dieses Ausgangs-Konstruktionsmodell wird vorzugsweise als benutzerdefiniertes Gestaltungselement in der elektronischen Bibliothek abgespeichert. Um das Ausgangs-Konstruktionsmodell anzuwenden, wird die Positivgeometrie der Zahnlücke wird dann von einer zuvor modellierten Geometrie subtrahiert.
• Eine rechnerverfügbare Beschreibung der Wellenverzahnung wird ebenfalls dadurch erzeugt, daß sie in der späteren Anwendung von anderen Geometrien mit booleschen Operationen abgezogen wird. Diese Welleverzahnungen werden mit Wellenausläufen gefertigt, d.h. das Werkzeug fährt aus dem Werkstück heraus. Dazu werden zwei gängige Wellenausläufe zusätzlich modelliert.
• 32 zeigt zwei Varianten von Wellenausläufen. Die links gezeigte Variante hat eine Rundung und verläuft danach gerade. Bei der in 32 rechts gezeigte Variante ist der Wellenauslauf eine Rundung.
• 33 zeigt die beiden resultierenden Nabeverzahnungen. Diese entstehen aus dem Konstruktionsmodellen von 31 un ter Verwendung der beiden Varianten von Wellenausläufen, die in 32 gezeigt werden. Liste der verwendeten Bezugszeichen und Symbole

  

  

  

  

  

Claims (4)

1. Elektronische Vorrichtung zum Konstruieren einer zwei Bestandteile umfassenden Zahnverbindung, wobei – jeder Bestandteil der Zahnverbindung ein Zahnrad oder ein Zahnrad-Segment umfaßt, – die Konstruktionsvorrichtung Lesezugriff auf einen Datenspeicher hat, – in welchem ein rechnerverfügbares dreidimensionales Anfangs-Konstruktionsmodell der Zahnverbindung abgespeichert ist, – das Anfangs-Konstruktionsmodell mindestens einen Parameter umfaßt und die Konstruktionsvorrichtung – ein Eingabegerät zum Eingeben jeweils eines Werts für jeden Parameter aufweist und – zum Erzeugen eines rechnerverfügbaren dreidimensionalen Konstruktionsmodells der Zahnverbindung durch Verändern des Anfangs-Konstruktionsmodells in Abhängigkeit von den eingegebenen Parameterwerten ausgestaltet ist, dadurch gekennzeichnet, daß – die Zahnverbindung so gefertigt ist, daß jede Zahnflanke jedes Zahns jedes Bestandteils die Form einer Evolvente aufweist, – das Anfangs-Konstruktionsmodell jeweils eine rechnerverfügbare Beschreibung jeder Zahnflanke jedes Zahns jedes Bestandteils umfaßt, – die Zahnflanken-Beschreibung eine rechnerauswertbare analytische Beschreibung einer Evolvente, die die Geometrie der Zahnflanke festlegt, umfaßt und – der mindestens eine Parameter ein Parameter der Evolventen-Beschreibung ist.
2. Konstruktionsvorrichtung nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß das Anfangs-Konstruktionsmodell mindestens eines Bestandteils mindestens einen der folgenden Parameter als den veränderbaren Parameter aufweist: – den Schrägungswinkel (β) als Winkle zwischen der Kammlinie jedes Zahns und der Drehachse des Bestandteils, – die Zahnbreite (b), – den Normaleingriffswinkel (an), – den Stirneingriffswinkel (α_t), – den Normalmodul (m_n) als den Modul im Normalschnitt, – den Profilverschiebungsfaktor (x) als Quotient aus Profilverschiebung und Normalmodul (m_n), – die Anzahl (z) der Zähne.
3. Konstruktionsvorrichtung nach Anspruch 1 oder Anspruch 2 dadurch gekennzeichnet, daß jedes Anfangs-Konstruktionsmodell eine rechnerverfügbare Beschreibung der Zahnlücke zwischen zwei Zähnen aufweist und die Zahnlücken-Beschreibung eine rechnerauswertbare Beschreibung einer Fußrundungskurve umfaßt, wobei die Fußrundungskurven-Beschreibung die Form der Zahnlücke beschreibt und vom Parameter und von mindestens einem weiteren Parameter abhängt.
4. Konstruktionsvorrichtung nach Anspruch 3, dadurch gekennzeichnet, daß der mindestens eine weitere Parameter – der Kopfhöhenfaktor (h*aP ), – der Fußhöhenfaktor (h*fP ), – der Faktor des Fußrundungsradius (ρ*fP ) oder – die Kopfkürzung (k) ist.