Inhalt:Integration: Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen

Inhalt:Integration: Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen

Wir haben im vorigen Kapitel gelernt, einfache Flächen zu berechnen. Nun überlegen wir uns, wir wir kompliziertere Flächen berechnen können, die zum Teil oberhalb und zum Teil unterhalb der $x$-Achse liegen.

Wie können wir den in der Graphik eingezeichneten Flächeninhalt ausrechnen?

Zusätzliche Angabe: $f(x)=-0.13 x³ + 1.34x² - 3x, \textrm{ sowie } a=0,\ b=3.29 \textrm{ und } c=5.29$

Achtung: $\int_a^c f(x)dx=\int_0^{5.29} f(x)dx$ ist falsch!

Begründung:
Angenommen, wir würden simpel von $a=0$ bis $b=5.29$ rechnen, so erhielten wir nach dem Hauptsatz der Integration:

$$ \int_a^c f(x)dx=\int_0^{5.29} \left(-0.13 x³ + 1.34x² - 3x\right)\cdot dx=\left[-0.13\frac{x^4}{4}+1.34\frac{x^3}{3}-3\frac{x^2}{2}\right]_0^{5.29}=$$ $$=-0.13\frac{5.29^4}{4}+1.34\frac{5.29^3}{3}-3\frac{5.29^2}{2}=-1.3$$

Das Ergebnis $-1.3$ FE (FlächenEinheiten) kann aber aus zweierlei Gründen nicht der gesuchte Flächeninhalt sein:

1. Flächeninhalte sind immer positiv.
2. Würden wir in der obigen Abbildung den Flächeninhalt durch zählen der Kästchen abschätzen (jedes Kästchen hat eine Größe von $1x1$), so kämen wir ungefähr $6$ bis $7$ FE.

Wir können diese Fläche nicht einfach durch Integrieren von $a$ bis $c$ berechnen. Aus diesem Grund überlegen wir uns folgendes:

Idee

Flächen oberhalb der $x$-Achse sind positiv, Flächen unterhalb der $x$-Achse sind negativ.

Definition

Orientierte Fläche bedeutet: Liegt die Fläche oberhalb der $x$-Achse, so ist das bestimmte Integral positiv. Liegt die Fläche unterhalb der $x$-Achse so ist das bestimmet Integral negativ. Um den tatsächliche Flächeninhalt zu berechnen, müssen positive und negative Flächen getrennt voneinander berechnet werden.

Merke

Vorgehensweise zur Berechnung einer Fläche, die oberhalb und unterhalb der $x$-Achse liegt: Skizze erstellen, um zu überprüfen, ob Fläche oberhalb und unterhalb der $x$-Achse liegt. Grenzen und Nullstellen bestimmen (um zwischen positiver und negativer Fläche unterscheiden zu können) die positive Fläche berechnen (mithilfe des Hauptsatzes der Integration) die negative Fläche berechnen positive Fläche und den Betrag der negativen Fläche addieren.

Berechnung der Fläche unterhalb der x-Achse durch Betragstriche oder mithilfe eines negativen Vorzeichens.

Bemerkungen:

• Bei negativen Flächen verwenden wir Betragsstriche um den Flächeninhalt positiv zu machen. Z. B.:

$$Flächeninhalt= \vert \int_a^b f(x)\cdot dx\vert $$

Alternativ kann statt der Betragsstriche auch ein Minus-Vorzeichen verwendet werden. Z. B.:

$$Flächeninhalt= -\int_a^b f(x)\cdot dx $$

• Aus diesen Überlegungen ergibt sich folgende Formel, um den Flächeninhalt im rechten Bild zu berechnen:

$$ \int_{a}^{b} f (x) + \vert \int_{b}^{c} f (x)dx \vert $$

oder

$$ \int_{a}^{b} f (x)dx - \int_{b}^{c} f (x)dx $$

Musterbeispiel

Berechne den Flächeninhalt der angegebenen Fläche wobei $f(x)=-0.13 x³ + 1.34x² - 3x, \textrm{ sowie } a=0, \ b=3.29 \textrm{ und } c=5.29$

Da die Skizze und die Nullstellen bereits bekannt sind, überspringen wir den 1. und 2. Schritt und starten beim

3. Schritt: Positive Fläche bestimmen

Die positive Fläche befindet sich zwischen $b=3.29$ und $c=5.29$. Somit erhalten wir: $$\int_{3.29}^{5.29}f(x)dx=\int_{3.29}^{5.29}\left(-0.13 x³ + 1.34x² - 3x\right) dx=\left[-0.13\frac{x^4}{4}+1.34\frac{x^3}{3}-3\frac{x^2}{2}\right]_{3.29}^{5.29}=$$ $$=\left[-0.13\frac{5.29^4}{4}+1.34\frac{5.29^3}{3}-3\frac{5.29^2}{2}\right] -\left[0.13\frac{3.29^4}{4}+1.34\frac{3.29^3}{3}-3\frac{3.29^2}{2}\right]=2.83$$

Den tatsächlichen Flächeninhalt erhältst du durch Addition der positiven Werte der einzelnen Flächen.

4. Schritt: Negative Fläche bestimmen $$\int_0^{3.29}f(x)dx=\int_0^{3.29}\left(-0.13 x³ + 1.34x² - 3x\right) dx=\left[-0.13\frac{x^4}{4}+1.34\frac{x^3}{3}-3\frac{x^2}{2}\right]_0^{3.29}=$$ $$=-0.13\frac{3.29^4}{4}+1.34\frac{3.29^3}{3}-3\frac{3.29^2}{2}-0=-4.14$$

5. Schritt: positive Fläche und den Betrag der negativen Fläche addieren

$$Flächeninhalt=\vert \int_0^{3.29} f(x)dx\vert + \int_{3.29} ^{5.29} f(x)dx=\vert -4.14\vert +2.83=6.97\ FE$$

Antwort: Der tatsächliche Flächeninhalt beträgt somit $6.97$ FE.

Weitere Beispiele

Die folgenden Beispiele wurden durch Einsatz von Technologie gelöst. Eine genaue Erklärung zur Verwendung von Technologie bei der Integration findest du im Kapitel Technologieeinsatz.

Berechne den Inhalt jener Fläche, der vom Graphen von $f$ mit $f(x)=\frac{x^2}{2}-2$ und der $x$-Achse im Intervall $[0;4]$ eingeschlossen wird.

1. Schritt: Skizze

Der gesuchte Flächeninhalt setzt sich aus einer linken, negativen Fläche und einer rechten, positiven Fläche zusammen.

2. Schritt: Grenzen und Nullstellen berechnen: $$f(x)=0$$ $$\frac{x^2}{2}-2=0$$ $$x^2=4$$ $$x_1=-2 \textrm{ und } x_2=2$$

Somit erhalten wir folgende Aufteilung der Flächen im Bereich $[0;4]$:

• negative Fläche von $0$ bis $2$
• positive Fläche von $2$ bis $4$

3. Schritt: Positive Fläche

$$\int_{2}^{4} f (x)dx=\frac{16}{3}$$

4. Schritt: Negative Fläche

$$\int_{0}^{2} f (x)dx=-\frac{8}{3}$$

5. Schritt: Addition der gesamten Fläche

$$\vert \int_{0}^{2} f (x)dx\vert + \int_{2}^{3} f (x)dx=$$ $$=\vert -\frac{8}{3} \vert + \frac{16}{3}=\frac{24}{3}=8$$

Antwort: Der gesuchte Flächeninhalt beträgt $8$ FE.

Gegeben ist die Funktion $f(x)=x^3$.


a) Begründe, warum $\int_{-2}^2 f(x)dx=0$ ist.
b) Berechne den Inhalt jener Fläche, der vom Graphen von $f$ und der $x$-Achse im Intervall $[-2;2]$ eingeschlossen wird.

a) Anhand der Skizze sieht man leicht, dass die Funktion punktsymmetrisch ist. Die Flächen links und rechts vom Ursprung heben sich auf.

Rechnerisch lässt sich dies leicht zeigen: $$\int_{-2}^2 x^3 dx= \left[ \frac{x^4}{4}\right]_{-2}^2=\frac{2^4}{4}-\frac{(-2)^4}{4}=\frac{16}{3}-\frac{16}{3}=0$$ Es gilt sogar allgemein für ein beliebiges Intervall $$\int_{-a}^a x^3 dx= \left[ \frac{a^4}{4}\right]_{-2}^2=\frac{a^4}{4}-\frac{(-a)^4}{4}=\frac{a^4}{3}-\frac{a^4}{3}=0$$

b) Nun wollen wir die Fläche berechnen. Hierzu gibt es $2$ Möglichkeiten.

1. Möglichkeit: Positive und negative Fläche addieren: Da wir, wie man anhand der Skizze erkennt, wieder eine negative und eine positive Fläche haben, rechnen wir beide einzeln und addieren anschließend die Beträge: $$\underbrace{\vert \int_{-2}^0 x^3 dx \vert}_{linke\ Fläche}+\underbrace{\int_{0}^2 x^3 dx}_{rechte\ Fläche}=$$ $$=\underbrace{\vert -4 \vert}_{linke\ Fläche}+\underbrace{4 }_{rechte Fläche}=\underline{\underline{8} }$$

2. Möglichkeit: Da die linke Fläche gleich groß ist wie die rechte Fläche, reicht es, nur eine von beiden zu berechnen und anschließend das Ergebnis zu verdoppeln: $$Fläche=2\cdot \int_{0}^2 x^3 dx=2\cdot 4=\underline{\underline{8} } $$

Berechne den Inhalt jener Fläche, der vom Graphen von $f$ mit $f(x)=x^2+2x$ und der $x$-Achse im Intervall $[-2;1]$ eingeschlossen wird.

1. Schritt: Skizze

2. Schritt: Grenzen und Nullstellen Die Nullstellen erhalten wir mit $f(x)=0$: $$x^2+2x=0$$ $$x\cdot (x+2)=0$$ $$\rightarrow x_1=0 \textrm{ und } x_2=-2$$

Der gesuchte Flächeninhalt teilt sich somit in eine linke, negative Fläche im Intervall $[-2;0]$ und eine rechte, positive Fläche im Intervall $[0;1]$ auf.

Schritte 3-5: $$\underbrace{\vert \int_{-2}^0 f(x) dx \vert}_{linke\ Fläche}+\underbrace{\int_{0}^1 f(x) dx}_{rechte\ Fläche}=\underbrace{\vert -\frac{4}{3} \vert}_{linke\ Fläche}+\underbrace{\frac{4}{3} }_{rechte Fläche}=\underline{\underline{\frac{8}{3}=2.\dot 6 } }$$

Berechne den Inhalt jener Fläche, der vom Graphen von $f$ mit $f(x)=0.1x^3 - 0.8x^2 + 1.5x $ und der $x$-Achse im Intervall $[0;6]$ eingeschlossen wird.

1. Schritt: Skizze

Die Fläche besteht aus insgesamt $3$ Teilflächen, die einzeln bestimmt werden müssen.

2. Schritt: Grenzen und Nullstellen Zuerst berechnen wir die Nullstellen: $$0.1x^3 - 0.8x^2 + 1.5x=0$$ $$x\cdot (0.1x^3-0.8x+15=0$$ $$\rightarrow x_1=0, x_2=3 \textrm{ und } x_3=5$$ Somit erhalten wir $3$ Teilflächen, die wir einzeln berechnen müssen:

1. Teilfläche: $[0;3]$, positiv
2. Teilfläche: $[3;5]$, negativ
3. Teilfläche: $[5;6]$, positiv

Schritte 3-5: $$\underbrace{ \int_0^3 f(x)dx}_{1}+\underbrace{\vert \int_3^5 f(x)dx\vert }_{2}+\underbrace{\int_5^6 f(x)dx}_{3}=$$ $$=\underbrace{ 1.58}_{1}+\underbrace{\vert -0.53\vert}_{2} +\underbrace{0.79}_{3}=\underline{\underline{2.9} }$$

Antwort: Der Inhalt der Fläche beträgt $2.9$ FE.