Besteckrechnung nach Mittelbreite

Das Mittelbreitenverfahren dient der Ermittlung von Distanzen zwischen Abfahrtsort A und Bestimmungsort B oder auch zum Koppeln von einem Abfahrtsort A mit bekanntem Kurs und bekannter zurückgelegter Distanz.
Im Loxodromischen Merkdreieck sind die Zusammenhänge dargestellt.

Das Dreieck wird auch „wahres Kursdreieck“ genannt, obwohl es in der Natur nicht vorkommt.

Dieses Dreieck beschreibt die mathematischen Zusammenhänge zwischen Abfahrtsort
A mit den Koordinaten φ_A und λ_A sowie dem Bestimmungsort B mit den Koordinaten φ_B und λ_B.

Die Differenzen der jeweiligen Koordinaten ergeben

$\begin{equation*} \Delta\varphi\ = \ \varphi _{B}\ -\ \varphi _{A}\qquad (Breitenunterschied) \end{equation*}$

bzw.

$\begin{equation*} \Delta \lambda\ = \ \lambda _{B}\ -\ \lambda _{A} \qquad (Längenunterschied) \end{equation*}$

Diese Winkelunterschiede werden in Graden angegeben.

Weiterhin sind notwendig die Breitendistanz b, gemessen in Seemeilen (entspricht Winkelminuten):

$\begin{equation*} b\ =\ \Delta \varphi \cdot 60' \end{equation*}$

und die Äquatormeridiandistanz l, gemessen in Winkelminuten:

$\begin{equation*} l\ =\ \Delta \lambda \cdot 60' \end{equation*}$

Wie wir gleich sehen werden, ist der Mittelwert der geographischen Breiten, die Mittelbreite φ_m für die weitere Berechnung von Bedeutung:

$\begin{equation*} \varphi _{m}\ =\ \frac{\varphi _{A}+\varphi _{B}}{2} \qquad bzw. \qquad \varphi _{m}\ =\ \varphi _{A}+\frac{\Delta \varphi }{2} \end{equation*}$

Im (ebenen) Dreieck werden wir jedoch nicht mit Winkelminuten rechnen sondern mit Entfernungen in Seemeilen.

Für den Breitenunterschied ist das ganz einfach, da der Breitenunterschied in Winkelminuten direkt der Breitendistanz in Seemeilen entspricht.
Für die Längengrade muss zunächst eine Umrechnung in einen Zwischenwert, der Abweitung erfolgen.

Die Abweitung ist die Distanz zwischen zwei Meridianen auf einem Breitenparallel und wird in Seemeilen angegeben.

Durch die geometrische Konstruktion der Längengrade ergibt sich die Abweitung a zu:

$\begin{equation*} a\ =\ l\cdot \cos (\varphi _{m}) \end{equation*}$

Im Umkehrschluss ist die Äquatormeridiandistanz l:

$\begin{equation*} l\ =\ \frac{a}{\cos(\varphi _{m})} \end{equation*}$

In der Nautischen Literatur ist zuweilen auch die (antiquierte) trigonometrische Funktion sekans $sec(\alpha)\ =\ \frac{1}{\cos(\alpha)}$ zu finden.

Somit kann man auch schreiben:

$\begin{equation*} l\ =\ a \cdot \sec(\varphi _{m}) \end{equation*}$

Für die Werte der loxodromischen Distanz d_Lox zwischen Abfahrts- und Bestimmungsort sowie des loxodromischen Kurses α_Lox werden die Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck sowie der Satz des Pythagoras angewandt.

Möglicherweise erinnerst Du Dich noch Deine neunte Klasse …

$\begin{equation*} d_{\mathit{Lox}}\ =\ \sqrt{a^2+b^2} \end{equation*}$

oder

$\begin{equation*} d_{\mathit{Lox}}\ =\ \frac{b}{\cos (\alpha _{\mathit{Lox}})} \end{equation*}$

und

$\begin{equation*} \alpha'\ =\ \arccos \left(\frac{b}{d_{\mathit{Lox}}}\right) \end{equation*}$

Wer anstatt der Kosinus-Funktion lieber mit der Sinus-Funktion arbeitet, nimmt anstelle der Breitendistanz b die Abweitung a.

Der Winkel α ist noch nicht direkt der gesuchte Kurs.

Die arccos-Funktion und arcsin-Funktion (je nachdem, wie berechnet wurde) liefern nur Werte von -90° bis +90°.

Um von diesem quadrantalen Kurs α zum richtigen Kurs zu kommen, berechnen wir wie folgt:

bei nördlichen Kursen (d.h. φ_B größer als φ_A)
wenn α > 0 dann ist α_Lox = α
wenn α < 0 dann ist α_Lox = 360° – α
bei südlichen Kursen (d.h. φ_B kleiner als φ_A)
α_Lox = 180° – α

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