Matrizen dividieren

unter Mitarbeit von Mario Banuelos, PhD

Wenn du weißt, wie man Matrizen miteinander multipliziert, bist du auf dem besten Wege zu, eine Matrix durch eine andere "dividieren" zu können. Das Wort steht inr Anführungszeichen, weil Matrizen eigentlich nicht dividiert werden können. Vielmehr multipliziert man die eine Matrix mit der Inversion der anderen Matrix. Diese Berechnungen werden normalerweise verwendet, um lineare Gleichungssysteme zu lösen.^{[1]
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Forschungsquelle}

Teil 1

Teil 1 von 3:

Bestätigen, dass die "Division" möglich ist

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Verstehe die "Division" von Matrizen. Eigentlich gibt es eine Matrix-Division nicht. Eine Matrix durch eine andere Matrix zu dividieren ist eine nicht definierte Funktion.^{[2]
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Forschungsquelle} Die nächste Entsprechung ist, mit der "Inversen" einer anderen Matrix zu multiplizieren. In anderen Worten ist [A] ÷ [B] nicht definiert, du kannst aber die Aufgabe [A] * [B]^-1 lösen. Da diese beiden Gleichungen in ihrer skalaren Größe gleichwertig sind, "empfindet" man das wie eine Matrix-Division, es ist aber wichtig, die richtige Terminologie zu verwenden.
- Beachte, dass [A] * [B]^-1 und [B]^-1 * [A] nicht dieselbe Aufgabe sind. Du musst unter Umständen beide lösen, um alle möglichen Lösungen zu finden.
- Schreibe zum Beispiel anstatt ${\begin{pmatrix}13&26\\39&13\end{pmatrix}}\div {\begin{pmatrix}7&4\\2&3\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}13&26\\39&13\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}7&4\\2&3\end{pmatrix}}^{-1}$ .
  Du musst vielleicht auch ${\begin{pmatrix}7&4\\2&3\end{pmatrix}}^{-1}*{\begin{pmatrix}13&26\\39&13\end{pmatrix}}$ berechnen, was eine andere Lösung haben könnte.
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Bestätige, dass die "Teiler-Matrix" eine Quadratmatrix ist. Um die Inversion einer Matrix zu nehmen, muss es eine Quadratmatrix sein, mit derselben Anzahl an Zeilen und Spalten. Wenn die Matrix, die du umkehren möchtest, keine Quadratmatrix ist, gibt es keine eindeutige Lösung für diese Aufgabe.^{[3]
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Forschungsquelle}
- Der Begriff "Teiler-Matrix" ist ein wenig vage, da es sich eigentlich um keine Divisionsaufgabe handelt. Bei [A] * [B]^-1 bezieht er sich auf die Matrix [B]. In unserer Beispielaufgabe ist das ${\begin{pmatrix}7&4\\2&3\end{pmatrix}}$ .
- Eine Matrix, die eine Inverse hat, wird "invertierbare" oder "nichtsinguläre" Matrix genannt. Matrizen ohne Inverse sind "singuläre".
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Überprüfe, ob die beiden Matrizen miteinander multipliziert werden können. Um zwei Matrizen miteinander zu multiplizieren, muss die Anzahl der Zeilen in der ersten Matrix der Anzahl der Zeilen in der zweiten Matrix entsprechen.^{[4]
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Forschungsquelle} Wenn das in keiner Anordnung, weder bei ([A] * [B]^-1 noch bei [B]^-1 * [A]) funktioniert, gibt es keine Lösung für die Aufgabe.
- Wenn zum Beispiel [A] eine 4 x 3 Matrix ist (4 Zeilen, 3 Spalten) und [B] eine 2 x 2 Matrix (2 Zeilen, 2 Spalten), dann gibt es keine Lösung. [A] * [B]^-1 lässt sich nicht ausführen, da 3 ≠ 2 und [B]^-1 * [A] lässt sich nicht ausführen, da 2 ≠ 4.
- Beachte, dass die Inverse [B]^-1 Immer dieselbe Anzahl an Zeilen und Spalten hat wie die ursprüngliche Matrix [B]. Man muss nicht die Inverse berechnen, um diesen Schritt durchzuführen.
- In unserer Beispielaufgabe sind beide Matrizen 2 x 2, also können sie in jeder Reihenfolge multipliziert werden.
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Finde die Determinante einer 2 x 2 Matrix. Es gibt eine weitere Voraussetzung, die du überprüfen musst, bevor du die Inverse einer Matrix verwendest. Die Determinante der Matrix muss ungleich null sein. Wenn die Determinante null ist, hat die Matrix keine Inverse. So findest du die Determinante im einfachsten Fall, der 2 x 2 Matrix:
- 2 x 2 Matrix: Die Determinante der Matrix ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ ist ad - bc.^{[5]
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  Forschungsquelle} In anderen Worten nimmst du das Produkt der Hauptdiagonale (oben links nach unten rechts) und subtrahierst das Produkt der Gegendiagonale (oben rechts nach unten links).
- Die Matrix ${\begin{pmatrix}7&4\\2&3\end{pmatrix}}$ zum Beispiel hat die Determinante (7)(3) - (4)(2) = 21 - 8 = 13. Das ist ungleich null, es ist also möglich, eine Inverse zu finden.
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Finde die Determinante einer größeren Matrix. Wenn deine Matrix 3 x 3 oder größer ist, erfordert die Determinante ein wenig mehr Arbeit:
- 3 x 3 Matrix: Wähle ein Element aus und streiche die Zeile und Spalte durch, zu der es gehört. Finde die Determinante der verbleibenden 2 x 2 Matrix, multipliziere sie mit dem gewählten Element und sieh in einer Vorzeichentabelle für Matrizen nach, um das Vorzeichen zu bestimmen. Wiederhole das mit den anderen beiden Elementen in derselben Zeile oder Spalte wie das erste und zähle dann alle drei Determinanten zusammen. Lies diesen Artikel für eine Schritt-für-Schritt-Anleitung und Tipps, um es schneller zu bewerkstelligen.
- Größere Matrizen: Die Verwendung eines grafikfähigen Taschenrechners oder einer Software ist zu empfehlen. Die Methode ist ähnlich wie bei einer 3x3 Matrix, ist mit der Hand aber mühsam.^{[6]
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  Forschungsquelle} Um zum Beispiel die Determinante einer 4 x 4 Matrix zu finden, musst du die Determinanten von vier 3 x 3 Matrizen finden.
Wenn es keine Quadratmatrix ist oder die Determinante gleich null ist, dann schreibe "keine eindeutige Lösung". Die Aufgabe ist abgeschlossen. Wenn es eine Quadratmatrix ist und ihre Determinante ungleich null ist, dann gehe zum nächsten Abschnitt über: finde die Inverse.

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Teil 2

Teil 2 von 3:

Die Matrix invertieren

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Vertausche die Position der Elemente auf der Hauptdiagonale 2 x 2. Wenn deine Matrix 2 x 2 ist, kannst du eine Abkürzung verwenden, und die Berechnung weitaus einfacher machen.^{[7]
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Forschungsquelle} Der erste Schritt dieser Abkürzung ist, das obere linke Element mit dem unteren rechten Element zu vertauschen. Zum Beispiel:
- ${\begin{pmatrix}7&4\\2&3\end{pmatrix}}$ → ${\begin{pmatrix}3&4\\2&7\end{pmatrix}}$
- Achtung: Die meisten Leute verwenden Taschenrechner, um die Inverse einer 3 x 3 oder größeren Matrix zu finden. Wenn du sie von Hand berechnen willst, dann gehe zum Ende dieses Abschnitts.
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Nimm das Gegenteil der anderen beiden Elemente, aber lasse sie an ihrer Position. In anderen Worten multiplizierst du das obere rechte und untere linke Element mit -1:
- ${\begin{pmatrix}3&4\\2&7\end{pmatrix}}$ → ${\begin{pmatrix}3&-4\\-2&7\end{pmatrix}}$
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Nimm den Kehrwert der Determinante. Du hast die Determinante dieser Matrix im Bereich weiter oben herausgefunden, du musst sie also nicht noch einmal berechnen. Schreibe einfach den Kehrwert 1 / (Determinante) auf:
- In unserem Beispiel ist die Determinante 13. Der Kehrwert davon ist ${\frac {1}{13}}$ .
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Multipliziere die neue Matrix mit dem Kehrwert der Determinante. Multipliziere jedes Element der neuen Matrix mit dem Kehrwert, den du gerade ermittelt hast. Die entstehende Matrix ist die Inverse der 2x2 Matrix:
- ${\frac {1}{13}}*{\begin{pmatrix}3&-4\\-2&7\end{pmatrix}}$
  = ${\begin{pmatrix}{\frac {3}{13}}&{\frac {-4}{13}}\\{\frac {-2}{13}}&{\frac {7}{13}}\end{pmatrix}}$
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Bestätige, dass die Inverse richtig ist. Um deine Arbeit zu überprüfen, multiplizierst du die inverse Matrix mit der ursprünglichen Matrix. Wenn die Inverse korrekt ist, wird das Produkt immer die Einheitsmatrix sein, ${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$ . Wenn die Rechnung aufgeht, dann gehe zum nächsten Abschnitt über, um deine Aufgabe fertigzustellen.
- Multipliziere bei der Beispielaufgabe ${\begin{pmatrix}{\frac {3}{13}}&{\frac {-4}{13}}\\{\frac {-2}{13}}&{\frac {7}{13}}\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}7&4\\2&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$ .
- Hier findest du eine Auffrischung zur Matrizenmultiplikation.
- Achtung: Die Multiplikation von Matrizen ist nicht kommutativ: die Reihenfolge der Faktoren ist von Bedetung. Wenn du eine Matrix jedoch mit der inversen Matrix multiplizierst, werden beide Möglichkeiten die Einheitsmatrix ergeben.^{[8]
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  Forschungsquelle}
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Sieh dir noch einmal die Inversion von 3 x 3 Matritzen und höher an. Außer wenn du den Vorgang zum ersten Mal lernst, kannst du dir die Zeit sparen und einen grafikfähigen Taschenrechner oder eine Mathe-Software bei größeren Matrizen verwenden. Wenn du sie mit der Hand berechnen musst, findest du hier eine kurze Zusammenfassung einer Methode:^{[9]
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- Stelle die Einheitsmatrix I rechts neben deine Matrix. Zum Beispiel [B] → [B | I ]. Die Einheitsmatrix hat "1"-Elemente entlang der Hauptdiagonale und "0"-Elemente in allen anderen Positionen.
- Führe Zeilenumformungen durch, um die Matrix zu reduzieren, bis die linke Seite in in Zeilenstufenform ist und reduziere weiter, bis die linke Seite die Einheitsmatrix ist.
- Wenn die Umformung vollständig ist, wird deine Matrix in der Form [I | B^-1] stehen. In anderen Worten wird die rechte Seite die Inverse der ursprünglichen Matrix sein.
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Teil 3

Teil 3 von 3:

Die Matrizen multiplizieren, um die Aufgabe auszuführen

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Schreibe beide möglichen Gleichungen auf. In der "gewöhnlichen Mathematik" mit skalaren Größen ist die Multiplikation kommutativ; 2 x 6 = 6 x 2. Das gilt nicht für Matrizen, du musst wohl zwei Aufgaben lösen müssen:
- [A] * [B]^-1 ist die Lösung x für die Aufgabe x[B] = [A].
- [B]^-1 * [A] ist die Lösung x für die Aufgabe [B]x = [A].
- Wenn das Teil einer Gleichung ist, dann stelle sicher, dass du dieselbe Operation auf beiden Seiten durchführst. Wenn [A] = [C], dann ist [B]^-1[A] nicht gleich [C][B]^-1, weil das [B]^-1 auf der linken Seite von [A] steht, aber an der rechten Seite von [C].^{[11]
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  Forschungsquelle}
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Finde die Dimensionen deiner Lösung heraus. Die Dimensionen der endgültigen Matrix sind die äußeren Dimensionen der beiden Faktoren. Sie hat dieselbe Anzahl an Zeilen wie die erste Matrix und dieselbe Anzahl an Reihen wie die zweite Matrix.
- In unserem ursprünglichen Beispiel sind sowohl ${\begin{pmatrix}13&26\\39&13\end{pmatrix}}$ als auch ${\begin{pmatrix}{\frac {3}{13}}&{\frac {-4}{13}}\\{\frac {-2}{13}}&{\frac {7}{13}}\end{pmatrix}}$ 2 x 2 Matrizen, die Dimensionen der Lösung sind also 2 x 2.
- Um ein komplizierteres Beispiel zu nehmen, sagen wir [A] ist eine 4 x 3 Matrix und [B]^-1 ist eine 3 x 3 Matrix. Dann hat die Matrix [A] * [B]^-1 die Dimensionen 4 x 3.
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Finde den Wert des ersten Elements. Sieh dir für vollständige Anweisungen den Artikel an oder hilf deiner Erinnerung mit dieser Zusammenfassung auf die Sprünge:
- Um Zeile 1, Spalte 1 von [A][B]^-1 zu finden, findest du das Punktprodukt von [A] Zeile 1 und [B]^-1 Spalte 1. Das heißt bei einer 2 x 2 Matrix, rechnest du $a_{1,1}*b_{1,1}+a_{1,2}*b_{2,1}$ .
- In unserem Beispiel ${\begin{pmatrix}13&26\\39&13\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}{\frac {3}{13}}&{\frac {-4}{13}}\\{\frac {-2}{13}}&{\frac {7}{13}}\end{pmatrix}}$ , ist Zeile 1 Spalte 1 unserer Lösung:
  $(13*{\frac {3}{13}})+(26*{\frac {-2}{13}})$
  $=3+-4$
  $=-1$
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Wiederhole das Punktprodukt für jede Position in deiner Matrix. Das Element an Position 2,1 zum Beispiel ist das Punktprodukt von [A] Zeile 2 und [B]^-1 Spalte 1. Versuche, das Beispiel alleine fertig zu lösen. Du solltest folgende Lösungen erhalten:
- ${\begin{pmatrix}13&26\\39&13\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}{\frac {3}{13}}&{\frac {-4}{13}}\\{\frac {-2}{13}}&{\frac {7}{13}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&10\\7&-5\end{pmatrix}}$
- Wenn du die andere Lösung finden musst, ${\begin{pmatrix}{\frac {3}{13}}&{\frac {-4}{13}}\\{\frac {-2}{13}}&{\frac {7}{13}}\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}13&26\\39&13\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-9&2\\19&3\end{pmatrix}}$
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Tipps

Du kannst die Matrix durch einen Skalar teilen, indem du jedes Element der Matrix durch den Skalar teilst.
- Die Matrix ${\begin{pmatrix}6&8\\2&4\end{pmatrix}}$ zum Beispiel ist geteilt durch 2 = ${\begin{pmatrix}3&4\\1&2\end{pmatrix}}$

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Warnungen

Taschenrechner sind nicht immer 100 % präzise, wenn es um Rechnungen mit Matrizen geht. Wenn dein Taschenrechner dir zum Beispiel sagt, dass dein Element eine sehr kleine Zahl ist (2E^-8 zum Beispiel), ist der Wert sehr wahrscheinlich 0.^{[12]
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Forschungsquelle}

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