Abstract
Hindenburg’s combinatorial analysis was characterized in 1781 as a new branch of mathematics, whose explicit aim was to reformulate the theory of series and place it on what Hindenburg considered to be a firmer theoretical footing. However, in that year, this new branch of mathematics appears only in the form of a project. Many problems were left unsolved in the Novi systematis, and will remain unsolved for a long time. It will be necessary to wait until the 1790s before it could be said that the project outlined by Hindenburg has been launched. The decade between the drafting of the project and its implementation corresponds to a period during which more favorable conditions for developing Hindenburg’s combinatorial analysis will be created.
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Notes
- 1.
Ich habe, nach dem Wunsche mehrerer Kenner, einige Aufsätze über combinatorische Analysis in diesem Bande mit eingerückt, um die Dunkelheit zu zerstreuen, die über der Sache, wie man mich schriftlich und mündlich versichert hat, noch schwebte. […U]nd ich zweifle nicht, sie werden den Reichthum der combinatorischen Hülfsmittel, auf analytische Probleme und Formeln angewendet, auch wie innig hier Simplicität und Allgemeinheit, Leichtigkeit in der Darstellung und Behendigkeit in der Entwickelung, mit einander verbunden sind, deutlich vor Augen legen. […] Ich habe mich darinn über gewisse Gegenstände ausführlicher ausgebreitet, als es in einem Systeme der Wissenschaft selbst, das ich nächstens dem Publikum vorzulegen gedenke, nicht geschehen darf. Man wird finden, daß es der strengsten geometrischen Schärfe und Evidenz fähig sey; und so werden auch die hier beygebrachten combinatorisch-analytischen Abhandlungen, selbst nach Aufstellung eines solchen Systems, für das Publikum nicht verloren gehen, in so fern ich, als weitere Nachweisung, öfters daraufmich beziehen werde.
- 2.
Und so ward denn eine eigene, zum Gebrauch für die Mathematik besonders angelegte Zeitschrift, die Hennert und Kästner, v. Zach, Klügel und Pfleiderer, die Kramp und Rothe und Pfaff und Bürmann und Hauber mit ihren Beyträgen beehrten; die manche scharfsinnige Untersuchung aus Lamberts literarischen Nachlasse mittheilte; eine Zeitschrift, die zum Theil der Kenntniss und Erweiterung der viel zu wenig gekannten combinatorischen Analysis gewidmet war, und mehrere Jahre hindurch mit Beyfall der Kenner fortgedauert hatte, plötzlich und auf einmal in ihrem Laufe gehemmt und aufgehalten!
- 3.
Soit l’équation
$$\displaystyle \begin{aligned} \alpha -x+\phi x=0 \end{aligned}$$ϕx étant une fonction quelconque de x. Que p soit une des racines de cette équation, c’est à dire, une des valeurs de x, & qu’on demande la valeur d’une fonction quelconque de p comme ψp. Qu’on dénote, pour plus de simplicité, la quantité \(\frac {d\psi x}{dx}\) par ψ′x, & je dis qu’on aura en général
$$\displaystyle \begin{aligned} \psi p = & \psi x +\phi x \psi' x +\frac{d\left(\phi x\right)^{2}\psi' x}{2dx} \\ & +\frac{d^{2}\left(\phi x\right)^{3}\psi' x}{2\cdot3dx^{2}} +\frac{d^{3}\left(\phi x\right)^{4}\psi' x}{2\cdot3\cdot4dx^{3}}+\&c. \end{aligned} $$où il faudra changer x en α après les différentiations.
- 4.
Le théorème de Lagrange donne bien une forme symétrique aux formules du retour des suites ; mais les puissances du polynome indéfini s’y retrouvent, et pour en former les coefficiens, on n’avait que les règles données par Moivre, ou les relations successives obtenues par Euler, au moyen de la différentiation. Le premier de ces procédés n’est fondé que sur l’induction ; le second ne mène qu’à déterminer les coefficiens les uns par les autres, ensorte que pour parvenir à celui d’un terme, il faut passer par tous ceux qui le précèdent. Tels sont les motifs qui ont donné naissance à l’Analyse combinatoire, très-cultivée en Allemagne, déduite de quelques vues que Leibniz a proposées, sur l’emploi des nombres ordinaux à la place des lettres pour indiquer les coefficiens des inconnues ou des variables, et au moyen de laquelle on forme, par des opérations régulières, les coefficiens des termes du développement des puissances d’un polynome.
- 5.
[C]um enim per formulam […] semper termini sequentes per antecedentes sint determinandi, dari etiam potest, artis analytico-combinatoriae ope, seriei quaesitae terminus vere generalis, i.e. per quem, quilibet terminus, extra ordinem et ab reliquis omnibus independenter, per ipsos datos coefficientes et exponentes, directe definitur.
- 6.
Seriei quaesitae terminos quatuor priores proposuit Leibnitius […], legem etiam progressus pronunciavit, sed verbis, ut post Moivraeum Hindenburgius questus est, tantum non obscurissimis. Per signa, quae Clar. Hindenburg introduxit, haec ipsa Leibnitii lex formula, pro tanta rerum datarum diversitate satis simplici, exprimi potest.
- 7.
(Fischer 1792, vol. 1, IV): daßder scharfsinnigste Analyst unseres Jahrhunderts, Herr de la Grange […], auf eine höchst scharfsinnige und allgemeine Art aufgelöset habe.
- 8.
Da ich indessen auf einem ganz anderen Wege, als Herr de la Grange zu der Auflösung des Problems gelangt war, und es für die Wissenschaft nie anders als vortheilhaft seyn kann, wenn ein und derselbe Gegenstand aus verschiedenen Gesichtspuncten untersuchet wird, so hielt ich es für besser, diejenigen Abschnitte meines Werkes, welche eben den Gegenstand betreffen […] ungeändert zu lassen […].
- 9.
In der Folge fand ich auf eben dem Wege, wo ich anfänglich ganz einsam zu geben wähnte, noch einen andern vortreflichen und achtungswürdigen Geometer, Herrn Prof. Hindenburg, der schon vor 11 Jahren in seinen primis lineis novi systematis permutationum, combinationum et variationum (Lipsiae 1781), dem Publicum zu einem analytischen Werke Hofnung machte, dessen Vollendung gewiß manches schätzbare analytische Werk, und vielleicht auch diese meine geringe Arbeit entbehrlich machen würde. Bis jetzt ist aber, so viel mir bekannt ist, diese Hofnung nicht erfüllt worden […].
- 10.
Hr. Prof. Fischer in Berlin hat bekanntlich eine Theorie der Dimensionszeichen herausgegeben, wöruber er offentlich eines Plagiums der Hindenburgischen combinatorischen Analytik beschuldigt worden ist.
- 11.
Lex combinationis complicatissima, quam hic coefficientes servant a Leibnitio verbis perquam obscuris pronunciata, signis hic combinatorio-analyticis clarissima reddita est. Iudicari itaque potest, etiam ex hoc exemplo, qua vtilitate, quoque commodo, signa analytico-combinatoria in Analysi possint adhiberi.
- 12.
Gegenwärtige Schrift, die ich die Ehre habe, Ihnen zu übersenden, ist zwar nicht von mir, geht mich aber, wie Sie finden werden, sehr nahe an. Das Plagium, das Fischer an mir begangen hat, ist viel bedenklicher, als das Achard an Gehlern begieng.
- 13.
Diese figürliche Darstellung der Zahlensysteme in und um einander, zeigt also eine wahre Involution.
- 14.
Combinatorische Involutionen (Involutiones combinatoriae) nenne ich diejenigen Verfahren, nach welchen, für jede ausser der Ordnung geforderte Glieder, Coefficienten oder Werthe, die Anordnung aus gegebenen Grössen, durch Zifern oder andere Zeichen zu Complexionen, so getroffen wird, daß in dem Ausdruke dafür nichts Ueberflüssiges enthalten ist, was zu dem geforderten Gliede nicht gehört, zugleich aber alle vorhergehende Glieder, […] in und neben einander liegend, die folgenden bestimmen […].
- 15.
Was endlich über alles wichtig ist, die ausgedehnteste Anwendung der Combinationslehre auf die Analysis war nun eine natürliche und nothwendige Folge einer solchen Umänderung, und zog die Erfindung bequemer combinatorischer und anderer harmonirenden Zeichen herbey, die gleich geschickt sind, die, größtentheils neuen, combinatorischen, einfachen und zusammengesetzten, Begriffe kurz und deutlich darzustellen, und zu Local- und combinatorisch-analytischen Formeln sich anordnen zu lassen.
- 16.
Zifern und Zahlen statt der Buchstaben, hat zwar Leibnitz schon gebraucht, und ihre Verbindung auf ein sehr verwickeltes Problem angewendet; aber die erste und einfachste, und in Absicht auf Anwendung zugleich ausgedehnteste aller combinatorischen Aufgaben, welche die Gesetze des Zählens nach allen Zahlensystemen enthält, hat er dennoch bey seinem Verfahren nicht zum Grunde gelegt, und es fehlte so viel daß seine neue Darstellung Beyfall fand, oder in ihrer chaotischen Gestalt finden konnte, daß selbst de Moivre, der sich doch sehr wohl auf Combinationen verstand, sie für schwierig erklärte, und sein Freund, Johann Bernoulli! selbige sogar als zu abstract und unbrauchbar verwarf.
- 17.
Here are the textual lines of Hindenburg: “Es giengen nehmlich, außer der eben angezeigten Reduction aller übrigen auf ein einziges sehr einfaches combinatorisches Grundproblem, Leibnizen, wie Herr M. Toepfer sehr wohl erinnert, verschiedene nützliche Einrichtungen, Sätze und bequeme Zeichen (die ganze Zeichensprache) in der Combinationslehre noch ab, vornehmlich: genaue Abtheilung der zu verbindenden Dinge nach Classen zu bestimmten Summen, bequeme Bezeichnung solcher Classen, und promte Darstellung ihrer Werthe; wo man noch hinzusetzen kann: figürliche Anordnung der Zahlen- oder Buchstabencomplexionen neben und untereinander.” Hindenburg’s reference to Töpfer directs the reader to (Töpfer 1793, 9), where one can see, by the way, that Töpfer repeats Hindenburg’s criticism of Leibniz’s conception of combinatorics analyzed in Sect. 3.2.2.
- 18.
Ich rede hier nicht von Leibnitzens Aeußerungen über die Analisin axiomatum und das Alphabetum cogitationum humanarum, die er von einer, auf die Combinationslehre zu gündenden, Analysi suprema erwartete; Aeußerungen –die in einigen Stellen nahe an Schwärmerey gränzen. Ich verstehe blos die natürlichen Ausbrüche von Bewunderung, welche die entzückenden Aussichten in ein neues Land ihm veranlaßten, das er im Geiste schon ganz durchreist hatte, und das nur noch für Andere –eine terra incognita war.
- 19.
1∘ quod leges propositae, verbis quidem satis claris per se, non autem formula idonea analytico-combinatoria exponantur. 2∘ quod Coefficientes, vbi Exponens m numerus est integer positiuus, prolixius determinentur. […] 3∘ quod Coefficiens exhiberi nullus possit, nisi simul et praecedentes singuli expositi sint, ad primum vsque a m, inclusive, et formula adeo Coefficientem sistens generalem nulla appareat.
- 20.
Boscovich hat 50 Jahre später als de Moivre, und ohne von dessen Polynomialtheorem anfänglich etwas zu wissen, auch ein diesem ähnliches Verfahren angegeben, ein Infinitinomium zu einer verlangten Potenz zu erheben.
- 21.
Die combinatorische Analysis hat endlich den Schleyer aufgedeckt, und es bleibt hinfort nicht mehr dem blinden Ungefähr überlassen, ob und wenn es die Legem Naturae herbeyführen will.
- 22.
Also hat \((a+bz+cz^{2}+dz^{3}+\ldots )^{\frac {m}{n}}\) einerley Form mit \((a+bz+cz^{2}+dz^{3}+\ldots )^{\frac {n}{m}}\), folglich auch (a + bz + cz 2 + dz 3 + …)m einerley Form mit \((a+bz+cz^{2}+dz^{3}+\ldots )^{\frac {1}{m}}\) , das heißt, beyde Größen sind nur darin verschieden, daß m und \(\frac {1}{m}\) in ihnen vertauscht sind.
- 23.
Der binomische Lehrsatz ist nach der hier gebrauchten Methode ein Corollarium des polynomischen.
- 24.
Numeri irrationales atque transcendentes reales, per numeros rationales tam accurate exprimi possunt, vt error quacunque quantitate minor euadat.
- 25.
Es eröfnet sich hier, wie es mir vorkommt, ein weites Feld für analytische Speculationen, die wenigstens durch ihre Schwierigkeit und Neuheit Interesse zu haben scheinen.
- 26.
Je désignerai par le nom de facultés, les produits dont les facteurs constituent une progression arithmétique ; tels que
$$\displaystyle \begin{aligned} a(a+r)(a+2r)\cdots(a+mr-r). \end{aligned}$$Cette classe de fonctions analytiques n’a jamais eu de dénomination particulière : nous allons voir qu’elle méritoit d’en avoir une.
- 27.
Die Combinationslehre tritt hierbey, besonders was die Darstellung und Entwickelung ihrer Formen, worauf in der Analysis doch so viel ankommt, anbetrifft, als selbstständige Grundwissenschaft auf, die, sich allein genügend, fremder Hülfe nicht bedarf. Man kann zwar arithmetische Begriffe und Sätze auf combinatorische anwenden, und hat solches bereits häufig und mit großem Vortheile gethan; so daß man auch hier sagen kann alterius sic altera poscit opem res et coniurat amice aber es ist wichtig, die rein-combinatorischen Verfahren, wie ich sie zu nennen pflege, von den gemischten zu unterscheiden. Jene sind, wenn es möglich ist, noch einfacher als diese, und die dabey vorkommenden Veränderungen, die gewöhnlich geradezu auf Involutionen führen, beruhen (1) auf Ansetzen oder Beyfügen (2) auf Wegnehmen oder Absondern (3) auf Aus- oder Umtauschung gewisser, so wie auf bestimmter Anordnung der übrigen Elemente.
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Noble, E. (2022). The Consolidation of the German Combinatorial Analysis. In: The Rise and Fall of the German Combinatorial Analysis. Frontiers in the History of Science. Birkhäuser, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-030-93820-8_4
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-030-93820-8_4
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Publisher Name: Birkhäuser, Cham
Print ISBN: 978-3-030-93819-2
Online ISBN: 978-3-030-93820-8
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