Logik, Mengen, Abbildungen – die Sprache der Mathematik

Appendices

Aufgaben

Gelegentlich enthalten die Aufgaben mehr Angaben, als für die Lösung erforderlich sind. Bei einigen anderen dagegen werden Daten aus dem Allgemeinwissen, aus anderen Quellen oder sinnvolle Schätzungen benötigt.

•	einfache Aufgaben mit wenigen Rechenschritten
••	mittelschwere Aufgaben, die etwas Denkarbeit und unter Umständen die Kombination verschiedener Konzepte erfordern
•••	anspruchsvolle Aufgaben, die fortgeschrittene Konzepte (unter Umständen auch aus späteren Kapiteln) oder eigene mathematische Modellbildung benötigen

1.1.1 Verständnisfragen

1.1 • 

Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

Für alle $x\in\mathbb{R}$ gilt:

• (a) „$x> 1$ ist hinreichend für $x^{2}> 1$.“

• (b) „$x> 1$ ist notwendig für $x^{2}> 1$.“

• (c) „$x\geq 1$ ist hinreichend für $x^{2}> 1$.“

• (d) „$x\geq 1$ ist notwendig für $x^{2}> 1$.“

1.2 •• 

Wie viele unterschiedliche binäre, also zwei Aussagen verknüpfende Junktoren gibt es?

1.1.2 Rechenaufgaben

1.3 • 

Beweisen Sie die Äquivalenzen:

$$\begin{aligned}\displaystyle(A\vee B)&\displaystyle\Leftrightarrow\;\neg(\neg A\wedge\neg B),\\ \displaystyle(A\wedge B)&\displaystyle\Leftrightarrow\;\neg(\neg A\vee\neg B).\end{aligned}$$

1.4 •• 

Zeigen Sie die Transitivität der Implikation, also die Aussage

$$\begin{gathered}\displaystyle\left((A\Rightarrow B)\wedge(B\Rightarrow C)\right)\Rightarrow(A\Rightarrow C)\,.\end{gathered}$$

1.1.3 Beweisaufgaben

1.5 •• 

Zeigen Sie durch einen Widerspruchsbeweis, dass $\sqrt{2}$ keine rationale Zahl ist. Formulieren Sie dazu zunächst die beiden Aussagen,

$$\begin{gathered}\displaystyle A\colon\quad\text{,,}x\text{ ist die positive L{\"o}sung der Gleichung }x^{2}=2\text{``}\end{gathered}$$

und

$$\begin{gathered}\displaystyle B\colon\quad\text{,,}x\text{ Es gibt keine Zahlen }a,b\in\mathbb{Z}\text{ mit }x=\frac{a}{b}\text{``}\end{gathered}$$

1.6 •• 

Geheimrat Gelb, Frau Blau, Herr Grün und Oberst Schwarz werden eines Mordes verdächtigt. Genau einer bzw. eine von ihnen hat den Mord begangen. Beim Verhör sagen sie Folgendes aus:

Geheimrat Gelb: Ich war es nicht. Der Mord ist im Salon passiert.

Frau Blau: Ich war es nicht. Ich war zur Tatzeit mit Oberst Schwarz zusammen in einem Raum.

Herr Grün: Ich war es nicht. Frau Blau, Geheimrat Gelb und ich waren zur Tatzeit nicht im Salon.

Oberst Schwarz: Ich war es nicht. Aber Geheimrat Gelb war zur Tatzeit im Salon.

Unter der Annahme, dass die Unschuldigen die Wahrheit gesagt haben, finde man den Täter bzw. die Täterin.

1.7 •• 

Es seien $A$ eine Menge und $\mathcal{F}$ eine Menge von Teilmengen von $A$. Beweisen Sie die folgenden (allgemeineren) Regeln von De Morgan:

$$\begin{aligned}\displaystyle A\setminus\left(\bigcap_{B\in\mathcal{F}}B\right)&\displaystyle=\bigcup_{B\in\mathcal{F}}(A\setminus B)\quad\text{und}\\ \displaystyle A\setminus\left(\bigcup_{B\in\mathcal{F}}B\right)&\displaystyle=\bigcap_{B\in\mathcal{F}}(A\setminus B)\,.\end{aligned}$$

1.8 •• 

Es seien $A$, $B$ Mengen, $M_{1},M_{2}\subseteq A$, ferner $N_{1},N_{2}\subseteq B$ und $f:A\rightarrow B$ eine Abbildung. Zeigen Sie:

• (a) $f(M_{1}\cup M_{2})=f(M_{1})\cup f(M_{2})$,

• (b) $f^{-1}(N_{1}\cup N_{2})=f^{-1}(N_{1})\cup f^{-1}(N_{2})$,

• (c) $f^{-1}(N_{1}\cap N_{2})=f^{-1}(N_{1})\cap f^{-1}(N_{2})$.

Gilt im Allgemeinen auch $f(M_{1}\cap M_{2})=f(M_{1})\cap f(M_{2})$?

1.9 •• 

Es seien $A$, $B$ nichtleere Mengen und $f:A\rightarrow B$ eine Abbildung. Zeigen Sie:

• (a) $f$ ist genau dann injektiv, wenn eine Abbildung $g:B\rightarrow A$ mit $g\circ f=\text{id}_{A}$ existiert.

• (b) $f$ ist genau dann surjektiv, wenn eine Abbildung $g:B\rightarrow A$ mit $f\circ g=\text{id}_{B}$ existiert.

1.10 •• 

Es seien $A$, $B$, $C$ Mengen und $f:A\rightarrow B$, $g:B\rightarrow C$ Abbildungen.

• (a) Zeigen Sie: Ist $g\circ f$ injektiv, so ist auch $f$ injektiv.

• (b) Zeigen Sie: Ist $g\circ f$ surjektiv, so ist auch $g$ surjektiv.

• (c) Geben Sie ein Beispiel an, in dem $g\circ f$ bijektiv, aber weder $g$ injektiv noch $f$ surjektiv ist.

1.11 •• 

Es seien $A$, $B$ Mengen und $f:A\rightarrow B$ eine Abbildung. Die Potenzmengen von $A$ bzw. $B$ seien $\mathcal{A}$ bzw. $\mathcal{B}$. Wir betrachten die Abbildung $g:\mathcal{B}\rightarrow\mathcal{A}$, $B^{\prime}{}\mapsto{}f^{-1}(B^{\prime})$. Zeigen Sie:

• (a) Es ist $f$ genau dann injektiv, wenn $g$ surjektiv ist.

• (b) Es ist $f$ genau dann surjektiv, wenn $g$ injektiv ist.

1.12 •• 

Begründen Sie die Bijektivität der Abbildung

$$\begin{gathered}\displaystyle f:\left\{\begin{array}[]{@{}r@{}c@{}l@{}}(-1,1)&{}\to&\mathbb{R},\\ x&{}\mapsto&\frac{x}{1-x^{2}}.\end{array}\right.\end{gathered}$$

1.13 •• 

Geben Sie für die folgenden Relationen auf $\mathbb{Z}$ jeweils an, ob sie reflexiv, symmetrisch oder transitiv sind. Welche der Relationen sind Äquivalenzrelationen?

• (a) $\rho_{1}=\{(m,n)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\,|\,m\geq n\}$,

• (b) $\rho_{2}=\{(m,n)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\,|\,m\cdot n> 0\}\cup\{(0,0)\}$,

• (c) $\rho_{3}=\{(m,n)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\,|\,m=2n\}$,

• (d) $\rho_{4}=\{(m,n)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\,|\,m\leq n+1\}$,

• (e) $\rho_{5}=\{(m,n)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\,|\,m\cdot n\geq-1\}$,

• (f) $\rho_{6}=\{(m,n)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\,|\,m=2\}$.

1.14 •• 

Wo steckt der Fehler in der folgenden Argumentation?

Ist $\sim$ eine symmetrische und transitive Relation auf einer Menge $M$, so folgt für $a,b\in M$ mit $a\sim b$ wegen der Symmetrie auch $b\sim a$. Wegen der Transitivität folgt aus $a\sim b$ und $b\sim a$ auch $a\sim a$. Die Relation $\sim$ ist also eine Äquivalenzrelation.

1.15 •• 

Zeigen Sie, dass die folgenden Relationen Äquivalenzrelationen auf $A$ sind. Bestimmen Sie jeweils die Äquivalenzklassen von $(2,2)$ und $(2,-2)$.

• (a) $A=\mathbb{R}^{2}$, $(a,b)\sim(c,d)\ \Longleftrightarrow\ a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2}$.

• (b) $A=\mathbb{R}^{2}$, $(a,b)\sim(c,d)\ \Longleftrightarrow\ a\cdot b=c\cdot d$.

• (c) $A=\mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}$, $(a,b)\sim(c,d)\ \Longleftrightarrow\ a\cdot d=b\cdot c$.

1.16 •• 

Auf einer Menge $A$ seien zwei Äquivalenzrelationen $\sim$ und $\approx$ gegeben. Dann heißt $\sim$ eine Vergröberung von $\approx$, wenn für alle $x,y\in A$ mit $x\approx y$ auch $x\sim y$ gilt.

• (a) Es sei $\sim$ eine Vergröberung von $\approx$. Geben Sie eine surjektive Abbildung

  $$\begin{gathered}\displaystyle f:A/{\approx}\longrightarrow A/{\sim}\end{gathered}$$

  an.

• (b) Für $m,n\in\mathbb{N}$ sind durch

  $$\begin{gathered}\displaystyle x\sim y\ \Longleftrightarrow\ m\mid(x-y)\end{gathered}$$

  und

  $$\begin{gathered}\displaystyle x\approx y\ \Longleftrightarrow\ n\mid(x-y)\end{gathered}$$

  Äquivalenzrelationen auf $\mathbb{Z}$ definiert.

  Bestimmen Sie zu $n\in\mathbb{N}$ die Menge aller $m\in\mathbb{N}$, sodass $\sim$ eine Vergröberung von $\approx$ ist.

• (c) Geben Sie die Abbildung $f$ aus Teil (a) für $m=3$ und $n=6$ explizit an, indem Sie für sämtliche Elemente von $\mathbb{Z}/{\approx}$ das Bild unter $f$ angeben.

1.17 •• 

Es sei $\rho$ eine reflexive und transitive Relation auf einer Menge $A$. Zeigen Sie:

• (a) Durch

  $$\begin{gathered}\displaystyle x\sim y\ \Longleftrightarrow\ ((x,y)\in\rho\text{ und }(y,x)\in\rho)\end{gathered}$$

  wird eine Äquivalenzrelation auf $A$ definiert.

• (b) Für $x\in A$ sei $[x]\in A/{\sim}$ die Äquivalenzklasse von $x$ bezüglich $\sim$ . Durch

  $$\begin{gathered}\displaystyle\preceq[y]\quad\Longleftrightarrow\quad(x,y)\in\rho\end{gathered}$$

  wird eine Ordnungsrelation auf $A/{\sim}$ definiert.

Antworten zu den Selbstfragen

Antwort 1.1

Offensichtlich ist $A$ hinreichend für $B$; denn, wenn die Zahl durch 12 teilbar ist, ist sie sicher auch durch 3 teilbar. Also ist die Implikation $A\Rightarrow B$ wahr. Das bedeutet gleichzeitig, dass $B$ eine notwendige Bedingung für $A$ ist.

Genauso ist $A$ hinreichend für $C$ und somit $C$ notwendig für $A$. Bei der Beziehung zwischen $B$ und $C$ beobachten wir, dass $B$ sowohl notwendig als auch hinreichend für $C$ ist. Diese Beziehung zwischen Aussagen wird äquivalent genannt, wie wir noch sehen werden.

Antwort 1.2

$$\begin{gathered}\displaystyle\begin{array}[]{c|c||c||c|c|c}A&B&A\Leftrightarrow B&A\Rightarrow B&B\Rightarrow A&(A\Rightarrow B)\\ &&&&&\wedge\,(B\Rightarrow A)\\ \hline w&w&w&w&w&w\\ w&f&f&f&w&f\\ f&w&f&w&f&f\\ f&f&w&w&w&w\end{array}\end{gathered}$$

Antwort 1.3

Es gilt

$$\begin{aligned}\displaystyle A\subseteq B\ \Leftrightarrow\ \forall\,x\in A:\ x\in B\end{aligned}$$

und

$$\begin{aligned}\displaystyle A\subsetneqq B\ \Leftrightarrow\ (\forall\,x\in A:\ x\in B)\,\wedge\,(\exists\,y\in B:\ y\notin A)\,.\end{aligned}$$

Antwort 1.4

Es sind jeweils die zwei Implikationen $\Rightarrow$ und $\Leftarrow$ zu zeigen. Beim Nachweis von $\Rightarrow$ wird die Aussage links davon vorausgesetzt und die Aussage rechts davon begründet, bei Nachweis von $\Leftarrow$ ist es genau umgekehrt:

• (i) $\Rightarrow$: $A\,{\cup}\,B\,{=}\,\{x\,|\,x\,{\in}\,A\vee x\,{\in}\,B\}\,{=}\,\{x\,|\,x\,{\in}\,B\}\,{=}\,B$.

  $\Leftarrow$: $x\in A\Rightarrow x\in B$.

• (ii) $\Rightarrow$: $A\,{\cap}\,B\,{=}\,\{x\,|\,x\,{\in}\,A\wedge x\,{\in}\,B\}\,{=}\,\{x\,|\,x\,{\in}\,A\}\,{=}\,A$.

  $\Leftarrow$: $x\in A\Rightarrow x\in B$.

• (iii) $\Rightarrow$: $A\setminus B=\{x\,|\,x\in A\,\wedge\,x\notin B\}=\emptyset$.

  $\Leftarrow$: $x\in A\Rightarrow x\in B$.

Antwort 1.5

Ist $X=\{x_{1},\ldots,x_{n}\}$, so gilt für jedes $f\in Y^{X}$

$$\begin{gathered}\displaystyle f=\{(x_{1},f(x_{1}))\,\ldots,(x_{n},f(x_{n}))\}\,.\end{gathered}$$

Für jedes $f(x_{i})$ hat man $|Y|$ viele Möglichkeiten, damit gibt es genau $|Y|^{n}$ verschiedene Abbildungen $f$ von $X$ in $Y$.

Antwort 1.6

Z. B. $f:\mathbb{R}{}\to{}\mathbb{R}$, $f(x)=x^{2}$. Die Restriktion $f|_{\mathbb{R}_{\geq}0}$ der Funktion $f$ auf die nichtnegativen reellen Zahlen hat dasselbe Bild wie $f$.

Antwort 1.7

Aus $f(n)=f(m)$ folgt $n-1=m-1$ und somit $n= m$. Damit ist $f$ injektiv. Ist $n\in\mathbb{N}$ beliebig, so gilt mit $n+1\in\mathbb{N}$ offenbar $f(n+1)=n$. Damit ist $f$ auch surjektiv. Schließlich ist $f$ bijektiv.

Antwort 1.8

Der Graph $G_{f}$ einer Abbildung $f$ ist eine linkstotale Relation, da es zu jedem $x\in X$ ein $y\in Y$ mit $(x,y)\in G_{f}$ gibt – das $x$ steht links. Der Graph ist rechtseindeutig, da es zu jedem $x\in X$ genau ein $y\in Y$ mit $(x,y)\in f$ gibt – das $y$ steht rechts.

Bei einer injektiven Abbildung $f$ ist für jedes $y\in Y$ das $x\in X$ mit $(x,y)\in G_{f}$ eindeutig bestimmt – das $x$ steht links. Bei einer surjektiven Abbildung $f$ gibt es zu jedem $y\in Y$ ein $x\in X$ mit $(x,y)\in G_{f}$ – das $y$ steht rechts.

Antwort 1.9

Nein, z. B. sind die beiden natürlichen Zahlen $3$ und $7$ nicht miteinander vergleichbar, es gilt weder $3\mid 7$ noch $7\mid 3$.

Antwort 1.10

Jeder Mensch hat genauso viele Kopfhaare wie er selbst, d. h., $m\sim m$ für jedes $m\in M$. Und wenn $m_{1}$ genauso viele Kopfhaare wie $m_{2}$ hat, so hat $m_{2}$ genauso viele wie $m_{1}$, d. h. $m_{1}\sim m_{2}\Rightarrow m_{2}\sim m_{1}$. Analog begründet man $m_{1}\sim m_{2}$ und $m_{2}\sim m_{3}$ impliziert $m_{1}\sim m_{3}$. In der Äquivalenzklasse

$$\begin{gathered}\displaystyle_{\sim}=\{n\in M\,|\,m\sim n\}\end{gathered}$$

liegen all jene Menschen, die gleich viele Kopfhaare haben wie $m$.