Die Zahl e

Neben π ist die Euler′sche Zahl e die bekannteste Konstante der Mathematik. Vor allem in der Infinitesimalrechnung ist sie häufig zu finden, da sie die einzige bekannte Funktion ist, bei der Ausgangsfunktion, Ableitung und Integral identisch sind. Ihre Darstellung gestaltet sich schwierig, da sie sich als irrationale Zahl nicht als Bruch schreiben lässt. Sie lässt sich auch nicht als Lösung einer Polynomgleichung darstellen, was sie zu einer tranzendenten Zahl macht. Daher ist es notwendig, einen anderen Weg zu finden, um e darzustellen.

Warum ist e so wichtig?

Bevor wir uns mit der Herleitung der Zahl e näher beschäftigen, wollen wir klären, warum die Zahl e so wichtig in der Mathematik ist. Zum einen ist e die einzige Funktion, bei der Ableitung, Stammfunktion und Ausgangsfunktion identisch sind. Der Wert von e wird in vielen mathematischen Formeln, wie die Beschreibung einer exponentiellen Zunahme oder Abnahme von Wachstum oder Zerfall (inklusive Zinseszins), der Glockenkurve in der Statistik, der Form eines hängenden Kabels oder einem stehenden Bogen, gefunden. e zeigt sich auch in einigen Problemen der Wahrscheinlichkeitsrechnung und der Primzahlenverteilung.

Auf dem Gebiet der Werkstoffprüfung im Ingenieurswesen wird in den Formeln, wie sie z.B. in den Formeln der Ultraschalldämpfung verwendet werden, reger Gebrauch der Zahl e gemacht. Die Schallenergie zerfällt mit zunehmender Entfernung von der Schallquelle um einen Faktor, bezogen auf e. Weil die Zahl e mit einer gewissen Häufigkeit in der Welt um uns herum auftritt, wird sie auch als Basis des natürlichen Logarithmus verwendet. Auch trigonometrische und hyperbolische Funktionen lassen sich als e-Funktion schreiben.

Herleitung mit Erklärung

Nehmen wir an, wir zahlen € 1 auf ein Konto auf der Bank ein, das einen Zinssatz von 100% hat. Die Formel für die Berechnung von Zins und Zinseszins für ein Startkapital von K₀ bei einem Zinssatz von p für einen Zeitraum n lautet:

Für die Anlage eines einzigen Euro wäre dies also:

Gehen wir davon aus, dass uns unsere Bank sehr großzügige Konditionen einräumt. Unser Geld verdoppelt sich in einem Jahr. Wir erhalten also einen Zinssatz p von 100%. Nach einem Jahr, haben wir demnach € 2. Doch wie man an der Grafik sehen kann, erhalten wir all unsere Zinsen am letzten Tag des Jahres. Das entspricht nicht der Realität. Schauen wir einmal genauer hin und teilen das Jahr (12 Monate) durch zwei. Wir erhalten jetzt zwei mal sechs Monate. In diesem Fall erhalten wir alle sechs Monate 50% Zinsen. Dies entspricht der Formel

Wir erhalten aber nicht nur Zinsen auf unseren ursprünglichen Euro, sondern auch auf die € 0,50 die nach sechs Monaten angefallen sind. Die Pfeile in der Grafik geben an, wie das Geld erwirtschaftet wurde:

1. Wir fangen mit 1 Euro an
2. Nach sechs Monaten hat unser Euro bereits € 0,50 Zinsen eingebracht. Ein roter Pfeil geht vom Starteuro zu den € 0,50 bei sechs Monaten. Gleichzeitig bleiben die ursprünglichen € 0,50 erhalten (horizontale Pfeile). Die Summe beider Beträge ergibt € 1,00 (in rot, nach 12 Monaten).
3. Nach einem Jahr hat sich einiges getan: unser Starteuro hat wieder € 0,50 für uns verdient. Aber auch die € 0,50 von davor haben € 0,25 erwirtschaftet. Zusammen haben wir € 2,25.

Wir haben jetzt, bei zwei Verzinsungen mit je 50%, € 2,25 nach einem Jahr auf unserem Konto. Damit haben wir € 1,25 verdient. Das ist mit € 0,25 etwas mehr, als wir bei einer einzigen Verzinsung mit 100% hatten.

Doch was passiert, wenn wir die Verzinsungsinvervalle noch weiter erhöhen? Wir teilen jetzt 12 Monate durch drei und erhalten nun alle vier Monate 33% (genau gesagt: \( \frac{100}{3}%= 33,\overline{3}% \)).

Wir beginnen wieder mit einem Euro. Dank drei Auszahlungen und dem Zinseszinseffekt haben wir am Ende des Jahres knapp € 2,37 zusammen. Wir haben also € 1,37 verdient. Das ist wieder mehr als bei nur zwei Auszahlungen. Allerdings ist die Differenz nicht mehr so groß wie zuvor, als wir mit zwei Auszahlungen pro Jahr rechneten.

Was passiert, wenn wir uns das Geld in immer kleiner werdenden Abständen auszahlen lassen? Können wir unendlich viel verdienen, indem wir die 100% unendlich oft aufteilen und uns unendlich oft auszahlen lassen?
Nein, leider nicht. Es gibt eine Grenze, und genau diese Grenze ist e! Genau wie die Lichtgeschwindigkeit die kosmische Geschwindigkeitsbegrenzung ist, gibt e das maximal mögliche Wachstum von 100% an.

e näherungsweise bestimmen

Mit der Formel

können wir uns anschauen, was passiert, wenn die Anzahl der Verzinsungen von 100% immer größer wird. Was passiert, wenn wir jeden Monat, jeden Tag, jede Sekunde oder noch häufiger unseren Euro verzinsen?

Je größer n wird, desto näher kommen wir e! Bei solch großen Werten von n ist es erstaunlich, dass der Schweizer Mathematiker Leonard Euler bereits 1748 als erster die Zahl e auf 23 Nachkommastellen berechnet hat. e wird daher auch mathematisch mit Hilfe des Grenzwertes definiert, und zwar so:

n nähert sich immer weiter dem Unendlichen. Je größer n wird, desto weniger weicht der errechnete Wert vom tatsächlichen Wert e ab. Die Tabelle links zeigt, wie sich die Formel für große Werte von n verhält. Die unterstrichenen Zahlen stimmen mit dem tatsächlichen Wert von e überein. Aktuell (2012) sind 1.000.000.000.000 Nachkommastellen von e bekannt.