Dans cet article, nous verrons le livre Leçons De Géométrie IV Semestre Géométrie Différentielle Volume 1 par M. Postnikov.

À propos du livre

Ce livre continue les Variétés différentiables *). 11 s’agit d’un autre manuel (plus complet que le cours de géométrie qu’on lit aujourd’hui) à l’intention des étudiants en mathématiques des Universités. Dans la préface des Variétés différentiables, nous avons suffisamment parlé du but général de la série. Ce but reste toujours le nôtre, mais cet ouvrage diffère un peu des volumes déjà parus. Le fait est que l’enseignement de la géométrie dans les Universités soviétiques ne repose sur aucun principe directeur, ou peu s’en faut. Tandis que l’analyse a, par exemple, pour elle la tradition tant en ce qui concerne les manuels qu’en matière des conférences, les géomètres nagent complètement : quels matériaux inclure dans le programme ? comment les enseigner ? comment les exposer ? Ce n’est qu’après avoir bien «rodé» plusieurs manuels conçus dans des optiques différentes qu’un professeur peut fixer délibérément le contenu et le style même de son cours. Pour l’instant, tout manuel doit servir à de nombreux cours obligatoires différemment orientés, ce qui en augmente sensiblement le volume. Par contre, il laisse aux enseignants une grande liberté de manoeuvre, et les esprits éveillés en tirent beaucoup plus qu’ils n’apprennent pendant la leçon. concret du livre. Aussi nous nous bornons à de brefs commentaires. La Première leçon est une sorte d’introduction dont on n’a en fait besoin que lorsqu’on a affaire aux fibrés principaux. Mais la négliger complètement, c’est se priver d’une vue d’ensemble de la question et rétrécir son horizon. Nous conseillons de la passer en première lecture pour y revenir chaque fois que la nécessité s’en fait sentir.

Les leçons 2 à 5 sont consacrées aux revêtements et au groupe fondamental. L’exposé y est concentrique, si bien qu’on peut omettre la leçon 5, voire se borner aux leçons 2 et 3, car dans chaque cas, on reçoit une information plus ou moins exhaustive. (C’est également vrai pour certaines leçons suivantes.) Dans la leçon 6, on introduit les fibrés vectoriels, thème numéro un du livre. On peut commencer par cette leçon, mais on ne saurait s’en passer.

La leçon 7 illustre la réduction du groupe structural d’un fibré vectoriel par l’exemple des fibrés métrisables. Dans la leçon 8, on examine les variétés différentiables qui admettent une structure presque complexe et on établit en particulier les valeurs de n pour lesquelles une sphère de dimension n est presque complexe ou parallélisable. La réduction du groupe structural dans le cas général est étudiée dans la leçon 9 et on introduit à ce propos la notion do géométrie de Klein.

On aborde la géométrie différentielle proprement dite dans la leçon 10 (on l’a déjà dit d’ailleurs), où l’on définit géométriquement la connexion sur un fibré vectoriel en tant qu’une espèce do champ de sous-espaces horizontaux. On peut la lire immédiatement après la leçon 6.

La leçon 11 présente les dérivées covariantes dont on établit la correspondance biunivoque avec les connexions. Dans la leçon 12, on décrit le transport de la connexion ^ dérivation
covariante) d’un fibré vectoriel donné sur ses puissances tensorielle quelconques. L’auteur a voulu que ce transport précède la construction de la multiplication tensorielle (et en constitue la motivation). On considère certes, en plus de la multiplication tensorielle, les
foncteurs continus arbitraires. La notion de produit tensoriel de fibrés aidant, on introduit la différentielle covariante (début de la leçon 13). La partie restante de la leçon et deux leçons suivantes sont consacrées à la théorie des groupes de Lie. (Dans la pratique, on adjoint la fin de la leçon 14 à la leçon 15.)

Les leçons 16 et 17 familiarisent le lecteur avec les connexions sur les fibrés principaux qu’on compare ensuite avec celles sur les fibrés vectoriels. On les réduit aisément à une leçon et demie (voire à une seule) aux dépens des exemples et des explications détaillées. Dans la première partie de la leçon 18, on introduit le groupe d’holonomie et on démontre (moyennant les théorèmes généraux de la leçon 15) qu’il s’agit d’un groupe de Lie, puis qu’un fibré est réductible à son groupe d’holonomie. Lorsqu’il lit son cours, le professeur n’a pas à se soucier outre mesure de la rigueur ni des notations, si bien que les deux démonstrations sont rapides et faciles. La seconde partie de la leçon (qui n’est pas liée directement à la première) établit que chaque fibré vectoriel sur une variété séparée paracompacte admet au moins une connexion et qu’il est donc trivialisable au-dessus de tout voisinage sphérique.

Dans la leçon 19, on calcule le transport parallèle le long d’un lacet et on asseoit dessus la notion de tenseur de courbure. On discute d’autres définitions du tenseur. En omettant deux dernières parties, on peut lire cette leçon immédiatement après la leçon 11. La leçon 20 est centrée sur le problème d’exprimer les éléments du groupe d’holonomie à l’aide du tenseur de courbure. Une discussion heuristique est suivie du théorème d’Ambrose-Singer qui fournit la réponse voulue. A cet effet, on détermine le transport parallèle, la forme de courbure et le groupe d’holonomie pour les fibrés principaux quelconques.

Dans la leçon 21, un théorème d’existence des relèvements horizontaux (nécessaire au cas général d’Ambrose-Singer) est démontré pour les fibrés principaux quelconques. On discute une deuxième définition de la forme de courbure des connexions sur un fibré principal, l’identité de Bianchi et l ’équation de structure d’Elie Cartan. On expose enfin la construction quaternionique des instantons. Sur ce, on en finit au fond avec la géométrie différentielle, et on revient (après une brève incursion dans la théorie des champs de jauge de Yang-Mills) à la topologie (leçon 22). On présente la théorie des classes caractéristiques de Weyl (qu’on retrouve dans la leçon 23) qui s’inspire des principes de la géométrie différentielle, et les idées clefs de la théorie des /^-groupes. Dans la leçon 24, on prouve (avec des lacunes) le théorème d’Adams sur la parité de l’invariant de Hopf pour n ^ 2 , 4, 8 et on examine en détail ses divers homologues algébriques.

La leçon 25 étudie les fibres au-dessus des sphères. On introduit à ce propos les groupes d’homotopie. Dans la leçon 26, on calcule les groupes JTnSm» et on démontre un théorème de Hopf {application des variétés dans les sphères de meme dimension).

La leçon finale expose (avec force lacunes) un procédé de calcul des groupes des sphères et leur application au problème de l’invariant de Hopf.

L’Annexe in fine a été ajouté sur épreuves. Ce sont les leçons 6, 10, 11 et 19 qui constituent le coeur du livre. Le cours de géométrie (réduit à l’extrême) lu à la Faculté mécanicomathématique (voir préface des Variétés différentiables) se borue à ces leçons (et à une partie des leçons 5 et 12), après quoi on passe à la géométrie de Riemann. Nous répétons une fois de plus que la géométrie de Riemann et les questions afférentes feront l’objet du volume suivant.

Traduit du russe par Djilali Embarek

L’édition française a été publiée en 1994 par les éditions Mir.

Un grand merci à Henri Leveque pour le scan original.
Vous pouvez obtenir le livre ici.

(J’ai utilisé la traduction automatique, toutes mes excuses pour les erreurs.)
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