Le comportement du producteur
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Le choix de la combinaison travail /capital : comment produire ?

On appelle isoquante (ou courbe d’iso-produit), la représentation graphique de l’ensemble des combinaisons efficaces de facteurs de production (sur la fonction de production) permettant d’obtenir un niveau donné de production.
Cette courbe décrit la substituabilité qui peut exister entre le travail et capital pour la production d’une quantité donnée du produit.
Dans les hypothèses habituelles les isoquantes décrivent la combinaison productive dans un repère à deux dimensions comme sur le graphique de gauche.La courbe q représente toutes les combinaisons de n et de k qui telles {n1, k1} et {n2, k2} donnent une production égale à q. En conservant la même quantité de capital et en augmentant la quantité de travail, passant de {n2, k2} à {n1, k2} on obtient plus de produit : plus la courbe est à droite et haute, plus la quantité produite est grande.

L’isoquante joue, par rapport à la fonction de production, le même rôle que les courbes d’indifférence par rapport à une fonction d’utilité traitées dans le cours consacré au comportement du consommateur, les développements correspondants sont transposables (formes des courbes, pourquoi elles ne se coupent pas...).
On peut représenter dans le même repère la contrainte budgétaire du producteur. En ajoutant au coût du travail nw (quantité de travail x prix unitaire du travail) au coût de capital kr (quantité de capital x prix unitaire du capital) on connaît le coût total. Celui-ci est contraint par le budget :
CT = nw + kr ou encore n = (CT/w) - k (r/w)
qui est représentée par une droite dans ce diagramme (ici la droite bleue).

Toutes les combinaisons {n, k} placées sous la droite sont économiquement possibles (c'est le triangle vert). La meilleure pour le producteur est celle qui donne la production maximale. Il faut donc chercher la courbe isoquante la plus haute encore dans le triangle. C'est la courbe tangente à la droite de budget qui est la solution.

Au point de tangence les coefficients directeurs de la courbe et de la droite sont égaux. Celui de la droite c'est le rapport des prix des facteurs (r / w) celui de la courbe c'est le rapport des productivités marginales du capital et du travail (le taux marginal de substitution technique du capital au travail).

On retrouve le résultat attendu : la combinaison productive optimale est celle qui égalise le rapport des prix des facteurs et celui des productivités marginales de ces facteurs.

Sachant que le prix unitaire du travail, w, et le prix unitaire du capital, r, le budget total, CT, sont donnés, qelle combinaison productive q = f (n,k) rend maximum la production q sous la contrainte d'un budget donné CT = nw + rk ?

La méthode de Lagrange permet de résoudre ce programme et le lagrangien s'écrit :

L = f (n,k) - λ (CT - nw - rk)

Les conditions du premier ordre sont :
f ' n - λw =0
f ' k - λr =0
CT - nw - rk = 0

Les deux premières conditions permettent d'écrire que la solution n et k correspondant à l'optimum est telle que f ' n / w = f ' k / r

La combinaison productive est optimale quand le rapport des prix des facteurs est égal au rapport des productivités marginales de ces facteurs.