Kegelschnitte

7. Kegelschnitte

Nachdem wir die verschiedenen Typen von Quadriken klassifiziert haben, wollen wir jetzt den Zusammenhang zwischen diesen geometrischen Objekten in der Ebene

$\footnotesize{\mathbb{R}^2}$ und im dreidimensionalen Raum

$\footnotesize{\mathbb{R}^3}$ beleuchten. Wir sehen, dass sich die Quadriken der Ebene als Schnitte von Ebenen mit einem Kreiskegel im dreidimensionalen Raum ergeben

Ein Kreiskegel im euklidischen Raum $\footnotesize{\mathbb{R}^3}$ lässt sich durch die quadratische Gleichung

$\qquad\footnotesize{x_1^2+x_2^2-x_3^2=0}$

beschreiben. Schneiden wir diesen Kreiskegel etwa mit der Ebene, die durch $\footnotesize{x_3=r}$ mit einer fixierten positiven reellen Zahl $\footnotesize{r}$ definiert ist, so ergibt sich durch Einsetzen in der Kreiskegelgleichung die Gleichung

$\qquad\footnotesize{x_1^2+x_2^2=r^2}$ .

Diese beschreibt bekanntlich einen Kreis vom Radius $\footnotesize{r}$ mit Mittelpunkt im Ursprung in der $\footnotesize{x_1x_2}$ -Ebene. Also ist die Schnittkurve unseres Kegels mit besagter Ebene eben dieser Kreis. Wählen wir statt $\footnotesize{x_3=r}$ eine etwas geneigte Ebene, so ergeben sich Ellipse bzw. Parabel als Schnittkurven, wobei die Parabel genau dann entsteht, wenn die Winkel bei Ebene und Kegel übereinstimmen (siehe nachstehende Abbildungen).

Kegelschnitt Ellipse

Kegelschnitt Hyperbel

Schneiden wir hingegen mit einer Ebene $\footnotesize{x_2=r}$ , wobei $\footnotesize{r\geq 0}$ sei, so folgt nach Umstellen die Gleichung

$\qquad\footnotesize{x_3^2-x_1^2=r^2}$ ;

damit ist die Schnittkurve in diesem Fall ein Geradenpaar (wenn $\footnotesize{r=0}$ ) oder eine Hyperbel (wenn $\footnotesize{r\neq 0}$ ; siehe nachstehende Abbildung).

Kegelschnitt Parabel

Folgender zentraler Satz besagt, dass wir sämtliche Quadriken der Ebene (bis auf Ähnlichkeit) als Schnitte von Ebenen mit einem Kreiskegel im dreidimensionalen Raum realisieren können. Aus diesem Grund nennt man die Quadriken der Ebene auch Kegelschnitte.

Satz 7.1
Die Schnittkurve

$\footnotesize{Q\cap E}$ einer Quadrik

$\footnotesize{Q\subset \mathbb{R}^3}$ mit einer Ebene

$\footnotesize{E}$ ist kongruent zu einer Quadrik

$\footnotesize{Q'\subset \mathbb{R}^2}$ (also einem Kegelschnitt). Ist

$\footnotesize{Q}$ ein Kreiskegel, so existiert zu jedem Kegelschnitt

$\footnotesize{Q'}$ eine Ebene

$\footnotesize{E}$ , so dass

$\footnotesize{Q'}$ ähnlich zu der Schnittkurve

$\footnotesize{Q\cap E}$ ist.

Ellipsen treten beispielsweise auch als Schnittkurven einer Ebene mit Ellipsoiden, elliptischen Paraboloiden, ein- oder auch zweischaligen Hyperboloiden oder elliptischen Zylindern auf, jedoch nicht als Schnitt einer Ebene mit etwa einem hyperbolischen Zylinder. Die einzige Quadrik im $\footnotesize{\mathbb{R}^3}$ , die alle drei Kegelschnitte, also Ellipse, Hyperbel und Parabel, als Schnittkurve mit einer geeigneten Ebene liefert, ist der Kegel.

Obiger Satz lässt sich in analoger Weise auch für den Fall von mehr als dreidimensionalen Kegeln formulieren.

Abschließend diskutieren wir nun die Frage, wieviele Punkte einen Kegelschnitt eindeutig festlegen. Wir erinnern uns, dass zwei Punkte genügen, um eine Gerade durch ebendiese zwei Punkte eindeutig festzulegen. Mit ein wenig mehr Mühe zeigt sich, dass drei Punkte, welche nicht auf einer Geraden liegen, eindeutig einen Kreis definieren. Darüberhinaus gilt

Satz 7.2 Fünfpunktesatz
Durch fünf Punkte einer Ebene, von denen keine vier kollinear sind, gibt es immer einen Kegelschnitt. Ferner existiert zu gegebenen paarweise verschiedenen fünf Punkten einer Ebene, von denen keine drei auf einer Geraden liegen, ein eindeutiger Kegelschnitt durch diese fünf Punkte.

Dieser Idee liegt auch das Global Positioning System (GPS) zugrunde, welches die Navigation (etwa mit Autos) erleichtert.