Systemphysik (Version 4)

Werner Maurer

Dieses Dokument enthält die ersten neun Kapitel meines Lese- und Lehrbuches zur Physik der dynamischen Systeme. Jede Rückmeldung ist herzlich willkommen!

Werner Maurer Systemphysik für Naturwissenschaftlerinnen und Ingenieure     Analysieren, Modellieren und Simulieren Bilanzen, Strukturen und Gesetze Energie und ihre Formen Systeme, Elemente und Relationen Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 2 3 4 Panta rhei ................................................................................................................................................ 9 1.1 Das grosse Uhrwerk .................................................................................................................. 10 1.2 Deterministisches Chaos ......................................................................................................... 12 1.3 Gravitationsfeld ......................................................................................................................... 14 1.4 Gravitationsprozess................................................................................................................... 15 1.5 Bilanz............................................................................................................................................ 17 1.6 Felder ........................................................................................................................................... 19 1.7 Systemdynamik .......................................................................................................................... 21 1.8 Modelica ...................................................................................................................................... 22 Hydrodynamik ..................................................................................................................................... 24 2.1 Hydraulischer Widder............................................................................................................... 25 2.2 Volumenbilanz ............................................................................................................................ 26 2.3 Druck als Energiebeladung ...................................................................................................... 28 2.4 Strömungswiderstand ............................................................................................................... 30 2.5 Speicher ....................................................................................................................................... 32 2.6 Induktivität.................................................................................................................................. 34 2.7 Systemdynamische Modelle .................................................................................................... 36 2.8 Modelica: Hydrodynamik ......................................................................................................... 38 Thermodynamik................................................................................................................................... 39 3.1 Wärmepumpe............................................................................................................................. 40 3.2 Entropie als Wärmestoff .......................................................................................................... 40 3.3 Temperatur als Energiebeladung ............................................................................................ 42 3.4 Wärmeleitung ............................................................................................................................. 44 3.5 Wärmespeicher .......................................................................................................................... 45 3.6 Ideales Gas .................................................................................................................................. 48 3.7 Kreisprozesse ............................................................................................................................. 52 3.8 Systemdynamische Modelle .................................................................................................... 57 3.9 Modelica: Thermodynamik ...................................................................................................... 60 Elektrodynamik .................................................................................................................................... 62 4.1 Zündspule ................................................................................................................................... 63 4.2 Ladung und Strom ..................................................................................................................... 64 4.3 Spannung und Leistung ............................................................................................................ 66 4.4 Widerstand ................................................................................................................................. 68 4.5 Kapazität ..................................................................................................................................... 70 4.6 Induktivität.................................................................................................................................. 74 4.7 Wechselspannung ..................................................................................................................... 76 4.8 Transformator ............................................................................................................................. 78 Inhaltsverzeichnis 4.9 Drehstrom ................................................................................................................................... 80 4.10 Systemdynamische Modelle .................................................................................................... 81 4.11 Modelica: Elektro ....................................................................................................................... 82 5 Translationsmechanik......................................................................................................................... 83 5.1 Zugfahrt ....................................................................................................................................... 84 5.2 Impuls und Energie .................................................................................................................... 84 5.3 Mechanischer Prozess .............................................................................................................. 87 5.4 Impulsstrom und Kraft.............................................................................................................. 88 5.5 Leistung und Arbeit ................................................................................................................... 89 5.6 Reibung ........................................................................................................................................ 91 5.7 Kinematik .................................................................................................................................... 94 5.8 Dämpfer und Federn ................................................................................................................. 96 5.9 Gravitation .................................................................................................................................. 98 5.10 Lift und Zug ............................................................................................................................. 100 5.11 Systemdynamische Modelle ................................................................................................. 103 5.12 Modelica: Translation ............................................................................................................. 106 6 Rotationsmechanik .......................................................................................................................... 108 6.1 Gas-Dampf-Kraftwerk ........................................................................................................... 109 6.2 Drehimpuls............................................................................................................................... 109 6.3 Pirouette................................................................................................................................... 110 6.4 Drehbewegung........................................................................................................................ 111 6.5 Rotierende Bezugssysteme .................................................................................................. 112 6.6 Drehimpulsstrom .................................................................................................................... 115 6.7 Hebelgesetz ............................................................................................................................. 117 6.8 Drehimpulsstromleiter........................................................................................................... 118 6.9 Bewegung in der Ebene ........................................................................................................ 119 6.10 Rollbewegung .......................................................................................................................... 121 6.11 Eigen- und Bahndrehimpuls ................................................................................................. 123 6.12 Physisches Pendel .................................................................................................................. 124 6.13 Drehimpuls Erde-Mond ......................................................................................................... 125 6.14 Systemdynamische Modelle ................................................................................................. 126 6.15 Modelica: Rotation ................................................................................................................. 127 7 Bewegung im Raum ......................................................................................................................... 129 7.1 Skispringen............................................................................................................................... 130 7.2 Bewegungsmengen ................................................................................................................ 130 7.3 Kapazitivgesetze ..................................................................................................................... 131 7.4 Energie ...................................................................................................................................... 134 7.5 Kinematik ................................................................................................................................. 136 7.6 Fussball ..................................................................................................................................... 139 Inhaltsverzeichnis 7.7 Flugzeug ................................................................................................................................... 140 7.8 Achterbahn .............................................................................................................................. 142 7.9 Schaukel ................................................................................................................................... 144 7.10 Kraftfahrzeuge ........................................................................................................................ 145 7.11 Zugvögel ................................................................................................................................... 147 8 Statik ................................................................................................................................................... 150 8.1 Einsturzgefahr ......................................................................................................................... 151 8.2 Seilbrücken .............................................................................................................................. 152 8.3 Fachwerke ................................................................................................................................ 153 8.4 Bogenbrücken ......................................................................................................................... 154 8.5 Balken ....................................................................................................................................... 156 8.6 Dachstühle ............................................................................................................................... 158 8.7 Impulsstromdichte .................................................................................................................. 160 8.8 Drehimpulsstromdichten ...................................................................................................... 162 8.9 Balken und Platten ................................................................................................................. 165 8.10 Schnitt- und Impulsstrombild ............................................................................................... 170 9 Offene Systeme ................................................................................................................................ 173 9.1 Blackbird................................................................................................................................... 174 9.2 Energietransport ..................................................................................................................... 175 9.3 Impulstransport....................................................................................................................... 176 9.4 Impulsbilanz ............................................................................................................................. 180 9.5 Strahltriebwerk ....................................................................................................................... 181 9.6 Rakete ....................................................................................................................................... 183 9.7 Windturbinen .......................................................................................................................... 186 9.8 Propeller ................................................................................................................................... 189 9.9 Wasserturbinen....................................................................................................................... 192 9.10 Systemdynamische Modelle ................................................................................................. 193 10 Elektromagnetismus ........................................................................................................................ 196 10.1 Gravitationsfeld ...................................................................................................................... 196 10.2 Elektrisches Feld ..................................................................................................................... 196 10.3 Magnetisches Feld.................................................................................................................. 196 10.4 Induktionsgesetz..................................................................................................................... 196 10.5 Elektromagnetisches Feld ..................................................................................................... 196 10.6 Elektromagnetisches Feld ..................................................................................................... 196 10.7 Strahlung .................................................................................................................................. 196 10.8 Relativitätstheorie .................................................................................................................. 197 10.9 Energie und Impulstransport ................................................................................................ 197 11 Quanten.............................................................................................................................................. 198 11.1 Qubit ......................................................................................................................................... 198 Inhaltsverzeichnis 11.2 Verschränkung ........................................................................................................................ 198 11.3 Zustände................................................................................................................................... 198 12 Anhang ................................................................................................................................................ 199 12.1 Theorien ................................................................................................................................... 199 12.2 Modelica ................................................................................................................................... 211 13 Referenzen ......................................................................................................................................... 212 13.1 Literatur .................................................................................................................................... 212 13.2 Video ......................................................................................................................................... 212 13.3 Bilder ......................................................................................................................................... 215 14 Impressum .......................................................................................................................................... 221 Panta rhei Vorrede „Physik? Wolltest Du nicht Mechaniker werden?“ fassungslos liess mein Vater das Beil zu Boden gleiten. Nicht dass er etwas gegen Akademiker gehabt hätte, er wusste einfach nicht, was Physik ist. Mit der Arbeit in der Nagelfabrik und einem grossen Gemüsegarten kümmerte er sich um das Überleben seiner sechsköpfigen Familie und nicht um das Fundament der Schöpfung. Düsenflugzeuge oder Mondraketen waren ihm ein Begriff. Er bewunderte auch die Ingenieure, die so etwas bauen können. Aber dass es Leute gibt, die ein Leben lang einer Weltformel nachrennen, war für ihn schlichtweg nicht nachvollziehbar. Gerne hätte ich ihm erklärt, was mich zu diesem Entschluss getrieben hat. Doch Visionen lassen sich nur schwer kommunizieren und die zwei Obstbäume mussten bis Sonnenuntergang gefällt sein. Zehn Jahre später, nach einer Lehre als Mechaniker, widerwillig absolviertem Militärdienst und einer nachgeholten Matura durfte ich endlich mein Physikstudium an der ETH in Zürich aufnehmen. Gross war die Enttäuschung über das dort Gebotene. Statt der erwarteten Diskussion über das Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon, die ominöse Raum-Zeit-Drehung oder Schrödingers halbtote Katze gab’s zuerst einmal viel Mathematik und ausgedehnte Abschreibübungen. Zudem fehlte mir die Leichtigkeit, mathematische Strukturen zu erfassen und kreativ zu verändern. Experimentalphysik war auch keine Option, da hätte ich nach der Lehre direkt ans Technikum gehen können. In dieser ziemlich hoffnungslosen Situation musste mich Fortuna geküsst haben. Ich lernte eine wunderbare Frau kennen, wir bekamen bis zum Studienabschluss zwei Söhne, das Technikum Winterthur bot mir für ein Semester einen Lehrauftrag an und vermittelte eine kleine Anstellung an der Kantonsschule. Von Physik, so wie ich es mir gewünscht hatte, verstand ich immer noch nichts. Die Quantenmechanik empfand ich als mathematisches Geschwurbel ohne philosophisches Fundament und von der Relativitätstheorie wusste ich gerade mal, wie man die LorentzTransformation anwendet. Immerhin hatte ich verstanden, was mit der Raum-Zeit-Drehung gemeint war und wie man das EPR-Paradoxon mathematisch korrekt formuliert. „Ihr Physiker seid alles Eunuchen. Ihr wisst wohl wie es geht, aber ihr könnt nicht!“ Dies war einer der ersten Sprüche, den ich am Technikum Winterthur von einem Ingenieur-Kollegen zu hören bekam. Diesem Vorwurf, an dem, wie ich erst später bemerkte, viel Wahres dran war, durfte ich nicht widersprechen. Als semesterweise ernannter Lehrbeauftragter mit reduziertem Pensum und einer vierköpfigen Familie konnte ich mir keinen Konflikt mit einem gewählten Hauptlehrer leisten. Ein weiterer Kollege, Hauptlehrer und nur wenig älter als ich, überraschte mich mit frischen Ideen aus Karlsruhe. Impuls, Drehimpuls und sogar die nicht fassbare Entropie sollen intuitiv vorstellbare Mengen sein, die gespeichert und transportiert werden. In Gebäuden, Brücken und sogar in unserem Körper soll Impuls vom Gravitationsfeld zu- und dann über den Boden wegfliessen. Sein Vergleich mit dem elektrischen Strom im Nullleiter schien mir überhaupt nicht schlüssig. Der Strom im Nullleiter wird von Elektronen gebildet, die sich gut vorstellbar in einem gerichteten Irrlauf durch die Atomrümpfe zwängen. Inhaltsverzeichnis Seite 6 von 221 Panta rhei Hans U. Fuchs, der Kollege mit den Ideen aus Karlsruhe, verfügt über ein paar herausragende Fähigkeiten wie exzellentes Englisch oder schnelles Auffassungsvermögen. Beeindruckend ist, wie zielgenau er komplexe Zusammenhänge in glaubwürdige Bilder ummünzen kann. Auf seinen Rat hin prüfte ich einige der Karlsruher Ideen und liess mich mehr und mehr überzeugen. Wieso sollte der Impuls nicht durch die Seile einer Hängebrücke fliessen können? Schliesslich fliesst die elektrische Ladung ebenfalls energiefrei durch den Nullleiter. Nach einigen Monaten war mir auch klar, dass das gängige Bild mit den Elektronen mehr Schaden anrichtet als Nutzen bringt. Wie verdorben meine erste Klasse war, merkte ich erst im vierten Semester, als ich einen der besten Studenten im Praktikum gefragt habe, wie die Energie im Gleichstromkreis von der Batterie zur Glühbirne transportiert wird. Seine Antwort, dass sich die Elektronen im rot isolierten Draht schneller bewegen als im schwarz ummantelten, war für mich das Fanal, den Physikkurs aus Karlsruhe auf die Bedürfnisse einer Ingenieurschule zu adaptieren. Die Umsetzung dauerte Jahrzehnte, nicht wegen den unerwartet heftigen Anfeindungen einiger Kollegen, sondern wegen der Komplexität und den vielen zusätzlichen Ideen, die sich wie Bausteine eines Puzzles zu einem Ganzen fügten. Elemente der technischen Mechanik, der IngenieursThermodynamik, der Kontinuumsmechanik und sogar neue Aspekte der Relativitätstheorie hängten sich zwangslos an das tragende Gerüst, gebaut aus der Bilanz mengenartiger Grössen, den konstitutiven Gesetzen und der speziellen Rolle der Energie. Verwandte Ansätze wie die allgemeine Systembeschreibung der Regelungstechnik, die Bondgraphen oder das kraftflussgerechte Konstruieren erschienen als natürliche Erweiterung von dem, was wir den Studierenden im Grundlagenunterricht vermittelten. Dazu kommt die Systemdynamik (system dynamics), womit komplexe Systeme ohne umfassende Kenntnisse der Mathematik analysiert, modelliert, simuliert sowie anhand von Experimenten validiert werden können. Wer erlebt hat, wie ein gelernter Koch zusammen mit zwei Kollegen den Start eines Kleinflugzeugs simuliert und dann die Simulationsergebnisse mit GPS-Daten eines realen Flugs vergleicht oder wie eine ausgebildete Pflegefachfrau anhand des Temperatur-Entropie-Diagramms den inneren Wirkungsgrad eines Mantelstrahltriebwerks erklärt, wird von der Systemphysik begeistert sein. Dieses Lesebuch zur Systemphysik richtet sich an Ingenieure und Naturwissenschaftlerinnen, welche - wie ich vor vierzig Jahren - einen narrativen Zugang zu den Grundgesetzen der Natur suchen. Wortmodelle, Bilder und Analogien sollen die Vorherrschaft der Mathematik brechen und den Einstieg erleichtern. Dies bedeutet keinesfalls, dass die Gesetze verwässert oder die Zusammenhänge verschleiert werden. Im Gegenteil, sobald die Begriffe geklärt und die Grundlagen erörtert sind, wird rasch ein robustes und ausbaufähiges Modell erstellt, wobei die numerische Lösung vom Computer geliefert wird. Das verwendete Programm, Berkeley Madonna, kann problemlos durch ein alternatives, systemdynamisches Modellierungswerkzeug wie STELLA oder Vensim ersetzt werden. Die Modellierungsstrategie orientiert sich an der hier vorgenommenen Analyse dynamischer Systeme. Zuerst werden die Bilanzgleichungen der mengenartigen Grössen formuliert, danach die konstitutiven Gesetze und zuletzt die Energiebilanz eingefügt. In der Mechanik kommt noch die Kinematik mit ihren geometrischen Gesetzen dazu. Im letzten Schritt werden die gewonnen Erkenntnisse in einer Modelica-Bibliothek aufbereitet, so dass sie für den professionellen Inhaltsverzeichnis Seite 7 von 221 Panta rhei Einsatz zur Verfügung stehen. Modelica ist eine objektorientierte Modellierungssprache für komplexe, technische Systeme, welche 1997 erschienen und seither laufen weiterentwickelt worden ist. Die Strukturähnlichkeit zwischen Modelica und der Systemphysik ist unschwer zu erkennen. Diese Synergie gilt es in Forschung, Entwicklung und Anwendung zu nutzen. Wer auf Modelica setzt, kann aufbauend auf der Systemphysik und der darin enthaltenen systemdynamischen Modellierung die Ausbildung von Ingenieurinnen und Naturwissenschaftler revolutionieren. Dieses Buch, das etappenweise erscheinen wird, dient der Umsetzung einer Vision. Wer sich von der historischen Entwicklung gelöst hat und die Analogien aber auch die Unterschiede zwischen den verschiedenen Gebieten der Physik erkennt, kann ein weites Feld mit unzähligen Systemen finden, die es zu analysieren, modellieren, simulieren und validieren gilt. Wieso soll man sich mit einem durchs Vakuum fliegenden Stein beschäftigen, wenn doch der rotierende Fussball so viel interessanter ist? Ein paar Dogmen der gängigen Schulphysik müssen wir aufweichen oder ganz über Bord werden. Dazu gehört der Reduktionismus, wonach jedes System in möglichst einfache Einzelteile zerlegt werden muss, um die fundamentalen Ideen zu erkennen. Wer ein Gebäude in Backsteine, Holz, Kies, Zement und Farbe zerlegt, wird wohl kaum erkennen, wozu ein Haus gut sein soll. Ein zweites Vorurteil, das es abzubauen gilt, betrifft den Begriff Strom. Ein Strom beschreibt den Transport von einer oder mehreren Mengen, ohne dass in jedem Fall eine Bewegung festzustellen ist. Bewegte Mengen führen zu einem konvektiven Strom, unbewegte Transportprozesse bezeichnen wir als leitungsartig. Zur Rolle der Energie fällt mir ein nicht ganz stubenreiner Witz ein: auf die Frage nach einem möglichen Weihnachtsgeschenk antwortet klein Hans, dass er sich sehnlichst einen Tampon wünsche; er habe im Fernsehen gesehen, wie man mit diesem kleinen Ding schwimmen, Rad und sogar Ski fahren könne. Wir werden die Energie auf die Rolle einer Buchhalterin reduzieren. Energie kann als innere oder äussere Energie gespeichert, zusammen mit einer Menge transportiert und bei Prozessen von einer Menge auf die andere umgeladen werden. So gesehen gibt es weder eine Energieumwandlung, noch kann man irgendeinen Vorgang ausschliesslich mit der Energie erklären. Im ersten Kapitel wird kurz auf die historische Entwicklung der Mechanik eingegangen, was der Vorherrschaft dieses Gebiets geschuldet ist. Das zweite Kapitel legt mit der Hydrodynamik das Fundament für die andern Gebiete. Danach kann wahlweise mit der Thermodynamik, der Elektrodynamik oder der Mechanik weitergefahren werden. Das Kapitel offene Systeme beschreibt Vorgänge aus der Thermodynamik sowie der Mechanik. Das Kapitel zum Elektromagnetismus befasst sich mit der Idee des Feldes, einem Konzept, das in abgewandelter Form von der Quantenmechanik aufgenommen wird. Inhaltsverzeichnis Seite 8 von 221 Panta rhei 1 Panta rhei Alles fliesst - Heraklit beschreibt die Welt als fortwährender Stoff- und Formenwechsel. Trotzdem erfahren wir eine Kontinuität, an der wir uns mit unseren Sinnen orientieren können. Wie passt das wahrgenommene Sein mit dem darunter liegenden Werden zusammen? Die Physik löst dieses Dilemma mit universell geltenden Gesetzen, welche dem Chaos eine gewisse Ordnung aufzwingen. Elementarteilchen, nicht weiter zerlegbare, ununterscheidbare Partikel, sollen zudem die Regeln für den Aufbau der Materie vorgeben. Dummerweise hat die Suche nach den Urbausteinen eine unerwartete Vielfalt offenbart. Sechs Quarks, sechs Leptonen und zwölf für die Kräfte verantwortliche Eichbosonen sowie das für die Masse zuständige Higgs-Boson ergeben zusammen 25 Elementarteilchen. Unterscheidet man die Quarks entsprechend ihrer Farbladung sind es schon 37 Teilchen und zusammen mit den Antiteilchen kommt man sogar auf 61. Am andern Ende der Grössenskala geht die Wissenschaft ausgehend von der Allgemeinen Relativitätstheorie und gestützt durch unzählige Beobachtungen davon aus, dass sich unser Universum aus einem beliebig heissen Urzustand gebildet hat. Elementarteilchen, Atome, Moleküle, Sterne und Planeten, also die ganze Struktur wie wir sie heute kennen, ist durch einen fortgesetzten Kondensationsprozess gebildet worden. Neben den Gesetzen und der Struktur der Materie hat die Physik auch noch unzählige Grössen definiert, welche für die quantitative Beschreibung der Natur notwendig sind. Darunter befinden sich ein paar wenige, welche sich wie Mengen verhalten, also gespeichert und ausgetauscht werden können. Diese mengenartigen oder bilanzierfähigen Grössen bilden das tragende Gerüst der in diesem Buch dargelegten Systemphysik. In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit einigen Aspekten aus der Geschichte der Physik und machen auch mal einen kleinen Abstecher in die Philosophie und die Wissenschaftsgeschichte. Inhaltsverzeichnis Seite 9 von 221 Panta rhei 1.1 Das grosse Uhrwerk Aufbauend auf den Arbeiten von Galileo Galilei und den drei von Johannes Kepler formulierten Regeln für die Planetenbewegung hat Isaac Newton eine Theorie formuliert, mit der die zeitliche Entwicklung des ganzen Sonnensystems beschrieben werden kann. Die Newtonsche Mechanik benötigt nur wenige Gesetze, um die Position und die Geschwindigkeit aller Himmelskörper bis in die ferne Zukunft zu bestimmen. Dazu müssen Ort und Geschwindigkeit zu einem festen Zeitpunkt möglichst genau bekannt sein. Dem universellen Anspruch stellen sich ein paar praktische Problem entgegen, die noch zu diskutieren sind. Vorerst wollen wir uns mit der Struktur der Newtonschen Himmelsmechanik beschäftigen. Die Bühne besteht aus einem beliebig ausgedehnten Raum, der überall den Gesetzen Euklids gehorcht, dessen Geometrie uns wohlbekannt ist. Die Zeit vergeht überall gleich schnell, womit zwei noch so weit auseinander liegende Ereignisse entweder gleichzeitig sind oder das eine früher als das andere stattfindet. Raum und Zeit werden weder von der Verteilung der Materie noch von den laufenden Prozessen beeinflusst. Umgekehrt wirkt der Raum über das Trägheitsgesetz auf die Materie ein. Damit sind wir schon bei den grundlegenden Regeln dieser Mechanik. Newton benötigte nur drei Gesetze um das Bewegungsverhalten zu beschreiben.    Ein kräftefreier Körper bleibt in Ruhe oder bewegt sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit Kraft gleich Masse mal Beschleunigung Eine Kraft von Körper A auf Körper B geht immer mit einer gleich grossen, aber entgegen gerichteter Kraft von Körper B auf Körper A einher Inhaltsverzeichnis Das erste Gesetz, das Trägheitsprinzip, greift die Idee Galileis auf, wonach sich ein Körper, auf den keine Kraft einwirkt, bis in alle Zeiten mit konstanter Geschwindigkeit fortbewegt. Das zweite Gesetze, das Aktionsprinzip, stellt den Zusammenhang zwischen der Kraft als Ursache und der Beschleunigung als Wirkung her. Diese Kausalität erfolgt instantan, die aktuelle Kraft bestimmt die Beschleunigung ohne Zeitverzögerung. Wirken mehrere Kräfte auf einen Körper ein, müssen diese zu einer Summe, der resultierenden Kraft, zusammengefasst werden. Dabei sind die Kräfte als Vektoren, also nach Richtung und Betrag, zu addieren. Das dritte Gesetz, das Wechselwirkungsprinzip, erweitert den Kraftbegriff auf ein Ding zwischen zwei Körpern, das unabhängig von der Distanz eine gleichzeitige Gegenwirkung entfaltet. Die drei Bewegungsgesetze gelten für das ganze klassische Universum, müssen aber noch durch Kraftgesetze ergänzt werden, damit die Bewegung berechenbar wird. Newton hat für die Gravitation ein einziges Gesetz postuliert: die Gravitationskraft zwischen zwei Himmelskörpern ist proportional zum Produkt ihrer Massen und umgekehrt proportional zum Quadrat ihres Abstandes. Zudem ist die Wechselwirkung anziehend wie ein Gummiseil und die beiden Kräfte wirken parallel zur Verbindungslinie der beteiligten Himmelskörper. Dass die beiden Kräfte proportional zum Produkt der Massen sein müssen, folgt direkt aus dem Wechselwirkungsprinzip. Das Abstandsverhalten hat Newton aus den Keplerschen Regeln abgeleitet. Würde der zugehörige Exponent um ein klein wenig von zwei abweichen, würden die Planeten nicht auf elliptischen Bahnen um die Sonne fallen. Die rote Linie in Abbildung 1.1 zeigt die Bahn eines Satelliten, der auf einer Ellipse um die Sonne fällt. Die schwarze Linie wäre die Bahn, wenn der Exponent im Gravitationsge- Seite 10 von 221 Panta rhei setz gleich 1.95 wäre. Bei der blauen Linie ist der Exponent auf 2.05 gesetzt worden. Abbildung 1.1 Satellitenbahnen mit unterschiedlichen Exponenten im Gravitationsgesetz. Fügt man das Gravitationsgesetz ins Aktionsprinzip ein, kürzt sich die Masse des fraglichen Körpers weg. Damit erweist sich der Kraftbegriff in der Himmelsmechanik als überflüssig. Die Beschleunigung des Satelliten auf seiner Bahn um die Sonne hängt nur von deren Masse und dem aktuellen Abstand ab. Zudem erfahren alle mitgeführten Körper zu jeder Zeit die gleiche Beschleunigung wie der Satellit selber. Deshalb fühlt sich ein mitfliegender Mensch schwerelos. Im internationalen Einheitensystem SI werden Längen in Meter, die Zeit in Sekunden und die Masse in Kilogramm gemessen. Diese Festlegung bestimmt die Konstante, welche im Gravitationsgesetz den Zusammenhang zwischen Massen, Abstand und Kraft vermittelt. Rein theoretisch können wir die Position der Himmelskörper zum Zeitpunkt der Geburt von Isaac Newton, dem 4. Januar 1643, bestimmen. Betrachten wir dazu das System mit Sonne, Erde, Mond und den damals schon bekannten Planeten Merkur, Venus, Mars, Jupiter und Saturn, setzen diese auf die Position vom 25. Dezember 2021 12 Uhr UTC und geben ihnen die entsprechende Geschwindigkeit. Um diese Inhaltsverzeichnis Angaben zu spezifizieren, benötigen wir ein Koordinatensystem, dessen Nullpunkt mit dem Schwerpunkt all dieser Himmelskörper zusammenfällt und das gegenüber dem Fixsternenhimmel nicht rotiert. Die von der Erde aus gemessenen Positionen in diese Koordinaten umzurechnen, ist ziemlich aufwendig. Zudem sind Beobachtungsdaten immer fehlerbehaftet. Das Sonnensystem verhält sich im Modell von Newton wie ein riesiges Uhrwerk, dessen momentaner Zustand sich aus einem beliebig weit zurückliegenden ergibt. Diese Vorstellung, welche wir später relativieren müssen, hat ganze Generationen von Mathematikern, Philosophen und auch Theologen beflügelt. Die Mathematiker hofften, dass sie ihre Wissenschaft soweit entwickeln können, bis das zeitliche Verhalten des ganzen Sonnensystems berechenbar wird. Die Physiker versuchten die magnetischen und die elektrischen Kräfte mittels analoger Gesetze zu beschreiben, was für die Anziehung zwischen zwei geladenen Körpern auch gelang. Die Philosophen ordneten die ganze erfahrbare Umwelt der Newtonschen Theorie unter und stellten damit jegliche Entscheidungsfreiheit in Frage. Diese universelle Uhrwerkstheorie, materialistischer Determinismus genannt, beeinflusste viele philosophische Strömungen bis hin zum historischen Materialismus von Karl Marx und Friedrich Engels. Die Sonne besitzt 99.86% der Masse des gesamten Systems, womit ihr Schwerpunkt mit dem des Gesamtsystems praktisch zusammenfällt. Deshalb nahm Newton die Sonne als ruhend an und bestimmte vorerst nur Bewegung der Planeten und Kometen relativ zu diesem Zentralkörper. Wie schon Kepler erkannt hatte, beschreiben alle Himmelskörper elliptischen Bahnen. Schwieriger war die Antwort auf die Frage zu finden, wie der recht massive Jupiter seine Nachbarn beeinflusst. Die Gesetze waren gegeben, aber die Lösung Seite 11 von 221 Panta rhei der Gleichungen erwies sich als gar nicht trivial. Newton stellte ein paar interessante Überlegungen an, konnte aber nicht entscheiden, ob das Sonnensystem als Ganzes stabil bleibt oder im Chaos enden wird. Um dieses Dilemma zu lösen, bemühte er den lieben Gott, der dank seiner Schöpferkraft hin und wieder für Ordnung sorgen muss. Himmelskörper. Deshalb steht in Formel (1.1) ein Minuszeichen sowie ein Einheitsvektor (Abstandsvektor r geteilt durch seinen Betrag). Im SI nimmt die Gravitationskonstante G den folgenden Wert an Hundert Jahre später konnten die Mathematiker mit Hilfe der Störungsrechnung zeigen, dass sich die Planeten trotz gegenseitiger Beeinflussung nicht völlig aus der Bahn werfen. Der französische Mathematiker und Politiker Pierre-Simon Laplace war von seinen Lösungen derart überzeugt, dass er auf die Frage Napoleons, wieso Gott in seinem Buche nicht vorkomme, geantwortet hat, dass er dieser Hypothese nicht mehr bedurft habe. Die Vorstellung einer sich selbst in Schwung haltenden Weltmaschine wurde theologisch dahin interpretiert, dass Gott als perfekter Uhrmacher ein geniales System geschaffen hat, welches ohne sein Eingreifen bis zum Ende der Tage einwandfrei funktioniert. Die auf einen Körper einwirkende Gravitations- oder Gewichtskraft hängt von der dort wirkenden Feldstärke sowie seiner Masse m ab Zum Schluss bringen wir die Gesetzte der Himmelsmechanik in eine modernere und etwas kompaktere Form. Dazu zerlegen wir die Gravitationswechselwirkung in eine Ursache und eine Wirkung. Den zusätzlich einzuführenden Begriff nennen wir in Anlehnung an die Elektrodynamik Gravitationsfeldstärke. Alle Himmelskörper erzeugen in jedem Punkt des Raumes eine Gravitationsfeldstärke g mit der Einheit N/kg oder m/s2. Das zugehörige Feldgesetz enthält die Masse des Himmelskörpers, das Abstandsverhalten sowie die durch das Einheitensystem vorgegebene, universelle Gravitationskonstante G 𝑔⃗ = −𝐺 𝑚 𝑟⃗ 𝑟 𝑟 (1.1) Die Gravitationsfeldstärke zeigt von jedem Punkt aus gegen den das Feld erzeugenden Inhaltsverzeichnis 𝐺 = 6.67 ∙ 10 𝐹⃗ = 𝑚𝑔⃗ 𝑚 𝑘𝑔 𝑠 (1.2) Alle auf einen Körper einwirkende Kräfte verursachen gemeinsam dessen Beschleunigung 𝐹⃗ = 𝑚𝑎⃗ (1.3) Formeln (1.1) bis (1.3) sind als Vektorgleichung geschrieben. Gemäss (1.2) zeigt die Gravitationskraft in die gleiche Richtung wie die zugehörige Feldstärke. Die Beschleunigung erfolgt in Richtung der resultierenden Kraft. Formel (1.3) gilt auch, wenn zusätzlich Oberflächen- oder Kontaktkräfte beteiligt sind. 1.2 Deterministisches Chaos Im Jahr 1885 setzte König Oskar II. von Schweden und Norwegen einen Preis für die folgende Frage aus: „Gegeben seien n Massenpunkte, unter denen man sich die Sonne und die Planeten vorstellen darf, mit ihren Positionen und Geschwindigkeiten zu einem gewissen Anfangszeitpunkt. Lässt sich die Bewegung dieser Körper dann für alle Zukunft voraussagen?“ Den Preis erhielt der 35jährige Franzose Henri Poincaré für eine Abhandlung, in der er bewies, dass es eine Lösung in Form einer geschlossenen mathematischen Formel nicht geben kann, sobald n grösser als 2 ist. Poincaré hat mit seinem Beitrag das gestellte Problem nicht gelöst, dafür Seite 12 von 221 Panta rhei den Grundstein zur qualitativen Theorie dynamischer Systeme gelegt. Dieser Zweig der Mathematik ist heute unter dem Namen Chaos-Theorie bekannt. Nimmt man das statische Gravitationsfeld eines mächtigen Sterns, kann die Bahn eines einzelnen Planeten aufgrund der Anfangsposition und der Startgeschwindigkeit direkt angegeben werden. Ist die Geschwindigkeit nicht zu gross, umrundet der Planet das Zentralgestirn auf einer elliptischen Bahn. Erteilt man ihm anfänglich eine zu grosse Geschwindigkeit, fliegt er auf einer hyperbolischen Bahn in den weiten Weltraum hinaus. Im Grenzfall geht der Himmelskörper immer langsamer werdend auf einer parabolischen Bahn weg. Bei zwei Himmelskörpern vergleichbarer Grösse, kann die Bewegung mit Hilfe der reduzierten Masse auf das Einkörper-Problem zurückgeführt werden. Sind mehr als zwei Körper beteiligt, ist gemäss Poincaré keine geschlossene Lösung mehr möglich. Schlimmer noch, einzelne Körper können plötzlich aus ihrer gewohnten Bahn geworfen werden, um sich später in einem völlig unerwarteten Orbit wieder zu stabilisieren. Ein Beispiel dafür sind die Kometen, die in grosser Zahl weit draussen in der Oortschen Wolke gemächlich um die Sonne ziehen. Infolge Störungen durch grössere Himmelskörper werden sie so stark aus ihrer gewohnten Bahn herausgerissen, dass sie auf einer extrem verzogenen Ellipse in die Nähe der Sonne gelangen, unter deren Strahlung einen Gasschweif ausbilden, um schon nach wenigen Umläufen praktisch vollständig zu verdampfen. Formel (1.1) bis (1.3) beschreiben die Bewegung eines Systems von beliebig vielen Himmelskörpern vollständig. Eine Lösung in geschlossener Form kann aber nur bis maximal zwei Körper angegeben werden. Diese Erkenntnis hat die alte Uhrwerkstheorie pulverisiert. Ein noch so allwissender Weltgeist Inhaltsverzeichnis wird niemals in der Lage sein, die Position der Himmelskörper in ferner Zukunft vorauszusagen. Dieser Widerspruch zwischen deterministischen Gesetzen und unbestimmbaren Lösungen hängt auch mit den reellen Zahlen zusammen. Zwei identische Systeme entwickeln sich in der Zeit nur dann absolut gleich, wenn sie in allen Anfangswerten exakt übereinstimmen. Doch was heisst hier exakt? Wie genau ist genau genug? Zwischen zwei benachbarten, ganzen Zahlen findet man unendlich viele rationale. Zudem gibt es unendlich viel mehr irrationale als rationale Zahlen. Folglich kann auch der grösste Weltgeist die Anfangs- oder Startwerte nicht exakt genug erfassen. Der Computer zeigt uns die Grenze der Berechenbarkeit allein schon durch seine Arbeitsweise. Intern stellt er jede Zahl in Form von Bits dar. Ein Bit nimmt den Wert null oder eins an. So wird die Zahl zehn statt als 10 (einmal 10 plus nullmal 1) als 1010 (einmal 23, nullmal 22, einmal 21 und nullmal 10) abgespeichert. Soll eine Berechnung genauer werden, muss man die Darstellung der Zahlen vergrössern, also mehr Bits pro Zahl verwenden. Damit steigt aber auch der Aufwand sowie die Rechenzeit. Dies betrifft alle Zahlenwerte, also Ort und Zeitangabe. Soll eine Beschleunigung zur Geschwindigkeit und dann zum Ort integriert werden, muss ein bestimmtes Zeitintervall für die Berechnung festgelegt werden. Je kürzer wir dieses Intervall wählen, umso präziser wird in der Regel das Resultat, aber umso mehr steigt der Rechenaufwand. Gemäss unserem heutigen Wissen kann der Weltgeist auch diesem Dilemma nicht ausweichen. Er kann höchstens eine bessere, uns noch nicht bekannte Integrationsmethode wählen. Die Physik des 20. Jahrhunderts hat mit der Unschärferelation den mechanischen Determinismus vollständig widerlegt. Gemäss dieser von Werner Heisenberg aufgestellten Seite 13 von 221 Panta rhei Relation, können Ort und Impuls eines Teilchens nicht gleichzeitig scharf gemessen werden. Entweder misst man den Ort oder den Impuls eines Elektrons möglichst genau. Entsprechend unbestimmt sind dann Impuls respektive Ort dieses Teilchens. Die Heisenbergsche Unschärfe ist kein messtechnisches Problem, sondern eine der Natur inhärente Eigenschaft, die den Teilchen des Mikrokosmos ein ungewohntes Verhalten aufzwingt. Die in der mikroskopischen Welt geltende Unschärfe hat auch Auswirkungen auf unsere gewohnte Umgebung. So ist die Bahn einer Billardkugel schon nach wenigen Stössen prinzipiell nicht mehr vorhersagbar, weil kleine Unschärfen Ort und Geschwindigkeit der Kugel mit der Zeit stark verändern. Dreht man zu einem bestimmten Zeitpunkt alle Geschwindigkeiten exakt ins Gegenteil, laufen die Planeten in die Vergangenheit. Solche zeitumkehrinvarianten Systeme kennen wir in unserem Alltagsleben nicht. Jeden realen Vorgang, der in einem rückwärtslaufenden Video gezeigt wird, erkennen wir sofort als zeitverkehrt. Damit dies auch beim Planetensystem passiert, muss mindestens ein Gesetz beteiligt sein, in dem die Geschwindigkeit vorkommt. Das reale Sonnensystem ist im Gegensatz zur einfachen Himmelsmechanik sehr wohl zeitumkehrvariant. So bremsen sich Planeten und ihre Monde über die Gezeiten gegenseitig in ihren Drehbewegungen ab und täglich fallen Milliarden von Meteoroiden auf die Erde. Irreversible Prozesse, Vorgänge ohne Rückwärtsgang, bilden die Realität. Weil mit der einfachen Himmelsmechanik keine irreversiblen Prozesse beschrieben werden können, eignen sich die Newtonschen Gesetze nicht als Blaupause für die irdischen Mechanik. 1.3 Gravitationsfeld Der Bodensee liegt 395.23 m über dem Meeresspiegel. Diese genaue Angabe aus Wikipedia lässt die Frage offen, welches Meer Inhaltsverzeichnis gemeint ist. Die Schweiz bestimmt ihre Meter über Meer von einem Felsen im Genfersee, dem Repère Pierre de Niton, dessen Höhe Guillaume-Henri Dufour Mitte des 19. Jahrhunderts mit Bezug auf den Pegel von Marseille festlegte. Später hat man diese Bezugshöhe mit allen vier Meeren, in die Wasser aus der Schweiz fliesst, abgeglichen. Die neue Basishöhe legte die Schweiz um beachtliche 3.26 m tiefer. Die Österreicher beziehen ihre Meter über Adria auf das Hafenbecken von Triest und Deutschland ging bei seinen Metern über Normalnull ursprünglich vom Amsterdamer Pegel aus. Die österreichische Angabe in m ü. A. liegt 7 cm und die deutsche Höhe in m ü. NN gar 32 cm über dem schweizerischen m ü. M. Dieser Unterschied führte 2002 beim Bau einer Strassenbrücke bei Laufenberg zu einem gravierenden Fehler. Die beiden Widerlager wiesen anfänglich einen Höhenunterschied von 54 cm auf, weil der errechnete Unterschied von 27 cm zwischen deutscher und schweizerischer Höhenangabe auf die falsche Seite korrigiert worden war. Die Oberfläche der Weltmeere richtet sich so nach dem Gravitationsfeld der Erde aus, dass die Feldstärke überall normal zur ruhenden Wasseroberfläche steht. Die Gravitationsenergie eines Hochseeschiff bleibt deshalb konstant, das Schiff fährt weder bergauf noch bergab. Entsprechend bezeichnet man die von den Meeren ausgezeichnete Fläche als Äquipotentialfläche. Jede weitere Fläche, die an jedem Punkt normal zum Feldstärkevektor verläuft, bildet ebenfalls eine Äquipotentialfläche. Ordnet man der durch die Weltmeere ausgezeichneten Fläche den Wert null zu, kann das Potential jeder anderen Fläche berechnet werden. Die potentielle Energie WG eines Körpers ist dann gleich Masse mal Gravitationspotential G 𝑊 = 𝑚𝜑 (1.4) Seite 14 von 221 Panta rhei Das Gravitationspotential berechnet sich analog zur potentiellen Energie als Wegintegral der Gravitationsfeldstärke 𝜑 (ℎ) = − 𝑔⃗ ∙ 𝑑𝑠⃗ (1.5) Das Gravitationspotential wird in Joule pro Kilogramm gemessen. Wertet man das Integral von Formel (1.5) entlang der Vertikalen aus, geht das Skalarprodukt in ein gewöhnliches über und das Potential ist gleich dem Integral der Gravitationsfelsstärke über die Höhe. Für die meisten unserer Anwendungen genügt die vereinfachte Formel, wonach das Potential gleich Feldstärke mal die Höhe über der Oberfläche der Weltmeere ist. Das Gravitationsfeld an einem beliebigen Punkt auf der Erdoberfläche wird von der gesamten Masse der Erde aufgebaut, wobei Formel (1.1) nur für punkt- und kugelschalenförmige Massenverteilung exakt gilt. Soll zum Beispiel das Gravitationsfeld des Matterhorns berechnen werden, muss man dieses in kleinste Teile zerlegen, auf jeden Teil Formel (1.1) anwenden und dann über alle Teilfeldstärken summieren. Weil die Erde nahezu kugelförmig aufgebaut ist, darf man in erster Näherung Formel (1.1) benutzen, um danach Abweichungen von der Kugelgestalt als Korrektur hineinrechnen. Wegen der Rotation der Erde gesellt sich noch ein Zentrifugalfeld hinzu. Das Abstandsgesetz in Formel (1.1) gibt der unmittelbaren Umgebung ein höheres Gewicht. So liefert eine Eisenerzlagerstätte in 10 Kilometer Entfernung einen hundertmal grösseren Beitrag zu Gravitationsfeldstärke, als wenn sie 100 Kilometer entfernt wäre. Deshalb ist Gravimetrie eine wichtige Methode, um Metall- aber auch Erdölvorkommen zu finden. Gemessen wird entweder die Schwingungsdauer eines Pendels oder eine Dehnung nach dem Prinzip der Federwaage. Inhaltsverzeichnis Eine höhere Präzision wird mit dem freien Fall von Rubidiumatomen im Ultrahochvakuum erzielt. Gemäss Formel (1.2) und (1.3) ist die Beschleunigung im freien Fall gleich der dort herrschenden Gravitationsfeldstärke. Weil das Gravitationsfeld mit der Höhe schwächer wird, rechnet man im hügeligen Gelände die Gravitationsfeldstärke auf eine gemeinsame Höhe. Karten mit Angaben der durch die Geländereduktion korrigierten Schwerefeldstärken bilden für Geologen ein wichtiges Arbeitsmittel. Abbildung 1.2 zeigt das mittels Geländereduktion korrigierte Gravitationsfeld der Schweiz. Dargestellt sind die Abweichungen vom Wert 9.8 N/kg in Milligal (1 mgal = 0.000’01 N/kg). Der Spiegel des Bodensees ist ebenfalls Teil einer Äquipotentialfläche. Verschiebt man einen Liter Wasser aus dem See an die Nordsee, an die Adria oder in den Hafen von Marseille, wird dreimal die gleiche Energie freigesetzt. Wieso dann der Unterschied bei der Angabe des Pegels? Landvermessung basiert auf Geometrie, also auf Längen und Flächen. Wohl orientiert man sich mit der Horizontalebene und der Lotrichtung am Gravitationsfeld, berücksichtig aber nicht jede Delle in den Äquipotentialflächen. Zudem entspricht ein Meter Höhenunterschied nicht überall der gleichen Differenz des Gravitationspotentials. 1.4 Gravitationsprozess Wasser, Schnee und Schlamm fliessen stets nach unten. Getrieben wird dieser Prozess von der Gravitation und gebremst durch die Seite 15 von 221 Panta rhei Reibung. Könnte man die Reibung ausschalten, würde die Geschwindigkeit dieser Stoffe wie beim freien Fall mit der Höhe zunehmen. Betrachten wir vorerst nur den Energieumsatz im Gravitationsprozess. Die Energieänderung eines Körpers im Gravitationsfeld ist gleich Masse mal die Differenz der Gravitationspotentiale ∆𝑊 = 𝑚(𝜑 −𝜑 ) = 𝑚∆𝜑 (1.6) ) = 𝐼 ∆𝜑 (1.7) Nimmt man anstelle eines einzelnen Körpers das Wasser eines Flusses, steht statt der Masse die Stärke des Massenstromes im Fokus. Entsprechend berechnet sich die Leistung, also die Energie pro Zeit, wie folgt 𝑃 = 𝐼 (𝜑 −𝜑 Im steht für die Stärke des Massenstromes gemessen in Kilogramm pro Sekunde, Pm für die zugehörige Prozessleistung gemessen in Watt. Gemäss Formel (1.6) ist die Leistung positiv, wenn Energie freigesetzt wird. Formel (1.6) und (1.7) beschreiben die Arbeitsweise eines Pumpspeicherwerks. Als Beispiel dienen uns die Angaben zum PSW Limmern im Kanton Glarus. Vier FrancisPumpturbinen mit einer Gesamtleistung von 1000 MW arbeiten mit einem Höhenunterschied von 560 m bis zu 724 m, was einer Potentialdifferenz, auch Gravitationsspannung genannt, von 5.49 kJ/kg bis 7.10 kJ/kg entspricht. Gemäss Formel (1.7) ergibt sich aus diesen Angaben eine erforderliche Massenstromstärke von 141 bis 182 Tonnen pro Sekunde. Die maximale Leistung von 1 GW kann nur konstant gehalten werden, wenn der Durchfluss der Höhe entsprechend angepasst wird. Jede der vier Pumpturbinen verarbeitet im Turbinenbetrieb bis zu 47 m3/s, im Pumpbetrieb sind es maximal 40 m3/s, also total 188 respektive 160 Tonnen pro Sekunde. Aus dem Unterschied zwischen diesen beiden Stromstärken können wir auf Inhaltsverzeichnis einen Zykluswirkungsgrad von deutlich über 80% schliessen. Das Stauvolumen des Muttsees beträgt 23 Millionen Kubikmeter Wasser. Bei vollständig gefülltem See kann das PSW Limmern während 33 Stunden im Volllastbetrieb laufen, was eine Speicherkapazität von 33 GWh ergibt. Rechnen man diese Energie durch Multiplikation mit 3600 in Wattsekunden oder Joule um, ergibt das 119 TJ. Eine Division gemäss Formel (1.6) durch die verfügbare Masse von 23 Milliarden Kilogramm liefert eine mittlere Gravitationsspannung von 5.16 kJ/kg und damit eine mittlere Fallhöhe von 526 m. Die effektive Fallhöhe dürfte wegen den Reibungsverlusten bis zu 10% höher liegen. Weil das verglichen mit den weiter oben gemachten Angaben zu gering ist, können wir davon ausgehen, dass nicht das ganze Stauvolumen verstromt werden kann. Der zugeordnete Energiestrom, der ebenfalls in Watt gemessen wird, bildet neben der Prozessleistung die zweite wichtige Energiegrösse. Betrachten wir dazu den Rheinfall bei Schaffhausen. Im Rheinfallbecken liegt die Wasseroberfläche konstant bei 359 m ü. M. Gut einen Kilometer weiter oben, bei der Flurlingerbrücke, befindet sich eine Messstelle des Bundesamtes für Umwelt (BAFU). Diese zeigt je nach Wasserführung Werte zwischen 383 und 385 m ü. M. an. Am 7. Juni 2021 war dort der Wasserstand bei einer Wasserführung von 500 m3/s bei 383.66 m ü. M. Das Gravitationspotential war somit bei der Flurlingerbrücke gleich 3764 J/kg und beim Rheinfallbecken gleich 3522 J/kg. Nun dürfen wir behaupten, dass der Rhein zu diesem Zeitpunkt einen Energiestrom von 1.88 GW unter der Flurlingerbrücke hindurch transportiert hat und unten im Becken mit einem Energiestrom von 1.76 GW in Richtung Kraftwerk Rheinau weitergezogen ist. Der Unterschied von 120 MW, die Prozessleistung, ist im Rheinfall freigesetzt worden. Seite 16 von 221 Panta rhei Streng genommen muss man statt dem Wasserstand die Höhe des Strömungsmittelpunktes nehmen. Zudem transportiert nicht der Rhein, sondern seine Masse diese Energie im Gravitationsfeld der Erde. Solche Nuancen werden wir auch in den anderen Gebieten teilweise übergehen. Entscheidend ist der Unterschied zwischen zugeordnetem Energiestrom und Prozessleistung. Die erstgenannte Grösse ist eine Art latente Energie, die erst weiter unten bei den nachfolgenden Kraftwerken freigesetzt wird. Die Prozessleistung ist dagegen Energie pro Zeit im Sinne eines Arbeitsvermögens. Diese Leistung kann dazu verwendet werden, einen oder mehrere weitere Prozesse anzutreiben. Die Leistung des Gravitationsprozesses wird oft genutzt, um über eine Turbine und einen Generator einen elektrischen Prozess zu treiben. So gibt es beim Rheinfall ein kleines Kraftwerk mit einer Nennleistung von 5.16 MW, das für seinen Betrieb 28 m3/s Wasser vom Rhein abzweigt. Die Energie wird dabei vom durchfliessenden Massenstrom auf den elektrischen Drehstrom umgeladen. 1.5 Bilanz Masse, Eigenvolumen von Flüssigkeiten, elektrische Ladung, Entropie, Impuls, Drehimpuls und Stoffmenge sind bilanzierbar, können also gespeichert und ausgetauscht werden. Die Bilanzgleichung, welche die Stromstärken mit der Änderungsrate des Inhalts verbindet, liefert die zentrale Aussage zur Beschreibung dynamischer Systeme. Diese Gleichung soll nun an einem einfachen System erklärt werden. Der Bielersee ist das eigentliche Herzstück der Juragewässerkorrektion. Um den versumpften und oft überschwemmten Landstreifen des Aaretals zwischen Aarberg und Solothurn trocken zu legen, leitete man im 19. Jahrhundert die Aare über den Hagneckkanal in den Bielersee um. Über den NidauBüren-Kanal fliesst das Wasser in die Aare Inhaltsverzeichnis zurück. Bei Hochwasser sorgen der Zihl- und der Broye-Kanal für eine gleichmässige Verteilung auf Murten-, Neuenburger- und Bielersee. Abbildung 1.3 zeigt die vier grossen Kanäle: 1 Zihlkanal, 2 Broyekanal, 3 Hagneckkanal, 4 Nidau-Büren-Kanal. Die aus dem Jura herunter strömende Schüss bildet einen weiteren nennenswerten Zufluss. Die Stromstärken aller vier Zu- und Abflüsse werden vom Bundesamt für Umwelt (BAFU) laufend gemessen und online zur Verfügung gestellt. Zudem ermittelt eine weitere Messstelle bei Ligerz den Wasserstand des Bielersees. Diese fünf Angaben können wir mit Hilfe der Bilanzgleichung und einem Kapazitivgesetz miteinander verbinden. Die Bilanz summiert die Stromstärken und setzt diese Summe gleich der Änderungsrate des Wasservolumens im See 𝐼 = 𝑉̇ (1.8) IV steht für die Stromstärke des Volumens, wobei ein Zufluss positiv gezählt wird. 𝑉̇ beschreibt die Änderungsrate des Volumens, wobei der Punkt für die Ableitung nach der Zeit steht. Weil die Volumenänderung gleich Seefläche mal Höhenänderung ist, muss die zugehörige Änderungsrate gleich Fläche mal Änderungsrate der Höhe sein, wobei letztere Seite 17 von 221 Panta rhei der Geschwindigkeit des Seespiegels entspricht 𝑉̇ = 𝐴 ℎ̇ (1.9) Formel (1.9) beschreibt ein kapazitives Gesetz. Die aktuelle Oberfläche des Sees steht für die Volumenkapazität. Zur Anwendung der beiden letztgenannten Formeln zählt man alle vier Stromstärken vorzeichenrichtig zusammen und dividiert diesen Wert durch die Fläche des Bielersees. Die so ermittelte Steiggeschwindigkeit ist derart klein, dass sie nicht direkt gemessen werden kann. Summiert (integriert) man die Geschwindigkeit über eine grössere Zeitspanne zur Höhenänderung, kann diese mit der Messung bei Ligerz verglichen werden. Weil viele in den See hineinfliessende Bäche wie etwa der Twannbach nicht berücksichtigt werden und weder Regen noch Verdunstung in die Betrachtung einfliessen, liefert die Bilanz kein exaktes Resultat. stärke zum Wasserstand wollen wir etwas genauer ansehen. Als feste Installation ist quer über den Fluss ein Drahtseil gespannt, an dem ein stromlinienförmiger Körper mit einem Messflügel aufgehängt werden kann. Dieser misst die Geschwindigkeit an einem beliebigen Punkt der Strömung. Indem der ganze Flussquerschnitt lückenlos mit einem Netz aus kleinen Flächen mit je einem mittigen Messpunkt überzogen wird, kann die Volumenstromstärke als Summe über alle Strömungsgeschwindigkeit mal zugehörige Fläche berechnet werden. Je feiner das Messnetz gewählt wird, desto genauer wird das Resultat. Mit der Genauigkeit wächst aber auch der Messaufwand. Fliesst das Wasser schief durch eine Masche, darf zur Berechnung der zugehörigen Stromstärke nur die Normalkomponenten der Geschwindigkeit genommen werden. Um diesen Zusammenhang etwas eleganter zu formulieren, führt man bei jeder Masche einen Flächennormalvektor ein. Dieser steht normal zur Masche und sein Betrag entspricht der Fläche. Die Volumenstromstärke ist dann gleich der Summe über alle Skalarprodukte gebildet aus Geschwindigkeit und zugehörigem Flächennormalvektor. Im Grenzfall der beliebig kleinen Maschenfläche dA geht die Summe in ein Flächenintegral über 𝐼 = Abbildung 1.4 Mit einem Messflügel wird die Fliessgeschwindigkeit an verschiedenen Punkten im Flussquerschnitt bestimmt. Wie ermittelt das BAFU an den etwa 200 Messstellen die Stromstärke eines Flusses? Primär wird der Wasserstand mittels Drucksonde oder Radar gemessen. Danach wird dieses Resultat mit einer für jede Messstelle gegebene Funktion in den zugehörigen Abfluss umgerechnet. Das Kalibrierungsverfahren für die Zuordnung der Volumenstrom- Inhaltsverzeichnis 𝑣⃗ ∙ 𝑑𝐴⃗ (1.10) Die Rechnung lässt sich auch umdrehen. Die mittlere Geschwindigkeit einer Strömung ist gleich Volumenstromstärke geteilt durch Querschnitt des strömenden Wassers, wobei die gemittelte Geschwindigkeit nicht unbedingt mit dem Wert im Flächenmittelpunkt des Querschnitts übereinstimmen muss. Aus dieser Überlegung folgt, dass Strömungsgeschwindigkeit als Stromdichte des Volumens bezeichnet werden kann. Folglich kann die hier gemachte Überlegung auf jeden andern Strom übertragen werden: eine Stromstärke Seite 18 von 221 Panta rhei ist gleich der Summe über alle Teilstromstärken, die über das Skalarprodukt aus Stromdichte und Normalvektor der Teilfläche gebildet werden. Die Stromdichte einer skalaren Menge ist immer ein Vektor, die Stromstärke dagegen ein Skalar. Das Vorzeichen der Stromstärke hängt von der Orientierung der Querschnittfläche ab, die oft Referenzfläche genannt wird. 1.6 Felder Mathematisch gesehen sind Felder skalare, vektorielle oder tensorielle Grössen über Raum und Zeit, also Funktionen der drei Raum- und der Zeitvariablen. Druck- und Temperaturverteilung in der Atmosphäre liefern ein Beispiele für skalare Felder. Die Geschwindigkeit im strömenden Wasser bildet ein vektorielles und die mechanische Spannung im Festkörper ein tensorielles Feld. Ändern sich die Grössen nicht mit der Zeit, bezeichnet man das Feld als statisch oder stationär. In der Physik wird der Feldbegriff enger gefasst. Zuerst hat Michael Faraday je ein Feld für die elektrische und die magnetische Kraft eingeführt, weil er die Ergebnisse seiner Experimente nicht mehr mit der Newtonschen Fernwechselwirkung erklären konnte. Die zugehörige Feldtheorie fand mit James Clark Maxwell seinen vorläufigen Abschluss. 1905 hat Albert Einstein das elektrische und das magnetische Feld zu einer Einheit verschweisst, indem er aus den zwei Vektorfeldern ein tensorielles Feld in der Raumzeit gebildet hat. Mit der Quantenmechanik und der nachfolgenden Entwicklungen sind sowohl die Materie als auch die Wechselwirkungen zu Feldern geworden. Im Grunde besteht die Natur nur aus Feldern. Ein kurzer Blick auf die Quantenfeldtheorien soll zeigen, dass das ganze Universum ein brodelndes Chaos ist. Die verschiedenen Teilchen darf man sich keinesfalls als kleine Kü- Inhaltsverzeichnis gelchen vorstellen, sondern nur als eine Art Schwingungszustand oder Welle. Diese Betrachtungsweise ist in der Stringtheorie am ausgeprägtesten. Nun gibt es zwei grundsätzlich verschiedene Arten von Teilchen. Zu den Fermionen gehören die Bausteine der Materie, also das Up- und das Down-Quark, das Elektron und das zugehörige Neutrino, sowie zwei weitere Teilchenfamilien mit höheren Energien. Die Teilchen der Kraftfelder, also das Photon, die Vektorbosonen und die Gluonen sind Bosonen. Diese besitzen einen ganzzahligen Spin, wogegen die Fermionen einen halbzahligen Spin aufweisen. Der Spin ist eine Art Eigendrehimpuls, der bei den Bosonen gleich dem ganzzahligen Vielfachen einer Naturkonstante und bei den Fermionen gleich der Hälfte, dem Anderthalb- oder dem Zweieinhalbfachen dieser Konstante ist. Fermionen haben die Tendenz, einander aus dem Weg zu gehen, Bosonen lieben die Geselligkeit. Metalle sind deshalb so stabil, weil die Leitungselektronen einander auf Distanz halten. Umgekehrt sendet der Laser eine einzige elektromagnetische Welle aus, weil in seinem Innern die energetisch angeregten Atome oder Moleküle gezwungen werden, ihre Photonen im Takt auszusenden. Dieser Mechanismus wird mit dem Wort Laser beschrieben. In der deutschen Übersetzung steht LASER für «Licht-Verstärkung durch stimulierte Emission von Strahlung». Die Vakuumfluktuation ist wohl die eigentümlichste Eigenschaft des Mikrokosmos. Die Unschärferelation verbietet nicht nur einem Teilchen, sich an einem bestimmten Ort aufzuhalten und gleichzeitig einen gegebenen Impuls zu besitzen, sie erlaubt auch die Bildung von Teilchen aus dem Nichts. Dabei darf das Produkt aus der Energie des Teilchens und seiner Lebensdauer nicht grösser als die Plancksche Konstante sein. Die Vakuumfluktuation kann man mit dem Casimir-Effekt experimentell nachweisen. Dieser Effekt bewirkt, dass auf zwei parallele, leitfähige, Seite 19 von 221 Panta rhei ungeladene Platten im Vakuum eine messbare Kraft wirkt. Die quantenmechanische Erklärung des Casimir-Effekts beruht darauf, dass sich ausserhalb der Platten alle möglichen Photonen kurzfristig bilden können, zwischen den Platten aber nur diejenigen, deren Wellenlänge hineinpasst. Weil damit das virtuelle Photonengas aussen dichter als zwischen den Platten ist, entsteht eine anziehende Kraft zwischen den Platten. Dieser kurze Ausblick auf die Physik des 21. Jahrhunderts soll verhindern, dass wir uns falsche Bilder von einer physikalischen Theorie machen. Wohl basiert der elektrische Strom oft auf dem Transport von Elektronen. Doch sobald wir uns die Elektronen als kleine Kügelchen vorstellen, die lokalisierbar durch das Ionengitter des Metalls wandern, verstossen, wir gegen die Grundprinzipien der Physik. Zudem besteht die Gefahr, dass wir eine irrige Vorstellung von Strom, Spannung und Leistung entwickeln. Der Abstecher in die moderne Physik soll auch zeigen, welche Begriffe heute noch wichtig sind. Energie, Impuls, Drehimpuls, elektrische Ladung, Entropie und Stoffmenge sind mengenartige Grössen, die auch in den neuesten Theorien von zentraler Bedeutung sind, wogegen die Newtonschen Gesetze in der Quantenmechanik nicht mehr angewendet werden können. Zurück zu den klassischen Feldtheorien! Anhand von skalaren und vektoriellen Feldern sollen drei mathematische Operatoren eingeführt werden, auf die wir später bei Bedarf zurückgreifen können. Den ersten, den Gradienten, wendet man auf skalare Felder an. Betrachten wir dazu den Block eines laufenden Dieselmotors. Die Temperatur bildet darin ein stationäres Feld, dessen Werte von den Zylinderbohrungen bis zu den Kanälen der Wasserkühlung abfallen. Die Punkte mit gleicher Temperatur bilden die Isothermflächen. Der Temperaturgradient steht normal Inhaltsverzeichnis zu diesen Flächen und in diese Richtung fliesst die Wärme weg. Mathematisch erhält man den Gradienten in °C/m oder K/m durch partielle Ableitung der Temperatur nach den drei Raumkoordinaten 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑇) = 𝜕𝑇 𝜕𝑇 𝜕𝑇 , , 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 (1.11) In Wetterkarten wird der auf Meereshöhe gerechnete Druck durch Isobaren, den Linien gleichen Drucks, dargestellt. Weil es sich um eine zweidimensionale Darstellung handelt, muss nur nach zwei Koordinaten abgeleitet werden. Der Gradient steht normal zu diesen Isobaren und kann mit einem geeigneten Massstab als Pfeil dargestellt werden. Nahe beieinander liegende Isobaren weisen auf ein starkes Druckgefälle, einen grossen Druckgradienten, hin. Wenden wir den Gradienten auf das Gravitationspotential an, erhalten wir die Gravitationsfeldstärke. Zur Erklärung der beiden anderen Operatoren betrachten wir die laminare Strömung eines Fluids. Laminar bedeutet, dass keine chaotischen Wirbel auftreten und die Strömung an jedem Punkt mit der Geschwindigkeit beschrieben werden kann. Ist das Fluid komprimierbar, verändert es bei Druckschwankungen das Volumen. Die Volumenänderung beeinfluss wiederum das Strömungsprofil. Mathematisch beschreibt man ein solches Strömungsverhalten mit der Divergenz, die wie folgt gebildet wird 𝑑𝑖𝑣(𝑣⃗) = 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣 + + 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥 (1.12) Das Ergebnis von (1.12) ist ein Skalarfeld mit der Einheit 1/s, welches die Änderungsrate des Volumens lokal beschreibt. Ist dieser Wert grösser null, dehnt sich das Fluid aus. Die zweidimensionale Darstellung ist hier hilfreich. Dazu betrachten wir ein ebenes, nur mit wenig Wasser gefülltes Bassin, das in der Seite 20 von 221 Panta rhei Mitte einen Abfluss aufweist. So können wir uns das Strömungsverhalten gut vorstellen. Die Umkehrung besteht aus einem von unten zufliessenden Wasserstrom, der sich über den Boden des Bassins verteilt. Wendet man auf das zweidimensionale Strömungsfeld die Divergenz nach (1.12) an, erhält man die dritte Komponente der Strömungsgeschwindigkeit im Abfluss. Der dritte Operator beschreibt die Wirbel, wobei nicht das turbulente Chaos gemeint ist, sondern ein Gestaltmerkmal der laminaren Strömung. Das anschaulichste Beispiel dürfte das rotierende Gefäss mit vertikaler Achse sein, dessen mitrotierende Flüssigkeit man von aussen als Strömung wahrnimmt. Betrachten wir nun eine horizontal liegende Ebene in dieser Strömung, bilden die Stromlinien Kreise, wobei der Betrag der Geschwindigkeit proportional mit dem Radius zunimmt. Diesmal wenden wir den Operator Rotation auf das Strömungsfeld an 𝜕𝑣 𝜕𝑣 − 𝜕𝑧 ⎞ ⎛ 𝜕𝑦 𝜕𝑣 𝜕𝑣 ⎟ 𝑟𝑜𝑡(𝑣⃗) = ⎜ ⎜ 𝜕𝑧 − 𝜕𝑥 ⎟ ⎜ ⎟ 𝜕𝑣 𝜕𝑣 − ⎝ 𝜕𝑥 𝜕𝑦 ⎠ (1.13) Die Formel (1.13) erscheint nur auf den ersten Blick furchtbar kompliziert zu sein. In der x-Komponente des Ergebnisses taucht weder die x-Komponente der Geschwindigkeit auf, noch wird nach x abgeleitet. Hat man die erste Komponente formuliert, bildet man die zwei andern durch zyklisches Vertauschen der Indices und der Koordinaten. Geometrisch hat die Divergenz eine Ähnlichkeit mit dem Skalarprodukt und die Rotation mit dem Vektorprodukt, wobei der eine Vektor durch eine entsprechende Ableitungsvorschrift zu ersetzen ist. Beim rotierenden Gefäss kann man zeigen, dass die Rotation der Inhaltsverzeichnis Geschwindigkeit die doppelte Winkelgeschwindigkeit ergibt. Wendet man die Rotation auf ein Vektorfeld an, entsteht ein neues Vektorfeld. Die nachfolgend angewendete Divergenz liefert überall null. Was wir anhand einer Druck- oder Geschwindigkeitsverteilung anschaulich darstellen können, ist beim elektromagnetischen Feld von grossem Nutzen. 1.7 Systemdynamik Die Mathematik ist die Sprache der Physik, wobei die einzelnen Aussagen mit Gleichungen oder Differentialgleichungen beschrieben werden. Damit ist der Kreis derer, die ernsthaft über Physik nachdenken können, recht eng gezogen. Entsprechend wird bis hinauf zu den Hochschulen kaum über wesentliche Zusammenhänge gesprochen. Stattdessen müssen sich die Studierenden mit den Lösungen trivialer Probleme beschäftigen und dabei möglichst viel ausrechnen. Osterhasenphysik nenne ich diese völlig zerrechnete Beschäftigung mit zum Teil mehrhundertjährigen Fragestellungen. Dabei würde der Computer neue, leicht zu begehende Wege öffnen. Algebraische Umformungen, Lösungen hochdimensionaler Gleichungssysteme und numerische Integration nichtlinearer Differentialgleichungen sind in Sekundenschnelle zu haben. Das Problem der Modellbildung, also das Aufstellen eines vollständigen differential-algebraischen Gleichungssystems, ist damit aber noch nicht gelöst. Hier hilft das systemdynamische Modellieren. Wir beginnen in diesem Kapitel mit einer einfachen Fragestellung und steigen kapitelweise tiefer in das Thema ein, bis wir das Auskühlen eines Hauses, den Start eines Flugzeuges oder die Rollbewegung einer Kugel auf einer Loopingbahn untersuchen werden. Seite 21 von 221 Panta rhei Abbildung 1.5 Systemdiagramm für den Ausfluss von Wasser aus dem Gefäss. Ein mit Wasser gefüllter Topf wird an ein Kraftmessgerät gehängt. Aus einem Loch im Topfboden fliesst das Wasser senkrecht nach unten weg. Ein systemdynamisches Modell soll diesen Vorgang nachbilden. Danach sind die simulierten Daten mit den gemessenen zu vergleichen. Zuerst fügen wir einen Topf und eine Pipeline in die Modellierungsebene von Berkeley Madonna ein. Diese Struktur wird vom Programm als Bilanz erkannt und entsprechend formuliert. Wir müssen jetzt nur noch die Rückkopplung (Feedback) vom Inhalt zur Stromstärke formulieren. Teilen wir das aktuell im Topf gespeicherte Volumen durch die Querschnittfläche, erhalten wir die zugehörige Füllhöhe. Nun erinnern wir uns an Torricelli, der gezeigt hat, dass das Wasser mit der gleichen Geschwindigkeit ausfliesst, wie wenn es von der Oberfläche der gespeicherten Flüssigkeit hinuntergefallen wäre. Dies ergibt eine Ausflussgeschwindigkeit von Wurzel aus zweimal die Gravitationsfeldstärke mal die Füllhöhe. Die Austrittsgeschwindigkeit mal der Querschnitt des austretenden Wasserstrahls ergibt die gesuchte Volumenstromstärke. Bevor die Simulation startet muss noch das Anfangsvolumen angegeben werden. Die graphische Darstellung des systemdynamischen Modells, das Systemdiagramm, ist praktisch selbsterklärend. Von den drei Gleichungen ist nur das Gesetz von Torricelli Inhaltsverzeichnis etwas komplizierter. ALoch steht für den einfach zu bestimmenden Querschnitt des Lochs im Topfboden. Liest man die gemessenen Daten ein, rechnet diese auf die Füllhöhe um und vergleicht sie mit den simulierten Werten, stellt man einen grossen Unterschied fest. Der Grund dafür liegt beim Strahlquerschnitt, der deutlich kleiner als der Querschnitt des Lochs ist. Passt man den Querschnitt im Modell an, bekommt man eine gute Übereinstimmung bei etwa 60% des Lochfläche. Eine vergleichbare Zahl findet man auch in der Literatur unter dem Titel Kontraktionszahl bei scharfen Kanten. Modell und System verhalten sich demnach gleich, wenn man die Einschnürung des Stahls berücksichtigt. Wie das Modell aufgebaut, parametrisiert und simuliert wird, erkläre ich in einem Video [V1]. 1.8 Modelica Modelica ist eine objektorientierte Modellierungssprache für technisch-physikalische Systeme, die 1997 erschienen ist. Sprachdefinition und Standardbibliothek sind frei verfügbar und werden von der Modelica Association weiterentwickelt und gefördert. Ein in Modelica mit algebraischen und gewöhnlichen Differenzialgleichungen formuliertes Modell wird von einem Modelica-Translator in ein sortiertes Gleichungssystem übersetzt und numerisch gelöst. Es existieren verschiedene Entwicklungsumgebungen wie Dymola, SimulationX, MapleSim und Wolfram SystemModeler oder das frei verfügbare OpenModelica. Diese Tools ermöglichen die Formulierung komplexer Simulationsmodelle mittels grafischer Symbole. Entscheidend für das LEGO-mässige Modellieren sind die Konnektoren, auch Ports genannt. Über die Konnektoren werden mengenartigen Grössen ausgetauscht und Potentiale abgeglichen. Dazu werden pro Port eine Stromgrösse (through) und eine Potentialgrösse (across) definiert. Verbindet man zwei oder mehrere Bauteile mittels Konnektoren, wird Seite 22 von 221 Panta rhei für die Flussgrösse der Knotensatz gebildet und die Potentiale werden gleichgesetzt. Modelica scheint auf der Systemphysik aufzubauen, obwohl sie keine gemeinsame Wurzel aufweisen. Im Rahmen eines Industrieprojekts zur Simulation der Längsdynamik von Eisenbahnzügen, habe ich eine projektbezogene Modelica-Library (DyMoRail) geschrieben und eine zweite für die Systemphysik (PhyDynSys). Die zweite Bibliothek soll nun weiterentwickelt und zur freien Benutzung zur Verfügung gestellt werden. PhyDynSys ist bedeutend einfacher strukturiert als die Standardlibrary der Modelica-Association und soll primär der Ausbildung dienen. Gebiet Menge sind. Ein Konnektor muss immer die Stromstärke einer Menge und eine Potentialgrösse aufweisen. Um die Struktur übersichtlicher zu gestalten, werden die Konnektoren in der Regel paarweise als plus und minus definiert. PhyDynSys enthält vordefinierte Konnektoren für Volumen, elektrische Ladung, Impuls, Drehimpuls, Entropie und Stoffmenge. Die zugehörigen Potentiale sind Druck, elektrisches Potential, Geschwindigkeit, Winkelgeschwindigkeit, Temperatur und chemisches Potential. Zwei Bauteile können nur über passende Konnektoren miteinander verbunden werden. Ein komplexeres Bauteil wie etwa ein Elektromotor, eine Pumpe oder ein Heizwiderstand kann mit verschiedenen Konnektoren bestückt sein. Potential Hydraulik Volumen Druck Elektro Ladung elektrisches Translation Impuls Geschwindigkeit Rotation Drehimpuls Winkelgeschwindigkeit Wärme Entropie Temperatur Chemie Stoffmenge chemisches Ein Gebiet (Domain) wird primär über eine mengenartige Grösse definiert, weshalb Zahl und Art der Konnektoren sorgfältig zu planen Inhaltsverzeichnis Teilmodell sind ein wichtiges Hilfsmittel, um die Struktur einfach und pflegeleicht zu halten. So kann man in der Hydraulik einen Plusund einen Minus-Konnektor zu einem Rohrstück zusammenfügen. Die Summe der beiden Volumenstromstärken setzt man gleich null, womit die Volumenerhaltung gewährleistet ist. Zudem definiert man eine vorzeichenrichtige Druckdifferenz und die zugehörige Leistung (Volumenstromstärke mal Druckdifferenz). Vererbt man dieses Teilelement weiter, kann dieses mit einer oder zwei Gleichungen zu einem hydraulischen Widerstand oder einer hydraulischen Induktivität umfunktioniert werden. So einfach funktioniert das LEGO-Prinzip. Seite 23 von 221 Hydrodynamik 2 Hydrodynamik Raupenbagger, Radlader, Flugzeuge, Hebebühnen oder Hubstapler besitzen hydraulische Systeme, um Dinge zu heben, Klappen auszufahren oder sich fortzubewegen. Hydraulik eignet sich bestens, um Energie kompakt über kurze Strecken zu transportieren oder kurzfristig grosse Leistungen abzugeben. Als Begründer der technischen Hydraulik gilt der Engländer Joseph Bramah, der im Jahr 1795 eine mit Druckwasser betriebene hydromechanische Maschine entwickelte. Mit der aufkommenden Industrialisierung, wurden die hydraulischen Systeme grösser und komplexer. Ab 1883 trieben die Turbinen der Usine des Forces Motrices de la Coulouvrenière mittels Pumpen ein Verteilnetz, welches die Stadt Genf mit Trink- und Druckwasser versorgte. Das Netz wies drei verschiedene Druckstufen auf, die niedrigste für die Trinkwasserversorgung und die beiden andern für die Energieversorgung. Das Mitteldrucknetz wurde mit 6.5 bar betrieben und hatte eine Ausdehnung von 82 km. Das Hochdrucknetz erstreckte sich über eine Gesamtlänge von 93 km und wies einen Druck von 14 bar auf. In der arbeitsfreien Zeit sorgte ein Überdruckventil für den Abbau der überschüssigen Energie. Die zugehörige Fontäne war weitherum sichtbar und wurde rasch zum Wahrzeichen der Stadt. Die Aufgabe der Hydrodynamik ist hier eine zweifache. Sie soll einerseits die grundlegenden Zusammenhänge wie Bilanz, konstitutive Gesetze und die Rolle der Energie aufzeigen, die entsprechenden Gesetze formulieren und diese anhand ausgewählter Vorgänge erklären. Andererseits soll sie den Einstieg in die anderen Gebiete wie Thermodynamik, Elektrodynamik und Mechanik durch Analogieschlüsse erleichtern. Analogien sind so nützlich wie gefährlich. Der Nutzen ergibt sich durch die Übertragung von schon gelerntem auf andere Bereiche. Der Schaden entsteht, wenn man analog mit gleich verwechselt. Deshalb müssen wir die Analogieschlüsse sorgfältig ausführen und kritisch hinterfragen. Inhaltsverzeichnis Seite 24 von 221 Hydrodynamik 2.1 Hydraulischer Widder Ein hydraulischer Widder ist eine Wasserpumpe, die ohne Fremdenergie das kleine Gefälle eines Fliessgewässers ausnützt, um Wasser weit hinauf zu pumpen. Was sich wie eine Perpetuum Mobile anhört, ist energetisch einfach zu erklären. Steht ein Gefälle von drei Metern zur Verfügung und soll das Wasser dreissig Meter hinauf gepumpt werden, kann maximal 10% des den Bach hinunterfliessenden Wassers gefördert werden. Dies folgt direkt aus Formel (1.7). Berücksichtigt man die Strömungsverluste in den Leitungen und den Ventilen, reduziert sich dieser Wert auf etwa 5% bis 7%. 1797 skizzierte Joseph Michel Montgolfier, der zusammen mit seinem Bruder als Erfinder des Heissluftballons weltberühmt wurde, eine erste Idee für eine solche Pumpe. Der hydraulische Widder wurde im Laufe des 19. Jahrhunderts laufend verbessert und vermehrt eingesetzt. In den Alpen, wo es viel Wasser hat und grosse Höhen überwunden werden müssen, sind Stossheber bis heute in Betrieb. Bemerkbar macht sich der hydraulische Widder durch sein unverkennbar rhythmisches Klopfen. Abbildung 2.1: Hydraulischer Widder von 1885. Das Wasser strömt von links aus der Treibleitung und geht rechts über das Stossventil weg. Sobald dieses schliesst, wird die Kugel des Druckventils nach oben gedrückt, womit etwas Wasser in den Windkessel hineinfliesst. Inhaltsverzeichnis Im hydraulischen Widder kommen alle Gesetze, die in diesem Kapitel erklärt werden, zur Anwendung. Bezüglich des Windkessels mit dem Zufluss über ein Rückschlagventil und der abgehenden Steigleitung ist die Volumenbilanz zu formulieren. Die Treibwasserleitung wirkt als hydraulische Induktivität und der Windkessel als Kapazität. Daneben gibt es mehrere, meist nichtlineare Widerstände. Am anspruchsvollsten ist die dynamische Beschreibung des Stossventils, das den Wasserstrom in der Treibleitung periodisch stark abbremst und dabei das typische Klopfen erzeugt. Ein hydraulischer Widder besteht aus einer Wasserfassung, einer Treibwasserleitung, dem Stossventil, dem Druckventil, dem Windkessel und der Steigleitung. Das Wasser strömt aus der Wasserfassung durch die Treibleitung und tritt an deren Ende durch das Stossventil aus. Dieses Ventil wird durch eine Feder oder ein Gewicht offengehalten. Im engen Spalt des Stossventils fliesst das Wasser sehr schnell, wodurch ein Unterdruck entsteht, der das Ventil schlagartig schliesst. Durch den abrupten Stopp wird die Wassersäule in der Treibleitung gestaucht. Der so erzeugte Überdruck im unteren Teil der Treibwasserleitung drückt das Druckventil auf und es ergiesst sich kurzfristig etwas Wasser in den Windkessel. Nach dem Abklingen des Druckstosses öffnet sich das Stossventil selbständig und der Prozess beginnt von vorn. Ein Teil des von der Treibleitung über das Druckventil in den Windkessel gelangende Wasser drückt die dort vorhandene Luft zusammen, womit der Druck nach jedem Zyklus etwas ansteigt. Der Rest geht die Steigleitung hoch. Der hydrostatische Druck in der Treibleitung ist gleich dem im Windkessel. Führt die Steigleitung zu hoch hinauf, wird der Druck im Windkessel zu gross und es kann kein Wasser mehr von der Treibleitung hineingedrückt werden. Der Wirkungs- Seite 25 von 221 Hydrodynamik grad des Widders hängt davon ab, wie die einzelnen Komponenten aufeinander abgestimmt sind. Die typische Gefällehöhe der Treibwasserleitung liegt bei wenigen Metern. Experimente haben gezeigt, dass das Verhältnis Fallhöhe zu Triebleitungslänge zwischen 1:3 und 1:12 liegen sollte. Im Extremfall kann bis 500 m hochgepumpt werden, was einem Druck von 50 bar im Windkessel entspricht. Die Zykluszeit der Pumpe hängt von den Öffnungszeiten des Stoss- und des Druckventils ab und liegt zwischen 0,5 bis 2 Sekunden. Volumen pro Druckstoss mal Zyklusfrequenz ergibt die Stärke des durch den Windkessel geglätteten Volumenstromes in der Steigleitung. 2.2 Volumenbilanz Das von der Treibleitung zufliessende minus das an die Steigleitung abfliessende Wasser, ergibt die Zu- oder Abnahme im Windkessel. Diese plausible Aussage müssen wir noch etwas präziser fassen. Dazu legen wir als erstes das Bilanzgebiet, auch Kontrollvolumen genannt, fest. In unserem Fall bildet der ganze Innenbereich des Windkessels das Kontrollvolumen. Der Begriff Volumen hat hier eine doppelte Bedeutung. Einerseits ist das Volumen eine messbare Eigenschaft des Wassers, andererseits beschreibt die räumliche Ausdehnung des Bilanzgebiets, also der Innenraum des Windkessels, auch ein Volumen. Das Eigenvolumen des Wassers ist stets kleiner als das Kontrollvolumen, weil der Windkessel auch noch Luft enthält. Die Stärke des Volumenstromes ist bezüglich einer orientierten Referenzfläche zu messen, wobei die Orientierung der Fläche das Vorzeichen festlegt. Bei einem Bilanzgebiet zeigt die Orientierung nach innen, so dass zufliessende Ströme positiv und abfliessende negativ gezählt werden. Die Volumenbilanz besagt nun, dass die Summe der Stromstärken die Änderungsrate des Inhalts ergibt Inhaltsverzeichnis 𝐼 +𝐼 = 𝑉̇ (2.1) Als Ersatz für die Orientierung der Referenzfläche zeichnet man oft einen Bezugspfeil. Der Bezugspfeil weist in die Richtung, in welche die Stromstärke positiv gezählt wird. Lässt man den ersten Pfeil von der Treibleitung in den Windkessel zeigen und den zweiten von dort in die Steigleitung, kehrt sich das Vorzeichen beim zweiten Strom um und in Formel (2.1) muss ein Minus- statt ein Pluszeichen geschrieben werden. Die vom BAFU gemessenen Stromstärken sind meist im positiven Bereich, weil der Bezugspfeil in die natürliche Fliessrichtung des Wassers weist. So werden beim Bielersee die Zuflüsse aus Schüss, Hagneck- und Zihl-Kanal positiv, der Abfluss durch den Nidau-Büren-Kanal dagegen negativ gezählt. Die Bilanz bezüglich des Bielersees weist deshalb bei der Stromstärke des Nideau-Büren Kanals ein Minuszeichen auf 𝐼 +𝐼 +𝐼 −𝐼 = 𝑉̇ (2.2) Die Vorzeichenregel hängt nicht von der aktuellen Fliessrichtung ab. Strömt nach starken Regenfällen das Wasser durch den Zihlkanal vom Bieler- in den Neuenburgersee, zeigt die Messung eine negative Stromstärke. Bei einem Rückfluss ändert sich also nur das Vorzeichen bei den Daten, der Bezugspfeil und das positive Vorzeichen in (2.2) bleiben dagegen unberührt. Der Volumenbilanz kommt eine besondere Bedeutung zu, weil damit ein aussagekräftiges Bild entwickelt wird, das später auf die abstrakteren Grössen wie Entropie oder Impuls zu übertragen ist. Der Bielersee oder ein Windkessel speichert zu jedem Zeitpunkt eine ganz bestimmte Menge Wasser. Um diesen Wert zu jedem beliebigen Zeitpunkt zu berechnen, müssen wir den Inhalt zu Beginn Seite 26 von 221 Hydrodynamik der Betrachtung kennen. Weil wir nur die Änderungen untersuchen wollen, weisen wir dem Anfangsvolumen des Bielersees einen willkürlichen Wert zu, also zum Beispiel null. Diese Möglichkeit haben wir beim Windkessel nicht. Dort müssen wir den absoluten Wert kennen, damit wir das Volumen der Luft und daraus den Druck bestimmen können. Abbildung 2.2: Volumenstromstärken der Zu- und Abflüsse sowie Pegelstand des Bielersees für die Zeit vom 8. bis 11. August 2007 Die Aussage, wonach die Summe über alle Stromstärken gleich der Änderungsrate des Inhalts ist, verbindet das, was an der Oberfläche passiert mit der Veränderung im Innern. Diese Bilanz soll um zwei Terme, die Quellenstärke und die Produktionsrate, ergänzt werden. So kann der Impuls, die eigentliche Bewegungsmenge, im Innern eines Körpers auftauchen oder verschwinden, ohne über die Oberfläche geflossen zu sein. Wir sprechen dann von Quellen oder Senken. Eine ähnliche Erscheinung finden wir oft bei Seen im Kalkgestein. Dort verschwindet Wasser, ohne dass wir direkt einen Abfluss feststellen können. Ein Mensch tauscht nicht nur Flüssigkeit mit der Umgebung aus, er produziert mit seinem Stoffwechsel auch noch Wasser. Will man eine vollständige Wasser-Bilanz aufstellen, muss neben dem Essen und Trinken, der Abgabe in Form von Urin, Schweiss und Dampf in der Atemluft auch noch die Produktion berücksichtigt werden. Damit können wir eine erweiterte Bilanz formuliert: Inhaltsverzeichnis Die Summe über alle Stromstärken, plus die Quellenstärke und die Erzeugungsrate sind gleich gross wie die Änderungsrate des Inhalts. Senken beschreibt man als negative Quellenstärken und die Vernichtung einer Menge mit einer negativer Erzeugungsrate. Das Hochwasser vom 8. bis 11. August 2007 liefert uns ein Anwendungsbeispiel für eine Simulation. Der Bielersee wird als Speicher mit drei Zu- und einem Abfluss sowie einem weiteren Zufluss für Regen, kleine Bäche sowie Oberflächenwasser modelliert. Dann werden die Daten des BAFU für den fraglichen Zeitraum eingelesen. Die graphische Anordnung mit einem Topf und fünf Pipelines wird vom Programm entsprechend interpretiert, d.h. die Zu- und Abflusswerte werden gemäss (2.2) addiert und danach über die Zeit zur Inhaltsänderung aufsummiert. Indem man den berechneten Pegelstand mit dem gemessenen vergleicht, kann der nicht direkt gemessene Zufluss durch Bäche, Regen und Oberflächenwasser abgeschätzt werden [V2]. Abbildung 2.3: Das Systemdiagramm zur Berechnung des Pegelstandes des Bielersees. Die Pfeile zeigen die Bezugsrichtung der Zu- und Abflüsse. Zwischen dem Modell des Bielersees und dem Modell für den Topf mit Loch besteht ein entscheidender Unterschied. Beim Topf-Modell wirkt der Füllstand auf die Stromstärke und damit auf die eigene Inhaltsänderungs- Seite 27 von 221 Hydrodynamik rate. Diese Rückkopplung wird mathematisch als Differentialgleichung bezeichnet. Das Modell Bielersee verfügt über keine Rückkopplung, weshalb es im Kern nicht dynamisch ist. 2.3 Druck als Energiebeladung Das Wasser des Lac de Dix fliesst durch einen Druckschacht mit einer Höhendifferenz von 1883 m, bevor es über einen Freistrahl auf eine der drei Peltonturbinen trifft. Gemäss dem Gesetz von Torricelli muss das Wasser mit 192 m/s entsprechend 692 km/h aus der Düse austreten. Infolge des Strömungswiderstandes dürfte die Austrittsgeschwindigkeit etwas tiefer liegen. Der Höhenunterschied entspricht einer Gravitationsspannung von 18.47 kJ/kg. Um die Kraftwerksanlage mit der Maximalleistung von 1200 MW zu betreiben, muss ein Massenstrom von mindestens 65 t/s respektive 65 m3/s durchfliessen. Wegen den Strömungsverlusten und anderen Reibungseinflüssen liegt der effektive Durchfluss bei 75 m3/s. Der ursprüngliche Innendurchmesser des Druckschachts betrug 3.2 m, was einen Querschnitt von 8 m2 und eine Strömungsgeschwindigkeit von 9.3 m/s ergibt. Nach einem schweren Unfall wurde das Rohr verstärkt, womit sich der Innendurchmesser auf 2.85 m und der Querschnitt auf 6.38 m2 verkleinerte. Dies führt zu einer grösseren Strömungsgeschwindigkeit von bis zu 11.8 m/s. Der zusätzliche Strömungswiderstand hat den Wirkungsgrad der Anlage beträchtlich verkleinert. Die hinunterführende Druckleitung liefert ein anschauliches Beispiel für das Umladen von Energie. Oben ist die Energie an die Masse gebunden, unten an das Volumen. Für die Leistung bei einem hydraulischen Prozess postulieren wir eine zu (1.7) analoge Formel mit dem Volumen als Energieträger und dem Druck als Energiebeladungsmass Inhaltsverzeichnis 𝑃 = 𝐼 (𝑝 −𝑝 ) = 𝐼 ∆𝑝 (2.3) Das Volumen ersetzt die Masse und der Druck das Gravitationspotential. Vernachlässigen wir die Reibung, muss längs der Druckleitung die Summe aus Gravitationsleistung und hydraulischer Leistung gleich null sein, d.h. der zweite Prozess muss die Leistung übernehmen, welcher der erste freisetzt. Weil die Massenstromstärke gleich Dichte mal Volumenstromstärke ist und das Gravitationspotential im homogenen Feld als Feldstärke mal Höhe geschrieben werden kann, gilt 𝜌𝑔𝐼 (ℎ −ℎ ) + 𝐼 (𝑝 −𝑝 )=0 Kürzt man Volumenstromstärke weg, liefert der Rest eine einfache Beziehung 𝑝 + 𝜌𝑔ℎ = konstant (2.4) Druck mal Volumenstromstärke ergibt den hydraulisch zugeordneten Energiestrom. Der Druck ist das Energiebeladungsmass des Volumens, so wie das Gravitationspotential (gh) die Energiebeladung des Massenstromes beschreibt. Folgerichtig kann man den Druck als hydraulisches Potential bezeichnen. Ein zugeordneter Energiestrom ist im Gegensatz zu Prozessleistung eine reine buchhalterische Grösse, hängt doch der Wert vom Bezugspunkt des Potentials ab. So kann man den Druck gegenüber Vakuum oder gegenüber der umgebenden Luft messen. Im ersten Fall spricht man vom absoluten, im zweiten vom Überdruck. An der Oberfläche des Lac de Dix auf 2364 m ü. M. herrscht ein bestimmter Luftdruck. 1883 m tiefer, auf der Höhe des Kraftwerks Bieudron, muss der Druck im Schacht gemäss (2.4) um Dichte mal Gravitationsfeldstärke mal Höhenunterschied grösser sein. Durch Einsetzen der Zahlenwerte erhält man eine Seite 28 von 221 Hydrodynamik Druckerhöhung von 18.47 MPa. Pascal (Pa) ist die kohärente Einheit, die sich ergibt, wenn man Meter, Kilogramm und Sekunde als Basiseinheiten verwendet. Weil diese Einheit sehr klein ist, nimmt man oft die hunderttausendmal grössere Einheit Bar. Am unteren Ende des Druckschachts beträgt der Überdruck also 185 bar. Im Druckschacht wird die Energie von der Masse auf das Volumen umgeladen. Über der Düse bis zum Freistrahl wird der Druck abgebaut, womit die Energie einen weiteren Träger benötigt. Dieser heisst Impuls und wird im Kapitel Translationsmechanik besprochen. Das Torricelli-Gesetz, wonach die Austrittsgeschwindigkeit gleich Wurzel aus zweimal Gravitationsfeldstärke mal Höhe ist, liefert uns eine alternative Beziehung. Dazu quadrieren wir das Gesetz von Torricelli und teilen durch zwei. Das halbe Geschwindigkeitsquadrat muss damit gleich Gravitationsfeldstärke mal Höhe sein. Multiplizieren wir die Gleichung noch mit der Dichte, können wir (2.4) um einen weiteren Term, die Dichte der kinetischen Energie erweitern 𝑝 + 𝜌𝑔ℎ + 𝜌 𝑣 = konstant (2.5.1) 2 𝐼 = 𝑝 + 𝜌𝑔ℎ + 𝜌 𝑣 2 𝐼 (2.5.2) (2.5.1) wird üblicherweise nach seinem Entdecker, Daniel Bernoulli, benannt. Eine Multiplikation mit der Volumenstromstärke zeigt, dass der Satz von Bernoulli drei verschiedene Energiebeladungen gleichsetzt. (2.5.2) kann auf den Massenstrom umgerechnet werden 𝐼 = 𝑣 𝑝 𝐼 + 𝑔ℎ + 𝜌 2 (2.6) Längs einer reibungsfreien, stationären Strömung bleibt die Summe aus Gravitations-, Inhaltsverzeichnis Druck- und Bewegungsenergie konstant. Entsprechend den Gegebenheiten wird die Energie zwischen schwerer Masse, Volumen und Impuls umgeladen. Das ist der tiefere Sinn des Satzes von Bernoulli. Das Gesetz von Bernoulli (2.5.1), also die Energieerhaltung längs einer strömenden Flüssigkeit oder eines Gases, erklärt die Funktionsweise verschiedener Geräte wie das Prandtl- oder Venturirohr [V3]. Es liefert zudem den hydrostatischen Druck in Flüssigkeiten und enthält das Gesetz von Torricelli als Spezialfall. Der Druckabfall bei einem sich verengenden Rohr wird als hydrodynamisches Paradoxon bezeichnet, weil man gefühlsmässig an der engsten Stelle einen Druckanstieg und nicht einen -abfall erwartet. Bei vielen realen Beispielen muss man mit der Anwendung von (2.5.1) vorsichtig sein, denn oft sind die Strömungsverluste viel zu gross [V4]. Die Frage, wie ein Pumpspeicherkraftwerk (PSW) trotz Strömungsverlusten zur Goldgrube werden kann, soll am Beispiel des PSW Limmern beantwortet werden. Dieses arbeitet zwischen dem Limmern- und dem Muttsee. Bei einer Höhendifferenz von 617 beträgt die Gravitationsspannung von 6.05 kJ/kg. Sowohl die Pump- als auch die Turbinenleistung wird mit 1000 MW angegeben. Setzten wir diesen Wert in (1.7) ein, resultiert ein Massenstrom von 165 t/s oder 165 m3/s. Wir vereinfachen die Geometrie des Werks, damit der Modellierungsaufwand nicht zu gross wird. Die beiden Seen seien prismatisch, behalten also immer die gleiche Oberfläche bei. Für den Muttsee nehmen wir 0.5 km2 und für den Limmernsee 1.25 km2 an. Der Muttsee kann bis 2474 m.ü.M aufgestaut und um 40 m abgesenkt werden. Die maximale Stauhöhe des Limmernsees liegt bei 1857 m.ü.M, das Minimum 16 m tiefer. Damit verändert sich der Höhenunterschied Seite 29 von 221 Hydrodynamik zwischen den Seen von 577 m bis 633 m. Maximal 20 Millionen Kubikmeter werden von einem See zum andern verschoben, womit das PWS 119 Terajoule oder 33 Millionen Kilowattstunden Energie umsetzt. Nimmt man den weiter oben berechneten Durchsatz von 165 Tonnen pro Sekunde, lässt sich die Anlage 33.7 Stunden betreiben. weil die Strömungsgeräusche in den Leitungen die Mitbewohner stören. Diese Geräusche, die mit zunehmender Stromstärke anschwellen, werden durch Turbulenzen erzeugt. In einer turbulenten Strömung wird Druckenergie auf die Bewegung der sich bildender Wirbel übertragen. Weil die Bewegungsenergie quadratisch mit der Geschwindigkeit zunimmt, postulieren wir einen turbulenten Widerstand kV, der das Verhältnis zwischen Druckabfall und Quadrat der Stromstärke beschreibt ∆𝑝 = 𝑘 𝐼 Abbildung 2.4: Systemdiagramm für ein Pumpspeicherkraftwerk mit Volumen-, Energie- und Geldbilanz. Das systemdynamische Modell besteht im Kern aus der Volumenbilanz für die beiden Seen und den daraus berechneten Höhen. Das PSW wird durch den aktuellen Preis in Schweizerfranken pro Megawattstunde gesteuert. Als Wirkungsgrad wird für das Pumpen wie auch das Turbinieren 90% angenommen. Die elektrische Leistung beträgt für beide Vorgänge 1 GW. Der Gewinn wird brutto, also direkt über den aktuellen Preis der Energie berechnet. Dieses einfache Modell ist ausbaufähig, so dass verschiedene Szenarien für das Pumpen und das Turbinieren inklusive Teillastbetrieb simuliert werden können. [V5] 2.4 Strömungswiderstand In vielen Mehrfamilienhäusern darf nach 22 Uhr weder geduscht noch gebadet werden, Inhaltsverzeichnis (2.7) Der turbulente Widerstand kV wird in den Einheiten Pas2/m6 oder kg/m7 gemessen. In Anlehnung an das Gesetz von Bernoulli (2.5) führen wir eine Verlustziffer 𝜁 (Zeta) ein, die auch Druckverlust- oder Widerstandsbeiwert genannt wird. Die Verlustziffer beschreibt das Verhältnis zwischen Druckabfall und Dichte der kinetischen Energie (Energie pro Volumen) 𝜌 ∆𝑝 = 𝜁 𝑣 2 (2.8) Die Verlustziffer beschreibt, wie oft die kinetische Energie längs der Strömung dissipiert wird. Die Verlustziffer gerader Rohre ist proportional zur Länge und umgekehrt proportional zum Durchmesser. Als weiterer Einflussfaktor kommt noch die dimensionslose Rohrreibungszahl hinzu, die von der relativen Rauheit der Rohrwandung und von der dimensionslosen Reynolds-Zahl abhängt 𝜁=λ ℓ 𝑑 (2.9) Als Standardwert für die Rohrreibungszahl nimmt man oft 𝜆 = 0.02. Wie weit diese Gleichungen zusammenzufügt werden können, hängt von der Anwendung ab. Belassen wir es mit dem Zusammenhang zwischen turbu- Seite 30 von 221 Hydrodynamik lentem Widerstand und Verlustziffer, indem wir die Volumenstromstärke als Querschnitt mal Strömungsgeschwindigkeit schreiben 𝑘 =ζ 𝜌 2𝐴 (2.10) Der offene Querschnitt A des Rohres kann bei sich verengenden Rohrstücken zu Berechnungsfehlern führen. Da viele Lehr- und Tabellenbücher für turbulent durchströmte Elemente wie Rohrbögen, Verzweigungen oder Übergangsstücke haufenweise Verlustziffern auflisten, muss man prüfen, ob sich dieser Wert auf den Eingangs- oder den Ausgangsquerschnitt bezieht. Eine falsche Annahme kann bei der Umrechnung von der Verlustziffer zum Strömungswiderstand gemäss (2.10) zu einem beachtlichen Fehler führen. Wasser, das langsam durch ein enges Röhrchen fliesst, bildet keine Wirbel aus, es fliesst ohne Turbulenzen. Eine Untersuchung des Strömungsverhaltens zeigt aussen bei der Wand des Rohres keine und in der Mitte die grösste Strömungsgeschwindigkeit. Die herrschende Druckdifferenz schiebt die einzelnen, zylinderförmigen Schichten der Flüssigkeit geradlinig entlang des Rohres, wobei die Geschwindigkeit von der Mitte her abnimmt. Diese schichtförmige und deshalb laminar genannte Strömung führt zu einem einfacheren Widerstandsverhalten als das turbulent fliessende Wasser: die Druckdifferenz nimmt proportional mit der Volumenstromstärke zu Δ𝑝 = 𝑅 𝐼 (2.11) Der laminare Widerstand RV wird in den Einheiten Pas/m3 gemessen. Einen wesentlichen Einfluss auf den Widerstand hat die Viskosität der Flüssigkeit. Die Viskosität, welche ein Mass für die Zähigkeit darstellt, nimmt mit steigender Temperatur ab, was man beim Öl Inhaltsverzeichnis in der Bratpfanne aufgrund des Fliessverhaltens gut erkennen kann. Die dynamische Viskosität  liefert zusammen mit der Geometrie des Rohres einen mathematisch exakten Wert für den laminaren Widerstand 𝑅 = 128𝜂ℓ 𝜋𝑑 (2.12) 𝐼 𝑅 𝑘 𝑅 𝑘 Im Sinne einer einfachen Hypothese behaupten wir nun, dass die Strömung eines beliebigen Fluids dann von laminar auf turbulent umschlägt, wenn der Druckabfall nach Formel (2.7) grösser als nach Formel (2.11) wird. Indem wir die beiden Ausdrücke gleichsetzen, erhalten wir die kritischen Grössen, bei denen die Strömung von laminar nach turbulent umschlägt (c steht für kritisch) = Δ𝑝 = (2.13) Diese Abschätzung ist nicht sehr präzis. Zudem passiert der Umschlag von laminar zu turbulent nicht schlagartig. In den letzten hundert Jahren sind zu diesem Phänomen sehr viele Experimente durchgeführt worden. Entsprechend umfangreich präsentieren sich die publizierten Daten und die Spezialgesetze für den Übergangsbereich. Für viele Anwendungen reicht ein harter Umschlag nach Formel (2.13). Energie, die aus Sicht der Hydrodynamik verloren geht, nennt man dissipiert. Wie wir im nächsten Kapitel sehen, wird bei der Dissipation eine Art Wärmestoff erzeugt, den man in der Physik als Entropie bezeichnet. Die Energie wird bei der Dissipation vom Volumen auf die neu gebildete Entropie umgeladen. Die Dissipationsleistung, auch Verlustleistung genannt, berechnet sich gemäss Formel (2.3). Setzen wir nun für die Druckdifferenz entweder den turbulenten oder den laminaren Seite 31 von 221 Hydrodynamik Widerstand gemäss (2.7) respektive (2.10) ein, folgt Pumpturbinen mit einem Wirkungsgrad von etwa 93% die grössten Verluste verursachen. 𝑃 2.5 =𝑘 𝐼 𝑃 =𝑅 𝐼 (2.14) Die Prozessleistung steigt bei turbulenten Strömungen kubisch und bei laminaren quadratisch mit der Volumenstromstärke. Wir dürfen deshalb behaupten, dass der Umschlag erfolgt, sobald die turbulente Strömung mehr Energie dissipiert als die laminare, was einer grösseren Entropieproduktion entspricht. Aus betrieblichen Gründen ist die Stärke des Volumenstromes oft vorgegeben. Dann bestimmt der Druckabfall über der Transportleitung die Dissipationsleistung. Als Anwendungsbeispiel berechnen wir die Dissipation in den beiden Druckschächten des Pumpspeicherkraftwerks Limmern (Durchmesser 4.5 m, Länge 1180 m, äquivalente Sandrauheit k = 0.05 mm). Die Sandrauheit benötigen wir zur Berechnung der Rohrreibungszahl 𝜆= 4𝑙𝑜𝑔 1 𝑘 3.71 ∙ 𝑑 = 0.0082 (2.15) Eingesetzt in die turbulente Widerstandsformel (2.7) erhalten wir bei einer Volumenstromstärke von 98.5 m3/s einen strömungsbedingten Druckabfall von 0.41 bar, was einer hydrostatischen Höhe von 4.2 m entspricht (Verlusthöhe). Daraus ergibt sich bei einem totalen Volumenstrom von 197 m3/s für die beiden Druckschächte eine Verlustleistung von 8.1 MW. Verglichen mit der Gesamtleistung des Kraftwerks von einem Gigawatt beträgt dieser Verlust weniger als 1%. Die Beiträge der anderen Teile des Triebwasserweges wie oberer und unterer Druckstollen fallen noch weniger ins Gewicht. Für den Zykluswirkungsgrad (Pumpen und Turbinieren) rechnet man je nach Betriebszustand zwischen 81.6 % und 83.2 %, wobei die Inhaltsverzeichnis Speicher Unsere Photovoltaikanlage liefert jährlich um die 9000 kWh elektrische Energie. Weil die Sonne nicht unbedingt dann scheint, wenn der Energiebedarf gross ist, geht über die Hälfte ans elektrische Netz weg. Umgekehrt müssen wir vor allem im Winter massiv elektrische Energie teuer zukaufen. Könnte man dieses Verlustgeschäft nicht mit einem hauseigenen Pumpspeicherkraftwerk umgehen? Wir wollen diese Frage ohne Rücksicht auf Wirkungsgrad, Kosten und Bauordnung angehen. Den Speicherbedarf setzen wir auf 2000 kWh entsprechend 7.2 GWs. Diese Energie liefert das PSW Limmern in nur 7.2 Sekunden. Die Pumpturbine arbeite zwischen zwei zylinderförmigen Reservoirs mit je 50 m2 Grundfläche. Das Speichersystem ist energetisch leer, wenn beide Reservoirs zur Hälfte gefüllt sind. Der Speicher ist voll, wenn der Spiegel in einem Reservoir doppelt so hoch liegt und das andere leer ist. Formel (1.7) besagt nun, dass die gespeicherte Energie gleich Masse mal Gravitationsfeldstärke mal Hubhöhe ist. Zum Füllen muss das Wasser in einem Reservoir im Durchschnitt um dessen Füllstand hochgehoben werden. Damit erhalten wir für das Speichervermögen folgende Formel 𝑊 = 𝑚𝑔 ℎ ℎ = 𝜌𝑔𝐴 2 4 (2.16) A steht für den Querschnitt und h für die maximale Füllhöhe des einen Reservoirs. Die Auswertung ergibt eine Höhe von 240 m, wobei das zweite nur gut 120 m hoch gebaut werden muss. Würde man dem einen Reservoir einen bedeutend grösseren Querschnitt geben, wäre die Anlage weniger hoch. Das eine Reservoir Seite 32 von 221 Hydrodynamik habe immer noch einen Querschnitt von 50 m2, das andere eine um n-mal grösseren Grundfläche. Die Anfangshöhe sei h0. Pumpt man nun alles Wasser in das engere Reservoir, steigt dort die Füllhöhe um n-mal h0 an. Die aufzuwendende Energie berechnet sich analog zu vorher 𝑊 = 𝜌𝑔𝐴 𝑛(𝑛 + 1) ℎ 2 (2.17) Mit n = 10 erhält man für die Anfangshöhe h0 etwas mehr als 16 m für die maximale Füllhöhe (n+1) h0 =178 m. Wasserbedarf und Baukosten wären immer noch unbezahlbar. Die zu speichernde Energie von 2000 kWh ist recht gross ist. Ein Elektroauto könnte damit gut 10'000 km weit fahren. Statt ein PSW baut man heute oft einen Batteriespeicher ein, der die den Unterschied zwischen Produktion und Verbrauch über eine ganze Woche ausgleicht. Dazu genügt eine Speicherkapazität von 15 kWh. Hydraulische Speicher können Druckspitzen brechen, kurzfristig viel Energie abgeben oder bei Stromausfall über eine gewisse Zeit die Funktion der Anlage sicherstellen. Zu diesem Zweck sind meist Blasen- oder Membranspeicher im Einsatz. Bei der Zentralheizung verwendet man spezielle Membranspeicher, die Expansionsgefässe, zur Überdruckkompensation. Diese gleichen die temperaturbedingte Volumenänderung des Wassers im Heizungskreislauf aus. Ein einfaches Modell für einen Blasenspeicher liefert die kopfstehende PET-Flasche, die von unten mit über einen Schlauch mit Wasser befüllt wird. Das zufliessende Wasser und die anfänglich vorhandene Luft teilen sich das Volumen der Flasche, wobei die Energie in der komprimierten Luft steckt. Solange das Füllen und Entleeren des Speichers nicht im Sekundentakt erfolgt, hat das Gas Inhaltsverzeichnis genügend Zeit, seine Temperatur laufend der Umgebung anzupassen. Unter diesen Umständen, also bei konstanter Temperatur, gehorcht das eingeschlossene Gas dem einfachen Gesetz, wonach das Produkt aus Gasvolumen und absolutem Druck konstant bleibt. Umgerechnet auf das gespeicherte Flüssigkeitsvolumen, welches gemeinsam mit dem Gas den gesamten Innenraum des Speichers ausfüllt, ergibt sich folgendes Speichergesetz 𝑝=𝑝 𝑉 𝑉 −𝑉 (2.18) (2.18) beschreibt den Gasdruck p in Funktion des gespeicherten Flüssigkeitsvolumens V, dem Gesamtvolumen V0 und dem Druck bei leerem Blasenspeicher p0. Wie sich die Luftblase bei variabler Temperatur verhält, diskutieren wir in der Thermodynamik. Die gespeicherte Energie berechnen wir über den hydraulisch zugeordneten Energiestrom, also Druck mal Volumenstromstärke, indem wir diesen zuerst mit einem infinitesimal kleinen Zeitabschnitt dt multiplizieren und dann für den Druck (2.18) einsetzen 𝑑𝑊 = 𝑝𝑑𝑉 = 𝑝 𝑉 𝑑𝑉 𝑉 −𝑉 (2.19) Die Integration über das Volumen von null bis zum Endvolumen Ve ergibt 𝑊 = 𝑝 𝑉 𝑙𝑛 𝑉 𝑉 −𝑉 (2.20) Anhand dieses Beispiels kann nochmals der Unterschied zwischen zugeordneter und Prozessenergie erklärt werden. Formel (2.20) beschreibt die gegen das Vakuum gemessene Energie, die sich aus dem zugeordneten Energiestrom ergibt. Will man die beim Entladen des Blasenspeichers frei verfügbare Prozessenergie wissen, muss man in (2.20) einen Seite 33 von 221 Hydrodynamik Term abziehen, der gleich Umgebungsdruck mal das Volumen des gespeicherten Wassers ist. Zeichnet man das Druck-Volumen-Diagramm für einen beliebigen Hydrospeicher, entspricht die Fläche unter der Kurve der gespeicherten Energie. Zieht man davon ein Rechteck mit Umgebungsdruck mal Volumen ab, steht der Rest für die prozessmässig freisetzbare Energie. speichern. Bei einem Anfangsdruck von 50 bar kann das Gas auf einen Viertel seines Volumens zusammengedrückt werden, womit der Druck auf 200 bar steigt. Wie gross muss das Speichervolumen V0 gewählt werden, damit 2000 kWh respektive 7.2 GWs gespeichert wird? Wir vernachlässigen den Einfluss der Umgebung und rechnen mit Formel (2.20). Das Resultat, ein Druckbehälter mit einem Volumen von etwas über 1000 m3, der für einen maximalen Druck von 200 bar ausgelegt ist, liegt jenseits jeglicher Wirtschaftlichkeit. 2.6 Abbildung 2.5 Volumen-Druck-Diagramm der Blasen zweier Patientinnen. Das Volumen-Druck-Diagramm von Abbildung 2.5 zeigt das Verhalten einer gesunden (links) und einer verhärteten Blase (rechts). Um die gespeicherte Energie in Wattsekunden oder Joule zu berechnen, müssen wir das Volumen in Kubikmeter und den Druck in Pascal umrechnen. Die Fläche ist gegen die linke Achse zu bestimmen, weil die Achsen gegenüber unserer Betrachtung vertauscht sind. Zudem muss kein Rechteck abgezogen werden, da direkt der Überdruck gemessen wird. Die Messkurven zeigen eine Hysterese, d.h. der Druck ist beim Füllen grösser als beim Leeren. Die ausgeschnittene Fläche entspricht der pro Zyklus dissipierten Energie. Das Verhältnis von Volumen- zu Druckänderung wird in der Medizin Compliance genannt. Wir nennen diese Grösse in Anlehnung an die Elektrodynamik Kapazität. Der Blasenspeicher liefert eine weitere Möglichkeit, Energie der Photovoltaikanlage zu Inhaltsverzeichnis Induktivität Das Wort Induktion kommt aus dem Lateinischen und bedeutet Hineinführen. Die elektromagnetische Induktion steht für das von Michael Faraday entdeckte Gesetz, wonach die Änderung des Stromes in einer Drahtspule eine Spannung in einer zweiten Spule bewirkt. Diese Erscheinung tritt in Form von Selbstinduktion bei jeder einzelnen Drahtwicklung auf. Dabei erzeugt die Änderung des Stromes eine Gegenspannung, die den Strom in seinem momentanen Zustand zu halten versucht. Man kann dieses Phänomen auch mit Hilfe des Magnetfeldes erklären. Der Strom bekommt durch die Wirkung des eigenen Magnetfeldes eine Art Trägheit. Die Eigenschaft, die dieses Verhalten quantitativ beschreibt, nennt man Induktivität. Die in einem Rohr strömende Flüssigkeit zeigt ein zum elektrischen Strom analoges Verhalten. Versucht man diese Flüssigkeit schnell abzubremsen, muss eine entgegen der Strömung wirkende Druckdifferenz aufgebaut werden. Das Verhältnis von Druckdifferenz zur Änderungsrate der Stromstärke nennen wir deshalb hydraulische Induktivität LV ∆𝑝 = 𝐿 𝐼 ̇ (2.21) Die hydraulische Induktivität LV wird in den Einheiten Pas2/m3 gemessen. Die Induktivität Seite 34 von 221 Hydrodynamik eines hydraulischen Elementes, wie zum Beispiel eines schnell schaltenden Ventils, kann direkt über das Verhältnis von Druckdifferenz zu Änderung des Volumenstroms pro Schaltzeit gemessen werden. Für lange Rohre folgt aus den Gesetzen der Mechanik eine einfache Formel 𝐿 =𝜌 ℓ 𝐴 (2.22) wobei 𝜌 für die Dichte der Flüssigkeit, ℓ für die Länge des Rohres und A für den offenen Querschnitt steht. Obwohl die Definitionsgleichung für den Widerstand (2.11) und diejenige für die Induktivität (2.21) strukturähnlich sind, sollte man den grossen Unterschied nicht übersehen. Beim Widerstand erzeugt der Strom infolge Reibung einen Druckabfall längs der Strömung, bei der Induktivität entsteht der Druckunterschied nur bei einer Änderung der Stromstärke. So erzeugt die Treibleitung des hydraulischen Widders beim Schliessen des Stossventils einen induktiven Druckstoss, der Wasser über Windkessel und Steigleitung in die Höhe treibt. Zur quantitativen Abschätzung das folgende Beispiel. Eine Wasserleitung von einem Kilometer Länge und einem Querschnitt von 0.1 m2 (entsprechend einem Durchmesser von etwa 35 cm) besitzt gemäss Formel (2.22) eine hydraulische Induktivität von 107 Pas2/m3. Fliesst nun das Wasser mit einer mittleren Geschwindigkeit von 2 m/s, also einer Stromstärke von 0.2 m3/s durch dieses Rohr und bringt man das Wasser mittels eines Schiebers innerhalb einer halben Sekunde zum Stehen, baut sich gemäss Formel (2.21) eine Druckdifferenz von 40 bar auf. Solche Druckspitzen lassen die Rohre einer Wasserversorgung platzen. Das wissen alle Feuerwehrleute, weil eine unsachgemässe Bedienung von Hydranten das Leitungsnetz beschädigen könnte. Inhaltsverzeichnis Hydraulische Induktivitäten sind ebenfalls Energiespeicher, nur speichern diese die Energie zusammen mit einem fliessenden Strom und nicht zusammen mit dem Volumen. Im Abschnitt Speicher haben wir das zylindrische Reservoir kennen gelernt. Solche Tanks zeigen ein lineares Speicherverhalten bezüglich des Volumens und ein quadratisches bezüglich der Energie, d.h. die Energie wächst quadratisch mit dem gespeicherten Volumen. Die hydraulische Induktivität verhält sich ebenfalls linear, d.h. die Druckdifferenz wächst proportional zur Änderungsrate der Volumenstromstärke. Dies hat zur Folge, dass die gespeicherte Energie quadratisch zur Stromstärke ansteigt 𝑊 = 𝐿𝑉 2 𝐼 2 𝑉 (2.23) In der Leitung mit der weiter oben berechneten Induktivität von 107 Pas2/m3 fliesse das Wasser mit einer Stromstärke von 0.3 m3/s. Das ergibt eine induktiv gespeicherte Energie von 450 kWs. Der Schlingertank, eine von Hermann Frahm erfundene Vorrichtung, die das Rollen der Schiffe dämpft, besteht aus einem U-förmigen Tank, der quer zum Schiff angebracht ist. Gerät nun das Schiff durch eine Serie von Wellen in eine Schwingung um die Längsachse, bewegt sich das Wasser im Schlingertank so, dass die hin- und her-Bewegung kleiner wird. Damit diese Dämpfung maximiert wird, muss die Bewegung des Wassers im Schlingertank auf die Eigenschwingung des Schiffs abgestimmt sein. Bei optimaler Abstimmung kann die Bewegung des Schiffs auf etwa einen Sechstel reduziert werden. Vereinfacht funktioniert der Schlingertank wie ein zu einem U geformtes Rohr, das zum grössten Teil mit Wasser gefüllt ist. Lenkt man die Wassersäule aus und lässt los, schwingen die Wasseroberflächen in den beiden Schen- Seite 35 von 221 Hydrodynamik keln des U-Rohres im Gegentakt auf und ab. Die Schwingungsdauer, die Zeit, bis der anfänglich ausgelenkte Teil erneut sein Maximum erreicht hat, hängt von der Induktivität und der Kapazität des Systems ab 𝑇 = 2𝜋 𝐶 𝐿 (2.24) Die Schwingungsdauer ist unabhängig von der Amplitude, der maximalen Auslenkung. Die hydraulische Induktivität kennen wir schon, die hydraulische Kapazität haben wir bei der Blase schon kennen gelernt. Sie ist als Volumenzuwachs in einem Gefäss geteilt durch den zugehörigen Druckanstieg definiert. Indem wir den einen Schenkel des URohres als zylinderförmigen Tank behandeln, erhalten wir 𝐶 = ∆𝑉 𝐴∆ℎ 𝐴 = = ∆𝑝 𝜌𝑔∆ℎ 𝜌𝑔 (2.25) Die Gesamtkapazität des U-Rohres ist halb so gross wie die Kapazität des einen Schenkels, weil sich der Druckunterschied zwischen beiden Schenkeln gegenüber dem einen verdoppelt. Dies gilt allgemein: werden zwei gleich grosse Kapazitäten in Reihe geschaltet, halbiert sich deren Kapazität. Setzt man die Hälfte von (2.25) zusammen mit (2.22) in Berechnungsformel für die Schwingungsdauer (2.24) ein, folgt 𝑇 = 2𝜋 ℓ 2𝑔 2.7 Systemdynamische Modelle Zwei zylindrische Gefässe, die über einen Schlauch miteinander verbunden sind, eignen sich vorzüglich, um die systemdynamische Modellierungstechnik und auch die Struktur der Systemphysik zu erklären. Zu Beginn ist das eine Gefäss gefüllt und das andere leer. Das Volumen wir indirekt mittels einer Waage fortlaufend gemessen. Die Daten können nachher in Berkeley Madonna eingelesen und mit der Simulation verglichen werden. Das Modell besteht im Kern aus der Volumenbilanz. Über die Füllhöhe wird der Druck und daraus die Druckdifferenz zwischen den Gefässen ermittelt. Diese Differenz treibt entsprechend dem Widerstand den Volumenstrom. Formuliert man je einen turbulenten und einen laminaren Widerstand, können beide Parameter an die Messdaten angepasst werden. Daraus lassen sich wichtige Rückschlüsse auf die Strömung im Schlauch gewinnen. In einer zweiten Ebene wird die Energie bilanziert. Die Energieebene übt keine Rückwirkung auf die Dynamik aus, zeigt dafür weitere Zusammenhänge auf. Das einzige Gesetz, das zur Modellierung der Energie verwendet wird, ist die Berechnung des Energiestromes aus der Volumenstromstärke [V6]. (2.26) Die Schwingungsdauer nimmt mit der Wurzel aus der Länge der Wassersäule zu. Eine Wassersäule von einem Meter Länge ist gemäss (2.26) nach 1.4 Sekunden wieder im gleichen Zustand. Inhaltsverzeichnis Abbildung 2.6 Systemdiagramm (links) sowie Füllhöhen (rot, blau) und (Volumenstromstärken) beim Ausgleichsvorgang zwischen zwei Gefässen. Ersetzt man die Gefässe durch PET-Flaschen, wird das System durch die nichtlinearen Speicher etwas komplexer. Zudem lässt sich der Druckbereich über eine grössere Skala variieren. Das Volumen wird diesmal mittels eines Seite 36 von 221 Hydrodynamik Kraftmessgerätes gemessen. Auf den laminaren Widerstand darf man verzichten. Abbildung 2.7 Kommunizierende PET-Flaschen an zwei Kraftmessgeräten hängend. Das systemdynamische Modell für die zwei Flaschen weicht nur wenig von dem Modell für die zylindrischen Gefässe ab. Das kapazitive Gesetz hat sich geändert und der Druck muss mit Rücksicht auf das Gasgesetz (2.19) absolut gesetzt werden. Abbildung 2.8 Das systemdynamische Modell zweier PETFlaschen mit der Volumenbilanz und Energiebilanz. Das Systemdiagramm ist zum grossen Teil selbsterklärend. Ausgehend vom Volumen wird über den Druck die Volumenstromstärke berechnet. Die dazu notwendigen Inhaltsverzeichnis Parameterwerte sind global hinterlegt, die Gesetze werden in den einzelnen Kugeln formuliert. Die schwarzen Pfeile zeigen die Abhängigkeiten auf und werden deshalb auch Kausalpfeile genannt. Die Energiebilanz ist über den zugeordneten Energiestrom mit der Volumenbilanz verknüpft. Sie wirkt selber nicht auf diese zurück, weshalb keine Kausalpfeile von der Energie- zur Volumenbilanz führen. Der Triebwasserweg des PSW Limmern besteht aus einem vom Muttsee zum Wasserschloss führenden Oberwasserstollen, zwei Druckschächte bis zu den Pumpturbinen und zwei Unterwasserstollen bis zum Limmernsee. Das Wasserschloss vermindert die Druckstösse in den Druckschächten und im oberen Druckstollen. Fliesst keine Wasser über den Triebwasserweg, steht das Wasser im Vertikalschacht des Wasserschlosses gleich hoch wie im Muttsee. Im Turbinenbetrieb liegt der Spiegel im Wasserschloss reibungsbedingt tiefer als im Muttsee, im Pumpbetrieb entsprechend höher. Sobald sich die Stärke des Wasserstromes ändert, schwingt der Wasserspiegel auf und ab. Dieses Verhalten wollen wir etwa eingehender besprechen. Der Druckstollen hat einen Durchmesser von 8.2 m und eine Länge von 740 m. Im Turbinenbetrieb fliessen maximal 197 m3/s durch diesen Stollen, im Pumpbetrieb 144.5 m3/s. Weil vier Pumpturbinen betrieben werden, kann der Volumenstrom in Viertelschritten geändert werden. Der Schacht des Wasserschlosses hat einen Durchmesser von 12 m. Formel (2.15) liefert bei einer Sandrauheit von 0.6 für die Rohrreibungszahl den Wert 0.086. Wir nehmen nun an, dass der horizontale Oberwasserdruckstollen 50 m unterhalb des aktuellen Spiegels des Muttsees verlaufe. Modellbildung und Simulationsergebnisse sind in einem Video ausführlich erklärt [V7]. Seite 37 von 221 Hydrodynamik Die Induktivität der Treibleitung ist für die Funktion des hydraulischen Widders von zentraler Bedeutung. Die hier dargelegte Theorie reicht jedoch nur aus, um das Prinzip zu verstehen, nicht aber um die Druckspitze bei gegebener Schaltzeit des Stossventils zu berechnen. Dazu bräuchte man eine differenziertere Beschreibung der Druckstösse in Rohrleitungen. Zudem ist die dynamische Modellierung des Stossventils recht komplex. Im Modell ersetzen wir diesen Teil des Systems durch eine periodische Druckschwankung, die direkt auf die hydraulische Induktivität der Treibleitung wirkt [V8]. 2.8 Modelica: Hydrodynamik In der Modelica Standard Library findet man keine einfach strukturierte Hydraulik, wohl aber in der privaten PhyDynSys-Library. Der hydraulische Port enthält den Druck als Potential- und die Volumenstromstärke als Flussgrösse. Verschieden Speicher und Widerstände, sowie eine hydraulische Induktivität sind als Modelle hinterlegt. Dazu kommen Ventile, Pumpen und Motoren, die mechanisch oder elektrisch betrieben werden können. Anzeigegeräte für Druck und Volumenstromstärke können Signale an Regler senden, damit diese die Systeme steuern. Soll man für die Ölhydraulik laminare und für die Wasserhydraulik turbulente Reibung verwenden? Soll man den Übergang zwischen diesen beiden Strömungsformen hart, mit einem Ereignis, oder weich, mit einer Funktion, modellieren? Auf diese und viele ähnliche Fragen gibt es keine eindeutige Antwort. Bei überschaubaren Systemen kann man relativ detailgetreu modellieren, bei komplexen müssen die einzelnen Teilmodelle einfach gehalten werden, sonst wird der Aufwand bei der Simulation zu gross. Folglich sollten die Inhaltsverzeichnis vordefinierten Modelle einer Bibliothek ein breites Feld abdecken und unterschiedliche Modellierungstiefen aufweisen. Einige Modelle, die zueinander ähnlich sind, können in einem strukturvariablen Modell zusammengefasst werden. Dieses Modell vereinigt die globalen Strukturen, kann dafür je nach Problemstellung in den Details angepasst werden. Die Dynamik einer langen Rohrleitung lässt sich mit Modelica näherungsweise simulieren, obwohl diese Sprache für konzentrierte Systeme geschrieben worden ist. Dazu schaltet man Kapazitäten, Widerstände und Induktivitäten zu einer langen Kette zusammen. In Modelica muss man die drei Elemente einmal aufrufen und parametrisieren. Dann kann man sie unter Angabe der Anzahl Kettenglied mit einer Loopschleife verknüpfen. Die so diskretisierte Näherung des eindimensionalen Kontinuums erfordert eine genügend feine Unterteilung. Verglichen mit den auftretenden Wellenlängen sollte die Ausdehnung eines Elementes klein sein. Andernfalls ergibt die Simulation eine im Experiment nicht vorhandene Dispersion in Form von auseinanderfliessenden Wellenpakte. Ventile sollen verschiedene Zwecke erfüllen und weisen deshalb unterschiedliche Bauformen auf. Weg- Druck-, Rückschlag-, Multiplikator- oder Sperrventile müssen ihrer Funktion entsprechend modelliert werden. Oft bieten sich verschiedene Möglichkeiten an, wobei es keine für alle Anwendungen optimale Lösung gibt. Die Teilbibliothek Hydrodynamik wird wie die anderen Teile der Systemphysik-Library PhyDynSys entsprechend den Bedürfnissen und Rückmeldungen laufend angepasst. Seite 38 von 221 Thermodynamik 3 Thermodynamik Thermodynamik oder Wärmelehre beschäftigt sich mit der Wärme. Doch was ist Wärme? Wärme ist die Energie, die zwischen zwei Systemen aufgrund unterschiedlicher Temperaturen übertragen wird. Diese Definition findet man in Wikipedia und in vielen Lehrbüchern der Physik. Wärme ist also eine Übertragungs- und damit keine Speicherform. Folglich gibt es gemäss dieser Definition keinen Wärmeinhalt und damit keine Wärmspeicher, obwohl das Wort Wärmekapazität genau das suggeriert. Ältere Lehrbücher, die Wärme als Bewegungsenergie von Atomen und Molekülen definieren, liegen sogar doppelt falsch. Erstens sind die Gasmoleküle Teil eines Speichers und zweitens wird die Wärme meist durch Metalle, die nicht aus Molekülen bestehen, transportiert. Vielleicht hätte sich die Thermodynamik anders entwickelt, wenn ihr Begründer, Sadi Carnot, nicht schon mit 36 Jahren an Cholera gestorben wäre. In seiner genialen Abhandlung zur treibenden Kraft des Feuers vergleicht er das Wasserkraftwerkt mit der Wärmekraftmaschine [1]. In seiner aus heutiger Sicht absolut zutreffenden Analogie setzt er die Temperaturdifferenz mit der Fallhöhe des Wassers und einen Wärmestoff (calorique) mit dem Wasser gleich. Beide Mengen, Wasser und Wärmestoff, setzen treibende Kraft frei, sobald sie über eine Höhendifferenz respektive eine Temperaturdifferenz hinunterfliessen. Bald zweihundert Jahre nach der Veröffentlichung seiner Arbeit, liefern die Ideen von Sadi Carnot immer noch das tragende Fundament der gesamten Thermodynamik. Selbstverständlich müssen wir aus heutiger Sicht ein paar Begriffe schärfen und ein paar Definitionen anpassen. Nicht das Wasser, sondern seine Masse liefert beim Herunterfliessen die Energie, wobei nicht die Höhendifferenz, sondern die Gravitationsspannung entscheidend ist. Der Wärmestoff heisst heute Entropie und die treibende Kraft nennen wir freigesetzte Energie. Inhaltsverzeichnis Seite 39 von 221 Thermodynamik 3.1 Wärmepumpe Sechs Wärmepumpen sind in unserem Haushalt mehr oder weniger oft im Einsatz, zwei zum Kühlen, zwei zum Heizen und zwei zum Trocknen. Greifen wir zwei Wärmepumpen heraus. Die eine gehört zum Gefrierschrank und die andere dient als Heizung. Beide Geräte besitzen einen Verdampfer, einen Kompressor, einen Kondensator sowie eine Drossel. Im Verdampfer geht ein Kältemittel, oft mit einer Nummer wie R410a bezeichnet, bei kleinem Druck und tiefer Temperatur vom flüssigen in den gasförmigen Zustand über. Dabei nimmt das Kältemittel viel Wärme von der Umgebung auf. Der Kompressor erhöht den Druck und damit die Temperatur des gasförmigen Dampfes. Im Kondensator kühlt der unter hohem Druck stehende Dampf zuerst ab und beginnt dann bei praktisch konstanter Temperatur zu kondensieren. Dabei gibt er Wärme ab. In der nachfolgenden Drossel entspannt sich die Flüssigkeit, wobei ein kleiner Teil verdampft. Durch Druckabfall und Verdampfen sinkt die Temperatur wieder auf den ursprünglichen Wert ab. Der Verdampfer befindet sich beim Gefrierschrank im Innenraum und bei der Heizung draussen hinter dem Haus. Der Kondensator ist an der Rückwand des Gefrierschranks an dem ausgedehnten, schwarzen Röhrensystem zu erkennen. Der Kondensator der Heizung befindet sich zusammen mit Wärmepumpe und der Steuerung in einem gemeinsamen Kasten. Im Gegensatz zum Gefrierschrank, der seine Wärme an die Umgebung abgibt, überträgt der Kondensator der Heizung die Wärme an den Wasserkreislauf der Bodenheizung. Verdampfen, Komprimieren, Kondensieren und Entspannen, die vier Teilprozesse der Wärmepumpe können wir jetzt mit Hilfe des Wärmestoffes, der Entropie, beschreiben. Beim Verdampfen nimmt das Kältemittel sehr viel Entropie und damit auch Energie von der Umgebung auf. Der Kompressor ändert den Inhaltsverzeichnis Entropiegehalt des Dampfes kaum, erhöht aber dessen Energie. Im Kondensator gibt das Kältemittel Entropie und Energie ab, wobei das Verhältnis von Energie zu Entropie grösser ist als beim Verdampfen. In der Drossel benötigt der entstehende Dampf ziemlich viel Entropie, weshalb die verbleibende Flüssigkeit stark abkühlt. Von den vier Prozessen sind nur Verdampfen und Kondensieren für den Entropie- und den Energieaustausch mit der Umgebung verantwortlich. Die beiden andern Prozess dienen der Temperaturänderung. Doch wie hängen Entropie und Energie bei der Zufuhr zum Verdampfer und bei der Abgabe an das Wasser der Bodenheizung zusammen? Hier kommt das Bild von Sadi Carnot ins Spiel. Was wir beim Wasserkraftwerk gelernt haben, können wir nun auf die Entropie übertragen. Anstelle der Masse amtet die Entropie als Energieträger und statt des Gravitationspotentials beschreibt die Temperatur, wieviel Energie von der Entropie mitgenommen wird. Dieser Vergleich hinkt etwas, weil die Masse konvektiv, also durch Bewegung transportiert wird, die Entropie dagegen scheinbar bewegungslos durch den Wärmetauscher hindurchfliesst. Wir haben es hier also mit einem unbewegten Strom zu tun, einer Erscheinung, die in der Natur oft auftritt und wir mit leitungsartig bezeichnen. 3.2 Entropie als Wärmestoff Was soll man sich unter Entropie vorstellen? Unordnung sagen die einen, gar nichts die andern. Das zutreffendste Bild liefert die Umgangssprache, indem sie die Entropie als Wärme bezeichnet. Leider ist das Wort Wärme in der Physik schon anderweitig vergeben, nämlich für die thermisch ausgetauschte Energie. Nehmen wir deshalb im Sinne eines diplomatischen Kompromisses den Begriff Wärmestoff. Entropie oder eben Wärmestoff ist mengenartig, kann also Seite 40 von 221 Thermodynamik gespeichert und transportiert werden. Zudem ist die Entropie wie die Masse oder die elektrische Ladung ein Energieträger. Damit können wir auch die Wärme im Sinne Physik definieren: Wärme ist die Energie, die zusammen mit der Entropie über die Systemgrenze tritt. Durch Reibung entsteht Wärme. Wie ist diese weit verbreitete Aussage zu verstehen? Betrachten wir dazu nochmals den Rheinfall. Dort fliessen im Sommer gut 500 Tonnen Wasser pro Sekunde etwa 20 Meter hinunter. Die Fallhöhe ergibt eine Gravitationsspannung von 200 J/kg, womit der Rheinfall eine Prozessleistung von 100 MW freisetzt. Würde man diese Leistung «verstromen», gingen die 100 MW zu einem grossen Teil über das elektrische Netz weg. Weil ein kleines Kraftwerk nur 5 MW nutzt, wird sehr viel Entropie erzeugt. Entropie wird immer dann produziert, wenn in einem Prozess Energie freigesetzt wird, ohne dass ein zweiter Prozess diese aufnimmt. Gleitreibung, Wärmeerzeugung in einer Kochherdplatte oder verbrennen von Öl und Gas sind neben dem Wasserfall weitere Beispiele, bei denen mit der freigesetzten Energie Entropie erzeugt wird. Generell produzieren alle möglichen Prozesse Entropie. Lebewesen sind darauf angewiesen, dass sie die selbst produzierte Entropie abgeben können, sonst droht ein Wärmestau. Die gleiche Aussage gilt für die Erde als Ganzes. Diese befindet sich bezüglich der Energie in einem Fliessgleichgewicht, strahlt also die gleiche Leistung in den Weltraum ab, wie sie von der Sonne bekommt. Sie gibt aber etwa zwanzigmal mehr Entropie in den Weltraum ab, als sie von der Sonne bekommt. Ohne diese Entropieproduktion wäre Leben auf der Erde gar nicht möglich. Die Entropieproduktion treibt auch Wind und Wetter an. Generell bildet die Entropieproduktion die treibende Kraft für die Vielfalt der Erscheinungen im ganzen Universum. Inhaltsverzeichnis Ein reibungsfrei schwingendes Pendel und der durchs Vakuum fallende Körper unterscheiden sich von praktisch allen anderen möglichen Prozessen dadurch, dass man diese Bewegung filmen und dann den Film unbemerkt rückwärts abspielen kann. Im Gegensatz zu einem essenden Menschen, einem auf den Boden aufschlagenden Ei oder einem umstürzenden Baum sieht man dem schwingenden Pendel nicht an, ob die filmische Darstellung korrekt ist, oder ob jemand den Film spasseshalber rückwärts hat laufen lassen. Solche Prozesse nennt man zeitumkehrinvariant oder reversibel. Weil Entropie nur erzeugt und unter keinen Umständen vernichtet werden kann, sind alle reversiblen Prozesse reibungsfrei, d.h. es wird dabei keine Entropie produziert. Einzelne Philosophen gehen noch einen Schritt weiter und postulieren, dass die Entropieproduktion der Zeit eine Richtung aufprägen. Back to the Futere ist nicht möglich, weil beim Zeitsprung rückwärts zwingend Entropie vernichtet werden müsste. Ein schwingendes Pendel oder ein um die Erde fallender Satellit bewegt sich nie ganz reibungsfrei. Schon das Licht, das wir zur Beobachtung benötigen, erzeugt eine kleine, wenn auch nur minimal Reibung. Deshalb beschreibt der reversible Vorgang den theoretischen Grenzfall, den man in der Praxis annähern, aber nie erreichen kann. Bemerkenswerterweise sind viele Gleichungen der Physik zeitumkehrinvariant, beschreiben deshalb nur die reversiblen Grenzprozesse. Dies muss man sich bewusst sein, wenn man ein Modell mittels Experimente validieren will. Der Reibungseinfluss muss entweder ins Modell hineingerechnet oder von den experimentellen Daten abgezogen werden. Seite 41 von 221 Thermodynamik 3.3 Temperatur als Energiebeladung Eine Raumtemperatur von 20°C oder eine Aussentemperatur von -5°C sagt uns etwas, weil wir mit dieser Skala vertraut sind. Die rein empirische Celsius-Skala ist ursprünglich mit Hilfe des Quecksilberthermometers definiert worden, indem die Ausdehnung der Quecksilbersäule zwischen der Temperatur des gefrierenden und des siedenden Wassers bei Normaldruck in hundert Einheiten unterteilt worden ist. Wasser zieht sich von 0°C bis 4°C ganz wenig zusammen und dehnt sich bei höherer Temperatur wieder aus. Wasser hat damit bei 4°C die grösste Dichte, weshalb tiefe Gewässer unterhalb von etwa 20 m diese Temperatur aufweisen. Andere Flüssigkeiten zeigen gegenüber Quecksilber ebenfalls ein nichtlineares Verhalten. Wieso ist man sich denn so sicher, dass Quecksilber die richtige Flüssigkeit ist? Vor 300 Jahren haben Leute wie etwa Daniel Gabriel Fahrenheit viel experimentiert und sich dann für das brave Quecksilber entschieden. Fahrenheit hat Jahre vor Celsius eine Skala mit tieferem Nullpunkt definiert, weil er negative Werte vermeiden wollte. Damals war noch nicht klar, ob es eine tiefste Temperatur gibt und wie weit unten sie liegt. Viele verschiedene Beobachtungen wie das Verhalten des idealen Gases oder die mikroskopische Erklärung, welche die Temperatur mit der kinetischen Energie der Atome und Moleküle verbindet, haben für mehr Klarheit gesorgt. Heute wissen wir, dass der absolute Tiefpunkt der Temperatur bei -273.15 °C liegt. Diese Erkenntnis hat zur Kelvin-Skala geführt, deren Einheit derjenigen der CelsiusSkala entspricht. Die beiden Skalen unterscheiden sich im Nullpunkt, der bei der Kelvin- um 273.15 tiefer als bei °C-Skala liegt. Grad Celsius ist eine empirische Skala, Kelvin wird dagegen theoretisch als Verhältnis von Inhaltsverzeichnis Energie- zu Entropieaustausch definiert. Schreiben wir diese Definition mit Hilfe von Stromstärken, folgt ein fundamentaler Zusammenhang zwischen den beiden Stromstärken 𝐼 = 𝑇𝐼 (3.1) S ist das Formelzeichen für Entropie. (3.1) ordnet dem Entropiestrom die Einheit W/K zu. Folglich wird die Entropie mit Ws/K oder J/K gemessen. Eine ideale Wärmepumpe fördert Entropie, erzeugt aber keine. Folglich ist der Entropiestrom am Eingang gleich stark wie beim Ausgang. Daraus folgt mit (3.1) die Formel für die Leistung bei einem idealen thermischen Prozess 𝑃 = 𝐼 (𝑇 −𝑇 ) = 𝐼 ∆𝑇 (3.2) Die Aussagen von (3.1) und (3.2) lassen sich am Beispiel der idealen Wärmepumpe graphisch darstellen, wie Abbildung 3.1 zeigt. Die Temperatur erscheint als Höhe, die Temperaturdifferenz als Förderhöhe, zugeordneter Energiestrom und Prozessleistung erinnern an die Gravitation. Ist die Entropiestromstärke am Ausgang grösser als am Eingang, arbeitet die Wärmepumpe nicht ideal. (3.2) verliert dann im Gegensatz zu (3.1) seine Gültigkeit. Abbildung 3.1 Schematische Darstellung einer idealen Wärmepumpe mit Entropie- und Energiestrom. Seite 42 von 221 Thermodynamik Der Sekundärkreislauf eines Druckwasserreaktors arbeitet ähnlich wie eine Wärmepumpe, nur wird das Wasser bei hoher Temperatur und grossem Druck verdampft, geht dann durch eine Kaskade von Turbinen, kondensiert bei kleinem Druck und tiefer Temperatur. Eine Hochdruckpumpe erzeugt zum Schluss des Kreislaufes den notwendigen Druck, damit das Wasser wieder in den Verdampfer gelangen kann. Abbildung 3.3 Schematische Darstellung einer idealen Wärmekraftmaschine mit Entropie- und Energiestrom. Reale Wärmekraftmaschinen arbeiten so wenig ideal wie Wärmepumpen. Grund dafür ist die unerwünschte Entropieproduktion im ganzen Kreislauf. Schauen wir und diese bei der Wärmepumpe etwas genauer an. Abbildung 3.2 Schematische Darstellung eines KKW mit Reaktor, Verdampfer, Dampfturbinen und Kondensator. Aus den Angaben zum KKW Gösgen folgt, dass vom Reaktor ein Energiestrom von 3002 MW bei etwa 553 K in den Dampferzeuger fliesst. Der vom Kondensator an den Kühlkreislauf abgeführte Energie hat eine Stärke von 1940 MW, wobei die Temperatur nur noch 310 K beträgt. Formel (3.1) liefert uns beim Verdampfer einen Entropiestrom der Stärke 3002 MW : 553 K = 5.43 MW/K Beim Kondensator ergibt die analoge Rechnung 6.26 MW/K. Die Entropieproduktionsrate beträgt damit 0.83 MW/K. Eine ideale Wärmekraftmaschine nutzt die Prozessleistung der thermisch hinunterfliessenden Entropie gemäss (3.2), ohne selber Wärmestoff zu produzieren. Folglich ist der Entropiestrom am Eingang gleich stark wie beim Ausgang. Die graphische Darstellung der Wärmekraftmaschine erinnert stark an ein Wasserkraftwerk wie Abbildung 3.3 zeigt. Inhaltsverzeichnis Abbildung 3.4 Schematische Darstellung einer Wärmepumpe mit Kondensator (1), Drossel (2), Verdampfer (3) und Verdichter (4). Die Wärme, also die Wandergemeinschaft von Energie und Entropie, geht über einen Wärmetauscher ins Kältemittel hinein und über einen zweiten an den Heizkreislauf weg. Damit dieser Transport schnell genug verläuft, braucht es je ein Temperaturgefälle. Dieser Vorgang führt unweigerlich zu einer Entropieproduktion. Das Expansionsventil produziert im Gegensatz zum Verdichter, der theoretisch optimal arbeiten kann, prozessbedingt ziemlich viel Entropie. Schauen wir uns die Wärmeleitung etwas genauer an. Seite 43 von 221 Thermodynamik 3.4 Wärmeleitung Ein Stück einer Hauswand oder ein Wärmetauscher lässt einen Wärmestrom durch, der im ersten Fall möglichst klein, beim zweiten aber möglichst gross sein soll. Den Zusammenhang zwischen Energiestrom und Temperaturdifferenz beschreiben wir mit einem Wärmeleitwert GW 𝐼 = 𝐺 (𝑇 −𝑇 ) = 𝐺 ∆𝑇 (3.1) die Stärke des Entropiestromes am Eingang des Wärmeleiters, ermittelt mit (3.2) die Prozessleistung, berechnet die maximal mögliche Produktionsrate nach (3.5) und addiert diese zur Entropiestromstärke am Ausgang, ergibt sich der gleiche Wert, wie wenn man direkt mit (3.1) gerechnet hätte. (3.5) lässt sich mit Hilfe von (3.2), (3.1) und (3.3) in (3.4) überführen. (3.3) Der Wärmeleitwert GW wird in Watt pro Kelvin oder Watt pro Grad Celsius gemessen. Um eine Skalierung zur ermöglichen wird der Wärmeleitwert meist pro Quadratmeter Fläche angegeben. Diese Grösse heisst Wärmedurchgangskoeffizient oder im Bauwesen UWert. Wendet man nun (3.1) auf den Eingangs- und den Ausgangsstrom der Energie an, resultiert eine starke Zunahme der Entropie. Für die Entropieproduktionsrate 𝛱 erhalten wir 𝛱 =𝐺 (𝑇 −𝑇 𝑇 𝑇 ) (3.4) Der Energiestrom wächst bei der Wärmeleitung linear und die Entropieproduktionsrate ungefähr quadratisch mit der Temperaturdifferenz, falls der Wärmeleitwert nicht oder nur ganz schwach von der Temperatur abhängt. Die Wärmeleitung kann auch als idealer Prozess mit nachgeschalteter Entropieproduktion dargestellt werden, wobei für die Entropieproduktionsrate die folgende, aus (3.1) abzuleitende Formel gilt 𝛱 = 𝑃 𝑇 (3.5) Die Prozessleistung P steht für irgendeinen Prozess wie etwa gravitativ, hydraulisch, mechanisch, elektrisch oder thermisch. Bestimmt man aus dem Energiestrom gemäss Inhaltsverzeichnis Abbildung 3.5 Schematische Darstellung der Wärmeleitung mit Entropie- und Energiestrom sowie Entropieproduktion. Der Wärmetransport zwischen zwei verschieden warmen Speichern wird durch zwei Grenzprozesse beschrieben, den Idealprozess und die Wärmeleitung. Der ideale Wärmeprozess setzt die maximale Leistung frei, wobei die Entropie konstant bleibt. Bei der Wärmeleitung bleibt der Energiestrom längs des Transportweges erhalten, dafür nimmt die Entropie maximal zu. Abbildung 3.5 zeigt die schematische Darstellung der Wärmeleitung, wobei der Energiestrom beim Ausgang gleich stark ist wie beim Eingang. Kupfer, Silber und Gold sind gute Wärmeleiter. Würde man das Kupfer im Wärmetauscher durch Gold ersetzen, wäre man enttäuscht, weil sich der Wärmeleitwert nur wenig verbessert. Das hängt mit den Wärmeübergängen zusammen. Diese Übergänge bilden sich in einer Grenzschicht zwischen einem Gas oder einer Flüssigkeit und dem Seite 44 von 221 Thermodynamik wärmeleitenden Festkörper. In dieser Schicht strömt das Fluid auf der warmen Seite nach unten und auf der kalten nach oben. Dieser konvektive Transport liefert einerseits die Wärme, hat aber andererseits nur ein beschränktes Transportvermögen. Eine direkte Wärmeleitung aus der Luft oder dem Wasser zur begrenzenden Wand ohne Konvektion, wäre noch viel ineffizienter, da speziell die Luft Wärme sehr schlecht leitet. Steinwolle, Styropor, Fell- der Federkleid verdanken ihre isolierende Wirkung der Luft, die an der Konvektion gehindert wird. In erster Näherung beschreibt man den Wärmeübergang zwischen einem Fluid und einem Festkörper mit einem Wärmübergangskoeffizienten  𝐼 = 𝛼𝐴(𝑇 − 𝑇 ) (3.6) A steht für die Grösse der Oberfläche. Der Übergangskoeffizient ist kein fixer Wert, da er von vielen Faktoren wie Orientierung und Beschaffenheit der Fläche, mögliche Sonneneinstrahlung oder Feuchtigkeit abhängt. Die Wärmeleitung im Festkörper, in der Flüssigkeit oder im Gas hängt von der Wärmeleitfähigkeit  des Materials sowie der zugehörigen Geometrie ab 𝐴 𝐼 = 𝜆 (𝑇 − 𝑇 ) 𝑑 (3.7) (3.7) gilt für prismatische Strukturen, wobei die Dicke d in Richtung des Wärmestromes und der Querschnitt A normal dazu gemessen wird. Ändert der Wärmeleiter in Transportrichtung seinen Querschnitt, muss man diesen in scheibenförmige Stücke zerlegen, auf jedes dieser Scheiben (3.7) anwenden und längs des Stromes zusammenzählen, was im Grenzfall zu einer Integration in Stromrichtung führt. Komplexere Strukturen, wie etwa der Block eines Dieselmotors, rechnet man heute mit einem Finite-Element- Inhaltsverzeichnis Programm. Soll der Wärmeleitwert einer Wand, einer mehrschichtigen Tür oder eines Dachs gerechnet werden, zerlegt man das Objekt in die einzelnen Teile. Weil der Energiestrom erhalten bleibt und die Summe aller Temperaturdifferenzen gleich dem totalen Temperaturunterschied sein muss, zerlegt man die gesamte Temperaturdifferenz in die notwendigen Teildifferenzen, setzt für die Leitung (3.7) und für die Übergänge (3.6) ein sowie für die gesamte Differenz (3.3). Dann kann man die in jedem Term auftauchende Energiestromstärke wegkürzen, was zu folgender Additionsvorschrift führt 1 1 𝑑 𝑑 1 = + + + 𝐺 𝛼 𝐴 𝜆 𝐴 𝜆 𝐴 𝛼 𝐴 (3.8) Formel (3.8) gilt für einen Wärmeleiter aus zwei Materialien. Bei mehreren Schichten muss (3.8) entsprechend ergänzt werden. So sind bei Dreifachverglasung für den Fensterbereich sechs Übergänge zu rechnen. Durch Division mit der Fläche A gewinnt man eine Berechnungsvorschrift für den Wärmeübergangskoeffizienten, auch U-Wert genannt. 3.5 Wärmespeicher Eis schmilzt bei 0°C und das entstandene Wasser verdampft bei 100°C, falls der Luftdruck 1013 hPa beträgt. Wasserdampf, der unter diesem Druck steht, kondensiert bei 100°C und das entstandene Wasser gefriert bei 0°C. Ist der Druck höher, verschiebt sich die Siedetemperatur nach oben, bei einer Druckabsenkung nach unten. Wasser kann also auch bei Zimmertemperatur sieden, wenn der Druck tief genug ist. Schmelzen erfordert sehr viel Entropie und somit auch Energie. Zum Verdampfen ist das Mehrfache der Schmelzwärme erforderlich. Im technischen Bereich wird die Schmelz- und Verdampfungsenergie spezifisch, also pro Kilogramm angegeben, in der Chemie arbeitet man oft mit den molaren Werten. Die Seite 45 von 221 Thermodynamik Umrechnung von spezifisch zu molar geht über die molare Masse, die Masse pro Mol. Abbildung 3.6 spezifische Enthalpie von Wasser bei unterschiedlichem Druck. Abbildung 3.6 zeigt für Wasser die spezifische Enthalpie in Funktion der Temperatur. Die Enthalpie ist eine dem Speicher zugeordnete Energiegrösse, die im Anhang erklärt wird. Die spezifische Schmelzenthalpie von Wasser, ein für viele Messungen wichtiger Wert, beträgt 334 kJ/kg, die spezifische Verdampfungsenthalpie ist mit 2256 kJ/K fast siebenmal grösser. Zwischen 0°C und 100°C nimmt die Enthalpie von Wasser ziemlich linear zu, weshalb man eine Enthalpiekapazität als Proportionalitätsfaktor einführen kann. Aus historischen Gründen nennt man diese Wärmekapazität bei konstantem Druck. Erhitzt man Eis mit einer bestimmten Temperatur Tan bis zu Dampf der Temperatur Tend, kann man die Änderung der Enthalpie H berechnen Δ𝐻 = 𝑚(ℎ + ℎ + ℎ + ℎ + ℎ ) (3.9) Von den fünf spezifischen Enthalpien sind die Schmelz- hS und die Verdampfungsenthalpien hV direkt der Tabelle zu entnehmen, bei den drei andern muss man die spezifische Wärmekapazität noch mit der Temperaturänderung multiplizieren Δ𝐻 = 𝑚∆ℎ = 𝑚𝑐(𝑇 −𝑇 ) Inhaltsverzeichnis (3.10) Die spezifische Wärmekapazität von Eis liegt bei 2.1 kJ/(kgK), von Wasser bei 4.2 kJ/(kgK) und von Dampf bei 2 kJ/(kgK), wobei diese Werte nicht über den ganzen Temperaturbereich konstant sind. Um die spezifischen Entropieänderungen beim Schmelzen und beim Verdampfen zu ermitteln, muss die zugehörige Enthalpie durch die Schmelz- respektive Verdampfungstemperatur dividiert werden. Dies folgt aus der Grundformel (3.1) und den beiden Bilanzbeziehungen. Zur Berechnung der Entropieänderung über einen grösseren Temperaturbereich muss (3.10) für eine beliebig kleine Temperaturänderung dT formuliert werden. Dividiert man diese durch die aktuelle Temperatur, erhält man die Entropieänderung für eine infinitesimal kleine Temperaturänderung. Unter der Bedingung einer temperaturunabhängigen Wärmekapazität liefert eine Integration dieser Beziehung folgenden Ausdruck Δ𝑆 = 𝑚𝑐 ∙ 𝑙𝑛 𝑇 𝑇 (3.11) Wäre (3.11) für Eis bis zu null Kelvin hinunter gültig, wäre der Entropieinhalt eines Stoffes beliebig gross. Daraus folgt, dass jede Wärmekapazität bei sehr tiefer Temperatur gegen null gehen muss. Ein von Peter Debye entwickeltes, auf quantisierten Schwingungen beruhendes Modell besagt, dass die Wärmekapazität in der Nähe des Nullpunktes mit der Temperatur hoch drei zunimmt. Folglich steigt die Energie mit der vierten Potenz und die Entropie mit der dritten Potenz der Temperatur. Im Bereich unserer unmittelbaren Erfahrungen beschreiben (3.10) und (3.11) die Enthalpie und Entropieänderung der meisten Stoffe recht genau. Gemäss (3.11) müssen die in Abbildung 3.7 eingezeichneten Kurvenstücke Teile einer liegenden Parabel sein, was angesichts der relativ kleinen Temperaturbereiche nur schwer Seite 46 von 221 Thermodynamik zu erkennen ist. Dass die drei Kurven im Dampfbereich nicht wie bei der Enthalpie übereinander liegen, hängt mit dem Entropieinhalt gasförmiger Stoffe zusammen. Gase können die Entropie sowohl manifest, also durch Erhöhung der Temperatur, als auch latent, durch Vergrösserung des Volumens speichern. Dieses Speicherverhalten ist für viele thermische Maschinen von entscheidender Bedeutung, wie wir im nächsten Abschnitt sehen werden. Weil ein Gas bei kleinem Druck mehr Volumen hat als ein komprimiertes, enthält es bei gleicher Temperatur auch mehr Entropie. Dies erklärt das Auseinanderlaufen der drei Kurven in Abbildung 3.7 oberhalb der Verdampfungsentropie. Abbildung 3.7 spezifische Entropie von Wasser bei unterschiedlichem Druck. Bringt man einen heissen Wärmespeicher mit einem kalten in thermischen Kontakt, gleicht sich die Temperatur an und die Energie bleibt erhalten. Gemäss (3.10) darf man die Endtemperatur analog wie die Füllhöhe zweier kommunizierender Gefässe rechnen: die Energie entspricht der Füllmenge und die Temperatur der Füllhöhe. Diese Analogie hat den Schönheitsfehler, dass die Basismenge der Thermodynamik die Entropie und nicht die Energie ist. Man darf sich deshalb fragen, wie gross die Endtemperatur wäre, wenn man beim Ausgleichsvorgang die Wärme durch eine ideale Wärmekraftmaschine Inhaltsverzeichnis laufen lassen würde. Im ersten Prozess, dem irreversiblen Angleichs-Prozess, kann man die produzierte Entropie berechnen, im zweiten, dem reversiblen Prozess, die von der Wärmekraftmaschine freigesetzte Energie, berechnen. Im Gegensatz zur Wärme, die an die Entropie gebundene Energie, ist die freigesetzte Energie frei verfügbar [V9]. Essensreste oder eine zu viel gekaufte Milch für später einfrieren, ist heute praktisch in jedem Haushalt möglich. Wie viel Energie muss man dafür im Minimum aufwenden? Wird die Energiebilanz besser, wenn man die Milch zuerst im Kühlschrank abkühlt? Dieses Problem ist etwas paradox, weil beim Abkühlen der Milch deren Energieinhalt abnimmt. [V10] Wer sich in der Badewanne entspannen will, sollte auf die richtige Temperatur und die Dauer des Bades achten. 36°C bis 38°C Grad Celsius haben sich als optimale Temperatur für ein erholsames Bad bewährt. Bei höherer Wassertemperatur verliert die Haut zu viel Fett und Feuchtigkeit. Ist aber ein Bad heute noch zu verantworten? Wie viel Energie geht bei einem solchen Bad "verloren"? Machen wir dazu ein Modell. Die Badewanne habe ein Fassungsvermögen von 180 Liter und das Wasser muss von 15°C auf 40°C aufgewärmt werden. Wie viele Kilowattstunden Energie müssen zum Aufheizen des Bades mit Hilfe einer elektrischen Widerstandsheizung vom Elektrizitätswerk geliefert werden (Verluste sind zu vernachlässigen)? Das Wasser soll nun mit einer Wärmepumpe erwärmt werden. Wie viel Energie nimmt eine Wärmepumpe zu diesem Zweck auf, falls sie die Wärme reversibel von 0°C und 50°C hoch pumpt? Wie viel Energie müsste man aufwenden, wenn man die Entropie absolut reversibel aus dem 10°C warmen Grundwasser direkt in das anfänglich 15°C warme Badewasser fördern könnte? Nach dem Bad ist das Wasser noch 30°C warm. Wie viel Energie Seite 47 von 221 Thermodynamik könnte man mit einer idealen Wärmekraftmaschine zurückgewinnen, falls diese die Wärme gegen das 10°C warme Grundwasser abgibt und das Badewasser bis auf diese Temperatur abgekühlt werden darf. Die Energie-Problematik des ausgiebigen Badens ist offensichtlich nicht so einfach zu durchschauen. Wer das Wasser gar mit Sonnenkollektoren aufheizt, darf ohne Klimascham den Sommer in der Badewanne verbringen [V11]. 3.6 Ideales Gas Das ideale Gas ist ein Modell für das Verhalten der aus freien Teilchen bestehenden Materie. Die Teilchen, Atome oder Moleküle, müssen genügend Abstand haben, damit ihre Wechselwirkung vernachlässigt werden kann. Das ideale Gas wird mit drei Gesetzen beschrieben, der Zustandsgleichung, der Energiegleichung und der Entropiegleichung. Die Zustandsgleichung besagt, dass der absolute Druck bei konstantem Volumen proportional mit der absoluten Temperatur ansteigt. Zudem bleibt das Produkt aus Druck und Volumen bei konstanter Temperatur gleich. Als Proportionalitätsfaktor zwischen Druck mal Volumen und der Temperatur tritt die Stoffmenge n und eine universelle Konstante R auf 𝑝𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 Δ𝑆 = 𝑛 𝑐̂ 𝑙𝑛 𝑇 𝑇 + 𝑅𝑙𝑛 𝑉 𝑉 (3.14) (3.14) beschreibt, wie die manifeste Entropie mit der Temperatur und die latente mit dem Volumen zunimmt. Lässt man die Anfangstemperatur oder das Anfangsvolumen gegen null gehen, wird der Entropieinhalt beliebig gross. Dies ist insofern kein Problem, weil dort das Modell des idealen Gases keine Gültigkeit mehr hat. Aus praktischen Gründen setzt man wie schon bei Abbildung 17 und 18 sowohl die Energie als auch die Energie bei einem ausgewählten Zustand gleich null. (3.12), (3.13) und (3.14) sind voneinander abhängig. So kann man aus der Zustands- und der Energiegleichung die Entropiegleichung mit Hilfe der vier Basisprozesse ableiten. (3.12) Die Zustandsgleichung verknüpft die vier Grössen Druck, Volumen, Temperatur sowie Stoffmenge miteinander und gilt für alle Gase mit recht hoher Präzision. Die Stoffmenge, oft zur Zahl der Teilchen herabgemindert, ist eine wichtige und auch eigenständige Grösse der Natur. Sie wird in Mol gemessen. Die Energiegleichung ist denkbar einfach, was durch die statistische Interpretation mit der kinetischen Energie der Teilchen gut erklärt werden kann Δ𝑊 = 𝑛𝑐̂ (𝑇 Der Index V bedeutet, dass die Energieänderung bei konstantem Volumen gemessen wird. Das Zirkumflex bei 𝑐̂ und auch über anderen Formelzeichen weist darauf hin, dass diese Grösse auf ein Mol bezogen ist. Die Grösse 𝑐̂ heisst deshalb molare Wärmekapazität bei konstantem Volumen. Im Unterschied zur Energiegleichung (3.13), die praktisch identisch ist mit (3.10), ist die Entropiegleichung komplexer als (3.11) −𝑇 ) (3.13) Inhaltsverzeichnis Abbildung 3.8 Carnotor mit diversen Beschaltungsmöglichkeiten. Die reversiblen Prozesse des idealen Gases lassen sich mit dem Carnotor gut fassbar Seite 48 von 221 Thermodynamik darstellen. Der Carnotor besteht aus einem Zylinder mit Trennkolben. Links befindet sich das zu untersuchende Gas oder ein Flüssigkeits-Dampf-Gemisch, rechts ein ideales Fluid. Der Anschluss links ist ideal wärmeleitend und heisst thermischer Port. Durch den Anschluss rechts, den hydraulischen Port, kann das ideale Fluid ungehindert zu- oder wegfliessen. Der Carnotor selber ist ebenfalls ideal, nimmt also selber keine Wärme auf und ist bis auf den thermischen Anschluss optimal isoliert. Der Trennkolben ist reibungsfrei verschiebbar und trotzdem dichtend. Die beiden Anschlüsse des Carnotors können beidseits isoliert, an ein Ausgleichsbecken angeschlossen oder mit einer Wärmepumpe beziehungsweise Fluidpumpe bestück werden. Die beiden Pumpen bilden je einen aktiven Port. Der jeweils andere Port wird entweder mit einer Isolation oder einem Ausgleichsbecken verbunden. Der Carnotor hat einige Vorteile. So wird ein Prozess bildhaft und damit verständlich dargestellt. Die Energiebilanz kann mit dem hydraulischen (2.5.2) oder dem thermischen Energiestrom (3.1) beschrieben werden. Die ausgetauschte Energie wird in eine Prozessenergie (Exergie) und eine an die Entropie oder das Volumen gebundene Energie (Anergie) aufgeteilt. Verschiedene Prozesse sind mit Hilfe des Carnotors systemdynamisch modellierbar. Nachfolgend untersuchen wir die vier Basisprozesse mit dem idealen Gas. Will man das dynamische Verhalten eines anderen Stoffs analysieren und beschreiben, muss dieses analog zum idealen Gas durch konstitutive Gesetze beschrieben werden. Eine solche Beschreibung ist meist nicht so einfach, speziell wenn es sich um ein DampfFlüssigkeits-Gemisch handelt Ist der thermische Port an eine Wärmepumpe angeschlossen, reden wir von Heizen oder Kühlen. Der hydraulische Port kann wahl- Inhaltsverzeichnis weise verschlossen oder mit einem Ausgleichsgefäss verbunden sein. Der Verschluss sorgt dafür, dass das Volumen konstant bleibt. Entsprechend heisst der Vorgang isochor. Abbildung 3.9: Carnotor mit Wärmepumpe respektive Wärmekraftmaschine und hydraulischem Verschluss. Gemäss Zustandsgleichung (3.12) steigt der Druck proportional zum Volumen. Die Energie- und Entropieänderung werden durch die entsprechenden Gleichungen beschrieben, wobei von (3.14) nur der erste Term benötigt wird. Liegt die Temperatur des Gases tiefer als die der Umgebung, wird die Wärmepumpe zur Wärmekraftmaschine. Der Heizprozess, also die Zufuhr von Wärme, liefert dann Energie, statt dass welche gebraucht wird. Soll das Gas reversible gekühlt werden, arbeitet das Gerät bis zum Temperaturausgleich als Wärmekraftmaschine, danach als Wärmepumpe. Das scheinbare Paradoxon, wonach das Kühlen Energie benötigt, obwohl die Energie des Kühlguts abnimmt, kann man nur verstehen, wenn man klar zwischen zugeordneter und Prozessenergie unterscheidet. Die von einem Stoff thermisch aufgenommene Energie kommt wie die Entropie primär aus der Umgebung. Je nach Temperaturdifferenz muss zusätzlich Energie hinzugefügt oder abgeführt werden. Ist der hydraulische Port mit einem Ausgleichsbecken verbunden, bleibt der Druck konstant und wir reden von einem isobaren Prozess. Gemäss der Zustandsgleichung (3.12) nimmt das Volumen proportional mit Seite 49 von 221 Thermodynamik der Temperatur zu. Von der zugeführten Wärmeenergie bleibt der grössere Teil im Gas, der Rest geht direkt über den hydraulischen Port an die Umgebung weg. Abbildung 3.10 Carnotor mit Wärmepumpe respektive Wärmekraftmaschine und hydraulischem Druckausgleichsbecken. Weil der Druck konstant bleibt, ist die mit dem Ausgleichsbecken ausgetauschte Energie gleich Druck mal Volumenänderung. Ersetzt man diesen Ausdruck mit Hilfe von (3.12) durch nRT und setzt diesen Term in (3.13) ein, folgt Δ𝐻 = 𝑛𝑐̂ (𝑇 −𝑇 ) (3.15) H steht für die Enthalpie, einer energetischen Zustandsgrösse mit Temperatur und Druck als Variablen. Beim Heizen oder Kühlen mit konstantem Druck entspricht die ausgetauschte Wärmeenergie der Änderung der Enthalpie. Die molare Wärmekapazität bei konstantem Druck 𝑐̂ ist um die Gaskonstante R grösser als die molare Wärmekapazität bei konstantem Volumen 𝑐̂ . In der Entropiegleichung (3.14) ersetzen wir das Volumen mittels der Zustandsgleichung (3.12) durch Druck und Temperatur. Eingesetzt in (3.14) erhalten wir Δ𝑆 = 𝑛 𝑐̂ 𝑙𝑛 𝑇 𝑇 + 𝑅𝑙𝑛 𝑝 𝑝 (3.16) Von dieser neuen Entropiegleichung mit den Variablen Temperatur und Druck wird beim isobaren Prozess nur der erste Term benötigt. Inhaltsverzeichnis Wir können auf zwei Arten erklären, wieso die Wärmekapazität bei konstantem Druck grösser sein muss als bei konstantem Volumen. Im isobaren Prozess wird ein Teil der thermisch zugeführten Energie unkontrolliert mit der Umgebung ausgetauscht, weshalb die die ausgetauschte Wärme grösser als die Energieänderung des Gases ist. Neben dieser energetischen gibt es noch eine entropische Erklärung. Weil beim isobaren Heizen Entropie einerseits über eine Temperaturänderung andererseits über eine Volumenänderung gespeichert wird, muss die zugehörige Wärmekapazität grösser sein als beim isochoren Prozess, wo die Entropie nur temperaturmässig gespeichert wird. Abbildung 3.11 Carnotor mit Hydraulikpumpe respektive Hydraulikmotor und Wärmeisolation. Im dritten Prozess ist der hydraulische Port mit einer Hydraulikpumpe bestückt und der thermische Anschluss wärmeisoliert. Weil keine Entropie ausgetauscht wird und der Carnotor reversibel arbeitet, wird bei konstanter Entropie komprimiert oder expandiert. Die linke Seite von (3.14) ist deshalb gleich null. Indem wir die Stoffmenge wegkürzen, einen Term durch Subtraktion auf die eine Seite bringen und dann die Exponentialfunktion anwenden, folgt 𝑇 𝑇 ̂ = 𝑉 𝑉 (3.17.1) Weil oft das Druck-Volumen-Verhalten interessiert, eliminieren wir die Temperatur mit Hilfe der Zustandsgleichung (3.12) Seite 50 von 221 Thermodynamik 𝑝 𝑉 =𝑝 𝑉 𝜅= 𝑐̂ + 𝑅 𝑐̂ = 𝑐̂ 𝑐̂ (3.17.2) Die dimensionslose Verhältniszahl der beiden Wärmekapazitäten  nennt man IsentropenExponent. Carnotor welche Rolle die vier Zustandsgrössen Volumen, Entropie, Druck und Temperatur spielen: Volumen und Entropie sind Mengen, Druck und Temperatur die zugehörigen Potentiale. Stellt man je ein Potential in Funktion der Menge dar, erhält man das Temperatur-Entropie- sowie das Druck-Volumen-Diagramm. Die Fläche unter der einen Kurve entspricht der Wärme, unter der andern der Arbeit. Abbildung 3.12 Carnotor mit Hydraulikpumpe respektive Hydraulikmotor und Wärmebad. Der vierte Prozess ermöglicht eine Kompression oder Expansion bei konstantem Volumen. Dazu wird die Wärmeisolation durch ein thermisches Ausgleichsbecken, oft Wärmebad genannt, ersetzt. Laut Zustandsgleichung (3.12) ist bei konstanter Temperatur das Produkt aus Volumen und Druck konstant. Die Energie ändert sich gemäss (3.13) nicht und die Entropie nimmt nach (3.14) mit dem natürlichen Logarithmus des Volumenverhältnis zu. Dass sich die Energie bei der isothermen Kompression oder Expansion nicht ändert, widerspricht unserem Gefühl, wonach Gas unter hohem Druck Energie freisetzen kann. Wir vergessen dabei, dass sich das unkontrolliert entspannende Gas abkühlt. Die vier Basisprozesse sind nur ideal, wenn die zeitliche Entwicklung keine Rolle spielt, also beliebig langsam ablaufen. Dies sieht man auch im Simulationsmodell, mit dem man weder einen isobaren noch einen isothermen Prozess exakt nachbilden kann. Der Carnotor vermittelt eine Vorstellung der vier Basisprozessen. Man sieht, was mit der Entropie und dem Volumen passiert und erkennt den Unterschied zwischen zugeordneter und Prozessenergie. Zudem zeigt der Inhaltsverzeichnis Abbildung 3.13 Druck-Volumen-Diagramm der vier Basisprozesse. Im p-V-Diagramm vom Abbildung 3.13 steigt der Graph der isentropen Kompression (violett) steiler an als die isotherme Kennlinie (braun). Bei der isentropen Kompression wird Entropie von latent auf manifest umgelagert. Die damit verbundene Temperaturerhöhung lässt die Kurve steiler steigen, als wenn die Entropie weggeht und die Temperatur konstant bleibt. Mathematisch unterscheiden sich die beiden Linien dadurch, dass bei der isothermen Kompression das Produkt aus Volumen und Druck konstant bleibt, bei der isentropen gemäss (3.17.2) das Produkt aus Druck und Volumen hoch Kappa. Die zwei anderen Prozesse, die Heizvorgänge, werden im p-V-Diagramm mit Linien dargestellt, die entlang der beiden Achsen verlaufen. Die Fläche unter einer Kurve in diesem Diagramm entspricht der in Form von Arbeit zu- oder abgeführten Energie. Geht man davon aus, dass der Startpunkt der vier Prozesse dem Seite 51 von 221 Thermodynamik Umgebungsdruck entspricht, entspricht die Fläche unter der isobaren Linie (grün) der mit der Umwelt ausgetauschten Energie, die auch Anergie genannt wird. Alle Flächenanteile die darüber liegen entsprechen der Prozessenergie, auch Exergie genannt. Die Exergie im Arbeits- oder p-V-Diagramm wird von der Hydraulikpumpe aufgewendet. Abbildung 3.14 Temperatur-Entropie-Diagramm der vier Basisprozesse. Im T-S-Diagramm von Abbildung 3.14 steigt der Graph für das isochore Heizen (schwarz) stärker an als der für das isobare Heizen (dunkelblau). Im ersten Prozess wird nur manifeste, temperaturabhängige Entropie gespeichert. Im zweiten Prozess muss die für die Zunahme des Volumens benötigte Entropie auch noch zugeführt werden. Die zwei Kompressionsvorgänge zeigen sich in diesem Diagramm als geraden Linien parallel zu den beiden Achsen. Die Fläche unter den Kurven entspricht der zu oder abgeführten Wärme. Flächenstücke unterhalb der Umgebungstemperatur ergeben die mit der Umwelt ausgetauschten Energie (Anergie), die darüber liegende Fläche entsprechen der von der Wärmepumpe aufzubringenden Prozessenergie (Exergie). Sowohl das p-V- wie auch das T-S-Diagramm sind mit einem systemdynamischen Modell des Carnotors erzeugt worden. Inhaltsverzeichnis 3.7 Kreisprozesse Dampf- und Gaskraftwerke, Verbrennungsmotoren oder Wärmepumpen arbeiten entweder mit der temperaturmässig hinunterfallenden Entropie oder fördern Entropie auf eine höhere Temperatur. Dazu durchläuft ein Gas oder ein Flüssigkeits-Dampf-Gemisch verschiedene Prozesse. Diese Vorgänge können wir durch eine geschlossene Abfolge von Idealprozessen näherungsreise beschreiben und damit auch quantitativ erfassen. Der erste Kreisprozess, der von Sadi Carnot beschrieben wurde, hat die Thermodynamik begründet und lieferte eine erste Definition der Entropie. Im rechtslaufenden Carnot-Kreisprozess wird ein Gas zuerst isotherm und danach isentrop expandiert. Anschliessend folgt eine isotherme Kompression. Geschlossen wird der Kreis über eine isentrope Kompression. Weil die isotherme Kompression bei tieferer Temperatur erfolgt als die Expansion, wird netto Energie freigesetzt. Linkslaufende Kreisprozesse fördern die Entropie temperaturmässig hinauf und benötigen dazu Energie. Abbildung 3.15 Carnot-Kreisprozess im Temperatur-Entropie-Diagramm Das T-S-Diagramm zeigt vieles von dem, was beim Carnot-Kreisprozess passiert. Zuerst wird Entropie von einem heissen Wärmebad angesaugt. Die mitgeführte Wärmeenergie, die der Fläche unter der Kurve entspricht, geht direkt als Arbeit weg. Diese Arbeit ist als Fläche im p-V-Diagramm erkennbar. Danach wird die die Temperatur isentrop abgesenkt, wobei innere Energie in Form von Arbeit Seite 52 von 221 Thermodynamik weggeht. Im dritten Teilprozess wird die Entropie an ein kaltes Bad abgegeben. Die mitgenommene Wärmeenergie entstammt nicht dem Gas, sondern muss in Form von Arbeit nachgeschoben werden. Zum Schluss wird das Gas bei konstanter Entropie unter mechanischer Energiezufuhr auf die ursprüngliche Temperatur gebracht. Die im T-S- und auch im p-V-Diagramm vom Kreisprozess ausgeschnittene Fläche entspricht der Nettooder Nutzarbeit. Abbildung 3.16 Screenshot einer Animation des CarnotZyklus mit Steuerfeld, schematischer Darstellung, T-S- sowie p-V-Diagramm. Aufnahme und eine für die Abgabe der Wärme. Diese Aufteilung ist für die Funktion entscheidend, weil nicht nur das Gas Energie und Entropie speichert, sondern auch die umschliessenden Wände. Die beiden Kammern müssen auf möglichst konstanter Temperatur gehalten werden, weil sonst zu grosse Verluste durch Wärmeleitung resultieren. Das Gas wird mit einem Verdränger-Kolben zwischen den beiden Kammern hin und her geschoben, wobei ein Wärmetauscher das Gas an die jeweilige Temperatur anpasst. Je nach Bauart wirkt der Verdränger-Kolben oder ein statisches Überströmungsgebiet als Wärmetauscher. Die Alpha-Konfiguration ist dank ihrer Symmetrie recht einfach zu verstehen. Je ein Kolben steuert die Kompression und die Expansion in einem der beiden Zylinder. Entscheidend für die optimale Arbeitsweise ist der Phasenwinkel zwischen diesen beiden Kolben. Die Stirling-Maschine arbeitet als Motor, wenn im heissen Bereich ein Grossteil des Gases expandiert und im kalten komprimiert wird. Der Arbeitsgewinn resultiert aus dem temperaturbedingten Druckunterschied. Eine Animation, die in zwei Videos vorgestellt wird, zeigt sowohl den rechts- als auch den linkslaufenden Carnot-Zyklus sowie die Darstellung der einzelnen Prozesse in den beiden Fundamentaldiagrammen [V12] [V13]. Der Carnot-Zyklus mit seinem abrupten Wechsel zwischen idealem Wärmeaustausch und totaler Wärmeisolation, ist technisch kaum zu realisieren. Zudem ist die Volumenänderung im Vergleich zur Nettoarbeit sehr gross. Das ist beim Stirling-Zyklus anders. Dieser Kreisprozess beschreibt den 1816 vom schottischen Geistlichen Robert Stirling erfunden Heissluftmotor. In den vergangenen zweihundert Jahren sind dazu über hundert Modellvarianten entwickelt und dutzende Patente angemeldet worden. Der Stirling Motor besitzt zwei Kammern, eine für die Inhaltsverzeichnis Abbildung 3.17 Stirling-Motor mit Verdränger-Kolben im beheizten Zylinder. Das Temperatur-Entropie-Diagramm des idealen Kreisprozesses erlaubt eine quantitative Analyse des Stirlingmotors. Wie beim Carnot-Zyklus wird die Entropie bei konstanter Temperatur mit einem Wärmebad ausgetauscht. Der grosse Unterschied besteht bei Seite 53 von 221 Thermodynamik der Temperaturänderung. Im Carnot-Zyklus passiert diese bei konstanter Entropie, beim Stirling-Zyklus bei konstantem Volumen. Würde man beim Stirlingmotor die bei den isochoren Prozessen auf- oder abzugebende Entropie vom heissen Wärmebad beziehen respektive ans kalte abgeben, käme das einer Wärmeleitung mit maximaler Entropieproduktion gleich. Deshalb muss diese Entropie längs eines Temperaturgefälles zwischengelagert werden. Das heisse Gas streicht zuerst über den heissen Teil des Wärmetauschers und kühlt sukzessive aus, bis es in der kalten Kammer angelangt ist. Strömt es zurück übernimmt es die bei verschiedenen Temperaturen abgelagert Entropie wieder. In der Praxis braucht es einen Temperaturunterschied zwischen Gas und Wärmetauscher, weshalb dieser Prozess nur im theoretischen Grenzfall reversibel geführt werden kann. Solche Wärmetauscher mit Temperaturgefälle kennt man aus der Natur oder wendet sie auch in der Technik an. So wärmt das Blut in den Beinen einer Ente beim nach unten Fliessen das entgegenkommende auf und kühlt dabei selber ab. Deshalb können diese Vögel barfuss auf Eis gehen und sogar stehen bleiben, ohne allzu viel Wärme zu verlieren. Analog wärmt die heisse Milch beim Uperisieren in einer Gegenströmung die kalte auf. Abbildung 3.18 Screenshot einer Animation des StirlingZyklus mit Steuerfeld, schematischer Darstellung, T-S- sowie p-V-Diagramm. Inhaltsverzeichnis Eine Animation zeigt sowohl den rechts- als auch den linkslaufenden Stirling-Zyklus sowie die Darstellung in den beiden Fundamentaldiagrammen [V14]. Definiert man das Verhältnis von Nettoarbeit, entsprechend der in beiden Diagrammen ausgeschnittenen Fläche, zur zugeführten Wärmeenergie als Wirkungsgrad, erhält man, wie dem T-S-Diagramm zu entnehmen ist, den sogenannten Carnot-Wirkungsgrad 𝜂= 𝑇 𝑇 −𝑇 =1− 𝑇 𝑇 (3.18) Verbrennungsmotoren arbeiten nicht wie die Stirling-Maschine mit einem eingeschlossenen Gas. Zudem wird die Entropie direkt im Zylinder produziert. Entsprechend kann man diese Motoren auch nicht linksläufig als Wärmepumpen betreiben. Beschrieben werden die Verbrennungsmotoren durch zwei Vergleichsprozesse, dem Otto- und dem DieselKreisprozess. Die beiden Zyklen unterscheiden sich im Heizprozess. Dieser verläuft beim Otto-Zyklus isochor, beim Diesel-Zyklus isobar. Den Unterschied kann man damit begründen, dass die Verbrennung im Ottomotor früher einsetzt und schneller abläuft als beim Dieselmotor. Beim Otto-Kreisprozess wird die Luft zusammen mit dem Benzindampf isentrop verdichtet, danach folgt ein isochorer Verbrennungsprozess. Die nachfolgende isentrope Expansion endet beim Anfangsvolumen, aber bedingt durch die Entropiezunahme bei höherer Temperatur. Abbildung 3.19 T-S- und p-V-Diagramm eines Otto-Kreisprozesses. Seite 54 von 221 Thermodynamik Die übliche Definition des Wirkungsgrades, Nettoarbeit geteilt durch Heizenergie, liefert einen Ausdruck, der eine Ähnlichkeit mit dem Carnot-Wirkungsgrad hat. Nur geht es diesmal um die Temperaturen vor und nach der isentropen Verdichtung. 𝜂 =1− 𝑉 𝑇 =1− 𝑉 𝑇 (3.19) Je höher das Verdichtungsverhältnis, umso besser wird der Wirkungsgrad. Für ein Verhältnis von 10 sagt (3.19) mit Luft als Arbeitsgas ( = 1.4) einen Wirkungsgrad von 60% voraus, was verglichen mit einem realen Benzinmotor viel zu hoch ist. Der Idealprozess liefert verständlicherweise einen zu hohen Wert, weil der reale Motor einige durch Reibung, Strömung und Wärmeleitung verursachte Verluste aufweist. Abbildung 3.20 zeigt einen Screenshot aus einem Video, in dem Formel (3.19) hergeleitet und die zugehörige Animation gezeigt wird [V15]. dem p-V-Diagramm nicht direkt als Nutzarbeit interpretiert werden. Die T-S-Darstellung ist davon nicht betroffen, weshalb wir uns beim Joule-Zyklus, so heisst der ideale Vergleichsprozess, an diesem orientieren. Der Zyklus startet mit einer isentropen Kompression, gefolgt von einem isobaren Heizen. Die nachfolgende, isentrope Expansion endet beim Aussendruck und entropiebedingt bei hoher Abgastemperatur. Abbildung 3.21 Joule-Zyklus mit 18 bar Maximaldruck. Der Wirkungsgrad wird wie in (3.19) beschrieben, wobei hier das Druckverhältnis und nicht die Verdichtung eine wesentliche Rolle spielt 𝜂 =1− Abbildung 3.20 Screenshot einer Animation des Otto-Zyklus mit Steuerfeld, schematischer Darstellung, T-S- sowie p-V-Diagramm. Gasturbinen kommen nicht wie Verbrennungsmotoren durch Geometrie und Druck an ihre Grenzen, sondern durch die Temperatur bei den Turbinenschaufeln. Turbinen arbeiten kontinuierlich, womit die Prozesse nicht mit dem Carnotor nachgebildet werden können. Als Folge davon darf die Fläche unter Inhaltsverzeichnis 𝑝 𝑇 =1− 𝑝 𝑇 (3.20) Eine detaillierte Herleitung und eine ausführliche Diskussion ist im Video «Thermodynamik des Strahltriebwerks» zu finden [V16]. Die im T-S-Diagramm von Abbildung 3.21 als grüne Fläche dargestellte, spezifische Energie beschreibt die pro Kilogramm Gasgemisch freigesetzte Energie. Berücksichtig man, dass die Temperatur T3 aus technischen Gründen nach oben beschränkt ist, findet man zwei Extremfälle mit null Nettoenergie. Wird überhaupt nicht komprimiert, ist der Wirkungsgrad gleich null und der Brennstoff Seite 55 von 221 Thermodynamik verbrennt ohne Arbeitsleistung. Wird so stark komprimiert, dass T2 gleich T3 ist, ist der Wirkungsgrad maximal und (3.20) geht in (3.18) über. Als Preis dafür kann nicht mehr isobar geheizt werden, die Kompression geht wie bei einer Fahrradpumpe direkt in die Expansion über. Zwischen diesen beiden Grenzfällen muss der Zyklus mit maximalem Energieumsatz liegen. Um diesen zu finden, setzt man die Ableitung der nutzbaren Energie nach T2 gleich null und fügt das Ergebnis in (3.20) ein 𝜂 =1− 𝑇 𝑇 (3.22) Ist beispielsweise T3 viermal grösser als T1, liefert der Carnot-Wirkungsgrad (3.18) einen Wert von 75%, Formel (3.22) dagegen nur 50%. Reale Gaskraftwerke weisen einen Wirkungsgrad auf, der in der Nähe von (3.22) liegen. Den Vergleichsprozess für die Dampfanlage, den Clausius-Rankine-Zyklus, finden wir bei der Wärmepumpe in etwas abgewandelter Form. In einem Wärmepumpen-Zyklus ist der Entspannungsprozess nicht reversibel. Die warme Flüssigkeit, die durch die Drossel strömt und dabei durch die eigene Dampfbildung gekühlt wird, durchläuft einen Prozess mit konstanter Enthalpie. Wie gross die dabei erzeugte Entropie ist, können wir beim Teilprozess 3 von Abbildung 3.22 erkennen. Isenthalpe Prozesse werden im Kapitel offene Systeme besprochen. Als letztes Beispiel eines Kreisprozesses analysieren wir den Druckluftspeicherkraftwerk, wie zum Beispiel Huntorf, wobei dort zusätzlich noch Erdgas eingesetzt wird. Wieso das oft gemacht wird und wieso diese Speicher einen schlechten Zykluswirkungsgrad haben, schauen wir am Idealprozess an. Die Luft wird mittels Kompressoren auf hohen Druck gebracht und muss gekühlt werden, damit die Anlage nicht überhitzt. Bleibt die Luft lang genug im Speicher, kühlt sie auf Umgebungstemperatur ab. Bei Bedarf schickt man die Luft durch eine Turbine, wobei ihre Temperatur stark absinkt. Um Vereisung zu verhindern und die Effizienz zu steigern wird hier Erdgas beigemischt und verbrannt. Abbildung 3.22 Linkslaufender Kaltdampfprozess mit dem Kältemittel R134a. Statt reine Gaskraftwerke baut man heute Gas-Dampf-Kraftwerke. Bei diesen Anlagen wird mit dem recht heissen Abgas der Gasturbine oft mehrstufig Dampf erzeugt, der dann wie bei den Kohle- oder Kernkraftwerken eine Reihe von Dampfturbinen treibt. So ist ein Wirkungsgrad von über 60% möglich. Inhaltsverzeichnis Abbildung 3.23 Idealer Vergleichsprozess eines Luftspeichers im p-V-Diagramm. Seite 56 von 221 Thermodynamik Im Vergleichsprozess lassen wir das Erdgas weg und nehmen trockene Luft, die zu keiner Eisbildung führt. Beginnend mit einer isentropen Kompression folgt eine isochore Abkühlung, dann eine isentrope Expansion und zum Schluss ein isobarer Druckausgleich. Abbildung 3.23 zeigt das p-V-Diagramm. Der Energieaustausch mit der Turbine entspricht der grünen Fläche und ist gleich dem Integral über Vdp. Im Kapitel offene Systeme wird erklärt, wieso wir die Fläche nach links und nicht nach unten bilden müssen. Abbildung 3.24 Idealer Vergleichsprozess eines Luftspeichers im T-S-Diagramm Die Prozessführung mit den hohen Temperaturen und dem schlechten Wirkungsgrad macht wenig Sinn. Deshalb wird in Huntdorf mit Erdgas nachgeheizt, was nicht nachhaltig ist. Eine echte Verbesserung könnte das adiabatischen Druckluftspeicherkraftwerk bringen, wovon ein Prototyp im stillgelegten Versorgungsabschnitt des Gotthard-Basistunnels gebaut worden ist. Das komprimierte und heisse Gas wird durch einen Wärmespeicher geleitet, wobei sich dieser im Eingangsbereich auf 500 °C aufheizt. Bei der Rückverstromung wird die komprimierte Luft wieder über den Wärmespeicher geleitet, sodass bei der Expansion keine zusätzliche Wärme zugeführt werden muss. Einen solchen Zwischenspeicher haben wir schon beim Stirlingmotor kennen gelernt. Der Prototyp kann mit Inhaltsverzeichnis bis zu 32 bar befüllt werden, die Kapazität beträgt 1 MWh und der Zyklus-Wirkungsgrad soll gemäss ersten Berechnungen bei 72 % liegen. Der im Kapitel zwei besprochene Blasenspeicher böte eine zweite Möglichkeit, den Wirkungsgrad zu verbessern. Weil die Luft indirekt mit dem Wasser zusammengedrückt wird, könnte man diese beinahe isotherm komprimieren. Ob der Blasenspeicher wirtschaftlich und technisch soweit hinauf skaliert werden kann, wäre noch zu prüfen. 3.8 Systemdynamische Modelle Die Gerichtsmedizinerin kniet hinter dem Mordopfer auf dem Boden, schaut zum Kommissar hoch und sagt, der Tod ist vor sieben Stunden eingetreten. Diese mögliche Szene aus einem Kriminalfilm ist insofern realistisch, als die Todeszeit ausgehend von der Kerntemperatur abgeschätzt werden kann. Bei der einfachsten Faustformel geht man davon aus, dass die Leiche pro Stunde etwa ein Grad auskühlt, wobei die Abkühlung erst zwei Stunden nach Eintritt des Todes einsetzt. In den letzten Jahren und Jahrzehnten sind einige Experimente und Berechnungen angestellt worden, um präzisere Voraussagen zu machen. Bekleidung, Lage, Untergrund und Wetterverhältnisse haben einen derart grossen Einfluss, dass die Modelle an die jeweilige Situation angepasst werden müssen. Ein einfaches Modell besteht aus einem Speicher und einem Wärmeleitwert. Eine gewisse Verbesserung bringt ein Modell mit Kern und Mantel [V17]. Einfacher zu validieren ist das Abkühlverhalten einer mit Wasser gefüllten PET-Flasche im Kühlschrank oder in der Gefriertruhe. Will man die Eisbildung mitmodellieren, wird das Modell schon etwas anspruchsvoller. Bei einer Weinflasche könnte man das Glas und den Wein als zwei mittels Wärmeleitwert verbundene Speicher abbilden. Das Modell wird komplexer, wenn man den Temperatur- Seite 57 von 221 Thermodynamik verlauf bei einem Iglu oder einer Lehmhütte simulieren will [V18]. Geht man zu ganzen Häusern über, reichen die Strukturelemente Wärmespeicher und Wärmeleiter nicht mehr aus. So übt zum Beispiel die Sonneneinstrahlung an schönen Tagen einen wesentlichen Einfluss aus. Wie beim Iglu kann man jede Wand als Abfolge von Speichern und Leitern darstellen. Eine solche Wärmeleitungskette ist ein lehrreiches Objekt [V19]. Das Rüchardt-Experiment dient der Bestimmung des Isentropen-Exponenten . Die ZHAW besitzt mehrere experimentelle Anordnungen, die mit Druck- und Temperatursensor bestückt sind (Abbildung 3.25). Mit einem zusätzlichen Ultraschall- oder LaserDistanzmessgerät kann die Bewegung des auf und ab schwingenden Glaskolbens gemessen werden. Das Experiment selber besteht aus einem Erlenmeyerkolben mit aufgesetzter Milchpumpe. Der Erlenmeyer kann mit luftigen Materialien gefüllt werden. Die Milchpumpe liefert den beweglichen und trotzdem recht gut dichtenden Glaskolben. werden. Aus dem Gasvolumen sowie der gespeicherten Entropie werden die beiden Potentialgrössen Druck und Temperatur ermittelt. Die konstitutiven Gleichungen, mit denen man diese Berechnung ausführen kann, müssen aus der Zustands- (3.12) und der Entropiegleichung (3.14) abgeleitet werden 𝑝=𝑝 𝑇=𝑇 𝑉 𝑉 𝑉 𝑉 ̂ 𝑒 𝑒 (3.21.1) ̂ (3.21.2) Findet keine Entropieänderungen statt, beschreiben die Formeln (3.21) die Isentrope Zustandsänderung. Bleibt das Volumen unverändert, nehmen sowohl Druck als auch Temperatur exponentiell mit dem Verhältnis von Entropiezunahme zu Energiekapazität zu (Energiekapazität ist eine andere, korrektere Bezeichnung für Wärmekapazität bei konstantem Volumen). Die Energie wird als Buchhaltungsgrösse modelliert, wobei die Energieströme der Fundamentalformel gehorchen, also gleich Druck mal Volumenstromstärke respektive Temperatur mal Entropiestromstärke sind. Abbildung 3.25 Rückardt-Experiment an der ZHAW in Winterthur. Als Ausgangsmodell dient der Carnotor wie in Abbildung 3.26 dargestellt. Die Basis des Modells wird von der Entropie- und der Volumenbilanz gebildet. Bilanziert wird das Volumen des Fluids in der rechten Kammer von Abbildung 3.8. Das Gasvolumen muss über das Gesamtvolumen des Zylinders berechnet Inhaltsverzeichnis Abbildung 3.26 systemdynamisches Modell des Carnotors mit Bilanz- und Energieebene. Soll isochor geheizt oder isentrop komprimiert werden, gibt man einen Entropie- respektive einen Volumenstrom vor und verschliesst den jeweils andern Port, setzt also Seite 58 von 221 Thermodynamik die zugehörige Stromstärke auf null. Isobar heizen oder isotherm komprimieren funktioniert in diesem Modell nur annähernd. Dazu muss man den Verschluss durch einen Durchlass ersetzen, bei dem die Temperaturdifferenz über einen Entropieleitwert den Entropiestrom respektive die Druckdifferenz über einen hydraulischen Leitwert den Volumenstrom steuert. Im Idealfall müssten die beiden Leitwerte beliebig gross sein, was numerisch nicht funktioniert [V20]. Betrachtet man das Rüchardt-Experiment als dynamisches System, besteht dieses im Kern aus einer Luftfeder und einem darauf aufgesetzten, vertikal schwingenden Körper. Daneben wirkt eine mechanische Reibung und eine durch die Wärmeleitung verursachte Dissipation. Der Erlenmeyerkolben unterhalb der Milchpumpe enthält die Luftfeder, kann aber auch mit Stahlwolle, zerknüllter Aluminiumfolie, Baumwolle oder einem Inertgas gefüllt werden. Ist der Kolben luftgefüllt, sind die schnellen, durch den schwingenden Körper verursachten Kompressionen praktisch isentrop. Könnte man mit dem Füllmaterial eine beliebig grosse Kontaktfläche mit der Luft herstellen, wäre die Kompression isotherm. Dieser Unterschied zwischen 1.4 und 1 für  in (1.17.2) führt zu einer Veränderung der Schwingungsdauer von etwa 20%. Weil beide Grenzprozesse ideal sind, tragen sie nichts zur Dämpfung der Schwingung bei. Liegt der Wärmeleitwert irgendwo zwischen null und unendlich, kommt es zu einer thermischen Dämpfung der Schwingung. Das systemdynamische Modell gewinnen wir aus dem Carnotor, indem die Volumenbilanz entfernt und durch das Modell eines Einmassen-Schwingers ersetzt wird. Dieses besteht aus der Impulsbilanz und der Kinematik. Letztere liefert den Ort des schwingenden Körpers. Verbunden werden die beiden Teilmodelle über den Druck und die Position des Inhaltsverzeichnis schwingenden Körpers. Druck mal Kolbenfläche gibt die für die Impulsbilanz notwendige Druckkraft. Die Verschiebung des Kolbenbodens der Milchpumpe liefert die Volumenänderung des Gases. Abbildung 3.27 systemdynamisches Modell des RüchardtExperimentes. In Abbildung 3.27 kann man die Energiebilanz über das ganze Modell ziehen, indem diese um die Gravitations- und die kinetische Energie erweitert wird. Ein weiterer Topf könnte für die dissipierte Energie beigefügt werden. Jahrelange Erfahrungen mit diesem Experiment haben zwei Dinge gezeigt. Erstens können die Simulationsergebnisse mit experimentellen Daten hinreichend validiert werden und zweitens lernen die Studierenden sehr viel dabei. Ein Knackpunkt ist das reproduzierbare Setzen der Anfangsbedingungen. Je nachdem, wie man den Glaskolben der Milchpumpe startet, stellt sich eine stärkere oder schwächere Trockenreibung ein. Dies hängt damit zusammen, dass der Kolben zuerst verkanntet und später durch die Luft zentriert wird. Das valide Modell ermöglicht Untersuchungen, die direkt mit dem System nicht zu machen sind. So kann man beispielsweise die mechanische Reibung vollständig ausschalten und sich auf die Wirkung des Wärmeaustausches konzentrieren. Abbildung 3.28 zeigt das Druck-Volumen-Diagramm für einen kleinen und einen grossen Leitwert. Dass die Kurve im zweiten Fall weniger steil ist und die Gasfeder damit weicher wird, kann man recht gut sehen. Stellt man den Druck in Funktion Seite 59 von 221 Thermodynamik der Zeit dar, erkennt man auch die unterschiedliche Schwingungsdauer. Eine Parameterstudie zeigt, bei welchem Leitwert die Dämpfung maximal ist. Abbildung 3.28: Druck-Volumen-Diagramm für zwei verschiedene Wärmeleitwerte ohne mechanische Reibung. S-Diagramm sehen. In jedem Zyklus geht die Entropie bei höherer Temperatur weg als sie zurückkommt, was gemäss der Fundamentalformel (3.1) einer Nettoabfuhr von Wärmeenergie entsprechend der umrundeten Fläche entspricht. Man kann noch einen Schritt weiter gehen und behaupten, dass die rote Spirale einen linkslaufenden Kreisprozess darstellt, also zu einer Wärmepumpe gehört, der die Entropie temperaturmässig hinauf pumpt. Die ausgeschnittene Fläche entspricht der von der Wärmepumpe benötigten Energie, welche hier vom Gravitationsfeld geliefert wird. Diese Erklärung ist legitim, weil das ideale Gas als Modell selber keine Entropie erzeugen kann. Die Entropieproduktion erfolgt erst im Wärmeübergang, der durch dieses Diagramm nicht erfasst wird. Die nicht zu vermeidende Leckage zwischen Kolben und Führung erschwert die Validierung. In diesem Punkt haben sich die Studierenden sehr kreativ gezeigt. Die einen haben die Messdaten entsprechend korrigiert, die andern das Modell um die Leckage erweitert, was bezüglich der Entropiebilanz nicht ganz einfach ist. 3.9 Abbildung 3.29 Temperatur-Entropie-Diagramm mit zwei verschiedenen Leitwerten ohne mechanische Reibung. Der Vorgang startet bei Aussendruck und endet bei einem durch die Gewichtskraft des Kolbens erhöhten Innendruck. Am Anfang und am Schluss ist die Temperatur des Gases gleich gross wie die der Umgebung. Insgesamt verliert der Kolben potentielle Energie. Diese geht über den Wärmeaustausch an die Umgebung weg. Wie eine Wärmeleitung die mechanische Schwingung zu dämpfen vermag, kann man anhand der roten Kurve im T- Inhaltsverzeichnis Modelica: Thermodynamik In der Standard-Library liefert die Temperatur die Potential- und die Wärmeenergie die Stromgrösse der thermischen Konnektoren. Die PhyDynSys-Bibliothek nimmt ebenfalls die absolute Temperatur als Potentialgrösse, setzt aber auf die Entropiestromstärke als Flussgrösse. Damit wird implizit auch die Energiestromstärke als Produkt dieser beiden Grössen übergeben. Dies erlaubt die Modellierung sowohl eines Wärmeleiters als auch der idealen Wärmepumpe. Im ersten Fall bleibt die Energie längs des Stromes erhalten, im zweiten die Entropie. Zurzeit umfasst die Teilbibliothek Thermodynamik erst wenige Elemente wie Speicher, Seite 60 von 221 Thermodynamik Speicher mit Phasenübergänge, Wärmeleiter, Wärmeübergang, Wärmestrahlung, Wärmepumpe und als Highlight den Carnotor mit dem idealen Gas als Stoff. Im Wärmeleiter wird die Stärke des Energiestroms mit Hilfe des Leitwerts und parallel dazu die Entropieproduktionsrate ermittelt. In den Wärmespeichern werden Entropie- und Energieinhalt parallel gerechnet, wobei die Parametrisierung wie üblich mit den Energiegrössen (Wärmekapazität, Schmelzenthalpie) gemacht wird. Sowohl die Wärmepumpe als auch die Wärmekraftmaschine sind ideal hinterlegt, können aber mit vor- und parallelgeschalteten Wärmeübergängen zu endoreversiblen Geräten ausgebaut werden. Diese Modellierungsart erlaubt es, Wärmepumpen in brauchbarer Näherung abzubilden. nung SI.ThermalConductance weist diesen Parameter als physikalische Grösse aus und weist ihm die korrekte Einheit zu. Zwischen Gänsefüsschen kann ein Kurzkommentar eingefügt werden. Die ausführliche Beschreibung erfolgt unter annotation als HTML-Text. Dort sind auch die Informationen für die graphische Darstellung dieses Elements hinterlegt. Abbildung 3.31 Gleichungen des Teilmodells thermischer Entropiestrom (ThermEnerStrom) sowie das Modell einer gesteuerten Entropiepumpe (Pumpe_IS). Abbildung 3.30 Gleichungen des Teilmodells thermischer Energiestrom (ThermEnerStrom) sowie das Modell Wärmeleitung. Werfen wir einen kurzen Blick auf ausgewählte Modelle. Abbildung 3.30 zeigt die Gleichungen des Teilmodells (partial model) thermischer Energiestrom. Dabei werden die Variablen Temperatur (T) und Entropiestromstärke (IS) der beiden Konnektoren (th_p, th_n) aufgerufen und in vier Gleichungen eingefügt. Im Modell Wärmeleitung wird dieses Teilmodell aufgerufen (extends). Der Aufruf erfolgt längs der Hierarchie Bibliothek Systemphysik, Teilbibliothek Konnektoren, Teilmodell ThermEnerStrom. Der Wärmeleitwert GW ist der einzige in diesem Modell gebrauchte Parameter. Die attributive Bezeich- Inhaltsverzeichnis Das Modell gesteuerte Entropiepumpe (Pumpe_IS) basiert auf dem Teilmodell thermischer Entropiestrom (ThermEntrStrom). Zudem wird aus der Modelica StandardLibrary ein Signalanschluss importiert. Dieses Modell pumpt Entropie mit einer durch dieses Signal gesteuerten Stromstärke. Die Information zu den Temperaturwerten kommt von den Konnektoren. Die Dissipation einer realen Wärmepumpe wird mit parallel und in Reihe geschalteten Wärmeleitungen erzeugt und kann aufgrund von Messdaten justiert werden. Im Gegensatz zu den kommerziellen Libraries zur Thermodynamik wird der Geometrisierung, z.B. der Parametrisierung ganzer Gebäude, nicht allzu viel Platz eingeräumt. Der Fokus liegt vielmehr bei einer umfassenden Beschreibung komplexer thermischer Systeme, wozu noch geeignete Beispiele identifiziert und modelliert werden müssen. Seite 61 von 221 Elektrodynamik 4 Elektrodynamik Als Michael Faraday am 24. November 1831 seine Forschungsarbeiten zur elektromagnetischen Induktion der Royal Society vorstellte, ahnte wohl niemand, welche gewaltige Entwicklung diese Entdeckung auslösen wird. Nachdem Faraday schon 1821 in einem Experiment gezeigt hatte, dass ein stromdurchflossener Leiter in der Nähe eines Magneten eine Kraft erfährt, führte er zehn Jahre später vor, wie ein bewegter Magnet einen elektrischen Strom induzieren kann. Aus dem ersten Experiment entstand der Elektromotor, aus dem zweiten der Generator. Weil sich diese Effekte nicht mit Hilfe eine Fernwechselwirkung erklären liessen, postulierte Faraday das elektrische und magnetische Feld als vermittelnde Grössen. Wir haben also einerseits Ladung und Strom, anderseits das elektromagnetische Feld. In diesem Kapitel konzentrieren wir uns auf Strom und Spannung und gehen erst im 10. Kapitel näher auf das elektromagnetische Feld ein. Dass Ladung strömen kann, war zu Beginn der Neuzeit alles andere als klar, woran auch die Elektrisiermaschine im ausklingenden 17. Jahrhundert wenig änderte. Die Elektrizität sah man eher als eine durch Reibung erzeugte Ausdünstung der Materie statt als bilanzierfähige Menge. Dabei unterschied man zwei gegensätzliche Fluide, wobei das eine durch einen mit Katzenfell geriebenen Bernsteinstab, das andere von einem mit einem Wolllappen frottierten Glasstab ausgeschieden wurde. Erst Benjamin Franklin konnte zeigen, dass es nur eine elektrische Ladung gibt, ein Körper aber gegensätzliche Ladung tragen kann. Die falsche Zweifluidtheorie entstand, weil ein geladener Körper sowohl einen Überschuss als auch einen Mangel an Ladung aufweisen kann. Mit der damit verbundenen Vorzeichenfrage werden wir uns zuerst beschäftigen müssen. Das 1897 von Joseph John Thomson erstmal nachgewiesen Elektron ist meist für den Transport der Ladung verantwortlich, wobei man sich die Elektronen keinesfalls als bewegte kleine Körper vorstellen darf. Deshalb bezeichnen wir den elektrischen Strom wie den Wärmestrom oder den im 5. Kapitel einzuführenden Impulsstrom als bewegungsfrei oder eben leitungsartig. Inhaltsverzeichnis Seite 62 von 221 Elektrodynamik 4.1 Zündspule Die Zündspule erzeugt, getrieben durch eine 12V-Batterie, kurze Spannungsspitzen von bis zu 30'000 Volt. Vergleicht man die Spannung mit dem Druck und den elektrischen Strom mit dem Volumenstrom, kann man eine gewisse Ähnlichkeit mit dem hydraulischen Widder erkennen. Doch wie hilfreich ist die hydroelektrische Analogie mit Spannung als Druck und elektrischer Strom statt Volumenstrom? Sie liefert ein nützliches Bild des Stromkreises, wobei man bedenken soll, dass der Volumenstrom einen konvektiven, der elektrische Strom aber einen leitungsartigen Transport darstellt. Zudem unterscheidet sich der Druck als lokal vorhandener Zustand der Materie von der elektrischen Spannung, welche die Stärke des elektrischen Feldes zwischen zwei Punkten beschreibt. Abbildung 4.1 1 Eisenkern, 2 Isoliermasse, 3 Vergussmasse, 4 Sekundärwicklung, 5 Primärwicklung, 6 Mantelblech, 7 Befestigungsschelle, 8 Gehäuse, 9 Hochspannungsfederkontakt, 10 Isolierdeckel, 11 Isolationsmaterial, 12 Hochspannungsausgang, A Klemme 15, B Klemme 4, C Klemme 1 Dank der hydroelektrischen Analogie können wir den Unterschied in der Funktionsweise der beiden Geräte aufzeigen. Im hydraulischen Widder erzeugt das Stossventile zusammen mit der Induktivität der Triebwasserleitung eine Druckspitze, welche durch den Windkessel geglättet wird. Bei der Zündspule Inhaltsverzeichnis produziert der Unterbruch des Stromkreises unter dem Einfluss einer Induktivität eine Spannungsspitze von ein paar hundert Volt in der Primärwicklung. Diese Spannung wird durch eine zweite Wicklung enorm verstärkt, wobei der Verstärkungseffekt dem Verhältnis der Wicklungszahlen der beiden Spulen entspricht. Ein paar technische Feinheiten sorgen für die optimale Funktion der Zündspule. Abbildung 4.1 zeigt schematisch einen Schnitt durch eine Zündspule. Der lamellierte Eisenkern verstärkt das Magnetfeld. Die Sekundärwicklung, die den Eisenkern umschliesst, besteht aus einem ca. 0.05–0,1 mm stark isoliertem Kupferdraht mit bis zu 50’000 Wicklungen. Diese Spule wird von einer Primärwicklung aus lackiertem, 0.6–0.9 mm starkem Kupferdraht ummantelt. Der Widerstand der Spule misst primärseitig 0.2–3.0 Ω und sekundärseitig 5–20 kΩ. Der technische Aufbau kann je nach Verwendungsbereich der Zündspule variieren. Doch wieso sind die Drähte unterschiedlich dick? Warum weist die Sekundärspule einen so viel höheren Widerstand, gemessen in Ohm , auf? Wie kommt es zur Spannungsverstärkung? Wieso besitzt eine Spule neben dem Widerstand noch eine Induktivität? Solche Fragen werden in diesem Kapitel beantwortet. Die hydroelektrische Analogie ist insofern brauchbar, als Spannung, Strom, Kapazität, Widerstand, Induktivität sowie Leistung eine fassbare Gestalt annehmen. Dennoch sollten wir auch die Unterschiede im Hinterkopf behalten. Verantwortlich für das elektrische Feld und die damit verbundene Spannung ist eine kleine Oberflächenladung, die sich extrem schnell an die Gegebenheiten anpasst. Der elektrische Strom, der unabhängig von der Oberflächenladung durch den Leiter fliesst, erzeugt ein wirbelförmiges Magnetfeld. Obwohl die Energie ausserhalb des Drahtes durch das elektromagnetische Feld Seite 63 von 221 Elektrodynamik transportiert wird, dürfen wir den Energietransport dem elektrischen Strom zuordnen. Dank dieser Zuordnung fügt sich der elektrische Energietransport in unser allgemeines Schema ein, wonach eine Energiestromstärke gleich Mengenstromstärke mal Potential ist. Die Prozessleistung, die gleich Spannung mal Stromstärke ist, beschreibt den lokalen Energieumsatz pro Zeit. 4.2 Ladung und Strom Abbildung 4.2 Zwei Metallkugeln mit je einem Elektrometer (links) sowie Skizze mit negativer und positiver Ladung Q (rechts). Verbindet man die beiden entgegengesetzt geladenen Kugeln mit einem optimal isolierten Draht, sind nachher beide Kugeln ungeladen. Der Strom fliesst von der abnehmenden zur zunehmenden Ladung, als von rechts nach links. Eine Metallkugel sitzt am oberen Ende eines langen, senkrecht stehenden Isolators. Die Kugel ist über einen Kupferdraht mit einem Elektroskop verbunden. Dieses besteht aus einem isoliert aufgestellten Metallstab, an dem ein Metallzeiger befestigt ist. Stab und Zeiger befinden sich in einem Metallkasten mit einer Deckscheibe. Reibt man nun einen Bernsteinstab mit einem Katzenfell und berührt danach die Kugel, pendelt der Metallzeiger vom Stab weg. Wiederhold man diesen Vorgang mehrmals, verstärkt sich dieser Effekt bis zur Sättigung. Nun berührt man eine zweite Kugel mit einem mit Wolle geriebenen Glasstab. Auch bei diesem Experiment schlägt der Zeiger des angeschlossenen Elektroskops aus. Wiederholt man den Vorgang, bis beide Zeiger gleich stark ausschlagen, kann man einen interessanten Effekt zeigen. Dazu nimmt man eine isolierte Aluminiumscheibe und berührt abwechslungsweise Inhaltsverzeichnis beide Kugeln mehrmals. Mit jedem Hin und Her gehen beide Ausschläge schrittweise zurück, bis beide Elektroskope nichts mehr anzeigen. In einem letzten Versuch befestigt man ein Stück Klebband auf die eine Kugel und sorgt mit einer kurzen Berührung dafür, dass das Elektroskop nichts anzeigt. Dann reist man das Klebband weg und legt das lose Ende auf die zweite Kugel. Danach sind beide Zeiger in etwa gleich ausgelenkt. [V21] Zur Interpretation dieser Experimente stellen wir zuerst die Hypothese auf, dass Bernsteinund Glaselektrizität auf jeweils eine Kugel gebracht worden sind. Entsprechen der auf der Kugel gespeicherten Ladung Q ist der Zeiger des Elektroskops ausgelenkt worden. Die zwei nachfolgenden Experimente zwingen uns, die Hypothese zu korrigieren. Bernsteinund Glaselektrizität können sich gegenseitig zu null auslöschen, wie das Experiment mit der wechselseitigen Berührung durch die isolierte Aluscheibe zeigt. Die beiden Ladungen können aber auch aus dem ungeladenen Zustand heraus erzeugt werden, wie aus dem Experiment mit dem Klebeband folgt. Es gibt demnach nur eine Ladung, die aber vorzeichenfähig ist. Die eine Kugel speichert einen Überschuss und die andere einen Mangel an elektrischer Ladung, obwohl die Ausschläge der Elektroskop-Zeiger gleich sind. Welche Metallkugel mehr als null und welche weniger trägt, ist eine Frage der Definition. Benjamin Franklin hat die Glaselektrizität als Überschuss und die Bernsteinladung als Mangel definiert. Dieser, angesichts der vollkommen symmetrischen Phänomene willkürlich Entscheid gilt bis heute. Ladung kann aus dem Nichts durch Trennung gebildet werden und durch Vereinigung wieder verschwinden. Was etwas esoterisch klingt, passiert recht oft. Trifft zum Beispiel ein energiereiches Lichtteilchen, ein sogenanntes Gammaquant, auf einen Atomkern, Seite 64 von 221 Elektrodynamik werden mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit ein Elektron und sein Antiteilchen, das Positron, gebildet. Damit dies passiert, muss die Energie des Gammaquants mindestens so gross sein wie die Massen von Elektron und Positron mal die Lichtgeschwindigkeit im Quadrat. Die Anwesenheit des Atomkerns ist notwendig, damit dieser die Bewegungsmenge, den Impuls, des Gammaquants aufnehmen kann. Kommen sich ein Elektron und ein Positron zu nahe, löschen sie sich gegenseitig aus. Danach fliegen zwei Gammaquanten exakt in die entgegengesetzte Richtung. Die Energien eines Gammaquants geteilt durch das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit ist gleich der Masse eines der beiden Teilchen. Zwei Gammaquanten sind notwendig, damit der Gesamtimpuls gleich null bleibt. Selbstverständlich darf man bei den beiden Metallkugeln von Elektronenüberschuss bei negativer Ladung und bei positiver Ladung von Elektronenmangel reden. Nur ist das ein wenig verwirrend, weil das Elektron eine negative Ladung trägt. Zudem wollen wir uns hier mit dem abstrakten Begriff Ladung vertraut machen und nicht über Teilchen, also über Stoffmenge, reden. Nachdem wir die Vorzeichenfrage der Ladung geklärt haben, wenden wir uns der Richtung des elektrischen Stromes zu. Dazu verbinden wir die beiden entgegengesetzt geladenen Kugeln mit einem extrem gut isolierten Draht. Augenblicklich gehen beide Zeiger auf null. Die Ladung der einen Kugel ist dabei von einem positiven Wert auf null gesunken und die der andern von einem negativen Wert auf null gestiegen. Damit ist die Richtung des elektrischen Stromes logisch festgelegt. Der elektrische Strom muss von der Kugel mit abnehmender Ladung zur Kugel mit zunehmender Ladung fliessen. Will man diesen Vorgang mit Elektronen erklären, fliessen diese in die andere Richtung. Der Teilchenstrom fliesst gegen den elektrischen Strom, weil die Ladung Inhaltsverzeichnis der Teilchen negativ ist. Hätte Franklin der Bernsteinelektrizität das positive Vorzeichen zugeordnet, flössen alle elektrischen Ströme auf die andere Seite, dafür würden die Elektronen in die gleiche Richtung wie der elektrische Strom wandern. Diese Willkür beim Vorzeigen mag befremden, auf die Richtung des Energietransports hat sie aber keinen Einfluss, weil auch die Spannung mit der Neudefinition die Richtung ändert. All diese Überlegungen sind notwendig, damit wir die vorzeichenfähige Grösse elektrische Ladung wirklich begreifen. Zudem müssen wir in der Mechanik ähnliche Überlegungen bezüglich der Grösse Impuls anstellen. [V22] Abbildung 4.3 Die elektrische Feldstärke zeigt bei einem positiv geladenen Körper von diesem weg, bei einem negativ geladenen auf diesen zu. Die elektrische Ladung erzeugt ein sehr starkes elektrisches Feld. Deshalb hat man es in der Elektrostatik mit hohen Spannungen und kleinen Energieumsätzen zu tun. Wer beim Berühren der Türklinke einen unangenehmen Schlag verspürt, erlebt wie sich der eigene Körper bei hoher Spannung aber kleinem Energieumsatz entlädt. Elektrisiermaschinen, die im 17. Jahrhundert zur Belustigung der Gäste und zum Leid der Dienerschaft eingesetzt wurden, verfügen über Leidener-Flaschen, in denen die elektrische Ladung gespeichert wird. Wenn sich die Dienerschaft Hände haltend in eine Reihe aufstellen musste und der vorderste die Leidener-Flasche berührte, floss ausreichend Ladung durch die Menschenkette, um alle zusammenzucken zu lassen. Das elektrische Feld Seite 65 von 221 Elektrodynamik umgibt die geladenen Kugeln radialsymmetrisch, wobei die Feldstärke von der positiv geladenen Kugel weg zeigt. Bei der negativ geladenen Kugel zeigt die Feldstärke analog zum Gravitationsfeld der Erde auf diese zu. Abbildung 4.4 Elektrische (blau) und magnetische Feldlinien (orange) bei einem Koaxialkabel. Fährt eine Strassenbahn von einer Haltestelle los, fliesst in den Schienen ein starker Strom, ohne dass dort Ladung vorhanden ist. Allgemein steht der durch einen Leiter fliessende Strom in keinem direkten Zusammenhang zur elektrischen Ladung auf der Oberfläche. Ob ein Strom fliesst und wie stark dieser ist, erkennt man an dem von ihm erzeugten Magnetfeld. Dieses Feld umhüllt den stromdurchflossenen Draht wirbelartig. Um die Komplexität des Feldes zu verringern, wenden wir uns einem Koaxialkabel zu. Dieses Kabel besteht aus einem Innenleiter, Seele genannt, der symmetrisch von einem hohlzylindrischen Aussenleiter umgeben ist. Verbindet man das Koaxialkabel mit einer Gleichspannungsquelle auf der einen Seite und einem Widerstand auf der andern, fliesst ein Gleichstrom durch Innen- und Aussenleiter im Kreis herum. Die Spannung zwischen den beiden Leitern wird von einer Oberflächenladung an der Innenseite des Aussenleiters und auf der Inhaltsverzeichnis Mantelfläche des Innenleiters erzeugt. Der im Innenleiter fliessende Strom baut ein magnetisches Wirbelfeld auf. Der im Aussenleiter in Gegenrichtung fliessende Strom kompensiert das magnetische Feld des Innenleiters im ganzen Aussenbereich des Koaxialkabels. Sowohl das elektrische als auch das magnetische Feld erstrecken sich nur über den Raum zwischen den beiden Leitern. Die elektrische Stromstärke I wird in Ampère gemessen, womit der Ladung Q die Einheit Ampère mal Sekunde zugewiesen wird. Dies erinnert an die Energie, wo die Leistung und die Stärke des zugeordneten Energiestromes in Watt und die Energie selber in Watt mal Sekunde gemessen werden. Entsprechend findet man bei Akkus oft eine Kapazitätsangabe in mAh. Eine Milliamperestunde entspricht 3.6 Amperesekunde (As). Statt As könnte man auch C für Coulomb schreiben, so wie man Ws durch J für Joule ersetzen kann. Wie schon beim Volumenstrom besprochen, wird die Stromstärke bezüglich einer orientierten Referenzfläche gemessen, die sich meist über den Drahtquerschnitt erstreckt. Die Orientierung wird in der Regel mit einem Bezugspfeil angegeben. Fliesst zum Beispiel ein elektrischer Strom der Stärke -5 A, weist das Minuszeichen darauf hin, dass der Strom gegen den Bezugspfeil fliesst. 4.3 Spannung und Leistung Ein einfacher Stromkreis, bestehend aus einer Batterie mit 4.5 V Spannung, einem Glühbirnchen mit 3 W Leistung sowie den beiden Verbindungsdrähten, soll uns die Begriffe Stromstärke, Spannung, Leistung und Energie näherbringen. Wir vernachlässigen vorerst die Widerstände in den Drähten und nehmen die Leistung von 3 W als gegeben an. Zwischen den beiden Drähten herrscht auf der ganzen Länge eine Spannung von 4.5 V. Die Stromstärke berechnen wir mit der Formel Seite 66 von 221 Elektrodynamik für die Leistung, die wir schon bei der Gravitation (1.7), in der Hydrodynamik (2.3) und in der Thermodynamik (3.2) kennen gelernt haben 𝑃 = 𝐼𝑈 (4.1) Die Leistung ist gleich Stromstärke I mal Spannung U. Wir verzichten beim elektrischen Strom auf den Index Q, weil dies in der Elektrizitätslehre unüblich ist. Zudem schreiben wir die Spannung direkt und nicht als Potentialdifferenz. Formel (4.1) liefert uns für die gegebene Anordnung mit 4.5 V Spannung und 3 W Leistung eine Stromstärke von 0.67 A. Formel (4.1) gilt auch für Wechselstrom, weil dort sowohl die Spannung als auch die Stromstärke entsprechend angepasst werden. Der elektrische Strom fliesst im ganzen Kreis, also auch innerhalb der Batterie und im Glühdraht des Birnchens mit einer Stärke von 0.67 A. In der Batterie setzt ein chemischer Prozess die Leistung frei, die vom Stromkreis aufgenommen wird. Im Glühdraht fällt der Strom über eine Spannung und setzt dabei die von der Batterie aufgenommene Leistung wieder frei. Dabei wird Entropie erzeugt. Energie und Entropie gehen hauptsächlich als Wärmestrahlung weg, wobei wir den Teil der Strahlung, der für unser Auge empfindlich ist, als Licht bezeichnen. Die Batterie besteht aus drei Zellen, die aufgrund ihrer Bauweise je eine Spannung von 1.5 V aufbauen. Durch die Reihenschaltung entsteht die Gesamtspannung von 4.5 V. Jede Monozelle pumpt den elektrischen Strom auf ein um 1.5 V höheres Potential. In einer Batterie mit 9 V Nennspannung sind sechs Monozellen in Reihe geschaltet. Werden zuerst die beiden losen Drähte mit den beiden Anschlüssen der Batterie verbunden, baut sich in einem Bruchteil einer Sekunde auf der ganzen Drahtlänge eine Spannung von 4.5 V auf. Das geschieht über eine Inhaltsverzeichnis extrem kleine Ladungsverschieben. Der Draht beim Minusanschluss der Batterie weisst eine negative, der andere eine positive Oberflächenladung auf. Wieviel Ladung es braucht und wie die genau verteilt ist, hängt vom Abstand zwischen den Drähten und weiteren Einflussfaktoren ab. Die Batterie sorgt nur dafür, dass die Spannung zwischen einem beliebigen Punkt auf dem einen Draht und einem zweiten auf dem andern zwingend gleich 4.5 V beträgt. Man könnte auch 50 Batterien in Reihe schalten, womit zwischen zwei beliebigen Punkten auf den beiden Drähten eine Spannung von 225 V herrscht. Um eine anständige Spannung aufzubauen, benötigt man, wie wir in der Elektrostatik gesehen haben, nur kleinste Ladungsmengen. Entscheidend für Leistung ist die Quelle, die für den Aufbau der Spannung verantwortlich ist. Handelt es sich dabei um zwei gegensätzlich geladene Metallkugeln, ist der Energieumsatz so klein, dass man auch bei mehreren tausend Volt Spannung nicht viel spürt, wenn man beide Kugeln gleichzeitig mit je einer Hand anfasst. Dies ist bei einer Steckdose völlig anders. Die dort aufgebaute Wechselspannung ändert sich infolge der Leistungsabgabe kaum. Diese Spannungsquelle würde einen Wechselstrom entsprechend unseres Körperwiderstands durchdrücken. Fatalerweise würde der Strom die Herzkammern zum Flimmern bringen. Dieser Effekt, der recht schnell zum Tod führt, hat Thomas Edison zu einem Gegner des Wechselspannungsnetzes werden lassen. Im Gegensatz zu Spannung und Leistung, machen die Begriffe Potential und zugeordneter Energiestrom nur in speziellen Fällen wie etwa bei einer bipolaren HochspannungsGleichstrom-Übertragung Sinn. Dort fliesst ein Gleichstrom über zwei Drähte im Kreis herum, wobei der eine Draht beispielsweise auf einem Potential von +450 kV und der Seite 67 von 221 Elektrodynamik andere auf -450 kV gehalten wird. In diesem Fall dürfen wir analog zur Hydro- oder zur Thermodynamik von einem zugeordneten Energiestrom sprechen. Dieser ist wie in den anderen Gebieten gleich dem Produkt aus Potential und Stromstärke. Der zugeordnete Energiestrom fliesst beim positiven Potential zusammen mit dem elektrischen in die gleiche Richtung. Im andern Draht fliesst die Energie gegen die elektrische Ladung, weil das Potential, die Energiebeladung, negativ ist. Dadurch transportieren beide Drähte die Energie in die gleiche Richtung, obwohl die der elektrische Strom im Kreis herum fliesst. Eine ähnliche Erscheinung finden wir beim von der Steckdose getriebenen Stromkreis. Weil das Potential des einen Drahts, der Phase, im Takt mit dem Wechselstrom das Vorzeichen ändert, fliesst die Energie stossweise immer in die gleiche Richtung. Der andere Draht, der Neutralleiter, wird zwangsweise auf Erdpotential gehalten. Folglich dürfen wir den Energietransport vollständig der Phase zuordnen. Eine vertiefte Analyse würde zeigen, dass die Energie bei jedem Stromkreis über das elektromagnetische Feld und nicht wie die Ladung im Draht transportiert wird. «Zugeordneter Energiestrom» ist deshalb eine treffende Bezeichnung. Der Strom fliesst leitungsartig, also ohne nachweisbare Bewegung durch den Draht und die Spannung wird von einer kleinen Extraladung aufgebaut. Unter diesen Umständen den Energietransport den Elektronen zuordnen zu wollen, ist verwirrend und ziemlich falsch. Wohl sind Elektronen für den Transport von Ladung und Entropie in Metallen hauptverantwortlich, womit deren gute Leitfähigkeit für den elektrischen oder den Wärmestrom erklärt wird. Diese mikroskopische Erklärung liefert aber keinen Beitrag zum Verständnis des Stromkreises. Strom, Spannung und Prozessleistung kann man sich viel besser in Analogie zur Hydrodynamik vorstellen. Inhaltsverzeichnis 4.4 Widerstand Die Spannung treibt den elektrischen Strom durch den Draht und dieser setzt dem Strom einen Widerstand entgegen. Folgerichtig definiert man den Widerstand analog zur Hydraulik als Quotient von Spannung zu Stromstärke 𝑅= 𝑈 𝐼 𝐺= 𝐼 𝑈 (4.2) Der Widerstand R wird gemäss (4.2) in Volt pro Ampère gemessen, wofür meist die Einheit Ohm () verwendet wird. Wie in der Thermodynamik üblich kann man den Kehrwert als Leitwert G definieren. Die zugehörige Einheit, Ampère pro Volt, hat die Bezeichnung Siemens (S) bekommen. Das Wort Widerstand wird oft zweifach verwendet, indem das Bauteil selber und seine elektrische Eigenschaft so bezeichnet wird. Eine ähnliche Doppelbenennung finden wir auch in der Mechanik, wo man den Körper und nicht nur seine Schwere mit dem Begriff Masse benennt. Abbildung 4.5 Widerstände sind mit einem Farbcode versehen, der Grösse und Toleranz angibt. Drei Widerstandselemente mit den Werten 20 , 30  und 50  werden in Reihe geschaltet, indem das zweite Bauteil über den einen Draht mit dem ersten und über den andern mit dem dritten verbunden wird. Nun Seite 68 von 221 Elektrodynamik schliesst man die beiden freien Anschlüsse an eine Spannungsquelle von 50 V. Wie stark ist der durchfliessende Strom und welche Leistung wird über jedem der drei Bauteile freigesetzt. Der durchfliessende Strom muss überall gleich stark sein. Zudem muss die Summe der über den einzelnen Bauteilen herrschende Spannung gleich 50 V ergeben. Ersetzt man jede Spannung durch Widerstand mal unbekannte Stromstärke, erhält man eine Berechnungsvorschrift für den Gesamtwiderstand einer Reihenschaltung 𝑅 = (4.3) 𝑅 In unserem Beispiel ergibt sich ein Gesamtoder Ersatzwiderstand von 100 . Folglich treibt die Spannungsquelle mit 50 V einen 0.5 A starken Strom durch die drei Bauteile. Formel (4.2) rückwärts eingesetzt, ergibt für die drei Bauteile eine Spannung von 10 V, 15 V respektive 25 V. Mit (4.1) erhalten wir für die Leistungen 5 W, 7.5 W und 12.5 W. Bei Serieoder Reihenschaltung teilen die einzelnen Elemente die Gesamtspannung entsprechend ihrem Widerstand. Dementsprechend wird über dem grössten Widerstand auch die grösste Leistung umgesetzt. Im zweiten Experiment werden die drei Bauteile einzeln mit der Spannungsquelle verbunden. Damit herrscht über jedem Element eine Spannung von 50 V. Zudem ist die Stromstärke bei der Spannungsquelle gleich der Summe der Stromstärken der drei Widerstände. Ersetzt man diese Stromstärken mit Hilfe von (4.2) durch die Leitwerte, also die Kehrwerte der Widerstände, gewinnt man eine Berechnungsvorschrift für die Leitwerte bei Parallelschaltung 𝐺 = 𝐺 (4.4) Inhaltsverzeichnis Durch die drei Widerstandselemente fliessen Ströme der Stärken 2.5 A, 1.67 A und 1 A. Dabei werden Leistungen von 125 W, 83.3 W und 50 W umgesetzt. Bei der Parallelschaltung setzt der kleinste Widerstand die grösste Leistung um. Anstelle von (4.4) darf man auch behaupten, dass bei einer Parallelschaltung die Summe über alle Kehrwerte der Widerstände gleich dem Kehrwert des Ersatzwiderstandes ist. Entsprechend gilt bei Serie- oder Reihenschaltung, dass die Summe über alle reziprok genommenen Leitwerte gleich dem Reziproken des Ersatzleitwerts ist. Komplexere Anordnungen von Widerständen können nicht immer in Serie- und Parallelschaltungen aufgelöst werden. Betrachten wir dazu zwei parallel geschaltete Stromzweige mit je zwei Widerstände in Reihe. Im ersten Zweig ist der erste Widerstand gleich 20  und der zweite gleicht 80 . Im zweiten Zweig weisen die Widerstände Werte von 90  und 10  auf. Verbindet man beide Zweige mit einer Spannungsquelle von 50 V, fliesst je ein Strom von 0.5 A durch beide Zweige. Im ersten Zweig teilen die beiden Widerstände die Spannung im Verhältnis 1:4, was 10 V und 40 V ergibt. Im zweiten Zweig herrscht über dem ersten Widerstand eine Spannung von 45 V und über dem zweiten eine Spannung von 5 V. Als Leistung findet man 5 W und 20 W sowie 22.5 W und 2.5 W. Verbinden wir nun die zwischen je zwei Widerständen befindlichen Drahtstücke mit einem fünften Widerstand von 30 , darf man nicht die vorher vorhandene Spannung von 35 V durch die 30  dividieren, was 1.17 A ergäbe. Mit dem Zuschalten des Widerstands ändert sich das ganze Gefüge, also die Teilspannungen, die Stromstärken und die einzelnen Leistungen. Zwei recht einfache Gedanken führen uns zur Lösung dieses Problems. Nehmen wir einen Seite 69 von 221 Elektrodynamik einzelnen Knoten, der selber kaum Ladung speichern kann, als Bilanzgebiet, muss die Summe über alle Stromstärken gleich null sein. Dabei gilt die gleiche Vorzeichenregel wie in der Hydrodynamik. Der zweite Gedanke kann anhand einer Bergwanderung erläutert werden. Verlässt man morgens eine Berghütte und kehrt abends zu dieser zurück, ist man gleich viele Meter auf- wie abgestiegen. Weil der Höhenunterschied mal die Gravitationsfeldstärke die Gravitationsspannung gibt, darf man diese Idee auf den elektrischen Stromkreis übertragen. Wandert man in einem Stromnetz gedanklich über irgendeinen Pfad im Kreis herum, muss die Summe über alle Spannungen gleich null sein. Dabei muss auf das Vorzeichen der Spannung geachtet werden. Fällt die Spannung längs der «Wanderung» ab, zählt man sie positiv, steigt sie an, geht sie mit negativem Wert in die Rechnung ein. Selbstverständlich könnte man die Vorzeichenregel auch umdrehen. Der Rest ist eine rezeptartige Umsetzung, die anhand dieses Beispiels gut erklärt werden kann. [V23] länge zu und umgekehrt proportional zu seinem Querschnitt ab. Den Proportionalitätsfaktor nennt man spezifischen Widerstand 𝑅 = 𝜌(𝑇) ℓ 𝐴 𝐺 = 𝜎(𝑇) 𝐴 ℓ (4.5) Der spezifische Widerstand  oder alternativ die elektrische Leitfähigkeit  der verschiedenen Stoffe sind den Tabellenwerken zu entnehmen, wobei diese Werte meist bei 20°C gemessen worden sind. Liegt eine andere Temperatur vor, wird die Abweichung mit einer linearen oder bei grossem Temperaturunterschied mit einer quadratischen Funktion berechnet. Die zugehörigen Koeffizienten sind den entsprechenden Tabellen zu entnehmen. Je nachdem, ob der Widerstandswert mit steigender Temperatur grösser oder kleiner wird, unterscheidet man zwischen Kaltleitern (PTC Positive Temperature Coefficient) und Heissleitern (NTC Negative Temperature Coefficient). Metalle sind Kaltleiter, weil der Widerstand mit steigender Temperatur grösser wird, Halbleiter oder auch Glas gehören zu den Heissleitern. 4.5 Kapazität Kleinste Ladungsmengen erzeugen starke elektrische Felder und damit hohe Spannungen. Betrachten wir dazu eine Metallkugel mit 20 cm Durchmesser, die isoliert und weit entfern von anderen Körpern aufgehängt ist. Der Zusammenhang zwischen elektrischer Ladung und elektrischem Potential (Spannung gegen Erde) ergibt sich aus den Feldgesetzen und kann mit Hilfe einer einfachen Formel beschrieben werden Abbildung 4.6 Wie stark sind die Ströme in den einzelnen Zweigen, wie gross sind die Spannungen über den Widerständen und welche Leistungen werden dort umgesetzt? Wie gross ist der elektrische Widerstand eines Drahtes? Gemäss (4.3) und (4.4) nimmt der Widerstand proportional mit der Draht- Inhaltsverzeichnis 𝜑= 1 𝑄 4𝜋𝜀 𝑟 (4.5) 𝜀 steht für die elektrische Feldkonstante mit dem Wert 8.85 10-12 As/Vm, r beschreibt den Kugelradius und Q die Ladung. Eine positiv geladene Kugel weist ein positives und eine Seite 70 von 221 Elektrodynamik negativ geladene ein negatives Potential auf. Streng genommen gilt die Formel nur, falls sich die Kugel im Vakuum befindet und alle anderen Körper sehr weit weg sind. Will man auf der Kugel mit 10 cm Radius ein Potential von 100 kV erzeugen, muss gemäss (4.5) nur 1.1 As Ladung auf die Kugel gebracht werden. Das Beispiel illustriert, wie in der Elektrostatik mit wenig Ladung hohe Spannungen erzeugt werden können. Dies erklärt auch, wieso in einer elektrischen Übertragungsleitung zwischen den Drähten mit einer Frequenz von 50 Hz hohe Spannung auf- und abgebaut werden können, ohne dass dadurch grosse Ströme fliessen. Umhüllt man die Kugel mit einer zweiten, geerdeten Metallkugel, wird das elektrische Feld wie bei einem Koaxialkabel abgeschirmt. Die Ladung auf der inneren Kugel baut im Aussenraum ein elektrisches Feld auf, das auf der zweiten Kugel genau so viel Ladung verdrängt wie auf die erste Kugel gebracht worden ist. Diese Influenz genannte Erscheinung hat zur Folge, dass die Gesamtladung auf beiden Kugeln gleich null bleibt. Weil sich das elektrische Feld nur auf den Raum zwischen den beiden Kugelschalen erstreckt, ist die zugehörige Spannung viel kleiner als das Potential einer Einzelkugel mit gleicher Ladung. sator und zwei sehr grosse Metallbleche einen Plattenkondensator. Bringt man eine bestimmte Ladung auf eine der beiden Platten, fliesst wie beim Kugelkondensator die gleiche Ladung von der anderen Platte weg. Dazwischen erstreckt sich ein homogenes, elektrisches Feld. Die zugehörige Spannung ist wie bei der Gravitation (1.5) gleich Feldstärke mal Abstand der Platten. Die Feldstärke wird durch die Ladung oder etwas präziser durch die Ladung pro Fläche aufgebaut, wobei eine Feldkonstante als vermittelnder Faktor auftritt. Damit ist die Ladung pro Fläche gleich elektrische Feldkonstante 𝜀 mal Feldstärke oder gleich Feldkonstante mal Spannung durch Plattenabstand 𝑄 𝑈 =𝜀 𝐸= 𝜀 𝐴 𝑑 Q steht für die Ladung auf einer Platte, A für die Plattenfläche, U für die Spannung zwischen den Platten und d für den Plattenabstand. Generell besteht ein Kondensator aus zwei Leitern, die gegeneinander isoliert sind. In der Isolierschicht bildet sich das elektrische Feld aus. Jeder Kondensator wird unabhängig von Form und Isoliermaterial durch die Kapazität charakterisiert. Die Kapazität beschreibt das Verhältnis von gespeicherter Ladung zur damit aufgebauten Spannung. 𝐶= Abbildung 4.7 Schematische Darstellung eines Plattenkondensators. Je grösser die Platten (Elektroden) und je dünner das Dielektrikum, desto grösser die Kapazität. Die beiden Metallkugeln bilden einen Kugelkondensator. Innen- und Aussenleiter eines Koaxialkabels formen einen Zylinderkonden- Inhaltsverzeichnis (4.6) 𝑄 𝑈 𝐼 = 𝐶𝑈̇ (4.7) Die erste Gleichung in (4.7) liefert die Definition der Kapazität. In der zweiten Gleichung ist die erste nach der Zeit abgeleitet worden. Zudem ist die Änderungsrate der Ladung durch die Stromstärke ersetzt worden. Im Gegensatz zum Leitwert, der gemäss (4.2) das Verhältnis von Stromstärke zu Spannung beschreibt, entsprich die Kapazität dem Verhältnis von Stromstärke zur Änderungsrate der Seite 71 von 221 Elektrodynamik Spannung. Setzt man (4.6) in die Definitionsgleichung (4.7) ein, erhält man eine Berechnungsformel für die Kapazität eines Plattenkondensators. Die Kapazität ist umso grösser, je ausgedehnter die Platten sind und je näher die Platten zusammengerückt werden. Die Platten benötigen aber einen minimalen Abstand, sonst schlägt die Ladung durch. Um solche Kurzschlüsse zu vermeiden, wird der Zwischenraum mit einem Isolationsmaterial gefüllt. Durch das angelegte Feld wird das isolierende Material polarisiert und es bilden sich auf dessen Oberflächen Polarisationsladungen aus, welche das Primärfeld schwächen, die Spannung mindern und so die Kapazität erhöhen. Beschrieben wird dieser Effekt durch die dimensionslose Dielektrizitätszahl 𝜀 . Damit erhalten wir für die Kapazität eines Plattenkondensators eine kompakte Berechnungsformel 𝐶=𝜀 𝜀 𝐴 𝑑 (4.8) Die Einheit der Kapazität, also Coulomb pro Volt oder Ampère mal Sekunde pro Volt, erhält mit Farad (F) einen eigenen Namen. Folgerichtig gibt man die Feldkonstante oft mit Farad pro Meter an. Formel (4.7) gilt in guter Näherung für den Zylinder- und den Kugelkondensator. Mit Fläche, Abstand und Dielektrizitätszahl stehen drei Parameter zu Verfügung, um einen Kondensator der gewünschten Kapazität zu entwickeln. Kondensatoren mit grosser Kapazität baut man mit möglichst grosser Oberfläche, grosser Dielektrizitätszahl und möglichst kleinem Abstand. Die zugehörige Entwicklung führte vom Papier-, über den Elektrolyt- bis zum Superkondensator, wobei mit jedem Entwicklungsschritt die Kapazität bei gleicher Grösse um mehrere Zehnerpotenzen gesteigert werden konnte. Inhaltsverzeichnis Schaltet man mehrere Kondensatoren parallel, ist die Gesamtkapazität gleich der Summe aller Einzelkapazitäten. Schaltet man sie in Reihe, addieren sich die Kehrwerte der Einzelkapazitäten zum reziproken Wert der Gesamtkapazität. Dies folgt aus dem Umstand, dass die Gesamtspannung bei Reihenschaltung unter den einzelnen Kondensatoren aufgeteilt wird. Kapazitäten addieren sich wie Leitwerte. Im Unterschied zum Widerstand ist die Spannung bei Kondensatoren nicht proportional zur Stromstärke, sondern proportional zur total geflossenen Ladung. Aus diesem «Gedächtniseffekt» folgt, dass der Kondensator ein Energiespeicher ist. Um die gespeicherte Energie zu berechnen, multiplizieren wir die zweite Gleichung von (4.7) mit der Spannung und integrieren vom ungeladenen Zustand über die Zeit. 𝑃 = 𝑈𝐼 = 𝐶𝑈𝑈̇ → 𝑊 = 𝐶 𝑈 2 (4.9) Die Energie eines Kondensators wächst mit dem Quadrat der Spannung und damit auch mit dem Quadrat seiner Ladung, also des durchgeflossenen Stromes. Die Zusammenhänge zwischen Ladung, Kapazität, Spannung und Energie lassen sich bei einfachen Schaltungen mit Hilfe des Flüssigkeitsbildes anschaulich darstellen. Abbildung 4.8 Links die Originalschaltung, rechts die vereinfachte Schaltung mit gleichem Entladeverhalten. Das rot umrandete Gebiet wird ins Flüssigkeitsbild übersetzt. Als Beispiel betrachten wir zwei Kondensatoren, die auf der einen Seite geerdet sind und Seite 72 von 221 Elektrodynamik auf der andern über einen Widerstand miteinander verbunden werden. Anfänglich ist der eine Kondensator mit einer Kapazität von 0.2 mF auf 200 V, der andere mit einer Kapazität von 0.1 mF auf -100 V geladen. Nun übersetzen wir die Seite, die nicht auf Erdpotential gehalten wird, ins Flüssigkeitsbild. In diesem Bild wird die Ladung zu einer schweren Flüssigkeit, der halbe Kondensator zu einem zylindrischen Topf mit der Kapazität als Querschnitt und die die Spannung gegen Erde, das Potential, zur Füllhöhe. Die Töpfe stehen in einem riesigen See, der die Erde mit ihrem Nullpotential darstellt. Negative Ladungen erscheinen als Mangel oder Loch gegenüber dem See. Die vorher zugeflossene und jetzt gespeicherte Ladung ist gleich Querschnitt mal Füllhöhe. Dies ergibt für den grösseren Kondensator 40 mAs und für den kleineren 10 mAs. In diesem Bild wird intuitiv klar, dass sich die Potentiale ausgleichen müssen, sobald ein Strom fliessen kann. Der Endzustand berechnet sich wie bei kommunizierenden Gefässen, gespeicherte Ladung geteilt durch totale Kapazität, was hier 100 Volt ergibt. Abbildung 4.9 Das Flüssigkeitsbild für die Schaltung mit den zwei Kondensatoren. Ladung, Energie, Endspannung und dissipierte Energie können direkt dem Bild entnommen werden. Die Energie wird im Flüssigkeitsbild ebenfalls greifbarer. Betrachten wir zuerst die zum Laden benötigte Energie. Im grösseren Gefäss mussten beim Laden 40 mAs vom Erdpotential her um durchschnittlich 100 V angehoben werden, was mit einem Aufwand von 4 J verbunden ist. Im kleineren Gefäss wurden 10 Inhaltsverzeichnis mAs um durchschnittlich 50 V gehoben, was einen Aufwand von 0.5 J bedeutet. Die aufzuwendende Energie ist gleich Ladung mal halbe Endspannung, also gleich halbe Kapazität mal Spannung im Quadrat oder gleich Ladung im Quadrat geteilt durch die doppelte Kapazität. Sobald man die beiden Kondensatoren über den Widerstand verbindet, fliesst ein mit der Zeit abnehmender Strom. Bis zum Ausgleich auf 100 V sind, wie ebenfalls dem Flüssigkeitsbild zu entnehmen ist, 20 mAs vom grossen zum kleinen Kondensator geflossen. Weil die mittlere Fallhöhe 150 V beträgt, werden im Widerstand 3 J Energie dissipiert. Gegenüber Erde speichert dann der grosse Kondensator noch 1 J und der kleine immer noch 0.5 J. Diese Energie würde freigesetzt, wenn man die beiden Kondensatoren einzeln entladen würde. Im Flüssigkeitsbild entspricht dies der potentiellen Energie des Inhalts der beiden Töpfe gegenüber dem See. [V24] Nun betrachten wir statt Entladeprozess zu einem bestimmten Zeitpunkt. Wenn wir die beiden Kondensatoren mit einem Widerstand von 3 k verbinden, fliesst getrieben durch die Spannung von 300 V ein Strom von 100 mA. Würde die Stromstärke konstant bleiben, wären die Spannungen über den beiden Kondensatoren nach 0.2 Sekunden ausgeglichen. Weil die zwei Kondensatoren und der Widerstand einen einfachen Stromkreis bilden, könnten wir den Maschensatz anwenden und die Umlaufspannung formulieren. Vorher ersetzen wir die beiden in Reihe geschalteten Kondensatoren durch einen einzelnen, der über eine Kapazität von 0.067 mF verfügen muss (Abbildung 4.8 rechts). Damit die Spannung über dem Widerstand zu Beginn den Wert von 300 V annimmt, muss die Anfangsladung in der Ersatzkapazität 20 mAs betragen. Im Flüssigkeitsbild entspricht diese Ladungsänderung einer Verschiebung des Seespiegels um 100 V nach oben auf die Seite 73 von 221 Elektrodynamik Höhe des Ausgleichsniveaus. Der Maschensatz liefert die Gleichung 𝑈 −𝑈 =0 → 𝑄 + 𝑅𝑄̇ = 0 𝐶 (4.10) Statt Stromstärke steht im zweiten Term der rechten Gleichung die Änderungsrate der Ladung Q. Der zugehörige Vorzeichenwechsel hängt mit der Zählweise zusammen: eine positive Stromstärke beim Widerstand bewirkt eine negative Änderung der Kondensatorladung. (4.10) beschreibt eine einfache Differentialgleichung, zu deren Lösung man meist eine Zeitkonstante 𝜏 = 𝑅𝐶 definiert 𝑄(𝑡) = 𝑄 𝑒 (4.11) Die Zeitkonstante beträgt in unserem Beispiel 0.2 s. Nach dieser Zeit ist die Kondensatorladung auf den Anfangswert geteilt durch die Eulersche Zahl e abgesunken. Wartet man fünfmal länger, sinkt die Kondensatorladung unter 1%. Weil die Messgenauigkeit vieler Geräte bei diesem Wert liegt, gibt man als Entladezeit 5 an, obwohl die Ladung nie exakt auf den Wert null absinkt. Das Flüssigkeitsbild bildet nur eine Seite des Kondensators ab, wobei der andere Teil auf Erdpotential gehalten werden muss. Sind mehr als zwei Kondensatoren in Reihe geschaltet, lässt sich dazu kein direktes Flüssigkeitsbild mehr zeichnen. Der Plattenkondensator lehrt uns auch etwas über die Energie im elektrischen Feld. Dazu bringen wir auf eine Platte eine bestimmt Ladung Q, die andere ist geerdet. Nun ziehen wir die Platten auseinander, wobei wir mechanisch Energie zuführen. Weil damit das elektrische Feld bei konstanter Stärke verlängert wird, steigt die Spannung bei konstanter Ladung. Die damit verbundene Energiezunahme berechnen wir mit Hilfe des Flüssigkeitsbildes, wo der Topf bei gleichem Inhalt Inhaltsverzeichnis wegen (4.8) den Querschnitt verkleinert und so die Füllhöhe ansteigen lässt ∆𝑊 = 𝐸 𝐸∆𝑑 ∆𝑈 𝑄= 𝜀 𝐸𝐴 = 𝜀 ∆𝑉 (4.12) 2 2 2 Die Spannung kann analog zur Gravitationsspannung (1.5) als Feldstärke mal Distanz geschrieben werden. Entsprechend nimmt die Spannung zu, wenn die Distanz vergrössert wird. Die Umrechnung von Ladung zu Feldstärke erfolgt gemäss Formel (4.6). Das Verhältnis von Energie- zu Volumenzunahme beschreibt die Energiedichte im elektrischen Feld 𝜌 =𝜀 𝐸 2 (4.13) Die Energie, die wir der im Kondensator gespeicherten Ladung als potentielle zuschreiben, steckt offenbar im Raum zwischen den beiden gegeneinander isolierten Teilen, also im elektrischen Feld. 4.6 Induktivität Das magnetische Feld speichert ebenfalls Energie, wobei die Energiedichte wie beim elektrischen Feld quadratisch mit der Feldstärke B zunimmt = 𝐵 2𝜇 𝜀 𝜇 = 1 𝑐 𝜌 (4.14) Elektrische 𝜀 und magnetische Feldkonstante 𝜇 sind über die Lichtgeschwindigkeit (c = 299'792’458 m/s) miteinander verbunden. (4.15) Die im Magnetfeld gespeicherte Energie darf direkt dem felderzeugenden Strom zugeschrieben werden, so wie wir die im elek- Seite 74 von 221 Elektrodynamik trischen Feld gespeicherte Energie der Kondensatorladung zuordnen 𝑊 = 𝑄 2𝐶 𝐿 𝑊 = 𝐼 2 (4.16) Die erste Formel in (4.16) gewinnt man aus (4.9) unter Beizug von (4.7). Die zweite Formel ist primär ein Postulat, wobei die quadratische Abhängigkeit von der Stromstärke aus (4.14) folgt. L heisst Induktivität und wird in Henry (H) gemessen. Die Induktivität L ist wie die Kapazität C oder der Widerstand R eine Systemeigenschaft, die von der Geometrie und vom Material eines Bauteils abhängt. Grosse Induktivitäten erreicht man mit engen Drahtwicklungen, weil sich so die Magnetfelder der einzelnen Drahtschleifen gegenseitig verstärken. r ist die Permeabilitätszahl, die den Verstärkungseffekt des Füllmaterials in der Spule beschreibt. A steht für die Querschnittfläche der Spule und ℓ für den mittleren Umfang, also die Länge der zu einem Ring geformten Spule. Leitet man (4.16) nach der Zeit ab, bekommt man die Änderungsraten der Energie und damit die im Stromkreis umgesetzte Leistung 𝑃 = 𝑄 𝐼 𝐶 𝑃 = 𝐿𝐼𝐼 ̇ (4.18) Weil gemäss Definitionsgleichung (4.7) die Kondensatorladung geteilt durch die Kapazität gleich der Spannung ist, beschreibt die erste Formel in (4.18) gemäss (4.1) eine Leistung. Die zweite Formel beschreibt genau dann eine Leistung, wenn die Induktivität mal die Änderungsrate des Stromes eine Spannung ergibt. Dies liefert uns das konstitutive Gesetz der Induktivität 𝑈 = 𝐿𝐼 ̇ (4.19) Im Gegensatz zum Widerstand ist bei einer Induktivität nur dann eine Spannung feststellbar, wenn der Strom seine Stärke ändert. Abbildung 4.10: Ringspule mit Magnetfeldlinien (grün). Als Beispiel sei hier die Berechnungsformel für eine Ringspule erwähnt 𝐿= 𝜇 𝜇 𝑁 𝐴 ℓ (4.17) Inhaltsverzeichnis Kapazität und Induktivität sind Energiespeicher. Sie können Energie aufnehmen und wieder abgeben. Folglich verhalten sie sich einmal wie Energiebezüger und dann wieder wie Energielieferanten. Die damit verbundene Vorzeichenfrage bereitet beim Kondensator keine grossen Schwierigkeiten. Wird die Ladung betragsmässig grösser, nimmt der Kondensator Energie auf, wird diese betragsmässig kleiner, setzt der Kondensator Energie frei. Notfalls kann man sich den Prozess auch im Flüssigkeitsbild überlegen. Dort sieht man direkt, ob der Strom bergauf oder bergab fliesst. Bei der Induktivität orientieren wir uns direkt an der Energie. Nimmt die Strom- Seite 75 von 221 Elektrodynamik stärke im Betrag zu, wächst auch die Energie des Magnetfeldes. Dann muss der Stromkreis wie bei einem Widerstand Energie freisetzen und ans Magnetfeld abgeben. Wird der Strom kleiner, schwächt sich das Magnetfeld ab und die Induktivität wird zu einem Energie-Lieferanten. Die Prozessleistung ist dann gleich wie bei jeder elektrischen Energiequelle. 4.7 Wechselspannung Jede Steckdose ist mit dem Neutralleiter und mit einer der drei Phasen (Aussenleiter) verbunden. Die dritte Verbindung, die Schutzerde, ist entweder im Haus oder bei der nächsten Trafostation geerdet. Alle Geräte mit einer Metallhülle müssen mit der Schutzerde verbunden sein. Kommt es zu einer ungewollten Verbindung zwischen Hülle und Phase, fliesst ein starker Strom über die Schutzerde weg und die Sicherung fliegt raus. Ohne diesen Überlauf über die Schutzerde stände das Gerät unter Spannung, was ziemlich gefährlich wäre. Zwischen Phase und Neutralleiter herrscht eine Wechselspannung 𝑢 = 𝑢 cos(𝜔𝑡) 𝜔 = 2𝜋𝑓 = 2𝜋 𝑇 (4.20) In der Elektrotechnik werden Wechselspannung und Wechselstrom klein geschrieben. Die Amplitude 𝑢 beträgt in Europa meist 325 V und die Frequenz f wird bei 50 Hz (Hertz) stabilisiert. Um eine Verwechslung mit der Frequenz zu vermeiden wird die Kreisfrequenz 𝜔 nicht in Hz sondern in 1/s angegeben. Der Kehrwert der Frequenz heisst Periode T. Eine Frequenz von 50 Hz entspricht einer Periode von 0.02 s. Die Spannung erfährt 100 Nulldurchgänge pro Sekunde. Was passiert, wenn man die drei linearen Elemente Widerstand, Kapazität oder Induktivität direkt mit der Steckdose verbindet? Die Inhaltsverzeichnis Lösung liefern uns die drei konstitutiven Gleichungen (4.2), (4.7) und (4.19) 𝑖=𝐶 𝑢 𝑑𝑖 𝑢 𝑑𝑢 , 𝑖= , = 𝑅 𝑑𝑡 𝐿 𝑑𝑡 𝑖=𝐶 𝜋 𝑑𝑢 = 𝜔𝐶𝑢 cos 𝜔𝑡 + 2 𝑑𝑡 (4.21) Das Widerstandselement wird von einem Wechselstrom durchflossen, dessen Stärke zu jedem Zeitpunkt gleich angelegte Spannung geteilt durch den Widerstand ist. Beim Kondensator erhält man die Stromstärke, indem die Spannung zuerst nach der Zeit abgeleitet wird. Um die die Stromstärke bei der Induktivität zu ermitteln, muss man die Spannung über die Zeit integrieren 𝑖= 𝑖= 𝑢 cos(𝜔𝑡) 𝑅 1 𝐿 𝑢𝑑𝑡 = (4.22.1) (4.22.2) 𝑢 𝜋 cos 𝜔𝑡 − 𝜔𝐿 2 (4.22.3) Verbindet man einen idealen Kondensator mit einer Wechselspannungsquelle, läuft der Strom gemäss (4.22.1) eine Viertelperiode voraus. Dieses Verhalten ist gut erklärbar. Zuerst muss ein Strom fliessen, bevor die Ladung die Spannung erzeugen kann. Bei der idealen Spule ist die Phasenlage umgekehrt. Dort eilt die Spannung dem Strom eine Viertelperiode voraus, weil diese den Strom erst einmal zum Fliessen bringen muss. Der Phasenunterschied 𝜑 zwischen Strom und Spannung beeinflusst den Energietransport 𝑝 = 𝑢𝑖 = 𝑢𝚤̂ cos(𝜔𝑡) cos(𝜔𝑡 + 𝜑) = 𝑢𝚤̂ cos(𝜑) 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡) − 𝑢𝚤̂ sin(𝜑) cos(𝜔𝑡) sin(𝜔𝑡) (4.23) Der erste Term beschreibt die Leistung des Wirkstroms, der zweite die des Blindstroms. Der Wirkstrom transportiert die Energie mit Seite 76 von 221 Elektrodynamik einer Frequenz von 100 Hz immer in die gleiche Richtung. Weil die durchschnittliche Leistung halb so gross ist wie die Spitze, definiert man Effektivwerte für Stromstärke und Spannung, indem man die Amplituden durch Wurzel aus zwei dividiert. Dank dieser Korrektur darf die Leistung bei Wechselspannung gleich wie bei Gleichspannung gerechnet werden. Beträgt bei einer Steckdose die Spannung 230 V und kann der Strom maximal 10 A stark sein, sind damit die Effektivwerte gemeint. Die Amplitudenwerte sind Wurzel aus zwei grösser und betragen 325 V respektive 14.1 A. Die Spitzenleistung liegt bei 4600 W, was über die Zeit gemittelte 2300 W ergibt. Diesen Wert bekommt man direkt durch Multiplikation der Effektivwerte von Strom und Spannung. Der Blindstrom transportiert im zeitlichen Mittel keine Energie, was seinen Namen erklärt. Die zugehörige, oszillierende Stromstärke ist real und belastet unnötigerweise das elektrische Netz. Um dieses hin- und Herschieben der Energie zu vermeiden, müssen grössere Kunden dafür sorgen, dass im Versorgungsnetz möglichst keine Blindströme auftreten. Die komplexen Zahlen eignen sich bestens, um harmonisch oszillierende Spannungen und Stromstärken sowie die Phasenverschiebungen kompakt zu beschreiben. 𝑢 = 𝑢𝑒 ( ) 𝑖 = 𝚤̂𝑒 ( ) (4.24) Der Unterstrich weist darauf hin, dass u und i komplexe Grössen sind. Um eine Verwechslung mit der Stromstärke i zu vermeiden, wird die imaginäre Einheit mit j abgekürzt. Mit dieser Einbettung in die komplexen Zahlen werden die harmonisch schwingenden Spannungen und Ströme durch gleichmässige Kreisbewegungen in der komplexen Ebene beschrieben. Was wie eine Verkomplizierung aussieht, erweist sich als mathematisch Inhaltsverzeichnis einfacher. Der Realteil von (4.24) liefert die reelle Darstellung nach (4.20) und (4.24). Eine Kapazität oder eine Induktivität begrenzt die Stärke eines Wechselstromes ohne Energie zu dissipierten. Zudem erzwingen sie einen Phasenunterschied zwischen Strom und Spannung. Um dieses Verhalten zu beschreiben, erweitert man den Leitwert G zur Admittanz Y und den Widerstand R zur Impedanz Z. Die Admittanz ist wie der Leitwert (4.2) als Verhältnis von Stromstärke zu Spannung definiert. Aus (4.24) folgt, dass die Admittanz eine zeitunabhängige, komplexe Zahl ist 𝚤̂ 𝑒 𝑢 𝑌= 𝑌 = 𝐺 + 𝑗𝐵 (4.25)  beschreibt den Phasenunterschied zwischen Strom und Spannung. Der Realteil der Admittanz ist der Wirkleitwert G und der Imaginärteil heisst Blindleitwert B. Wendet wir nun die erste Formel von (4.25) auf Kapazität, Widerstand und Induktivität an, erhalten wir deren Admittanzen aus (4.22) 𝑌 = 𝜔𝐶𝑒 ⁄ 𝑌 =𝐺 𝑌 = 1 𝑒 𝜔𝐿 𝐵 = 𝜔𝐶 (4.26.2) ⁄ 𝐵= −1 𝜔𝐿 (4.26.1) (4.26.3) Der Kehrwert der Admittanz heisst Impedanz Z mit dem Realteil als Widerstand R und dem Imaginärteil als Blindwiderstand X 𝑍= 1 𝑢 = 𝑒 𝑌 𝚤̂ 𝑍 = 𝑅 + 𝑗𝑋 (4.27) Bildet man die Kehrwerte von (4.26), ändert sich auch das Vorzeichen der beiden Blindwiderstände gegenüber den Blindleitwerten. Falls man stattdessen den Phasenunterschied zwischen Spannung und Strom nimmt, Seite 77 von 221 Elektrodynamik ändert sich das Vorzeichen nicht. Die Admittanz eines beliebigen linearen Systems liegt irgendwo auf der rechten Seite der komplexen Ebene. Die Impedanz ist gleich dem Kehrwert der Impedanz. Dies gilt aber nicht für die beiden Komponenten, den Wirk- und den Blindwiderstand, wie die folgende Rechnung zeigt (der Realteil der Impedanz Z ist gleich dem Widerstand R und der Imaginärteil gleich dem Blindwiderstand X) 𝑍= 1 1 𝐺 𝐵 = = −𝑗 𝑌 𝐺 + 𝑗𝐵 𝑌 𝑌 (4.28) In (4.28) ist der Term nach dem dritten Gleichheitszeichen mit dem konjugiert komplexen Nenner erweitert und die Summe der Quadrate von Wirk- und Blindleitwert durch das Quadrat der Admittanz ersetzt worden. Die analoge Rechnung gilt auch beim Umrechnen von den Komponenten der Impedanz zu den beiden Teilen der Admittanz. Schaltet man mehrere Elemente parallel, addieren sich die Einzelstromstärken bei gleicher Spannung zur Gesamtstromstärke. Folglich müssen ihre Admittanzen zusammengezählt werden. Statt diese komplexen Zahlen nach den Regeln der Algebra zu addieren, kann man auch ein Zeigerdiagramm skizzieren, was etwas anschaulicher ist Sind die Elemente in Reihe geschaltet, ist der Strom überall gleich stark und die Einzelspannungen addieren sich zur Gesamtspannung. Dementsprechend sind die Impedanzen zu addieren. Was passiert, wenn man die Frequenz der Spannungsquelle ändert? Diese beeinflusst gemäss (4.26) die Blindwerte, nicht aber die Wirkwiderstände respektive die Wirkleitwerte. Folglich wandert die Zeigerspitze in Abbildung 51 mit der Änderung der Frequenz auf einer vertikalen Linie auf und ab. Zur Analyse der Leistung führt man komplexwertige Effektivspannungen und Effektivströme ein, indem man wie bei der reellen Darstellung beide Formeln in (4.24) durch Wurzel aus zwei dividiert. Die zugehörige Leistung ergibt sich aus der Multiplikation der Effektivspannung mit der konjugiert komplexen Effektivstromstärke. Damit fallen die zeitabhängigen Teile weg, womit nur die Phasenverschiebung übrigbleibt. Der Realteil dieser komplexwertigen Leistung beschreibt die Wirk- und der imaginäre Teil die Blindleistung. Diese Grössen entsprechen dem zeitlichen Mittelwert über die Momentanleistung gemäss (4.23). Auf eine explizite Darstellung mit Formeln soll hier verzichtet werden, weil wir damit kaum neue Erkenntnisse gewinnen. Wer zur Lösung eines Problems eine rezeptartige Darstellung sucht, halte sich an die Fachliteratur oder schlage kurz in Wikipedia nach. 4.8 Abbildung 4.11 Links die Schaltung, rechts die graphische Darstellung der Addition, die als Zeigerdiagramm gelesen werden kann. Inhaltsverzeichnis Transformator Der Transformator gehört neben Widerstand, Kapazität und Induktivität zu den wichtigsten Bauteilen eines elektrischen Netzwerkes. Wir beschränken uns bei der Analyse auf Strom, Spannung sowie Energie und beziehen das elektromagnetische Feld nur soweit wie notwendig mit ein. Betrachten wir dazu nochmals die einfache Spule. Schwillt der Strom an, wächst der Energiegehalt des Seite 78 von 221 Elektrodynamik Magnetfeldes quadratisch mit der Feldstärke B und damit gemäss (4.16) ebenfalls quadratisch mit der Stromstärke. Diese Energie muss an den Stromkreis zurückfliessen, sobald das Magnetfeld infolge abnehmender Stromstärke schwächer wird. Wie in (4.18) gezeigt, macht sich dieser Energieaustausch als Spannung über der Spule bemerkbar, wobei jede einzelne Wicklung ihren Beitrag leistet. Wie bei der Zündspule kann ein zweiter Draht darüber gewickelt oder das Magnetfeld mittels eines magnetischen Kerns durch eine zweite Spule hindurchgeführt werden. Gäbe es keine Streufelder, würden beide Spulen vom selben magnetischen Fluss durchströmt. Mathematisch darf der magnetische Fluss wie ein Volumenstrom behandelt werden, wobei die magnetische Feldstärke der Volumenstromdichte, also der Strömungsgeschwindigkeit entspricht. Aus diesem Grund heisst die magnetische Feldstärke B auch Flussdichte. mittels weichmagnetischer Materialien minimiert. Nachfolgend lassen wir diese Einflüsse wie auch die Widerstände in den Drähten weg. Zudem soll der magnetische Fluss ohne Streuverluste durch beide Spulen geführt werden. Dieses idealisierte Modell heisst verlustloser und streuungsfreier Transformator. Was passiert, wenn die Sekundärspule offen ist und in der primären ein Wechselstrom fliesst? Die ideale Primärspule verhält sich rein induktiv, womit die Spannung dem Strom um eine Viertelperiode vorausläuft. Der durch den Strom aufgebaute magnetische Fluss induziert nicht nur in der primären Spule, sondern auch bei der sekundären eine Spannung. Weil beide Spulen am selben Fluss hängen und in jede einzelne Wicklung die gleiche Spannung induziert wird, verhalten sich die beiden Spannungen wie ihre Wicklungszahlen zueinander. Diese Proportion nennen wir Übersetzungsverhältnis ü ü= Abbildung 4.12 Schematische Darstellung eines Transformators mit Primär- und Sekundärwicklung. Der magnetische Kern leitet und verstärkt den magnetischen Fluss, sorgt aber auch für Energiedissipation. Erstens werden Wirbelströme induziert und zweitens ist die periodische Magnetisierung mit sogenannten Umpolungsverlusten behaftet. Wirbelströme können klein gehalten werden, indem man Bleche anstelle eines kompakten Kerns verwendet. Die Umpolungsverluste werden Inhaltsverzeichnis 𝑁 𝑢 = 𝑁 𝑢 (4.29) Die Sekundärwicklung einer Zündspule weist etwa hundertmal mehr Windungen auf als die primäre, folglich ist die Spannung sekundärseitig auch hundertmal grösser. Im Kupferdraht der Sekundärwicklung wird durch die induzierte Spannung etwas Ladung verschoben. Folglich wird der primäre Stromkreis auch durch die offene Sekundärspule beeinflusst, wenn auch nur sehr schwach. Wird die Sekundärspule über einen Widerstand kurzgeschlossen, treibt die induzierte Spannung einen Strom. Weil dieser Strom selber wieder ein Magnetfeld aufbaut, gibt es eine Rückwirkung auf den magnetischen Fluss. Die vom Sekundärstrom verursachte Rückkopplung beeinflusst das Verhalten der Primärspule. Dadurch steigt primärseitig die Stromstärke bei gegebener Spannung an und Seite 79 von 221 Elektrodynamik der Phasenunterschied zwischen diesen beiden Grössen wird kleiner. Eine weitere Idealisierung, bei welcher man die beiden Induktivitäten gegen unendlich gehen lässt, führt uns zum Modell des Übertragers. Das Verhältnis der beiden Stromstärken ist dann umgekehrt proportional zu dem der Spannungen gemäss (4.29), was die Energieerhaltung gewährleistet. Der Übertrager bildet eine sekundärseitige Impedanz auf die Primärseite ab. Die abgebildete Impedanz ist gleich ursprüngliche Impedanz mal das Quadrat des Übertragungsverhältnisses. Diese Formel folgt direkt aus der Definition der Impedanz gemäss (4.27), sobald man Strom und Spannung mit Hilfe des Übersetzungsverhältnisses auf die Primärseite überträgt 𝑍 =ü 𝑍 (4.30) Ein realer Transformator besteht aus widerstandsbehafteten Drähten und einem nichtidealen Kern. Zudem wird der magnetische Fluss durch Streufelder beeinflusst. Zur Modellierung setzt man mehrere ideale Bauteile zusammen Abbildung 4.13 Ersatzschaltbild eines realen Transformators. In Abbildung 4.13 stehen R1 und R2 für die Drahtwiderstände, RE beschreibt die Umpolverluste im Eisenkern. X1 und X2 modellieren die Streuverluste und Xh steht für die Kopplungsinduktivität. Die Striche bedeuten, dass diese Grössen mit Hilfe des Übersetzungsverhältnisses ü auf die Primärseite übertragen worden sind. Die mathematische Analyse des realen Transformators würde den Rahmen dieses Buches sprengen. Inhaltsverzeichnis 4.9 Drehstrom Einphasigen Wechselstrom findet man meist nur bei den Bahnen. So verfügt die SBB über eigene Kraftwerke, ein Hochspannungsnetz, eigenen Unterwerke und 1800 km Übertragungsleitungen, um den einphasigen Bahnstrom mit einer Frequenz von 16.7 Hz zu produzieren, zu übertragen und zu transformieren. Für die Energieversorgung von Haushalten, Gewerbe- und Industriebetrieben verwendet man dreiphasigen Drehstrom. Der Drehstrom wird über drei Leitungen transportieren, wobei die Spannungen betragsmässig gleich gross sind, die Phase sich aber um 2/3 unterscheiden. Stellt man diese Spannungen im Sinne von (4.24) als komplexwertige Funktionen dar, ergibt sich in der komplexen Ebene ein zentriertes, gleichseitiges Dreieck, das mit einer Winkelgeschwindigkeit von 2f rotiert. Werden alle drei Phasen gleich belastet und fliesst kein Blindstrom, ist die Summe der Teilströme gleich null, weshalb die Übertragungsleitungen keinen Neutralleiter benötigen. In einer Übertragungsleitung von 220 kV ist die Spannungsamplitude gemäss einer weiter oben gemachten Überlegung um Wurzel aus zwei grösser und beträgt damit 311 kV. Die Differenz zwischen zwei verschiedenen Amplituden ist nochmals Wurzel aus drei grösser, was man sich gut in der komplexen Darstellung überlegen kann. Schaltet man also zwei solche Höchstspannungsleiter gegeneinander, erhält man eine Wechselspannung mit einer Spitze von 539 kV. Weil diese Überlegung auch für die Effektivwerte gelten, kann man mit dem dreiphasigen Haushaltsstrom eine Effektivspannung von fast 400 V erzeugen. In der Schweiz transportiert ein 6700 km langes Höchstspannungsnetz von 220 kV und 380 kV die Energie über grosse Distanzen. Hochspannungsnetze mit typischerweise 50 Seite 80 von 221 Elektrodynamik bis 110 kV sorgen für die überregionale Verteilung. Die nächste tiefere Stufe, häufig mit 16 bis 18 kV, versorgt die Quartiere oder Grosskunden. Haushalte werden mit 230 V bedient. 4.10 Systemdynamische Modelle Kondensator Widerstand und Induktivität verhalten sich als Zweipol. Fliesst auf der einen Seite ein Strom hinein, geht auf der anderen Seite ein gleich starker Strom weg. Was wir als Kondensatorladung bezeichnen, entspricht der Ladung auf dem einen Teil. Der andere Teil ist dann entgegengesetzt gleich geladen, so dass der Kondensator in der Summe keine Ladung speichert. Weil in einem elektrischen Netzwerk nirgends eine nennenswerte Ladungsmenge gespeichert werden kann, ist die Elektrodynamik für die systemdynamische Modellierung wenig geeignet. Geerdete Kondensatoren, die über Widerstände miteinander verbunden sind, bilden eines der wenigen Beispiele, die mit Gewinn systemdynamisch modelliert werden können. Die Schaltung aus Abbildung 4.8 mit zwei Kondensatoren und einem Widerstand, die in Abbildung 4.9 ins Flüssigkeitsbild übersetzt worden ist, besteht aus zwei Töpfen und einer verbindenden Pipeline. Die zugehörigen Ladungen bestimmen die aktuelle Potentiale oder Spannungen über den Kondensatoren und ihre Differenz treibt den Strom durch den Widerstand. Auf einer zweiten Ebene kann die Energie modelliert werden. Das Modell zu den beiden Kondensatoren ist zu dem mit den zwei PET-Flaschen strukturähnlich. Nur verhalten sich dort weder die Speicher noch der Widerstände linear. Insofern ist die Elektrodynamik einfacher als die Hydrodynamik und die elektrischen Systeme lassen sich häufig analytisch beschreiben, wie Formel (4.11) zeigt. Inhaltsverzeichnis Abbildung 4.14 Das systemdynamische Modell besteht aus der Ladungs- und der Energiebilanz. Die systemdynamische Methode hat gegenüber der analytischen zwei Vorteile. Erstens sind die Ansprüche an das mathematische Können weniger hoch und zweitens kann man das Modell mit wenig Aufwand auf nichtlineare Kapazitäten oder temperaturabhängige Widerstände erweitern. Abbildung 4.15 Zeitliche Verlauf von Spannung über den Kondensatoren sowie der Stromstärke beim Widerstand Sowohl Spannungen wie auch Stromstärken gehen exponentiell gegen den Endwert. Die Zeitkonstante kann direkt in der Darstellung der Stromstärke in Abbildung 4.15 bestimmt werden. Dazu legt man zum Zeitpunkt null die Tangente an die Kurve. Die Zeitkonstante ergibt sich dann aus dem Schnittpunkt dieser Tangente mit der Nulllinie. Diese Konstruktion zeigt, dass der Endzustand nach einer Zeitkonstanten erreicht wäre, wenn der Seite 81 von 221 Elektrodynamik Strom seine würde. Anfangsstärke beibehalten ein Widerstand oder eine Induktivität gebildet werden (Abbildung 4.18). Abbildung 4.16 Energien der beiden Kondensatoren (rot und schwarz) sowie dissipierte Energie (blau). Die Zeitkonstante der Prozessleistung ist halb so gross wie die von Strom und Spannung, weil jene aus dem Produkt dieser beide Grössen gebildet wird. Beim kleineren Kondensator fliesst die Energie zuerst weg und dann wieder zu, obwohl der elektrische Strom seine Richtung nicht ändert. Dies hängt mit dem Vorzeichenwechsel der Spannung respektive des Potentials des nicht geerdeten Teils des Kondensators zusammen. Das Flüssigkeitsbild (Abbildung 4.9) vermag auch dieses Phänomen zu erklären. Gegenüber dem umgebenden See stellt sowohl ein gefülltes als auch ausgepumptes Reservoir einen energiereichen Zustand dar. Abbildung 4.17 Definition des Konnektors (oben) sowie Bildung eines Teilmodells (unten) aus der Teilbibliothek Analog. In der Teilbibliothek Analog wird beim Widerstand die dissipierte Leistung berechnet und mit einem thermischen Konnektor verbunden. Die dort übergebene Temperatur beeinflusst über eine entsprechend zu parametrisierende Gleichung die Grösse des Widerstandes. 4.11 Modelica: Elektro Die Standard Library weist verschieden Teilbibliotheken zur Elektrodynamik auf. Die Teilbibliothek Analog enthält unter anderem die hier besprochenen Basiselemente. Der Konnektor listet das elektrische Potential als Potential- und den elektrischen Strom als Flussgrösse auf. Das Teilmodell OnePort verbindet zwei Konnektoren, indem die Summe der beiden Stromstärken gleich null gesetzt sowie eine interne Stromstärke und eine Spannung formuliert werden. Darauf aufbauend können mit nur je einer Gleichung eine Kapazität, Inhaltsverzeichnis Abbildung 4.18 Codierung einer Kapazität (oben) sowie einer Induktivität (unten). Um das Modell einer Zündspule zu bauen, benötigt man eine Funkenstrecke als neues Modell. Der Rest, Widerstände, Induktivitäten, Kapazitäten sowie Transformator sind vorhanden. Seite 82 von 221 Translationsmechanik 5 Translationsmechanik Zu Stosszeiten sind seit 2016 spezielle Pendelzüge auf Zürichs Schienen unterwegs. Sechs revidierte Doppelstockwagen werden von einer Re 420 gezogen und von einer zweiten geschoben. Wer zieht und wer schiebt, hängt von der Fahrtrichtung ab. Solche Züge eignen sich vorzüglich, um die eindimensionale Bewegungslehre zu erklären. Jeder einzelne Wagen und auch die beiden Loks müssen Bewegungsmenge aufnehmen, damit sie in Fahrt kommen. Dieselbe Bewegungsmenge müssen sie auch wieder abgeben, damit sie im nächsten Bahnhof stillstehen. Offiziell bezeichnet man die Bewegungsmenge als Komponente des Impulses. Der Zug kann einen Überschuss oder einen Mangel an Impuls aufweisen. Im ersten Fall bewegt er sich in positive Richtung, im zweiten Fall in negative Richtung. Das Vorzeichen wird durch ein globales Koordinatensystem festgelegt. Damit ist schon gesagt, dass es drei Komponenten des Impulses gibt, dass die Bewegungsmenge in drei Sorten vorkommt. Das Flüssigkeitsbild, das in der Elektrodynamik eingeführt worden ist, dient auch in der Mechanik dem besseren Verständnis. Bilanz, Beschleunigung, Impulsinhalt, Energieinhalt wie auch Prozessleistung erscheinen im Flüssigkeitsbild so anschaulich, dass man aus diesem Bild die wichtigsten Formeln ableiten kann. Daneben wird noch das Impulsstrom- und das Kraftbild eingeführt. Alle drei Bilder zusammen liefern einen tiefen Einblick in die grundlegende Struktur der Mechanik. Wie Beschleunigung, Geschwindigkeit und Ort voneinander abhängen, wird in einem separaten Abschnitt erklärt. Die Gravitation, die unser Leben massgeblich prägt, wirkt im Sinne von Albert Einstein als Impulsquelle oder Volumenkraft. Zum Schluss dieses Kapitels werden Modelle zu verschiedenen Bewegungsvorgängen wie Sprung aus der Stratosphäre, Aufprall von Fahrzeugen oder vertikal schwingende Platte vorgestellt. Den krönenden Abschluss bildet die Modellierung einer Zugfahrt. Inhaltsverzeichnis Seite 83 von 221 Translationsmechanik 5.1 Zugfahrt Ein Doppelstock-Pendel-Zug (DPZ) der Zürcher S-Bahn fährt von Niederweningen Dorf nach Niederweningen und wenige Minuten später wieder zurück. Auf dieser Strecke von 1060 Meter Länge fährt der Zug an, bremst kurze Zeit danach bis zum Stillstand ab, fährt etwas später rückwärts an und steht am Schluss wieder am ursprünglichen Ort. Indem wir die leichte Kurve vernachlässigen, können wir von einer eindimensionalen Hin- und Herfahrt ausgehen. Abbildung 5.1 Doppelstockzug der Zürcher S-Bahn bestehend aus einer Lok Re 450, zwei Zwischen- und einem Steuerwagen. Damit die Lok möglichst viel Energie rekuperieren und via Oberleitung zurückspeisen kann, wird im Normalbetrieb die Wagenbremse nicht aktiviert. Im Gegensatz zu neueren Pendelzügen sind die Wagen über die alte Schraubenkupplung miteinander verbunden. Anfänglich sei die Lok vorn und zieht den Zug weg. Auf dem Rückweg befindet sich die Lok hinten und schiebt die Wagen. Unter diesen Umständen können wir folgendes beobachten: in der ersten Phase benötigt die Lok Energie und die Spindeln stehen unter Zug; beim vorwärts Bremsen gibt die Lok Energie an die Oberleitung ab und die Puffer werden leicht eingedrückt; beim rückwärts Anfahren benötigt die Lok Energie und die Puffer sind immer noch leicht eingefahren; zum Schluss speist die Lok Energie zurück und die Spindeln stehen wieder unter Zug. Regen, Schnee und Laub beeinträchtigen das Fahrverhalten von Adhäsionsbahnen, speziell wenn die Schienen ein grösseres Gefälle aufweisen. Züge können dann nicht mehr richtig Inhaltsverzeichnis anfahren oder benötigen längere Bremswege. Ungenügende Haftreibung bei den Antriebsrädern erschwert den Austausch von Bewegungsmenge mit der Erde. Ohne diese Bewegungsmenge kann sich kein Körper fortbewegen. Wieso diese Bewegungsmenge, die man in der Physik Impuls nennt, weniger populär ist als die Energie, lässt sich nicht so einfach erklären. Vielleicht beachten wir die Energie stärker, weil wir diese bezahlen müssen, den Impuls aber gratis mit der Erde austauschen können. Was nichts kostet, ist nichts wert. Drei DPZ lassen sich zu einem Zug von 300 m Länge zusammenhängen. Die Züge kuppeln automatisch. Dabei geht ein unerwarteter Ruck durch die Wagen. Sollte sich der Lokführer der auflaufenden Komposition in der Geschwindigkeit verschätzt haben, besteht sogar Sturzgefahr. Im Güterverkehr sind Auflaufgeschwindigkeiten bis zu 10 km/h möglich, weshalb empfindliche Waren speziell zu verpacken sind. Was bei solchen Auflaufstössen mit dem Impuls und der Energie passiert, wollen wir uns nun als erstes anschauen. 5.2 Impuls und Energie Ein vierachsiger Güterwagen mit einer Masse von 80 t fährt mit 3 m/s gegen einen ruhenden zweiachsigen Wagen, der mit einer Masse von 20 t ungebremst auf den Schienen steht. Schwere Güterwagen verfügen oft über Hydraulikpuffer, wogegen die Puffer von leichten Güterwagen meist mit Reibfedern ausgerüstet sind. Reibfederpuffer treiben die Wagen nach dem Stoss kräftig auseinander, Hydraulikpuffer absorbieren die freigesetzte Energie praktisch vollständig, was zu einem unelastischen Stoss führt. Zuerst untersuchen wir den unelastischen Stoss, führen danach die kinetische Energie ein und wenden uns dann den teilelastischen Stössen zu. Seite 84 von 221 Translationsmechanik Das Flüssigkeitsbild, das wir schon in der Elektrizitätslehre kennen gelernt haben, veranschaulicht auch die grundlegenden Zusammenhänge der Mechanik. Diesmal repräsentiert die Flüssigkeit den Impuls, die Erde wird als Impulsspeicher zu einem beliebig grossen See und die Körper erscheinen als zylinderförmige Töpfe mit der Masse als Querschnitt und der Geschwindigkeit als Füllhöhe. Der Impulsinhalt ist dann gleich Querschnitt mal Füllhöhe, also gleich Masse mal Geschwindigkeit. Im Flüssigkeitsbild wird der unelastische Stoss zum Ausgleichsvorgang, wie man ihn bei kommunizierenden Gefässen beobachten kann. Einen ähnlichen Prozess haben wir schon bei zwei Kondensatoren diskutiert. Energie, die zusammen mit dem Impuls im bewegten Körper gespeichert ist, nennt man kinetische Energie. Beim Aufprall fliessen 48'000 kgm/s Impuls im Durchschnitt 1.5 m/s hinunter, wobei 72 kJ Energie freigesetzt wird. Fassen wir diese wichtige Erkenntnis nochmals zusammen: die kinetische Energie ist gleich Impulsinhalt mal halbe Geschwindigkeit, der Energieumsatz ist gleich dem ausgetauschten Impuls mal die mittlere Geschwindigkeitsdifferenz. Statt kgm/s kann man für den Impuls auch die Einheit Newtonsekunde (Ns) verwenden. Nimmt man statt Joule (J) Wattsekunde (Ws) hat man für Impuls und Energie ähnliche Einheiten. Abbildung 5.3 Flüssigkeitsbild eines elastischen Stosses für gegeneinander fahrende Güterwagen. Abbildung 5.2 Flüssigkeitsbild eines unelastischen Stosses. Aus dem Flüssigkeitsbild ist zu entnehmen, dass die Endgeschwindigkeit gleich dem Gesamtimpuls geteilt durch die totale Masse ist, was bei unserem Auflaufstoss 2.4 m/s ergibt. Weiter kann man herauslesen, dass der auflaufende Wagen 48'000 kgm/s Impuls abgegeben und der anfänglich ruhende die gleiche Menge an Impuls aufgenommen hat. Das Flüssigkeitsbild liefert uns indirekt Informationen zur Energie. Der auflaufenden Wagen speichert bei einer Geschwindigkeit von 3 m/s 240'000 kgm/s Impuls. Diese Bewegungsmenge wurde ihm vorher von der Erde her zugeführt. Weil der Impuls dabei im Mittel um 1.5 m/s hochgepumpt wurde, mussten 360 kJ Energie aufgewendet werden. Diese Inhaltsverzeichnis Was passiert, wenn zwei gegeneinander fahrende Wagen einen Stoss verursachen? Dazu betrachten wir wieder einen Güterwagen mit einer Masse von 80 t, der mit einer Geschwindigkeit von 2 m/s gegen einen zweiten Wagen prallt, der ihm mit 1 m/s entgegenkommt und eine Masse von 20 t aufweist. Zuerst müssen wir die positive Bewegungsrichtung festlegen. Diese zeige in Fahrtrichtung des schwereren Güterwagens. Der leichtere Wagen bewegt sich dann mit minus 1 m/s, womit der Pegel im zweiten Topf unterhalb des Seespiegels der Erde zu liegen kommt. Aus dem korrekt gezeichneten Flüssigkeitsbild lesen wir eine Endgeschwindigkeit von 1.4 m/s heraus. Während des Stosses fliessen wieder 48 kNs Impuls im Mittel um 1.5 m/s hinunter, womit 72 kWs Energie Seite 85 von 221 Translationsmechanik freigesetzt wird. Im Gegensatz zum ausgetauschten Impuls und der dabei freigesetzten Energie, die in beiden Beispielen gleich sind, unterscheiden sie sich bezüglich des Impulses und der kinetischen Energie bei Stossbeginn. Wie man anhand des Flüssigkeitsbildes einfach überlegen kann, betragen die kinetischen Energien beim zweiten Beispiel 160 kWs respektive 10 kWs, was in der Summe weniger als die 360 kWs des ersten Beispiels. Am wenigsten Energie muss vor dem Stoss aufgewendet werden, wenn der Impulsinhalt der beiden Wagen in der Summe gleich null ist, wobei die Relativgeschwindigkeit von 3 m/s umgekehrt zu den Massen aufgeteilt werden muss, was eine Anfangsgeschwindigkeit von 0.6 m/s für den schweren und -2.4 m/s für den leichten Wagen ergibt. Im Flüssigkeitsbild liegt der Pegel der Erde auf dem Niveau des Endzustandes. Die Summe der beiden kinetischen Energien zu Beginn ist dann gleich der im Stoss freigesetzten Energie von 72 kWs. Vergleicht man den bewegten Körper mit einem Kondensator entspricht die Masse eines Körpers der Kapazität und die Geschwindigkeit dem Potential oder der Spannung über dem Kondensator. Diese Analogie führt zu ähnlichen Flüssigkeitsbildern. Entsprechend analog sind die Formeln für die Ladung des Kondensators und den Impuls eines bewegten Körpers 𝑄 = 𝐶𝑈 𝑝 = 𝑚𝑣 (5.1) Weil in beiden Fällen die Menge im Mittel um die halbe Füllhöhe gehoben werden muss, sind auch die Formeln für die Energien analog 𝑊 =𝑄 𝑈 𝐶 = 𝑈 2 2 𝑊 =𝑝 𝑣 𝑚 = 𝑣 2 2 (5.2) Ersetzt man die Hydraulikpuffer durch ideale Federn, wird die Energie zwischengespei- Inhaltsverzeichnis chert und nicht dissipiert. Was dann passiert, überlegen wir uns im Flüssigkeitsbild. Dazu betrachten wir nochmals Abbildung 5.3. In der ersten Stossphase werden die Federn zusammengedrückt. Dabei fliessen 48 kNs im Mittel um 1.5 m/s hinunter, womit die Federn 72 kWs Energie aufnehmen müssen. Beim Ausfahren geben die Federn diese Energie an den durchfliessenden Impuls zurück. Diese Energie reicht aus, um so viel Impuls hinauf zu befördern, wie vorher hinuntergeflossen ist. Im Flüssigkeitsbild müssen wir dazu die Geschwindigkeitsänderungen des unelastischen Stosses verdoppeln. Weil der schwere Wagen beim Einfahren der Puffer um 0.6 m/s abgebremst wird, ist er nach dem elastischen Stoss um total 1.2 m/s langsamer. Der leichte Wagen wird in der ersten Stossphase 2.4 m/s schneller, was für den elastischen Stoss eine Zunahme von total 4.8 m/s ergibt. Zieht man 1.2 m/s von der Anfangsgeschwindigkeit des schweren Wagens ab, erhält man eine Endgeschwindigkeit von 0.8 m/s. Der leichte Wagen vergrössert seine Geschwindigkeit von minus 1 m/s auf 3.8 m/s. Reibfederpuffer geben nur einen Drittel der aufgenommenen Energie wieder zurück. Da weniger Energie zur Verfügung steht, kann weniger Impuls hinauf gepumpt werden. Der Energieaufwand wächst quadratisch mit dem gepumpten Impuls, weil mehr Menge höher hinauf gefördert werden muss. Damit verhalten sich die Energien zueinander wie die Quadrate der Relativgeschwindigkeiten. Diese Abhängigkeit steckt auch in der Formel für die kinetische Energie (5.2). Weil die Geschwindigkeit des schweren Wagens beim Einfahren der Puffer um 0.6 m/s abnimmt, muss sie beim Ausfahren nochmals um 0.6 m/s geteilt durch Wurzel aus drei, als um 0.35 m/s zurück gehen, was eine totale Abnahme der Geschwindigkeit von 0.95 m/s ergibt. Beim leichten Wagen nimmt die Geschwindigkeit beim Einfahren um 2.4 m/s zu und Seite 86 von 221 Translationsmechanik beim Ausfahren nochmals um 1.39 m/s, was insgesamt 3.79 m/s ergibt. Der mit 2 m/s auflaufende, schwere Wagen fährt danach mit 1.05 m/s weiter. Der leichte Wagen vergrössert seine Geschwindigkeit von -1 m/s auf 2.79 m/s. Wählt man die Geschwindigkeiten vor dem elastischen Stoss so, dass der Gesamtimpuls gleich null ist, müssen die Federn die Summe der beiden kinetischen Energien aufnehmen, weil beide Wagen zum gleichen Zeitpunkt kurzfristig stillstehen. Danach werden die beiden Wagen so zurückgeworfen, dass die Beträge der beiden Endgeschwindigkeiten denen des Anfangswerts entsprechen. Beide Wagen speichern nach dem Stoss den entgegengesetzt gleichen Impuls und die gleiche Energie wie vor dem Stoss. [V25] 5.3 Mechanischer Prozess Bisher haben wir nur End- und Anfangszustand miteinander verglichen. Um den ganzen Prozess zu verstehen, benötigen wir ein Gesetz, welches die Stärke des durch die Puffer fliessenden Impulsstromes in Funktion der Relativgeschwindigkeit beschreibt. Das einfachste Verhalten zeigen die Seitenpuffer eines Gelenktriebwagens (GTW) von Stadler Rail. Diese Seitenpuffer, welche bei einem Unfall möglichst viel Energie aufnehmen müssen, bestehen aus einem aufgeschraubten Rohrstück und einem beweglichen Rohr mit Pufferteller. Bei einem Aufprall wird das eine Rohr mit Gewalt in das etwas engere Rohr hineingepresst. Der Seitenpuffer lässt sich nur zusammendrücken, wenn ein Impulsstrom mit einer Stärke von 600 kN hindurchfliesst. Der schwere Güterwagen sei nun mit zwei etwas weicheren Seitenpuffer bestückt, die den Impulsstrom auf 400 kN beschränken. Die Puffer des leichten Wagens seien abgeschraubt worden. Dann fliesst von Stossbeginn bis zum Geschwindigkeitsausgleich ein konstanter Impulsstrom von 800 kN durch die beiden Puffer. Weil insgesamt Inhaltsverzeichnis 48 kNs Impuls ausgetauscht werden müssen, dauert dieser Stoss nur 0.06 Sekunden. Abbildung 5.4 Stossprozess im Flüssigkeitsbild. Dividieren wir die freigesetzte Energie von 72 kWs durch die Stosszeit von 0.06 s, erhalten wir eine Leistung von 1200 kW. Dieser Wert beschreibt nur die mittlere Leistung. Dem Flüssigkeitsbild entnehmen wir, dass die Fallhöhe im ersten Augenblick 3 m/s beträgt, was eine Prozessleistung von 24000 kW ergibt. Ein gleichbleibender Impulsstrom führt zu einer linear abnehmenden Leistung, weil die Geschwindigkeitsdifferenz linear mit der Zeit gegen null geht. Abbildung 5.4 zeigt den Prozess eine hundertstel Sekunde nach Stossbeginn. Die Geschwindigkeit des schweren Wagens ist in dieser Zeit um 0.1 m/s zurück gegangen, die des leichten um 0.4 m/s angewachsen. In diesem Moment wird bei einer Relativgeschwindigkeit von 2.5 m/s und einer Impulsstromstärke von 800 N eine Leistung von 2000 kW freigesetzt. Eine solche «Leistung des Wasserfalls» haben wir schon in der Hydrodynamik und in der Elektrodynamik vorgefunden 𝑃 = ∆𝑝𝐼 𝑃 = 𝑈𝐼 𝑃 = ∆𝑣𝐼 (5.2) I steht für Stromstärke und der Index verweist auf die strömende Menge. In der Elektrodynamik entfällt der Index. Der Impulsstrom setzt in den einfahrenden Puffern eine Leistung frei. Beim Ausfahren liefern die Pufferfedern die Leistung, damit Seite 87 von 221 Translationsmechanik der Impulsstrom geschwindigkeitsmässig hinauf fliessen kann. Statt wie in der Elektrodynamik die Prozessleistung zu analysieren, können wir analog zur Hydraulik dem Impulsstrom einen Energiestrom zuordnen. Dazu multiplizieren wir die Impulsstromstärke mit der dort vorhandenen Geschwindigkeit 𝐼 = 𝑣𝐼 (5.3) Eine Hundertstelsekunde nach Beginn des Aufpralls beträgt der zugeordnete Energiestrom aus dem schweren Wagen 1520 kW, weil der Wagen 1.9 m/s schnell und der Impulsstrom 800 kN stark ist. Vom leichten Wagen fliesst die Energie mit einer Stärke von 480 kW gegen den Impulsstrom. Die Energie strömt immer dann gegen den Impuls, wenn die Geschwindigkeit negativ ist. Weil beide Energieströme aus den Wagen heraus in die Puffer fliessen, ist ihre Summe gleich der Prozessleistung. Die beiden zugeordneten Energieströme sind gleich der Änderungsrate der entsprechenden kinetischen Energie. Die analoge Aussage gilt auch für den Impuls: die Impulsstromstärke ist gleich der Änderungsrate des Impulsinhaltes. Weil der Impuls als Masse mal Geschwindigkeit geschrieben werden kann, ist die Impulsänderungsrate gleich Masse mal Änderungsrate der Geschwindigkeit, also gleich Masse mal Beschleunigung. Im Flüssigkeitsbild erscheint die Geschwindigkeit als Füllhöhe und die Beschleunigung als Geschwindigkeit des Flüssigkeitsspiegels. Weil im schweren Wagen der Impuls mit einer Rate von 800 N abnimmt, beträgt die Beschleunigung -10 m/s2. Im nur einen Viertel so schweren Wagen nimmt der Impuls mit einer Rate von 800 N zu, womit die Beschleunigung den Wert 40 m/s2 annimmt. [V26] Inhaltsverzeichnis 5.4 Impulsstrom und Kraft Der Doppelstock-Pendelzug durchläuft zwischen Niederweningen Dorf und Niederweningen vier Phasen: vorwärts anfahren, vorwärts bremsen, rückwärts anfahren und rückwärts bremsen. Im Flüssigkeitsbild steigt der Pegel in allen vier Töpfen zuerst an, sinkt wieder auf null ab, fällt bei der Rückfahrt unter null und steigt dann hoch bis zum Stillstand. Die erste und die dritte Phase sind mit einem Energieaufwand verbunden, weil der Impuls entweder in die Fahrzeuge oder aus diesen herausgepumpt werden muss. In den beiden anderen Phasen gibt der hinunterfliessende Impuls Energie frei. Während des vorwärts Anfahrens fördert die Lok Bewegungsmenge aus der Erde in sich und die Wagen hinein. Dabei fliesst der Impuls nach hinten und belastet die Spindeln auf Zug. Im nachfolgenden Bremsvorgang fliesst der Impuls aus den Wagen durch die auf Druck belasteten Puffer nach vorn, um dann über die Räder und Schienen an die Erde wegzuströmen. Beim Rückwärts anfahren muss die Lok die Bewegungsmenge an die Erde wegpumpen, wobei der aus den Wagen vorwärts fliessende Impuls die Puffer auf Druck belastet. In der vierten Phase strömt der Impuls aus der Erde zu und verteilt sich von der Lok auf die drei Wagen. Der dabei in negative Koordinatenrichtung fliessende Impulsstrom belastet die Spindeln auf Zug. In zwei der vier Prozesse fliesst der Impuls durch die Puffer vorwärts, wobei diese zusammengedrückt werden. In den beiden anderen Prozessen zieht der rückwärts fliessende Impulsstrom die Spindeln in die Länge Vorwärts strömender Impuls erzeugt Druck, rückwärts fliessender Impuls belastet das vom Impulsstrom durchflossene Material auf Zug Seite 88 von 221 Translationsmechanik Fährt der DPZ zügig weg, fliesst über die Antriebsräder ein Impulsstrom mit einer Stärke von 230 kN zu. Damit Lok und Wagen zu gleichen Zeiten gleich schnell sind, muss sich der Impuls entsprechend den Massen auf die vier Fahrzeuge verteilen. Von der Gesamtmasse von 230 t entfallen 74 t auf die Lok, womit für die drei Wagen, abgesehen von den konstruktiv bedingten Differenzen je 52 t übrigbleiben. Gemäss diesen Angaben wird jede Tonne mit einer Impulsänderungsrate von einem Kilonewton bedient. Die Impulsstromstärke in der hintersten Spindel beträgt damit 52 kN, in der zweithintersten 104 kN und bei der Lok 156 kN. Weil man die Stärke eines Impulsstromes bezüglich eines Körpers Kraft nennt und mit F bezeichnet, ersetzten wir in der Impulsbilanz die Impulsstromstärke durch den Begriff Kraft: die Summe über alle Kräfte ist gleich der Änderungsrate des Impulsinhalts zeigt der Kraftpfeil in negative Koordinatenrichtung. Gemäss dieser Regel zeichnen wir bei den Rädern der anfahrenden Lok einen nach vorn gerichteten Kraftpfeil mit einem Betrag von 230 kN. Diese Stromstärke nennt man Haftreibungskraft. Am hinteren Ende der Lok, wo der Impuls mit einer Stärke von 156 kN durch die Spindel abfliesst, markieren wir die Impulsstromstärke mit einem negativ gerichteten Kraftpfeil. Bezüglich des ersten Wagens erhalten wir vorn einen in positive Richtung weisenden Kraftpfeil von 156 kN und hinten eine negativ gerichtete Kraft von 104 kN. Der zweite Wagen wird vorn mit einem positiv gerichteten Kraftpfeil von 104 kN und hinten mit einem negativ gerichteten Pfeil von 54 kN versehen. Der letzte Wagen bekommt vorn einen vorwärts gerichteten Kraftpfeil von 54 kN. Zwei Kraftpfeile, welche für die Stärke desselben Impulsstromes an derselben Stelle aber bezogen auf zwei verschiedene Körper stehen, nennt man ein Wechselwirkungspaar. Solche Paare finden wir an drei Stellen, zwischen Lok und erstem Wagen, zwischen ersten und zweiten Wagen, sowie zwischen zweiten und dritten Wagen. 5.5 Abbildung 5.5 Impulsstrombild (oben), vier Schnittbilder (Mitte) und Flüssigkeitsbild für den anfahrenden DPZ. Im Raum unterscheidet man drei Sorten oder Komponenten von Impuls. Entsprechend existieren drei getrennt zu bilanzierende Impulsströme, die man bezüglich eines Körpers zu einem Vektor zusammenfasst und mit einem Pfeil markiert. Betrachtet man nur eine Komponente des Impulses, zeigt der Kraftpfeil entweder nach vorn oder nach hinten. Fliesst der Impuls zu, markieren wir dessen Stärke mit einem in positive Richtung weisenden Kraftpfeil. Fliesst der Impuls weg, Inhaltsverzeichnis Leistung und Arbeit Anstelle eines Seitenpuffers, der sich bei konstantem Impulsstrom verformt, betrachten wir einen linearen Dämpfer, bei dem die Stärke des durchfliessenden Impulsstromes proportional zur Verformungsgeschwindigkeit ist. Vernachlässigen wir seine Masse, fliesst der Impuls direkt durch. Die beiden bezüglich des Dämpfers gemessenen Impulsstromstärken, die Kraft von links und von rechts, sind entgegengesetzt gleich gross. Wird dieser Dämpfer als Puffer zwischen zwei Güterwagen eingesetzt, können wir dem Impulsstrom beidseits einen Energiestrom zuordnen, welcher der Änderungsrate der kinetischen Energien des zugehörigen Güterwagens entspricht. Die Summe dieser beiden Energieströme ergibt die Prozessleis- Seite 89 von 221 Translationsmechanik tung, wie direkt dem Flüssigkeitsbild gemäss Abbildung 5.4 entnommen werden kann. Impulsstrom, Geschwindigkeitsdifferenz, Prozessleistung, geflossener Impuls, Verformung und total umgesetzte Energie können in einem räumlichen Schaubild dargestellt werden. Abbildung 5.6 Linearer Dämpfer mit Impulsstrom- und Kraftbild sowie Ip-v-t-Schaubild. Das Schaubild zeigt in der vertikalen Ebene das Impulsstromstärke-Zeit-Diagramm. Liegend angefügt ist das Geschwindigkeitsdifferenz-Zeit-Diagramm. Weil der Dämpfer linear ist, sind die beiden Kurven ähnlich. Die rosa gefärbte Fläche unter der Impulsstrom-ZeitKurve beschreibt den total geflossenen Impuls. Die hellblau eingefärbte Fläche entspricht der totalen Verformung. Die beiden grün eingefärbten Rechteckflächen stehen für die Prozessleistung. Lässt man ein Rechteck über die Zeit laufen, wobei die zwei gegenüberliegenden Ecken der roten und der blauen Kurve folgen, wird ein Körper gebildet, welcher die total freigesetzte Energie darstellt. In unserem stark vereinfachten Beispiel besteht der Energiekörper aus zwei schiefen Pyramiden und einem dazwischenliegenden Quader. Betrachten wir nur den Quader in der Mitte, kann dessen Volumen entweder mit Prozessleistung mal zugehöriger Zeitabschnitt oder mit Verformung mal Impulsstromstärke berechnet werden. Diese Berechnungsvorschrift können wir auf den Rest des Schaubildes übertragen, falls wir den Zeitabschnitt und damit auch die Verformung infinitesimal klein halten Inhaltsverzeichnis 𝑊 = 𝑃𝑑𝑡 = 𝐼 ∆𝑣𝑑𝑡 = 𝐼 𝑑𝑠 (5.4) Um steht für Energieumsatz. Energie kann wie hier vom Impulsstrom freigesetzt oder wie bei einer Feder von diesem auch wieder aufgenommen werden. Statt Ip darf man auch F schreiben, wobei dann entweder die von links oder die von rechts einwirkende Kraft gemeint ist. Auf der Versuchsanlage der Schwab Verkehrstechnik AG in Schaffhausen liess man vor Jahren einen Güterwagen mit einer Masse von 45 t mit 10 km/h gegen einen ungebremst auf der Schiene stehenden, 40 t schweren Wagen laufen. Bis die beiden Wagen die gemeinsame Geschwindigkeit von 1.47 m/s erreicht hatten, war 58.8 kNs Impuls vom Hammer- in den Ambosswagen geflossen, wobei 81.5 kWs Energie freigesetzt wurde. Diese Werte sind dem Flüssigkeitsbild entnommen und dürften den realen Ablauf nur näherungsweise beschreiben. In der Realität nimmt auch die Wagenstruktur Energie auf. Zudem gehen die Wagen beim Stoss etwas in die Knie, weichen also nach unten weg. Abbildung 5.7 zeigt das gemessene Impulsstromstärke-Verformungs-Diagramm von zwei in Reihe geschalteten Puffer, eines Hydraulik- und eines Reibfederpuffers. Abbildung 5.7 Kraft-Weg-Diagramm eines Hydraulik- sowie eines in Serie geschalteten Reibfederpuffers. Beide Puffer wurden mit gut 90 mm etwa gleich stark zusammengedrückt, wobei die Energieaufnahme, hier als Fläche erkennbar, recht unterschiedlich war. Der Hydraulikpuffer (Energie 2) hat mit 42 kJ deutlich mehr Seite 90 von 221 Translationsmechanik Energie aufgenommen als der Reibfederpuffer, der nur etwa 27 kJ absorbiert hat. Letzterer hat nach dem Stoss etwa 9 kJ an den durchfliessenden Impulsstrom zurückgegeben und die Wagen damit auseinanderlaufen lassen. Weil die beiden Puffer in Reihe geschaltet waren, musste der durchfliessende Impulsstrom zu gleichen Zeiten gleich stark gewesen sein. Mit dieser Information kann man erkennen, dass der Reibfederpuffer deutlich schneller als der Hydraulikpuffer eingefahren ist und sich dann auch als erster wieder entspannt hat. Abbildung 5.8 Impulsstrom-, Flüssigkeits- und Kraftbilder für einen Auflaufstoss. Anhand des Puffertest wollen wir die grundlegenden Zusammenhänge der Mechanik rekapitulieren. Während des Aufpralls fliesst ein Impulsstrom vom auflaufenden Güterwagen in den anfänglich ruhenden. Dieser Strom kann mit einer Kraftmessplatte an drei Stellen gemessen werden: zwischen erstem Wagen und Hydraulikpuffer, zwischen den beiden Puffertellern, zwischen Reibfederpuffer und zweitem Wagen. Diese drei Impulsstromstärken können je auf die beiden angrenzenden Körper bezogen werden. Damit erhält man sechs Kräfte: eine Kraft auf den ersten Güterwagen, zwei auf den Hydraulikpuffer, zwei auf den Reibfederpuffer und eine auf den zweiten Wagen. Vernachlässigt man die Massen der Puffer, sind alle sechs Kräfte betragsmässig gleich gross. Je zwei Kräfte, welche die Stärke des Impulsstromes an der gleichen Stelle beschreiben, aber auf ver- Inhaltsverzeichnis schiedene Körper bezogen werden, bilden ein Wechselwirkungspaar. Die beiden auf die Wagen wirkenden Kräfte sind gleich der Impulsänderungsrate und damit gleich Masse mal Beschleunigung der Wagen. Der Impulsstrom setzt in beiden Puffern eine Leistung frei, die gleich Stromstärke mal zugehörige Geschwindigkeitsdifferenz ist. Summiert man diese Leistung über die Zeit auf, erhält man die umgesetzte Energie. Dem Impulsstrom kann an jeder Stelle ein Energiestrom zugeordnet werden, indem dessen Stärke mit der Geschwindigkeit der Schnittfläche multipliziert wird. Ist die Geschwindigkeit positiv, fliesst die Energie in die gleiche Richtung wie der Impuls. Bei einer negativen Geschwindigkeit fliessen Impuls und Energie gegeneinander. Der zugeordnete Energiestrom entspricht der Leistung einer Kraft, wobei die Vorzeichenregel etwas anders ausgelegt werden muss. Sind Kraft und Geschwindigkeit gleichgerichtet, wird die Leistung positiv. Die Energie fliesst dann in den Körper hinein, auf den sich die Kraft bezieht. Eindimensionale Bewegungsvorgänge kann man im Impulsstrom-, in einzelnen Schnitt- oder im Flüssigkeitsbild darstellen. [V27] 5.6 Reibung 135 Millionen hat ein Sammler am 5. Mai 2022 für einen Mercedes 300 SLR «Uhlenhaut-Coupé» bezahlt. Dank eines Achtzylinder-Dreilitermotors mit einer Leistung von 222 kW erreicht dieser Sportwagen eine Geschwindigkeit von 290 km/h. Doch wieso benötigt ein Auto eine Leistung von mehr als 100 Kochherdplatten? Diese Leistung dient dazu, möglichst viel Impuls über die Drehbewegung der Räder von der Erde ins Auto zu fördern. Mit der Geschwindigkeit nimmt einerseits die Energie pro Impuls zu, andererseits fliesst mehr Impuls an die mitgerissene Luft und an die Strasse weg. Diesen Impulsabfluss nennt man Reibung. Reibung sorgt dafür, dass alle bewegten Körper zur Seite 91 von 221 Translationsmechanik Ruhe kommen, sobald kein Antrieb mehr wirkt. Im Flüssigkeitsbild kann die Reibung als Leckage bei den Impulstöpfen dargestellt werden. Die Reibung, die ein bewegter Körper erfährt, können wir grob in Trockenreibung, viskose Reibung und Strömungswiderstand einteilen. Liegt ein Körper direkt auf der Unterlage auf, reden wir von Trockenreibung. Diese Reibung kennt zwei Zustände, die Haftreibung sowie die Gleitreibung. Die Haftreibung ist eine sogenannte Zwangskraft, welche den Körper zwangsweise in Ruhe hält. Haftreibung ist für die Fortbewegung auf der Erde essentiell. Sie sorgt dafür, dass die Schuhsohle nicht rutscht, wenn wir davonrennen. Sie hindert die Räder beim Anfahren und Bremsen am Durchdrehen und sorgt für eine sichere Kurvenfahrt. Solange ein Körper haftet, kompensiert die Haftreibungskraft alle anderen Kräfte, so dass die Summe über alle Kräfte gleich null ist. Überschreitet die notwendige Kraft eine bestimmte Grenze, setzt Gleitreibung ein. Die Gleitreibungskraft hängt in erster Näherung weder von der relativen Geschwindigkeit noch der Grösse der beiden Berührflächen ab. Sie ist, wie die maximal mögliche Haftreibungskraft, proportional zur Normalkraft. Der Name Normalkraft rührt von ihrer Wirkrichtung her, steht sie doch normal zur Gleitfläche. Weil die Reibkraft tangential wirkt, haben wir es hier mit der Kopplung von zwei normal stehenden Kräften, also mit Stromstärken zweier Impulskomponenten, zu tun. Das Verhältnis von Gleitreibungs- zu Normalkraft misst man wie in Abbildung 5.9 dargestellt. Die zu untersuchende Oberfläche liegt auf einer horizontalen Unterlage. Mit einer Last wird ein Impulsstrom der Vertikalkomponente induziert. Danach zieht man horizontal so stark, bis eine Bewegung einsetzt. Sobald diese konstant ist, misst man die Stromstärke Inhaltsverzeichnis des Horizontalimpulses, hier als Kraft FT eingezeichnet. Mit dieser Methode lässt sich auch die maximal mögliche Haftreibungskraft ermitteln. Abbildung 5.9 Reibwert von Folien und Bahnen bestimmen. Umfangreiche, sorgfältig ausgeführte Messreihen zeigen, dass Geschwindigkeit und Grösse der Berührflächen einen geringen Einfluss haben. Zudem spielen Erwärmung und Verschmutzung eine nicht unwesentliche Rolle. Losgelöst von diesen Störeinflüssen fasst man die beiden Zustände der Trockenreibung mit zwei Formeln zusammen 𝐹 ≤𝜇 𝐹 𝐹 = 𝜇𝐹 (5.5) Die Haftreibungskraft ist kleiner oder gleich der Haftreibungszahl 𝜇 mal die Normalkraft und die Gleitreibungskraft gleich Gleitreibungszahl 𝜇 mal die Normalkraft. Weil sowohl die Oberfläche des Körpers als auch die der Unterlage einen Einfluss haben, beziehen sich die Zahlen auf beide Berührflächen. So findet man für Stahl auf Stahl eine Haftreibungszahl von 0.2 und eine Gleitreibungszahl von 0.1. Diese Werte ändern sich sehr stark, wenn die Oberflächen rau sind oder etwas Öl dazwischengerät. So haben Versuche gezeigt, dass die zwei Stahlflächen der Pufferteller unter Belastung aufgeraut werden und danach extrem starke Querkräfte erzeugen. Deshalb ist beim DPZ auf einem der beiden Teller ein Kunststoffscheibe aufgeschraubt. Diese mindert die Reibkräfte bei Kurvenfahrt mit schiebender Lok. Seite 92 von 221 Translationsmechanik Befindet sich zwischen den beiden Oberflächen eine genügend dicke Flüssigkeitsschicht, ändert sich das Reibungsverhalten. Die Reibkraft ist proportional zur Geschwindigkeitsdifferenz sowie zur Oberfläche A und umgekehrt proportional zur Dicke d der Flüssigkeitsschicht 𝐹 =𝜂 𝐴 Δ𝑣 𝑑 (5.6) 𝐹 steht für viskose (zähflüssige) Reibkraft. Die dynamische Viskosität 𝜂 hängt von der Art der Flüssigkeit sowie deren Temperatur ab. Verhält sich eine Flüssigkeit nicht nach Formel (5.6), nennt man sie nicht-Newtonsch. Reibflächen müssen nicht zwingend eben sein. Sie können sich wie bei einer Schraube durch den Raum winden oder Zylinderform wie bei einem Lager aufweisen. Körper, die sich durch die Luft oder Wasser bewegen, erleiden verteilt über die ganze Oberfläche einen Widerstand. Betrachten wir dazu eine bewegte Kugel mit dem Radius r. Ist deren Geschwindigkeit klein, wird die Kugel laminar umströmt und die Widerstandskraft kann mit Hilfe der Formel von Stokes beschrieben werden 𝐹 = 6𝜋𝜂𝑟𝑣 (5.7) Steigert man die Geschwindigkeit der Kugel relativ zum Fluid, beginnen sich an der Oberfläche Wirbel zu bilden, welche abreissen und nach hinten mitgerissen werden. Bei noch höherer Geschwindigkeit ist die Umströmung turbulent und die Widerstandskraft ist eine Folge des Druckunterschieds zwischen vorn und hinten. Der Widerstand nimmt dann quadratisch mit der Anströmgeschwindigkeit zu 𝜌 𝐹 = 𝑣 𝑐 𝐴 2 (5.8) Inhaltsverzeichnis Die Widerstandskraft FW ist proportional zur Dichte der kinetischen Energie der Anströmung und zum Querschnitt A der Kugel. Eine motivierende Herleitung von (5.8) gewinnt man aus einer Energiebilanz [V28]. Der Widerstandsbeiwert cW enthält alle weiteren Einflüsse wie etwa die Beschaffenheit der Oberfläche oder einen zusätzlichen Einfluss der Geschwindigkeit. Formel (5.8) kann auf weitere Geometrien wie Halbkugel oder Zylinder ausgedehnt werden, indem der Widerstandsbeiwert entsprechend angepasst wird. Zwischen den Gültigkeitsbereichen von (5.7) und (5.8) existiert ein Übergangsbereich, der mit weiteren Näherungsformeln beschrieben werden kann. Sobald der Körper die Schallgeschwindigkeit erreicht, verändert sich die Widerstandskraft nochmals stark. Abbildung 5.10 Doppelt-logarithmische Darstellung des Widerstandsbeiwerts in Funktion der Reynolds-Zahl. Im Übergangsbereich laminar-turbulent stellt man den Widerstandsbeiwert oft in Funktion der dimensionslosen Reynolds-Zahl dar. Diese Ähnlichkeitszahl kalibriert die Geschwindigkeit so, dass die Darstellung unabhängig von Dichte und Viskosität des Fluids sowie der Dimension des Körpers ist. Zur Berechnung der Reynolds-Zahl multipliziert man die Geschwindigkeit mit der Dichte 𝜌 des Fluids und dem Durchmesser d der Kugel und dividiert durch die Viskosität 𝜂 𝑅𝑒 = 𝜌𝑑 𝑣 𝜂 (5.9) Will man zum Beispiel wissen, bei welcher Geschwindigkeit der dramatische Einbruch Seite 93 von 221 Translationsmechanik des Widerstandsbeiwerts gemäss Abbildung 5.10 eintritt, muss man die zugehörige Reynolds-Zahl von etwa 130'000 mit der Viskosität multiplizieren und mit der Dichte sowie dem Kugeldurchmesser dividieren. Grosse Kugeln erreichen diese kritische Schwelle bei kleinerer Geschwindigkeit als eine kleine. Interessant ist der Einfluss der Oberfläche auf den Widerstandsbeiwert. So haben findige Köpfe früh entdeckt, dass der Golfball weiterfliegt, wenn er mit Dellen (dimples) übersät ist. Eine ähnliche Wirkung haben die Nähte beim Fussball. Haifische vermindern den Strömungswiderstand mittels Rillen auf den Schuppen und Delphine verfügen über eine elastische Haut, welche die Wirbelbildung vermindert. Zudem besitzen beide Meeresjäger eine fluiddynamisch optimierte Körperform. Abbildung 5.11 Einfach-logarithmische Darstellung des Widerstandsbeiwerts von Geschossen in Funktion der Machschen-Zahl. Im höheren Geschwindigkeitsbereich hängt der Widerstandsbeiwert stark von der Machschen Zahl ab. Diese Zahl ist gleich dem Verhältnis der Geschwindigkeit zur Schallgeschwindigkeit. Sobald die Schallgeschwindigkeit erreicht ist, steigt der Widerstandsbeiwert auf das Vielfache an. Der Impulsinhalt ist gleich Geschwindigkeit mal Masse. Die Masse wächst proportional zum Volumen und der Luftwiderstand pro- Inhaltsverzeichnis portional zum Querschnitt. Dies ist der Hauptgrund, wieso die Artillerie 30 km und weiter schiessen kann, eine Gewehrkugel dagegen nur etwa einen Zehntel dieser Weite erreicht. 5.7 Kinematik Eine Lego-Lok fährt eine kurze Strecke vorwärts und dann wieder zurück, wobei ein auf der Lok befestigtes Smartphone die Beschleunigung aufzeichnet. Gleichzeitig wird die Bewegung von oben mit 200 Bildern pro Sekunde gefilmt und danach mittels eines Tracker-Programms ausgewertet. Liest man die vom Tracker und vom Smartphone gelieferten Daten in Excel ein, kann zweimal ein Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm erstellt werden, einmal aus den Messpunkten der Orts-Zeit-Funktion und einmal aus denen der Beschleunigungs-Zeit-Funktion. [V29] Abbildung 5.12 Geschwindigkeits-Zeit-Darstellung aus Orts-Zeit-Messung (blau) und aus Beschleunigungs-ZeitMessung. Die eine Darstellung ist stark verrauscht, die andere zeigt am Schluss nicht null an, obwohl die Lok stillsteht. Um diesen Unterschied zu verstehen, müssen wir uns die Definition der Geschwindigkeit und der Beschleunigung etwas genauer ansehen. Die Geschwindigkeit v beschreibt die Änderungsrate des Ortes x und die Beschleunigung a die der Geschwindigkeit. Zur Berechnung der Änderungsrate zieht man den Wert zu einem früheren Seite 94 von 221 Translationsmechanik Zeitpunkt vom späteren Wert ab und dividiert durch die benötigte Zeit t 𝑣 = 𝑥 −𝑥 ∆𝑡 𝑎 = 𝑣 −𝑣 ∆𝑡 (5.10) Die Datenpunkte sind mit dem Index i nummeriert. Dieses Berechnungsverfahren liefert für die Geschwindigkeit einen und für die Beschleunigung zwei Datenpunkte weniger als Orte gegeben sind. Die Unschärfe der Ortsmessung wird durch die Differenzbildung nach (5.10) verstärkt, was die starken Schwingungen der blauen Kurve in Abbildung 5.12 erklärt. Falls der Ort in Funktion der Zeit gegeben ist, kann der Zeitabschnitt t in (5.10) beliebig klein gemacht werden. Für den Grenzwert ∆𝑡 → 0 ist die Geschwindigkeit als Ableitung des Ortes nach der Zeit und die Beschleunigung als Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit definiert. ändert sich die Geschwindigkeit linear mit der Zeit oder bleibt konstant. Die Orts-ZeitFunktion ist dann quadratisch oder linear in der Zeit. Die Geschwindigkeit ändert sich entsprechen der überstrichenen Fläche im Beschleunigungs-Zeit-Diagramm, wobei negative Werte zu einer Abnahme führen. Umgekehrt entspricht die Beschleunigung der Steigung im Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm. Der analoge Zusammenhang gilt zwischen Ort und Geschwindigkeit. Die Geschwindigkeit, welche im Flüssigkeitsbild der Füllhöhe entspricht, liefert die aussagekräftigste Darstellung. Im Geschwindigkeits-ZeitDiagramm erscheint die Beschleunigung als Steigung und die zurückgelegte Strecke als Fläche. Indem wir (5.10) umstellen, erhalten wir eine iterative Vorschrift, um aus der Beschleunigung die Geschwindigkeit und aus der Geschwindigkeit den Ort zu berechnen 𝑣 = 𝑣 + 𝑎 ∆𝑡 𝑥 = 𝑥 + 𝑣 ∆𝑡 (5.11) Neben der Datenreihe für die Beschleunigung müssen die Startwerte für die Geschwindigkeit und den Ort gegeben sein. Alternativ kann man diese auch gleich null setzen. Ist der Nullpunkt der Beschleunigungsmessung nicht genau eingestellt, weisen alle Daten einen kleinen, konstanten Fehler auf. Dieser Fehler wird bei jedem Rechenschritt einmal dazu gezählt, was die immer grösser werdende Abweichung der roten Kurve in Abbildung 5.12 erklärt. Liegt die Beschleunigung als mathematische Funktion vor, geht die Summenbildung gemäss (5.11) in das entsprechende Integral über. Vereinfachend nehmen wir an, dass die Beschleunigung konstant gleich null ist. Dann Inhaltsverzeichnis Abbildung 5.13 Darstellung der drei Diagramme mit abschnittweise konstanter Beschleunigung. Für die vereinfachte Bewegung gemäss Abbildung 5.13 liefert die Mathematik zwei einfach Funktionen 𝑣 = 𝑣 + 𝑎𝑡 𝑥 =𝑥 +𝑣 𝑡+ 𝑎 𝑡 2 (5.12) Der Index null weist darauf hin, dass die zugehörige Grösse diesen Wert zu Beginn des fraglichen Zeitabschnitts angenommen haben. Aufgaben zu Bewegungen mit konstanter Beschleunigung können mit Hilfe von (5.12) oder direkt mit dem zugehörigen Geschwin- Seite 95 von 221 Translationsmechanik digkeits-Zeit-Diagramm gelöst werden. Zur Illustration lösen wir die folgende Aufgabe: Ein Automobilist beginnt bei einer Geschwindigkeit von 144 km/h mit einer Beschleunigung von -8 m/s2 zu bremsen, weil er 80 m weiter vorn eine Holzkiste auf seiner Fahrspur bemerkt. Gelingt es ihm, sein Auto vor dem Hindernis zum Stehen zu bringen? Oder wie schnell fährt er in die Holzkiste? Wie lange dauert die freie Fahrt? eingeschlossene Öl zusammen. Der hohe Druck treibt das Öl durch enge Löcher in eine mit Gas oder Schaumstoff gefüllte zweite Kammer. Mit Formel (2.5.2) kann man zeigen, dass die Geschwindigkeit und damit auch die Stärke des Volumenstroms proportional zur Wurzel aus der Druckdifferenz der beiden Kammern sind. Dies hat zur Folge, dass sich anfänglich ein hoher Druck einstellt, der ziemlich schnell abklingt. Um den Druck während der ganzen Bewegungsphase ungefähr gleich hoch zu halten, sind im Umfang des Zylinders mehrere Bohrungen angebracht, die sukzessive vom Kolben abgedeckt werden. So bleibt der Druck und damit die Kraft trotz abnehmender Geschwindigkeit des Kolbens ungefähr konstant bleibt. Abbildung 5.14 Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm eines Bremsvorgangs. Umgerechnet in Meter pro Sekunde fährt das Auto mit 40 m/s. Eine Beschleunigung von 8 m/s2 bedeutet, dass das Auto nach jeder Sekunde 8 m/s langsamer ist. Folglich steht es nach fünf Sekunden still. Die Dreiecksfläche unter dem Graphen ergibt die erforderliche Bremsstrecke von 100 m. Weil die Kiste anfänglich nur 80 m entfernt ist, fehlen 20 m Bremsweg. Die fehlende Bremszeit verhält sich zur gesamten Bremszeit wie die Wurzel aus den entsprechenden Strecken. Folglich ist diese um Wurzel aus fünf kleiner als fünf Sekunden. Bis zum Aufprall vergehen 5 s − √5 s = 2.76 Sekunden. Die Proportion gemäss dem Strahlensatz liefert uns für die Aufprallgeschwindigkeit 17.9 m/s. [V30] 5.8 Dämpfer und Federn Hydraulische Stossdämpfer findet man heute in den verschiedensten Bereichen wie Küchenschrank, Auto und bei vielen Maschinen. Stossdämpfer funktionieren ähnlich wie hydraulischen Puffer. Der durchfliessende Impulsstrom drückt mittels eines Kolbens das Inhaltsverzeichnis Abbildung 5.15 Schnittbilddarstellung eines Industriestossdämpfers. Die Wirkweise eines Stossdämpfers lässt sich nicht mit einer einfachen Formel beschreiben. Entweder bildet man diese mit einem Simulationsmodell nach oder behilft sich mit gemessenen Kurven, welche die Impulsstromstärke, also die Kraft, in Funktion des Hubs für verschiedene Lastfälle darstellen. Der ICE 3 ist der erste europäische Serienzug, der mit einer Wirbelstrombremse ausgerüstet ist. Diese Wirbelstrombremse besteht aus acht Polspulen, die bei Aktivierung abwechslungsweise Nord- und Südpole erzeugen. Weil die aktive Bremse knapp über der Schiene schwebt, erzeugen sie dort einen starken magnetischen Fluss. Infolge der Relativbewegung entsteht in den Schienen ein elektrisches Feld, welches Wirbelströme an- Seite 96 von 221 Translationsmechanik treibt. Die Wirbelströme dissipieren Energie und erzeugen ein eigenes Magnetfeld, welches das erste abschwächt. In der Summe fliesst ein Impulsstrom an die Erde ab, wobei die zugehörige Prozessleistung durch die Wirbelströme dissipiert wird. Die Impulsstromstärke, also die Kraft, ist proportional zu Geschwindigkeit, weshalb der Zug zusätzlich mit Scheibenbremsen ausgerüstet ist, die im unteren Geschwindigkeitsbereich die Motorenbremse unterstützen. Wie die Wirbelstrombremse wirkt, kann in einem einfachen Experiment mit Metallrohren und einem Stabmagnet gezeigt werden [V30]. strömung und ihr Betrag steigt quadratisch mit der Geschwindigkeit (blaue Kurve). Wie man diese Kräfte parametrisiert, ist im Abschnitt Reibung gezeigt worden. Die freigesetzte Leistung ist gleich Kraft mal Geschwindigkeitsdifferenz (Strom mal Fallhöhe). Diese Leistung ist als Rechteckfläche in den v-t-Diagrammen von Abbildung 5.16 zu erkennen. Abbildung 5.17 Simuliertes Kraft-Hub-Diagramm einer Elastomerfeder. Abbildung 5.16 Impulsstromstärke-Geschwindigkeits-Diagramm für drei verschiedene Reibungen. Auf bewegte Körper wirken drei Arten von Reibungskräfte. Die Trockenreibung kennt zwei Zustände, die Gleit- und die Haftreibung. Die Haftreibung ist eine Zwangskraft, welche andere Kräfte innerhalb Grenzen kompensiert. Die Gleitreibung wirkt der Bewegung entgegen. Ansonsten ist sie bis auf einen kleinen Anstieg in der Nähe der Haftung unabhängig vom Betrag der Geschwindigkeit (violette Kurve in Abbildung 5.16). Eine Ölschicht erzeugt eine viskose Reibung, die linear mit der Geschwindigkeitsdifferenz über dem Ölfilm zunimmt (orange Kurve). Luft und Wasser wirken mit einem Widerstand auf den umströmten Körper ein. Diese Widerstandskraft wirkt in Richtung der An- Inhaltsverzeichnis Im Gegensatz zu Dämpfern, Reibschichten oder dem Luftwiderstand wird die Energie in Federn zwischengespeichert und nicht dissipiert. Das Verhalten dieser Elemente stellt man in einem Diagramm dar, welches die Kraft, also die Impulsstromstärke, in Funktion der Verformung darstellt. Die aufgenommene Energie entspricht der Fläche unter dieser Kurve. Verhält sich ein Bauteil sowohl als Feder als auch als Dämpfer, zeigt das Diagramm eine Hysterese wie z.B. bei der Elastomerfeder in Abbildung 5.17. Lässt man den Hammerwagen mehrmals mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten gegen den Ambosswagen fahren, bildet das KraftHub-Diagramm von Hydraulikpuffern eine Kurvenschar (Abbildung 5.18). Die dissipierte Energie entspricht in diesem Diagramm der ausgeschnittenen Fläche. Im Unterschied zu den Hydraulikpuffern zeigen Puffer mit Reibfedern ein einfacheres Verhalten. Weil die Seite 97 von 221 Translationsmechanik Reibkraft nur von der Pufferkraft und nicht von der Geschwindigkeit abhängt, bilden die zugehörigen Kurven im Kraft-Hub-Diagramm Dreiecke mit gleichen spitzen Winkeln (grüne Kurve in Abbildung 5.7). 𝐹 = 𝐷∆𝑠 𝑊 = 𝐷 (∆𝑠) 2 (5.13) Verglichen mit der Elektrodynamik verhält sich ein linearer Dämpfer wie ein Widerstandselement und eine lineare Feder wie eine Spule. Die Dämpferkonstante kD entspricht dem Leitwert G oder dem Kehrwert des Widerstandes R 𝐼 = 𝐺𝑈 𝐼 = 𝑘 ∆𝑣 𝑈 = 𝐿𝐼 ̇ ∆𝑣 = (5.14) Die Federkonstante oder Richtgrösse steht in dieser Analogie für den Kehrwert der Induktivität Abbildung 5.18 Gemessenes Kraft Hub-Diagramme eines Hydraulikpuffers (Hammerwagen 45 t, Ambosswagen 40 t, eine Stosslinie mit zwei baugleichen Hydraulikpuffern). 1 𝐼̇ 𝐷 (5.15) Die elektromechanische Analogie nützt etwas, wenn man vergleichbare Phänomene untersuchen und beschreiben will oder nach elektrischen und mechanischen Systemen mit ähnlichem Verhalten sucht. Ansonsten nimmt man statt (5.15) die über die Zeit integrierte Beschreibung gemäss (5.13). Generell erlaubt die Beschreibung der Kraft in Funktion der Verformung eine viel breitere Darstellung als die dynamische Formulierung (5.15). Abbildung 5.19 Kraft-Verformungs-Diagramm mit verschiedenen Kennlinien. Federn ohne nennenswerte Reibung zeigen keine Hysterese. Im Kraft-Hub-Diagramm erscheint eine einfache Linie, welche wie bei einer konischen Feder progressiv oder wie bei einer Tellerfeder degressiv verlaufen kann. Lineare Federn beschreibt man mit einer einfachen Proportion, wobei der Proportionalitätsfaktor Federkonstante oder Richtgrösse heisst und mit D abgekürzt wird. Die von der Feder gespeicherte Energie wächst entsprechend der Dreiecksfläche quadratisch mit der Verformung s Inhaltsverzeichnis 5.9 Gravitation Der Apollo-Astronaut David Scott liess 1971 bei seinem Aufenthalt auf dem Mond einen Hammer und eine Vogelfeder aus gleicher Höhe zu Boden fallen. Dort kamen sie gleichzeitig an. Das mochte manchen Zuschauer verblüfft haben, obwohl Galileo Galilei dieses Phänomen schon 1638 beschrieben hatte. Eine Feder fällt viel langsamer, weil sie weniger Masse als der Hammer hat und einem grösseren Luftwiderstand unterliegt. Auf dem Mond fällt der Einfluss der Luft weg. Aus der Tatsache, dass im Vakuum alle Körper gleich schnell fallen oder etwas präziser Seite 98 von 221 Translationsmechanik ausgedrückt die gleiche Beschleunigung erfahren, können wir zwei Dinge lernen. Erstens muss die Zufuhrrate an Impuls proportional zur Masse sein, weil der Impulsinhalt ebenfalls proportional mit der Masse zunimmt. Den Zufluss, der nicht über die Oberfläche kommt, sondern im ganzen Volumen erscheint, beschreiben wir mit einer Impulsquellenstärke. Diese Stärke nennt man Gravitations- oder Gewichtskraft. Die Gewichtskraft ist gleich der Masse des Körpers mal ein ortsabhängiger Faktor. Dieser Faktor ist die Gravitationsfeldstärke g, die uns schon im ersten Kapitel begegnet ist 𝐹 = 𝑚𝑔 (5.16) Behandelt man nur Fall- und Wurfbewegungen im Vakuum, ist die Quellenstärke gleich der Inhaltsänderungsrate. Dabei hebt sich die Masse, die als Faktor in beiden Beschreibungen vorkommt, weg. Übrig bleibt die Aussage, dass die Beschleunigung eines Körpers, gleich der dort herrschenden Gravitationsfeldstärke ist. Wählen wir die Bezugsrichtung nach oben, ist die Fallbeschleunigung negativ und der Impuls fliesst ans Gravitationsfeld weg. Die zweite Erkenntnis betrifft die Schwerelosigkeit. Lassen wir mehrere Körper gleichzeitig im Vakuum fallen, bleibt die Relativdistanz zwischen ihnen erhalten, weil alle Körper beim Start die Geschwindigkeit null haben und alle die gleiche Beschleunigung erfahren. Packen wir alle Körper in einen Kasten, haben wir ein Modell für den frei fallenden Lift oder ein Raumschiff. In einer um die Erde fallenden Raumstation fühlt man sich schwerelos, weil nur die Gravitationskraft wirkt. Deshalb werden wir im Raumschiff Erde nachts von der Sonne nicht nach unten und am Mittag nicht nach oben gezogen. Sonne und Mond üben einzig eine Gezeitenwirkung aus, die Inhaltsverzeichnis aber viel kleiner ist, als die Feldstärken dieser beiden Körper am Ort der Erde. Das Gravitationsfeld der Erde ist in unserem Erfahrungsbereich ziemlich homogen. Damit erfährt ein im Vakuum fallengelassener oder hochgeworfener Körper eine konstante Beschleunigung. Der freie Fall, der Wurf nach unten oder nach oben können deshalb mit Formel (5.12) beschrieben werden. Erst über grössere Distanzen ist eine leichte Veränderung feststellbar. So misst man an den Polen 9.83 N/kg und am Äquator 9.78 N/kg. Auf der Mondoberfläche ist das Schwerefeld nur ein Sechstel so stark wie auf der Erde. In unseren Breitegraden beträgt die Gravitationsfeldstärke 9.81 N/kg, was im Vakuum eine Beschleunigung von 9.81 m/s2 zur Folge hat. Weil die Fallbewegung eines der ersten Themen der Physik war und bis heute an Schulen intensiv besprochen wird, existieren umfangreiche Formelsammlungen dazu. Untersuchungen zeigen, dass trotz der vielen gelösten Aufgaben bei den Schülerinnen und Schülern wenig hängen bleib. Fragt man diese nach den Kräften oder der Beschleunigung während des Aufstiegs eines geworfenen Körpers, sieht man, wie viele Fehlvorstellungen durch den Unterricht nicht ausgeräumt worden sind. Würden solche Aufgaben mehr graphisch statt analytisch gelöst, wäre der Lernerfolg vermutlich grösser. Als Beispiel sei die Aufgabe mit dem fallenden Blumentopf und der hochgeworfenen Weinflasche erwähnt [V31]. Neben der eigentlichen Wurfphase sollte auch der Abwurf und der Aufschlag besprochen werden. Hier sorgt das Flüssigkeitsbild für ein besseres Verständnis [V32]. Fällt ein Körper in Luft, nimmt der Luftwiderstand mit der Geschwindigkeit zu, bis Gleichgewicht herrscht, bis der Luftwiderstand die Gewichtskraft vollständig kompensiert hat. Dann fliesst der Impuls vom Gravitationsfeld Seite 99 von 221 Translationsmechanik direkt an die Luft weg. Grosse Körper werden turbulent umströmt, kleine laminar, womit wir im ersten Fall mit der Formel (5.8) und im zweiten mit (5.7) rechnen können. Hagelkörner sind so schwer, dass sie turbulent umströmt werden. Um die Endgeschwindigkeit solch kugelförmiger Eiskörper zu berechnen, setzten wir die Gewichtskraft (5.17) gleich dem Luftwiderstand gemäss Formel (5.8). Weil die Masse mit der dritten Potenz anwächst, der Querschnitt aber nur mit der zweiten, nimmt die Endgeschwindigkeit mit der Wurzel aus dem Durchmesser zu. Daraus folgt, dass die kinetische Energie mit der vierten Potenz des Durchmessers ansteigt [V33]. Saharastaub wird über der Wüste aufgewirbelt und bleibt danach tagelang in der Atmosphäre. Um die Grösse dieser Staubkörner abzuschätzen, bestimmen wir die Sinkgeschwindigkeit. Dazu setzen wir die Gewichtskraft mit der viskosen Reibung (5.7) gleich. Die Auswertung dieser Gleichung zeigt, dass die Endgeschwindigkeit mit dem Quadrat des Durchmessers zunimmt. Die Korngrösse dürfte im Mikrometerbereich liegen, wie eine Überschlagsrechnung zeigt [V34]. Die Gewichtskraft kann nicht direkt gemessen werden. Bei der indirekten Methode wird die Stärke des Impulsabflusses bestimmt. Entweder hängt man den Körper mit der unbekannten Masse an eine Federwaage oder legt ihn in die Waagschale. Auch wenn heute andere Methoden als die Verformung einer Feder mit bekannter Richtgrösse verwendet werden, messen die Waagen immer noch die Stärke des abfliessenden Impulsstromes. Der im Abschnitt 5.4 formulierte Zusammenhang zwischen Richtung des Impulsstromes und Verformung kann anhand der Gewichtskraftmessung nochmals bestätigt werden. Hängt man den Körper an eine Federwaage, fliesst der Impulsstrom nach oben, also rückwärts, und belastet das Messgerät auf Zug. Legt man den Körper auf eine Personenwaage, Inhaltsverzeichnis wird diese durch den vorwärts fliessenden Impulsstrom zusammengedrückt. 5.10 Lift und Zug Im 1999 erbauten roten Turm in Winterthur befand sich bis vor einigen Jahren ein Restaurant mit Bar. Wer dieses Lokal besuchen wollte, fuhr mit einem Aufzug ohne Halt bis in den 23. Stock. Fährt ein Lift nach oben an, fühlt man sich kurz etwas schwerer. Bremst der Lift ab, erlebt man eine gewisse Leichtigkeit. Auf dem Rückweg fühlt man sich beim Anfahren etwas leichter und beim Bremsen schwerer. Diesen Effekt kann mit einem Beschleunigungsapp auf dem Smartphone gemessen und dargestellt werden. Integriert man die Datenpunkte einmal gemäss (5.11) über die Zeit, erhält man die Geschwindigkeit. Die zweite Integration liefert die Höhe in Funktion der Zeit. Dass die Methode funktioniert, habe ich beim roten Turm in Winterthur und beim oberen Lift der Haltestelle Neuhausen Rheinfall ausgetestet [V35, V36]. Abbildung 5.20 Beschleunigung (linke Skala in m/s2), Geschwindigkeit (linke Skala in m/s) und Höhe (rechte Skala in m) einer Liftfahrt im roten Turm. Ein Beschleunigungssensor misst die Beschleunigung indirekt, wobei das Messprinzip ähnlich ist wie bei einer Federwaage. Gemessen wird die durch den Impulsstrom verursachte Verformung eines Bauteils. Angezeigt wird oft eine Gravitationsfeldstärke in Vielfachen von 9.81 N/kg. Legt man das Smartphone flach auf den Tisch oder stellt es auf Seite 100 von 221 Translationsmechanik eine der beiden Kanten, wird in die eine Richtung der Wert eins und in die beiden andern null angezeigt. Um die Beschleunigung in vertikaler Richtung zu gewinnen, muss man vom gemessenen Wert eins abziehen und den Rest mit 9.81 multiplizieren. Diese Messmethode zeigt, wie Beschleunigung und Gravitationsfeldstärke zwei Seiten der gleichen Medaille sind. Wir ersetzen nun den Beschleunigungssensor durch einen an einer Feder hängenden Körper. Parallel zur Feder wirke noch ein Dämpfer, der jede einsetzende Schwingung sehr schnell abklingen lässt. beschleunigten Lift ein stärkeres Gravitationsfeld als auf der Erde. Die dort herrschende Gravitationsfeldstärke ist um den Betrag der Beschleunigung des Lifts grösser als die Feldstärke der Erde. Bei dieser Umrechnung achte man auf das Vorzeichen. Die negativ genommene Beschleunigung des Lifts (neues Bezugssystem) gegen Erde (altes Bezugssystem) ist gleich der Stärke des im Lift auftretenden Trägheitsfeldes. Die Superposition des Gravitationsfeldes der Erde mit dem Trägheitsfeld ergibt das im beschleunigten Lift messbare und auch fühlbare Feld. Der Begriff Superposition weist darauf hin, dass zwei Felder überlagert werden müssen, wobei die beiden Feldstärken an jedem Punkt des Raumes zu addieren sind. Abbildung 5.21 Kugel an Feder im nach oben beschleunigten Lift mit Impulsstrombild und zwei Kraftbilder. Im Gegensatz zu Abbildung 5.20 zeigt in Abbildung 5.21 die positive Richtung nach unten. Weil die Beschleunigung negativ ist, fliesst mehr Impuls über die Feder weg als vom Gravitationsfeld zuströmt. Von der Erde aus betrachtet, ist die Federkraft betragsmässig grösser als die Gewichtskraft. Die Summe der beiden Kräfte ist gleich Masse mal Beschleunigung des Körpers gegenüber der Erde. Ein im Fahrstuhl stehender Beobachter, stellt keine Bewegung geschweige denn eine Beschleunigung fest. Für ihn muss die Gewichtskraft gleich der Federkraft sein. Die Gewichtskraft des Liftfahrers ist grösser als die des aussenstehenden Beobachters. Den Unterschied nennt man Trägheitskraft. Weil die Gewichtskraft als Masse mal Gravitationsfeldstärke geschrieben wird, wirkt im Inhaltsverzeichnis Abbildung 5.22 Gravitationsfeld der Sonne (blau), dadurch erzeugtes Trägheitsfeld (grün) sowie Gezeitenfeld (rot). Diese Idee der Feldtransformation wenden wir nun auf die Erde an. Die Erde wird von der Sonne angezogen und beschleunigt deshalb auf diese zu. Weil sie sich gleichzeitig mit etwa 30 km/s tangential bewegt, fällt sie auf einer elliptischen Bahn um die Sonne herum. Von dieser riesigen Geschwindigkeit spüren wir jedoch nichts. Wir können aber auch die von der Sonne verursachte Beschleunigung der Erde von 0.006 m/s2 nicht messen. Diese erzeugt ein Trägheitsfeld, dessen Feldstärke gleich minus der Beschleunigung ist. Im Zentrum der Erde heben sich Gravitationsfeldstärke der Sonne und die Stärke des Trägheitsfeldes auf, ergeben also in der Summe Seite 101 von 221 Translationsmechanik null. Auf der sonnennahen Seite überwiegt die Stärke des Gravitationsfeldes, im Schatten der Nacht dominiert das Trägheitsfeld. Diese Überlegung kann an jedem Punkt der Erde gemacht werden, womit das schwachen Gezeitenfeld gebildet wird. Das Gravitationsfeld des Mondes am Ort der Erde ist über hundertmal schwächer als das der Sonne. Entsprechend wenig wird die Erde vom Mond beschleunigt. Weil der Mond aber viel näher bei der Erde ist als die Sonne, macht sich die Inhomogenität des Mondfeldes stärker bemerkbar. Das Gezeitenfeld des Mondes ist deshalb gut doppelt so stark wie das der Sonne. Die Weltmeere, die im Gleichgewicht eine Äquipotentialfläche des irdischen Gravitationsfeldes nachbilden, werden durch die beiden umlaufenden Gezeitenfelder von Mond und Sonne leicht gestört. Indem sie auch bezüglich dieser Felder nach einem Gleichgewicht streben, entstehen die Gezeiten, eine um die Erde laufende Flutwelle mit zwei täglichen Maxima. «Papi schau, der Zug fährt den Berg hinunter». Simon zeigt dabei auf seine Suppe, die auf der einen Seite des Tellers bedenklich nah zum Rand hochgeklettert ist. Doch der Zug fährt nicht hinunter, sondern muss ziemlich stark bremsen. Im beschleunigten Zug ist ein Gravitationsfeld nachweisbar, das aus dem Gravitationsfeld der Erde und dem nach hinten gerichteten Trägheitsfeld besteht. Die zugehörige Feldstärke ist praktisch gleich gross wie im ungebremsten Zug, nur die Richtung ist etwa um 5° nach hinten gedreht. Folglich hat sich die Oberfläche der Suppe auch etwa um diesen Winkel geneigt. Dieser Effekt wird umgekehrt in Flugsimulatoren eingesetzt. Um einen Startvorgang zu simulieren, wird der Stuhl nach hinten gekippt. Diese Manipulation kann die reale Situation nur näherungsweise nachbilden. Bei einem realen Start bilden Gravitations- und Trägheitsfeldstärke die Inhaltsverzeichnis Komponenten des nachweisbaren Feldes, bei einer Simulation ist das vermeintliche Trägheitsfeld eine Komponente des Gravitationsfeldes. Soll im Simulator eine Beschleunigung von 2 m/s2 vorgetäuscht werden, muss man den Stuhl um 11.8° nach hinten kippen. Die Gesamtfeldstärke bleibt dabei konstant und steigt nicht wie im realen Fall um 2% an. Die prinzipielle Ununterscheidbarkeit zwischen «echtem und scheinbarem» Gravitationsfeld wird bei einem Sichtflug zu einem gefährlichen Problem, sobald die Sicht infolge Nebel oder Wolken wegfällt. Abbildung 5.23 Beschleunigung (blau, linke Skala) und Geschwindigkeit (rot, rechte Skala) eines Personenzuges. Den Höhenunterschied bei einer Liftfahrt mit dem Smartphone zu bestimmen ist überraschend genau. Obwohl die Beschleunigung zweimal integriert werden muss, liegt der relative Fehler bei wenigen Prozenten. Aufschlussreicher ist die Messung in einem Personenzug wie Abbildung 5.23 zeigt. In den ersten fünf Sekunden wird die Beschleunigung langsam hochgefahren, damit kein Ruck entsteht. Danach bleibt sie ungefähr zehn Sekunden konstant und fällt danach degressiv ab. Kaum ist die Spitzengeschwindigkeit von 33 m/s entsprechend 119.8 km/h erreicht, wird die Beschleunigung leicht negativ, um später betragsmässig deutlich grösser zu werden. Das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm, das die Füllhöhe im Flüssigkeitsbild beschreibt, Seite 102 von 221 Translationsmechanik liefert eine Fülle von Informationen. Die Steigung entspricht der Beschleunigung und die Fläche unter der Kurve ergibt die gefahrene Strecke. Diese beträgt gemäss meiner Auswertung 2.65 km. In Wikipedia findet man 2.7 km, wobei auf eine Nachkommastelle gerundet worden ist. Abbildung 5.24 Flüssigkeitsbild für die Fahrt mit einem Gelenktriebwagen (GTW) mit Impulsbilanz (rot) und Energiebilanz (grün). Dynamisch gibt das v-t-Diagramm auch einiges her. So ist zu vermuten, dass die nach Erreichen der Spitzengeschwindigkeit auftretende Beschleunigung durch die Reibung verursacht wird. Der Lokführer muss also den Antrieb ausgeschaltet haben. Aus dieser Beschleunigung kann man die Reibung abschätzen. Dass der Zug die Beschleunigung von gut einem Meter pro Sekunde im Quadrat nicht bis zur Endgeschwindigkeit halten kann, folgt aus der maximalen Leistung des Antriebs. Weil mit zunehmender Geschwindigkeit der Impuls immer höher gepumpt werden muss, nimmt die Impulsstromstärke ab, sobald die Leistungsgrenze erreicht ist. Weniger Impuls pro Zeit bedeutet auch kleinere Geschwindigkeitsänderungsrate, also abnehmende Beschleunigung. Abbildung 5.24 zeigt die Situation, wo die Motoren an ihre Leistungsgrenze kommen [V37]. 5.11 Systemdynamische Modelle Im Fach Physik und Systemwissenschaft des Studiengangs Aviatik an der ZHAW bildet Modellbildung und Simulation einen Schwer- Inhaltsverzeichnis punkt. Die erste grosse Übung befasst sich mit der Bewegung von Wagen auf einer Rollbahn. Je nach Aufgabenstellung müssen Stösse oder Schwingungen untersucht werden. Dabei kommen die unterschiedlichsten Impulsleiter wie Knautschzone aus Schaumstoff, Türstopper, Magnete, Gummischnüre und vieles andere zum Einsatz. In ersten Voruntersuchungen werden die Kennlinien der Impulsleiter ausgemessen. Danach untersuchten die Studierenden das dynamische Verhalten aller beteiligten Impulsleiter und justierten die Parameter. Im zweiten, erweiterten Experiment werden die Modelle validiert. Fokussiert sich eine Gruppe zum Beispiel auf Gummifäden, werden zuerst deren statischen Kennlinien ausgemessen. Danach wird ein Modell für die Schwingung eines einzigen Wagens an zwei Gummifäden entwickelt. Durch Vergleich der Messdaten mit den Simulationsdaten werden alle möglichen Parameter nachjustiert. Zum Schluss wird das Modell auf zwei Wagen und drei Gummifäden ausgebaut und anhand eines neuen Vergleichs validiert. Gemessen werden die Beschleunigung und der Ort der Wagen sowie die Impulsstromstärken an den beiden Befestigungsstellen der Gummifäden. Diese Gruppenarbeit vermittelte einerseits Strukturwissen, andererseits waren Kreativität und Teamarbeit gefragt. Allein die Frage, wie gross die Reibung zwischen Wagen und Bahn ist, führte zu verschiedenen Lösungsvorschlägen wie Wagen mit Kraftmessgerät horizontal ziehen oder Neigewinkel für die gleichförmige Bewegung bestimmen. Ein weiterer Knackpunkt ist die Beschreibung der inneren Reibung eines Gummifadens oder eines Schaumstoffes. Nimmt man dazu das Modell der Trockenreibung, das einer viskosen oder gar einer viskoelastischen Reibung? Im systemdynamischen Modell lassen Seite 103 von 221 Translationsmechanik sich all diese Ideen verbauen, ohne dass die Struktur hinter einem Formelhaufen verschwindet. Die Studierenden müssen die Gesetze und Strukturen umfassend verstehen, damit sie die notwendigen Anpassungen machen oder die Parameter mit den Messergebnissen abgleichen konnten. Wie eine mechanische Struktur in ein systemdynamisches Modell abgebildet wird, diskutieren wir mit Vorteil an einem konkreten Beispiel, wie dem Aufprall eines mit einem schweren Körper beladenen Güterwagens gegen einen zweiten. Beide Wagen sind mit Hydraulikpuffer ausgerüstet und die Last haftet über eine Trockenreibung auf dem Wagenboden [V38]. Abbildung 5.25 Systemdynamisches Modell eines Auflaufstosses von Güterwagen mit Hydraulikpuffer. Links ist die Mechanik und rechts die Hydraulik modelliert. Auf der untersten Ebene im Mechanik-Teil findet man die Impulsbilanz, die mittlere dient der Kinematik und auf der obersten kann optional eine Energiebilanz formuliert werden. Die Impulsbilanz besteht aus drei Impulsspeichern für Last, Hammer und Ambosswagen. Die drei Ströme beschreiben die Reibung zwischen Last und Hammerwagen, die Pufferkräfte sowie die Reibung zwischen Ambosswagen und Schienen. Auf der Kinematik-Ebene wird dreimal die Geschwindigkeit zur Strecke integriert, wobei die Geschwindigkeit gleich Impuls durch Masse ist. Die beiden Trockenreibungen sind nur vom Vorzeichen der Geschwindigkeit abhängig. Die totale Pufferkraft ist Inhaltsverzeichnis gleich Öldruck man Querschnitt des Stössels. Zudem sorgt eine sehr grosse Federkraft dafür, dass der Maximalhub von 105 mm nicht überschritten werden kann. Die EnergieEbene besteht aus den drei Speichern für die kinetische Energie sowie weiteren drei Speichern für Reib- und Pufferenergie. Die Energieströme sind gleich der Stärke des Impulsstromes mal die Geschwindigkeit. In diesem Dreikörperproblem mit Impulsabfluss an die Erde ist die Dynamik nicht einfach zu durchschauen. Der konkrete Bewegungsablauf hängt von den Anfangswerten und den Parametern ab. Das Hydraulikmodell besteht im Kern aus der Volumenbilanz für die beiden Kammern. Der Unterschied zwischen dem kinematisch gegebenen Volumen der Hauptkammer und dem nicht komprimierten Volumen des Öls liefert die Kompression und damit den Öldruck, wobei das kinematische Volumen durch die Bewegung des Stössels, also der Relativbewegung der Wagen verändert wird. Der Druck in der zweiten Kammer ist eine Folge der Gasfeder, die durch das zuströmende Öl zusammengedrückt wird. Die Druckdifferenz treibt das Öl über eine Blende und ein Multiplikator-Ventil von der Hauptkammer in die Kammer mit der Gasfeder. Der Rückfluss, der durch die umgekehrte Druckdifferenz getrieben wird, läuft über eine einfache Blende und ein Rückschlagventil. Dieses Beispiel, das etwas zu anspruchsvoll für das erste Studienjahr ist, soll darauf hinweisen, dass die systemdynamische Modellierung auch bei der Entwicklung komplexer Systeme eingesetzt werden kann. Mit solchen Modellen sind die Blenden einer ganzen Pufferfamilie sowie die Dämpfer in den automatischen Kupplungen von Gelenktriebwagen optimiert worden [V39]. Ein einfacheres und auch an Gymnasien machbares Beispiel ist die Modellierung des Seite 104 von 221 Translationsmechanik Sprungs von Felix Baumgartner vom 14. Oktober 2012 aus 39 Kilometer Höhe. Die Impulsbilanz besteht aus einem Speicher mit der Gewichtskraft und dem Luftwiderstand als Impulsstromstärken. Die Höhe als Topf, aus dem die Geschwindigkeit hinaus fliesst, bildet die Kinematik. Drei Speicher mit zwei Strömen machen die Energieebene aus, wobei jeder Energiestrom gleich der Impulsstromstärke mal Geschwindigkeit ist. Die drei Speicher stehen für kinetische, potentielle und dissipierte Energie. Die Temperatur und den Druck in Funktion der Höhe benötigt man, um die Dichte der Luft und die Machzahl zu berechnen. Diese beiden Grössen beeinflussen den Luftwiderstand. Weil die Lage und damit der Querschnitt von Felix Baumgartner sowie Grösse und Form des Fallschirms nicht genau bekannt sind, ist der Luftwiderstand mit einer gewissen Unsicherheit behaftet. Die Energiestromstärken, also die Leistung der beiden Kräfte, steit zweitweise auf mehrere hundert Kilowatt [V40]. wirft die Frage auf, ob das Sicherheitsgurtband zu schwach gewesen sei. Üblicherweise dimensioniert man solche Sicherungen auf das Vielfache der zu erwartenden Belastung. Wieso es beim Bungee-Jumping bei Überlast schnell zu einer unzulässigen Belastung kommen kann, hängt mit dem Verhalten des Auffangseils zusammen und kann mit Hilfe einer Simulation gut erklärt werden. Das systemdynamische Modell des BungeeSprungs besteht aus der Impulsbilanz mit Gewichtskraft, Seilkraft und Luftwiderstand als Stromstärken. Die Energiebilanz übernimmt diese Modellstruktur, wobei alle drei Energieströme mit den Energiespeichern für Seil (WF), Gravitationsfeld (WG) und Dissipation (WLW) versehen sind. Das Seil wird einerseits als ideale Feder, andererseits als Gummiseil modelliert. Die Kraft des Gummiseils (FS El) setzt sich aus einem nichtlinearen Anteil (FS stat), einer Hysterese (FS Hyst) und einer linearen Reibung (FS dyn) zusammen. Mit einem Schalter (El) kann eines der beiden Seilmodelle ausgewählt werden. Zusätzlich wird die lokal messbare Gravitationsfeldstärke (g lokal) berechnet. Abbildung 5.26 Systemdynamisches Modell eines BungeeSprungs mit idealer Feder oder Gummiseil. «Der Springer wog 132 kg, war 1.83 m groß und sprang aus einem Käfig, der an einem Kran 53 m über dem Boden aufgehängt war. Als das Seil stark gespannt wurde, zogen sich seine Beine aus den Manschetten und übertrugen so die Spannung auf das Sicherheitsgurtband. Das Sicherheitsgurtband riss am Knoten in der Nähe seiner Füsse, und er stürzte im freien Fall auf den Boden darunter.» Dieser Ausschnitt aus einem Bericht über einen fatalen Bungee-Jumping-Unfall Inhaltsverzeichnis Abbildung 5.27 Kraft-Weg-Diagramm des Gummiseils für eine Person mit 100 kg (rot) und eine mit 130 kg (grün) Masse. Das Modell des Gummiseils, das aufgrund der Daten im Unfallbericht erstellt worden Seite 105 von 221 Translationsmechanik ist, zeigt eindrücklich, wieso es zum Unfall kommen musste. Gummiseile erweisen sich bei kleiner Dehnung als recht hart. Danach flacht die Kennlinie ab, um am Schluss wieder sehr stark anzusteigen. Ist eine Person sehr schwer, muss das Seil entsprechend mehr Energie aufnehmen, was nur zum Preis eines sehr starken Kraftanstiegs möglich ist. Eine Feder würde bei einer um 30% schwereren Person um keine 10% stärker gedehnt, womit sich die maximale Kraft auch um diesen Wert vergrössert. Das Gummiseil lässt die Kraft massiv ansteigen, sobald die Dehnung einen gewissen Wert überschritten hat. Es wird dann überproportional steif. Die im Modell des Gummiseils eingebaute Reibung dürfte zu gross sein. Der wahre Wert müsste mit einer Messreihe ermittelt werden. [V41] 5.12 Modelica: Translation Im Konnektor einer TranslationsmechanikBibliothek setzt man die Kraft respektive die Impulsstromstärke als Stromgrösse ein. Doch welche Grösse übernimmt die Rolle des Potentials? In den Konnektoren der Modelica Standard Library wird der Ort, in der PhyDynSys Library die Geschwindigkeit genommen. Der Unterschied ist nicht sehr gross, solange man nur die Numerik und nicht die Modellierung anschaut. Abbildung 5.28 Der Konnektor für die Translationsmechanik in PhyDynSys. PhyDynSys orientiert sich konsequenter an der Physik als die Standardbibliothek, was eine klarere Struktur zur Folge hat. Das betrifft sowohl die Leitungsglieder wie Widerstand- und Federelemente, wo die Leistung und die umgesetzte Energie buchhalterisch nachgeführt werden, als auch die Speicher, Inhaltsverzeichnis wo sowohl der Impuls- als auch der Energieinhalt ermittelt wird. Zudem weist die Masse in PhyDynSys eine gravitative Impulsquelle auf, deren Stärke sich mit der Orientierung der Bewegungsrichtung gegen die Horizontale ändert. Abbildung 5.29 Teilmodell TransStrom als Basis der Leitungsglieder (Deklarationsteil fehlt fast vollständig). Leitungsglieder wie Dämpfer und Feder bauen auf dem Teilmodell TransStrom auf. Dort werden interne Grössen wie Impulsstromstärke, Geschwindigkeitsdifferenz und Länge sowie die Leistung berechnet. Die bauteilspezifischen Zusammenhänge wie Reibund Federgesetz werden in den Einzelmodellen festgelegt. Abbildung 5.30 Lineares Dämpfer- und Federmodell mit lokaler Definition der Einheiten für beiden Konstanten. Elastomerfedern oder ölhydraulische Dämpfer sind Beispiele für nichtlineare Leiter. Diese Elemente können je nach Problemstellung ergänzt oder vereinfacht werden. Ein detailliertes Modell einer Elastomerfeder, welches eine gute Übereinstimmung mit den Messresultaten zeigt, kann in einer Kette von mehreren Dutzend Elementen zu ernsthaften Seite 106 von 221 Translationsmechanik numerischen Problemen führen. Schuld daran sind die während der Simulation auftretenden Ereignisse. Ein Ereignis wird durch eine dynamisch auftretende Strukturänderung ausgelöst und zwingt den Simulator zu einem Unterbruch. Die Berechnung kann erst nach dem Auffinden von konsistenten Anfangsbedingungen durch einen automatischen Neustart weitergeführt wird. Um solche Probleme zu verhindern, muss das komplexe Modell durch ein einfacheres, aber robusteres ersetzt werden. In der Bibliothek PhyDynSys arbeitet das präzisere Modell mit Zustandsabfragen bei der inneren Reibung. Im vereinfachten Modell sind die Übergänge zwischen Haft- und Gleitreibung über stetigen Funktionen miteinander verbunden. Wagen sowie der Pufferkräfte. Mit diesen beiden Grössen kann über jedem Puffer die Leistung zu einem bestimmten Zeitpunkt ermittelt werden. Während des Stossvorganges wandert die Leistungszone im Zug nach hinten. Trotzdem muss der von den hinteren Wagen abgegebene Impuls bis nach ganz vorn zum Prellbock geleitet werden. Der Impuls fliesst an die Erde weg, die Energie wird dagegen nur in den aktiven zwei drei Puffergruppen freigesetzt. Abbildung 5.31 Gleichungsteil eines Modells einer Elastomerfeder. Abbildung 5.32 Geschwindigkeiten (oben) und Pufferkräfte (unten) bei einem gegen einen Prellbock fahrenden Güterzug. Die Zusatzbibliothek Rail baut auf der Hydraulik und der Translationsmechanik von PhyDynSys auf. Sie ist das Ergebnis einer langjährigen Zusammenarbeit zwischen der ZHAW und einem lokalen Anbieter von Zug- und Stosslösungen für Schienenfahrzeuge. Als Anwendungsbeispiel besprechen wir den Auflauf einer Komposition von 10 Güterwagen gegen einen Prellbock, wobei die Wagen mit Reibfederpuffern bestückt und über die klassische Schraubenkupplung miteinander verbunden sind. Abbildung 5.32 zeigt den zeitlichen Verlauf der Geschwindigkeiten der Inhaltsverzeichnis Anhand der Teilbibliothek Translation erkennt man, wie nebensächlich die Newton-Mechanik eigentlich ist. Masse, Beschleunigung und kinetische Energie sind Grössen, die nur in zwei Elementen, der Masse und der bahngebundenen Masse vorkommen. Das erste Modell wird bei geradlinigen, das zweite bei krummlinigen Bewegungen verwendet. Daneben findet man über ein Dutzend Modelle für Impulsleiter wie Feder-, Dämpfer- und Reibelemente. Seite 107 von 221 Rotationsmechanik 6 Rotationsmechanik Die Erde rotiert in 23 Stunden, 56 Minuten und 4 Sekunden einmal um die eigene Achse und der Mond zeigt uns immer in etwa die gleiche Seite. Das war nicht immer so. Vor Jahrmillionen drehten sich Erde und Mond bedeutend schneller. Zudem war der Mond um einiges näher bei der Erde. Im Endzustand wird sich auch die Erde unter dem Einfluss der Gezeitenreibung gegen den Mond ausrichten. Dieses Phänomen basiert auf dem Drehimpuls, der in der Drehbewegung von Erde und Mond sowie ihrer Bahngeschwindigkeiten gespeichert ist. Das zugehörige Flüssigkeitsbild mit Drehimpuls als Menge und Winkelgeschwindigkeit als Füllhöhe erhellt die dynamischen Zusammenhänge und veranschaulicht die zugrunde liegenden Gesetzmässigkeiten. Im Bereich unserer Alltagserfahrung werden Körper in Rotation versetzt, indem sie Drehimpuls mit der Erde austauschen. Der Drehimpuls zerfällt wie schon der Impuls bezüglich eines erdfesten Bezugssystems in drei bilanzierbare Mengen. Strömt eine dieser Drehimpuls-Komponenten vorwärts oder rückwärts durch eine Welle, wird diese verdreht. Fliesst sie seitwärts, wird das Bauteil auf Biegung belastet. Drehimpulsquellen werden von Impulsströmen gebildet, die in einem Bauteil seitwärts zu ihrer Bezugsrichtung fliessen. Die siebte Menge, die Energie, wird wie üblich eingebunden, wobei diesmal der Drehimpulsstrom als Träger und die Winkelgeschwindigkeit als Beladungsmass oder Potential agieren. Der Drehimpuls hinterlässt keine unmittelbaren Spuren, sondern macht sich nur über den begleitenden Impuls bemerkbar. So werden Drehimpulstransporte durch Impulsströme berandet und Drehimpulsspeicher von bewegter Materie gebildet. Zudem kann die Kapazität eines Speichers, Massenträgheitsmoment genannt, geometrisch geändert werden, was zu interessanten Phänomenen führt. Inhaltsverzeichnis Seite 108 von 221 Rotationsmechanik 6.1 Gas-Dampf-Kraftwerk Die Abgase eines Gaskraftwerks sind infolge der im Verbrennungsprozess erzeugten Entropie recht heiss. Entsprechend klein ist der Wirkungsgrad solcher Anlagen. Um diesen zu erhöhen, wird oft ein Dampfkraftwerk nachgeschaltet, wobei der Dampf durch die Abwärme des Gaskraftwerkes erzeugt wird. Abbildung 6.1 Schematische Darstellung eines Gas-undDampf-Kombikraftwerks. Gas- und Dampfturbinen werden bei einer Einwellenanlage direkt an den Generator gekoppelt. Solange der Generator mit dem elektrischen Netz verbunden ist, rotiert die Welle mit einer festen Winkelgeschwindigkeit. Sind beide Turbinensysteme am Arbeiten, müssen die Drehimpulsströme in der gemeinsamen Welle gegeneinander fliessen, damit die Energie von beiden Seiten gegen den Generator transportiert wird. Die schnell rotierende Welle transportiert und speichert Drehimpuls und Energie. Den Speichervorgang stellt man mit Vorteil im Flüssigkeitsbild dar, wobei der Querschnitt dem Massenträgheitsmoment und die Füllhöhe der Winkelgeschwindigkeit entspricht. Die zugehörige Energie ist wiederum gleich Füllmenge mal halbe Füllhöhe, also gleich Drehimpuls mal halbe Winkelgeschwindigkeit. 6.2 Drehimpuls Ein dünnwandiger Zylinder rotiert um seine lotrecht ausgerichtete Symmetrieachse. Die Drehbewegung wird meist mit der Drehzahl, der Anzahl Umdrehungen pro Minute ange- Inhaltsverzeichnis geben. Eine Division mit 60 ergibt die Drehfrequenz, die Anzahl Umdrehungen pro Sekunde. Multipliziert man diese mit zwei Pi, erhält man die Winkelgeschwindigkeit. Weil die Impulsverteilung in der Zylinderwand stationär ist, muss der durch die Drehbewegung bedingte Impulstransport mittels eines leitungsartigen Impulsstromes kompensiert werden. Um die weitere Betrachtung zu konkretisieren, legen wir eine x-z-Halbebene durch die Zylinderachse, wobei die z-Achse nach unten und die x-Achse radial nach aussen zeigt. Die Stromdichte des konvektiv durch diese Referenzebene transportierten y-Impulses ist gleich Dichte mal das Quadrat der zugehörigen Geschwindigkeit. Weil diese Geschwindigkeit als Winkelgeschwindigkeit  mal Radius r geschrieben werden kann, gilt für die konvektive und damit auch für die leitungsartige Impulsstromdichte 𝜎 = 𝜌𝜔 𝑟 (6.1) Die Zugspannung  steht für die in negative y-Richtung fliessende, leitungsartige Impulsstromdichte der zugehörigen Komponente. Formel (6.1) kann man auf mindestens drei verschiedene Arten herleiten [42]. Der Drehimpuls L eines Körpers lässt sich als Drehträgheit mal Winkelgeschwindigkeit schreiben, wobei die Trägheit des drehenden Körpers Massenträgheitsmoment J genannt wird 𝐿 = 𝐽𝜔 (6.2) Weitet man einen Hohlzylinder bei konstanter Masse auf den doppelten Durchmesser aus und lässt ihn mit gleicher Winkelgeschwindigkeit rotieren, vervierfacht sich sein Drehimpulsinhalt. Verdoppelt man die Höhe des Hohlzylinders und damit seine Masse, ist der Drehimpuls bei gleicher Drehzahl auch doppelt so gross. Diese Abhängigkeiten kann Seite 109 von 221 Rotationsmechanik man mit einem einfachen Drehstossexperiment zeigen [43]. Das Trägheitsmoment eines Zylinders wächst proportional zur Masse und zur Querschnittfläche. Ausgehend von diesen experimentellen Erfahrungen definieren wir das Massenträgheitsmoment eines dünnwandigen Hohlzylinders als Masse mal das Quadrat des Radius. Damit wird dem Trägheitsmoment die Einheit Kilogramm mal Quadratmeter zugewiesen und der Drehimpuls wird in Kilogramm mal Quadratmeter pro Sekunde gemessen. Wo genau steckt der Drehimpuls? Um diese Frage hypothetisch zu beantworten, zerlegen wir den Hohlzylinder längs den Mantellinien in beliebig viele Streifen. Rotiert der Hohlzylinder mit einer festen Drehzahl, speichert jeder dieser Streifen Impuls. Der Betrag dieses Impulses ist gleich Masse mal Radius mal Winkelgeschwindigkeit. Der Drehimpuls eines Streifens ist deshalb gleich Impuls mal Radius. Diese Bahndrehimpuls genannte Grösse werden wir später geometrisch präziser fassen. Wir können dem Impuls einen Bahndrehimpuls zuordnen. Wir dürfen uns bei rotationssymmetrischen Körpern den Drehimpuls auch als homogen verteilt vorstellen. Rotierende Hohlzylinder bilden eine Art Elementarspeicher für den Drehimpuls. Im Gegensatz zum Impuls, der in der bewegten Masse gespeichert ist, lokalisieren wir den Drehimpuls im Innern des Hohlzylinders, also quasi im Niemandsland. Diese Vorstellung, die sich experimentell nicht direkt verifizieren lässt, hilft uns, den Drehimpuls mental besser zu erfassen. Zur Berechnung des Massenträgheitsmoments beliebig geformter Körper geht man über den Bahndrehimpuls seiner Einzelteile. Im allgemeinen Fall wird der Zusammenhang zwischen Winkelgeschwindigkeit und Drehimpuls geometrisch recht kompliziert. Inhaltsverzeichnis 6.3 Pirouette Im Sport beschreibt die Pirouette eine Drehung um die eigene Körperachse. Speziell beim Eiskunstlaufen werden dabei recht hohe Drehzahlen erreicht. Die Eiskunstläuferin kann die Drehbewegung mit ihren Armen und dem einen Bein steuern, indem sie diese nach aussen streckt oder nahe zur Körperachse bring. Abbildung 6.2 Pirouette auf dem Drehschemel mit zugehörigem Flüssigkeitsbild. Den Zusammenhang zwischen Geometrie und Drehzahl zeigt man oft in einem Demonstrationsexperiment. Dazu bewegt der Dozent auf einen rotierenden Drehschemel sitzend zwei Hanteln radial nach innen und aussen. Geht man von einer Anfangskonfiguration mit grossem und einem Endzustand mit kleinem Trägheitsmoment aus und vernachlässigt jede Reibung, ist der Vorgang gut im Flüssigkeitsbild darstellbar. Der Drehimpuls, die gespeicherte Flüssigkeit, bleibt erhalten. Weil das Trägheitsmoment, der Topfquerschnitt, mit dem Einziehen der Arme verkleinert wird, muss die Winkelgeschwindigkeit, dargestellt als Füllhöhe, ansteigen. Die Rotationsenergie, die im Flüssigkeitsbild als potentielle in Erscheinung tritt, ist gleich Drehimpuls mal halbe Winkelgeschwindigkeit. Folglich ist der Zusatzbedarf an Energie, der von den Armen beim Einziehen der Hanteln aufgebracht wird, gleich Drehimpuls mal halbe Differenz der beiden Winkelgeschwindigkeiten. Die durchschnittliche Dauer einer Erdumdrehung bezüglich des Fixsternenhimmels be- Seite 110 von 221 Rotationsmechanik trägt 23 h 56 min 4.0989 s. Weil sich das Massenträgheitsmoment der Erde leicht ändert, benötigt der Erde für eine Drehung nicht immer gleich viel Zeit. Mehrjährige Schwankungen werden durch Massenverschiebungen im Erdmantel oder durch Drehimpulsaustausch zwischen Kern und Mantel verursacht. Jährlichen Schwankungen im Bereich von 2 ms pro Tag entstehen durch die saisonalen Verschiebungen der Jetstreams. Dazu kommen atmosphärisch bedingte Abweichungen sowie die Störungen durch die Gezeiten, welche die Erde periodisch verformen. 6.4 Drehbewegung Im Flüssigkeitsbild ist die Winkelgeschwindigkeit  als Füllhöhe dargestellt. Stellen wir diese Winkelgeschwindigkeit in Funktion der Zeit dar, ist die Winkelbeschleunigung  als Steigung erkennbar. Die Integration, entsprechend der Fläche in diesem Diagramm, liefert den Drehwinkel . Die Definition der mittleren Winkelgeschwindigkeit und der mittleren Winkelbeschleunigung darf von der Translation übernommen werden 𝜔 = 𝜑 −𝜑 ∆𝑡 𝛼 = 𝜔 −𝜔 ∆𝑡 (6.3) wie auch die Umformung zur Eulerintegration 𝜔 Abbildung 6.3 Sequenz aus Étienne-Jules Mareys Film «Falling Cat» von 1894. Katzen fallen immer auf die Füsse [2]. Weil die Physiker dieses Phänomen nicht widerspruchsfrei erklären konnten, erliess die Pariser Akademie der Wissenschaften 1894 einen Aufruf. Das Rätsel löste schliesslich der Arzt Étienne-Jules Maray mit Hilfe einer speziellen Kamera, die sechzig Bilder pro Sekunde schoss. Wir können diese Drehung vereinfacht erklären, indem wir den vorderen und hinteren Teil der Katze als je eine Pirouette modellieren. Die Katze streckt abwechslungsweise die Beine aus und zieht sie wieder ein. Gleichzeitig pumpt sie Drehimpuls zwischen den beiden Körperhälften hin und her. So kann sie trotz Drehimpulserhaltung eine Nettodrehung ausführen [44]. Verglichen mit dem realen Vorgang stellt dieses Modell den Vorgang stark vereinfacht dar. Inhaltsverzeichnis = 𝜔 + 𝛼 ∆𝑡 𝜑 = 𝜑 + 𝜔 ∆𝑡 (6.4) Ein starrer Körper weist zu einem bestimmten Zeitpunkt überall die gleiche Winkelgeschwindigkeit und die gleich Winkelbeschleunigung auf. Bezüglich der momentanen Drehachse, die durch alle zu diesem Zeitpunkt stillstehenden Punkte gebildet wird, bewegt sich ein beliebiger Punkt auf dem Körper umso schneller, je grösser sein Abstand r von dieser Achse ist 𝑣 = 𝜔𝑟 (6.5) Bleibt die Drehachse an Ort, weil sie festgehalten wird oder durch das ruhende Massenzentrum läuft, beschreiben alle Punkte des Körpers eine Kreisbahn, wobei die Geschwindigkeit tangential zu dieser Bahn steht. Die Beschleunigung eines materiellen Punktes kann in eine Tangential- und eine Normalkomponente aufgespalten werden 𝑎 = 𝛼𝑟 𝑎 =𝜔 𝑟= 𝑣 𝑟 (6.6) Die Tangentialbeschleunigung ergibt sich aus der Ableitung der Schnelligkeit, des Betrags Seite 111 von 221 Rotationsmechanik der Geschwindigkeit, nach der Zeit. Die Normalbeschleunigung übernehmen wir von der Kreisbewegung [V45]. Umgangssprachlich wird oft nur die Tangentialkomponente als Beschleunigung gesehen. Die Normalkomponente, die normal zur Geschwindigkeit steht, wird weniger als Beschleunigung denn als Trägheitskraft interpretiert. Diese Sicht, die sich auch auf die Erfahrung bei Kurvenfahrten stützt, ist nicht falsch. Sie beschreibt die Vorgänge von einem rotierenden Bezugssystem aus. Eine seit dem Altertum bedeutende Bewegung ist das rollende Rad. Wir beschränken uns hier auf die geradlinige Rollbewegung. Statt von der momentanen Drehachse, welche die Berührlinie zwischen Rad und Unterlage bildet, gehen wir von der Symmetrieachse des Rades aus. Ihre Bewegung ist mit der Drehbewegung des Rades verknüpft 𝑣 = 𝜔𝑅 𝑎 = 𝛼𝑅 (6.7) R steht für den Abrollradius, A für Radachse. Geschwindigkeit und Beschleunigung eines beliebigen Punktes auf dem Rad können durch eine kinematische Superposition von (6.5) und (6.6) mit (6.7) gefunden werden, wobei die beteiligten Grössen als zweidimensionale Vektoren zu behandeln sind. Die Zugspannung im rotierenden Hohlzylinder konnten wir über die stationäre Verteilung des Impulses herleiten (6.1). Betrachtet man einen festen Teil des gleichmässig um eine feste Achse rotierenden Zylinders, ändert dieser seine beiden Impulskomponenten sinusförmig mit einer Phasenverschiebung von /2. Die zweite Betrachtungsweise unterscheiden sich durch die Wahl des Bilanzgebiets von der ersten. Einmal bilanzieren wir den Impuls bezüglich einer raumfesten Ebene und einmal bezüglich eines festen Stücks der Materie. Die ruhende Ebene bezeichnet man Inhaltsverzeichnis als raumfeste und die mitbewegte als materielle Bilanzfläche. 6.5 Rotierende Bezugssysteme Ein Bezugssystem, das mit dem Hohlzylinder mitrotiert, liefert eine weitere Betrachtungsweise. Der Zylinder steht relativ still, speichert und transportiert also keinen Impuls. Wie schon im Kapitel Translationsmechanik besprochen macht sich die relative Beschleunigung als negative Gravitationsfeldstärke bemerkbar. Deshalb tritt im rotierenden System ein nach aussen gerichtetes Zentrifugalfeld auf, dessen Stärke linear mit dem Radius zunimmt 𝑔⃗ = 𝜔 𝑟⃗ (6.8) Kinematisch gesehen ist (6.8) bloss eine aus der Koordinatentransformation erwachsene Störgrösse. Aus der Sicht der Relativitätstheorie ist dieses Zentrifugalfeld so real wie jedes andere Gravitationsfeld. Richtig heimisch werden wir im Zentrifugalfeld erst, wenn das rotierende System so massiv ist, dass wir mit diesem beliebig viel Impuls und Drehimpuls austauschen können, ohne dass es darauf messbar reagiert. Ein solches System finden wir unter unseren Füssen. Was wir als Feldstärke an der Erdoberfläche messen, setzt sich aus einem von der Erdmasse erzeugten und einem durch die Rotation bewirkten Anteil zusammen. Würden wir am Äquator eine beliebig hohe Leiter aufstellen, könnten wir auf dieser hochsteigend eine Feldstärke messen, die sich wie folgt ändert 𝑔(𝑟) = 𝜔 𝑟−𝑔 𝑟 𝑟 (6.9) g0 steht für die mittlere Feldstärke auf der Erdoberfläche und hat den Wert 9.81 N/kg, r0 beschreibt den mittleren Erdradius. (6.9) gilt nur in der Äquatorialebene. Um die Feldstärke an einem beliebigen Punkt auf der Seite 112 von 221 Rotationsmechanik rotierenden Erde zu ermitteln, kann in guter Näherung das Zentrifugalfeld mit dem Gravitationsfeld einer Kugel superponiert (punktweise vektoriell addiert) werden. Die Idee mit der Leiter ist gar nicht so absurd. Seit über 100 Jahren wird über einen Turm oder einen Lift nachgedacht, um Material in die geostationäre Bahn zu transportieren [V46]. Auf dieser Bahn ist die Feldstärke gemäss (6.9) gleich null. Dem Zentrifugalfeld darf mit (1.5) ein Potential zugewiesen werden. Dazu integrieren wir (6.8) von der Achse aus über den Radius 𝜑 =− 𝜔 𝑟 2 (6.10) Das Zentrifugalpotenzial hat auf der Achse den Wert null und ist in alle Richtungen negativ, wobei der Betrag mit dem Quadrat des Radius zunimmt. Abbildung 6.4 Rotierender, mit Wasser gefüllter Becher und auf einem rotierenden Teller gewachsenes Katzengras. Lässt man ein zur Hälfte mit Wasser gefülltes Becherglas um die lotrechte Achse gleichförmig rotieren, bildet die Wasseroberfläche ein Rotationsellipsoid aus. Wie bei jeder ruhenden Flüssigkeitsoberfläche handelt es sich hier um eine Äquipotentialfläche. Das in radiale Richtung abnehmende Zentrifugalpotential wird durch die Zunahme des Potentials im homogenen Feld gemäss (1.5) kompensiert. Dies erklärt, wieso ein Rotationsparaboloid entstehen muss. Inhaltsverzeichnis Schlanke Pflanzen wir Gräser, Mais und sogar Fichten sind negativ gravitrop, d.h. sie wachsen gegen die lokal nachweisbare Gravitationsfeldstärke. Sät man die Samen schnellwachsender Gräser in die Erde eines gleichmässig rotierenden Topfs, neigen sich die Halme umso stärker nach innen, je weiter aussen sie sind. Ihre Hormone erzwingen ein gegen die lokal nachweisbare Gravitationsfeldstärke gerichtetes Wachstum. Dass das um eine vertikale Achse rotierende Bezugssystem ein Feld besitzt, das aus einem homogenen und einem zylindersymmetrischen Teil zusammengesetztes ist, kann auch mit einer brennenden Kerze oder einem kleinen, mit Helium gefüllten Ballon gezeigt werden. Befindet sich diese innerhalb eines rotierenden Glaskastens, können wir beobachten, wie sich sowohl die Kerzenflamme als auch die Schnur des Ballons nach innen neigen, sich also genauso wie der Halme des Katzengrases ausrichten. Die gesundheitlichen Folgen einer längeren Schwerelosigkeit lassen sich vermeiden indem man in der Raumstation ein Zentrifugalfeld aufbaut. Dazu lässt man eine radförmige Station um seine Achse rotieren, wie das auch im James-Bond-Film Moonraker gezeigt wird. Radius und Winkelgeschwindigkeit sind so anzupassen, dass auf dem Mantel der Raumstation gemäss Formel (6.8) eine mit der Erdoberfläche vergleichbare Feldstärke herrscht. Die Astronautinnen oder Kosmonauten leben somit in einer zylindersymmetrischen Hohlwelt. Dass Zentrifugalfeld ist nicht homogen und nimmt gegen die Radnabe hin ab. Dort, wo auch die Transporter andocken, herrscht eine fragile Schwerelosigkeit. Das künstlich erzeugte Gravitationsfeld hat noch eine weitere Besonderheit. Rennt man in einem langen Korridor entlang des Umfanges der Raumstation, ist man entweder etwas schwerer oder etwas leichter als in Ruhe. Dieser Unterschied wird vom Seite 113 von 221 Rotationsmechanik Coriolisfeld verursacht. Mit (6.8) haben wir nur einen Teil der Wirkung beim Übergang vom nichtrotierenden zum rotierenden Bezugssystem beschrieben. Neben diesem rein statischen Anteil kommt in Form des Coriolisfeldes noch ein dynamischer Term dazu. Zur mathematischen Formulierung des Coriolisfeldes schreiben wir der Winkelgeschwindigkeit einen Vektor zu. Dieser Vektor zeigt in Richtung der Drehachse, wobei die RechteHand-Regel eine der beiden Möglichkeiten auswählt. Zur Anwendung dieser Regel krümmen wir die Finger der rechten Hand in Drehrichtung. Der Daumen zeigt dann in Richtung der Winkelgeschwindigkeit. Die Stärke des Coriolisfelds hängt von der Winkelgeschwindigkeit und der Geschwindigkeit relativ zum rotierenden System ab 𝑔⃗ = 2𝑣⃗ × 𝜔⃗ (6.11) Bewegt man sich im Raumschiff in Drehrichtung, verstärkt das Coriolisfeld das Zentrifugalfeld und man wird schwerer. Was im Raumschiff gilt, tritt auch auf einem Karussell auf [V47]. Multipliziert man die Feldstärken gemäss (6.8) und (6.11) mit der Masse eines ausgewählten Körpers, erhält man die Zentrifugalund die Corioliskraft. Diese nur im rotierenden Bezugssystem auftretenden, gravitationsähnlichen Kräfte nennt man auch Trägheits- oder Scheinkräfte, weil sie das dritte Newtonsche Gesetz, das Wechselwirkungsprinzip, nicht erfüllen. Mit der allgemeinen Relativitätstheorie von Albert Einstein sind alle gravitationsähnlichen Kräfte zu Scheinkräften geworden, womit die Unterscheidung zwischen wahrer und künstlicher Gravitation entfällt. Die Zentrifugalkraft spielt auf der rotierenden Erde keine Rolle, weil wir diese als Teil der Gravitation ansehen. Bleibt also nur die Corioliswirkung übrig. Da die Inhaltsverzeichnis Winkelgeschwindigkeit der Erde klein ist, braucht es eine recht grosse Geschwindigkeit oder eine lange Einwirkzeit, bis die Corioliskraft einen messbaren Einfluss ausübt. Das bekannteste Beispiel für diese Wirkung dürften die Windsysteme zwischen den Hochund den Tiefdruckgebieten sein. Als Folge der Corioliswirkung drehen sich die Hochdruckgebiete auf der Nordhalbkugel immer im Uhrzeigersinn und die Tiefdruckgebiete im Gegenuhrzeigersinn. Auf der Südhalbkugel derhen Hoch- und Tiefdruckgebiete im umgekehrten Sinn. Meeresströmungen zeigen ein ähnliches Muster, wogegen die Drehrichtung kleinräumiger Wasserströmungen wie etwa der Wirbel im Abfluss einer Badewanne entgegen einer verbreiteten Behauptung nicht durch die Corioliskraft bestimmt wird. Bewegt sich ein Körper über einen der beiden Pole, steht seine Geschwindigkeit normal zur Winkelgeschwindigkeit der Erde, womit auch die Corioliskraft horizontal wirkt. Ihr Betrag ist gleich zweimal die Masse mal die Geschwindigkeit des Körpers mal die Winkelgeschwindigkeit der Erde ist. Am Äquator ist die Corioliskraft gleich null, falls sich der Körper in Nord-Süd-Richtung bewegt. Zeigt dessen Geschwindigkeitsvektor nach Osten oder Westen, ist die Corioliskraft voll ausgebildet, weist aber lotrecht nach unten oder nach oben. Allgemein kann man zeigen, dass die Horizontalkomponente der Corioliskraft betragsmässig gleich dem Wert an den Polen mal der Sinus der geographischen Breite ist. Wirkt auf einen bewegten Körper eine normal zur Geschwindigkeit stehende Kraft mit konstantem Betrag, macht dieser eine Kreisbewegung, dessen Radius mit (6.6) berechnet werden kann 𝑟 = 𝑚𝑣 𝑣 = 𝐹 𝑎 (6.12) Seite 114 von 221 Rotationsmechanik Handelt es sich bei dieser Einwirkung um die Horizontalkomponente der Corioliskraft, kürzt sich die Masse und eine Geschwindigkeit raus könnte man auch beim Foucault-Pendel stellen. Die Antwort liefert die Berechnung oder ein Simulationsmodell [V50]. 𝑣 𝑟 = 2𝜔𝑠𝑖𝑛𝜑 Rotierende Körper speichern Drehimpuls. Damit stellt sich die Frage, wie diese Menge in die Körper hineinkommt und auch wieder abtransportiert wird. Dies geschieht entweder über Drehimpulsströme oder über Drehimpulsquellen. Damit die Dynamik übersichtlich bleibt, beschränken wir uns auf eine Komponente. (6.13) Ein Körper, der sich reibungsfrei auf einer Horizontalebene bewegt, beschreibt unter der Wirkung der Corioliskraft einen Kreis, dessen Radius betragsmässig etwa zehntausendmal grösser als die Geschwindigkeit ist. Je schneller sich der Körper bewegt, umso grösser wird sein Kreis. Die Periode, die Umlaufszeit auf diesem Kreis, bleibt dagegen konstant. Formel (6.13) erlaubt uns, die durch die Corioliskraft bedingte Bahnabweichung bewegter Körper abzuschätzen. Eine Artilleriegranate fliegt sehr schnell aber auch ziemlich weit. Vernachlässigt man den Luftwiderstand, was eine grobe Vereinfachung darstellt, beträgt die Bahnabweichung je nach geographischer Breite und Mündungsgeschwindigkeit mehr als hundert Meter. Die seitliche Bahnabweichung beim Fussball wird hauptsächlich durch dessen Rotation verursacht. Die Corioliskraft trägt nur wenige Millimeter bei [V48]. Weil der Curling-Stein langsamer gleitet als der Fussball fliegt, sich aber fast gleich weit bewegt, ist die durch die Corioliskraft verursachte Bahnabweichung deutlich grösser. Die Corioliskraft liefert den direkten Nachweis der Erdrotation. Dazu lässt man entweder einen Körper fallen [3] oder ein Pendel schwingen [V49]. Fällt ein Körper im Vakuum 120 m tief, sollte er 1.7 cm östlich des Lots am Boden auftreffen. Würde man den Körper exakt vertikal hochschiessen, sollte er 7 cm westlich davon zurückkommen. Doch wieso gleicht sich die Wirkung der Corioliskraft beim vertikalen Wurf infolge der Symmetrie der Bewegung nicht aus? Die gleiche Frage Inhaltsverzeichnis 6.6 Drehimpulsstrom Abbildung 6.5 Zwei gegenläufig rotierende Räder sind über je eine Bremse und einen Bügel miteinander verbunden. Betrachten wir dazu zwei mit entgegengesetzt gleicher Winkelgeschwindigkeit rotierende Schwungräder mit gleichem Trägheitsmoment. Beide Räder sind über je eine Bremse mit einem drehbar gelagerten Bügel verbunden. Das ganze System ist in alle Richtungen frei drehbar gelagert. Die Bremsen sind so geregelt, dass der Bügel nicht in Rotation versetzt wird. Der Drehimpuls kann in diesem Fall weder an die Umgebung abfliessen, noch wird er ausserhalb der Schwungräder gespeichert. Folglich muss er vom in positive Richtung drehenden Rad zum andern fliessen. Der Drehimpuls strömt damit vom linken zum rechten Rad. Auf seinem Weg durch Bremsen und Bügel hinterlässt der Drehimpulsstrom eindeutige Spuren. Dort wo er in oder gegen seine Bezugsrichtung transportiert wird, stehen die Bauteile unter Torsion. Fliesst der Drehimpuls quer zu seiner Seite 115 von 221 Rotationsmechanik Bezugsrichtung, erzeugt er Biegung. Wir können diese Regel noch etwas präzisieren. Zieht man eine Schraube an, fliesst der Drehimpuls vorwärts, weil der Körper mit dem Gewindeloch bei ungenügender Fixierung in positive Drehrichtung beschleunigt. Der Schraubenzieher wird dabei im Sinne einer Linksschraube verformt Fliesst der Drehimpuls in seine eigene Bezugsrichtung, erzeugt er eine linksschraubige Verdrehung Wird eine Welle zu einer Rechtsschraube verdreht, fliesst der Drehimpuls gegen seine Bezugsrichtung. In Abbildung 6.5 strömt der Drehimpuls vom linken zum rechten Rad. Die linke Welle wird rechtsschraubig und die rechte linksschraubig verdreht. Nun nehmen wir an, dass die beiden Wellen aus je einer dünnwandigen Hohlwelle und die Bügelbasis aus einem Vierkanthohlprofil bestehen. Die beiden Hohlwellen sind im Querschnitt auf Scherung belastet. Damit wird der axiale Drehimpulstransport von einem Impulswirbelstrom umhüllt, wobei der Impuls zur gleichen Komponente wir der Drehimpuls gehört. Im Hohlprofil ist die ober Seitenfläche auf Druck und die untere auf Zug belastet, d.h. der nach rechts querfliessende Drehimpulsstrom wird von einem entsprechenden Impulsstrom seitlich berandet. Diese Analyse lehrt uns, dass der Drehimpulsstrom nur an seinen Rändern Spuren hinterlässt, indem er dort Impulsströme erzeugt. Der Drehimpuls fliesst vom linken zum rechten Rad. Die Energie strömt dagegen aus beiden Rädern weg, um in den Bremsen freigesetzt zu werden. Der unterschiedliche Transportweg hängt mit der Winkelgeschwindigkeit, dem Energiebeladungsmass, zusammen. Links ist die Winkelgeschwindigkeit positiv. Also fliesst die Energie in die gleiche Richtung wie der Drehimpuls. Rechts strömt die Inhaltsverzeichnis Energie gegen den Drehimpulsstrom, weil die Winkelgeschwindigkeit negativ ist. In den beiden Bremsen fällt der Drehimpulsstrom je über eine Differenz der Winkelgeschwindigkeit. Folglich wird dort eine Leistung freigesetzt. Was wir vom Wasser gelernt und am Beispiel des Volumen-, des Entropie-, des elektrischen und des Impulsstromes anwenden konnten, gilt auch für den Drehimpulsstrom. Der zugeordnete Energiestrom IW ist gleich Stärke des Drehimpulsstromes mal Winkelgeschwindigkeit und die Prozessleistung P gleich Drehimpulsstromstärke mal Differenz der Winkelgeschwindigkeit 𝐼 = 𝜔𝐼 𝑃 = ∆𝜔𝐼 (6.14) Getriebe sind das Analogon der elektrischen Transformatoren. Betrachten wir dazu ein einfaches Beispiel mit nur zwei Zahnräder. Das kleine rote Rad dreht im Uhrzeigersinn, was wir als positive Drehrichtung definieren. Abbildung 6.6 Einfaches Getriebe. Die Wälzkreise der beiden Räder berühren sich bei gleicher Geschwindigkeit. Folglich ist das Verhältnis der beiden Winkelgeschwindigkeiten gleich minus des Kehrwerts der zugehörigen Zähnezahl. Welches das treibende und welches das getriebene Rad ist, entscheidet der Drehimpulsstrom. Fliesst dieser in das rote Rad hinein, bringt er nach Formel (6.14) auch Energie mit und macht dieses zum Treiber. Ohne Reibung muss die zugeführte Energie mit gleicher Stromstärke über die Achse des rechten, grünen Rades abgeführt werden. Weil die zugehörige Winkelgeschwindigkeit negativ ist, muss auch dort Seite 116 von 221 Rotationsmechanik Drehimpuls zufliessen. Die beiden zufliessenden Drehimpulsströme, deren Stärken im gleichen Verhältnis stehen wie die Zähnezahlen, können nirgends gespeichert werden. Der über die beiden Achsen zuströmende Drehimpuls fliesst direkt über das Gehäuse weg. Entsprechend stabil muss dieses verankert sein. Ein einfaches Getriebe leitet einen Energiestrom von der antreibenden Achse zur getriebenen. Dabei wird der über beide Achsen zufliessende Drehimpulsstrom über Gehäuse abgeführt. Das Verhältnis der beiden Drehimpulsströme ist gleich und das der Winkelgeschwindigkeiten reziprok zu dem der Zähnezahlen. Abbildung 6.7 Planeten- und Differentialgetriebe. Das Planetengetriebe weist ebenfalls drei Anschlüsse für den Drehimpulsstrom auf, nur gibt es hier keinen fixen Neutralleiter in Form eines Gehäuses. So kann jede der drei Achsen fixiert werden, womit die beiden andern die Energie transportieren. Im Zweiwellenbetrieb wird entweder der Steg, das Hohlrad oder das Sonnenrad fixiert. Dadurch ergeben sich drei verschiedene Übersetzungen. Lässt man alle drei Wellen frei, gibt es zwei Betriebsarten. Treiben zum Beispiel ein Elektround ein Benzinmotor den Antriebsstrang eines Autos, arbeitet das Platengetriebe als Summierer. Das Differentialgetriebe bei Autos ist ein Verteilgetriebe, bei dem ein Antrieb die beiden Abtriebe zu den Rädern mit Energie versorgt. Unabhängig von der Betriebsart, muss die Summe über alle Drehimpulsströme gleich null sein. Lässt man die Reibung weg, erfüllt die Energie ebenfalls einen Knotensatz. Inhaltsverzeichnis 6.7 Hebelgesetz Ein abgewinkelter Hebel sei um eine horizontal ausgerichtete Achse frei drehbar gelagert. Am horizontalen Arm hängt eine Last von 15 kg. Der vertikale Arm ist mit einem horizontal ausgerichteten Faden fixiert. Wie stark wird dieser Faden gespannt, wenn die Last 20 cm von der Drehachse entfernt aufgehängt ist und der horizontale Faden 40 cm über der Achse verläuft? Gemäss dem Hebelgesetz von Archimedes muss der ober Faden mit 75 N gespannt sein, falls der untere eine Zugspannung von 150 N aufweist. Abbildung 6.8 Winkelhebel mit Impulsströmen, mit Drehimpulsquellen und als Schnittbild. Bezüglich des beigefügten Koordinatensystems fliesst vom Gravitationsfeld ein kontinuierlicher z-Impulsstrom in die Last hinein. Weil dieser Körper keinen Impuls speichern kann, strömt der Impuls unmittelbar über den Faden weg, wird in den horizontalen Arm des Hebels geleitet und fliesst dort in x-Richtung bis zur Achse. Das Hebelgesetz verlangt nun, dass ein Impulsstrom der x-Komponente induziert wird, der im oberen Faden rückwärts fliesst, um dann im vertikalen Arm nach unten bis zur Achse zu strömen. Nun tritt der Drehimpuls der Komponente y als vermittelnde Grösse auf den Plan. Wäre der obere Faden nicht vorhanden, würde der Winkel um die y-Achse zu rotieren beginnen. Folglich bilden sich im horizontalen Arm Quellen von Drehimpuls. Weil der hineinquellende Drehimpuls weder über die Achse noch die beiden Fäden abfliessen kann, muss eine Drehim- Seite 117 von 221 Rotationsmechanik pulssenke gebildet worden sein. Diese wird vom x-Impulsstrom induziert, der im vertikalen Arm in z-Richtung fliesst. Für die Quelle (Zufluss) oder die Senke (Abfluss) liefert das Hebelgesetz die zugehörige Stärke Σ = Δ𝑥𝐼 − Δ𝑧𝐼 (6.15) Die y-Drehimpulsquelle hat seine Ursache im Querfliessen der beiden andern Impulskomponenten, wobei die Stärke  von deren Stromstärken und der Länge der Fliessstrecke abhängt. Weil im Winkel ein Drehimpulsstrom von den Quellen zu den Senken quer zu seiner Bezugsrichtung fliesst, wird das Bauteil gebogen, wobei die Biegung im Bereich der Achse ihr Maximum erreicht [V51]. Abbildung 6.9 Winkelhebel mit Impulsströmen, Drehimpulsquellen und -strömen sowie Schnittbilder des entzweigeschnittenen Hebels. Die Masse des Klotzes wird im Gravitationsfeld der Erde zu einer Impulsquelle. Der dadurch ausgelöste z-Impulsstrom erzeugt beim Querfliessen im unteren Arm des Hebels Quellen von y-Drehimpuls. Der ober Faden hindert den Hebel an der Rotation, indem dort ein x-Impulsstrom durchfliesst, der beim Querfliessen im zweiten Arm Senken von y-Drehimpuls erzeugt. Ein von den Senken zu den Quellen fliessender Drehimpulsstrom belastet den Hebel auf Biegung. Diese Argumentation mag auf den ersten Blick abenteuerlich klingen, ist aber mit der klassischen Betrachtungsweise absolut kompatibel. Abbildung 6.9 zeigt die beiden Impuls- Inhaltsverzeichnis ströme, Quellen, Senken und Ströme des Drehimpulses, sowie zwei Schnittbilder. Ein zu- oder abfliessender Impulsstrom ergibt positiv und negativ gerichtete Kraftpfeile. Die Stärken der Drehimpulsströme werden an den Schnittflächen als Drehmomente eingezeichnet. Das Wechselwirkungsprinzip ist an jeder Schnittfläche trivialerweise erfüllt, weil der Abfluss aus einem Körper einen Zufluss beim andern ergibt. 6.8 Drehimpulsstromleiter Analog zur Translationsmechanik oder zur Hydro- und Elektrodynamik findet man in der Rotationsmechanik Zweipole, die sich resistiv oder induktiv verhalten. Nur dürfte die Vielfalt noch einiges grösser sein, weil rotierende Wellen praktisch in jeder Maschine zur Energieübertragung eingesetzt werden. Abgesehen von einem zähen Ölfilm zwischen zwei Zylinderflächen zeigen Widerstände kaum ein lineares Verhalten. Drehfedern mit linearer Charakteristik sind dagegen häufiger. Die Federkonstante ist dann gleich dem Kehrwert einer drehmechanischen Induktivität. Als Anwendungsbeispiel für eine komplexe Drehimpulsübertragung nehmen wir den Verbrennungsmotor, wie er zu Millionen in Fahrzeugen als Antrieb eingesetzt wird. Primärseitig wird Benzin oder Dieselöl verbrannt, um Entropie bei hoher Temperatur zu erzeugen [V15]. Weil das Drehmoment und damit auch die abgegebene Leistung von der Drehzahl abhängt, braucht es im Antriebsstrang ein Getriebe und eine Kupplung. Das Getriebe sorgt dafür, dass der Motor bezüglich des Drehmoments, der Leistung und des Wirkungsgrads im optimalen Bereich betrieben werden kann. Die Leistung, die gleich Winkelgeschwindigkeit mal Drehmoment ist, kann in Abbildung 6.10 aus den gegebenen Grössen Drehmoment und Drehzahl berechnet werden. Das Anfahren aus und das Bremsen bis zum Stillstand sind die kritischsten Seite 118 von 221 Rotationsmechanik Prozesse. Hier hilft die Kupplung oder der Drehmomentwandler, dass der Motor nicht abgewürgt oder das Getriebe überlastet wird. Abbildung 6.10 Drehmoment in Funktion der Drehzahl für einen Ottomotor (links) und einen Dieselmotor (rechts). Die Rutschkupplung, die mit der Trockenreibung arbeitet und über den Anpressdruck gesteuert wird, kann als Drehzahlwandler bezeichnet werden. Wird der Anpressdruck gelöst, rutschen die beiden Gleitflächen gegeneinander, wodurch der Drehimpulsstrom über eine Winkelgeschwindigkeits-Differenz fällt und nach Formel (6.14) eine Leistung freisetzt. Weil gleichzeitig der Drehimpulsstrom geschwächt wird, hängt die Leistung multiplikativ von beiden Grössen ab. Abbildung 6.11 Explosionsgrafik des Drehmomentwandlers sowie zugehöriges Flussdiagramm. Der Trilok- oder Drehmomentwandler basiert auf der von Hermann Föttinger entwickelten hydrodynamischen Kupplung. Diese besteht aus einem antriebsseitigen Pumpenrad und einem Turbinenrad beim Abtrieb. Im stationären Betrieb treibt das Pumpenrad die Turbine über einen kontinuierlichen, im Kreis herum fliessenden Ölstrom. Wird nun der Ölstrom über ein Leitrad geführt, das sich in eine Richtung frei drehen kann und in die andere blockiert wird, zeigt dieser Trilok das für Automatikgetriebe erwünschte verhalten. Im Inhaltsverzeichnis stationären Betrieb, wenn der Motor mit konstanter Drehzahl läuft und das Auto mit einer bestimmten Geschwindigkeit fährt, fliesst ein Drehimpulsstrom durch den Wandler, wobei der Strom infolge der vorhandenen Drehzahldifferenz Leistung dissipiert. Neuere Getriebe blockieren diesen Schlupf durch einen automatisch gesteuerten, mechanischen Kurzschluss. Das Leitrad läuft im stationären Betrieb mit. Anders beim Anfahren aus dem Stillstand, dann fliesst der Drehimpulsstrom über eine grosse Drehzahl-Differenz. Weil das Leitrad nun blockiert ist und damit ein Drehmoment auf den Ölstrom ausübt, fliesst ein zusätzlicher Drehimpulsstrom vom Gehäuse kommend über die Turbine weg. Ein Teil der vom primären Drehimpulsstrom freigesetzten Leistung wir weiterhin dissipiert. Mit dem Rest wird der zusätzliche Drehimpulsstrom vom ruhenden Leitrad auf die Turbine des Abtriebs gepumpt. Am Abtrieb fliesst damit ein stärker Drehimpulsstrom weg als vom Motor zugeführt wird, dafür ist der mittransportierte Energiestrom kleiner. Verbrennungsmotoren sind getaktet und treiben die Welle über Kurbeln an. Dies erzeugt zeitlich stark variierende Drehmomente auf die Kurbelwelle. Möglichst viele Zylinder und eine grosse Schwungmasse sorgen für die nötige Laufruhe, können aber längst nicht alle Torsionsschwingungen eliminieren. Deshalb müssen zusätzliche Schwingungsdämpfer im Antriebsstrang angebracht werden. Schwingungsdämpfer, ob translatorisch oder rotatorisch, bestehen aus resistiv und kapazitiv wirkenden Elementen, die auf die Dynamik des Gesamtsystems abgestimmt sind. Ihre Wirkung muss im Wechselspiel mit dem ganzen System optimiert werden. 6.9 Bewegung in der Ebene Bewegt sich ein Körper in der Ebene, müssen drei Bilanzgleichungen, zwei für die beiden Impulskomponenten und eine für die normal Seite 119 von 221 Rotationsmechanik dazu stehende Drehimpulskomponente, formuliert werden. Die zugehörigen Impulsstromstärken nennt man Kräfte. In vertikaler Richtung kommt noch die Gewichtskraft als Impulsquelle dazu. Die Stärken der Drehimpulsströme heissen reine Drehmomente. Die Drehimpulsquellen werden über das Hebelgesetz den Kräften als Drehmomente zugeordnet. Der Schwerpunktsatz, wonach der Impuls gleich Masse mal Geschwindigkeit des Massenmittelpunkts ist, liefert den Zusammenhang zwischen der resultierenden Kraft und der Beschleunigung der Massenmitte. Drehimpulsinhalt gleich Trägheitsmoment mal Winkelgeschwindigkeit in die Drehimpulsbilanz eingesetzt, führt uns zu analogen Aussage, wonach das totale Drehmoment gleich Massenträgheitsmoment mal Winkelbeschleunigung ist. Oft sind Translationsund Rotationsbewegung über eine kinematische Beziehung miteinander verknüpft. Abbildung 6.12 Zwei identische Zylinder, die reibungsfrei auf einer horizontalen Ebene stehen. Als erstes Anwendungsbeispiel betrachten wir zwei identische Zylinder, die reibungsfrei auf einer horizontalen Ebene stehen. An einem Zylinder ist ein horizontal ausgerichteter Faden befestigt, dessen Wirklinie durch dessen Achse geht. Beim zweiten Zylinder ist der Faden aufgewickelt, seine Wirklinie verläuft damit tangential zur Mantelfläche. Als Wirklinie bezeichnet man eine gedachte Verlängerung des Fadens, bezüglich der das Hebelgesetz zu formulieren ist. Nun wird an beiden Fäden mit einer gleich grossen Kraft gezogen. Wie bewegen sich die beiden Zylinderachsen? Werden beide gleich schnell beschleunigt oder geht der Zylinder mit dem aufgewi- Inhaltsverzeichnis ckelten Faden langsamer weg? Zur Lösung dieses Problems formulieren wir die Bilanzgleichungen, die Kapazitivgesetze sowie die kinematischer Verknüpfung. Das Kapazitivgesetz der Translation, wonach der Impulsinhalt gleich Masse mal Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes ist, heisst wie schon erwähnt Schwerpunktsatz. Das Kapazitivgesetz der Rotation beschreibt den Drehimpulsinhalt als Massenträgheitsmoment mal Winkelgeschwindigkeit. Ein der Kraft zugeordnetes Drehmoment ist gleich Kraft mal Abstand der Wirklinie vom Massenmittelpunkt. Die Schnurkraft steht für die einzige Stromstärke dieser Impulskomponente. Folglich ändert sich der Impulsinhalt in beiden Zylindern mit der dieser Kraft entsprechenden Rate und folglich bewegen sich die beiden Zylinderachsen mit der gleichen Beschleunigung. Der zweite Zylinder rotiert zusätzlich mit einer konstanten Winkelbeschleunigung. Wieso kann eine gegebene Kraft einmal nur eine Translation und einmal zusätzlich eine Rotation bewirken? Die Antwort liegt in der Energiebilanz. Die Kraft vermag beim zweiten Zylinder neben der kinetischen auch noch die Rotationsenergie zu ändern, weil ihre Leistung dank erhöhter Fadengeschwindigkeit entsprechend grösser ist. Wie in Abbildung 6.12 gezeigt, folgt die Energiebilanz aus den anderen Gesetzen [V52]. Das Jo-Jo kann analog zum Zylinder mit aufgewickeltem Faden beschrieben werden. Neben der zeitabhängigen Fadenkraft wirkt noch die Gewichtskraft. Beide Kräfte bestimmen die Beschleunigung der Achse sowie die Winkelbeschleunigung. Die Energiebilanz folgt aus den anderen Gleichungen, wobei mit der kinetischen, der Rotations- und der Gravitationsenergie drei Speicher im Spiel sind. Die Leistung der Gewichtskraft bezieht sich auf das Jo-Jo, weshalb die Änderungsrate der Energie im Gravitationsfeld gleich Seite 120 von 221 Rotationsmechanik minus dieser Leistung sein muss. Falls die Anfangswerte der Geschwindigkeit und der Winkelgeschwindigkeit sowie der zeitliche Verlauf Impulsstromstärke bezüglich des Fadens, die Fadenkraft, bekannt sind, kann die Bewegung berechnet werden. Der biegeweiche Faden bleibt vertikal ausgerichtet und die Achse des Jo-Jos wandert um den Wickelradius versetzt vertikal auf und ab [V53, V54]. Abbildung 6.13 Jo-Jo mit zeitabhängiger Fadenkraft. 6.10 Rollbewegung Fahrzeuge besitzen Räder, Wälzlager drehen sich auf Kugeln und die Bowlingkugel rollt auf der Bahn, in unserer Erfahrungswelt spielt die Rollbewegung eine eminent wichtige Rolle. Betrachten wir zuerst einen Zylinder, der auf einer horizontalen Ebene abrollt. Nach einer gewissen Zeit steht der rollende Körper still. Was bewirkt diese Bremsbewegung? Führt man eine Rollreibungskraft ein, die auf der Berührlinie zwischen Zylinder und Ebene angreift, verletzt man sowohl die Drehimpulswie auch die Energieerhaltung. Eine solche Kraft erzeugt ein Drehmoment, das die Drehbewegung schneller macht. Zudem kann dieser Kraft keine Leistung zugeschrieben werden, weil sich der Zylinder dort nicht bewegt. Wie erklärt man dann die kleiner werdende Bewegungsenergie? Die Rollreibung lässt sich auf zwei Arten korrekt modellieren. Einerseits kann man die Berührlinie vor die Achse legen. Dann erzeugt die Normalkraft das gewünschte, rückläufige Drehmoment. Weil sich diese Mantellinie bewegt, ist auch die Energieerhaltung erfüllt. In der Systemphysik favorisieren wir wie im Maschinenbau eine zweite Variante. Inhaltsverzeichnis Abbildung 6.14 Rollender Körper mit Rollreibung. Die Rollreibung wird als Haftreibungskraft und einem reinen Rollreibungsdrehmoment modelliert. Das Drehmoment muss so gross sein, dass die Rollbedingung andauernd erfüllt ist. Auch die Energieabfuhr kann konsistent erklärt werden, indem diesem Drehmoment über die Winkelgeschwindigkeit die entsprechende Leistung zugeschrieben wird. Diese Beschreibung ist auch dann noch anwendbar, wenn die Haftreibung wie auf der schiefen Ebene grösser ist oder sich wie beim anfahrenden Auto dauern ändert. Abbildung 6.15 Rollkörper auf der schiefen Ebene ohne Rollreibung. Der Rollkörper auf der schiefen Ebene ohne Rollreibung modelliert ist ein beliebtes Thema im Physikunterricht. Leider wird meist nur nach der Endgeschwindigkeit gefragt, wozu ein Energievergleich zwischen Anfangs- und Endzustand genügt. An Universitäten wird dieses Problem oft vereinfacht bezüglich der momentanen Drehachse abgehandelt, was die Möglichkeit ausschliesst, die Haftreibungskraft und damit die notwendige Haftreibungszahl zu ermitteln. Geht man nach dem hier favorisierten Schema vor, kann sowohl der rollende wie auch der rutschende Körper beschrieben werden. Entweder gilt die Rollbedingung oder das Gleitreibungsgesetz [V55]. Seite 121 von 221 Rotationsmechanik Die Fadenspule oder Garnrolle ist ein beliebtes Experiment in Physikvorlesungen. Durchstösst die Wirklinie des Fadens die Unterlage vor der Berührlinie, rollt die Spule weg. Liegt der Faden flacher oder sogar horizontal, kehrt die Bewegungsrichtung um und der Faden wird aufgewickelt. Dieses Phänomen wird meist mit dem Drehmoment bezüglich der Berührlinie, der momentanen Drehachse, erklärt, was nicht falsch aber doch ziemlich dürftig ist. Mechanik sollte so unterrichtet werden, dass sie auf beliebige Beispiele angewendet werden kann. sowie die Winkelbeschleunigung berechnen, um dann die Geschwindigkeit sowie die Winkelgeschwindigkeit des Endzustands zu ermitteln. Einfacher und auch anschaulicher findet man die Lösung mit Hilfe zweier Flüssigkeitsbilder. Weil das Drehmoment auf die Kugel gleich Gleitreibungskraft mal Abrollradius ist, sind die beiden Änderungsraten starr gekoppelt, wobei die eine positiv und die andere negativ ist. Somit verhält sich die Änderung des Drehimpulses zur negativen Änderung des Impulses wie der Abrollradius. Formt man diese beiden Änderungen mit Hilfe der Kapazitivgesetze um und verwendet zusätzlich noch die Abrollbedingung für die Endwerte, erhält man die Endgeschwindigkeit respektive die Endwinkelgeschwindigkeit [V58, V59]. Abbildung 6.16 Fadenspule auf einer horizontal ausgerichteten Ebene. Abbildung 101 zeigt die Lösung mit den drei Bilanzgleichungen, der Rollbedingung sowie der Beschreibung der Trockenreibung. Diese Darstellung erfasst sowohl die rollende wie auch die rutschende Bewegung. Je nach Problemstellung nimmt man einmal die Rollbedingung und einmal die Gleitreibungskraft. Die maximale Haftreibungskraft in Kombination mit der Rollbedingung liefert bei gegebenem Winkel die grösstmögliche Beschleunigung [V56, V57]. Zwei Klassiker des Physikunterrichts, die Fadenspule und die schiefen Ebene, können kombiniert werden, indem sich die Garnrolle auf einer geneigten Fläche bewegen soll. Dabei folgt der Lösungsweg dem allgemeinen Schema [V58]. Setzt man beim Kegeln die Kugel sanft auf die Anlauffläche, rutscht sie zuerst ein Stück, bevor sie sauber abrollt. Wie ändert sich dabei ihre Geschwindigkeit und welchen Einfluss hat die Gleitreibung? Wir können nun wie gewohnt vorgehen und die Beschleunigung Inhaltsverzeichnis Abbildung 6.17 Flüssigkeitsbild für Impuls und Drehimpuls für einen zu Beginn rutschenden Rollkörper. 1957 nahm das noch junge Unternehmen Wham-O die Idee der australischen Bambusreifen auf und nannte das Produkt HulaHoop. Innerhalb von zwei Jahren erreichte der Absatz mehr als 100 Millionen Stück. Statt den Reifen um die Hüfte schwingen zu lassen, haben wir ihn mit einem Rückwärtsdrall fortgeworfen. War dieser gross genug, kehrte der Hula-Hopp zum Werfer zurück. Diese Bewegung unterscheidet sich nur in den Anfangsbedingungen von der Bowlingkugel [V60]. In den Nullerjahren haben sich zwei Studenten der Universität Frankfurt mit folgendem Problem an mich gewandt. Im Rahmen eines freien Praktikums haben sie Stossversuche mit grossen Stahlkugeln gemacht, die auf Seite 122 von 221 Rotationsmechanik einem U-Profil aufeinander zugerollt sind. Statt nach dem Stoss einfach in die entgegengesetzte Richtung wegzurollen, haben sie sich wieder aufeinander zubewegt, so dass es zu Mehrfachstössen gekommen ist [V61]. Die beiden Studenten konnten das Phänomen nicht erklären und hofften auf die Systemphysik. Nach jedem Stoss von zwei aufeinander zurollenden Kugeln ist die Rollbedingung verletzt, weil beim zentralen Aufprall wohl Impuls aber kaum Drehimpuls ausgetauscht wird. Deshalb folgt wie bei der Bowlingkugel eine kurze Rutschphase. Im Prinzip tritt diese Erscheinung bei jedem Stoss von zwei Billardkugeln auf, nur ist sie nicht so dominant wie bei der Rollbewegung auf zwei Schienen. Je weiter die Führungsschienen oder Kanten des U-Profils auseinander liegen, umso kleiner wird der Rollradius im Verhältnis zum Kugelradius. Dies verstärkt die Rotation gegenüber der Translation. Der dominierende Drehimpuls sorgt dafür, dass sich die Kugeln nach der Rutschphase wieder in die gleiche Richtung wie vor dem Stoss bewegen. Dieses Beispiel kann man sehr gut im Flüssigkeitsbild erklären [V62]. bel verbunden. Abbildung 6.18 zeigt den primären Vertikalimpulsstrom, der über die Tretkurbel zu- und über die beiden Räder an die Strasse abfliesst, sowie den primären Impulsstrom der Horizontalkomponente, der von der Strasse zu- und an der Fahrer und danach an die Luft abfliesst. Zudem ist der sekundäre Horizontalimpulsstrom eingezeichnet, der die Energie bei der gespannten Kette nach hinten transportiert und im Fahrradrahmen zurückgeführt wird. Die beiden Schnittbilder zeigen die Kräfte, die den Impulsstromstärken entsprechen. Die Summe der Kräfte sowie das resultierende Drehmoment muss gleich null sein, weil die als masselos angesehenen Teile des Fahrrades weder Impuls noch Drehimpuls speichern können. Beim Schnittbild für das Tretlager ist zu erkennen, wieso das Drehmoment in der technischen Mechanik einem Kräftepaar zugeordnet wird. 6.11 Eigen- und Bahndrehimpuls Abbildung 6.19 Calypso, das tanzende Karussell. Abbildung 6.18 Bahnrad mit drei Impulsströmen sowie zwei Schnittbildern. In den Antriebssträngen eines Strassenfahrzeuges wird die Energie vom Verbrennungsmotor mechanisch bis zu den treibenden Rädern geführt. Dabei wird sie im Getriebe und im Differential vom primären Drehimpulsstrom auf einen oder mehrere sekundäre umgeladen. Einfacher präsentiert sich der Antriebsstrang bei einem Bahnrad, einem Fahrrad für Bahnrennen. Dort ist das Hinterrad starr, also ohne Freilauf, mit der Tretkur- Inhaltsverzeichnis Die Gondeln der Calypso drehten sich schon 1958 am Münchner Oktoberfest. Das von der Firma Mack aus Waldkirch in Deutschland gebaute Fahrgeschäft unterscheidet sich von den bisherigen Anlagen durch die zweifache Drehung. Der grosse Holzboden dreht sich um die zentrale Achse und die vier mit je vier Zweiergondeln bestückten Kreuze rotieren rückläufig um die eigene, radial versetzte Achse. Der insgesamt gespeicherte Drehimpuls der Calypso kann durch Addition der verschiedenen Anteile berechnet werden. Das sind der Seite 123 von 221 Rotationsmechanik Eigendrehimpuls des zentralen Karussells sowie der vier Drehkreuze mit ihren Gondeln. Jeder Eigendrehimpuls ist gleich Massenträgheitsmoment mal zugehörige Winkelgeschwindigkeit. Dazu kommen noch die Bahndrehimpulse der vier Gondelgruppen. Diese Grösse ist gleich Betrag des Impulses mal zugehöriger Abstand von der Drehachse oder umgerechnet gleich Masse mal Abstand im Quadrat mal Winkelgeschwindigkeit des Karussells. Damit erhalten wir für den Gesamtdrehimpuls folgende Berechnungsvorschrift 𝐿= 𝐽+ 𝑚𝑟 𝜔+ 𝐽𝜔 (6.16) Die Winkelgeschwindigkeiten sind gegenüber dem Bezugssystem, also dem Erdboden, zu messen. Zur Berechnung der Bewegungsenergie multipliziert man den ersten Term mit der halben Winkelgeschwindigkeit des Gesamtsystems und die einzelnen Summanden des zweitens Terms entsprechend mit den zugehörigen, halben Winkelgeschwindigkeiten. Beim Freestyle Motocross springen die Fahrer mit ihrem Motorrad über eine Sprungschanze. In den wenigen Sekunden zwischen Absprung und Landung führen sie teils sehr waghalsige Manöver aus. Um die Maschine in der Luft auszurichten, wird Drehimpuls mit dem Hinterrad ausgetauscht. Das Motorrad bildet einen dreifachen Drehimpulsspeicher, wobei die beiden Räder zwei davon stellen. Der totale Drehimpuls berechnet sich gemäss Formel (6.16), wobei die Summe im ersten Term aus drei Anteilen und im zweiten aus zwei, den beiden Rädern, besteht. Das Massenträgheitsmoment des zentralen Speichers setzt sich demnach aus vier Teilen zusammen. Der erste ist das Trägheitsmoment des Motorrads ohne Räder bezügliche des eigenen Schwerpunkts. Dazu kommen noch die Masse mal das Quadrat des Abstands vom Inhaltsverzeichnis Gesamtmassenmittelpunkt für die beiden Räder sowie des Motorrades ohne Räder [V63]. Rotiert eine Scheibe um eine fest gelagerte Achse, werden die Lager nur dann nicht beansprucht, wenn die Achse die Scheibe normal und zentral durchstösst. Ist die Achse seitlich versetzt, wirkt die rotierende Scheibe mit einer umlaufenden Kraft auf die Lager ein. Dieses Phänomen bezeichnet man als statische Unwucht. Ursache dieser Unwucht ist die durch die Drehbewegung erzwungenen Impulsänderung der Scheibe. Der Gesamtimpuls der Scheibe ist gleich Masse mal Geschwindigkeit des Massenmittelpunkts. Die zugehörige Änderungsrate ist gleich Masse mal Beschleunigung dieses Punktes. Weil der Massenmittelpunkt auf einer Kreisbahn umläuft, zeigt der Beschleunigungsvektor gegen die Achse und ist gemäss Formel (6.6) betragsmässig gleich dem Quadrat der Winkelgeschwindigkeit mal der Radius. Würde man bei der Calypso-Bahn nur die vier Gondeln eines einzigen Drehkreuzes beladen, gäbe das eine umlaufende Kraft auf die Lager der Zentralachse, die quadratisch mit der Drehzahl anwächst. 6.12 Physisches Pendel Hängt man einen starren Körper an eine horizontal ausgerichtete Achse, die sich weit oberhalb des Massenmittelpunktes befindet, pendelt der Körper um eine Gleichgewichtslage. Um die Schwingungsdauer dieses physischen Pendels zu berechnen, formulieren wir die Drehimpulsbilanz: die Summe über alle Drehmomente ist gleich Änderungsrate des Drehimpuls. Weil sich der Drehimpuls aus Eigen- und Bahndrehimpuls zusammensetzt, ist die gesamte Drehimpulskapazität gleich Trägheitsmoment des Körpers plus Masse mal das Quadrat des Abstandes der Massenmitte von der Achse. Die Gewichtskraft, die im ganzen Körper verteilte Impulsquelle, darf hier durch eine Einzelkraft ersetzt Seite 124 von 221 Rotationsmechanik werden, die im Massenmittelpunkt «angreift». Aus diesem Grund nennt man den Massenmittelpunkt auch Schwerpunkt. Das Pendel bewegt sich hin und her, wobei die Auslenkung mit einer Cosinus-Funktion der Zeit beschrieben wird. Die Kreisfrequenz  hängt nur von der Masse und ihrer Verteilung sowie dem Abstand s des Schwerpunktes von der Drehachse ab, aber nicht von der Auslenkung. Die Kreisfrequenz ist gleich zwei Pi mal die Frequenz f, wobei letztere gleich dem Kehrwert der Schwingungsdauer T ist Abbildung 6.20 Physisches Pendel als Rotator (links) und im Schnittbild (rechts). 𝑇= Statt, wie im vorletzten Abschnitt gezeigt, ein Schnittbild zu skizzieren, die Bilanzgleichungen für Impuls und Drehimpuls aufzustellen und weitere Bedingungen zu formulieren, arbeiten wir hier mit einer abgespeckten Variante, die ich Rotator-Mechanik nenne. Beim Rotator, einem Körper mit fixer Drehachse, wird das Drehmoment einer Kraft auf die Achse und nicht wie beim freigeschnittenen Körper auf den Massenmittelpunkt bezogen. Zudem werden Eigen- und Bahndrehimpuls zusammengefasst und als Produkt von Massenträgheitsmoment bezüglich dieser Achse JA und Winkelgeschwindigkeit geschrieben. Vernachlässigen wir die Lagerreibung und den Luftwiderstand, wirkt auf das Pendel nur das Drehmoment der Gewichtskraft. Dieses ist gleich Gewichtskraft mal Abstand des Schwerpunktes von der Drehachse s mal Sinus des Auslenkwinkels . Für kleine Auslenkungen erhalten wir so die Differentialgleichung 𝑚𝑔𝑠𝛽 + 𝐽 𝛽̈ = 0 𝐽 = 𝐽 + 𝑚𝑠 (6.17) Lenkt man das Pendel um den Winkel 𝛽 aus und lässt es los, lautet die Lösung von (6.17) 𝛽 = 𝛽 cos (𝛺𝑡) 𝛺= 𝑚𝑔𝑠 𝐽 + 𝑚𝑠 Inhaltsverzeichnis (6.18) 𝐽 + 𝑚𝑠 1 2𝜋 = = 2𝜋 Ω 𝑚𝑔𝑠 𝑓 (6.19) Ist das Massenträgheitsmoment J klein gegen ms2, nimmt die Schwingungsdauer mit der Wurzel aus der Pendellänge s zu. Diesen Grenzfall, der mit einer kleinen Stahlkugel an einem dünnen Faden realisiert wird, heisst mathematisches Pendel. Nimmt man als Pendel eine massive Scheibe, deren Drehachse stufenweise gegen den Schwerpunkt verschoben werden kann, findet man experimentell den Abstand mit der kleinsten Schwingungsdauer. Diese Distanz können wir auch mathematisch als Extremum der Funktion T(s) aus (6.19) ermitteln. Als Ergebnis erhalten wir einen Schwerpunkt-Drehachse-Abstand, der gleich Wurzel aus dem Quotienten von Massenträgheitsmoment und Masse ist 𝑠 = 𝐽 𝑚 (6.20) Die hier vorgenommene Gleichsetzung des Sinuswerts mit dem Winkel ist bis zu einem Auslenkwinkel von etwa 0.1 Radiant entsprechend 6° vertretbar. Bei grösserer Amplitude kann die Schwingungsdauer über eine Reihenentwicklung berechnet werden. 6.13 Drehimpuls Erde-Mond Wenden wir uns nochmals dem eingangs erwähnten Erde-Mond-System zu. Vereinfa- Seite 125 von 221 Rotationsmechanik chend nehmen wir an, dass die Drehachsen der beiden Himmelskörper normal zu ihrer Umlaufbahn stehen. Zudem sollen sich beide Körper auf je einer Kreisbahn um den gemeinsamen Schwerpunkt bewegen. Im Unterschied zum Motorrad ändert sich die Geometrie der Bahn mit der Zufuhr von Drehimpuls. Beispiel nehmen wir den Vollzylinder auf der schiefen Ebene. An der Berührstelle setzen wir Trockenreibung voraus. Je nach Neigung der Ebene und Beschaffenheit der sich berührenden Flächen, rollt oder rutscht der Zylinder. Die analytische Beschreibung finden Sie in Abbildung 6.15. Abbildung 6.21 Zwei Himmelskörper speichern gemeinsam Bahndrehimpuls. Abbildung 6.22 Systemdiagramm sowie Geschwindigkeit, Relativgeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit in Funktion der Zeit für einen auf der schiefen Ebene rollenden Zylinder. Die zwei Himmelskörper bilden drei Drehimpulsspeicher, zwei mit der Eigenrotation und einen mit der Bewegung auf der gemeinsamen Bahn. Infolge der Gezeitenreibung wird die Eigendrehung, die wir als vorauslaufend annehmen, abgebremst, bis beide Körper synchron drehen und damit einander immer die gleiche Seite zuwenden. Weil sich die Geometrie der Bahn mit dem Drehimpuls ändert, wollen wir den Drehimpuls in Funktion das Abstandes berechnen. Dazu formulieren wir, wie in Abbildung 6.21 gezeigt, den Bahndrehimpuls sowie die Beschleunigung in Funktion des Abstandes und der Winkelgeschwindigkeit. Das Verhältnis der beiden Bahnradien ist umgekehrt zu dem der Massen. Daraus ergibt sich für den Bahndrehimpuls 𝐿 =𝑚 𝐺𝑚 𝑟 = 𝑚 𝑚 𝐺𝑑 𝑚 +𝑚 (6.21) Infolge der viel kleineren Masse des Mondes ist sein Bahnradius beinahe so gross wie der Schwerpunktabstand 𝑑 = 𝑟 + 𝑟 . 6.14 Systemdynamische Modelle Die Drehmechanik bietet ein breites Spektrum von möglichen Anwendungen. Als erstes Inhaltsverzeichnis Das Modell umfasst die Impulsbilanz in Bewegungsrichtung, die Drehimpulsbilanz, die Berechnung der Strecke sowie die Energiebilanz. Die Ebene sei im oberen Teil glatt und im unteren rau, weshalb der Körper zuerst ins Rutschen kommt und danach zum Rollen gebracht wird. Die Trockenreibung wird mit einer stark gestauchten Tangens-Hyperbolicus-Funktion beschrieben, die mit dem Betrag der Gleitreibung zu multiplizieren ist 𝐹 = 𝜇𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝛽 ∙ tanh(1000 ∙ 𝑣 ) (6.22) Abbildung 6.22 zeigt das Systemdiagramm sowie die Geschwindigkeit der Achse (rot), die Relativgeschwindigkeit der berührenden Mantellinie (blau) und die Winkelgeschwindigkeit (grün) in Funktion der Zeit. Die Reibungszahl  hängt vom Ort auf der schiefen Ebene ab. Die auf einem U-Profil aufeinander zurollenden Stahlkugeln liefern ein weiteres Beispiel. Als Basis dient die Impulsbilanz mit den beiden Reibkräften und der Stosskraft als Impulsflüsse. Modelliert man Stosskraft als harte Reibfeder, kann die Stosszahl direkt eingebaut werden. Der hier verwendete Seite 126 von 221 Rotationsmechanik Parameter , die Stosszahl, beschreibt das Verhältnis der relativen Geschwindigkeitsänderungen bei einem Stoss, was dem Verhältnis von hinaufgepumptem zu hinuntergeflossenem Impuls entspricht. Abbildung 6.23 Systemdiagramm sowie Geschwindigkeit (rot und schwarz) und Winkelgeschwindigkeit (blau und grün) für zwei auf einem U-Profil rollenden Kugeln. Während der Stossphase kann in der Aufprallzone eine Reibkraft auftreten, die einerseits je ein Drehmoment auf die Kugeln ausübt, andererseits über die Normalkraft die Reibung zwischen den Kugeln und den Führungsflächen des U-Profils beeinflusst. Das Diagramm rechts in Abbildung 6.23 zeigt die beiden Geschwindigkeiten (schwarz und rot) sowie die beiden Winkelgeschwindigkeiten (blau und grün) in Funktion der Zeit. Bei dieser Simulation hat sich die eine Kugel anfänglich mit 1 m/s bewegt und die andere ist in Ruhe gewesen [V62].Statt die Bewegungsgleichung des physischen Pendels zu linearisieren und analytisch zu lösen, kann man ein einfaches systemdynamisches Modell bauen. Damit lassen sich auch grosse Auslenkungen oder gar eine Rotation um die horizontale Achse simulieren. Erweitert man das Modell mit Hilfe des Schnittbildes, lassen sich sogar die Lagerkräfte berechnen. Abbildung 6.24 Systemdiagramm für das physische Pendel sowie die beiden Komponenten der Lagerkraft in Funktion der Zeit Inhaltsverzeichnis Abbildung 6.24 zeigt das Systemdiagramm sowie die Horizontal- (blau) und die Vertikalkomponente (grün) der Lagerkraft. Das Kernmodell besteht aus der Drehimpulsbilanz sowie der Berechnung des Winkels aus der Winkelgeschwindigkeit. Die Trockenreibung wirkt mit einem Drehmoment ein, das betragsmässig konstant und gegen die Drehbewegung gerichtet ist. Als Ergänzung ist die Energieebene mit den drei Speichern Gravitations-, Rotations- und dissipierte Energie beigefügt worden. Aus der Winkelbeschleunigung und der Winkelgeschwindigkeit werden die Tangential- und die Normalbeschleunigung berechnet. Diese liefern die Werte für die Horizontal- und die Vertikalkomponente der Beschleunigung des Schwerpunkts. Die beiden Komponenten der Lagerkraft ergeben sich aus der Impulsbilanz, dem Grundgesetz der Mechanik [65]. 6.15 Modelica: Rotation Teilbibliothek Rotational von Modelica arbeitet mit dem Drehmoment als Fluss- und dem Drehwinkel als Potentialgrösse. Weil sie auf die Bedürfnisse von Autoindustrie ausgerichtet ist, enthält sie neben den einfachen Elementen wie lineare Feder und Dämpfer zusätzliche Modelle für Lagerreibung, Bremsen, Kupplungen oder Getriebe. Im rotationsmechanischen Konnektor von PhyDynSys bildet die Winkelgeschwindigkeit die Potential- und das Drehmoment die Potentialgrösse. Bisher sind erst wenige Beispiele wie Pendel oder Rollkörper auf schiefer Ebene implementiert worden. Schauen wir uns den Rollkörper etwas genauer an. Er besteht aus den Modellen Rolle, Haft- und Rollreibung sowie der Erde als Impuls- und Drehimpulsspeicher. Abbildung 6.25 zeigt die schematische Darstellung sowie die öffentlichen (public) und die geschützten (protected) Parameter. Die Seite 127 von 221 Rotationsmechanik geschützten Parameter können bei der Anwendung des Modells nicht mehr verändert werden. Die Parameterwerte müssen an die verwendeten Modelle weitergereicht werden. Nur so stehen sie dort zur Verfügung und können in die entsprechenden Gleichungen eingefügt werden. In der schematischen Darstellung werden die Modelle durch ziehen einer Verbindung von Konnektor zu Konnektor miteinander verknüpft. Dabei wird ein Code erzeugt, der die beiden Potentialgrössen einander gleichsetzt und die Mengenerhaltung über den Knotensatz der Stromgrösse garantiert. Abbildung 6.25 Schematische Darstellung und Parameter eines Rollkörpers auf der schiefen Ebene. Das hier verwendete Modell Rolle besitzt vier Konnektoren, einen für den Drehimpuls und drei für den Impuls. Ein Translations-Konnektor führt zur Achse, zwei zum Umfang der Rolle. Damit können die Aufhängung sowie die beiden Teile des umlaufenden Seils angeschlossen werden. Für das Modell Rollkörper wird nur ein mit dem Umfang verbundener Konnektor verwendet. Im Modell Rolle werden die Bilanzgleichungen für den Impuls und den Drehimpuls formuliert, die kinematischen Grössen Geschwindigkeit v und Winkelgeschwindigkeit w aus dem Impuls bzw. dem Drehimpuls berechnet und mit den Konnektoren verbunden. Zusätzlich wird eine Energiebilanz aufgestellt. Abbildung 6.26 Gleichungen des Modells Rolle. Das Modell Drehreibung baut auf dem Teilmodell RotStrom auf. Es ist wie das translatorische Analogon TransStrom (Abbildung 5.29) aufgebaut. Es garantiert die Drehimpulserhaltung, definiert die Relativgeschwindigkeit und berechnet die Relativverformung sowie die umgesetzte Leistung. Das verwendete Reibmodell blockiert jegliche Bewegung im Haftreibungsfall, führt aber in einer komplizierten Schaltung zu ernsthaften Problemen. Alternativ steht noch das Modell DrehreibungT zur Verfügung, das bei Haftreibung einen kleinen Schlupf zeigt, dafür problemloser zu verwenden ist. Zudem wird noch die Entropieproduktionsrate berechnet und zu einem thermischen Anschluss geführt. Abbildung 6.27 Gleichungen des Modells Drehreibung. Inhaltsverzeichnis Seite 128 von 221 Bewegung im Raum 7 Bewegung im Raum Mauersegler halten sich ausserhalb der Brutzeit über mehrere Monate praktisch ununterbrochen in der Luft auf und können im Sturzflug Geschwindigkeiten von mehr als 200 km/h erreichen. Solche Bewegungen werden mittels einer dreidimensionalen Translation, einer Rotation um drei Achsen und einer beliebig komplizierten Verformung beschrieben. Die Geschwindigkeit des Massenmittelpunkts hängt vom gespeicherten Impuls und die Winkelgeschwindigkeit vom Drehimpulsinhalt ab. Lässt man die Verformung weg, spricht man vom Modell des starren Körpers. Interessiert man sich nur für die Verschiebung des Massenmittelpunkts, heisst diese stark vereinfachte Theorie Punktmechanik. Als Landbewohner bewegen wir uns, abgesehen von kleinen Sprüngen, auf einer Fläche. Schienenfahrzeuge sind noch stärker eingeschränkt, müssen sie doch einem vorgegebenen Weg folgen. Jede an Flächen oder Schienen gebundene Bewegungen führen zu erzwungenem Austausch von Impuls und im beschränkten Mass von Drehimpuls. Im Gegensatz zur Translationsbewegung, die in drei eindimensionale Anteile zerlegt werden kann, birgt die Rotationsmechanik ein paar Überraschungen. So kommt ein Tennisschläger ins Trudeln, wenn man ihn um die Schlagseite drehend hochwirft. Versucht man die Achse eines schnell rotierenden Kreisels wegzudrehen, weicht er normal dazu aus. Katzen fallen immer auf die Pfoten, durch die Luft fliegende Motorräder lassen sich neu ausrichten und Turmspringerinnen bilden mit ihrem Körper eine Abfolge von komplexen Figuren, ohne dass sie von aussen beeinflusst werden. Dass eine stabile Rotationsachse keine Garantie für Stabilität ist, mussten die amerikanischen Ingenieure nach dem Start ihres ersten Satelliten zuerst einmal begreifen. Inhaltsverzeichnis Seite 129 von 221 Bewegung im Raum 7.1 Skispringen Der Sportler gleitet zuerst auf der vorgegebenen Spur die Sprungschanze hinab, bis er mit einer Geschwindigkeit von etwa 90 km/h den Schanzentisch erreichen. Dort richtet er sich mit einem kräftigen Sprung auf, zieht die Spitzen der Skier zum Oberkörper und formt gleichzeitig ein «V». In dieser Haltung verharrt er bis kurz vor der Landung. Gleiten auf einer steil abfallenden Bahn, Absprung beim Schanzentisch und Flug durch die Luft bilden die drei nachfolgend zu diskutierenden Phasen. In der ersten Phase wirken eine Gewichts-, eine Unterlags- und eine Luftkraft auf die Athleten ein. Die Kraft der Unterlage zerlegt man in Normal- und Gleitreibungskraft. Die Kraft der Luft heisst hier Luftwiderstand. Anfänglich gleiten die Sportler eine schiefe Ebene hinunter. Weil normal zur Bewegung Gleichgewicht herrscht, ist die Normalkraft im Betrag gleich gross wie die Normalkomponente der Gewichtskraft. Im Krümmungsbereich beim Übergang zum Schanzentisch ändert sich die Normalkomponente des Impulses, weshalb die Normalkraft grösser sein muss als die entsprechende Komponente der Gewichtskraft. Während des Sprungs richtet sich der Springer auf, womit sein Schwerpunkt nach oben beschleunigt wird. Entsprechend vergrössert sich die Normalkraft nochmals gegenüber der Normalkomponente der Gravitationskraft. In der Flugphase fällt die Kraft der Unterlage weg, dafür bildet sich von der Luft her ein dynamischer Auftrieb aus. Im Anlauf sollte der Luftwiderstand verglichen mit der Gewichtskraft möglichst klein sein. Enge Kleidung und grosse Masse wären vorteilhaft. Weil dies nicht für die Flugphase gilt, hungerten sich die Springer bis zum Magerwahn. Die FIS, der internationale Ski-Verband, hat 2004 mit einer neuen Regel versucht, dieser Schädigung der Gesundheit Ein- Inhaltsverzeichnis halt zu gebieten. Liegt der BMI (Body-MassIndex) unter 21, müssen die Skier kürzer sein als für die entsprechende Körpergrösse zulässig wäre. Abbildung 7.1 Verschiedene Phasen eines Skisprungs. Freestyle-Skiing ist eine jüngere und entsprechend spektakulärere Sportart. Gesprungen wird über Schanzen mit fast senkrecht nach oben weisende Absprungflächen, über Buckelpisten oder in der Halfpipe. Gewertet werden Schwierigkeitsgrad, Ausführung und bei der Buckelpiste auch die Geschwindigkeit. Wie beim Turmspringen scheint die Rotationsbewegung der Drehimpulserhaltung zu widersprechen. 7.2 Bewegungsmengen Ein Modellflugzeug fliegt vor einem vertikal stehenden Spiegel hin und her. Sein Impulsinhalt ist bezüglich der parallel zum Spiegel verlaufenden x-Achse einmal positiv und einmal negativ. Der Drehimpuls des Propellers verhält sich analog, wenn wir die zugehörige Drehrichtung gemäss der Rechten-Hand-Regel festlegen. Der scheinbare Impulsinhalt des Spiegelbildes verhält sich wie der des Originals. Das gilt nicht für den Drehimpuls des Propellers. Dieser nimmt bezogen auf die x-Achse beim Spiegelbild das gegenteilige Vorzeichen an. Für den Hubschrauber, der vertikal auf- und absteigt, gelten die gleichen Regeln: das materialisierte Spiegelbild ändert seinen z-Impuls im Takt, dessen Propeller seinen z-Drehimpuls im Gegentakt. Bewegt sich das Flugzeug auf den Spiegel zu, kommt ihm Seite 130 von 221 Bewegung im Raum sein Bild entgegen. Weil gleichzeitig die yAchse im Spiegel die Orientierung ändert, ist der Impulsinhalt des materialisierten Spiegelbilds gleich dem des Originals und sein Drehimpulsinhalt gegengleich. Drehimpuls wird durch querfliessende Impulsströme erzeugt. Die Quellenstärke ist das der Kraft zugeordnete Drehmoment. Formel (6.15) beschreibt eine Komponente des über ein Kreuzprodukt beschriebenen Vektors von Kraft und Abstand 𝑀⃗ = 𝑟⃗ × 𝐹⃗ Abbildung 7.2 Der Spiegel ändert die Händigkeit eines Objekts. Der Unterschied von Gegenstand und Spiegelbild manifestiert sich in der Händigkeit, der Chiralität. Eine Rechtsschraube geht in ein Linksschraube über, die rechte Hand wird zur linken. Impuls, Kräfte, Geschwindigkeiten werden im Spiegel wie eine gerichtete Strecke, ein Vektor, abgebildet. Ordnet man dem Drehimpuls, den Drehmomenten oder der Winkelgeschwindigkeit nach der Regel der rechten Hand einen Vektor zu, wird dieser um 180° gedreht abgebildet. Gerichtete Grössen, die im Spiegel ihre Orientierung kippen, nennt man Pseudo- oder Axialvektoren. Im Gegensatz zur Winkelgeschwindigkeit verhält sich die Drehung nicht wie ein Vektor. Impuls- und Drehimpuls werden von einem raumfesten Koordinatensystem in je drei mengenartige oder bilanzierfähige Grössen zerlegt. Jede dieser sechs Menge erfüllt das Bilanzgesetz, wonach die Summe über alle Stromstärken gleich der Änderungsrate des Inhalts ist. Körper können sowohl Impuls als auch Drehimpuls leitungsartig über die Oberfläche oder quellenartig, verteilt über das Volumen austauschen. Der quellenartige Impulsaustausch erfolgt über das Gravitationsfeld und seine Quellenstärke nennt man Gewichtskraft. Der quellenartige Austausch von Inhaltsverzeichnis (7.1) Der Vektor r zeigt von einem Bezugspunkt zur Mitte der Kraftangriffsfläche. In der Statik kann dieser Bezugspunkt beliebig gewählt werden, beim Rotator muss er auf der Drehachse liegen und beim freigeschnittenen Körper ist er identisch mit dem Massenmittelpunkt. Nun können wir für alle materiellen Körper die Bilanzgleichung für den Impuls und den Drehimpuls aufstellen 𝐹⃗ + 𝐹⃗ = 𝑝⃗̇ 𝑟⃗ × 𝐹⃗ + (7.2) 𝑀⃗ = 𝐿⃗̇ (7.3) Reine Drehmomente, wie sie mit dem zweiten Term von (7.3) beschrieben werden, treten oft in Form von Reibung auf, wie etwa beim rotierenden Fussball oder bei einem rollenden Körper zu beobachten ist. Aus (7.3) können wir entnehmen, dass das Kreuzprodukt zwei Vektoren in einen Pseudovektor abbildet. 7.3 Kapazitivgesetze Zerlegt man ein beliebiges mechanisches System in sehr viele kleine Teile, ist der Gesamtimpuls zu einem bestimmten Zeitpunkt gleich der Summe der Impulse aller Teilkörper. Schreibt man diese Einzelimpulse als Masse mal Geschwindigkeit und dividiert durch die Gesamtmasse, erhält man einen vorerst theoretischen Wert, den man Seite 131 von 221 Bewegung im Raum Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes (MMP) nennt. In einer Dimension können wir mit Hilfe des Flüssigkeitsbildes zeigen, dass sich alle Körper mit dieser Geschwindigkeit bewegen, falls der Impuls so verteilt wird, dass die Gesamtenergie minimal ist. Umgekehrt dürfen wir behaupten, dass der Impulsinhalt immer gleich Masse mal Geschwindigkeit des MMP ist 𝑝⃗ = 𝑚𝑣⃗ (7.4) Leitet man Formel (7.4) nach der Zeit ab und setzt sie in (7.2) ein, folgt das erweiterte Grundgesetz der Mechanik: die Summe über alle Kräfte gleich Masse mal Beschleunigung des MMP ist. Im allgemeinen Fall ist der MMP nicht körperfest, wie man beim hüpfenden Frosch sehen kann. Der MMP liefert mit seiner Geschwindigkeit nicht nur den aktuellen Wert es Impulses, er definiert auch eine Mitte. Denkt man sich den gesamten Impuls im MMP konzentriert, ist für jeden Impulsstrom festgelegt, um wieviel er seitwärts fliessen muss. Dies erklärt, wieso der MMP als Bezugsort für das der Kraft zugeordnete Drehmoment dient. Der Drehimpuls eines starren Körpers hängt bei gegebener Winkelgeschwindigkeit nicht nur von der Masse, sondern auch von deren Verteilung ab. Betrachten wir dazu einen homogenen Quader mit drei verschieden langen Kanten. Rotiert der Körper um eine Achse, die durch den MMP geht und parallel zu einer der drei Kanten verläuft, darf der Drehimpuls als Massenträgheitsmoment mal Winkelgeschwindigkeit geschrieben werden. Der Quader besitzt entsprechend der Kantenlängen drei verschieden grosse Trägheitsmomente. Diese Aussage kann auf beliebig geformten Körper übertragen werden: jeder Körper weist maximal drei unterschiedliche Massenträgheitsmomente auf, wobei die drei Inhaltsverzeichnis zugehörigen Achsen normal aufeinander stehen. Diese nennt man Hauptachsen und die zugehörigen Drehimpulskapazitäten Hauptträgheitsmomente. Rotationssymmetrische Körper besitzen beliebig viele Hauptachsen und weniger als drei verschiedene Hauptträgheitsmomente. So ist bei einem Vollzylinder neben der Zylinderachse jeder Durchmesser durch den MMP eine mögliche Hauptachse. Bei der Kugel ist sogar jeder beliebige Durchmesser eine frei wählbare Hauptachse. Der Zylinder besitzt zwei verschiedene Hauptträgheitsmomente, bei der Kugel gibt es sogar nur einen Wert für die Drehträgheit. Abbildung 7.3 statische (links) und dynamische Unwucht. Was passiert, wenn ein Körper nicht um eine Hauptachse rotiert? Auf diese Frage gibt es zwei verschiedene Antworten. Rotiert der Körper um eine starre Achse, werden die Lager durch ein umlaufendes Drehmoment belastet. Dieses Phänomen heisst dynamische Unwucht. Nimmt man eine ausgewuchtete Scheibe mit vier durchgehenden Gewindelöcher, die gleichmässig über dem Umfang verteilt sind, kann man den Unterschied zwischen statischer und dynamischer Unwucht einfach erklären. Dreht man zwei kurze Schrauben von beiden Seiten in dasselbe Gewindeloch, verschiebt sich der Gesamtmassenmittelpunkt weg von der Drehachse. Durch die Drehbewegung wird der Impuls, den man sich im MMP konzentriert vorstellen kann, zu einer Drehbewegung gezwungen. Diese Impulsänderung erzwingt einen Im- Seite 132 von 221 Bewegung im Raum pulsstrom, der über die Lager fliesst. Die Stärke dieses Impulsstromes kann als umlaufende, betragsmässig konstanten Kraft auf den Körper oder die Lager dargestellt werden. Dreht man die Schrauben in zwei gegenüberliegende Gewindelöcher, entsteht eine dynamische Unwucht, falls sich die Köpfe der Schrauben auf den gegenüberliegenden Seiten der Scheibe befinden. Weil die Scheibe ausgewuchtet ist und die Schrauben verglichen mit der Scheibe klein sind, darf man sich auf den Bahndrehimpuls der Schrauben beschränken. In der räumlichen Darstellung wird auch der Bahndrehimpuls als Vektor dargestellt 𝐿⃗ = 𝑟⃗ × 𝑝⃗ (7.5) Der Vektor r zeigt vom MMP zum Ort des ausgewählten Teilkörpers. Zur Analyse zerlegen wir den Bahndrehimpuls beider Schrauben in eine axiale Lp und eine normal zur Achse Ln stehende Komponente. Die axiale Komponente bleibt konstant und die normale läuft synchron mit der Drehbewegung um. Diese Drehbewegung des Drehimpulses erzwingt einen Drehimpulsaustausch mit der Umgebung. Entsprechend werden die Lager mit einem umlaufenden Drehmoment belastet [67]. Die zweite Antwort bezieht sich auf den freien Körper. Wirf man ein Objekt rotierend hoch, beobachtet man während des Flugs oft ein Torkeln. Wer das noch nie gesehen hat, soll einen quaderförmigen Schwamm oder eine entsprechend geformte Schachtel über die Diagonale rotierend hochwerfen. Will man diese Erscheinung, die Nutation heisst, an Ort studieren, muss der Körper frei drehbar um den MMP gelagert werden, damit die Gewichtskraft kompensiert wird. Kinematisch kann die Drehbewegung in eine Rotation um die momentane Drehachse und in Inhaltsverzeichnis eine Nutationsbewegung der Achse zerlegt werden. Nutation und dynamische Unwucht sind wie zwei Seiten der gleichen Medaille. Würde ein Körper durch die Unwucht schlagartig aus der Verankerung gerissen, würde er im Flug eine entsprechende Nutation zeigen. Eine extrem starke Nutation tritt auf, wenn man den Körper um die Achse mit dem mittleren Massenträgheitsmoment rotieren lässt. Obwohl im eingespannten Zustand keine dynamische Unwucht auftritt, nutiert der freie Körper so stark, dass die Drehachse fortlaufen um 180° kippt. Der starre Körper besitzt mindestens drei zueinander normal stehende Hauptachsen. Rotiert er starr gelagert um eine dieser drei Achsen, werden die Lager nicht mit einem umlaufenden Drehmoment belastet. Rotiert er frei, sind die Drehungen um die Achse mit dem grössten und dem kleinsten Trägheitsmoment stabil. Bei gegebenem Drehimpuls entspricht dies der Drehung mit der kleinsten und der grössten Rotationsenergie. Dies wissen wir, seit der Basler Mathematiker Leonhard Euler vor etwa 250 Jahren die Kreiseltheorie entwickelt hatte. Als 1958 die USA ihren ersten künstlichen Satelliten, Explorer I, zur Erforschung der Ionosphäre in den Orbit schickten, versetzten sie ihn in eine Rotation um die Längsachse. Entgegen den Erwartungen kam der wie ein Bleistift geformte Satellit ins Trudeln und stabilisierte sich mit einer Rotation um die Querachse. Nachträglich haben die Ingenieure und Wissenschaftler begriffen, dass durch Schwingungen in den flexiblen Antennen solange Energie dissipiert worden war, bis sich der Satellit um eine Achse mit kleinstmöglicher Energie und damit grössten Trägheitsmoment drehte. Mathematisch ist das Trägheitsmoment eines Körpers ein Tensor. Diese wird bezüglich eines Koordinatensystems als symmetrische 3x3-Matrize geschrieben. Wird das Koordi- Seite 133 von 221 Bewegung im Raum natensystem gedreht, müssen einerseits die Zeilen und andererseits auch die Spalten wie Vektoren transformiert werden. Damit erhalten wir ein Kapazitivgesetz, das den Vektor der Winkelgeschwindigkeit in den Drehimpulsvektor abbildet 𝐽𝜔⃗ 𝐿⃗ = ⃡ (7.6) Der Doppelpfeil über dem Massenträgheitsmoment soll auf dessen Tensor-Eigenschaft hinweisen. Rotiert der Körper um eine Hauptachse, zeigt der Drehimpuls in die gleiche Richtung wie die Winkelgeschwindigkeit. Trifft dies nicht zu, sind die beiden weiter oben diskutierten Bewegungen möglich. Entweder wird die Winkelgeschwindigkeit konstant gehalten oder der freie Körper behält seinen Drehimpuls bei. Im ersten Fall bewegt sich der Drehimpuls auf einem Kegel, wodurch die Lager mit einem umlaufenden Drehmoment belastet werden. Andernfalls kommt die Drehachse ins Taumeln, was man als Nutation bezeichnet. 7.4 Energie Jedem Massenpunkt darf bezüglich eines frei gewählten Fixpunktes im Raum ein Bahndrehimpuls zugeordnet werden. Die Zuordnung erfolgt mit (7.5), wobei diesmal der Ortsvektor r seinen Ursprung im willkürlich gewählten Fixpunkt hat. Wendet man diese Definition auf die Teile eines starren Körpers an, darf der Bahndrehimpuls bezüglich des Fixpunktes in zwei Teile zerlegt werden. Der eine beschreibt den Anteil bezüglich des MMP des starren Körpers, der andere trägt zum Eigendrehimpuls des Körpers bei. Entsprechend dieser Zerlegung in Bahn- und Eigendrehimpuls des starren Körpers kann auch die Bewegungsenergie in kinetische und Rotationsenergie aufgeteilt werden. Die kinetische Energie entspricht der eines Massenpunktes gleicher Masse, der sich mit der Geschwindigkeit des Schwerpunktes bewegt Inhaltsverzeichnis 𝑊 = 𝑝⃗ ∙ 𝑣⃗ 2 = 𝑚 𝑣 2 (7.7) Wird ein Körper bis zur Ruhe abgebremst, durchfallen alle drei Impulskomponenten eine Höhe, die im Mittel der halben, zugehörigen Komponente der Geschwindigkeit des MMP entspricht. Die Rotationsenergie wird analog berechnet 𝑊 = 𝐿⃗ ∙ 𝜔⃗ 1 = 𝜔⃗ ∙ ⃡ 𝐽 ∙ 𝜔⃗ 2 2 (7.8) Zur Berechnung der Rotationsenergie muss der Trägheitstensor einmal von links und einmal von rechts skalar mit der Winkelgeschwindigkeit multipliziert werden. Die Bewegungsenergie eines Pendels darf entweder als Summe von kinetischer und Rotationsenergie oder nur als Rotationsenergie geschrieben werden. Im ersten Fall zerlegt man die Energie entsprechend dem Bahnund dem Eigendrehimpuls. Im zweiten Fall werden die beiden Anteile mit dem erweiterten Massenträgheitsmoment bezüglich der Achse zusammengefasst. Dies funktioniert bei allen starren Körpern mit einer fixen Achse. Ist der eigentliche Pendelkörper selber drehbar, wie man bei gewissen Schaukeln auf dem Rummelplatz beobachten kann, muss für den drehbaren Teil eine Rotationsenergie entsprechend dem Eigendrehimpuls ausgewiesen werden. Die Masse dieses Körpers trägt wie die Räder des Motorrades sowohl zum Drehimpuls wie auch zur Rotationsenergie des um die Hauptachse rotierenden Teils des Pendels bei. Der Impuls eines Körpers kann sich auf zwei Arten ändern, entweder im Betrag oder in der Richtung. Ändert sich nur die Richtung wie bei der Kreisbewegung, bleib die kinetische Energie erhalten. Mathematisch lässt sich diese Zerlegung wie folgt schreiben Seite 134 von 221 Bewegung im Raum 𝑝⃗̇ = 𝑝̇ + 𝜔⃗ × 𝑝⃗ (7.9) Die Änderungsrate des Impulses ist gleich der Summe aus Änderungsrate des Betrages und dem Kreuzprodukt einer Winkelgeschwindigkeit und des Impulses. Diese Winkelgeschwindigkeit beschreibt die Drehung des Impulsvektors. Weil sich der Körper mit gleichmässig drehendem Impuls auf einer Kreisbahn bewegen muss, ist diese Winkelgeschwindigkeit auch kinematisch erklärbar. Sie steht gemäss der rechten-Hand-Regel normal auf der Kreisbahn und ihr Betrag ist gleich Geschwindigkeit des Körpers geteilt durch den Radius. Die Impulsänderungsrate und damit die resultierende Kraft zeigt gegen die Kreismitte. muss, drei für die Vektoren und eine für das Kreuzprodukt. Die Präzession spielt beim Kreiselkompass, bei schnellen und leichten Flugzeugen oder auch beim Motorrad eine gewisse Rolle [V68]. Die Präzession wird oft von einer Nutation überlagert, die dank der Reibung meist schnell verschwindet. Die Erde präzessiert mit einer Periode von gut 25 tausend Jahre. Ursache dafür ist die Sonne, die mit einem saisonal variierenden Drehmoment auf die abgeplattete Erde einwirkt. Wie kontraintuitiv die Präzession ist, kann mit spektakulären Experimenten gezeigt werden [V69]. Multipliziert man die Impulsbilanz (7.2) skalar mit der Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes und die Drehimpulsbilanz (7.3) skalar mit der Winkelgeschwindigkeit, erhält man die Energiebilanz bezüglich des ausgewählten Körpers zu einem bestimmten Zeitpunkt 𝑃 𝐹⃗ + Abbildung 7.4 Kraft, Winkelgeschwindigkeit und Impuls bei der Kreisbewegung sowie Drehmoment, Winkelgeschwindigkeit der Schwenkbewegung und Drehimpuls bei der Präzession. Formel (7.9) darf auf den Drehimpuls übertragen werden, wobei mit Winkelgeschwindigkeit die Schwenkbewegung und nicht die Eigenrotation des Kreisels gemeint ist 𝐿⃗̇ = 𝐿̇ + 𝜔⃗ × 𝐿⃗ (7.10) (7.9) und (7.10) beschreiben nur die Änderungsrate der dynamischen Grössen. Auf der kinematischen Ebene findet man grosse Unterschiede zwischen der Bewegung und der Drehung. Der zweite Term von (7.10) beschreibt die Präzession. Diese ist schwerer zu verstehen als die Kreisbewegung, weil man viermal die rechte-Hand-Regel anwenden Inhaltsverzeichnis 𝑃 𝑀⃗ = 𝑊̇ + 𝑊̇ + 𝑊̇ (7.11) Die Energiebilanz (7.11), die man in dieser Form auch als Leistungsbilanz bezeichnen kann, setzt die Summe über die Leistung aller Kräfte und reinen Drehmomente gleich der Summe aus den Änderungsraten von kinetischer, Rotations- und Gravitationsenergie. Die Leistung einer Kraft ist gleich dem Skalarprodukt aus Kraft und Geschwindigkeit der Kraftangriffsfläche 𝑃 𝐹⃗ = 𝐹⃗ ⋅ 𝑣⃗ (7.12) Bezüglich eines raumfesten Koordinatensystems zerfällt das Skalarprodukt von (7.12) in eine Summe aus drei Kraftkomponenten mal die zugehörige Geschwindigkeitskomponente. Die drei Teile der Leistung einer Kraft stehen für die den drei Impulsströmen zugeordneten Energieströme. Seite 135 von 221 Bewegung im Raum Die Leistung eines reinen Drehmomentes ist gleich dem Skalarprodukt aus Drehmoment und Winkelgeschwindigkeit 𝑃 𝑀⃗ = 𝑀⃗ ⋅ 𝜔⃗ (7.13) Den über das Hebelgesetz den Kräften zugeordneten Drehmomenten darf man keine Leistung zuschreiben, sonst würde man diese Energie doppelt zählen. Integriert man (7.11) über die Zeit, gewinnt man die Energiebilanz über eine ausgewählte Zeitspanne 𝑊 𝐹⃗ + 𝑊 𝑀⃗ = ∆𝑊 + ∆𝑊 (7.14) + ∆𝑊 Die Summe über die Arbeit der Kräfte und Drehmomente ist gleich der Änderung der drei Energiespeicher. In den meisten Lehrbüchern findet man nur eine stark vereinfachte Form von (7.14). Dazu wird die Arbeit der Kräfte und Drehmomente gleich null gesetzt und die drei Energiedifferenzen so umgeformt, dass die Anfangswerte auf der einen und die Endwerte auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens stehen. Die abgespeckte Version heisst dann Energiesatz und wird oft an ziemlich weltfremden Beispielen eingeübt. Die eigentliche Energiebilanz (7.11), welche die Leistungen der Kräfte und Drehmomente mit den Änderungsraten gleichsetzt, findet man selten, obwohl komplexe Systeme nur so energetische beschrieben werden können. 7.5 rauscht, womit eine brauchbare Berechnung der Beschleunigung kaum mehr möglich ist. Zu diesem numerischen Problem der Fehlerexplosion bei Differenzbildung kommt noch eine dynamische Schwierigkeit in Form des Schwerpunktsatzes. Auch wenn wir anfänglich den Ort des MMP in einem Körper genau kennen, kann sich dieser Punkt relativ zu diesem verschieben. So windet ein Hochspringer seinen Körper berührungsfrei über die Latte, obwohl sein MMP unter dieser hindurch geht. Die Bahn eines Massenpunktes besteht aus einer beliebig dichten Folge von Aufenthaltsorten. Diesen kann man bezüglich eines ausgewählten Fixpunktes einen Ortsvektor zuweisen. Fügt man ein orthonormiertes Koordinatensystem dazu, wird der Ort mit drei Längenangaben beschrieben, die sich in Form eines 3-Tupels zusammenfassen lassen. Die mittlere Geschwindigkeit sowie die mittlere Beschleunigung auf einem gewählten oder durch die Messung vorgegebenen Zeitabschnitt wird für jede Koordinate gemäss (5.10) bestimmt. Ein Grenzübergang zu beliebig kurzen Zeitabschnitten führt zur Definition der Momentangeschwindigkeit und im zweiten Schritt zur momentanen Beschleunigung. Kinematik Die kinematische Analyse der Bewegung liefert sowohl die Geschwindigkeit als auch die Beschleunigung und bei bekannter Masse den Impulsinhalt wie auch die resultierende Kraft. Diesem Verfahren stehen zwei nicht zu unterschätzende Hindernisse im Weg. Erstens müssen wir den Ort zu vielen Zeitpunkten möglichst genau kennen. Andernfalls sind die Geschwindigkeitsangaben stark ver- Inhaltsverzeichnis Abbildung 7.5 Bahn eines Körpers mit Ortsvektoren zu drei verschiedenen Zeitpunkten und den beiden Strecken (links) sowie den mittleren Geschwindigkeiten und ihrer Differenz, der mittleren Beschleunigung (rechts). Abbildung 7.5 zeigt die Bahn, drei Ortsvektoren sowie die zugehörigen Strecken als Differenz der Ortsvektoren. Denkt man sich den Seite 136 von 221 Bewegung im Raum Grenzübergang zu infinitesimal kleinen Intervallen, sieht man wie die Strecke gegen die Tangente strebt. Der Geschwindigkeitsvektor, der den Impulsinhalt anzeigt, steht immer tangential zur Bahn. Die Differenz zweier Geschwindigkeiten liefert die mittlere Beschleunigung auf diesem Zeitabschnitt. Auch im Grenzfall eines beliebig kurzen Intervalls steht der Beschleunigungsvektor beliebig zur Bahn. Folglich lässt er sich in einen Tangential- und einen Normalteil zerlegen. Die Tangentialbeschleunigung entspricht der Änderungsrate der Schnelligkeit. Schnelligkeit steht hier für den Betrag der Geschwindigkeit. Die Normalbeschleunigung ändert die Richtung der Geschwindigkeit und sorgt so für die Krümmung der Bahn. Multipliziert man die Beschleunigung mit der Masse, liefert die Tangentialbeschleunigung die tangentiale Komponente der resultierenden Kraft und die Normalbeschleunigung die Normalkomponente. Der erste Kraftanteil ist leistungsbehaftet und ändert die kinetische Energie, der zweite ist leistungsfrei. Diese Zerlegung entspricht der Formel (7.9). Umgangssprachlich reden wir vom Weg als der Länge der Bahn und von der Geschwindigkeit als Änderungsrate des Weges. Wir setzen damit die Schnelligkeit mit der Geschwindigkeit gleich. Folgerichtig ist eine Beschleunigung positiv, falls die Schnelligkeit zunimmt. Bei einer negativen Beschleunigung nimmt die Schnelligkeit und damit die kinetische Energie ab. Geschwindigkeit wird mit Schnelligkeit und Kraft mit ihrer Leistung gleichgesetzt. Diese an eine Bahn gebundene Alltagsdefinitionen stehen im krassen Widerspruch zur vektoriellen Darstellung der Mechanik, die letztendlich auf dem Impuls aufbaut. Fehlkonzepte in Lehrbüchern und Fehlvorstellungen von Schülerinnen und Schülern sind oft diesem Themenkreis zuzuordnen. Inhaltsverzeichnis Beschleunigung, Geschwindigkeit und Ort lassen sich mit dreidimensionalen Vektoren beschreiben. Leider kann man die zugehörigen, kinematischen Zusammenhänge nicht auf die Rotation übertragen. Das resultierende Drehmoment lässt sich nicht als Konstante mal Änderungsrate der Winkelgeschwindigkeit schreiben und die Drehungen bilden eine nichtkommutative Gruppe und keinen Vektorraum. Die Systemphysik hilft, diese Strukturen besser zu verstehen. Als Basis nehmen wir die Impulsbilanz (7.2) und die Drehimpulsbilanz (7.3). Der erste Unterschied zeigt sich in den Kapazitivgesetzen gemäss den Formeln (7.4) und (7.6). Die zweite Differenz finden wir bei der Kinematik. Die Geschwindigkeit darf komponentenweise zum Ort integriert werden. Was wir im Kapitel Translationsmechanik gelernt haben, wird im Raum dreifach ausgeführt. Das funktionier so nicht bei der Drehung. Betrachten wir zuerst den Haken eines Brückenkrans. Wir können jede beliebige Position anfahren, indem wir mit der Kranbrücke, der Laufkatze und der Seilwinde ein vorgegebenes Stück fahren. Die Reihenfolge dieser drei Operationen spielt dabei keine Rolle spielt. Drehen wir dagegen einen Würfel um 90° von uns weg und dann um den gleichen Winkel nach links, liegt eine andere Seite oben, als wenn wir zuerst nach links und dann von uns wegdrehen. Drehungen lassen sich nicht wie Verschiebungen vertauschen, sie sind nicht kommutativ. Eine Drehung kann mittels dreier Winkel beschrieben, wobei die Ausführung an eine Reihenfolge gebunden ist. Eine gängige Parametrisierung geht auf Leonhard Euler zurück. Dazu führen wir ein raumfestes und ein körperfestes Koordinatensystem ein, die am Anfang zusammenfallen. Zuerst drehen wir den Körper um seine z-Achse um den Winkel , dann um seine neue x-Achse um den Winkel  und zuletzt um die gekippte z-Achse um Seite 137 von 221 Bewegung im Raum den Winkel . Die Ebenen der ersten und der letzten Drehung schneiden sich in der Knotenlinie N, die der x-Achse nach der ersten Drehung entspricht. und zuletzt wieder um die z-Achse gedreht wird, führt zu einer Multiplikation von drei Drehmatrizen Abbildung 7.7 Drehmatrix für eine Drehung nach Leonhard Euler. Abbildung 7.6 Eulerwinkel in zwei verschiedenen Darstellungen. Eine Drehung kann bezüglich eines Koordinatensystems mit Hilfe von speziellen Matrizen beschrieben. Diese Matrizen sind orthogonal und ihre Determinante ist gleich eins. Das Skalarprodukt zweier verschiedener Zeilen oder Spalten ergibt null. Multipliziert man eine Zeile oder eine Spalte skalar mit sich selbst, erhält man den Wert eins. Die inverse Matrix, welche die Retourdrehung beschreibt, entspricht der transponierten. Eine Drehung um die z-Achse verändert nur die x- und die y-Komponenten eines Vektors. Die zugehörige Matrizenrechnung lautet cos (𝛼) −sin (𝛼) 0 𝑥′ 𝑦′ = sin (𝛼) cos (𝛼) 0 0 0 1 𝑧′ 𝑥 𝑦 𝑧 (7.15) wobei für dem Drehwinkel steht. Die Drehungen um die beiden anderen Koordinatenachsen werden analog beschrieben. (7.15) beschreibt die aktive Drehung des Körpers. Bei der passiven Drehung, bei der das Koordinatensystem gedreht wird, vertauschen sich die Vorzeichen bei der Sinusfunktion. Jede beliebige Drehung kann aus drei Einzeldrehungen zusammengesetzt werden. Die klassische Euler-Parametrisierung, bei der zuerst um die z-Achse, dann um die x-Achse Inhaltsverzeichnis Wie hängt die Winkelgeschwindigkeit mit den Änderungsraten der Winkel zusammen? Um diese Frage zu beantworten, muss man die Drehmatrix nach der Zeit ableiten und auf das raumfeste Koordinatensystem zurücktransformieren. Die Komponenten dieser schiefsymmetrischen Matrix können dann den Komponenten der Winkelgeschwindigkeit zugeordnet werden 𝜔 𝜔 𝜔 𝑐𝑜𝑠𝛼 ∙ 𝛽̇ + 𝑠𝑖𝑛𝛼 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛽 ∙ 𝛾̇ = 𝑠𝑖𝑛𝛼 ∙ 𝛽̇ − 𝑐𝑜𝑠𝛼 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛽 ∙ 𝛾̇ 𝛼̇ + 𝑐𝑜𝑠𝛽 ∙ 𝛾̇ (7.16) Das resultierende Drehmoment liefert über die Bilanzgleichung (7.3) die Änderungsrate des Drehimpulses. Integriert man diese Rate über die Zeit, erhält man den Drehimpuls. Daraus folgt mit (7.6) in die Winkelgeschwindigkeit. Um diese Umrechnung auszuführen muss das an den Körper gebundene Massenträgheitsmoment fortlaufend in seine raumfesten Komponenten umgerechnet werden. Formel (7.16) erlaubt danach die Bestimmung der Änderungsraten der Winkel, woraus die Winkel und damit auch die Drehmatrix ermittelt wird. All diese Berechnungen sind aufwändig, aber mit heutigen Mathematikprogrammen einfach zu handhaben. Weil wir mit der systemdynamischen Modellierung rasch an Grenzen stossen, wenden wir uns verschiedenen, praxisnahen Vereinfachungen wie Fussball, Flugzeug oder Schiffschaukel zu. Seite 138 von 221 Bewegung im Raum 7.6 Fussball Ein Fussballfeld misst 68 auf 105 Meter. Beim Abstoss, der aus dem Torraum heraus erfolgt, wird der Ball häufig in die andere Hälfte geschlagen, wozu der Ball mindestens 50 m weit fliegen muss. Damit stellt sich die Frage, wie weit ein Fussball maximal fliegen kann. Um darauf eine Antwort zu geben, gehen wir von einer Abstossgeschwindigkeit von 30 m/s (108 km/h) aus. Im Vakuum, wo nur die Gewichtskraft wirkt, ist die Frage mit einer Formel direkt zu beantworten. Dazu wählen wir die x-Achse horizontal und die yAchse vertikal nach oben. Der Abstoss soll im Nullpunkt des Koordinatensystems erfolgen. Die Beschleunigung ist negativ und gleich der Gravitationsfeldstärke. Die Geschwindigkeit in horizontale Richtung bleibt konstant, weil der zugehörige Impuls weder zu- noch abfliessen kann. Vertikal nimmt die Anfangsgeschwindigkeit infolge konstantem Impulsabfluss ans Gravitationsfeld linear mit der Zeit ab. Dies führt zu folgender Beschreibung der Bewegung 𝑣 𝑐𝑜𝑠𝛼 ∙ 𝑡 𝑥(𝑡) 𝑔 = 𝑣 𝑠𝑖𝑛𝛼 ∙ 𝑡 − 𝑡 𝑦(𝑡) 2 (7.16) Der Abwurfwinkel  wird gegen die Horizontale gemessen. Nun setzen wir die y-Koordinate gleich null, lösen die Gleichung nach der Zeit t auf und fügen diese in die Beschreibung der Horizontalbewegung ein. So erhalten wir eine Wurfweite von 91.7 m. Würde diese Berechnung zutreffen, könnte der Torhüter den Ball recht einfach im gegnerischen Tor versenken. Das systemdynamische Modell liefert eine realistischere Abschätzung. Die Impulsbilanz muss entsprechend der beiden Richtungen zweifach formuliert werden. Zur Gewichtskraft gesellt sich der Luftwiderstand, der als je ein Abfluss in die beiden Impulsbilanzen eingefügt werden muss. Eine handliche Para- Inhaltsverzeichnis metrisierung basiert auf der Formel (5.8), wobei das Quadrat der Geschwindigkeit in Schnelligkeit mal die zugehörige Geschwindigkeitskomponente aufgespalten wird. Die beiden Impulskomponenten liefern die entsprechende Komponente der Geschwindigkeit, die mit einer Rohr-Speicher-Konstruktion über die Zeit zum Ort summiert wird. Die Energiebilanz erstreckt sich über beide Komponenten. Bezüglich des Systems Ball wird die Impulsstromstärke zur Kraft und die Energiestromstärke zur Leistung der Kraft. In Abbildung 7.8 ist der Luftwiderstandsbeiwert cW auf vier verschiedene Arten modelliert worden. Setzt man ihn null (schwarz), erhält man den Wurf im Vakuum. Gibt man einen Wert von 0.2 vor (blau), folgt eine ähnliche Bahn, wie wenn man Daten aus Windkraftmessungen verwendet (grün). Das Modell der glatten Kugel (blau), bei dem sich der cW-Wert stark ändert, dürfte dem mit Nähten versehenen Ball nicht gerecht werden. Abbildung 7.8 Modell und Flugbahn für einen Fussball. Die schwarze Bahn zeigt den Flug im Vakuum, die andern drei Bahnen gehören zu drei verschiedenen Parametrisierungen des Widerstandsbeiwerts. Das noch zu optimierende und anhand von Messdaten zu validierende Modell gemäss Abbildung 7.8 zeigt eindrücklich, wie massiv die Luft die Flugbahn des Fussballs beeinfluss. Statt mehr als 90 m fliegt der Ball nur noch etwa 50 m weit [V70]. Wird der Ball beim Abstoss in Rotation versetzt, weicht er von der Bahn ab. Ursache dafür ist eine weitere Kraft. Diese Kraft wird durch eine strömungsbedingte Druckdifferenz erzeugt. Diese Differenz entsteht, weil die vom rotierenden Ball mitgerissene Luft Seite 139 von 221 Bewegung im Raum die symmetrische Anströmung verformt. Bewegen sich Balloberfläche und Anströmung in die gleiche Richtung, wird die Umströmung intensiver und der Druck sinkt ab. Auf der gegenüberliegenden Seite sorgt die sich gegen die Strömung bewegende Oberfläche für einen Druckanstieg. Die resultierende Druckkraft, die nach seinem Entdecker MagnusKraft genannt wird, zeigt folglich auf die Seite mit der stärkeren Umströmung. Die MagnusKraft kann ähnlich wie der Luftwiderstand (5.8) beschrieben werden 𝐹⃗ = 𝜌 𝑐 𝐴 (𝜔⃗ × 𝑣⃗ ) 2 (7.17) Die Magnus-Kraft steht normal zur Anströmgeschwindigkeit van und normal zur Winkelgeschwindigkeit . Die Fläche AM bezeichnet eine für jeden Rotationskörper zu definierende Mantelfläche. Die restlichen Einflüsse stecken im Magnus-Beiwert cM. Abbildung 8.9 Modell und Flugbahn eines Fussballs mit Luftwiderstand und Magnus-Kraft. Rotiert der Ball rückwärts (blau), fliegt er weiter als bei einer Vorwärts-Rotation (schwarz). Abbildung 8.9 zeigt das Modell für einen rotierenden Fussball. Die Winkelgeschwindigkeit ist als Parameter definiert, der für jede Simulation konstant gehalten wird. In einem weiteren Schritt könnte man mit Hilfe der Drehimpulsbilanz eine reibungsbedingte Abnahme der Drehzahl einbauen. Im Unterschied zum Modell von Abbildung 8.8 ist der Widerstandsbeiwert hier in Funktion der Reynold-Zahl (5.9) modelliert. Der MagnusBeiwert hängt vom Spin-Parameter ab, dem Verhältnis von Umfangsgeschwindigkeit zu Anströmung [V71]. Inhaltsverzeichnis Die beiden hier gezeigten Modelle können auf andere Bälle übertragen werden, wobei Durchmesser und Beiwerte entsprechend anzupassen sind. Die Rotationsachse steht selten normal zur Wurfebene. Formel (7.17), die den räumlichen Zusammenhang zwischen Rotation, Anströmung und Richtung der Magnus-Kraft beschreibt, kann für den allgemeinen Fall verwendet werden. Dazu muss man alle drei Impulsbilanzen aufstellen und die drei Komponenten der Magnus-Kraft vorzeichenrichtig einfügen. Die Lösung, eine aus der Wurfebene ausbrechende Bewegung, nennt man Bananenflanke [V72]. Die Anströmung ist bei Windstille gleich der Geschwindigkeit des Balls. Kommt ein Wind auf, muss die Anströmung entsprechend angepasst werden [V73]. 7.7 Flugzeug Ein Pilot kann die Bewegung seines Flugzeuges über die Schubkraft oder das Leitwerk beeinflussen. Mit dem Höhenleitwerk dreht er das Flugzeug um die Querachse (nicken), mit dem Seitenleitwerk um die Hochachse (gieren) und mit den Querrudern um die Längsachse (rollen). Weil das Flugzeug dabei nur um wenige Grad aus seiner Fluglage herausgedreht wird, darf man die drei Drehbewegungen als nicht gekoppelt betrachten. Will der Pilot eine Kurve fliegen, führt er eine entsprechende Rollbewegung aus und zieht das Flugzeug gleichzeitig hoch. Der vergrössert Nickwinkel (Pitch) sorgt so für eine grössere Auftriebskraft, aber auch für einen grösseren Widerstand. Die stärkere Auftriebskraft muss die für den Kurvenflug notwendige Normalbeschleunigung erzeugen und weiterhin die Gewichtskraft kompensieren. Den grösser gewordenen Widerstand gleicht der Pilot mit mehr Schub aus [V74]. Das Flugzeug kann im Gegensatz zu einem Fahrzeug nur mit der Luft und dem Gravitationsfeld Impuls austauschen. Die Gravita- Seite 140 von 221 Bewegung im Raum tionskraft nimmt während eines mehrstündigen Fluges bis zu 40% ab, weil sich die Masse infolge Treibstoffverbrauch um diesen Betrag verkleinert. Den Impulsaustausch mit der Luft kann man in die drei Anteile Schub, Auftrieb und Widerstand einteilen. Die Schubkraft wird meist mit Propellern oder Mantelstrahltriebwerken erzeugt. Die Kraft der Luft auf das restliche Flugzeug wird in die Komponente Auftrieb (Lift) und Widerstand (Drag) zerlegt, wobei die erste normal zur Anströmung und die zweite parallel dazu steht. Der Widerstand setzt sich wiederum aus einem parasitären und einen induzierten Anteil zusammen. Der parasitäre hängt wie bei einem Fahrzeug mit der Grösse und Form des Flugzeuges zusammen, der induzierte bildet sich an der Hinterkante der Flügel und dient dem Auftrieb. Auftrieb und Widerstand lassen sich analog zum Luftwiderstand eines Fahrzeuges gemäss Formel (5.8) beschreiben 𝐹 = 𝐹 = 𝜌 𝑣 𝑐 (𝛼)𝐴 2 𝜌 𝑣 𝑐 (𝛼)𝐴 2 (7.18) (7.19) Die Fläche A entspricht in etwa dem Grundriss der beiden Flügel. Weil diese Fläche viel grösser als der Querschnitt des Flugzeuges ist, nimmt der Widerstandsbeiwert cW einen entsprechend kleinen Wert an. Widerstandsund Auftriebsbeiwert cA hängen bei kleiner Geschwindigkeit von der Reynold-Zahl und bei sehr grosser von der Mach-Zahl, dem Verhältnis von Anströmgeschwindigkeit zu Schallgeschwindigkeit, ab. Die wichtigste Variable liefert der Anstellwinkel (Angle of Attack) . Dieser beschreibt den Winkel zwischen der Anströmung und dem Flugzeug. Wie gross die beiden Beiwerte in Funktion von  sind, kann man auf drei Ebenen angeben, bezüglich des Flügelprofils, in Bezug auf Inhaltsverzeichnis die Flügel oder bezüglich des ganzen Flugzeugs. Abbildung 8.10 Widerstands- und Auftriebsbeiwert sowie ihr Verhältnis in Funktion des Anstellwinkels. Der Auftrieb nimmt linear und der Widerstand quadratisch mit dem Anstellwinkel zu. Bei einem Winkel von etwa 20° fällt der Auftrieb infolge Strömungsabriss (Stall) relativ schnell zusammen. Wie schnell, hängt von der Flügelform ab. Eine elliptische Form weist das beste Auftrieb-Widerstand-Verhältnis auf, lässt dafür den Auftrieb schlagartig zusammenbrechen. Die NACA (National Advisory Committee for Aeronautics), die Vorgängerorganisation der NASA, hat in den Dreissigerjahren eine vereinheitlichte Beschreibung für Flügelprofile eingeführt und für sehr viele von ihnen die Kenndaten bestimmt. Will man diese auf den Flügel umrechnen, muss die Streckung (Aspect Ratio), die Flügelform sowie andere Besonderheiten wie Winglets und Klappen berücksichtig werden. Bei der Umrechnung auf das ganze Flugzeug fällt der parasitäre Widerstand des Rumpfes stark der zusätzliche Auftrieb eher schwach ins Gewicht. Zudem muss man den Abtrieb des Höhenleitwerks mit einbeziehen. Dieser sorgt für das Rotationsgleichgewicht um die Querachse. Ungeachtet all dieser Effekte, wozu auch die Randwirbel und weitere Effekte der Umströmung gehören, bleiben die lineare Abhängigkeit des Auftriebes vom Anstellwinkel und die quad- Seite 141 von 221 Bewegung im Raum ratische des Widerstandes gut erhalten. Für eine brauchbare Parametrisierung der beiden Beiwerte eignet sich folgende Formulierung 𝑐 =𝑘 𝛼 𝑐 =𝑐 +𝑘 𝑐 (7.20) Die drei Parameterwerte cW0, k1 und k2 sind bezogen auf das Flugzeug nur mit fundierten Fachkenntnissen aus den Eigenschaften des Profils und der Form der Flügel ableitbar. In der Regel geben die Hersteller dazu auch keine Daten heraus. Folglich bleibt nur der Weg über eine plausible Abschätzung [V76]. Die Bezugslinie für den Anstellwinkel ist so gewählt, dass Formel (7.19) möglichst einfach ist. Im Reiseflug ist dieser Winkel so gross, dass der Auftrieb gleich der Gewichtskraft ist. Den Nettoaufwand an Energie für den Reiseflug können wir einfach abschätzen. Die Arbeit der Schubkraft ist gleich Gewichtskraft mal Weg geteilt durch die Verhältniszahl von Auftrieb zu Widerstand. Diese Verhältniszahl liegt bei Verkehrsflugzeugen zwischen 15 und 20. Gleitet ein Flugzeug antriebslos entlang einer geraden Bahn hinunter, muss die Vektorsumme aus Auftrieb und Widerstand analog zur schiefen Ebene die Gewichtskraft kompensieren. Das Verhältnis dieser beiden Kräfte muss folglich gleich dem Tangens des Neigungswinkels der Bahn sein. Die beiden Formeln in (7.20) liefert so den notwendigen Anstellwinkel . Weil dieser grösser als der Neigungswinkel der Bahn ist, gleitet das Flugzeug «hochnäsig» den vorgegebenen Pfad hinunter. Die Geschwindigkeit ergibt sich aus den Gleichgewichtsbedingungen unter Anwendung von (7.18) oder (7.19). Die Formeln (7.18) bis (7.20) reichen aus, um einfache Manöver wie Segelflugzeug im Landeanflug [V77], Windscherung [V78] oder plötzlicher Rückenwind [V79] zu modellieren. Will man den Start eines Flugzeuges von Inhaltsverzeichnis einer Piste oder einem fahrenden Flugzeugträger simulieren, muss noch das Fahrgestell modelliert werden. Abbildung 8.11 Dieses Modell beschreibt die Bewegung eines Flugzeuges in einer Vertikalebene mit Impulsbilanz und Kinematik (links) sowie Energiebilanz und weiteren Berechnungen (rechts). Die Impulsbilanz in horizontaler und vertikaler Richtung bildet die Basis des Modells. Die Komponenten der Gewichts-, Schub-, Auftriebs- und Widerstandskraft entsprechen den zugehörigen Impulsstromstärken. Mit der darauf aufsetzenden Kinematik berechnen wir den Ort in Funktion der Zeit. Optional kann noch eine Energiebilanz formuliert werden, wobei die Leistung einer Kraft als Stärke eines Energiestromes interpretiert werden darf. Aus Wind- und Flugzeuggeschwindigkeit berechnen wir komponentenweise die Anströmung. Daraus bilden wir einerseits den gemeinsamen Faktor für alle vier Kraftkomponenten andererseits den zugehörigen Winkel (Gamma). Der Anstellwinkel (Alpha) ergibt sich aus dem Neigungswinkel oder Pitch (Beta) und dem Winkel der Anströmung (Gamma). Aus dem Angle of Attack (Alpha) ermitteln wir mit (7.20) die beiden Beiwerte. Dieses Modell kann man für unterschiedliche Flugzeuge auf sehr viele Szenarien anwenden. Um die Zusammenhänge zu verstehen, sollte man zuerst einen einfachen Fall wie eine plötzlich auftretende Böe, die auf ein Flugzeug im Reiseflug trifft, simulieren [V80]. 7.8 Achterbahn Würde der Schlitten einer Achterbahn reibungsfrei über die Führung gleiten, liesse sich Seite 142 von 221 Bewegung im Raum die Schnelligkeit an einem bestimmten Ort direkt aus der Höhe ableiten. Aus einem Spezialfall der Energiebilanz über eine gewisse Zeitspanne (7.14), bei dem wir die linke Seite gleich null setzen und die Rotationsenergie weglassen, erhalten wir folgende Beziehung zwischen den Punkten 1 und 2 𝑔ℎ + 𝑣 𝑣 = 𝑔ℎ + 2 2 liche Gravitationsfeldstärke bemerkbar. Folglich ist man oben schwerelos und wird unten mit der sechsfachen Gewichtskraft in den Sitz gedrückt [V81]. Solche Belastungen sind seit langem nicht mehr zulässig, weshalb die Loopings heutiger Bahnen eiförmig mit oben einem kleineren Radius als unten sind. (7.21) Nimmt man zusätzlich an, dass die Anfangsgeschwindigkeit praktisch null sei, ist die Schnelligkeit an einem beliebigen Ort gleich Wurzel aus der doppelten Gravitationsfeldstärke mal die Höhendifferenz. Zur weiten Analyse schauen wir uns interessante Spezialfälle an. Abbildung 8.12 Centrifugal Railway in Manchester. Die Loopingbahn besteht aus einer schiefen Ebene als Anlaufstrecke, die ursprünglich in einen kreisrunden Vertikallooping überging. Vernachlässigen wir die Reibung und lassen die Normalkraft am höchsten Punkt des Loopings gegen null gehen, muss dort die Beschleunigung gleich der Gravitationsfeldstärke sein. Über die Formel für die Normalbeschleunigung (6.6) und den Energievergleich (7.21) erhalten wir einen Startpunkt, der nur einen halben Radius über dem höchsten Punkt des Loopings liegt. Der Startpunkt liegt damit auch 2.5 Radien über dem tiefsten Punkt des Loopings. Kehren wir die oben gemachte Überlegung um, erhalten wir eine Beschleunigung von 5g. Im Schlitten macht sich die Beschleunigung als zusätz- Inhaltsverzeichnis Abbildung 8.13 Das Systemdiagramm für eine Bewegung auf der Looping-Bahn. Rechts das Tangentialbeschleunigung-Weg-Diagramm mit (blau) und ohne Reibung (rot). Was passiert, wenn man die Reibung nicht vernachlässigt? Die Antwort auf diese Frage liefert uns eine Simulation. Dazu wird die Bahn in die drei Phasen schiefe Ebene, vertikaler Kreis und horizontale Ebene unterteilt. Die Normalkraft kompensiert bei der linearen Bewegung die Normalkomponente der Gewichtskraft. In der Kreisbahn erzeugt sie zusätzlich die Normalbeschleunigung. Obwohl die drei Teile der Bahn knickfrei zusammengefügt werden, macht die Normalkraft beim Ein- und Austritt in die Bahn einen kräftigen Sprung. Diese Unstetigkeit überträgt sich über die Gleitreibung auf die Tangentialbeschleunigung, wie bei der blauen Kurve in Abbildung 123 gut zu sehen ist. Das Modell selber ist kinematisch konzipiert. Die Tangentialkomponente der Gewichtskraft und die Reibung erzeugen eine Tangentialbeschleunigung, die zuerst zur Schnelligkeit und dann zum Weg integriert wird. Im Sinne einer Buchhaltung ist noch eine Energieebene zugefügt worden [V82]. Heutige Achterbahnen weisen wie die Schienen bei der Eisenbahn keine solch ruckartigen Übergänge mehr auf. Geht ein gerader Teil der Bahn in eine Kurve über, verringert Seite 143 von 221 Bewegung im Raum sich der Krümmungsradius auf einer gewissen Strecke von einem beliebig grossen zum gewünschten Wert. Bei Eisenbahnen und Strassen beschreiben diese Übergangsbogen oft eine Klothoide. Die Einteilung in verschiedene Phasen mit den entsprechenden Gesetzmässigkeiten wie beim Modell von Abbildung 8.13 ist bei Achterbahnen mit Übergangsbogen nicht mehr sinnvoll. Alternativ beschreibt man den Radius in Funktion des Weges. Weil die Krümmung, der Kehrwert des Radius, als Ableitung des Winkels nach dem Weg definiert ist, kann der Neigungswinkel aus Weg und Radius berechnet werden. Diese Idee kann man unter Anwendung der entsprechenden Geometrie auf dreidimensionale Bahnen ausbauen. So ist es möglich, die Belastung der Menschen bei einer existierenden Achterbahn zu simulieren und mit Messwerten zu vergleichen. Abbildung 8.14 Systemdiagramm sowie Beschleunigung (schwarz), Schnelligkeit (rot) und Schlupfgeschwindigkeit (blau) bei einer durch die Loopingbahn rollenden Kugel. Bleiben wir bei Bewegung in einer Vertikalebene, lassen aber statt eines gleitenden Körpers eine Kugel hinunterrollen. Die Bahn ist dieselbe wie vorher. Auf der schiefen Ebene reicht die Haftreibung nicht aus, um Rutschen zu verhindern. Sobald die Kugel die kreisrunde Loopingbahn erreicht hat, wird die Gleitreibungskraft durch die grössere Normalkraft stärker. Folglich geht die Rutschphase schnell in eine Rollbewegung über [V83]. Abbildung 8.14 zeigt, wie das Modell um eine Drehimpulsbilanz ergänzt werden muss und wie der plötzlich Anstieg der Reibung beim Eintritt in den Looping die Tangentialbeschleunigung beeinflusst. Inhaltsverzeichnis 7.9 Schaukel Die Schiffschaukel ist eines der wenigen Fahrgeschäfte, das ohne Motor auskommt. Nachdem der Schausteller dem Schiffchen eine Anfangsbewegung erteilt hat, müssen die bis zu zwei mitfahrenden Personen selber schauen, dass die Schaukel in Fahrt kommt. Dazu verschieben sie ihren Schwerpunkt im Takt zur Schwingung radial nach innen oder aussen. Beim Erreichen des einen Todpunktes gehen sie in die Hocke und stehen beim Durchfahren der Gleichgewichtslage wieder auf. Während der Talfahrt ist ihr Schwerpunkt weit aussen und wird zur Bergfahrt radial gegen nach innen verschoben. Die Verschiebung des Schwerpunktes hat zwei Effekte. Erstens ist die Hebelwirkung der Körper bei der Talfahrt grösser als bei der Bergfahrt, womit das Gravitationsfeld mehr Energie freisetzt als es danach zurücknimmt. Den zweiten Effekt kennen wir von der Pirouette. Im tiefsten Punkt, dann wenn der Drehimpuls der Schaukel am grössten ist, wird das Massenträgheitsmoment verkleinert. Dabei vergrössert sich Winkelgeschwindigkeit und die Rotationsenergie. Die zusätzliche Energie wird von den Passagieren beim Aufstehen aufgewendet. Deshalb müssen sie dann aufstehen, wenn die Belastung am grössten ist, wenn im mitbewegten System das lokale Gravitationsfeld am stärksten ist. Das systemdynamische Modell besteht wie beim Pendel aus einer Drehimpulsbilanz, dem Integrator von der Winkelgeschwindigkeit zum Winkel sowie den beiden Rückkopplungen: der Winkel beeinflusst das Drehmoment der Gewichtskraft und die Winkelgeschwindigkeit das des Luftwiderstandes. Die Radialbewegung des Schwerpunktes der Passagiere wird mit der dritten Rohr-Topf-Konstruktion beschrieben. Die zugehörige Geschwindigkeit ist betragsmässig konstant, wobei das Vorzeichen durch die Bewegung des Schiffspendels gesteuert wird. Bei der Seite 144 von 221 Bewegung im Raum Bergfahrt, dann wenn das Vorzeichen von Winkel und Winkelgeschwindigkeit gleich sind, muss der Schwerpunkt der Passagiere nach innen wandern, bei der Talfahrt nach aussen. Diese Geschwindigkeit dauert nur kurze Zeit und wird gestoppt, sobald der entsprechende Grenzradius erreicht ist. Verändert man die Massen, die wirksame Fläche für den Luftwiderstand oder die Radialgeschwindigkeit, kann die Sensitivität dieser Parameter studiert werden. In einer Ausbauvarianten ist die Lagerreibung zu berücksichtigen und die zum Aufstehen benötigte Energie zu begrenzen [V84]. Abbildung 8.15 Systemdiagramm der Schiffschaukel und Bahn des Massenmittelpunkts eines Passagiers. 7.10 Kraftfahrzeuge Motorfahrzeuge bewegen sich auf einer Fläche entlang von frei wählbaren Bahnen. Wie der Schlitten der Achterbahn müssen sie in jeder Kurve mit der Strasse Impuls austauschen. Die zugehörige Kraft greift an der Unterseite der Räder an und heisst Haftreibungskraft. Dieser energiefreie Impulsaustausch mit der Strasse führt zu Fehlvorstellungen wie die das Auto aus der Kurve treibende Zentrifugalkraft [V85] oder die das Auto beschleunigende Motorkraft [V86]. Im Gegensatz zum Auto muss ein Flugzeug zusätzlichen Auftrieb erzeugen, um den Impulsaustausch für den Kurvenflug zu gewährleisten. Raumschiffe sind diesbezüglich noch schlechter dran, weil sie nur mit dem energieintensiven Triebwerk von der Freiflugbahn abweichen können. Inhaltsverzeichnis Ein Kraftfahrzeug besteht aus Karosserie, Fahrwerk, Motor und Antriebstrang sowie weiteren Baugruppen. Die Karosserie schützt die Passagiere vor Wind, Wetter und Aufprall, wobei der Aufprallschutz erst in den vergangenen dreissig Jahren perfektioniert worden ist. Im Unterschied zur Eisenbahn müssen die Insassen auch vor einem seitlichen Aufprall geschützt werden, was geometriebedingt nur beschränkt möglich ist. Häufig prallen Autos frontal-versetzt aufeinander. Dabei wird etwas weniger Energie dissipiert als bei vollständiger Überdeckung, dafür ist die Belastung der direkt beteiligten Struktur grösser. Vernachlässigt man während der sehr kurzen Stossphase den Impulsaustausch mit der Strasse, muss sowohl der Impuls als auch der Drehimpuls konstant bleiben. Abbildung 8.16 zeigt die Basisüberlegung. Das Massenträgheitsmoment der verkeilten Autos kann meist nur überschlagsmässig bestimmt werden. Die dissipierte Energie entspricht der Differenz der Bewegungsenergie vor und unmittelbar nach dem Stoss. Abbildung 8.16 Frontal-versetzter Aufprall zweier Autos. Kraftfahrzeuge verfügen entweder einen Verbrennungs- oder einen Elektromotor. Ersterer wird mit Benzin, Diesel oder Gas betrieben, letzterer mit Batterien oder Brennstoffzellen. Die Brennstoffe besitzen eine hohe Energiedichte, auch weil der Sauerstoff der Luft entnommen werden kann und nicht mitgeführt werden muss. Die beim Verbrennen produzierte Entropie vermindert den Wirkungsgrad und erzeugt hohe Abgastemperaturen, wie wir im Kapitel Thermodynamik gesehen haben [V15]. Zudem kann der Verbrennungsmotor während der Fahrt trotz Getriebe nicht immer im optimalen Bereich Seite 145 von 221 Bewegung im Raum betrieben werden. Elektromotoren erzeugen beim Start ein grosses Drehmoment, arbeiten mit hohem Wirkungsgrad, benötigen dafür schwere und teure Batterien. Dieser Nachteil wird mit Brennstoffzellen zum Teil behoben. Ideal wäre, wenn man die Akkus während der Fahrt zum Beispiel auf einer Spur der Autobahn nachladen könnte. Ein Benzinauto benötigt pro hundert Kilometer vier bis acht Liter Benzin, was einem Heizwert von 35 – 70 kWh entspricht. Ein Elektroauto setzt auf der gleichen Strecke etwa 15 kWh Energie um. Abbildung 8.17 Antriebstrang eines Autos mit Hinterradantrieb. Der Antriebsstrang eines mit Verbrennungsmotor betriebenen Fahrzeuges besteht aus Schwungrad, Kupplung, Getriebe, Kardanund Antriebswellen sowie den treibenden Rädern. Um die Wegdifferenz bei der Kurvenfahrt auszugleichen, muss zwischen Haupt- und Radantrieb ein Differentialgetriebe eingefügt werden. Das Differentialgetriebe ist eine spezielle Bauform des Planetengetriebes, das die beiden Drehmomente beim Abtrieb auszugleichen versucht. Elektroautos verfügen über unterschiedliche Antriebskonzepte bis hin zu Einzelradantrieb. Hybridautos können den Verbrennungs- und den Elektromotor sowohl seriell als auch parallel betreiben. Im seriellen Betrieb wird die Energie vom Verbrennungsmotor über einen Generator auf den elektrischen Stromkreis umgeladen. Dieser treibt den oder die Elektromotoren. Bei Parallelschaltung sind beide Inhaltsverzeichnis Motoren über ein Planetengetriebe mit dem Antriebsstrang verbunden, wobei der Elektromotor auch als Generator arbeiten kann. Der Impulsaustausch mit der Strasse geht über die Räder. Die Stromstärke der Vertikalkomponente nennt man Normalkraft. In Laufrichtung leiten die frei drehbaren Räder den Impuls kaum, quer dazu aber sehr gut. Deshalb halten Räder die Spur und können zum Lenken eingesetzt werden. Wie ein Antriebsrad in Laufrichtung grosse Impulsströme erzeugt, wollen wir anhand von Abbildung 8.18 untersuchen. Das Rad kann über die Strasse und über die Achse Impuls und Drehimpuls austauschen. In der Ebene reduziert sich der Austausch auf eine Komponente des Drehimpulses und zwei des Impulses. Das ergibt hier vier Kräfte und zwei Drehmomente. Die Gewichtskraft des Rades ist relativ klein und kann für eine erste Untersuchung weggelassen werden. Die Leistung der Haftreibungs-, der Normal-, und der vertikalen Lagerkraft ist gleich null. Die Leistung des Antriebsdrehmoments ist positiv, die der restlichen zwei Grössen negativ. Im stationären Betrieb, bei konstanter Geschwindigkeit, fliesst über die Antriebsachse Energie zu und geht hauptsächlich ans Auto weg. Ein kleiner Teil davon wird in der Kontaktfläche zwischen Rad und Strasse dissipiert. Abbildung 8.18 Kräfte und Momente bei einem masselosen Antriebsrad. Die Radaufhängung oder Radführung sorgt für Komfort und Sicherheit. Unabhängig von der konkreten Bauform besitzt die Aufhängung eine Feder und einen Dämpfer. In der Regel zeigen beide Bauteile ein nichtlineares Seite 146 von 221 Bewegung im Raum Verhalten, das nur mit einer Simulation nachgebildet werden kann. Stark vereinfacht modellieren wir dieses System mit einer Masse, die von einer Feder und einem parallel dazu montierten Dämpfer gestützt wird. Im Gleichgewicht fliesst der vom Gravitationsfeld der Masse zugeführte Impuls unmittelbar über die Feder ab. Dieser Impulszufluss drückt die Feder zusammen. Nach einer Zeitkonstante  verhält sich die Anfangsamplitude 𝑠 zum aktuellen Wert wie die Eulersche Zahl e. Wirkt der Dämpfer im Vergleich zur Feder stark genug, wird die Kreisfrequenz  gleich null und man spricht von kritischer Dämpfung. Im überkritischen Bereich liegt ein Kriechfall vor, wobei dann die Beschreibung nach (7.23) etwas modifiziert werden muss. Wir betrachten nur die Auslenkung s des Körpers aus der Gleichgewichtslage. So können wir den gravitativ bedingten Impulsstrom und die damit verbundene Vorspannung der Feder vergessen. Der zusätzliche Impuls fliesst entweder über die Feder oder über den Dämpfer. Jede Unebenheit der Strasse regt eine Schwingung an, die vom Dämpfer möglichst schnell unterdrückt werden muss. Wäre die Anregung harmonisch und die Radaufhängung wie besprochen mit linear wirkender Feder und Dämpfer bestück, könnte man die Auf- und Ab-Bewegung mathematisch exakt beschreiben. Weil beides nicht der Fall ist und die Masse sowie die Elastizität des Rades einen zusätzlichen Einfluss ausüben, untersucht man diese Thematik in der Regel numerisch. Interessant und nützlich sind solche Simulationen dann, wenn es um eine Neuentwicklung in ungewohnter Umgebung geht wie etwa bei einem sechsrädrigen Mars-Rover. Abbildung 8.19 Gedämpfter Einmassenschwinger mit Impulsstrom- und Kraftbilder sowie der Impulsbilanz und den konstitutiven Gesetzen. Die zugehörigen Gesetze (5.13) und (5.14) eingesetzt in die Bilanz des Schwingenden Körpers liefert folgende homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 𝑚𝑠̈ + 𝑘 𝑠̇ + 𝐷𝑠 = 0 (7.22) Die Lösung dieser Gleichung ist eine harmonische Schwingung mit exponentiell abfallender Amplitude 𝑠(𝑡) = 𝑠 𝑒 𝜏= 2𝑚 𝑘 cos(Ω𝑡) mit Ω= 𝐷 𝑘 − 𝑚 4𝑚 Inhaltsverzeichnis (7.23) 7.11 Zugvögel Am 18. September 2020 startete eine mit einem Ring markierte Pfuhlschnepfe in Alaska und landete am 27. September in der Bucht Firth of Thames auf Neuseelands Nordinsel. Für diese rund 12'000 km lange Strecke war der Vogel 224 Stunden ohne Unterbrechung geflogen, was eine mittlere Geschwindigkeit von rund 54 km/h ergibt. Teilweise habe er, so die Auswertung der Satellitendaten, eine Geschwindigkeit von 100 Stundenkilometer pro Stunde erreicht, wobei dann ein Rückenwind den Flug unterstützt hatte. In Europa heimische Weitstreckenzieher wie Mauersegler, Wildgans oder Storch wenden je nach Grösse unterschiedliche Flugtechniken an, um die riesigen Strecken energiesparend zurückzulegen. Seite 147 von 221 Bewegung im Raum messende und von vielen Einflussfaktoren abhängige Grösse. Abbildung 7.20 Pfuhlschnepfe Aktiv, also unter Energieaufwand, fliegen Vögel im Schlag- oder Ruderflug. Auf seiner elliptischen Bahn ändert der Flügel fortlaufend seine Form. Im nach vorn-unten geführte Abschlag sorgt die Armschwinge für einen Grossteil des Auftriebes und die weitgehend geschlossenen Handschwingen den Vortrieb. Im nach hinten-oben geführten Aufschlag wird der Flügel fast vollständig eingefaltet, wobei der Anstellwinkel der Handschwinge klein gehalten wird. Im Ruderflug, bei dem die Mauersegler auf 700 Flügelschläge pro Minute kommen, kann der Energieumsatz bis auf das Zwanzigfache des Grundumsatzes steigen. Zur Erholung werden deshalb längere Gleitphasen dazwischengeschaltet. Die Flugfähigkeit wird bei Vögeln wie bei Flugzeugen mit der Gleitzahl beschrieben. Diese Zahl ist als maximales Verhältnis von Strecke zu Höhenverlust definiert. Sie entspricht damit dem Tangens des Neigungswinkels der optimalen Flugbahn. Weil im gleichförmigen Gleitflug die Vektorsumme von Auftrieb und Widerstand gleich minus der Gewichtskraft sein muss, ist der Widerstand gleich Auftrieb geteilt durch Gleitzahl. Für einen Haussperling findet man eine Gleitzahl von 5 und für den Wanderalbatros 24. Im Unterschied zu den Segelflugzeugen ist die Gleitzahl bei Vögeln eine nicht einfach zu Inhaltsverzeichnis Im Horizontalflug muss der Auftrieb die Gewichtskraft und der Vortrieb den Widerstand kompensieren. Folglich dürfen wir in einer ersten Abschätzung wie beim Flugzeug behaupten, dass der Vortrieb gleich Gewichtskraft geteilt durch die Gleitzahl sein muss. Vergleichen wir nun zwei Vögel von gleicher Gestalt aber unterschiedlicher Grösse miteinander. Falls der zweite doppelt so gross ist, verfügt er über die achtfache Masse aber nur die vierfache Flügelfläche. Gemäss Formel (7.19) müsste er um 41% schneller fliegen, womit seine Leistung pro Masse ebenfalls um diesen Wert steigen müsste. Dies erklärt teilweise, wieso die Flügel grosser Vögel mächtige Spannweiten aufweisen. Pferde galoppieren mit fast 70 Kilometer pro Stunde, Geparden schaffen sogar 110 km/h, wogegen der Mensch nur 44 km/h erreichen kann. Diese Spitzenwerte sind nur dank kurzfristiger Freisetzung von Energie in den Muskelfasern erreichbar. Im Dauerlauf ist die Kühlung ein limitierender Faktor. Weil diese über die Oberfläche erfolgt und der Luftwiderstand auf den Querschnitt einwirkt sind Hund und Pferd trotz unterschiedlicher Grösse etwa gleich schnell. Im Aufstieg ist der Hund überlegen, weil seine Masse pro Querschnitt kleiner als beim Pferd ist. Aufgrund dieser Überlegung ist ein achtmal schwerer Vogel mit einer entsprechend vergrösserten Flügelfläche und gleicher Fluggeschwindigkeit trotz achtfacher Muskelmasse im Nachteil, weil er die Wärme nicht so gut wegbringt. Grosse Vögel wie der Weissstorch sind Thermiksegler. Sie nutzen tagsüber wie die Segelflugzeuge die Aufwinde, welche durch die Sonneneinstrahlung entstehen. Weil über grossen Wasserflächen kaum Thermik Seite 148 von 221 Bewegung im Raum entsteht, ziehen die Weissstörche im Herbst entweder über Spanien oder die Türkei und nicht direkt über das Mittelmeer nach Afrika. Der Schwarzbrauenalbatros, der noch etwas schwerer als der Storch ist und sich hauptsächlich von Tintenfischen, Krebsen sowie Krill ernährt, nutzt die über den Wellen auftretenden Winde, um Auftrieb zu gewinnen. Mit einer Spannweite von 2.5 m und einer Gleitzahl von 22 ist er trotz 3.5 kg Masse ein Meister im Fliegen. Ein richtiges Schwergewicht unter den flugfähigen Vögeln ist die Riesentrappe. Mit einer Spannweite von 2.75 m hat sie aber ziemlich Mühe, ihre 20 kg in die Luft zu heben. Pelagornis sandersi, eine ausgestorbene Art, die vor 25 Millionen Jahren die Küsten South Carolinas bewohnte, war mit einer Masse von bis zu geschätzten 40 kg und einer Spannweite von über 7 m, die grösste bekannte flugfähige Vogelart. Wildgänse und Kraniche fliegen in V-Formation. Ausser dem Vogel an der Spitze profitieren alle andern von der Energie der Randwirbel und können so mehr als 10% einsparen. Vogelart Masse in kg Belastung in N/m2 Blaumeise 0.01 15 Mauersegler 0.036 23 Kuckuck 0.104 25 Rotmilan 0.93 32 Weissstorch 3 61 Schwarzbrauenalbatros 3.8 105 Höckerschwan 11.6 170 Setzt man den Auftrieb (7.19) gleich der Gewichtskraft und löst nach der Geschwindigkeit auf, erkennt man, dass die Flächenbelastung, die Gewichtskraft pro Fläche, neben der Dichte der Luft und dem Anstellwinkel die Fluggeschwindigkeit direkt beeinflusst. Diese Belastung, die bei heutigen Verkehrsflugzeugen 3 – 8 kN/m2 beträgt, legt die notwendige Geschwindigkeit für den Reiseflug fest. Aus der Tabelle 8.1 geht hervor, dass die Flächenbelastung mit der Masse zunimmt. Hätten die Vögel wie die Flugzeuge starre Flügel, müssten die grossen schneller fliegen als die kleinen. Vögel können aber die Flügelfläche verändern, fliegen selten einfach geradeaus und erreichen im Sturzflug sehr hohe Geschwindigkeiten. Trotzdem kann man für den Gleitflug einfach Modell aufstellen und mit Experimenten im Windkanal vergleichen [V87]. Den Energieverbrauch der Pfuhlschnepfe auf ihrem rekordverdächtigen Nonstopflug können wir nur grob abschätzen. Mit einer Startmasse von 350 g und einer geschätzten Gleitzahl von 24 ist der Energieaufwand so gross, wie wenn man sie im homogenen Gravitationsfeld um 500 km hochheben würde. Die aufzuwendende Energie von 1.7 MJ wollen wir in den physiologischen Umsatz umrechnen und durch den Fettverbrauch ausdrücken. Ist der Energieumsatz des Stoffwechsels dreimal grösser, was einem Wirkungsgrad von 33% entspricht, erhält man 1230 kcal. Die Pfuhlschnepfe müsste etwa 175 g Körperfett abbauen, was der halben Körpermasse entspricht. Obwohl man in der Literatur die Angabe findet, wonach die Pfuhlschnepfe während des Transpazifikfluges die Hälfte der Körpermasse verliert, ist diese Rechnung recht spekulativ, weil alle Angaben nur grob geschätzt sind. Tabelle 8.1 Flächenbelastung bei Vögeln Inhaltsverzeichnis Seite 149 von 221 Statik 8 Statik Der Nachteil eines Pfettendachs ist die Lastableitung von First- und Mittelpfette auf die Geschossdecke. Last ableiten bedeutet, den gravitativ zufliessenden Vertikalimpuls bis in den Erdboden abführen. Die Pfetten, also die grossen, horizontal liegenden Balken, müssen deshalb durch alle Geschosse hindurch abgestützt werden, damit der Impuls ohne Umweg an die Erde abfliessen kann. Last ableiten ist eine der Hauptaufgaben von Gebäudehüllen und Brücken. Senkrecht nach unten fliessender Vertikalimpuls erzeugt Druck. Seile, welche diese Impulskomponente nach oben ableiten, stehen unter Zug. Fliesst dieser Impuls horizontal durch Balken weg, erzeugt er Quellen der horizontalen Drehimpulskomponenten. Die zugehörigen Ströme belasten die Balken auf Biegung oder Torsion. Bei schiefer Ableitung des Vertikalimpulses wie etwa bei Schrägseilbrücken oder den Tragseilen einer Hängebrücke koppelt ein Strom der Horizontalkomponente ein. Solche Impulsstromkopplungen sind ein häufiges Phänomen, wie man bei Fachwerken und Bogenbrücken sehen kann. Gotische Kathedralen leiten die Last des Hauptdaches auch über die Bögen der Nebenschiffe ab. Die Belastung in Balken, Scheiben, Platten und Schalen lässt sich qualitativ mit den Impuls- und den Drehimpulsströmen recht gut erklären. Inhaltsverzeichnis Seite 150 von 221 Statik 8.1 Einsturzgefahr wenig anfangen. Für sie ist eine Kraft nichts Stoffliches. Abbildung 8.1 Dreifachturnhalle mit eingestürztem Dach. Am 24. Februar 2009 stürzte im St. Galler Tal der Demut das Dach einer Dreifachturnhalle unter der Schneelast ein. Anderthalb Stunden später hätte der Turnunterricht für 80 Schülerinnen und Schüler der Berufsschule beginnen sollen. Die eingebauten Dachträger, die schwächer waren als ursprünglich geplant, hielten der Schneelast nicht stand. Gemäss einem Gutachten der EMPA stürzte das Turnhallendach ein, weil der hohe, dünnwandige und rippenlos ausgeführte Steg bei einem der sieben Hauptträger aus Stahl an den fensterseitigen Enden ausbeulte. Danach folgte eine Umlagerung der Dachlast auf die restlichen sechs Träger, die ebenfalls sukzessive ausbeulten, die Köpfe der Stützen wegdrückten und das Dach so zum Einsturz brachten. Das Versagen durch Ausbeulen wird bei hohen, dünnwandigen Stegen vermieden, indem an den Trägerenden beidseits Rippen über die gesamte Höhe des Steges angebracht werden. Die SIA-Norm 263 sieht diese Massnahme als Regelfall vor: «Konzentrierte Kräfte sind in der Regel mit aussteifenden Rippen in dünnwandige Tragelemente einzuleiten.» Kräfte einleiten, durchführen und wieder ausleiten sind bei Bauingenieuren gängige Redewendungen. Konstrukteure arbeiten sogar mit einem Kraftfluss, um einzelne Bauteile oder ganze Baugruppen festigkeitsmässig zu optimieren. Mit diesen bildhaften Umschreibungen können Physiker Inhaltsverzeichnis Abbildung 8.2 Die zweite Lokomotive sowie ein entzwei gebrochener Personenwagen. Dazwischen liegen die Trümmer von vier Personenwagen, einem Gepäck- und zwei Postwagen. Am 14. Juni 1891, über hundert Jahre vor der Dreifachturnhalle in St. Gallen, stürzte in Münchenstein bei Basel eine von Gustave Eiffel entworfene Eisenbahnbrücke ein. Die bis heute schwerste Eisenbahnkatastrophe der Schweiz forderte 78 Tote und 171 Verletzte. Die Brücke mir einer Stützweite von 42 m hatte Fachwerkträger mit untenliegender Fahrbahn und überquerte die Birs unter einem Winkel von etwa 50°. Der Zug, der mit zwei Loks, einem Tender, einem Gepäck-, zwei Post- und zehn Reisewagen ausserordentlich schwer und mit über 500 Personen besetzt war, übte beim Bremsen starke Kräfte auf das durch ein Hochwasser schon geschwächte Bauwerk aus. Die ETH-Professoren Karl Wilhelm Ritter und Ludwig von Tetmajer bemängelten in ihrem Gutachten, dass die Brücke aus Kostengründen schon vor dem Hochwasserschaden unzureichend konstruiert war, das verwendete Eisen nicht die notwendige Festigkeit besass und ein Widerlager unterspült war. Die Verstärkungsmassnahmen von 1890 hatte die wesentlichen Strukturschwächen nicht beseitigt. Seite 151 von 221 Statik 8.2 Seilbrücken «Eine Hängebrücke ist nichts anderes als ein Wäscheseil, das man auf zwei Pfosten legt, links und rechts befestigt und dann die Wäsche, also in diesem Fall die Fahrbahn, darunter hängt.» Dieses Zitat des berühmten Brückenbauers Othmar H. Ammann erklärt in wenigen Worten den Aufbau einer Hängebrücke. Die Fahrbahn wird an zwei dicken Seilen aufgehängt, die über zwei Pylone geführt und beidseits mit grossen Ankerblöcken gehalten werden. Vereinfachend nehmen wir an, dass die Seile biegeweich und masselos sind. Weil das biegeweiche Seil keinen Drehimpuls leiten kann, darf das Seil auch keine Drehimpulsquellen aufweisen. Damit ist die rechte Seite von Formel (6.15) gleich null und die Impulsströme verhalten sich zueinander wie die zugehörigen Komponenten des entsprechenden Seilabschnitts. Die Seile leiten den Impuls so durch, dass der Kraftvektor immer in Seilrichtung zeigt. Abbildung 8.3 Impulsströme in den Seilen der Hängebrücke Die Fahrbahn der Hängebrücke bildet mit ihrer Masse eine Impulsquelle der Vertikalkomponente. Der vom Gravitationsfeld zuströmende Impuls fliesst augenblicklich über die Hänger nach oben zu den Tragseilen. Von diesen wird er zu den Pylonen geleitet, wo er vertikal nach unten in den Boden abfliesst. Die Pylone werden durch den vorwärts fliessenden Impulsstrom auf Druck belastet. Der Vertikalimpuls kann nur deshalb schief durch das Tragseil fliessen, weil gleichzeitig ein Impulsstrom der Horizontalkomponenten gemäss (6.15) einkoppelt. Dieser strömt gegen seine Bezugsrichtung von einem Ankerblock Inhaltsverzeichnis durch das Tragseil zum andern Block. Weil der Impulsstrom der Horizontalkomponente unverzweigt durch das Seil fliesst, der Impulsstrom der Vertikalkomponente aber auf der ganzen Länge der Brücke über die Hänger zuströmt, muss das Tragseil zu den Pylonen hin steiler ansteigen. Nur so ist das Verhältnis der beiden Stromstärken gleich dem Verhältnis der beiden Seilkomponenten [V88]. Abbildung 8.4 Freigeschnittenes, beliebig kurzes Stück eines idealen Tragseils. Wir nehmen an, dass der Vertikalimpuls über die ganze Länge eines Tragseilbogens zufliesst. Nun schneiden wir ein infinitesimal kurzes Stück dieses Seils frei. Die Stromstärken der beiden Impulskomponenten bezüglich dieses Seilstücks heissen Komponenten der einwirkenden Kräfte. Zuerst bilden wir die Bilanzen der beiden Impulskomponenten, das statische Gleichgewicht. Danach ersetzen wir die Fahrbahnkraft durch Masse m*dx mal Gravitationsfeldstärke g und die y-Komponente der Seilkraft durch die x-Komponente. Letztere ist über das ganze Tragseil hinweg konstant. So erhalten wir die Aussage, dass die zweite Ableitung von y(x) konstant ist 𝑑 𝑦 𝑚∗ 𝑔 = 𝑑𝑥 𝐹 (8.1) Das Integral dieser Differentialgleichung besagt, dass sich das Tragseil entsprechend einer Parabel ausgerichtet. Die beiden Integrationskonstanten können durch geeignete Wahl des Koordinatensystems gleich null gesetzt werden. Dann befindet sich der Ursprung des Koordinatensystems im Scheitel der Parabel. Seite 152 von 221 Statik Eine Seilbrücke ist eine Hängebrücke ohne Pylone. Sie hängt deshalb deutlich durch und eignet sich hauptsächlich für den Fussverkehr. Vereinfacht gesehen kann diese Brücke als ein an zwei Stellen aufgehängtes Seil angesehen werden, deren Form gemäss dem Lösungsweg von Abbildung 8.4 zu finden ist. Nur ist die Last nicht mehr proportional zur xKoordinate, sondern zur Länge des Seils. Folglich ist ein infinitesimal kurzes Stück der durch die Gravitation erzeugten Linienkraft gleich 𝑚∗ 𝑔 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 . Die daraus abgeleitete Differentialgleichung ist nicht linear 𝑑𝑦 𝑑 𝑦 𝑚∗ 𝑔 1+ = 𝑑𝑥 𝐹 𝑑𝑥 (8.2) Gibt man diese Gleichung in Wolfram Alpha ein, liefert dieses leistungsfähige Internettool im Wesentlichen eine Cosinus-HyperbolicusFunktion als Lösung. Abbildung 8.5 z-Impulsstrom (links) und x-Impulsstrom (rechts) bei einer einhüftigen, harfenförmigen Schrägseilbrücke. Eine Schrägseilbrücke hängt nicht an einem Tragseil. Stattdessen führen die Seile von der Fahrbahn direkt zu den Pylonen. Der in den Schrägseilen schief nach oben geführte Vertikalimpuls induziert einen im Kreis herum fliessenden Impulsstrom der Horizontalkomponente. Verantwortlich für diese Kopplung ist wieder die Forderung, dass die Seile keine Drehimpulsquellen aufweisen dürfen, womit die Schnittkraft gemäss (6.15) in Seilrichtung zeigen muss. Die in Abbildung 8.5 skizzierte Schrägseilbrücke ist asymmetrische. Nimmt man an, dass die Fahrbahn nur an den Seilen hängt und sich nicht auf Widerlager abstützt, muss auf der rechten Seite mehr z-Impuls Inhaltsverzeichnis nach oben fliessen als auf der linken. Weil zudem die Seile flacher gespannt sind, verschiebt sich das Verhältnis der Stromstärken der beiden Komponenten zu stärkeren x-Impulsströmen. Folglich fliesst ein recht starker x-Impulsstrom durch den Pylon nach unten in die Fahrbahn. Dieser quer zu seiner Bezugsrichtung fliessende Impulsstrom induziert Quellen von y-Drehimpuls, deren Drehimpulsströme den Pylonen auf Biegung belasten. Mehrhüftige Schrägseilbrücken wie etwa das Viadukt von Millau sind deshalb symmetrisch. In diesem Fall fliesst der Impulsstrom der Horizontalkomponente auf der einen Seite des Pylonen in den Seilen hoch und auf der anderen Seite hinunter. Der Impulsstrom wird über die Fahrbahn kurzgeschlossen, wodurch diese auf Druck beansprucht wird [V89]. 8.3 Fachwerke Ein Fachwerk besteht aus schlanken Stäben, die an ihren Enden durch reibungslose Gelenke verbunden sind. Die Lasten greifen ausschliesslich in den Gelenken an. Dank diesen Einschränkungen sind die Stäbe entweder auf Zug oder auf Druck belastet, Biegung wird verhindert. Abbildung 8.6 Einfaches Fachwerk mit z-Impulsströmen (oben) und den eingekoppelten Strömen des x-Impulses unten). In Abbildung 8.6 fliesst der Vertikalimpuls von der Last zum Fachwerk. Weil diese Bewegungsmenge in den biegeweichen Stäben nicht quer zur Bezugsrichtung fliessen kann, Seite 153 von 221 Statik strömt sie im Zickzack über die schief gestellten Querstäbe zu den Lagern. Die Aufteilung in die beiden Teilströme wird durch das Hebelgesetz festgelegt. Die schief fliessenden Impulsströme der Vertikalkomponenten induzieren gemäss Formel (6.15) Ströme der Horizontalkomponente. Diese dürfen das Fachwerk nicht verlassen und werden in den beiden Gurten im Kreis herumgeführt. Die Zahlen in Abbildung 8.6 geben das Vielfache eines Viertels des von der Last herkommenden Stromes an. Die Belastung der Gurten steigt mit der Länge des Fachwerkes. Die Stromkreise der Horizontalkomponente erfüllen den Knotensatz nur, falls die Auflagekräfte (Lagerreaktionen) das Hebelgesetz erfüllen. Fliessen beide Impulskomponenten in positive Richtung, wird der Stab auf Druck belastet. In Zugstäben fliesst beide Komponenten rückwärts. Knotensatz, also das Kräftegleichgewicht, ist für jede Komponente einzeln zu formulieren. Im 19. Jahrhundert hat der italienische Mathematiker, Statiker und Politiker Antonio Luigi Gaudenzio Giuseppe Cremona ein Verfahren entwickelt, um die Belastung der Stäbe graphisch zu bestimmen. Solche CremonaPläne werden heute noch gezeichnet, obwohl der Computer die durch die Knotensätze gewonnen Gleichungssysteme in Bruchteilen einer Sekunde lösen kann. Offenbar sagt uns eine graphische Darstellung mehr als eine Liste von Zahlen. Die ergänzend zu skizzierenden Impulsstrombilder liefern eine Gesamtschau, welche die analytische und die graphische Darstellung gewinnbringend ergänzt [V90]. 8.4 Bogenbrücken Zwanzig Jahre nach Inbetriebnahme der Eisenbahnbrücke bei Eglisau hatten sich die Köpfe der beiden etwa 60 Meter hohen Uferpfeiler um 240 mm genähert. Ursache für die Bewegung wie auch für die Risse in den gemauerten Bögen war der horizontal wirkende Gewölbeschub. Abbildung 8.7 Fachwerk mit eingeprägten und Lagerkräften (oben) sowie den Kräften auf die Knoten (unten). Abbildung 8.8 Rheinbrücke bei Eglisau. Fachwerke lassen sich nicht immer so intuitiv beschreiben wie in Abbildung 8.6 gezeigt. In der analytischen Vorgehensweise muss man zuerst die Lagerkräfte mit Hilfe des Hebelgesetzes berechnen. Danach schneidet man alle Knoten frei und zeichnet die Stabkräfte auf diesen Knoten ein. Weil eine Kraft als Impulsstromstärke definiert ist, muss die Summe über alle Kräfte gleich null sein, was man als Gleichgewicht des Knotens bezeichnet. Der Die 1897 fertig gebaute Brücke überspannt den Rhein mit einem 90 Meter langen und 9 Meter hohen genieteten, doppelten Ständerfachwerkkonstruktion. Auf der rechten Rheinseite schliessen sich zwölf gemauerte Steinbögen mit einer lichten Weite von 15 Metern an. Auf der linken Seite wird die gekrümmte Fahrbahn durch neun Steinbögen gleicher Öffnungsbreite abgestützt. Weil das Bauwerk mittelfristig einzustürzen drohte, Inhaltsverzeichnis Seite 154 von 221 Statik überlegt man sich verschiedene Sanierungsmassnahmen. Ein Ersatz der Gewölbe durch Balken bei laufendem Betrieb wurde als zu teuer verworfen. Nach mehreren Studien entschlossen sich die verantwortlichen Ingenieure zum Einbau einer Hebelvorrichtung beim beweglichen Auflager der Fachwerkbrücke, die aus zwei Winkelhebeln mit dem Übersetzungsverhältnis von 1 : 6.36 besteht. Diese zwei Hebel befinden sich in den Ebenen der beiden Hauptträger der Brücke und sind an ihren längeren Enden durch eine pendelnd angehängte Konstruktion verbunden, die zur Aufnahme der gusseisernen Gewichtskörper dient. Mit ihrem kürzeren Ende greifen die Hebel durch Vermittlung von beidseitig mit Kugellagern versehenen Pendelstützen in die kastenförmigen Untergurtstäbe ein und leiten eine Druckkraft von je 1000 kN ein. Wie entsteht der Gewölbeschub bei Bogenbrücken? Der belastete Bogen darf mit dem Tragseil einer Hängebrücke verglichen werden, wobei dieses an der Horizontalebene zu spiegeln ist. Weil der Vertikalimpuls vorwärts nach unten fliesst, wird der Bogen auf Druck und nicht wie das Tragseil auf Zug belastet. Der seitwärts abgelenkte Impuls induziert im Bogen einen Strom der Horizontalkomponente. Diesen sekundären Strom nennt man Gewölbeschub. Weil eine gemauerte Steinbrücke nicht so schlank wie das Seilwerk einer Hängebrücke ist, sind die Impulsströme nicht genau zu lokalisieren. Anders bei einem Stahlbogen, dessen Eigengewicht in erster Näherung zu vernachlässigen ist. Abbildung 8.10 Bogenbrücke mit den Impulsströmen für die vertikale und die horizontale Komponente. Abbildung 8.9 Hebel beim beweglichen Lager des Fachwerkteils der Rheinbrücke bei Eglisau. Die beiden Hebel führen den Impulsstrom der Horizontalkomponente durch, damit dieser direkt von den Bogenbrücken auf der einen Uferseite über die Fachwerkbrücke zu den Bogen am andern Ufer geleitet wird. Vorher floss ein grosser Teil des Impulsstromes über den einen Uferpfeiler hinunter, durchquerte das Bett des Rheins und floss im gegenüberliegenden Pfeiler hoch. Die quer zu ihrer Bezugsrichtung fliessende Horizontalkomponente belastete die Pfeiler auf Biegung, was innerhalb von etwa zwanzig Jahren zu den genannten Schäden führte. Inhaltsverzeichnis Abbildung 8.10 zeigt eine aufgeständerte Bogenbrücke mit den abfliessenden Impulsströmen der Vertikalkomponente und dem durchgeführten Strom der Horizontalkomponente. Die vom Gravitationsfeld in die Fahrbahn fliessende Bewegungsmenge strömt über Pfeiler und Bogen an die Erde weg. Weil der Vertikalimpuls durch den Bogen seitlich abgelenkt wird, muss wie im Tragseil der Hängebrücke zusätzlich ein Strom der Horizontalkomponente fliessen. Im Gegensatz zu einem Seil kann der Bogen im beschränkten Mass Drehimpuls durchleiten. Zudem ist der Einfluss seiner Masse grösser, weshalb der Bogen nicht die Form einer Parabel annehmen muss. Seite 155 von 221 Statik Am 3. Mai 1754 stürzte die schon längst baufällige, steinerne Brücke über den Rhein bei Schaffhausen ein. Danach sandte der Rat ein Schreiben an die Städte Ulm, Frankfurt und Regensburg mit der Anfrage, was sie von einer hölzernen Brücke halten würden. Alle Antworten stimmten darin überein, dass einem Holzbau der Vorzug zu geben sei, umso mehr, als ein solcher auch wesentlich billiger zu stehen komme als eine steinerne Brücke [4]. Am 2. Oktober 1755 beauftrage der Rat den aus dem Appenzellischen Teufen stammende Baumeister Hans Ulrich Grubenmann mit dem Bau der neuen Brücke. Der drei Jahre später eröffnete Holzbau bestand aus zwei Sprengwerken mit Stützweiten von 63 m und 56 m. Auf Geheiss des Rates von Schaffhausen musste Grubenmann den von der alten Brücke stehen gebliebene Pfeiler in der Flussmitte als Stütze nutzen und durfte seinen ursprünglichen Plan einer Holzbrücke mit 119 m Stützweite nicht ausführen. dergelegten Balken zusammengesetzt wurde. Zeichnung und Modell zeigen deutlich, dass die Verzahnung und Verschraubung so gut ausgeführt wurden, dass fast mit dem vollen Trägheitsmoment gerechnet werden konnte. Sowohl die Schaffhauser als auch die Wettinger Holzbrücken wurden 1799 von der französischen Armee in Brand gesetzt. 8.5 Balken Einen Bleistift kann man nicht zerreissen, wohl aber zerbrechen. Verantwortlich dafür sind die Biegespannungen oder sekundären Impulsströme. Wie diese entstehen, kann am Beispiel des einseitig eingespannten H- oder Doppel-T-Trägers gut erklärt werden. Wird an dessen freien Ende eine Last aufgehängt, fliesst ein konstanter Impulsstrom der Vertikalkomponente von dort über den Träger bis zur Einspannstelle. Abbildung 8.12 Impulsströme im einseitig eingespannten Doppel-T-Träger. Abbildung 8.11 Holzbrücke über die Limmat bei Wettingen. Hans Ulrich, der bekannteste und wohl auch genialste Spross der Baumeisterfamilie Grubenmann, die in der ganzen Schweiz Kirchen, Profanbauten und Brücken gebaut hatte, steigerte sein Können von Bauwerk zu Bauwerk. Als wahres Meisterwerk darf die Brücke über die Limmat bei Wettingen bezeichnet werden. Grubenmann wählte als Tragkonstruktion einen verzahnen und verschraubten Bogen, der aus sieben übereinan- Inhaltsverzeichnis Der hauptsächlich durch den Steg nach links fliessende Impulsstrom erzeugt aufgrund der Symmetrie des Spannungszustandes einen auf der ganzen Länge nach oben gerichteten Impulsstrom der Horizontalkomponente. Dieser Impuls strömt im unteren Gurt von der Einspannstelle zu und im oberen wieder zurück. Im Übergang zwischen den Gurten und dem Steg muss dieser Impulsstrom in die dritte Richtung fliessen, weshalb sich sowohl oben als auch unten ein entsprechender Kreisstrom der zweiten Horizontalkomponente ausbildet. Diese Betrachtungsweise, die nur auf der Symmetrie des Spannungstensors, dem Gesetz der zugeordneten Seite 156 von 221 Statik Schubspannungen, beruht, habe ich 1990 in der Hauszeitschrift des Technikum Winterthur veröffentlich und zwölf Jahre später mit einem Finite-Element-Programm nachgerechnet. Die Skizzen der oberen Reihe in Abbildung 8.12 sind dem Aufsatz entnommen, die drei Bilder unten zeigen je eine Zeile des Spannungstensors in Form von Pfeilen. Alle drei Strombilder sind autoskaliert und damit untereinander nicht direkt vergleichbar. Wie der horizontal durch den Steg fliessende Impulsstrom der Vertikalkomponente (blau) einen zweiten Strom der horizontalen Längskomponente (rot) induziert, ist deutlich zu erkennen. Richtig skaliert wären beide im Steg querfliessende Impulsströme gleich dicht. Der sekundäre Strom, welcher die Gurten unten auf Druck und oben auf Zug belasten, wird in der Nähe der Einspannstelle entsprechend der Balkenlänge sehr mächtig. Der Kreisstrom der dritten Komponente (grün) ist um Grössenordnungen kleiner. die zum Bruch führende Belastung eines Balkens durch das Hebelgesetz verursacht wird, ist bis heute in modifizierter Form gültig. In der technischen Statik wird der Balken an einer beliebigen Stelle geschnitten. Danach setzt man den einen Teil ins Gleichgewicht. In der Schnittfläche treten eine Kraft und ein Drehmoment auf. Zerlegt man beide Vektoren bezüglich eines symmetriegerechten Koordinatensystems, erhält man allgemein eine Querkraft (zwei Komponenten) und eine Längskraft sowie ein Biegemoment (zwei Komponenten) und ein Torsionsmoment. Zum Schluss verschiebt man die Schnittfläche von einem Ende zum andern und skizziert alle sechs Komponenten in Funktion der Position relativ zum Balken. Abbildung 8.13 zeigt dieses Verfahren in der Ebene ohne Längskraft. Abbildung 8.14 z-Impulsstrom und y-Drehimpulssenken (links) sowie zufliessender y-Drehimpulsstrom (rechts). Abbildung 8.13 Einseitig eingespannter, belasteter Balken nach Galilei (links) sowie Schnittbild mit Querkraft- und Biegemomenten-Verlauf (rechts). Galileo Galilei begründete mit seinem letzten Buch zwei neue Wissenschaften, die Punktmechanik und die Statik [5]. Die erste Wissenschaft entwickelte sich über Isaac Newton, Christiaan Huygens, Leonhard Euler, Joseph-Louis de Lagrange, Pierre Simon Laplace und William Rowan Hamilton zu einer umfassenden Bewegungslehre. Die zweite Wissenschaft lieferte die Grundlage der Baukunst. Die zentrale Erkenntnis Galileis, dass Inhaltsverzeichnis In der systemphysikalischen Betrachtungsweise geht man vom aus der Last kommenden, primären Impulsstrom der Vertikalkomponente aus. Dieser fliesst im Balken quer zu seiner Bezugsrichtung, womit sich gemäss (6.15) Drehimpulsquellen bilden. Wird der Balken quer geschnitten, ergibt die Impulsstromstärke eine Querkraft und die Drehimpulsstromstärke ein Biegemoment. Die Vorzeichen dieser beiden Schnittgrössen sind wie in Abbildung 8.13 durch das Schnittufer, die Orientierung der Schnittfläche, festgelegt. Schnitt- und Strombilder liefern zwei sich ergänzende Betrachtungsweise, wobei letztere vorzugsweise für eine erste Analyse hilfreich ist. Betrachten wir dazu einen rechteckigen Rahmen, der über die Diagonale an den Seite 157 von 221 Statik beiden Eckpunkten gleich stark belastet wird. Der Rahmen wird in den beiden anderen Eckpunkten gehalten. In der Statik bezeichnet man die gegebenen Kräfte als aufgeprägt und die beiden haltenden als Reaktionskräfte. Diese Bezeichnung hat aber nichts mit dem Wechselwirkungsprinzip von Newton zu tun, denn das dritte Newtonsche Gesetz beschreibt die Kraft zwischen zwei Körpern und nicht das durch Zwang erzeugte Gleichgewicht eines einzigen Körpers. Abbildung 8.15 belasteter Rahmen (oben) sowie die beiden möglichen Impulsströme der Vertikalkomponente. Gemäss Abbildung 8.15 fliessen an den diagonal gegenüber liegenden Ecken zwei gleich starke Impulsströme der z-Komponente zu und an den beiden andern Ecken weg. Wie dieser Impuls durch den Rahmen transportiert wird, ist dadurch noch nicht festgelegt. Im Prinzip gibt es zwei Pfade. Entweder werden die beiden Impulsströme in x- oder in yRichtung kurzgeschlossen. Im ersten Fall bilden sich Quellen und Senken des y-Drehimpulses, in der zweiten Anordnung quillt Drehimpuls der x-Komponente hinein respektive heraus. Aufgrund der Symmetrie muss der Drehimpuls von den Quellen auf beide Seiten wegfliessen. Danach strömt er über die beiden anliegenden Teile des Rahmens in oder gegen seine Bezugsrichtung. Auf der gegenüberliegenden Seite fliesst er beidseits gegen die Mitte, um die Drehimpulssenken zu speisen. Im ersten und vierten Kantenstab nimmt die Drehimpulsstromstärke und damit das Biegemoment von der Mitte bis zu den Inhaltsverzeichnis beiden Ecken linear zu. Die beiden dazwischenliegenden Stäbe werden auf Torsion belastet, weil der Drehimpuls in oder gegen seine Bezugsrichtung fliesst. Ein aus gleichen Profilstäben zusammengefügter Rahmen dürfte auf allen vier Seiten etwa gleich belastet sein, indem sich die beiden in Abbildung 8.15 skizzierten Fälle überlagern. Jeder der vier Stäbe wird auf Torsion und auf eine gegen die Ecken zunehmende Biegung beansprucht. Baut man den Rahmen aus zwei Röhren und zwei stirnseitig angebrachten Streifen, wird die Beanspruchung asymmetrisch. Der z-Impuls muss durch die beiden streifenförmigen Teile hindurchfliessen, weil diese torsionsweich aber biegesteif sind. Entsprechend werden die Rohre auf Torsion beansprucht, obwohl sie auch auf Biegung belastbar wären [V91]. 8.6 Dachstühle Das Sparrendach gilt als die älteste Form der Dachkonstruktionen in Mittel- und Nordeuropa. Jeweils zwei Sparren sind am First zu einem Paar verbunden und stützen sich am Fußpunkt auf einen liegenden Balken ab. Betrachten wir nun ein einziges Balkendreieck. Wir setzen voraus, dass die Balken in den Ecken gelenkartig verbunden sind, damit kein Drehimpuls von einem Balken zum nächsten geleitet werden kann. Abbildung 8.16 Sparrendreieck mit z-Impulsstrom (rot), xImpulskreisstrom (blau) sowie symbolisch vereinfacht Quellen und Senken von y-Drehimpuls (grün). Rechts die drei freigeschnittenen Balken. Seite 158 von 221 Statik Vom schneebeladenen Dach fliesst auf der ganzen Länge der beiden Sparren Vertikalimpuls zu. Folglich wächst die Stärke dieses Stromes linear bis zum Fusspunkt an. Der durch das schief Seitwärtsfliessen des Vertikalimpulses induzierte Strom des Horizontalimpuls muss wie bei einer Schrägseilbrücke im Kreis herum fliessen. Der im linken Sparren fliessende z-Impulsstrom erzeugt gemäss Formel (6.15) Senken, der im rechten Sparren fliessende Strom Quellen von y-Drehimpuls. Der x-Impulsstrom ruft dagegen links Quellen und rechts Senken hervor. Damit in beiden Sparren gleichviel Quellen wie Senken erzeugt werden, muss die Quellenstärke in der Mitte des Balkens gleich null sein. Längs eines Sparrens nimmt die Quellenstärke von einem negativen Wert bis zur entgegengesetzt gleichen Grösse linear zu. Folglich verändert sich die Stromstärke des y-Drehimpulses, das Biegemoment, quadratisch mit einem Maximum in der Balkenmitte. In den Schnittbildern von Abbildung 8.16 sind die Impulsstromstärken als Kräfte dargestellt, wobei ein Zufluss mit einem positiv gerichteten Kraftpfeil markiert wird. Das Hebelgesetz, das Drehgleichgewicht, ist nur erfüllt, weil die Kraft vom Dach in der Mitte der Angriffsfläche eingezeichnet ist. Die Hälfte dieser Kraft entspricht dort der Stromstärke des durch den Sparren fliessenden z-Impulsstromes. Abbildung 8.17 Pfettendach Inhaltsverzeichnis Sparrendächer eignen sich nur für relativ kleine Gebäude, sonst wird die Biegebelastung zu gross. Grössere Dächer müssen mit Pfetten verstärkt werden, wobei diese mit den Pfosten oder Säulen eines stehenden Dachstuhls abgestützt werden. Diese Stützen leiten den z-Impuls an mehreren Stellen vertikal nach unten, weshalb die Gesamtbelastung der Sparren gemessen an ihrer Länge kleiner als beim reinen Sparrendach ist. Abbildung 8.18 Impulsströme der z-Komponente sowie Quellen und Senken des x-Drehimpulses in einer Mittelpfette, die auf zwei Arten abgestützt ist(oben). Zwei Schnittbilder mit aufgeprägten Kräften, Querkraft und Biegemoment (unten). Betrachten wir nun eine Mittelpfette, die entweder an den beiden Enden oder in der Mitte unterstützt wird. Der aus den Sparren abfliessende z-Impuls wird in der Pfette in yRichtung abgelenkt, wobei Quellen und Senken des x-Drehimpulses entstehen. Weil der querfliessende z-Impulsstrom zu den Säulen hin stärker wird, nimmt auch die Quellenstärke zu. Der von den Quellen zu den Senken fliessende x-Drehimpulsstrom, der in Abbildung 8.18 nicht eingezeichnet ist, belastet die Pfette in beiden Fällen entgegengesetzt gleich stark. In der linken Skizze fliesst der xDrehimpulsstrom in positive und in der rechten in negative y-Richtung. Die Schnitte für die beiden Kraftbilder sind etwas links von der Mitte ausgeführt worden. In diesen Skizzen ergeben zufliessende Impulsströme positiv gerichtete Kraftpfeile und ein zufliessender Drehimpulsstrom wird als positiv wirkendes Drehmoment eingetragen. Seite 159 von 221 Statik Ist eine lange Pfette mehrfach abgestützt, kann die Belastung weder im Schnittbild über das Gleichwicht noch im Strombild über den Impuls-Drehimpuls-Zusammenhang eindeutig bestimmt werden. Sind die Stützpfeiler nicht exakt gleich lang, passt sich die Pfette den Gegebenheiten an, indem sie sich entsprechend durchbiegt. Die Beanspruchung solch statisch unbestimmter Systeme kann nur mit einer zusätzlichen Annahme abgeschätzt werden. Diese besagt, dass die Verformungsenergie minimal sein muss. Das Pfettendach hat den weiter oben schon erwähnten Nachteil, dass der über den Dachstuhl abfliessende Impulsstrom der Vertikalkomponente bis in den Boden abgeleitet werden muss. Entweder geschieht das über Säulen im Innern des Gebäudes oder der Impuls muss über starke Balken respektive eine Betondecke an die Aussenmauer abgeführt werden. Alternativ kann ein liegender Dachstuhl gebaut werden. Bei dieser Konstruktion sind die Säulen nach innen geneigt und stützen sich in der Nähe der Aussenwand auf einen Deckenbalken ab. Wie beim Sparrendach fliesst dann ein Impulsstrom der Horizontalkomponente im Kreis herum. Sind Deckenbalken unerwünscht, wie das oft bei Kirchen der Fall ist, wird der Impulsstrom über den Boden kurzgeschlossen, was die Aussenwände auf Biegung beansprucht. Um diese als Deckenschub bezeichnete Belastung aufzufangen, mussten die Aussenwände von Kirchen schon mit Rippen verstärkt oder die Mauern mit Stäben nach innen gezogen werden. Weil die Biegebelastung mit der Höhe der Kirche zunimmt, wird bei den gotischen Basiliken ein Teil des Impulsstromes der Horizontalkomponente vom hohen Mittelschiff über mehrere Strebebögen an die Aussenmauern der Seitenschiffe abgeleitet. Die Dächer grosser Räume können wie das neue Zelt des Zirkus Knie aufgehängt oder Inhaltsverzeichnis wie bei vielen Bahnhofshallen mit einem Fachwerk gestützt werden. Auch auf diesem Gebiet war Johann Ulrich Grubenmann wegweisend, gehört doch die Dachkonstruktion der evangelisch-reformierten Kirche in Wädenswil zu seinen kühnsten Werken. Zwei mächtige Binder, die in der Längs- und Querachse angeordnet sind, nehmen die ganze Last des Dachs auf. Der Hauptbinder von 35.5 m Spannweite ist ein siebenteiliges Stabpolygon von 6.5 m Höhe. Der normal dazu angeordnete Querbinder mit einer Spannweite von 21.5 m besteht aus einem vierteiligen Stabpolygon. Der längere Streckbalken ist in der Mitte gestossen, wobei eine verzahnte Holzlasche den rückwärts fliessenden Impulsstrom überträgt. Die Binder müssen neben dem Dach auch die Decke tragen, die an vertikalen Hölzern aufgehängt ist. Abbildung 8.19 Dachkonstruktion mit Längsbinder der evangelisch-reformierten Kirche Wädenswil. Wie Grubenmann seine statisch anspruchsvollen Konstruktionslösungen gefunden hat, können wir heute nicht mehr nachvollziehen. Vielleicht hat er sich eine Art Kraftfluss vorgestellt, der an die Erde abgeleitet werden muss. 8.7 Impulsstromdichte Direkt neben der Flurlingerbrücke oberhalb des Rheinfalls wird die Wasserführung des Rheins kontinuierlich protokolliert. Zu diesem Zweck wird der an einem ausgewählten Ort im Flussbett gemessene Druck mittels einer standortspezifischen Funktion in die Volumenstromstärke umgerechnet. Wie diese Funktion mittels Strömungsmessungen kalibriert wird, ist in Abschnitt 1.5 erklärt. Seite 160 von 221 Statik Verallgemeinert liefert die dort hergeleitete Formel (1.10) den Zusammenhang zwischen Stromdichte und Stromstärke für jeden möglichen Transportprozess. Weil der Impuls im Unterschied zum Volumen oder zur elektrischen Ladung ein Vektor ist, muss Formel (1.10) entsprechend angepasst werden. Den Begriff Stromdichte erweitern wir mit Hilfe eines raumfesten Koordinatensystems. Dieses teilt nicht nur den Impuls in drei bilanzierfähige Mengen auf, sondern zerlegt auch die zugehörigen Stromdichten in drei Komponenten 𝑗 𝑗 ⃡ 𝚥 = 𝑗 𝑗 𝑗 𝑗 𝑗 𝑗 𝑗 (8.3) Formel (8.3) beschreibt mit jeder Zeile die Stromdichte einer Impulskomponente. Die Werte in den Spalten geben die Transportrichtung an. So besagt etwa das Element 𝑗 wieviel y-Impuls pro Zeit und pro Fläche in zRichtung transportiert wird. Das in Formel (8.3) komponentenweise dargestellte Objekt wird Tensor genannt, weil sich seine Zeilen und seine Spalten wie Vektoren transformieren. In der Statik kann der Impuls nur bewegungsfrei transportiert werden. Die zugehörige leitungsartige Impulsstromdichte nennt man dann Spannungstensor. Für etwas Verwirrung sorgt manchmal die Vorzeichenfrage, weil in der technischen Mechanik der Zugspannung, welche die Stromdichte des rückwärts fliessenden Impulses beschreibt, ein positives Vorzeichen zugeordnet wird. Die Diagonalelemente des Spannungstensors heissen Normalspannung, die nichtdiagonalen Scher- oder Schubspannungen. Weil der Spannungstensor symmetrisch ist, fliesst zum Beispiel an jedem Punkt gleichviel y-Impuls in z-Richtung wie z-Impuls in x-Richtung strömt. Diese Gesetzmässigkeit liegt der Erklärung der Impulsströme im einseitig eingespannten Doppel-T-Träger von Abbildung Inhaltsverzeichnis 8.12 zugrunde. An jedem Punkt des Trägers fliesst gleichviel x-Impuls in z-Richtung wie zImpuls in x-Richtung strömt. Die Stromstärke berechnet sich aus der Stromdichte gemäss (1.10), wobei die Strömungsgeschwindigkeit, also die Volumenstromdichte, durch die entsprechende Stromdichte zu ersetzen ist. Angewendet auf (8.3) liefert jede Zeile die Stromstärke einer Impulskomponente, also die Komponente einer Oberflächenkraft. Integriert wird immer über die sogenannte Kraftangriffsfläche. Diese kann sich über Teilbereiche oder die ganze Oberfläche eines Körpers erstrecken. Zur Berechnung des statischen Auftriebs muss über die ganze Oberfläche und bei einem Schwimmkörper nur über den eingetauchten Teil integriert werden. Der für den Auftrieb verantwortliche Druck ist ein speziell einfacher Spannungszustand, der aus drei gleich grossen Normalspannungen besteht. In ruhender Luft oder Wasser fliessen demnach an einem ausgewählten Punkt alle drei Impulskomponenten mit derselben Stromdichte vorwärts. Dies führt uns direkt zu den Kesselformeln. Abbildung 8.20 Impulsströme im unter Druck stehenden Kessel. Die Kesselformeln beschreiben die Spannungen im Mantel eines zylinderförmigen, beidseits abgeschlossenen Kessels der Wandstärke s, dem Durchmesser d und der Länge ℓ mit einem Innendruck p. Schneidet man diesen Körper einmal längs der Zylinderachse und einmal entlang eines Durchmessers entzwei, ergeben sich die beiden Formeln direkt aus dem Gleichgewicht. Alternativ erhalten wird die Formeln aus der Erhaltung des Seite 161 von 221 Statik Stromes zweier Impulskomponenten. Die Kesselwand hat die Aufgabe, den in der Flüssigkeit in x-Richtung fliessenden Impulsstrom zurückzuführen. Der vorwärts fliessende Impulsstrom ist gleichstark wie der im Mantel zurückströmende. Die Tangentialspannung 𝜎 folgt aus dem Vergleich von Querschnittflächen mal Stromdichte für die beiden Transportstrecken. Eine analoge Überlegung führt zur axialen Spannung 𝜎 . Bewegt sich ein Körper in Luft oder Wasser, nimmt der Spannungszustand entlang seiner Oberfläche eine kompliziertere Form an, die nur aufgrund der Strömung und des Materialverhaltens bestimmt werden kann. Unabhängig von dieser Komplexität sind die drei Komponenten der einwirkenden Kraft gemäss (1.10) zu rechnen. Die nachträgliche Zerlegung in statischen Auftrieb, dynamischen Auftrieb (7.18) und Widerstand (7.19) orientiert sich an der Richtung der Anströmung. Gleitet ein Klotz auf einer schiefen Ebene, muss der Spannungstensor über die gemeinsame Fläche integriert werden. Die so gewonnene Kraft kann in einen normalen Anteil, Normalkraft genannt, und einen tangentialen Beitrag, die Gleitreibungskraft, zerlegt werden. Die lokale Zerlegung bezüglich der Oberfläche eines Körpers lässt die Erkenntnis, dass der Spannungstensor die Impulsstromdichte beschreibt, in den Hintergrund treten. Weil der Tensor symmetrisch ist, kann er an jedem beliebigen Punkt in drei Hauptspannungen transformiert werden. Dabei verschwinden die Schubspannungen und das lokale Koordinatensystem mit den zugehörigen Hauptspannungsrichtungen steht meist schief zum globalen System, welches den Impuls in seine drei Mengen aufspaltet. Verbindet man die Hauptspannungsrichtungen mit tangential verlaufenden Linien, gewinnt man die Hauptspannungstrajektorien. Obwohl diese Inhaltsverzeichnis oft in Zug- und Druckspannungstrajektorien eingeteilt werden, dürfen sie nicht mit den Impulsstromlinien verwechselt werden. Erstere orientieren sich an veränderlichen, lokalen Koordinatensystemen, letztere an einem einzigen, globalen Koordinatensystem. Die statischen Materialgesetze beschreiben den Zusammenhang zwischen den Verformungen und der Spannung. Ist das Material isotrop und die Verformung klein, benötigt man nur zwei Materialkonstanten. Das kann ein Elastizitäts- und ein Schubmodul sein oder auch eine Kontraktionszahl. Diese Konstanten werden wir bei Bedarf konkret beschreiben. 8.8 Drehimpulsstromdichten Macht es Sinn, dem Drehimpuls eine Stromdichte zuzuschreiben? Diese Frage soll anhand von Beispielen erläutert, aber nicht abschliessend beantwortet werden. Traditionellerweise wird die Drehimpulsstromdichte in Anlehnung an das Hebelgesetz wie das Drehmoment einer Kraft definiert. Dazu ordnet man dem Spannungstensor bezüglich eines Fixpunktes eine Drehimpulsstromdichte zu. Im Unterschied dazu soll hier der Drehimpuls als lokal in Erscheinung tretende Grösse beschrieben werden. Abbildung 8.21 Bleistift unter Biegung mit z-Impulsstrom und y-Drehimpulsquellen (oben) sowie z- und x-Strombild aus FE-Rechnung (unten). Seite 162 von 221 Statik Die Ströme in einem Bleistift unter Biegung können wir auf zwei Arten begründen. Einerseits folgt aus der Symmetrie des Spannungstensors, dass der in den beiden äusseren Dritteln des Bleistifts querfliessende z-Impulsstrom wie beim schon erwähnten Doppel-T-Träger querfliessende x-Impulsströme induziert. Diese Ströme müssen zu Kreisen kurzgeschlossen werden, womit der Bleistift daumenseitig auf Druck und auf der Gegenseite auf Zug belastet wird. Die zweite Argumentation führt über den Drehimpuls. Der durch den Daumen zu und über die Finger wegfliessende Strom der z-Impulskomponente erzeugt beim querfliessen gemäss (6.15) rechts Quellen und links Senken von yDrehimpuls. Die Stärke des zwischen Quellen und Senken fliessende Drehimpulsstromes nennt man Biegemoment. Um die Argumentation abzuschliessen, müssen wir noch wissen, wie der sekundäre Impulsstrom der xKomponente mit dem y-Drehimpulsstrom zusammenhängt. Abbildung 8.22 Ein Stück Bleistift unter reiner Biegung mit y-Drehimpulsstrom und x-Impulsstrom (links) sowie x-Impulsstromdichte in Funktion der z-Koordinate (rechts). Der z-Impuls fliesst nur je zwischen Daumen und Finger. Dazwischen, also von einem Daumen zum andern, wird kein z-Impuls quer zu seiner Richtung transportiert. Die zugehörige Stromstärke, die Querkraft, ist gleich null. Die Drehimpulsstromstärke, das Biegemoment, ist konstant. Vereinfachend nehmen wir an, dass der Querschnitt rechteckig sei. Um die Verteilung des x-Impulsstromes festzulegen, werden ein paar Annahmen getroffen. So soll die Durchbiegung vernachlässigbar klein sein, eine Querschnittebene im unbelasteten Balken soll bei Belastung in eine Ebene übergehen und die Dehnung sei proportional zur Inhaltsverzeichnis Zug- oder Druckbelastung. Unter diesen Annahmen nimmt die x-Impulsstromdichte mit dem Abstand zum unbelasteten Material, der neutralen Faser, linear zu. In der klassischen Darstellung schreibt man der Spannung eine Drehmomentdichte zu, indem man diese mit dem Abstand zur neutralen Faser multipliziert. In Abbildung 8.22 rechts entspricht dies dem Rechteck gebildet aus Impulsstromdichte (rot) und Abstand von der neutralen Faser (grün). Diese Regel ersetzen wir durch eine mathematisch äquivalente: ändert der in x-Richtung fliessende yDrehimpulsstrom in z-Richtung seine Stromdichte, tritt dort eine x-Impulsstromdichte auf. In der klassischen Betrachtungsweise nimmt die Drehmomentdichte von der neutralen Faser bis zu den beiden Randflächen des Balkens quadratisch zu, weil sowohl die Spannung (rot) als auch der Abstand (grün) grösser wird. Die Drehmomentdichte ist beidseits der neutralen Faser positiv, weil die Spannung mit der z-Koordinate das Vorzeichen ändert. In der neuen Darstellung fliesst y-Drehimpuls gegen die x-Richtung durch den Balken. Dieser weist bei der neutralen Faser die grösste Stromdichte auf und wird auf beide Seiten schwächer. Die Drehimpulsstromdichte nimmt beidseits der neutralen Faser quadratisch ab, weil sich die Impulsstromdichte linear ändert. Lassen wir die weiter oben formulierten Forderungen weg, bleibt der Zusammenhang zwischen den Stromdichten von Impuls und Drehimpuls gültig. So fliesst im Steg eines unter Biegung stehenden Doppel-T-Trägers wie beim rechteckigen Balken ein Drehimpulsstrom, dessen Stromdichte von der neutralen Faser beidseits ungefähr quadratisch abnimmt. Daneben, im leeren Raum zwischen den Gurten, ist die Drehimpulsstromdichte konstant, um dann erst in den unter Zug und Druck stehenden Gurten schnell auf null Seite 163 von 221 Statik abzufallen. Ausser einem zusätzlichen Bild haben wir mit der neuen Ansicht nichts dazu gewonnen. Zudem stellt sich die Frage, wieso quer zum gebogenen Balken keine zusätzlichen Impulsströme auftreten, obwohl dort die Drehimpulsstromdichte auch auf null absinkt. Um den Nutzen dieses Bildes zu ergründen, untersuchen wir weitere Beispiele. Abbildung 8.23 Bügel unter Zug mit primärem Impulsstrom, Drehimpulsstrom und sekundäre Impulsströme (erste drei Bilder) sowie x- und y-Strombilder aus FE-Rechnung (rechts). Ein Bügel steht unter Zug, weshalb ein y-Impulsstrom gegen die Bezugsrichtung fliesst. Der durch den Bügel zu einem Umweg gezwungene Impulsstrom erzeugt beim Querfliessen in den Schenkeln Senken (oben) und Quellen (unten) des z-Drehimpulses. Der dadurch ausgelöste z-Drehimpulsstrom muss von einem y-Impulsstrom berandet sein, solange er in y-Richtung fliesst. In den Schenkeln, wo er aus den Quellen tritt oder in die Senken eintaucht, wird er entsprechend seiner Stärke von einem x-Impulsstrom berandet. Vergleicht man diese Argumentation mit den mittels FE-Rechnung erzeugten Strombilder, bemerkt man eine verblüffende Übereinstimmung. Abbildung 8.24 Vierkantrohr unter Torsion mit y-Impulswirbelstrom (Mitte) sowie querfliessenden x- und y-Impulsströmen (links und rechts. Fliesst der Drehimpuls längs statt quer zu seiner Bezugsrichtung, belastet er das durch- Inhaltsverzeichnis flossene Bauteil auf Torsion. Betrachten wir dazu ein Vierkantrohr unter Verdrehung. Wir wählen das Koordinatensystem so, dass im Rohr ein y-Drehimpulsstrom in y-Richtung fliesst. Abbildung 8.24 zeigt die mit FE-Rechnung erstellten Strombilder für drei Impulskomponenten. Der y-Drehimpulsstrom wird von einem Impulsstromwirbel der y-Komponenten vollständig ummantelt, wobei hier der Strom nur in einer Ebene gezeigt wird. In den beiden Wandstücken, welche das Rohr in zRichtung abschliessen, fliesst ein x-Impulsstrom in respektive gegen die y-Richtung. Diese beiden Ströme werden ausserhalb des gezeigten Bereichs zum Kreis kurzgeschlossen. Entsprechend bildet rechtwinklig dazu ein z-Impulskreisstrom die andere Begrenzung. Aus der Symmetrie des Spannungstensors folgt, dass die querfliessenden x- und zImpulsströme an jedem Punkt gleich stark sein müssen wie der dort durchfliessende yImpulskreisstrom. Abbildung 8.25 Impulskreisströme bei einem Vierkantrohr und einem U-Profil unter Torsion Zwischen Drehimpulsstrom und begleitenden Impulsströmen gilt bei der Torsion ein ähnliches Begrenzungsgesetz wie bei der Biegung. Wird dort der querfliessende Drehimpulsstrom durch Impulsströme begrenzt, die in oder gegen die eigene Bezugsachse fliessen und deshalb Zug- oder Druckbelastung erzeugen, wird hier der in oder gegen seine Bezugsrichtung strömende Drehimpuls durch querfliessende Impulsströme berandet. Dies ermöglicht uns, auf Torsion belastete Profile intuitiv auf ihre Widerstands- Seite 164 von 221 Statik fähigkeit zu beurteilen. Abbildung 8.25 links zeigt nochmals den Wirbelstrom in einem unter Torsion stehenden Vierkantprofil. Längs der blauen Pfeile kann man sich Stromlinien vorstellen, die man als Höhenlinien interpretieren darf. Der zugehörige Körper in Form eines Pyramidenstumpfs repräsentiert dann das Torsionsmoment, die Stärke des durchgeführten Drehimpulsstromes. Entfernt man nun eine Seite des Rohres oder schlitzt es längs einer Mantellinie auf, kann der Impulsden Drehimpulsstrom nicht mehr ummanteln. Er muss beim Schlitz notgedrungen umdrehen. Zeichnen wir in Abbildung 8.25 rechts Stromlinien ein und denken uns diese wieder als Höhenlinie, erkennen wir einen Gebirgszug in Form eines Atolls mit viel weniger Volumen als vorher. Dies erklärt, wieso ein Rohr mit Schlitz bedeutend weicher als ein nicht geschlitztes ist, wenn man es unter Torsion setzt. Eine ähnliche Idee hat Ludwig Prandtl mit seiner Seifenhautanalogie schon vor hundert Jahren verwendet. Der Begriff Schubfluss für den im dünnwandigen Rohr bei Torsion auftretenden Impulswirbelstrom ist in der technischen Mechanik weit verbreitet. Man redet denn auch vom Schubflussumkehr bei einem geschlitzten Rohr. Eine quantitative Fassung dieser Zusammenhänge ist möglich, bietet aber keine vollständige Struktur im Sinne einer Feldtheorie. Wir gehen dabei von einer kontinuierlichen Verteilung des Drehimpulsstromes aus, dessen Dichte mit neun Komponenten beschrieben wird 𝑗 𝑗 ⃡ 𝚥 = 𝑗 𝑗 𝑗 𝑗 𝑗 𝑗 𝑗 (8.4) Wie beim Impuls beschreiben die Zeilen dieser Matrix je eine Komponente des Drehimpulses, die Spalten geben die Transportrichtung an. Auf diese rein hypothetischen Dreh- Inhaltsverzeichnis impulsstromdichte wenden wir spaltenweise die Rotation gemäss Formel (1.13) an und erhalten so eine 3x3-Matrix, deren Elemente je zwei Ableitungen von (8.4) enthalten und die wir R nennen ⃡ 𝑅 𝜕𝑗 𝜕𝑗 ⎡ − 𝜕𝑧 ⎢ 𝜕𝑦 𝜕𝑗 ⎢ 𝜕𝑗 =⎢ − 𝜕𝑥 ⎢ 𝜕𝑧 𝜕𝑗 𝜕𝑗 ⎢ − ⎣ 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑗 𝜕𝑗 − 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑗 𝜕𝑗 − 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑗 𝜕𝑗 − 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑗 𝜕𝑗 ⎤ − 𝜕𝑧 ⎥ 𝜕𝑦 𝜕𝑗 𝜕𝑗 ⎥ − 𝜕𝑧 𝜕𝑥 ⎥⎥ 𝜕𝑗 𝜕𝑗 ⎥ − 𝜕𝑥 𝜕𝑦 ⎦ Die drei Spalten sind bis auf den letzten Index, welcher die Transportrichtung des Drehimpulses angibt, identisch. Die Impulsstromdichte, der Spannungstensor, ist nun gleich der halben Summe aus dieser Matrix und ihrer transponierten ⃡ 𝚥 = 1 ⃡+𝑅 ⃡ 𝑅 2 (8.5) Formel (8.5) gilt für den leitungsartigen Impulsstrom in der Statik. Solange die Massenverteilung gleichbleibt, kann sie auch auf den konvektiven Impulsstrom angewendet werden. Eine Verallgemeinerung auf instationäre Vorgänge ist so nicht möglich, obwohl Formel (8.4) problemlos auf die Raumzeit erweitert werden kann. 8.9 Balken und Platten Platten sind im Bauwesen weit verbreitet. Baute man früher Zwischenböden mit Balken als tragende Struktur ein, nimmt man heute Platten in Stahlbetonbauweise. In der Praxis wird die Beanspruchung meist mittels numerischer Verfahren, insbesondere mit der Methode der finiten Elemente, ermittelt. Für Plausibilitätskontrollen eignen sich Näherungsverfahren wie etwa die Methode der stellvertretenden Rahmen. Bei diesem Näherungsverfahren wird die Platte zuerst in einen auf den Stützstellen aufliegenden Gitterrost Seite 165 von 221 Statik unterteilt. Danach werden die Momente nach bestimmten Regeln auf die Platte verteilt. Bevor wir ein paar qualitative Aussagen zur Belastung von Platten machen können, müssen wir unser Wissen bezüglich Balken etwas strukturieren. In der einfachen Balkentheorie wird der Balken als linienförmiges, nur leicht verformbares Bauteil modelliert, das sich der Biegung mit einer vom Querschnitt und einer zweiten, vom Material abhängigen Grösse widersetzt. Zuerst wird das Biegemoment über den Balken ermittelt, danach am Ort des grössten Wertes die maximale Spannung berechnet. Im einfachsten Fall ist der Balken statisch bestimmt gelagert. Die Auflagekräfte ergeben sich direkt aus der Gleichgewichtsbedingung. Abbildung 8.26 Beidseits gelagerter Balken mit aufgeprägter Kraft, Schnittbild sowie Kräfte- und Momentengleichgewicht. Abbildung 8.26 zeigt die Vorgehensweise bei einem beidseits gelagerten Balken mit einer Einzellast F, welche man auch als eingeprägte Kraft bezeichnet. In einem ersten Schritt werden alle auf den Körper einwirkenden Kräfte eingezeichnet, wobei man diese mit Vorteil in eine horizontale und eine vertikale Komponente zerlegt. Danach formuliert man die Gleichgewichtsbedingungen für die beiden Kraftkomponenten sowie für die Drehmomente. Ein Koordinatensystem hilft, die Vorzeichen korrekt zu setzen. Die Drehmomente der Kräfte bezieht man auf einen frei Inhaltsverzeichnis wählbaren Punkt, der für alle Drehmomente im selben Schnittbild verbindlich ist. Nachdem alle Kräfte nach Grösse und Betrag bekannt sind, wird der Balken an einer frei gewählten Stelle entzweigeschnitten und ein Teil ins Gleichgewicht gesetzt. In der Ebene treten an der Schnittstelle eine Normal- und eine Querkraft sowie ein Biegemoment auf. Die Werte dieser drei Grössen ergeben sich wiederum aus der Gleichgewichtsforderung. Lässt man die Schnittfläche von einer Auflage über den Balken bis zur andern laufen, erhält man den Verlauf der drei Grössen in Funktion des Ortes. Treten mehrere eingeprägte Kräfte auf oder liegt eine verteilte Belastung vor, muss oft mehr als eine Skizze angefertigt werden, um genügend Klarheit über den Verlauf der drei Schnittgrössen zu schaffen. Abbildung 8.27 Beidseits gelagerter Balken mit willkürlich gewähltem Schnitt, Schnittbild des einen Teils sowie Verlauf von Normal- und Querkraft wie auch Biegemoment. Das Biegemoment ist gemäss dem Hebelgesetz gleich dem Integral der Querkraft über der x-Koordinate, der Querkraftverlauf folglich gleich der Ableitung des Biegemomentes nach x. Solange der Balken statisch bestimmt gelagert ist, sind die drei Schnittgrössen in Funktion von x eindeutig berechenbar. Statisch bestimmt heisst, dass das eine Lager fest, das andere horizontal verschiebbar ist. Seite 166 von 221 Statik Ist der Maximalwert des Biegemomentes bekannt, wendet man sich dem zugehörigen Querschnitt zu. Eine materielle Ebene soll durch die Belastung gekippt aber nicht verbogen werden. Zudem gilt das Hooke’sche Gesetz, wonach die Zug- oder Druckspannung linear mit der Dehnung zunimmt. Folglich verändert sich die Spannung proportional mit dem Abstand zur neutralen Faser. Als neutrale Fasern bezeichnet man die unbelastete, quer zur Biegung liegende Schicht im Balken. Dort wechselt die Spannung von Zug auf Druck. moment geteilt durch grössten Abstand von der neutralen Faser ist. Abbildung 8.28 Von oben nach unten: Schnittbild des Balkens, zugehörige Impulsströme sowie Quellen und Senken des y-Drehimpulses, y-Drehimpulsstrom, Wirbelstrom der x-Impulskomponente. Abbildung 8.28 Im Balken unter Biegung nimmt die Dehnung und damit auch die Spannung linear mit dem Abstand von der neutralen Faser zu. Der Spannung wird eine Drehmoment-Dichte zugeordnet. Diese ist gleich Spannung mal Abstand von der neutralen Faser. Das Integral dieser Dichte über den ganzen Querschnitt muss gleich dem vorhandenen Biegemoment sein. Im Ergebnis ist das Biegemoment gleich einer Konstanten mal ein axiales Flächenträgheitsmoment. Diese rein geometrische Grösse mit der Einheit Meter hoch vier repräsentiert Form und Ausdehnung des Balkenquerschnitts. Sie kann in Tabellenwerken nachgeschlagen werden. Umgekehrt ist jede Spannung gleich dieser Konstanten mal Abstand von der neutralen Faser. Die maximale Spannung ist damit gleich Biegemoment geteilt durch Flächenträgheitsmoment mal grösstmöglicher Abstand von der neutralen Faser. Die Berechnung wird meist auf eine einfache Merkformel reduziert: die maximale Spannung ist gleich Biegemoment geteilt durch Widerstandsmoment, wobei das Widerstandsmoment gleich Flächenträgheits- Inhaltsverzeichnis Wenden wir uns nun der systemphysikalischen Betrachtung zu, wobei wir wieder eine schiefwirkende Einzelkraft einwirken lassen. Ausgehend von den schon gerechneten Lagerkräften sehen wir, wie ein Impulsstrom der Horizontalkomponente von der Einleitung durch die eingeprägte Kraft bis zum linken Lager fliesst. Der zweite Strom, der zur Vertikalkomponente gehört, teilt sich im Balken auf, um über beide Lager abzufliessen. Dieses Querfliessen des z-Impulses induziert gemäss (6.5) Quellen und Senken von yDrehimpuls. Der dadurch ausgelöste Drehimpulsstrom wird gemäss (8.5) von Kreisströmen der x-Impulskomponente begleitet. Der obere Gurt führt x-Impulsstrom in Richtung des Koordinatensystems. Der unter Gurt übernimmt die gleiche Aufgabe beim Rückfluss. Dementsprechend ist der ober Gurt auf Druck und der untere auf Zug belastet. Wie in Abbildung 8.21 gezeigt, liefert das Gesetz der zugeordneten Schubspannung, das aus der Symmetrie des Spannungstensors folgt, einen alternativen Grund für das Auftreten der starken x-Impulsströme. Diese Wirbelströme, die in der Mitte der Träger recht stark werden, limitieren dessen Tragkraft. Seite 167 von 221 Statik Wenden wir uns nochmals dem Einsturz des Dachs der Dreifachturnhalle im Tal der Demut bei St. Gallen zu. Alle sieben Träger waren fensterseitig auf dünnen Stützen gelagert und auf der gegenüberliegenden Seite mit den Stützen verschraubt. Nimmt man ein über das ganze Dach verteilte Schneelast an, wurden die statisch bestimmt gelagerten Träger mit einer zu den Stützen hin linear zunehmenden Querkraft beansprucht. Folglich nahm das zugehörige Biegemoment einen quadratischen Verlauf an mit einem Maximum in der Mitte der Träger. Dort wurden die Gurten am stärksten auf Zug oder Druck belastet. Die eingebauten Doppel-T-Träger haben dieser Beanspruchung standgehalten, eingebrochen sind sie fensterseitig durch Ausbeulen des Stegs. Durchlaufträger sieht man oft bei langen Autobahnbrücken. Wir betrachten den Fall mit vier Stützen, deren obere Endflächen exakt entlang einer horizontalen Linie ausgerichtet sind. Zuerst müssen wir überlegen, wie die vier Stützen zu verteilen sind. Wir setzen gleiche Abstände voraus und lassen den Balken beidseits um den halben Stützenabstand auskragen. Die Last sei gleichmässig über den ganzen Träger verteilt. Abbildung 8.30 Balken auf vier Stützen mit verteilter Last (oben) sowie z-Impulsströme (rot) und y-Drehimpulsquellen (grüne ausgezogene Linie) als auch Senken (grüne gepunktete Linie). Abbildung 8.29 Schematische Darstellung des primären Impulsstromes der Vertikalkomponente (grün) sowie die durch das Querfliessen induzierten Wirbelströme der Horizontalkomponente (rot) bei einem belasteten Doppelt-TTräger. Eine FE-Rechnung zeigt das Versagen (unten). Primär Verantwortlich für den Einsturz des Dachs war der im Steg der Träger querfliessende Strom der Vertikalkomponente, der über den Stützen abrupt nach unten geleitet wurde. Dieser konzentrierte, vorwärts fliessende Impulsstrom hat den Steg zum Beulen gebracht. Wer sich hier zu stark auf die einfach Biegetheorie des Balkens fokussiert, übersieht die gefährliche Konzentration des primären Impulsstromes am fensterseitigen Ende der Träger [V92]. Weist ein Träger mehr als zwei Stützen auf, ist die Anordnung statisch unbestimmt. Solche Inhaltsverzeichnis Aus der Symmetrie des Problems können wir abschätzen, wie der Strom des Vertikalimpulses fliesst. Zudem führen wir zwischen der ersten und der zweiten sowie der dritten und der vierten Stütze ein Gelenk ein, um eine statisch bestimmte Anordnung zu erhalten. Die beiden Drehgelenke verhindern den Durchfluss von y-Drehimpuls. Der z-Impuls fliesst im Balken von beiden Seiten zu den Stützen. Weil der querfliessende Impulsstrom linear zunimmt, wird auch die Quellenstärke des y-Drehimpulses entsprechend stärker. Deshalb sind die Quellen und Senken in Abbildung 8.30 in Form von Dreiecken gezeichnet. Der ausgleichende Drehimpulsstrom verändert seine Stärke quadratisch mit je einem Maximum über den vier Stützen. Nun verschieben wir die willkürlich eingeführten Gelenkte, bis sie zentriert über die beiden mittleren Stützen zu liegen kommen. Dass sich dabei die Drehimpulsströme ändern, wundert nicht. Schliesslich kann der Seite 168 von 221 Statik Drehimpuls dort, wo er vorher seine grösste Stromstärke erreicht hat, gar nicht mehr durchfliessen. Die Verschiebung der Gelenke zwingt aber auch die z-Impulsströme auf neue Pfade. Weil sich die Stärken der Quellen und Senken in jedem der drehmechanisch entkoppelten Balkenabschnitte ausgleichen müssen, fliesst ein ausgleichender Impulsstrom der Vertikalkomponente durch die beiden Gelenke. Wie die neue Lösung aussieht, kann sich jeder selber überlegen. Der z-Impulsstrom muss so fliessen, dass der QuellenSenken-Ausgleich in allen drei Teilen des Balkens erfüllt ist. Plattentragwerke aus Stahlbeton werden mittels erprobter Verfahren dimensioniert. Speziell die Bewehrung, die den Zug aufnehmenden Stahlstäbe, muss am richtigen Ort und in genügender Stärke eingebaut werden. Um all diese Regeln zu kennen und korrekt anzuwenden, muss man Bauingenieur studieren. Wir beschränken uns hier auf die qualitative Untersuchung eines ausgewählten Beispiels sowie auf die Herleitung einer Feldgleichung, also einer partiellen Differenzialgleichung für den Drehimpulsstrom. Abbildung 8.31 U-förmige Platte mit Last (gelb), Ersatzrahmen (gestrichelt), z-Impulsstrom (rot), x-Drehimpulsquellen (blau) und y-Drehimpulsquellen (grün). Abbildung 8.31 zeigt ein Platte mit einer örtlich beschränkten Last (gelb), die mit Stützen bei den vier Aussenecken gehalten wird (schwarze Rechtecke). Nun ersetzen wir die Platte durch einen Rahmen. Gemäss einer ersten Abschätzung fliesst der Vertikalimpuls aus der Platte in y-Richtung, was gemäss der Inhaltsverzeichnis zyklisch permutierten Formel (6.5) Quellen und Senken von x-Drehimpuls induziert. Weil sich die Stärken der Quellen und Senken zu null addieren müssen, beträgt die Stromstärke in y-Richtung nur ein Drittel des Werts der gegen diese Richtung fliessenden Werts. Dieses Verhältnis entspricht dem Hebelgesetz. Gemäss (6.5) induziert der in den parallel zur x-Achse ausgerichteten Balken Quellen- und Senken von y-Drehimpuls. Im Bereich der Last nimmt die Quellenstärke nach aussen betragsmässig zu. Betrachtet man die ausgleichendenden Drehimpulsströme, findet man Strecken, auf denen beide Ströme vor- oder rückwärts fliessen und folglich die Trägerbalken auf Torsion belasten. Dieses Beispiel, das den Einfluss der auf den schmalen Seiten angebrachten Balkens des Rahmens nicht berücksichtigt, lehrt uns ein paar Dinge. In einer horizontal ausgerichteten Platte treten Impulsströme der Vertikalkomponente sowie Drehimpulsströme der Horizontalkomponenten auf. Fliessen Impulsströme der Horizontalkomponenten, nennt man die Bauteile Scheiben. Der von den Lasten kommende und zu den Stützen fliessende Impulsstrom erzeugt Quellen und Senken der beiden zur Horizontalen gehörenden Drehimpulskomponenten. Die ausgleichenden Drehimpulsströme können in der Platte seitwärts fliessen und die Platte auf Biegung belasten. Fliessen sie in oder gegen ihre Bezugsrichtung, erzeugen sie Torsion. Analog zum Balken, den wir als mit einem Querschnitt behaftete Linie angesehen haben, modellieren wir die Platte als Ebene. In der Statik gilt für jede Impulskomponente die spezielle Kontinuitätsgleichung, wonach die Divergenz über die Stromdichte verschwinden muss. Nun erweitern wir die Stromdichten in der Ebene zu Stromstärken mit einem linienförmigen Querschnitt, indem wir die Stromdichten über die Plattendicke integrieren. Das funktioniert nur für die beiden Seite 169 von 221 Statik Horizontalkomponenten der Impulsstromdichte. Die Vertikalkomponente erscheint als flächige Quellen- oder Senkenstärke 𝜕𝑗 ∗ 𝜕𝑗 ∗ + = 𝜎∗ 𝜕𝑦 𝜕𝑥 (8.6.1) Der Stern soll darauf hinweisen, dass wir hier ein zweidimensionales Kontinuum betrachten, j steht für Stromdichte und  für Quellendichte. Für die beiden auf den Plattenquerschnitt hochgerechneten Ströme des Drehimpulses gelten zwei analoge Beziehungen, wobei die Impulsstromdichten als Quellen wirken 𝜕𝑗 ∗ 𝜕𝑗 ∗ + = −𝑗 ∗ 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑗 ∗ 𝜕𝑗 ∗ + = 𝑗∗ 𝜕𝑥 𝜕𝑦 (8.6.2) (8.6.3) Leitet man die zweite und die dritte Gleichung nach y respektive x ab und setzt das Ergebnis in die erste ein, folgt eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung in den variablen x und y. Diese Gleichung, die üblicherweise über Kräfte und Momente sowie das statische Gleichgewicht hergeleitet wird, findet man auch in der Literatur [6]. 8.10 Schnitt- und Impulsstrombild Das Schnittbild der technischen Mechanik und die Strombilder von Impuls und Drehimpuls ergänzen sich optimal. Manchmal hilft die eine Darstellung weiter, dann wieder die andere und oft beide zusammen. Entscheidend ist die Schnittstelle, welche gleichzeitig Kraft und Drehmoment definiert; eine Oberflächenkraft ist eine Impulsstromstärke bezüglich eines ausgewählten Körpers und ein reines Drehmoment ist eine Drehimpulsstromstärke bezüglich des ausgewählten Körpers. Das der Kraft zugeordnete Drehmoment beschreibt die Stärke des durch das Inhaltsverzeichnis Querfliessen von Impuls erzeugten Drehimpulsquellen. Die Gewichtskraft ist eine Scheinkraft, die auf die Masse im ganzen Volumen wirkt und deren Stärke vom Bezugssystem abhängt. Gemäss dieser Definition, die sich an der Relativitätstheorie orientiert, impliziert, hängen Gewichtskraft und Änderungsrate des Impulsinhalts vom Bewegungszustand des Bezugssystem ab. Abbildung 8.32 Tauziehen dargestellt in drei Schnittbildern (oben) und einem Impulsstrombild (unten). Der Zusammenhang zwischen Impulsstrom und Kraftbild soll hier am Beispiel des Seiloder Tauziehens repetiert werden. In der Mitte von Abbildung 8.30 ist der primäre Impulsstrom skizziert, der von der Erde über den einen Knaben, das Seil und den andern Knaben wieder zurück in die Erde fliesst. Der primäre Impulsstrom löst in den beiden Knaben weitere Impulsströme aus, die wir hier ausblenden. Schneidet man das belastete Seilstück und die beiden Knaben frei, erhält man sechs Impulsstromstärken, die als horizontal gerichtete Kraftpfeile dargestellt werden. Gleichfarbige Kräfte wirken auf je einen Körper und halten diesen im Gleichgewicht. Zweit angrenzende, verschiedenfarbige Pfeile bilden eine Wechselwirkungspaar im Sinne des dritten Newtonschen Gesetztes. Gewichts- und Normalkraft beschreiben die Quellenstärke der Gravitation sowie die Stromstärke des Vertikalimpulses und sind hier nicht dargestellt [V93]. Beschränkt sich die Problemstellung auf wenige starre Körper liefern meist die Kraftbilder die beste Information. Die Impulsstrom- Seite 170 von 221 Statik darstellung hilft indirekt beim Erstellen der Schnittbilder, indem sie den Begriff Kraft eindeutig definiert. Dazu schauen wir uns zuerst ein recht einfaches Beispiel an. Ein Klotz mit einer Masse von 80 kg soll mit einem Seil eine schiefe Ebene hochgezogen werden. Die Ebene ist um 25° geneigt. Als Gleitreibungszahl wird ein Wert von 0.7 angenommen. Das gespannte Seil bildet zur schiefen Ebene einen Winkel von 35° und schliesst deshalb mit der Horizontalen einen Winkel von 60° ein. Wie stark muss an dem Seil gezogen werden, um eine Bewegung bei konstanter Geschwindigkeit hervorzurufen? Abbildung 8.33 zeigt das Schnittbild sowie den Lösungsweg. Der Klotz ist im Gleichgewicht, weil er nicht beschleunigt wird. Im Unterschied zu den trivialen Beispielen ist hier die Normalkraft nicht gleich der Normalkomponente der Gewichtskraft [V94]. können auch mit Hilfe der Energie berechnet werden [V95]. Abbildung 8.34 Situationsplan, Schnittbilder, Grundgesetze, konstitutive Gesetze und kinematische Verknüpfungen für zwei Klötze mit Umlenkrolle. Abbildung 8.35 Skizze mit Aufgabenstellung, Schnittbild sowie Gleichgewichtsbedingungen (rot), Schnittbild eines Teilkörpers mit Gleichgewichtsbedingungen (blau). Abbildung 8.33 Schnittbild, Gleichgewichtsbedingungen, Gravitationsgesetz (G) und Reibgesetz (RG) für einen Klotz, der mit konstanter Geschwindigkeit eine schiefe Ebene hinaufgezogen wird. Im zweiten Beispiel sind drei Körper, ein Klotz auf der schiefen Ebene, eine Umlenkrolle sowie ein Gegengewicht beteiligt. Abbildung 8.34 zeigt die Anordnung, die Schnittbilder, die Grundgesetze, die Gravitationsgesetze, das Gleitreibungsgesetz sowie die kinematische Verknüpfung. Hier wird jedem Schnittbild ein (reduziertes) Koordinatensystem zugeordnet. Die drei Einzelbewegung sind kinematischen miteinander verknüpft. Die Endgeschwindigkeit wie auch die Beschleunigung bei Bewegungen mit nur einem Freiheitsgrad wie im vorliegenden Beispiel Inhaltsverzeichnis Das dritte Beispiel behandelt einen an einem Ende drehbar befestigen sowie am andern aufliegenden Doppelbügel mit zwei eingeprägten Kräften wie in Abbildung 8.35 gezeigt. In einem ersten Schritt wird der ganze Doppelbügel freigeschnitten. Danach werden bezüglich eines optimal gewählten Koordinatensystems die drei Gleichgewichtsbedingungen für ebene Probleme formuliert. Weil nur drei unbestimmte Kraftkomponenten auftreten, ist das Problem statisch bestimmt und damit lösbar. Die Horizontalkomponente der Kraft im Lager A ergibt sich aus der Gleichgewichtsforderung für die längs der x-Achse ausgerichteten Kräfte. Das Drehmomentgleichgewicht liefert den Wert für die Normalkraft. Mit dieser Information löst man die Gleichung für die vertikal Seite 171 von 221 Statik wirkenden Kräfte nach der Vertikalkomponente der Lagerkraft in A auf. Die Ergebnisse sind im Schnittbild in Abbildung 8.35 eingefügt worden. Im zweiten Schritt schneidet man nur einen Bügel frei und formuliert nochmals die drei Gleichgewichtsbedingungen. Die drei unbekannten Grössen ergeben sich als Lösung dieser Gleichungen [V96]. Kräfte auf die Griffe. Gesucht sind die beiden Kräfte auf den Bolzen. Abbildung 8.37 Aufgabenstellung zu den Kräften bei einer Presszange. Abbildung 8.36 Schnittbilder aus Abbildung 8.35 (links) sowie die beiden Impulsstrombilder zusammen mit den Drehimpulsquellen (rechts). In Abbildung 8.36 sind neben den beiden Schnittbilder von Abbildung 8.25 die zugehörigen Impulsstrombilder skizziert. Gemäss Formel (6.5) erzeugt der x-Impulsstrom nur Senken und der z-Impulsstrom nur Quellen des y-Drehimpulses. Die Quellen müssen pro Bügel gleich stark wie die Senken sein, weil die Lager keinen Drehimpuls durchlassen. Die Stärke des ausgleichenden Drehimpulsstromes entspricht dem Biegemoment. Wie dieses Beispiel zeigt, vermitteln die Strombilder eine tiefere Einsicht in die Belastung der Bauteile als die Schnittbilder. Zudem zeigen die Strombilder, ob die Kräfte korrekt gerechnet worden sind. Andernfalls können die Impulsströme nicht durchgezogen und die Quellen nicht ausgeglichen werden. Das letzte Beispiel behandelt die Kräfte bei einer Spezialzange. Gegeben sind die beiden Inhaltsverzeichnis Die ganze Anordnung wird in fünf Schnittbilder zerlegt. Drei Bilder liefern entsprechend dem Gleichgewicht für die beiden Kraftkomponenten und die Drehmomente je drei Gleichungen. Übersetzt man die Schnittbilder in die Strombilder, indem jede Kraftkomponente als Stärke eines Impulsstromes gelesen wird, erkennt man, wie der primären y-Impulsstrom weitere Impulsströme induziert. Für die Kopplung sorgt der z-Drehimpuls. Abbildung 8.38 Schnitt- und Impulsstrombilder zur Aufgabe nach Abbildung 8.37 Wie in Abbildung 8.36 könnte man hier auch noch die Drehimpulsquellen sowie die zugehörigen Ströme einzeichnen. Eine ausführliche Besprechung dieses Problems finden Sie in einem Video [V97]. Seite 172 von 221 Offene Systeme 9 Offene Systeme Luft, Wasser oder Hydrauliköl transportieren auf vier Arten Energie. Zwei davon passen ins allgemeine Schema, wonach das Produkt aus Potential und Trägerstrom den Energiestrom ergibt. Zudem führen diese Fluide kinetische Energie als auch innere Energie mit sich. In Wasserkraftwerken wird die Energie zuerst von der Masse auf das Volumen umgeladen, um danach als kinetische auf die Turbinenschaufeln zu treffen. Das Wasser einer Bodenheizung transportiert hauptsächlich innere Energie, die zusammen mit der Druckenergie zur Enthalpie zusammengefasst wird. Konvektive Ströme führen neben der Energie ein ganzes Bündel von mengenartigen Grössen wie Impuls, Masse, Stoffmenge oder Entropie mit sich. Der Impuls kann problemlos zwischen konvektiv und leitungsartigem Transport wechseln. So trifft der Impuls zusammen mit der kinetischen Energie auf das Windrad, wobei ein Teil der Energie auf den Drehimpuls und danach auf den elektrischen Strom umgeladen wird. Der zugehörige Impuls fliesst dagegen über Welle und Turm an die Erde. Entsprechend den Regeln aus der Statik wird die Welle durch den Impulsstrom auf Druck und der Turm auf Biegung beansprucht. Wie das gleiche Flügelrad einmal als Propeller und ein andermal als Windrad arbeiten kann, wird am Beispiel des Landseglers Blackbird erklärt. Rakete, Strahltriebwerk, Kerzenboot oder Peltonturbine lehren uns, die Impulsbilanz korrekt zu formulieren, ansonsten falsche Schlüsse gezogen werden. Die Stärke konvektiver Ströme schreibt man oft als spezifische Menge mal Massenstromstärke. Somit ist der konvektive Impulsstrom gleich Geschwindigkeit, auch spezifischer Impuls genannt, mal Massenstromstärke. Inhaltsverzeichnis Seite 173 von 221 Offene Systeme 9.1 Blackbird Am 2. Juli 2010 stellte ein Landsegler mit 2.8facher Windgeschwindigkeit den ersten zertifizierten Weltrekord für Fahrten vor dem Wind auf. Am 16. Juni 2012 folgte der zweite Weltrekord mit 2.1-facher Windgeschwindigkeit gegen den Wind. Im Unterschied zum bauähnlichen Strandsegler ist der Blackbird mit einem Rotor statt einem Segel ausgerüstet. Fährt dieser Landsegler vor dem Wind, treiben die Räder den Rotor als Propeller. Segelt er gegen den Wind, treibt der Rotor als Windturbine die Räder. Derek Muller, der auf seinem Youtube-Kanal Veritasium über Blackbird berichtet, schloss mit Physikprofessor Alexander Kusenko von der University of California eine Wette über 10.000 USD ab. Kusenko, der dieses Konzept grundsätzlich in Frage stellte, musste schlussendlich seine Niederlage eingestehen. Ein rotorgetriebener Landsegler, der fast dreimal schneller fährt wie der treibende Wind, widerspricht den Gesetzen der Physik nicht. Abbildung 9.1 Flüssigkeitsbild des Blackbirds vor dem Wind (links) und gegen den Wird (rechts). Mit einer einfachen Überlegung können wir zeigen, dass beide Weltrekorde die grundlegenden Gesetze der Physik nicht verletzen. Luftwiderstand und Reibung gegen den Boden ergeben zwei Impulsströme, welche immer Energie dissipieren. Wirken nur diese zwei Kräfte, kommt jedes Fahrzeug zum Stehen. Die beiden andern Impulsströme, deren Inhaltsverzeichnis Stärken als Windkraft und als Haftreibung bezeichnet werden können, liefern uns die notwendige Erklärung. Fährt der Blackbird gegen den Wind, arbeitet das Windrad als Propeller, der von den beiden Rädern angetrieben wird. Weil der durch den Propeller fliessende Impulsstrom weniger hoch gepumpt werden muss, als der durch die Räder fliessende hinunterfällt, kann der erste deutlich stärker werden als der zweite. Bei der Fahrt gegen den Wind sind die Höhendifferenzen vertauscht. Folglich müssen die Impulsströme anders herum fliessen. Der Propeller wird zum Windrad, welche die Räder antreiben. In Abbildung 9.1 sind die Impulsstromstärken mit Kraft beschriftet, obwohl eine Kraft nur die Stärke bezüglich des Systems Blackbird beschreibt und nicht für den ganzen Impulsstrom steht. Diese prinzipielle Überlegung, die auf der Formel (5.3) basiert, liefert kein abschliessendes Urteil zur Machbarkeit. In beiden Fällen muss der Energie liefernde Impulsstrom einen zweiten, stärkeren Strom antreiben sowie die beiden reibungsbedingten Impulsströme kompensieren. Dem Luftwiderstand sowie den Reibungsverlusten bei den Rädern sind keine unteren Grenzen gesetzt, beide Effekte lassen sich durch technische Massnahmen klein halten. Die Dissipation im Antriebsstrang zwischen Räder und Windrad, die in Abbildung 9.1 nicht berücksichtigt ist, kann ebenfalls sehr klein gehalten werden. Eine grosse Herausforderung stellt das Windrad dar. Dieses tauscht mit der bewegten Luft Impuls und Energie aus. Damit der Schwarze Vogel die geforderte Geschwindigkeit erreicht, muss die Prozessleistung des Windrads möglichst nahe beim Idealwert, also gleich Impulsstromstärke mal Geschwindigkeitsdifferenz, sein. Wie der praktische Versuch gezeigt hat, ist die Idee umsetzbar. Seite 174 von 221 Offene Systeme 9.2 Energietransport Eine Flüssigkeit kann auf mindestens vier Arten Energie transportieren. Zu den drei in Formel (2.5.2) aufgezählten Transportarten gesellt sich noch die innere Energie. Bleiben wir kurz bei den mechanischen Energieformen und erweitern den Satz von Bernoulli mit dem Reibungsterm gemäss (2.8) 𝐼 = 𝑝 + 𝜌𝑔ℎ + 𝜌(1 + 𝜁 ) 𝑣 𝐼 2 (9.1) Formel (9.1) gilt längs einer Strömung in einem unverzweigten Rohr. Der Index i markiert verschiedene Positionen längs dieser Strömung. Der Druckwiderstandsbeiwert , der anfänglich gleich null gesetzt wird, wächst von Querschnitt zu Querschnitt entsprechend der vorhandenen Reibung an. Werden die Reibungsverluste vernachlässigt, geht (9.1) in die Formel von Bernoulli über. Das Gesetz von Bernoulli erklärt ein paar Phänomene wie der hydrostatische Druck oder die Ausflussformel von Torricelli sowie die Wirkweise der Staudrucksonde oder der Venturi-Düse [V98]. Abbildung 9.2 Eine typische Lehrbuchaufgabe zum Gesetz von Bernoulli. Wie problematisch das Gesetz von Bernoulli schon bei einfachen Anwendungen ist, zeigt das Beispiel in Abbildung 9.2. Wendet man Formel (9.1) ohne die Verlustziffer für ausgewählte Punkte längs des Schlauchs an, lassen sich die gestellten Fragen problemlos beantworten [V99]. Vergleich man diese ideale Betrachtungsweise mit den Ergebnissen eines Inhaltsverzeichnis realen Experimentes, driften Theorie und Praxis weit auseinander. Die idealisierte Theorie nach Bernoulli sagt für eine bestimmte Anordnung eine Entleerungszeit von 20 Sekunden voraus. Der reale Vorgang dauert aber fünfmal länger, nämlich 100 Sekunden [V100]. Der Druckwiderstandsbeiwert, auch Verlustziffer genannt, beschreibt den Anteil der mechanischen Energie, der im Rohr in Wärme «umgewandelt» wird. In Wärme umwandeln bedeutet hier, dass durch Reibung Entropie erzeugt wird, wobei die hydraulisch freigesetzte Energie zusammen mit der Entropie als innere Energie des Fluids gespeichert wird. Nun formen wir den Energiestrom vom Volumen auf den Massenstrom um und erweitern den Ausdruck um die innere Energie. 𝐼 = 𝑝 𝑣 + 𝑔ℎ + 𝑐 +𝑤 2 𝐼 (9.2) Die letzten drei Energieterme in der Klammer von (9.2) heissen spezifisch, weil sie auf die Masse bezogen werden. Spezifische Grössen bezeichnet man Kleinbuchstaben. Diese Regel führt hier zu einem Konflikt, weil der Kehrwert der Dichte, der in (2.6) explizit auftaucht, ein spezifisches Volumen darstellt und konsequenterweise mit 𝑣 bezeichnet werden muss. Deshalb wird in der technischen Hydraulik der Strömungsgeschwindigkeit häufig das Formelzeichen c zugewiesen. In Formel (9.2) werden die Bezeichnungen aus diesem Zweig der Technik übernommen. Der erste und letzte Term in der Klammer von (9.2) können zur spezifischen Enthalpie zusammengefasst werden. Wie im Anhang erklärt, ist die Enthalpie als innere Energie plus Druck mal Volumen definiert. Folglich ist die spezifische Energie plus Druck mal spezifisches Volumen gleich der spezifischen Enthalpie. Konsequenterweise muss der spezifi- Seite 175 von 221 Offene Systeme schen Enthalpie das Formelzeichen h zugewiesen werden, was zu einem weiteren Formelzeichen-Konflikt führt. In Anlehnung an die Schreibweise der technischen Hydrodynamik verwenden wir hier für die Höhe die z-Koordinate, wobei die Achse nach oben zeigt 𝐼 = ℎ + 𝑔𝑧 + 𝑐 𝐼 2 (9.3) Verglichen mit der spezifischen Enthalpie sind die spezifische potentielle und kinetische Energie oft sehr klein und damit zu vernachlässigen. Übrig bleibt dann nur noch die Aussage, wonach der Energiestrom gleich spezifische Enthalpie mal Stärke des Massenstromes ist. Strömt Gas aus einem Gebiet mit hohem Druck in ein zweites, dessen Druck deutlich tiefer ist, liegt der reale Vorgang zwischen zwei Grenzprozessen. Der eine ist isentrop, der andere isenthalp. Der isentrope Prozess wird mit einer idealen Turbine, der isenthalpe mit einer Blende realisiert. Im ersten Fall bleibt die Entropie konstant und die freigesetzte Energie wird abgeführt. Im zweiten Fall bleibt der Energiestrom gleich stark und es wird so viel Entropie wie möglich erzeugt. Verhält sich das Gas ideal, können wir die Temperatur nach der Turbine berechnen. Dazu ersetzen wir das Volumen in der Formel (3.17.2) mit Hilfe der universellen Gasgleichung (3.12) durch den Druck, womit wir das Temperaturverhältnis bekommen 𝑝 𝑇 = 𝑝 𝑇 𝜅= 𝑐̂ 𝑐̂ (9.4) Die isenthalpe Prozessführung, die mit einer Drossel realisiert wird, lässt die spezifischen Enthalpie konstant, womit sich bei einem idealen Gas auch die Temperatur nicht ändert. Inhaltsverzeichnis Die pro Kilogramm Gas erzeugte Entropie kann mit Formel (3.16) berechnet werden Δ𝑠 = 𝑛𝑅 𝑝 𝑙𝑛 𝑚 𝑝 = 𝑅 𝑙𝑛 𝑝 𝑝 (9.5) Die Grösse Rs heisst spezifische Gaskonstante und ist gleich der universellen Gaskonstanten R geteilt durch die molare Masse. Strömt wie bei einer Wärmepumpe eine Flüssigkeit über die Drossel, bleibt die spezifische Enthalpie bis auf die ausgetauschte Wärme, die wir hier nicht berücksichtigen, konstant. Weil ein Teil der Flüssigkeit verdampft, was viel Verdampfungsenthalpie erfordert, sinkt die Temperatur des Dampf-Flüssigkeitsgemisches im Unterschied zum idealen Gas ab. Abbildung 3.22 zeigt die isenthalpe Expansion (3) eines Kältemittels in einem idealen Kreisprozess. Temperaturänderung und Entropieproduktion können mit Hilfe von Tabellenwerten ermittelt werden. 9.3 Impulstransport Impuls wird konvektiv und leitungsartig transportiert. Impuls-Transporte, die mit strömenden Flüssigkeiten oder Gasen erfolgen, nennen wir konvektiv. Fliesst der Impuls durch die Materie hindurch, sprechen wir von leitungsartigen Impulsströmen. Weil sich der Impuls wie ein Vektor transformiert, ist die zugehörige Stromstärke ebenfalls eine vektorielle Grösse. Die leitungsartige Impulsstromdichte, die auch Spannungstensor heisst, haben wir im Kapitel Statik kennen gelernt. Die konvektive Stromdichte ist gleich der Impulsdichte multipliziert mit der Volumenstromdichte, also der Strömungsgeschwindigkeit. Mit der Impulsdichte als Massendichte mal Strömungsgeschwindigkeit erhalten wir für die konvektive Impulsstromdichte die Massendichte multipliziert mit dem Tensorprodukt der Strömungsgeschwindigkeit Seite 176 von 221 Offene Systeme ⃡ 𝚥 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 =𝜌 𝑣𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣𝑣 (9.6) Der Ausdruck (9.6) für die konvektive Impulsstromdichte kann auch als Geschwindigkeit mal Massenstromdichte gelesen werden, wobei die Strömungsgeschwindigkeit diesmal als spezifischer Impuls zu betrachten ist. Integrieren wir die Massenstromdichte analog zu Formel (1.10) über eine Referenzfläche, gewinnen wir die Massenstromstärke. Die Stärke des konvektiven Impulsstromes ist deshalb Strömungsgeschwindigkeit mal Massenstromstärke 𝐼⃗ = 𝑣⃗𝐼 (9.7) Der Geschwindigkeitsvektor v in (9.7) entspricht dem über die Referenzfläche gemittelten Wert. Die Venturi-Düse, auch Venturi-Rohr genannt, wurde von Giovanni Battista Venturi entwickelt, um die Stärke des Volumenstromes in einem Rohr zu bestimmen. Dazu wird das Rohr sanft verengt und danach wieder auf den ursprünglichen Querschnitt erweitert. Gemessen wird die Druckdifferenz zwischen der weiten und der engen Stelle. Abbildung 9.3 Venturi-Rohr mit den Stromstärken von Volumen, Energie und Impuls, die idealerweise längs der Strömung konstant sind. Setzt man vereinfachend voraus, dass das Fluid inkompressibel ist und dass keine Reibung auftritt, können zwei Terme der Formel von Bernoulli (2.5.1), der Druck und die Inhaltsverzeichnis Dichte der kinetischen Energie, für den grossen und den kleinen Querschnitt formuliert und miteinander verglichen werden. Dank der Erhaltung des Volumens darf die Strömungsgeschwindigkeit an der engsten Stelle durch den Wert im nichtverengten Rohr ersetzt werden. Daraus gewinnt man einen Ausdruck, welche die gemessene Druckdifferenz in die Strömungsgeschwindigkeit umrechnet. Eine Multiplikation mit dem Querschnitt liefert den gesuchten Volumenstrom. Einen interessanten Aspekt, der selten beachtet wird, liefert die Impulserhaltung längs der Strömung. Der leitungsartige Impulsstrom der x-Komponente ist an der engsten Stelle deutlich schwächer als im nichtverjüngten Rohrstück, weil dort sowohl der Druck als auch der Querschnitt kleiner sind. Diese Abnahme vermag der konvektive Impulsstrom, der an der engsten Stelle etwas stärker als im normalen Rohrstück ist, nicht zu kompensieren. Folglich fliesst ein Teil dieses Impulses im engen Teil des Venturi-Rohres durch die Rohrwand, staucht diese zusammen und geht danach wieder an die strömende Flüssigkeit über. Die Reibung, die bei einer realen Strömung immer auftritt, kann im Punkt drei abgeschätzt werden, indem man diesen Druck mit dem von Punkt 1 vergleicht [V101]. Ein aus einem Gefäss austretende Freistrahl ist je nach Beschaffenheit des Lochs mehr oder weniger kontrahiert. Bei scharfen Kanten und dünner Blechwand misst der Querschnitt des Strahls nur etwa 60% der freien Austrittsfläche. Wieso es zu dieser Kontraktion kommt, kann mit der Energie- und der Impulserhaltung gut begründet werden. Die Energieerhaltung in Form des Gesetzes von Bernoulli liefert die Geschwindigkeit der ausströmenden Flüssigkeit. Die Wirkung des Impulses erkennt man am besten, wenn man von der Hydrostatik ausgeht. In der ruhenden Seite 177 von 221 Offene Systeme Flüssigkeit ist jedes ausgewählte Flüssigkeitsvolumen im Gleichgewicht. Mit dem Loch fällt ein Teil der Druckkraft weg. Die fehlende Druckkraft, die einer leitungsartigen Impulsstromstärke entspricht, ist gleich Druck mal Querschnitt des Loches. Die Stärke des konvektiven Impulsstromes, welche weggefallene Druckkraft ersetzen muss, ist gemäss (9.7) gleich Geschwindigkeit des ausfliessenden Fluids mal Massenstromstärke oder gleich Dichte mal Quadrat der Geschwindigkeit mal Querschnitt des Freistrahls. Darstellung liefert zum Beispiel die Kraft auf ein gekrümmtes Rohrstück. Dazu zeichnet man alle möglichen Kräfte in ein Schnittbild ein. Die konvektiven Impulsströme dürfen ebenfalls als Kraftpfeile eingetragen werden, wobei die Stärke entsprechend der Formel (9.7) zu berechnen ist. Der Geschwindigkeitsvektor gibt die Richtung vor und die Massenstromstärke das Vorzeichen. Tritt das Fluid in das freigeschnittene Rohrstück ein, zeigt der Vektor der konvektiven Impulsstromstärke in die gleiche Richtung wie die Druckkraft. Beim Austritt zeigt dieser Vektor ebenfalls in das Rohr hinein und damit gegen den Vektor der Strömungsgeschwindigkeit, weil die Massenstromstärke negativ ist. Solange die Reibung vernachlässigt wird, können wir aufgrund des erweiterten Schnittbildes nicht entscheiden, auf welche Seite das Fluid fliesst. Abbildung 9.4 Ermittlung der Strahlkontraktion mit Hilfe der Energie (Bernoulli) und des Impulses. Ersetzen wir den Druck mit Hilfe des Satzes von Bernoulli durch die Dichte der kinetischen Energie, können wir die wegfallende Druckkraft mit der Stromstärke des konvektiven Impulsstromes gleichsetzen. Gemäss dieser idealisierten Betrachtung darf der Strahlquerschnitt nur halb so gross sein wie der Lochquerschnitt. Sind die Kanten des Lochs gerundet oder bildet der Ausfluss einen Trichter, ist die Kontraktion weniger ausgeprägt, weil die wegströmende Flüssigkeit Impuls mit der Gefässwand austauschen kann. Reibungsbedingt tritt die Flüssigkeit etwas langsamer aus als bei einem scharfkantigen Loch. Beide Effekte, die Strahlkontraktion sowie die Geschwindigkeitsminderung durch Reibung, werden gemeinsam mit der Ausflussziffer beschrieben [V102]. Eine Kraft ist eine Impulsstromstärke bezüglich eines ausgewählten Körpers. Umgekehrt kann eine konvektive Impulsstromstärke auch als Kraftpfeil dargestellt werden. Diese Inhaltsverzeichnis Abbildung 9.5 Kräfte und Stärke des konvektiven Impulsstromes auf ein ausgewähltes Rohrstück. Abbildung 9.5 zeigt ein ausgewähltes Stück Rohr mit den beiden Druckkräften, den konvektiven Impulsströmen und der Kraft, mit der das frei bewegliche Rohr festgehalten werden muss. Die Summe dieser Kräfte wie auch die Summe ihrer Drehmomente bezüglich eines frei gewählten Punktes müssen sich zu null addieren. Durch die Verjüngung ist der Druck in Punkt zwei kleiner als in Punkt eins, der konvektive Impulsstrom dafür etwas stärker. Solange wir die Reibung vernachlässigen, hängen die skizzierten Impulsstromstärken nicht von der Strömungsrichtung ab. Seite 178 von 221 Offene Systeme Als Anwendung betrachten wir ein Hochdruckpistolenstrahlrohr, wie es von der Feuerwehr bei einem Schnellangriff verwendet wird. Das Strahlrohr lenke das Wasser rechtwinklig um, im Zuleitungsrohr mit 40 mm Innendurchmesser herrsche ein Druck von 40 bar und der Vollstrahl habe einen Durchmesser von 10 mm. Der y-Impuls, der konvektiv vorwärts transportiert wird, fliesst im Schlauch zurück, wodurch dieser auf Zug belastet wird. Der in x-Richtung konvektiv mit dem Strahl wegfliessende Impulsstrom muss von der das Strahlrohr haltenden Person zugeführt werden. Diese Kraft kann ziemlich stark werden, weshalb meistens eine zweite Person Unterstützung leistet [V103]. Zur Erklärung nehmen wir vereinfachend ein rechteckförmiges Umleitungsrohr, das normal zu seiner Ebene harmonisch schwingt. Nun betrachten wir nur die auf und ab schwingende Bügelbasis, die parallel zum Rest der Rohrleitung ausgerichtet ist. Der infolge des Druckes und der Bewegung vorwärts transportierte Impuls der x-Komponente fliesst über die Rohrwand zurück. Infolge der Schwingung ist der Massenstrom zusätzlich mit Impuls der z-Komponente beladen. Die zugehörigen Impulsstromstärken beim Ein- und Austritt der Flüssigkeit schwingen im Gegentakt, womit ein oszillierendes Drehmoment auf den Bügel einwirkt. Dadurch wird die Schwingung des Bügels mit einer zusätzlichen Drehschwingung überlagert. Bei geeigneter Anregungsfrequenz geraten diese Schwingung in Resonanz und lassen sich gut messen. Alle realen Abweichungen von diesem idealisierten Modell können mittels eines Kalibrierungsfaktors korrigiert werden. Abbildung 9.6 Berechnung der Festhaltekraft und der minimalen Pumpleistung bei einem Pistolenstrahlrohr. Ein Coriolis-Massendurchfluss-Messgerät ermittelt die Stärke des Massenstromes statt wie üblich des Volumenstromes. Diese Methode ist für gewisse Anwendungen vorteilhaft, speziell wenn die Dichte einer Flüssigkeit unbekannt ist. Gemessen wird die Wirkung eines strömungsbedingten Drehmoments auf ein schwingendes, bügelförmiges Rohrstück. Abbildung 9.7 Messung des Massenstromes mit einem schwingenden Rohrbügel. Inhaltsverzeichnis Abbildung 9.8 Bügel mit zwischen den Schenkeln hin und her fliessendem Wasserstrahl sowie den dadurch hervorgerufenen leitungsartigen Impulsstrom der x-Komponente (rot). In Abbildung 8.23 sind bei einem Bügel unter Zug der primäre Impulsstrom, der Drehimpulsstrom und die dadurch induzierten sekundären Impulsströme dargestellt. Weil namhafte Physiker an der Existenz der leitungsartigen Impulsströme zweifeln [7], ersetzen wir die Zugkräfte durch einen Hochdruckwasserstrahl, der von einer auf einem Schenkel des Bügels montierten Düse abgegeben und beim zweiten Schenkel um 180° umgelenkt wird, danach zum ersten Schenkel Seite 179 von 221 Offene Systeme zurückströmt und dort seitwärts wegspritzt. Netto fliesst ein Impulsstrom vom linken zum rechten Schenkel, weil der Impuls konvektiv nur vorwärts transportiert werden kann. Die Impulsstromstärke ist folglich doppelt so gross wie die des einzelnen Strahls. Wir erhalten diesen Wert auch rein formal, wenn wir die Impulsstromstärke bezüglich der Referenzfläche A in Abbildung 9.8 formulieren. Der Impuls fliesst konvektiv vorwärts, also vom linken zum rechten Schenkel des Bügels. Dort kann er nicht gespeichert werden. Folglich fliesst er über den Bügel leitungsartig zurück und tritt danach wieder in die beiden Wasserstrahlen ein. 9.4 Impulsbilanz Die Impulsbilanz offener Systeme setzt die konvektiven und die leitungsartigen Impulsstrom- sowie die Impulsquellenstärke der Impulsänderungsrate des Inhalts gleich 𝐹⃗ + 𝐹⃗ + 𝐼⃗ = 𝑝⃗̇ (9.8) Der Impulsinhalt ist gleich Masse mal Geschwindigkeit des Massenmittelpunkts. Die Stärken der konvektiven Impulsströme sind gemäss Formel (9.7) gleich Geschwindigkeit des Fluids mal Massenstromstärke. Folglich muss auch noch eine Massenbilanz formuliert werden 𝐼 = 𝑚̇ (9.9) Impulsbilanz, Massenbilanz sowie die weiteren Beziehungen wie Berechnung der konvektiven Impulsstromstärke oder der Zusammenhang zwischen den Änderungsraten von Impuls und Geschwindigkeit erfordern eine systematische Vorgehensweise. Dies wollen wir mit dem Hydromobil einüben. Das Hydromobil bewegt sich längs einer Geraden, kann oben Flüssigkeit aufnehmen und diese Inhaltsverzeichnis nach unten abgeben. Zudem kann es die Flüssigkeit mit einer wählbaren Geschwindigkeit horizontal in oder gegen die Bewegungsrichtung abgeben. Abbildung 9.9 Hydromobil mit Bilanzgleichungen sowie weiteren Gesetzen. Auf das Hydromobil wirken eine Gewichtskraft, eine resultierende Normalkraft sowie die zugehörige Reibkraft. Anfänglich bewege sich das Fahrzeug in positive Richtung. Seine Masse verändert sich in der Zeit entsprechend den Massenströmen. Abbildung 9.10 Flüssigkeit fällt von oben ins Hydromobil hinein. Unten fliesst ein Flüssigkeitsstrom weg. Im ersten Beispiel fällt von oben Flüssigkeit ins Hydromobil hinein und gleichzeitig gibt das Fahrzeug diese nach unten ab. Das Fluid fällt relativ zum Bezugssystem vertikal hinein und geht relativ zum Hydromobil vertikal weg. Von aussen betrachtet fällt die Flüssigkeit nach unten rechts aus dem Fahrzeug. Weil die wegfliessende Flüssigkeit relativ zum Bezugssystem eine horizontale Geschwindigkeit aufweist, muss die zugehörige Impulsstromstärke in der x-Impulsbilanz aufgeführt werden. Wäre keine Reibung vorhanden und beide Massenströme gleich stark, würde das Fahrzeug trotzdem langsamer. Diese aus der x-Impulsbilanz zu gewinnende Erkenntnis ist einfach zu verstehen: das oben zufliessende Wasser wird im Fahrzeug mit Horizontalimpuls beladen, bevor es nach Seite 180 von 221 Offene Systeme unten wegströmt. Der notwendige Impuls wird vom Hydromobil geliefert, weshalb dieses langsamer wird. Die z-Impulsbilanz zeigt, dass die Normalkraft nicht nur von der Gewichtskraft, sondern auch von den Stärken der beiden konvektiven Impulsströmen abhängt. Damit wirken die Impulsströme der Vertikalkomponenten über das Reibungsgesetz auf die horizontale Bewegung ein. Das Beladen eines fahrenden Güterzuges mit Schüttgut liefert eine mögliche Anwendung für dieses Beispiel [V104]. Abbildung 9.11 Aus dem Hydromobil gibt Flüssigkeit nach vorn und nach hinten ab. Im zweiten Beispiel spritzt das Hydromobil Flüssigkeit horizontal in und gegen die Fahrtrichtung. Der spezifische Impuls oder das Impulsbeladungsmass des Massenstromes ist die Strömungsgeschwindigkeit gegenüber dem Bezugssystem und nicht etwa relativ zum Hydromobil. Den Spezialfall mit nur nach hinten wegströmender Flüssigkeit werden unter dem Titel Rakete etwas eingehender untersuchen. In der allgemeinen Formulierung einer Bilanz addiert man die Strom- und Quellenstärken zur Änderungsrate des Inhalts. Wegfliessende Ströme werden mit negativen Werten in die Bilanzgleichung eingesetzt. Zur Lösung von konkreten Aufgaben zeichnen wir die gegebenen und die unbestimmten Kräfte sowie die Massenströme mit Pfeilen in das erweiterte Schnittbild hinein. Wir orientieren uns dann an diesen Pfeilen, um die Bilanzen zu formulieren. Zeigt ein Pfeil einer bekannten oder unbestimmten Kraft in negative Koordinatenrichtung, wird das Minuszeichen expli- Inhaltsverzeichnis zit vor das Formelzeichen gesetzt. Desgleichen bei den Massen- und konvektiven Impulsströmen, wo der aus dem System wegweisende Bezugspfeil zu einem Minuszeichen in der Bilanz führt. 9.5 Strahltriebwerk Mantelstrahltriebwerke, englisch Turbofan, sind das vorherrschenden Triebwerke bei Verkehrsflugzeugen. Die erste Schaufelblattstufe, die in den letzten Jahrzehnten immer grösser geworden ist, befördert grosse Mengen Luft nach hinten. Hinter diesem Gebläse, englisch Fan, teilt sich der Luftstrom in einen Kernstrom auf, der in die eigentliche Gasturbine gelangt, und einen Mantelstrom, der aussen vorbeigeführt wird. Das Verhältnis zwischen den beiden Luftströmen nennt man Nebenstromverhältnis, englisch bypass ratio. Im Laufe der Jahre konnte dieses Verhältnis von 1:1 auf 12:1 vergrössert werden. Doch wieso baut man mit grossem Aufwand derart riesige Töpfe? Abbildung 9.12 Strahltriebwerk mit gemittelter Impulsbilanz und minimaler Leistungsbedarf des Luftstromes. Zur Analyse gehen wir von einem EinstrahlTriebwerk aus, ohne uns um die konstruktiven Details zu kümmern. Wir betrachten den Reiseflug und analysieren im mitbewegten Bezugssystem. Die Luft treffe mit der Reisegeschwindigkeit von 250 m/s auf den Fan auf und verlässt das Triebwerk mit deutlich höherer Geschwindigkeit. Der austretende Massenstrom ist um den Anteil des Brennstoffes stärker als der eintretende. Weil sich dieser Anteil im Promillebereich bewegt, dürfen wir ihn vernachlässigen. Die resultierende Druckkraft auf das Triebwerk lassen wir Seite 181 von 221 Offene Systeme ebenfalls weg. Die Impulsbilanz liefert uns die Grösse der Schubkraft, die bezogen auf das Triebwerk nach hinten weist 𝐹 = (𝑣 − 𝑣 )𝐼 (9.10) Die Schubkraft ist gleich Geschwindigkeitszunahme der Strömung mal die Stärke des durchfliessenden Massenstromes. Diese Formel ist einfach zu verstehen, sobald man die Strömungsgeschwindigkeit als spezifischen Impuls interpretiert. Die für den stabilen Reiseflug notwenige Schubkraft ist gleich dem Zuwachs der Strömungsgeschwindigkeit mal die Massenstromstärke. Dieser Wert kann mit einer starken Zunahme der Geschwindigkeit und einem entsprechend kleinen Massenstrom erreicht werden. Alternativ kann man möglichst viel Luft mit einem entsprechend geringeren Zuwachs an Geschwindigkeit durchschaufeln. Betrachten wir nun noch die minimale Leistung, die vom Triebwerk auf den Luftstrom übertragen werden muss. Diese ist gleich Massenstromstärke mal Differenz der Dichte der kinetischen Energie 𝑃= 𝜌 𝑣 +𝑣 (𝑣 − 𝑣 )𝐼 = 𝐹 2 2 (9.11) Die zweite Formulierung in (9.11), die mit (9.10) gewonnen wird, zeigt uns, dass die Geschwindigkeitsdifferenz zwischen aus- und eintretender Luft aus energetischen Gründen möglichst klein sein soll. Der dazu erforderliche Massenstrom erklärt die Entwicklung zu immer grösseren Bypass-Verhältnissen. Interessant ist noch der Vergleich von Flug- und Fahrzeugen. Weil Autos und Züge den Impuls direkt aus der riesigen Erde beziehen können, ist die Antriebsleistung pro Kraft immer kleiner als bei Flugzeugen. Dieser Zusammenhang lässt sich im Flüssigkeitsbild recht anschaulich darstellen. Inhaltsverzeichnis Abbildung 9.13 Geschwindigkeit, Temperatur und Druck in einem Mantelstromtriebwerk. Die Thermodynamik der Gasturbine wird mit dem Joule-Zyklus ideal nachgebildet. Im Unterschied zum Gaskraftwerk wird der Druck teilweise durch das Abbremsen des auftreffenden Luftstromes aufgebaut. Obwohl das Gesetz von Bernoulli infolge der starken Kompression nicht mehr anwendbar ist, liefert die Dichte der kinetischen Energie eine brauchbare Abschätzung für den Druckaufbau. Dichte der Luft und Geschwindigkeit sind für die Reisflughöhe einzusetzen. Eine entsprechende Überlegung gilt auch für die isentropen Entspannung. Die mechanische Energie wird nicht vollständig an die Turbine abgeführt, weil ein gewisser Teil in die kinetische Energie der Abströmung übergeht. Formel (3.22) liefert eine ober Schranke für den Wirkungsgrad. Der dieser Formel zugrunde liegende Kompromiss zwischen maximalem Wirkungsgrad und grösstmöglichen Energieumsatz ist für ein Triebwerk noch wichtiger als für ein Gaskraftwerk, weil das Triebwerk so leicht wie machbar gebaut werden muss. Seite 182 von 221 Offene Systeme 9.6 Rakete Die Impulsbilanz für eine von der Erdoberfläche startende Rakete umfasst den Luftwiderstand, die Gravitations-, die Zentrifugal- und Corioliskraft sowie die Schubkraft der Triebwerke von Rakete und Booster 𝐹⃗ + 𝐹⃗ + 𝐹⃗ + 𝐹⃗ + (𝑣⃗ + 𝑐⃗ )𝐼 = 𝑚̇𝑣⃗ + 𝑚𝑣⃗̇ = 𝑝⃗̇ (9.12) Die Relativgeschwindigkeit der austretenden Gase c ist nicht unbedingt parallel zu Geschwindigkeit der Rakete v ausgerichtet, der Luftwiderstand FW dagegen schon. Zusätzlich muss noch Massenbilanz gemäss (9.9) formuliert werden. Vereinfachend betrachten wir eine lotrecht startende Rakete und vernachlässigen die von der Erdrotation herrührenden Trägheitskräfte. Die Rakete besitze nur ein einziges Triebwerk. Die positive Richtung weise nach oben. Impuls- (9.12) und Massebilanz (9.9) vereinfachen sich so auf −𝐹 − 𝐹 − (𝑣 − 𝑐)𝐼 = 𝑚𝑣 ̇ − 𝑚𝑣̇ −𝐼 = 𝑚̇ (9.13) (9.14) In (9.13) und (9.14) ist die Massenstromstärke Im grösser null gesetzt worden, wobei das explizit ausgewiesene Minuszeichen darauf hinweist, dass der Gasstrom austritt. Ersetzt man die Massenstromstärke in (9.13) mit Hilfe der Massenbilanz (9.14) durch die Massenänderungsrate, erhält man eine deutlich kompaktere Formulierung −𝐹 − 𝐹 − 𝑐𝑚̇ = 𝑚𝑣̇ (9.15) Schreibt man für den letzten Term auf der linken Seite von (9.15) Schubkraft, gewinnt man mit Summe über alle Kräfte gleich Masse mal Inhaltsverzeichnis Beschleunigung das für Massenpunkte übliche Grundgesetz. Diese Interpretation ist aus zwei Gründen problematisch. Erstens entspricht Masse mal Beschleunigung nicht der Änderungsrate des Impulses. Zweitens beschreibt die Schubkraft nicht die Stärke des konvektiven Impulsstromes bezüglich der Rakete. Die weit verbreitete Bezeichnung der Ausströmungsgeschwindigkeit als spezifischen Impuls ist nichtzutreffend, denn der spezifische Impuls des Gasstrahles ist gleich (v-c). Entsprechend häufig findet man im deutschen Sprachraum «Herleitungen» für die Raketengleichung, bei denen sich zwei Fehler zur korrekten Formel kompensieren [V106, V107]. Solche «Abkürzungen» sind sehr problematisch und auch nicht zielführend, wenn man sich später mit der Modellierung der Starts von Trägerraketen beschäftigen will [V108]. Im Unterschied zum Strahltriebwerk führt der Massenstrom direkt zu einem Masseverlust. Um die mögliche Endgeschwindigkeit der Rakete zu berechnen, vernachlässigen wir den Luftwiderstand in (9.15). Den Rest dividieren wir durch die Masse −𝑔 − 𝑐 𝑚̇ = 𝑣̇ 𝑚 (9.15.1) Eine Integration über die Brenndauer liefert die Raketengleichung für eine Stufe ∆𝑣 = 𝑐 ∙ 𝑙𝑛 𝑚 𝑚 − 𝑔∆𝑡 (9.16) Nach dem Start sollte die Rakete schnell aufsteigen, damit der Geschwindigkeitsverlust infolge der Fallbewegung, ausgedrückt durch den letzten Term von (9.16), möglichst klein ist. Das Verhältnis der Startmasse zur Masse der leeren Rakete kann nicht beliebig gross werden und liegt bei etwa 5. Die Ausströmungsgeschwindigkeit c ist thermodyna- Seite 183 von 221 Offene Systeme misch limitiert und hängt von den verwendeten Treibstoffen ab. wir die Strömung idealisiert als isentrop annehmen, können wir das Temperaturverhältnis mit (9.4) durch ein Druckverhältnis ersetzen 𝑐 =𝑐 𝑇 2 Abbildung 9.14 Laval-Düse mit Temperatur-, Druck- und Geschwindigkeits-Verlauf sowie Basisgesetze. 𝑝 𝑝 1− (9.18) Die rechte Seite von (9.18) lässt sich noch etwas homogenisieren, indem wir die spezifische Wärmekapazität über die Definition des Isentropen-Exponenten  ersetzen 𝜅= 𝜅 𝑐 𝑐 = ⇒𝑐 =𝑅 𝜅−1 𝑐 −𝑅 𝑐 (9.19) Das Triebwerk einer Flüssigkeitsrakete besteht aus einer Brennkammer, einer Düse, einer Pumpvorrichtung für die Treibstoffe sowie weitere, für den Betrieb notwendige Bauteile. In der Brennkammer wird der in grossen Mengen eingespritzte Brennstoff mit der richtigen Menge Oxidator vermischt und verbrannt. Die dabei gebildeten Abgase stehen unter hohem Druck p0 bei hoher Temperatur T0. Diese Gase strömen danach durch eine glockenförmige Laval-Düse nach hinten weg. Weil der Energieaustausch während der kurzen Ausströmungsphase vernachlässigt werden kann, dürfen wir die Energietransportgleichung (9.3) auf den Gasstrom anwenden. Die Summe aus spezifischer Enthalpie und spezifischer kinetischer Energie ist längs des Gasstromes konstant. Die spezifische Enthalpie der Gase ist gleich Wärmekapazität mal Temperatur relativ zu einem Bezugswert. Damit hängt die Geschwindigkeit direkt mit der Änderung der Enthalpie zusammen Lassen wir den Gasdruck in (9.21) auf null absinken, erhalten wir einen rein theoretischen Grenzwert für die maximale Ausströmungsgeschwindigkeit, mit dem (9.21) kompakter gefasst werden kann 𝑐 = 𝑐 (𝑇 − 𝑇) 2 𝑐 = 𝑐 (9.17) Formel (9.17) gilt für einen beliebigen Punkt längs des Gasstromes innerhalb der Düse. Die Strömungsgeschwindigkeit wird hier mit c und die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck mit cp bezeichnet. Indem Inhaltsverzeichnis und danach das spezifische Gasgesetz anwenden 𝑅 𝑇 =𝑝 𝑣 = 𝑝 𝜌 (9.20) 1− 𝑝 𝑝 Rs steht für die spezifische Gaskonstante und v0 für das spezifische Volumen, welches dem Kehrwert der Dichte 0 entspricht. Aufgelöst nach der Strömungsgeschwindigkeit erhalten wir 2𝜅 𝑝 𝜅 − 1𝜌 𝑐= 𝑐 = 1− 𝑝 𝑝 (9.21) (9.21) 2𝜅 𝑝 𝜅 − 1𝜌 Seite 184 von 221 Offene Systeme Längs des Gasstromes bleibt neben Energie und Entropie auch die Masse erhalten. Dies liefert uns eine entscheidende Information zur Gestalt des Düsenquerschnitt. In einem ersten Schritt dividieren wir die Massenstromstärke durch die Dichte in der Brennkammer und durch maximale Ausströmungsgeschwindigkeit 𝜌 𝑐 𝐼 = 𝐴 = konst 𝜌 𝑐 𝜌 𝑐 (9.22) Nun ersetzen wir zuerst das Dichteverhältnis durch das Druckverhältnis bei isentroper Expansion. Danach drücken wir dieses mit Hilfe von (9.21) durch das Geschwindigkeitsverhältnis aus 𝑐 𝐼 =𝐴 𝑐 𝜌 𝑐 1− 𝑐 𝑐 (9.23) Aufgelöst nach dem Querschnitt A erhalten wir 𝐴 = 𝐴 1 𝑥(1 − 𝑥 ) 𝐼 𝜌 𝑐 𝑐 𝑥= 𝑐 𝐴 = (9.24) Der Querschnitt in Abhängigkeit der Strömungsgeschwindigkeit nimmt zuerst ab und danach wieder zu. (9.24) hat ein Minimum bei 𝑥 = √((𝜅 − 1)/(𝜅 + 1)). Setzen wir für 𝑥 das Strömungsverhältnis von (9.24) und für 𝑐 die Definition von (9.21) ein, erhalten wir als Strömungsgeschwindigkeit die Schallgeschwindigkeit 𝑐 = 𝜅 𝑝 = 𝜅 + 1𝜌 𝜅 𝑅𝑇 𝜅+1 (9.25) Die zweite Umformung in (9.25) basiert auf dem spezifischen Gasgesetz (9.20). Setzen wir dieses 𝑐 gleich dem Wert, den wir mit Inhaltsverzeichnis (9.17) berechnen, folgt für die dort herrschende Temperatur 𝑇 = 2 𝑇 𝜅+1 (9.26) Nach 𝑇 aufgelöst und in (9.25) eingesetzt, liefert uns die Formel für die Schallgeschwindigkeit 𝑐 = 𝜅𝑅 𝑇 = 𝑐 (9.27) Zweiatomigen Molekülen besitzen fünf Freiheitsgrade, weshalb der Isentropen-Exponent den Wert 7/5 annimmt. Das Minimum von (9.24) liefert uns für die Schallgeschwindigkeit einen Wert von 41% der theoretischen Maximalgeschwindigkeit 𝑐 . Weil die tatsächliche Austrittsgeschwindigkeit kleiner als dieser Maximalwert sein muss, kann sie nur etwa doppelt so gross wie die lokale Schallgeschwindigkeit sein. Diese ist aber viel grösser als unter den uns vertrauten Bedingungen, weil das Gas dort gemäss (9.25) eine sehr hohe Temperatur aufweist, die nur 17 % kleiner als in der Brennkammer ist. Die theoretische Maximalgeschwindigkeit könnte gemäss (9.21) nur erreicht werden, wenn der Druck im austretenden Gas beliebig klein wäre. Dazu müsste sich das Gas beliebig weit ausdehnen, was eine beliebig grosse Austrittsöffnung erfordern würde. Grosse Austrittsöffnungen zwingen das Gas zu einer Radialbewegung, die mit unseren Betrachtungen nicht beschrieben wird. Nehmen wir einen gegenüber der engsten Stelle um den Faktor 100 vergrösserten Querschnitt an, was einen zehnmal grösseren Durchmesser erfordert, liefert (9.24) für zweiatomige Gase einen Wert von 0.95, was 95% der theoretischen Maximalgeschwindigkeit bedeutet [V109]. Seite 185 von 221 Offene Systeme 9.7 Windturbinen Eine Windturbine entzieht der vorbeiströmenden Luft Energie und Impuls. Zudem tauscht sie mit ihr Drehimpuls aus. Hinter dem Windrad darf die Luft nicht einfach stehen bleiben, weshalb sie einen Teil ihrer Energie und ihres Impulses mitnehmen muss. In einer ersten Abschätzung vernachlässigen wir den Drehimpulsaustausch und betrachten die Luft als inkompressibel und reibungsfrei. Bezüglich der Kompression können wir über den Staudruck, der mit einer Staudrucksonde gemessen wird, die maximale Druckschwankung abschätzen. Der Druck, der sich im Staubereich des Rohres aufbaut, ist gleich der Dichte der kinetischen Energie. Bei einer Massendichte von 1.2 kg/m3 und einer Strömungsgeschwindigkeit von 30 m/s beträgt dieser Druck 540 Pascal, was etwa einem halben Prozent des Luftdrucks entspricht. Demgemäss wird die Luft weniger als ein Prozent zusammengedrückt. Abbildung 9.15 Das Windrad umhüllende Stromröhre mit dem Querschnitt A sowie den Basisgesetzen. Im einfachsten Modell bildet die Stromröhre, welche das Windrad umschliesst, einen sich erweiternden Schlauch. Längs dieser Stromröhre bleibt der Massenstrom und in guter Näherung auch der Volumenstrom erhalten. Die mittlere Strömungsgeschwindigkeit beim Windrad sei gleich dem arithmetischen Mittel aus dem Wert weit vorn und dem Wert weit hinten. Die Änderung der Dichte wird nicht berücksichtigt. Dies führt uns zu folgender Aussage bezüglich der Stärke des Massenstromes Inhaltsverzeichnis 𝐼 =𝜌 𝑣 𝐴 =𝜌 𝑣 𝐴 ≈ 𝑣 +𝑣 𝜌𝐴 2 (9.28) Die Leistung über dem Windrad ist gleich der Differenz aus zu- und abfliessendem Energiestrom 𝑃=𝐼 −𝐼 (9.29) Beide Energieströme sind gleich der spezifischen kinetischen Energie, also gleich Strömungsgeschwindigkeit im Quadrat halbe, multipliziert mit der Massenstromstärke 𝑃= 𝑣 −𝑣 𝑣 +𝑣 𝜌𝐴 2 2 (9.30) 𝑃= (1 − 𝑥)(1 + 𝑥) 𝑣 𝜌𝐴 2 2 𝑥= Nun klammern wir die Einströmgeschwindigkeit hoch drei aus und führen eine dimensionslose Geschwindigkeit x ein 𝑣 𝑣 (9.31) Der Vorfaktor in (9.31) beschreibt die Stärke des auf das Windrad einfallenden Energiestromes. Der Rest, eine Funktion in x, weist ein Maximum bei x = 1/3 mit einem Wert von 16/27 auf. Diese Abschätzung, die unter dem Namen Formel von Betz bekannt ist, gibt eine obere Schranke von 59% für die Energie, die man dem Wind entziehen kann [V110]. Die Stärke des Windenergiestromes hängt von der Dichte der Luft, der Windgeschwindigkeit und der Rotorfläche ab, wobei die Geschwindigkeit mit der dritten Potenz Einfluss nimmt. Davon kann das Windrad maximal 59%, realistischerweise etwa 50% als Leistung entziehen. Die effektive nutzbare Leistung wird mit Hilfe eines Leistungsbeiwerts cP beschrieben 𝑃=𝑐 𝐼 =𝑐 𝜌 𝑣 𝐴 2 (9.32) Seite 186 von 221 Offene Systeme Die Windgeschwindigkeit, welche mit der dritten Potenz in die Formel (9.32) eingeht, sollte im Mittel gross genug sein, denn eine Verdoppelung bedeutet eine Verachtfachung der Leistung. Der zweite Faktor, die Dichte, hängt gemäss dem spezifischen Gasgesetz (9.20) von der Temperatur und vom Druck ab. In einem kalten Winter ist die Luft deutlich dichter als in einem heissen Sommer, was mehr als 15% ausmachen kann. Weil der Luftdruck mit der Höhe über Meer abnimmt, würde die Effizienz der Windräder kleiner, hätte es in den Bergen nicht stärkere Winde und würde die Temperatur nicht auch mit der Höhe sinken. In der Projektphase muss die Verteilung der Windgeschwindigkeit zusammen mit Druck und Temperatur gemessen werden, damit die Windturbine auf diese Verhältnisse optimiert werden kann. Der dritte Faktor, die Fläche, hat zu immer grösseren Windturbinen geführt. Als willkommener Nebeneffekt ist damit die Nabenhöhe gestiegen, womit die Turbine stärkeren Winden ausgesetzt ist. Abbildung 9.16 Der Umriss einiger Windkraftanlagen der Firma Enercon aufgetragen gegen den Zeitpunkt ihrer Einführung Windräder werden in Widerstands- und Auftriebsläufer eingeteilt. Widerstandsläufer arbeiten mit dem Luftwiderstand, weshalb sie nicht sehr effizient sind und langsam drehen. Ihr Wirkprinzip lässt sich gut am Beispiel eines üblichen Windmessers, des Schalenkreuzanemometers, erklären. Bei diesem Inhaltsverzeichnis Gerät bilden drei oder vier offene Halbkugeln, die um eine vertikal ausgerichtete Achse drehen, das Windrad. Weil der Widerstandsbeiwert bei der offenen Seite der Halbkugel etwa dreimal grösser ist als bei der geschlossenen, erzeugt der Wind ein Drehmoment auf das ganze Rad. Solche Räder eignen sich für die Messung der Windgeschwindigkeit, mit einer maximalen Leistungsziffer von 0.08 aber nicht für die Energiegewinnung. Früher, vor der Industrialisierung wurden solche Windräder breit eingesetzt, wie etwa bei der persischen Windmühle. Heutige Windturbinen sind ausnahmslos Auftriebsläufer, deren Blätter wie Flugzeugflügel geformt sind. Der Anstellwinkel hängt von der Windgeschwindigkeit, der Drehzahl und der radialen Lage auf dem Flügel ab. Um diesen Winkel zu optimieren, sind die Blätter speziell geformt und die Drehzahl im Rahmen des Möglichen auf die Windgeschwindigkeit abgestimmt. Je mehr Flügel ein Windrad besitzt, umso schlechter kann der Wind durchschlüpfen und umso besser ist der Wirkungsgrad, könnte man meinen. Dabei geht vergessen, dass die Wechselwirkung zwischen der Luft und der Windturbine auf einem Strömungsfeld basiert, dessen Druckverteilung nicht so einfach zu durchschauen ist. Etwas salopp formuliert kann man sagen, dass ein schneller Auftriebsläufer weniger Flügel brauchen, um den ganzen Kreis wirksam abzudecken. Bei Windturbinen mit zwei oder sogar nur einem Blatt macht sich der Turm, der die Strömung und damit auch die Windkraft auf die Flügel beeinflusst, nachteilig bemerkbar. Durch die periodisch auftretende Belastung treten Schwingungen auf, welche auf die gesamte Konstruktion übertragen werden. Die Blätter werden deshalb nicht starr, sondern beweglich über eine Pendelnabe mit der Rotorwelle verbunden. Bei einblättrigen Rotoren muss mit einem Gegengewicht ausgewuchtet werden. Seite 187 von 221 Offene Systeme spitzen, wie man sie auch bei Flugzeugen kennt, sind eine weitere Quelle für Energiedissipation. Diese Verluste werden durch gebogene Spitzen minimiert. Abbildung 9.17 Leistungsbeiwert in Funktion der Schnelllaufzahl, dem Verhältnis von Umfangs- zu Windgeschwindigkeit, für verschiedene Typen von Windturbinen. Die Schnelllaufzahl, das Verhältnis von Umfangs- zur Anströmgeschwindigkeit, ist eine dimensionslose Vergleichszahl, mit der die verschiedenen Windräder wie in Abbildung 9.17 gezeigt verglichen werden können. Umgekehrt liefert das Produkt aus Windgeschwindigkeit mal Schnelllaufzahl geteilt durch den Radius die Winkelgeschwindigkeit. Diese Grösse bildet das Energiebeladungsmass des Drehimpulsstromes, der vom Windrad zum Generator fliesst. Weil Drehimpuls weder erzeugt noch vernichtet werden kann, strömt bei entsprechender Wahl des Koordinatensystems eine Komponente des Drehimpulses aus der Luft zu und über die Antriebswelle sowie den Turm an die Erde ab. Dadurch wird der Turm mit einem konstanten Biegemoment belastet. Der aus der Luft zufliessende Drehimpulsstrom ist nicht so einfach zu identifizieren, weil er durch zwei verschiedene Impulsströme, dem leitungsartigen und dem konvektiven, verursacht wird. Die Drehimpulsstromdichten, die den beiden Impulsstromdichten bezüglich der zentralen Achse zugeordnet werden müssen und in der Summe die Drehimpulsstromstärke ergeben, treten folglich auch auf zwei Arten auf. In Abbildung 9.17 beschreibt die ausgezogene Linie den maximalen Leistungsbeiwert unter Berücksichtigung des Drehimpulsaustausches. Solche Energieverluste treten verstärkt bei Windrädern mit vielen Flügeln auf. Randwirbel bei den Flügel- Inhaltsverzeichnis Die Windturbine entzieht der Luft nicht nur Energie und Drehimpuls sondern auch Impuls. Wie wir bei den Rohrströmungen gesehen haben, bleibt der Energiestrom längs einer Stromröhre besser erhalten als die Stärke des Impulsstromes. Dieser kann seine Transportart leicht wechseln und auch besser seitwärts entweichen. Trotz dieser Unsicherheiten können wir mit Hilfe von (9.7) die Stärke des an den Boden abfliessenden Impulsstromes abschätzen. Dieser Impulsstrom belastet die Rotorwelle auf Druck und den Turm mit einem nach unten zunehmenden Biegemoment. Wie bei der Energie kann man auch beim Impuls eine korrigierende Zahl, den Schubbeiwert 𝑐 , einführen. Vergleicht man die Definition der beiden Beiwert mit den zugehörigen Stromstärken im Zufluss gemäss (9.2) und (9.7), stellt man eine gewisse Inkonsistenz fest. Gemäss (9.32) ist der Leistungsbeiwert gleich dem Verhältnis der Leistung zur Stärke des zufliessenden Energiestromes. Bei der Definition des Schubbeiwerts setzt man die Druck- oder Schubkraft auf die Welle ins Verhältnis zur Kraft des Staudrucks 𝐹=𝑐 𝜌 𝑣 𝐴 2 (9.33) Diese Schubkraft, englisch Thrust genannt, wird über den Staudruck mit der Dichte der kinetischen Energie der Anströmung verglichen. Würde man mit der Stärke des konvektiven Impulsstromes in der Anströmung gemäss (9.7) vergleichen, wäre der Schubbeiwert nur noch halb so gross. Als Anwendung analysieren wir zwei Windkraftwerke in der Umgebung von Schaffhausen. Die eine Anlage steht auf deutschen Seite 188 von 221 Offene Systeme Boden unmittelbar bei der Grenze zur Schweiz und nennt sich Windpark Verenafohren. Die drei Windräder weisen einen Durchmesser von 131 m bei einer Nabenhöhe von 134 m. Die Nenndrehzahl beträgt 10.9 U/min, was eine Umfangsgeschwindigkeit bei den Blattspitzen von knapp 75 m/s ergibt. Ihre Nennleistung liegt bei 3.3 MW, die prognostizierte Jahresproduktion, die 2020 erstmals erreicht worden ist, beträgt 20 Millionen kWh. Abbildung 9.19 Windrad «Hans» des EKS in Beringen. Abbildung 9.18 Leistungskurve (gelb), Leistungs- (blau) und Schubbeiwert (schwarz) in Funktion der Windgeschwindigkeit der Turbine Nordex N131/3300 Delta. Die Turbine schaltet bei einer Windgeschwindigkeit von 3 m/s ein, erreicht bei etwa 11 m/s ihre Maximalleistung und schaltet bei 20 m/s ab. Zwischen 4 m/s und 9 m/s erreicht sie einen Leistungsbeiwert von etwa 0.45, was beachtlich nahe beim Idealwert von 0.59 liegt. Sobald die Maximalleistung erreicht ist, fällt der Leistungsbeiwert stark ab, weil ein konstanter Wert mit einer mit der dritten Potenz wachsenden Kurve verglichen wird. Dividieren wir den Schubbeiwert durch zwei, liegt dessen Graph etwas unterhalb von dem des Leistungsbeiwerts. Die Turbine entzieht dem Wind also etwa den gleichen Anteil Impuls wie Energie. „Viel Strom mit wenig Wind zu machen," war die Vision, die der Tüftler Hans Wepfer aus Andelfingen in die Tat umsetzen wollte. Die Gesamtinvestition der Anlage, bezahlt vom Elektrizitätswerk des Kantons Schaffhausen, beläuft sich auf rund 1 Million Franken. Swissgrid hat die Anlage bereits abgenommen und für förderungswürdig eingestuft. Inhaltsverzeichnis Das Windkraftwerk «Hans», das laut Datenblatt eine Maximalleistung von 3 x 83 kW erreichen soll, wurde bei einem Sturm beschädigt. Danach haben Prof. M. Righi und Prof. L. Manfriani von der ZHAW das Kraftwerk optimiert. Der Leistungsbeiwert konnte so auf 0.49 gesteigert werden, was für ein langsam drehendes Windrad sehr hoch ist. Trotz dieser Optimierung bleiben grundlegende Mängel wie geringe Nabenhöhe, überschneidende Stromröhren im Abwindbereich sowie ein die Strömung behinderndes Tragwerk bestehen. Zudem sind Schwachwindanlagen kaum je rentabel zu betreiben, weil die Leistung mit der dritten Potenz der Windgeschwindigkeit zunimmt. Ein Windrad mit sechs Blätter kann keine hohe Schnelllaufzahl erreichen und arbeitet bei starkem Wind mit einem entsprechend kleinen Leistungsbeiwert. 9.8 Propeller Propeller werden bei Schiffen oft als Schiffsschrauben, bei Flächenflugzeugen als Luftschrauben und bei Helikoptern als Rotoren bezeichnet. Wir betrachten hier primär die Luftschraube eines einmotorigen Flugzeuges, die wie ein rückwärts laufendes Windrad arbeitet. Rückwärts bedeutet, dass der Propeller der Luft Energie zuführen muss, um ihr Impuls zu entnehmen. Diese Aussage bezieht sich auf eine Koordinatenachse, die parallel Seite 189 von 221 Offene Systeme zum Flugzeug nach vorn zeigt. Der Propeller rotiere vom Piloten aus gesehen uhrzeigersinnig und damit bezüglich der gewählten Koordinate positiv. Zudem betrachten wir die Vorgänge wie schon bei den Strahltriebwerken vom Bezugssystem Flugzeug aus. Der auftreffende Luftstrom trägt Masse, kinetische Energie und negativen Impuls. Hinter dem Propeller transportiert derselbe Strom die gleiche Masse, mehr Energie, noch weniger Impuls sowie Drehimpuls. Infolge der betragsmässig grösseren Geschwindigkeit verengt sich die zugehörige Stromröhre. Der aufgenommene Drehimpuls sorgt für schraubenförmige Stromlinien. Die Anströmung der beiden Flügel wird dadurch etwas gestört, womit sich auch die Kräfte auf das Flugzeug ändern. Flugzeuge mit Kolbenmotoren besitzen meist Propeller mit zwei Flügeln, grosse Flugzeuge mit Turboprop-Antrieb weisen mehr Blätter auf. Mit steigender Zahl der Blätter sinkt der Wirkungsgrad, dafür nehmen die Leistungsdichte und die Laufruhe zu. Propeller werden mit verschiedenen, dimensionslosen Zahlen charakterisiert. Die Fortschrittszahl oder auch der Fortschrittsgrad J beschreibt das Verhältnis der axialen Anströmungsgeschwindigkeit zu Durchmesser und Drehfrequenz. Vergleicht man diese Grösse mit der Schnelllaufzahl  von Windturbinen, erkennt man, dass die beiden Grössen reziprok definiert sind und sich um  unterscheiden 𝜆= 2𝜋𝑓𝑟 𝑣 𝐽= 𝑣 2𝑓𝑟 (9.34) Die Steigung ist wie bei einer Schraube definiert und entspricht der Strecke, die ein Propeller während einer Umdrehung in einem festen Material zurücklegen würde. Weil die Flügel gewölbt sein können und zum Teil verdreht sind, muss man für die Steigung einen Referenzpunkt angeben oder einen Mittel- Inhaltsverzeichnis wert berechnen. Die Schubkraft wird mit einem dimensionslosen Schubbeiwert KT beschrieben 𝐹 = 𝐾 𝜌𝑓 𝑑 (9.35) Die Schubkraft ist proportional zur Dichte der Luft, zum Quadrat der Anströmgeschwindigkeit und zur Propellerfläche. Dies erklärt die verschiedenen Grössen auf der rechten Seite von (9.35). Entsprechen dieser Philosophie wird das Drehmoment mit einem Drehmomentbeiwert 𝐾 sowie einer Hebelwirkung beschrieben 𝑀 = 𝐾 𝜌𝑓 𝑑 (9.36) Die vom Motor zuzuführende Leistung ist gleich Drehmoment mal Winkelgeschwindigkeit. Die gängige Beschreibung weicht von dieser Energiebeladungsformel etwas ab, führt dafür mit dem Leistungsbeiwert 𝐾 einen dritten Skalierungsfaktor ein 𝑃 = 𝐾 𝜌𝑓 𝑑 (9.37) Der Leistungsbeiwert ist damit um 2 grösser als der Drehmomentbeiwert. Der Wirkungsgrad des Propellers berechnet sich aus dem Verhältnis von Leistung der Schubkraft zu Leistung am Schaft, wobei die Leistung vom Bezugssystem aus zu berechnen ist 𝜂 = 𝐾 𝐹 𝑣 = 𝐽 𝐾 𝑃 (9.38) Der Wirkungsgrad ist gleich dem Verhältnis von Schubbeiwert zu Leistungsbeiwert mal die Fortschrittszahl J, wobei die Beiwerte meist in Funktion dieser dimensionslosen Anströmgeschwindigkeit angegeben werden. In der ersten Abschätzung bilanziert man den Impuls in einer den Propeller umschliessenden Strömungsrohr. Diese einfache Theorie Seite 190 von 221 Offene Systeme liefert dieselben Ergebnisse wie beim Strahltriebwerk. In einer detaillierten Betrachtung zerlegt man das Propellerblatt in beliebig kleine Streifen, betrachtet also nur das Flügelprofil. Aus dem Anstellwinkel können dann, wie wir schon im Abschnitt 7.7 zum Thema Flugzeug gesehen haben, Auftrieb und Widerstand berechnet werden. Der Anstellwinkel hängt von der lokalen Neigung des Flügelprofils gegen die Propellerebene sowie von der Anströmungsrichtung ab. Weil letztere sowohl von der Geschwindigkeit des Flugzeuges als auch von der durch die Rotation verursachten Tangentialgeschwindigkeit abhängt, ändert sich der Anstellwinkel mit dem Radius. Dies wird oft mit einer vom Schaft bis zur Spitze abnehmenden Neigung des Propellerblatts kompensiert. Als weitere Korrektur, welche die Umströmung auf der ganzen Blattlänge berücksichtig, sind die Propellerflügel nicht überall gleich breit. Neben diesen geometrischen Faktoren und dem Anstellwinkel hängen Auftrieb und Widerstand auch noch von der Reynold’schen Zahl der Umströmung ab. Sind die beiden Kraftkomponenten bekannt, müssen sie noch je in eine Parallel- und eine Normalkomponente bezüglich der Propellerebene zerlegt werden. Weil nur die über alle Blätter zu integrierenden Normalkomponenten die Schubkraft bilden, trägt neben dem Auftrieb auch ein kleinerer Teil des Widerstandes zum Schub bei. Die jeweils andere Komponente liefern über das Hebelgesetz das Drehmoment auf den Rotor. Heute wird die Umströmung der Propeller mit CFD simuliert. Die Ergebnisse, Schubkraft, Drehmoment und Antriebsleistung werden mittels Messungen im Windkanal validiert. Trotz der vielen Einflussgrössen unterscheiden sich die Kennlinien, die Darstellung von KT, KP und  in Funktion von J, für die verschiedenen Modell nicht allzu stark voneinander. Abbildung 9.20 zeigt je zwei unab- Inhaltsverzeichnis hängig Messungen für zwei verschieden Propeller von Modellflugzeugen. Beide Propeller haben einen Durchmesser von 10 Inch, als etwa 25 Zentimeter. Der eine hat eine Steigung von 5 Inch und der andere ist mit 7 Inch etwas steiler, seine Blätter sind etwas mehr verdreht. Abbildung 9.20 Schub- und Leistungsbeiwert sowie Wirkungsgrad in Funktion des Fortschrittsgrades für zwei kleine Propeller mit einem Durchmesser von 10’’ sowie einer Steigung von 5’’ respektive 7’’. Im Stand ist die Schubkraft am grössten und fällt mit zunehmendem Fortschrittsgrad gegen null ab. Die Leistung bleibt über einen gewissen Bereich konstant und geht dann ebenfalls ziemlich linear gegen null. Weil der Wirkungsgrad gemäss (9.38) gleich dem Verhältnis von Schub- zu Leistungsbeiwert multipliziert mit dem Fortschrittsgrad ist, gibt es für jeden Propeller einen Maximalwert. Dieser maximale Wirkungsgrad beträgt etwa 0.7. Um den optimalen Anstellwinkel zu erreichen benötigt eine steile Luftschraube eine grössere Flugzeuggeschwindigkeit als eine flache, weshalb sich das Wirkungsgradmaximum auf der J-Achse mit zunehmender Blattsteigung gegen höhere Fortschrittsgrade verschiebt. Ein Flugzeug kann bei zunehmender Geschwindigkeit nur im optimalen Leistungsbereich bleiben, falls entweder die Motordrehzahl oder die Steigung des Propellers erhöht wird. Im ersten Fall bleibt der Arbeitspunkt bezüglich des Fortschrittsgrades am gleichen Ort, im zweiten Fall wandert das Maximum entsprechend des erforderlichen Werts nach rechts. Multipliziert man Zähler und Nenner in (9.34) mit der Umlaufszeit, bekommt man das Verhältnis von Steigung zu Durchmesser, das um  kleiner ist als der Tangens des Steigungswinkels. Seite 191 von 221 Offene Systeme 9.9 Wasserturbinen Wasser ist beinah tausendmal dichter als Luft. Zudem können sich bei Druckabfall spontan Dampfblasen bilden. Im Unterschied zur Luft widersetzt sich Dampf der Kompression kaum. Steigt der Druck im strömenden Wasser wieder an, kollabieren die Dampfblasen schlagartig. Die Blasenimplosion erzeugt energiereiche, kleine Flüssigkeitsstrahlen, welche vom Implosionszentrum zufällig in alle Richtungen weggehen. Trifft ein solcher Mikrojet auf ein Bauteil, wird dessen Oberfläche stark beschädigt. Die Bildung dieser kraterförmigen Vertiefungen, welche den Wirkungsrad der Maschine beeinträchtigen und diese mit der Zeit zerstören, nennt man Kavitation. Das einströmende Wasser muss Energie und Drehimpuls auf die Turbine übertragen. Beide Mengen fliessen danach über die Welle zum Generator, wo der Drehimpulsstrom die Energie als Prozessleistung freisetzt. Im Unterschied zu den Windturbinen ist hier der Impuls kein Thema. Dieser kann dank fest verbauter Rohre in der notwendigen Menge mit der Umgebung ausgetauscht werden. Abgesehen von den Kaplan- oder Flügelturbinen, die nur bei kleinen Fallhöhen eingesetzt werden und ähnlich wie ein Windrad funktionieren, wird der Drehimpuls statisch im erforderlichen Mass zugeführt. Nach der Turbine strömt das Wasser langsam, bei geringem Druck und ohne Drehimpuls weg. Die Mitte des vorletzten Jahrhunderts von James B. Francis entwickelte Turbine mit radial geführter Einströmung wird bis heute für Fallhöhen von wenigen Metern bis zu einem halben Kilometer eingesetzt. Die Francis-Turbine kann mit entsprechenden Anpassungen auch als Pumpturbine in einem Speicherkraftwerk betrieben werden. Im Turbinenbetrieb wird das zufliessende Wasser über ein schneckenförmiges Gehäuse gleichmässig Inhaltsverzeichnis über den Umfang verteilt, bevor es in den Leitschaufelkranz eintritt. Danach tritt das Wasser tangential in das Laufrad ein und verlässt dieses axial. Die verstellbaren Leitschaufeln regeln den Zufluss des Wassers und damit auch die Drehzahl der Turbine. Im Einströmbereich herrscht Überdruck, im vertikal nach unten geführtem Abfluss dank der Sogwirkung Unterdruck. Der Drehimpulsstrom, der die Energie von der Turbine zum Generator führt, wird der Strömung von den Leitschaufeln aufgeprägt. Längs eines Stromfadens kann die Impulsbilanz unter Vernachlässigung der Reibung in Form der Eulergleichung aufgestellt werden. Abbildung 9.21 Schnittbild einer Francis-Turbine Die vom amerikanischen Ingenieur Laster Pelton entwickelte Turbine arbeitet mit bis zu sechs über den Umfang verteilten Freistrahlen. Der mit hoher Geschwindigkeit aus einer Düse austretende Wasserstrahl wird mittels schalenförmigen Doppelschaufeln um 180° umgelenkt. Wir bilden zuerst die Impulsbilanz bezüglich eines schaufelfesten Bilanzgebiets. Das Wasser tritt mit der Geschwindigkeit c aus der Düse aus und trifft mit der Geschwindigkeit c-v auf die Schaufel auf, falls v deren Geschwindigkeit beschreibt. Die Massenstromstärke bezüglich des gewählten Bilanzgebiets ist gleich Querschnitt mal Dichte mal um v reduzierte Geschwindigkeit. Dieselbe Geschwindigkeit bildet auch den Seite 192 von 221 Offene Systeme spezifischen Impuls. Weil alle drei Teilstrahlen der Impuls zuführen, ist die Kraft auf die Schaufel gleich der Summe über alle drei konvektiven Impulsstromstärken oder doppelt so gross wie die Impulsstromstärke des auftretenden Strahls 𝐹 = 2𝜌𝐴(𝑐 − 𝑣) (9.39) Abbildung 9.22 Impulsbilanz bezüglich einer Schaufel der Pelton-Turbine. Im mitbewegten Bezugssystem ist die Leistung dieser Kraft gleich null. Nun gehen wir in ein gegenüber der Erde ruhendes Bezugssystem. Dabei ändert sich die Stärke der Kraft nicht, abgesehen von einem ganz kleinen relativistischen Effekt, wohl aber deren Leistung 𝑃(𝐹 ) = 2𝜌𝐴(𝑐 − 𝑣) 𝑣 der Düse austretende Strahl so in einzelne Abschnitte, dass die Austrittszeit eines Strahlstücks dem Zeitabschnitt entspricht, den eine Schaufel braucht, um an die Stelle ihrer Vorgängerin zu treten. Betrachten wir nun den weiteren Verlauf des austretenden Strahlstücks, stellen wir fest, dass die Kontaktzeit dieses Strahlstücks grösser ist als die Austrittszeit. Dreht sich die Turbine so, dass die Schaufel halb so schnell wie das auftretende Wasser, ist die Berührzeit doppelt so gross wie die Austrittszeit. Folglich werden immer zwei Schaufeln gleichzeitig von einem Wasserstrahl angetrieben. Um die optimale Drehzahl der Turbine zu berechnen, muss man die Energiebilanz bezüglich dieses Systems formulieren und dann das Leistungsmaximum suchen [8]. Dieses Beispiel zeigt, wie das Optimum für ein Gesamtsystem nicht unbedingt gleich dem eines einzelnen Bauteils sein muss. Selbstverständlich könnte man die Impulsbilanz auch bezüglich eines nicht mitbewegten Bereichs formulieren. Sorgfältig formuliert liefert diese Betrachtungsweise dasselbe Resultat [V111]. (9.39) Die Leistungsfunktion (9.39) weist eine einfache Nullstelle bei v=0 und eine doppelte bei v=c auf. Das ist leicht zu interpretieren, steht doch die Schaufel im ersten Fall still und läuft im zweiten dem Wasserstrahl davon. Mehr Kopfzerbrechen bereitet der Umstand, dass das Leistungsmaximum bei v=c/3 liegt. Bei dieser Geschwindigkeit transportiert der zurück geworfene Strahl immer noch kinetische Energie. Würde sich die Schaufel dagegen mit halber Strahlgeschwindigkeit bewegen, würde das Wasser nach dem Kontakt vertikal nach unten fallen und hätte seine kinetische Energie vollständig abgegeben. Um diesen Widerspruch zu lösen, bringen wir die Zeit ins Spiel. Dazu unterteilen wir den aus Inhaltsverzeichnis Abbildung 9.23 Animation einer Pelton-Turbine. Im Mittel werden immer zwei Schaufeln gleichzeitig vom Wasserstrahl angetrieben. 9.10 Systemdynamische Modelle Am 26. August 2015 hat gemäss der Water Rocket Achievement World Record Association eine einstufige Wasserrakete eine Gipfelhöhe von 830 m erreicht. Die 2.68 m hohe und weniger als 1.5 kg schwere Rakete Seite 193 von 221 Offene Systeme beschleunigte in einer halben Sekunde auf 550 km/h. Solche Werte sind nur mit speziell verstärkten Druckbehältern erreichbar. Handelsübliche Spielzeuge mit PET-Flaschen und einem zulässigen Druck von 8 bar steigen maximal 80 m in die Höhe. Solch fliegende Flaschen eignen sich hervorragend, um die Voraussagen eines entsprechenden Modells zu validieren. rund 100 km. Von der aus 20'000 Teilen bestehenden «Wunderwaffe» wurden 3200 Stück gegen Ziele in England und später in Holland abgeschossen. Dabei kamen etwa 8000 Personen, meist Zivilisten, ums Leben. Dem stehen 20'000 Häftlinge des KZ-Mittelbau-Dora gegenüber, die beim Bau dieser Raketen zu Tode geschunden wurden. Später bildete die A4 die Basis für die militärische und zivile Entwicklung von Raketen in den USA und in der Sowjetunion. Der Vertikalflug einer A4 ist recht einfach zu modellieren [V113], falls man ein paar Vereinfachungen vornimmt. Eine detailliertere Modellierung berücksichtigt die starke Abhängigkeit des Luftwiderstandes von der Machzahl [V108]. Abbildung 9.24 Systemdiagramm eines Modells, das den vertikalen Flug einer Wasserrakete simuliert. Das Modell der Wasserrakete setzt sich aus einer Impuls- sowie einer Massenbilanz zusammen. Zusätzlich wird die Höhe aus der Geschwindigkeit ermittelt. Die aktuell vorhandene Wassermasse bestimmt indirekt das Luftvolumen VG. Daraus wird über eine isentrope Expansion der absolute Druck der Luft pG berechnet, der wiederum die Ausströmungsgeschwindigkeit c erzeugt. Die Impulsstromstärke Ip ist gleich Massenstromstärke Im mal die Differenz zwischen der Geschwindigkeit der Rakete v und der Ausströmungsgeschwindigkeit c. Die Impulsstromstärke ist zuerst stark negativ und wird gegen Schluss positiv, womit zuerst Impuls zu- und später wegfliesst. Weil die leere Rakete sehr leicht ist, übt der Luftwiderstand einen grossen Einfluss auf die Gipfelhöhe aus [V112]. Die ballistische Rakete Aggregat 4 (A4), welche die Nazi-Propaganda in Vergeltungswaffe 2 (V2) umbenannt hatte, war 1942 die erste Grossrakete mit Flüssigkeitstriebwerk. Sie wurde mit Ethanol und Flüssigsauerstoff betrieben, hatte eine Reichweite von 250 bis 300 km und erreichte dabei eine Höhe von Inhaltsverzeichnis Abbildung 9.25 Systemdiagramm zur Modellierung eines Flugs einer A4-Rakete. Das zweidimensionale Modell, das den ballistischen Flug der Rakete nachbildet, besteht aus drei Bilanzgleichungen, zwei für die beiden Impulskomponenten und eine für die Masse. Zwei Integratoren ermitteln aus den beiden Geschwindigkeitskomponenten die zugehörigen Strecken. Zur Berechnung der Machzahl, dem Verhältnis aus Geschwindigkeit zur von der Temperatur abhängigen Schallgeschwindigkeit, benötigt man ein Temperaturprofil der Atmosphäre. Der Luftwiderstand hängt damit zweifach von der Atmosphäre ab, einmal direkt von der Dichte und einmal indirekt über die Machzahl von der Temperatur. Die Flugbahn wird in der ersten Startphase durch den Neigungswinkel Seite 194 von 221 Offene Systeme festgelegt. Dieser sensible Parameter entschied auch bei den realen Starts über die Treffsicherheit. Abbildung 9.26 Systemdiagramm für den Start einer Trägerrakete in der Äquatorialebene mit Masse- und Impulsbilanzen sowie Berechnung der lokalen Gravitationsfeldstärke (oben rechts). Als etwas anspruchsvoller erweist sich die Modellierung des Starts einer Trägerrakete. Vereinfachend legen wir die Flugbahn in die Äquatorialebene. Neben der masseninduzierten Gravitationskraft, die wir einer Erdkugel zuschreiben, wirken im mitrotierenden System noch eine Zentrifugal- sowie eine Corioliskraft. Das Modell weist wiederum drei Bilanzgleichungen auf, wobei in der Massebilanz neben dem austretenden Gasstrahl auch der Abwurf der leeren Stufen berücksichtigt wird. Diese reduzieren nicht nur die aktuelle Masse, sondern nehmen der Inhaltsverzeichnis Geschwindigkeit entsprechend Impuls mit. Der Drehwinkel in Funktion der Zeit ist sehr sensitiv, führt doch eine kleine Variation direkt zu einem fatalen Absturz [V114]. Im Modell von Abbildung 9.26 wird auch die Belastung der Astronauten, also das lokal wirksame Gravitationsfeld, bestimmt. Weil die Gravitations-, die Zentrifugal- sowie die Corioliskraft keine spürbare Wirkung auf die Astronauten ausüben, müssen diese Scheinkräfte nicht berücksichtigt werden. Neben dem Luftwiderstand bleibt deshalb nur die Schubkraft, die gemäss (9.15) gleich minus der Massenstromstärke mal die Ausströmungsgeschwindigkeit ist. Das vorliegende Modell liefert eine maximale Belastung von knapp 7 g, was über kurze Zeit ertröglich ist. Gemäss Chat GPT stieg die Belastung während des Starts bis auf 7.5 g. Hätten die Astronauten den Schleudersitz betätigt, hätten sie kurzfristig 24 g ertragen müssen. Seite 195 von 221 Elektromagnetismus 10 Elektromagnetismus Hauptverkehrszeit in einem grossen Bahnhof und jeder zweite Zugpassagier ist entweder am Telefonieren oder surft im Internet. Dabei werden riesige Datenmengen mittels elektromagnetischer Wellen übermittelt. Diese unsichtbare Strahlung ist Teil eines raumfüllenden Systems, das sich elektromagnetisches Feld nennt. Dieses Feld wird an jedem Ort und zu jedem Zeitpunkt durch den elektrischen und den magnetischen Feldstärkevektor beschrieben. Das elektrostatische Feld ist wie das Gravitationsfeld wirbelfrei, wogegen das magnetostatische Feld quellenfrei ist. Dynamisch sind das elektrische und das magnetische Feld über Wirbelbildung miteinander verbunden. Quellen und Wirbel erinnern an die Strömungslehre, weshalb die Gesetze des elektromagnetischen Felds am einfachsten mit den Bildern aus der Strömungslehre zu verstehen sind. Eine kompaktere Darstellung liefert die Einbettung in die Raumzeit. Statt mit zwei getrennten Vektoren wird die Feldstärke mit einem schiefsymmetrischen Tensor dargestellt. Das elektromagnetische Feld kann wie die Materie Energie, Impuls, Drehimpuls und sogar Entropie speichern und transportieren. Interessant und für die Quantenmechanik hilfreich ist der Umstand, dass die Energie- und Impulsgrössen durch Quadrieren der Feldstärken gebildet werden. Der Energie-Impuls-Tensor lässt sich denn auch direkt aus dem Feldstärketensor bilden. 10.1 Gravitationsfeld Hh 10.2 Elektrisches Feld Ii 10.3 Magnetisches Feld Im Koaxialkabel baut sich infolge der Ladung ein radial ausgerichtetes elektrisches Feld und als Folge des fliessenden Stromes ein magnetisches Wirbelfeld auf. Das elektrische Feld ist je nach Vorzeichen der Ladung entweder radial nach aussen oder nach innen gerichtet. Der Wirbel des magnetischen Feldes umschliesst den durch den Innenleiter fliessenden Strom im Sinne der rechten Hand, also Daumen in Richtung des Stromes, die gekrümmten Finger zeigen dann in Feldrichtung. Es gelten die folgenden Beziehungen zwischen gespeicherter Ladung und elektrischer Feldstärke E respektive Stromstärke und magnetischer Feldstärke B Inhaltsverzeichnis 𝑄 = 𝜀 𝐸𝐴 𝐼= 𝑈 (4.14) Ladung Q und Stromstärke I beziehen sich auf den Innenleiter. Fläche AZyl und Umfang UKreis beziehen sich auf den Zylinder und den Kreis, welche den Innenleiter symmetrisch umschliessen und durch den Punkt gehen, bezüglich dem die Feldstärken zu messen sind. 10.4 Induktionsgesetz Ll 10.5 Elektromagnetisches Feld Mm 10.6 Elektromagnetisches Feld Mm 10.7 Strahlung Mm Seite 196 von 221 Elektromagnetismus 10.8 Relativitätstheorie 10.9 Energie und Impulstransport Nn Nn Inhaltsverzeichnis Seite 197 von 221 Quanten 11 Quanten Geschichte und Struktur, Grundgesetze. 11.1 Qubit Hh 11.2 Verschränkung Ii 11.3 Zustände Inhaltsverzeichnis Seite 198 von 221 Anhang 12 Anhang 12.1 Theorien Gravitation Die Newtonsche Mechanik setzt einen gegebenen Raum mit Euklidscher Metrik und eine absolute Zeit voraus. Raum und Zeit können nicht beeinflusst werden, wogegen der Raum über das Trägheitsprinzip auf die Körper zurückwirkt. Die Aussage, wonach zwei Ereignisse gleichzeitig sind, ist von jedem Beobachter aus gesehen gültig. In der Eulerschen Darstellung der Newtonschen Mechanik bewirkt die Summe über alle auf einen Körper einwirkenden Kräfte dessen Beschleunigung 𝐹⃗ = 𝑚𝑎⃗ (𝐴. 1) Kräfte wirken zwischen je zwei Körper instantan und gegengleich. In der Himmelsmechanik ist die Gravitation die einzig mögliche Fernwechselwirkung. Für sehr kleine oder kugelsymmetrische Himmelskörper ist die Gravitationswechselwirkung proportional zum Produkt beider Massen und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes ihrer Schwerpunkte 𝑚𝑚 𝑠⃗ 𝑠 𝑠 (𝐴. 2) 𝑚 𝑠⃗ = 𝑎⃗ 𝑠 (𝐴. 3) 𝐹⃗ = 𝐺 Die Gravitationskonstante G hat den Wert 6.67430 . 10-11 m3/(kg s2) und soll im ganzen Universum konstant sein. Der Distanzvektor si zeigt vom ausgewählten Körper mit der Masse m zu dem die Gravitationskraft verursachenden Körper mit den Massen mi. Die Kraft wirkt damit auf die Verursacher zu, ist also anziehend. Setzt man (A.2) in (A.1) ein, fällt die Masse des ausgewählten Körpers weg 𝐺 Unter der Wirkung reiner Gravitationskräfte ist die Beschleunigung eines Körpers unabhängig von seiner Masse, was man auf der Erde mit der Fallbewegung in einem evakuierten Schacht nachweisen kann. Die Beschleunigung hängt nur vom Ort und nicht der Geschwindigkeit der anderen Körper ab. Folglich gilt (A.3) auch in allen gleichförmig zum absoluten Raum bewegten Bezugssysteme. Diese nennt man Inertialsysteme der Newtonschen Mechanik. Albert Einstein wollte die Elektrodynamik so zu beschreiben, dass sie in allen Inertialsystemen gültig ist. Diese Vision endete in der Vereinigung von Raum und Zeit zur Raumzeit. Das zugehörige Längenmass s ist gleich die um die Lichtgeschwindigkeit c mal die Zeit erweiterten Länge im Raum. 𝑠 = (𝑐𝑡) − (𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ) Inhaltsverzeichnis (𝐴. 4) Seite 199 von 221 Anhang Die Koordinaten (ct, x, y, z) sind bezüglich des mit (A.4) definierten «Skalar»-Produkts orthonormal. Drehungen im Raum werden wie bis anhin beschrieben, «Drehungen» in der Raumzeit mit der speziellen Lorentz-Transformation 𝑐𝑡 = 𝛾(𝑐𝑡 − 𝛽𝑥), 𝑥 = 𝛾(𝑥 − 𝛽𝑡) mit 𝛾 = 1 𝛽= 1−𝛽 𝑣 𝑑𝑥 = 𝑐𝑑𝑡 𝑐 (𝐴. 5) Schreibt man die Lorentz-Transformation in Matrizenform, wird die Ähnlichkeit mit der Drehmatrix erkennbar 𝑐𝑡′ = 𝛾 1 −𝛽 𝑥′ −𝛽 1 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑤) −𝑠𝑖𝑛ℎ(𝑤) 𝑐𝑡 = 𝑥 −𝑠𝑖𝑛ℎ(𝑤) 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑤) 𝑐𝑡 𝑥 𝑤 = 𝑎𝑟𝑡𝑎𝑛ℎ(𝛽) (𝐴. 6) Den «Winkel» w, der als Areatangens Hyperbolicus von  definiert ist, nennt man Rapidität. Quasi als Nebeneffekt dieser Geometrie zeigt sich, dass Masse und Energie äquivalent sein müssen, d.h. Masse m und Energie W beschreiben dieselbe Grösse in verschiedenen Einheiten. Zudem bilden Masse-Energie und Impuls p einen vierdimensionalen Vektor in der Raumzeit 𝑊 =𝑊 −𝑐 𝑝 +𝑝 +𝑝 𝑊 = 𝑚𝑐 (𝐴. 7) Der Energie-Impuls-Vektor transformiert sich mit (A.6) wie eine Länge. Setzt man die berühmte Formel 𝑊 = 𝑚𝑐 von Einstein voraus, kann man die eindimensionale, relativistische Dynamik mit Hilfe des Flüssigkeitsbildes ableiten [VA1, VA2]. Das Zwillingsparadoxon, wonach der auf der Erde gebliebene Zwilling schneller alter als sein mit beinahe Lichtgeschwindigkeit hin- und hergereiste Bruder, scheint die von der speziellen Relativitätstheorie geforderte Symmetrie zwischen zwei Inertialsystemen zu verletzten. Die Asymmetrie entsteht in den drei Beschleunigungsphase des Raumschiffes, die der mitreisende Zwilling als Schwerkraft erlebt. Dies und andere Probleme haben Einstein dazu bewogen, die Gravitation neu zu denken. Als Anhaltspunkte dienten ihm die Äquivalenz von Gravitation und Beschleunigung sowie die Feldtheorie der Elektrodynamik. Wegen des Äquivalenzprinzips muss die Theorie rein geometrisch sein. Zudem kann die lokale Quelle des Feldes nicht ein Vektor wie in der Elektrodynamik sein, weil statt der elektrischen Ladung die vektorwertige Grösse Energie-Impuls eingebaut werden muss. Im Ergebnis sorgt der Energie-Impuls-Tensor für eine Krümmung der Raumzeit und alle kräftefreien Körper folgen einer geodätischen Linie. Die Geodäte ist diejenige Bahn in der Raumzeit, bei der die Zeit im mitbewegten System lokal maximiert wird. Damit hat Einstein die Gravitationskraft als Wechselwirkung zwischen Massen zugunsten eines erweiterten Trägheitsbegriffs abgeschafft. In jedem antriebslosen Raumschiff, das einer Geodäten folgt, fühlt man sich schwerelos. Will man die im 19. Jahrhundert intensiv diskutierte Idee des Inertialsystems retten, definiert man jedes frei fallende, also einer geodätischen Linie folgende System als lokal inertial. Lokal, weil nicht alle Punkte eines starren Systems einer geodätischen Linie folgen können. Ausgehend von diesen Überlegungen betrachten wir alle Himmelskörper und alle Satelliten als Inertialsysteme. Die für uns Menschen erfahrbare Umgebung, also ein Labor, eine Turnhalle aber auch ein startendes Flugzeug, wird so zu einem Bezugssystem mit einem homogenen Gravitationsfeld. Dieses Feld erzeugt Inhaltsverzeichnis Seite 200 von 221 Anhang zusammen mit der Masse eines Körpers eine über das ganze Volumen verteilte Impulsquelle, deren Stärke wir als Gewichtskraft bezeichnen. Wir können die Stärke der Impulsquelle messen, indem wir den Körper entweder im Vakuum fallen lassen oder mittels einer Zwangskraft festhalten. Im ersten Fall ist die Beschleunigung gleich der Gravitationsfeldstärke, im zweiten Fall halten Gewichtskraft und Zwangskraft den Körper im Gleichgewicht. Jede so nachweisbare Gravitationsfeldstärke ist eine relative Erscheinung, welche durch die Beschleunigung des Bezugssystems gegenüber dem frei fallenden Inertialsystem entsteht, und jede Gravitationskraft ist eine Scheinkraft, deren Stärke vom Referenzsystem abhängt. Die Aufteilung in Impulsänderungsrate und Gravitationskraft hängt demnach von der Bewegung des Bezugssystems ab. Energie-Impuls-Tensor Die allgemeine Relativitätstheorie beschreibt den Zusammenhang zwischen der Energie-ImpulsVerteilung und der Geometrie der Raumzeit. Der Energie-Impuls-Tensor wird in einen materiellen, einen elektromagnetischen und spekulativ in einen dunkel-materiellen Anteil zerlegt. Der materielle Energie-Impuls-Tensor liefert eine der Leitideen zu diesem Buch. Schauen wir uns zuerst die einzelnen Elemente dieses Tensors bezüglich der Koordinaten (ct, x, y, z) an 𝑇 ⎢𝜌 ⎢ = ⎢𝑐𝜌 ⎢𝑐𝜌 ⎣𝑐𝜌 𝑗 𝑗 𝑗 𝑗 𝑐 𝑗 𝑗 𝑗 𝑗 𝑐 𝑗 ⎥ 𝑐 ⎥ 𝑗 ⎥ 𝑗 ⎥ 𝑗 ⎦ (A. 8) Eine Dichte wird mit  und eine Stromdichte mit j bezeichnet. Der erste Index steht für die Grösse, also W für Energie und p für Impuls. In den unteren drei Zeilen weist der zweite Index auf die Impulskomponente hin. Der letzte Index in den hinteren drei Spalten verweist auf die Transportrichtung. Das Element 𝑗 beschreibt demnach, wieviel x-Impuls pro Zeit und pro Fläche in zRichtung transportiert wird. Der Transport einer Grösse ist nicht zwingend mit einer Bewegung verbunden. So kann Energie oder Impuls durch Kupfer fliessen, ohne dass eine Bewegung nachweisbar wäre. Die Symmetrie des Spannungstensors verlang, dass die Impulsdichte gleich der Energiestromdichte geteilt durch die Lichtgeschwindigkeit im Quadrat ist, also gleich der Massenstromdichte. Betrachten wir zuerst ein mechanisch belastetes Bauteil. Bezüglich eines geeignet gewählten Koordinatensystems nimmt dieser Tensor eine Diagonalform an 𝑇 𝜌 0 = 0 0 0 −𝜎 0 0 0 0 −𝜎 0 0 0 0 −𝜎 (A. 9) Das Bauteil ist in Ruhe, weshalb sowohl die Impulsdichte als auch die Energiestromdichte verschwinden. Die Diagonalelemente des Raum-Raum-Teils heissen Hauptspannungen. Das Minuszeichen ist eine Folge der Konvention der technischen Mechanik, wonach eine Zugspannung positiv ist. Dreht man das Koordinatensystem im Raum, nehmen die zugehörigen NichtdiagonalElemente paarweise Werte ungleich null an. Diese bezeichnet man als Scher- oder Schubspannun- Inhaltsverzeichnis Seite 201 von 221 Anhang gen. Nun beschränken wir uns auf einen gespannten Draht oder Riemen, der sich in x-Richtung bewegt. Weil der Spannungszustand einachsig ist und die Bewegung gleichgerichtet ist, betrachten wir nur die Koordinaten (ct, x). Zuerst gehen wir ins mitbewegte System, das auch Ruhesystem des Drahts genannt wird. Der Tensor kann mit nur zwei Diagonalelementen dargestellt werden 𝑇 = 𝜌𝑐 0 𝑇 =𝛾 𝑇 = 0 −𝜎 (A. 10) Die Energiedichte wird hier als Massendichte mal das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit geschrieben, die Zugspannung ist vereinfachend nicht indiziert. Nun transformieren wir diesen Tensor vom Bauteil- ins Laborsystem 𝜌𝑐 − 𝛽 𝜎 𝛽𝜌𝑐 − 𝛽𝜎 𝛽𝜌𝑐 − 𝛽𝜎 𝛽 𝜌𝑐 − 𝜎 𝛽= 𝛾= (𝐴. 11) In einem zweiten Schritt entwickeln wir den Lorentz-Faktor  nach der dimensionslosen Geschwindigkeit . Zudem vernachlässigen wir alle irrelevanten Terme 𝜌𝑐 𝑐𝜌𝑣 𝑐𝜌𝑣 − + 𝜌𝑣 0 𝜌𝑣 − 𝜎 0 0 (𝐴. 12) Die Impulsdichte ist gleich der Massenstromdichte (rot). Die vorrelativistische Energie erscheint als Stromdichte und als Dichte (grün). Die Energiestromdichte, deren Beitrag zur Impulsdichte wir vernachlässigen, beruht auf einem relativistischen Effekt der Impulsstromdichte, die Dichte der kinetischen Energie ist ein relativistischer Effekt der Masse. Üblicherweise bezieht man die kinetische Energie auf ein materielles, also mitbewegtes Volumen. In diesem Fall liefert die Entwicklung des Lorentz-Faktors unter Berücksichtigung der Lorentz-Kontraktion den Vorfaktor 0.5. Mit Dichte mal das Quadrat der Geschwindigkeit (blau) taucht eine neue Form von Impulsstromdichte auf, die wir konvektiv nennen. Die mit minus des Spannungstensors beschriebene, bewegungsfreie Impulsstromdichte heisst konduktiv oder leitungsartig. Die Energie- und Impulserhaltung verlangt, dass die zeilenweise ausgeführte Viererdivergenz über den zugehörigen Tensor gleich null ist. Führt man diese Operation bezüglich des elektromagnetischen Energie-Impuls-Tensors aus, erhält man unter Beizug der Maxwellgleichungen eine Kraftdichte sowie die Leistungsdichte des elektrischen Stromes. Diese beschreiben den lokalen Austausch von Energie und Impuls zwischen dem elektromagnetischen Feld und der geladenen sowie stromdurchflossenen Materie. Unsere bisherige Betrachtungsweise bezieht sich auf ein frei fallendes Bezugssystem. Ein bezüglich der Erde ruhendes System ist im Sinne der Relativitätstheorie nicht inertial. Dies muss bei der Anwendung der Divergenz berücksichtig werden. Korrekt ausgeführt und entsprechend Linearisiert liefert diese spezielle Form der Divergenz die Quellendichten für die Energie und den Impuls, die wir einem hypothetischen Gravitationsfeld zuordnen. Welche Konsequenzen ergeben sich für den Elementarunterricht? Das Wichtigste zuerst: Impuls und Masse sind die fundamentalen Grössen der Mechanik. Bezüglich eines raumfesten Koordinatensystems wird der Impuls in drei substanzähnliche Mengen zerlegt, die jede für sich bilanziert Inhaltsverzeichnis Seite 202 von 221 Anhang werden kann. Impuls wird konvektiv durch den Raum oder leitungsartig durch die Materie transportiert. Die Energie übernimmt die Rolle einer Buchhaltungsgrösse, die zusammen mit dem Impuls gespeichert und gemeinsam mit dem Impulsstrom transportiert wird. Energie und Impuls werden lokal zwischen Materie und elektromagnetischem Feld ausgetauscht. Die Quellendichte der Energie 𝜎 entspricht der Leistungsdichte des elektrischen Stromes, die des Impulses 𝜎 ⃗ der Lorentz-Kraftdichte 𝜎 = ±𝚥⃗ ∙ 𝐸⃗ 𝜎 ⃗ = ± 𝜌 𝐸⃗ + 𝚥⃗ × 𝐵⃗ (𝐴. 13) Das positive Vorzeichen gilt für die Materie, das negative beschreibt die Sicht des elektromagnetischen Feldes. Bezüglich eines Widerstandsdrahtes als Bilanzgebiet folgt aus der ersten Gleichung von (A.13) die bekannte Formel, wonach die Leistung gleich Stromstärke mal Spannung ist. Die Energie wird demnach auch beim Gleichstromkreis über das elektromagnetische Feld transportiert und erst im Widerstand volumenmässig an die Materie übergeben. Wer den Energietransport dem elektrischen Strom zuschreibt, macht ein stark vereinfachtes Modell, das aber auf viele Fragen zum elektrischen Stromkreis die richtige Antwort liefert. Der frei fallende Körper kann ein Stück weit mit einem elektrisch geladenen Körper verglichen werden, der von einer entgegengesetzt geladenen Platte angezogen wird. Im Fall der elektrischen Kraft kann man den zugehörigen Energie-Impuls-Tensor bilden und so für jeden beliebigen Punkt im elektrischen Feld die Impulsstromdichte bestimmen. Das funktioniert bei der Gravitation nicht, weit diese Kraft durch die Trägheit verursacht wird. Trotzdem scheint mir der hier beschrittene Weg mit der Einführung eines Gravitationsfeldes, das zusammen mit der Masse eines Körpers eine Impulsquelle erzeugt, unseren Erfahrungen besser zu entsprechen als die alte Fernwechselwirkung von Newton. Zeigt die z-Achse nach unten, besitzt jeder Körper eine z-Impulsquelle, deren Stärke gleich Masse mal Gravitationsfeldstärke ist. Wechselt man in ein relativ zur Erde beschleunigtes Bezugssystem, erfährt das Gravitationsfeld im mitbewegten System eine Veränderung, die gleich der negativen Beschleunigung des Systems gegen Erde ist. Die gleichförmige Rotation eines Bezugssystems erzeugt ein Zentrifugal- und eine Coriolisfeld. Das Zentrifugalfeld ist ziemlich populär, auch wenn man primär von der Zentrifugalkraft redet. Der eigentliche Paradigmenwechsel von der Punktmechanik zur systemphysikalischen Darstellung wird durch die Idee des leitungsartigen Impulsstromes ausgelöst. Alle drei Impulskomponenten fliessen wie eigenständige Mengen durch die Materie, wobei diese aufgrund der Symmetrie des Energie-Impuls-Tensors das Gesetz der zugeordneten Scherspannungen erfüllen müssen. Bewegt sich die Materie relativ zum Bezugssystem, schreibt man den drei Impulsstromdichten über die zugehörige Geschwindigkeitskomponente gemäss (A.12) eine Energiestromdichte zu. Eine Oberflächenkraft ist als Flächenintegral über den Spannungstensor definiert, weil jede Stromstärke auf diese Art aus der Stromdichte berechnet werden muss. Integriert man über dasselbe Stück der Körperoberfläche die zugehörige Energiestromdichte, welche in Erweiterung von (A.12) durch das Skalarprodukt der materiellen Geschwindigkeit mit dem Spannungstensor gebildet wird, gewinnt man die Leistung der Kraft. Kräfte sind entweder als Impulsstromstärken oder als Impulsquellenstärken bezüglich eines Körpers definiert. Die Lorentzkraft entspricht der Impulsaustauschrate zwischen Körper und elektromagnetischen Feld. Die Gewichtskraft darf als Quellenstärke dargestellt werden, obwohl sie nach heutiger Sicht eine Trägheitskraft ist, die nur in nicht-inertialen, also Inhaltsverzeichnis Seite 203 von 221 Anhang nicht frei fallenden Bezugsystemen auftritt. Weil wir unser Leben hauptsächlich auf Erde verbringen, ist die hier eingenommene Sicht angemessen und äusserst hilfreich. Impulsbilanz Lokal geht die Bilanzgleichung in die Kontinuitätsgleichung über. In der einfachsten Form, wie sie etwa für die elektrische Ladung gilt, ist die Änderungsrate der Dichte  plus die Divergenz der Stromdichte j gleich null + + ≡ 𝜌̇ + 𝑑𝑖𝑣(𝚥⃗) ≡ 𝜌̇ + ∇⃗ ∙ 𝚥⃗ = 0 + (𝐴. 14) Gleichung (A.14) kann auch auf die Masse übertragen werden. Die Massenstromdichte ist dann gleich Dichte mal Strömungsgeschwindigkeit. Will man diese Gleichung auf die Entropie übertragen, muss die Divergenz auf die leitungsartige und die konvektive Stromdichte angewendet werden. Zudem erscheint auf der rechten Seite eine Quellendichte für die Wärmestrahlung und eine Produktionsratendichte für die Entropieerzeugung bei irreversiblen Prozessen. Bei der Anwendung auf den Impuls kann streng genommen nicht mehr auf die koordinatenfreie Formulierung wie beim zweiten oder dritten Term von (A.14) zurückgegriffen werden. Schreibt man die Kontinuitätsgleichung wie im ersten Term von (A14) komponentenweise, wird die Formulierung zu unübersichtlich. Deshalb verwende ich die Einsteinnotation, wonach über zwei gleich Indizes zu summieren ist und ein Index nach dem Komma eine partielle Ableitung bedeutet. Die Kontinuitätsgleichung für den Impuls enthält links drei Terme, einen für die Änderungsrate sowie je eine für die Divergenz des konvektiven und des leitungsartigen Impulsstromes. Rechts treten die Quellenterme auf, wobei in (A.15) auf die Wechselwirkung mit dem elektromagnetischen Feld verzichtet wird (𝜌𝑣 ), + 𝜌𝑣 𝑣 , −𝜎 , = 𝜌𝑔 (𝐴. 15) Zusätzlich gilt die Kontinuitätsgleichung für die Masse 𝜌, + 𝜌𝑣 , =0 (𝐴. 16) Fügt man (A.16) in (A.15) ein, erhält man eine geometrisch kompaktere Darstellung 𝜌𝑣 , + 𝜌𝑣 𝑣 , − 𝜎 , = 𝜌𝑔 (𝐴. 17) In einer Flüssigkeit mit linearer oder Newtonscher Reibung kann der dynamische Anteil des Spannungstensors mit Hilfe von nur zwei Materialwerten durch den Geschwindigkeitsgradienten 𝑣 , ersetzt werden. Die Geschwindigkeitsgradient zerfällt in einen isotropen und einen die Gestalt ändernden Teil. Die beiden Materialwerte heissen Volumenviskosität und dynamische Viskosität. Wirkt der statische Druck in alle Richtungen gleich, ist die Divergenz über den statischen Teil des Spannungstensors gleich dem Druckgradienten. Die so umgeformte Impulsbilanz nennt man Navier-Stokes-Gleichung. Vernachlässigt man die Reibung, heisst reduzierte Darstellung Euler-Gleichung. Inhaltsverzeichnis Seite 204 von 221 Anhang Integriert man (A.15) über ein materielles Volumen, entfällt der konvektive Anteil sowie die Ableitung der Masse nach der Zeit. Als Ergebnis findet man das Grundgesetz der Mechanik (7.2). Nimmt man ein raumfestes Kontrollvolumen, über das integriert wird, folgt die Impulsbilanz für offene Systeme (9.8). In diesem Fall muss die Kontinuitätsgleichung für die Masse über das gleiche Gebiet zur Massenbilanz (9.9) integriert werden. Bei offenen Systemen wie Raketen, Triebwerken oder Jetbooten führt eine falsch formulierte Impulsbilanz meist zu fürchterlichen Fehlschlüssen. Starrer Körper Der Gesamtdrehimpuls eines starren Körpers bezüglich eines ausgewählten Punktes im Raum kann durch Addition aus dem Drehimpuls seiner Teile gerechnet werden. Der Drehimpuls eines kleinen Körpers ist gemäss Formel (7.5) definiert. Abbildung A1 Berechnung des Drehimpulses eines starren Körpers aus dem Bahndrehimpuls seiner Teile. Wie in Abbildung A1 dargestellt ersetzen wir den Ortsvektor si eines Teilkörpers durch die Summe aus Ortsvektor des MMP sMMP und den Distanzvektor ri zu dieser Massenmitte. Danach drücken wir seinen Impuls durch Masse mal Geschwindigkeit aus. Die Geschwindigkeit ist gleich Geschwindigkeit des MMP plus die Bahngeschwindigkeit um diesen Punkt. Die Summe über alle Teilkörper liefert vier Terme, wobei die beiden mittleren gleich null sind. Um dies zu sehen, muss man die konstanten Terme aus der Summe herausnehmen. Der verbleibende Rest ist gleich null, weil die Distanzvektoren ri relativ zum MMP gemessen werden. Der erste Term beschreibt den Bahndrehimpuls und der vierte den Eigendrehimpuls. Das doppelte Kreuzprodukt kann in zwei Skalarprodukte mal je ein Vektor zerlegt werden 𝑟⃗ × (𝜔⃗ × 𝑟⃗ ) = 𝑟 𝜔⃗ − (𝑟⃗ ∙ 𝜔⃗)𝑟⃗ = 𝑟 𝜔⃗ − 𝑟 𝜔𝑟⃗ Inhaltsverzeichnis (𝐴. 18) Seite 205 von 221 Anhang In (A.18) steht der Index a für axial und r für radial. Multipliziert man diesen Ausdruck mit der Masse der Teilkörper und summiert über alle Teilkörper, erscheint der Drehimpuls in der Zerlegung von Abbildung 7.3. Der Drehimpuls eines starren Körpers wird bezüglich der Winkelgeschwindigkeit in einen parallelen und einen normalen Anteil zerlegt. Beide Teile sind proportional zur Winkelgeschwindigkeit, wobei der erste Proportionalitätsfaktor Massenträgheitsmoment und der zweite Deviations- oder Zentrifugalmoment heisst. Deviation weist auf die Nutation des freien und zentrifugal auf die dynamische Unwucht des gelagerten Körpers hin. Im Grenzfall beliebig kleiner Teilmassen geht die Summe in ein Integral über. Geometrisch gesehen ist die Drehträgheit ein Tensor, der bezüglich eines beliebig gewählten Koordinatensystems als Matrize geschrieben werden kann ⎡ 𝜌(𝑦 + 𝑧 )𝑑𝑉 ⎢ ⃡ 𝐽 = ⎢ − 𝜌𝑥𝑦𝑑𝑉 ⎢ ⎢ − 𝜌𝑥𝑧𝑑𝑉 ⎣ − 𝜌𝑥𝑦𝑑𝑉 − 𝜌𝑦𝑧𝑑𝑉 𝜌(𝑧 + 𝑥 )𝑑𝑉 − 𝜌𝑥𝑧𝑑𝑉 ⎤ ⎥ − 𝜌𝑦𝑧𝑑𝑉 ⎥ ⎥ ⎥ 𝜌(𝑥 + 𝑦 )𝑑𝑉 ⎦ (𝐴. 19) Die Diagonalelemente heissen Massenträgheitsmomente, die andern Zentrifugalmomente. Den Tensor selber nennt man ebenfalls Massenträgheitsmoment. Dieser Tensor kann infolge seiner Symmetrie auf die Hauptachsen transformiert werden. Die Diagonalelemente sind die Hauptmassenträgheitsmomente, die zugehörigen Richtungen die Hauptachsen. Leonhard Euler konnte den freien Kreisel beschreiben, indem er die Bewegung vom mitrotierenden Bezugssystem aus betrachtete. Als zugehörigen Koordinatenrichtungen wählte er die Hauptachsen des Trägheitstensors, womit das Massenträgheitsmoment durch die drei Hauptmomente beschrieben wird. Um Eulers Gedanken zu verstehen, betrachten wir vereinfachend ein an Ort mit konstanter Winkelgeschwindigkeit rotierendes Bezugssystem. Im Unterschied zu Abbildung A1 sei der zu betrachtende Massenpunkt nicht fest mit dem Koordinatensystem verbunden. Wieder messen wir den Ort eines beliebig bewegten Körpers einmal bezüglich des raumfesten einmal relativ zum rotierenden System. Für die Addition der Geschwindigkeit gilt eine ähnliche Überlegung wie in Abbildung A1, nur bewegt sich der Körper relativ zum rotierenden Bezugssystem nicht nur auf einer gegebenen Kreisbahn 𝑑 𝑑 𝑠⃗ = 𝑟⃗ + 𝜔⃗ × 𝑟⃗ 𝑑𝑡 𝑑𝑡 (𝐴. 20) Die rot markierten Teile können als Operatorgleichung aufgefasst werden. Wendet man diese Beziehung auf die zweite Ableitung an, folgt 𝑑 𝑑 𝑑 𝑠⃗ = 𝑟⃗ + 2𝜔⃗ × 𝑟⃗ + 𝜔⃗ × (𝜔⃗ × 𝑟⃗) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 (𝐴. 21) Die Beschleunigung relativ zum raumfesten System ist gleich der Beschleunigung relativ zum rotierenden System plus ein Coriolis- und ein Zentrifugalterm. Handelt es sich beim rotierenden System um einen massiven Körper wie etwa die Erde, dürfen wir in (A.21) die beiden letzten Terme Inhaltsverzeichnis Seite 206 von 221 Anhang durch eine Subtraktion auf die andere Seite schaffen und neu interpretieren. Multipliziert mit der Masse des fraglichen Körpers erhalten wir neben den im nichtrotierenden System auftretenden Kräfte noch eine Coriolis- und eine Zentrifugalkraft. Der Faktor zwei beim Coriolisterm der Beschleunigung und damit auch bei der Corioliskraft weist auf die doppelte Herkunft hin. Der eine Teil stammt von der Änderungsrate des Ortes relativ zum rotierenden Bezugssystem, der andere hängt mit der Drehbewegung des Geschwindigkeitsvektors zusammen. Die Operatorgleichung von (A.20) darf auch auf den Drehimpuls angewendet werden. Dazu vereinfachen wir die linke Seite der Impulsbilanz (7.3) zu einem resultierenden Drehmoment und leiten die rechte Seite relativ zum mitrotierenden Koordinatensystem ab 𝑀⃗ = 𝑑 ⃗ 𝐿′ + 𝜔⃗ × 𝐿′⃗ 𝑑𝑡 (𝐴. 22) Der Apostroph weist auf den Bezug zum mitrotierenden System hin. Weil das mitrotierende Koordinatensystem nach den Hauptachsen ausgerichtet ist, kann der Drehimpuls reicht einfach durch die Hauptträgheitsmomente ausgedrückt werden. So erhalten wir komponentenweise die Euler-Gleichungen 𝑀 𝑀 𝑀 𝐽 𝜔̇ = 𝐽 𝜔̇ 𝐽 𝜔̇ + 𝐽 −𝐽 𝜔 𝜔 (𝐽 − 𝐽 )𝜔 𝜔 𝐽 −𝐽 𝜔 𝜔 (𝐴. 23) Das gekoppelte, nichtlineare Differentialgleichungssystem (A.23) ist bis auf wenige Spezialfälle nicht geschlossen lösbar. Wirkt ein reines Drehmoment auf den Körper ein, ist dessen Leistung gleich dem Skalarprodukt aus Drehmoment und Winkelgeschwindigkeit. Damit hebt sich in (A.23) der dritte Klammerausdruck weg. Die zweite Klammer skalar mit der Winkelgeschwindigkeit multipliziert ergibt die Änderungsrate der kinetischen Energie. Lässt man keine Einwirkung in Form eines Drehmomentes zu, rotiert der Kreisel meist um eine torkelnde Drehachse. Eine reine Rotation ist bei einem nicht symmetrischen Körper nur um eine der drei Hauptachsen möglich. Soclhe Achsen nennt man auch frei. Wie die Analyse zeigt, ist die Rotation um die mittlere Hauptachse instabil, so dass der Körper periodisch seine Drehrichtung ändert. Lässt man den Körper um eine freie Achse starr rotieren, zeigt er keine dynamische Unwucht. Für den kräftefreien, symmetrischen Kreisel, bei dem zwei Hauptträgheitsmomente gleich gross sind, findet man eine Lösung, die geometrisch interpretierbar ist. Dabei bewegt sich die Symmetrieachse, Figurenachse genannt, auf dem Nutationskegel. Wie in Abbildung A2 gezeigt erklärt man diese Bewegung durch das Abrollen eines Polkegels auf einem Spurkegel. Die Achse des Spurkegels zeigt in Richtung des konstanten Drehimpulses. Die Achse des auf diesem raumfesten Kegel abrollenden Polkegels fällt mit der Figurenachse zusammen. Ohne Einwirkung bleiben die kinetische Energie, der Drehimpuls und damit auch das Quadrat des Drehimpulses des starren Körpers konstant. Schreibt man alle drei konstant gehaltenen Grössen in Abhängigkeit der Winkelgeschwindigkeit, definiert der Drehimpuls eine Ebene und die beiden andern je ein Ellipsoid im durch die Winkelgeschwindigkeit aufgespannten Raum. Dies wird in der Poinsotsche Konstruktion geometrisch umgesetzt. In dieser Darstellung rollt das normierte Inhaltsverzeichnis Seite 207 von 221 Anhang Energieellipsoid auf einer zum Drehimpuls normal stehenden Ebene ab. Alternativ kann man das auf eins normierte Energieellipsoid mit verschiedenen Kugeln schneiden, welche für das Quadrat des Drehimpulses stehen. So erhält man die Trajektorien für feste Energie und schrittweise verändertem Drehimpuls. Dabei ist der Drehimpuls durch das grösste und das kleinste Massenträgheitsmoment begrenzt. All diese Zusammenhänge sind in dutzenden von Lehrbüchern und auch in Wikipedia beschrieben. Aus der Sicht des Praktikers liefert die Kreiseltheorie manchmal nützliche Informationen, bleibt aber oft nur eine mathematische Spielerei. Wenden wir uns deshalb nochmals den Grundgesetzen des starren Körpers zu. Abbildung A2 Geometrische Erklärung der Nutation beim symmetrischen Kreisel sowie Poinsotsche Konstruktion des freien starren Körpers. Unser Ziel ist die Bewegung des starren Körpers so zu beschreiben, dass diese modelliert und mit Hilfe numerischer Verfahren simuliert werden kann. Im Zentrum steht die Impulsbilanz (7.2) sowie die Drehimpulsbilanz (7.3). Je eine Integration über die Zeit liefert den aktuellen Inhalt an Impuls und an Drehimpuls. Dividiert man den Impuls durch die Masse, folgt die Geschwindigkeit des Massenmittelpunkts, die zum Ort dieses ausgewählten Punktes integriert werden kann. Zur Berechnung der Winkelgeschwindigkeit aus dem Drehimpuls wird das zugehörige Kapazitivgesetz (7.6) entsprechend aufgelöst. Dazu müssen die Komponenten des Massenträgheitstensors in der aktuellen Lage bekannt sein. Im Unterschied zur Eulerschen Betrachtungsweise bleiben wir im raumfesten Koordinatensystem, müssen dafür die Drehung des nach den Hauptachsen des Massenträgheitsmoments ausgerichteten körperfesten Koordinatensystem fortlaufend nachführen. Die Winkelgeschwindigkeit, die oft als axialer Vektor geschrieben wird, darf auch als schiefsymmetrische Matrix dargestellt werden. Wird die Drehung gemäss Euler parametrisiert, setzt sich die Drehmatrix aus dem Produkt von drei Drehungen um je eine Achse zusammen. Üblicherweise dreht man zuerst um die z-, dann um die neue x’- und zuletzt um die z’’-Achse. Eine andere Wahl wäre auch möglich, womit sich 24 Möglichkeiten ergeben. Die formale Ableitung der Drehung nach der Zeit liefert eine schiefsymmetrische Matrix, die den Zusammenhang mit der Winkelgeschwindigkeit gemäss (7.16) herstellt. Mit diesem Wissen können wir aus der Winkelgeschwindigkeit die Änderungsrate der Winkel berechnen, diese über die Zeit integrieren und damit die aktuelle Drehmatrix ermitteln. Weil diese geometrisch motivierte Beschreibung zu Singularitäten Inhaltsverzeichnis Seite 208 von 221 Anhang führen kann (Gimbal Lock) und die Genauigkeit der Interpolation je nach Winkel variiert, arbeitet man heute meist mit Quaternionen. Die Quaternionen entstehen aus den reellen Zahlen durch Hinzufügen dreier neuer Zahlen, deren Basis in Anlehnung an die imaginäre Einheit mit i, j und k bezeichnet werden. So ergibt sich ein vierdimensionaler Vektorraum mit einem Real- und einem dreidimensionalen Imaginärteil, wobei man letzteren auch Vektorteil nennt. Jede Quaternion lässt sich eindeutig mit vier reellen Zahlen in der Basis 1, i, j, k darstellen 𝑞 = 𝑞 +𝑞 𝑖+𝑞 𝑗+𝑞 𝑘 𝑖 = 𝑗 = 𝑘 = −1 (𝐴. 24) Neben der zu den komplexen Zahl analogen Vorschrift, wonach das Quadrat der imaginären Einheiten -1 ergibt, gelten die folgenden Multiplikationsvorschriften 𝑖𝑗 = 𝑘, 𝑗𝑘 = 𝑖, 𝑘𝑖 = 𝑗, 𝑗𝑖 = −𝑘, 𝑘𝑗 = −𝑖, 𝑖𝑘 = −𝑗 (𝐴. 25) Diese Verknüpfungsvorschriften liefern die Rechenregel für die Multiplikation zwei Quaternionen. Schreibt man den imaginären Teil als dreidimensionalen Vektor, lässt sich die Multiplikation etwas kompakter darstellen 𝑞 𝑞 = (𝑞 , 𝑥⃗ )(𝑞 , 𝑥⃗ ) = (𝑞 𝑞 + 𝑥⃗ ∙ 𝑥⃗ , 𝑥 𝑥⃗ + 𝑥 𝑥⃗ + 𝑥⃗ × 𝑥⃗ ) 𝑞 ∙𝑞 =𝑞 𝑞 +𝑞 𝑞 (𝐴. 26) Im Realteil werden die beiden Vektorteile skalar und im Imaginärteil vektoriell multipliziert. Das Skalarprodukt zweier Quaternionen ist analog zum dreidimensionalen Vektorraum definiert. +𝑞 𝑞 +𝑞 𝑞 (𝐴. 27) Entsprechend ist die Norm, Betrag oder Länge gleich der Wurzel aus dem Skalarprodukt einer Quaternion mit sich selbst. Dieses Skalarprodukt kann auch als Multiplikation einer Quaternion mit ihrem konjugierten Gegenstück geschrieben werden. Für das Rechts- oder Linksinverse gilt 𝑞 = 𝑞 𝑞𝑞 (𝐴. 28) Im Zähler von (A.28) steht die konjugierte Quaternion 𝑞 und im Nenner das Skalarprodukt von q mit sich selbst, geschrieben als Multiplikation von q mit seinem konjugierten Gegenstück. Weil damit eine reelle Zahl im Nenner steht, macht die Division mittels Bruchstrich Sinn. Reine Quaternionen besitzen keinen Realteil. Die Einheitsquaternion hat den Betrag eins. Geometrisch kann man die Menge der Einheitsquaternionen als die Einheits-3-Sphäre im vierdimensionalen euklidischen Raum interpretieren. Reine Einheitsquaternionen ergeben quadriert immer -1. Sie liegen in der Äquatorhyperebene der 3-Sphäre und bilden die Einheits-2-Sphäre im dreidimensionalen Raum. Jede Einheitsquaternion q° ungleich +/-1 kann als Polardarstellung geschrieben werden 𝑞° = 𝑐𝑜𝑠𝜙 + 𝜀𝑠𝑖𝑛𝜙 (𝐴. 29) 𝜙 heisst Polarwinkel und  ist ein Einheitsvektor im dreidimensionalen Raum. Inhaltsverzeichnis Seite 209 von 221 Anhang Bettet man einen Vektor aus dem Euklidischen Raum in die Quaternionen ein, multipliziert diese reine Quaternion von links mit einer Drehquaternion und von rechts mit ihrer Inversen, enthält man als Resultat den um den doppelten Polarwinkel gedrehten Vektor 𝑞 = 𝑞°𝑞 𝑞° 𝑞° = 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝛼 + 𝜀𝑠𝑖𝑛 2 2 (𝐴. 30)  ist der Drehwinkel und  zeigt in Richtung der Drehachse. Die Drehrichtung wird durch die inverse Drehquaternion umgedreht und eine Multiplikation zweier Drehquaternionen führt zu einer Addition der zugehörigen Drehungen. q° und -q° definieren die gleiche Drehung, weshalb +1 und -1 der identischen Abbildung entsprechen. Drehimpulsbilanz Eine Bilanz vergleicht die Austausch- und Erzeugungsrate einer mengenartigen Grösse mit der Änderungsrate des Inhalts bezüglich eines klar definierten Referenzvolumens. Lokal geht die Bilanz in die Kontinuitätsgleichung über, wie wir am Beispiel der Masse oder des Impulses gezeigt haben. Um diese Gleichung zu formulieren, muss die Menge lokalisierbar sein. Dies ist beim Drehimpuls nur bedingt machbar. Oft wird der Impulsdichte eine Drehimpulsdichte und über das Hebelgesetz der Impulsstromdichte eine Drehimpulsstromdichte zugewiesen. Durch diese Definition befindet sich der Drehimpuls am gleichen Ort wie der Impuls und die beiden Ströme fliessen gemeinsam am gleichen Ort durch. Der mit (8.5) formulierte Zusammenhang postuliert dagegen eine andere Verteilung der beiden Stromdichten. Indem man den Drehimpuls als schiefsymmetrischen Tensor statt als axialer Vektor schreib, darf diese Struktur auf die zugehörige Dichte und die Stromdichte übertragen werden. Damit ist der Weg frei für eine Erweiterung von (8.5) auf die Raumzeit. Dies funktioniert aber nur, wenn man den Drehimpuls von drei auf sechs Komponenten erweitert. Die drei zusätzlichen «Mengen» nennt man klassischerweise «Erhaltung des Massenmittelpunktes». Diese Erweiterung des Drehimpulses auf einen Tensor dritter Stufe funktioniert leider nur in der Statik und bei Prozessen mit stationärer Massenverteilung. Zudem fehlt für eine vollständige Feldtheorie ein zusätzlicher Satz von Gleichungen. Die vollständige Lokalisierung von (8.6) könnte diese Lücke schliessen, nur verschwindet deren rechte Seite wegen der mit (8.5) erzwungenen Symmetrie des Impulsstromstärketensors. Vielleicht lässt sich dieser Ansatz retten, indem man die Idee einer eigenständigen Kontinuitätsgleichung fallen lässt und nur eine zeitabhängige Dichte für den auf die Raumzeit erweiterten Drehimpuls postuliert. Der Energie-Impuls-Tensor würde so durch eine spezielle Ableitung dieser sechsfachen Dichte nach Raum und Zeit gebildet, wobei noch eine «Quadrierung» analog zur Quantenmechanik wünschbar wäre. Unabhängig von diesen Spekulationen liefern die mit (8.5) und (8.6) formulierten Zusammenhänge zwischen den beiden Stromdichten anschauliche Bilder, die im beschränkten Rahmen der Statik korrekt sind und das Verständnis fördern. Thermodynamik D Feldtheorien D Inhaltsverzeichnis Seite 210 von 221 Anhang 12.2 Modelica Ausführliche Erklärung zu PhyDynSys Inhaltsverzeichnis Seite 211 von 221 Referenzen 13 Referenzen 13.1 Literatur [1] S. Carnot: Réflexions sur la puissance motrice du feu et sur les machines propres à développer cette puissance. Bachelier Paris 1824 [2] Werner Maurer: Wieso fallen Katzen immer auf die Füsse? Praxis der Naturwissenschaften – Physik in der Schule. X/55. 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Hagelkörner und Hagelschaden https://youtu.be/ExvaheJgif0 [V34] Werner Maurer: Saharastaub https://youtu.be/UQUbTQu6vPA [V35] Werner Maurer: Beschleunigung im Fahrstuhl https://youtu.be/3f5zEWt9wDw [V36] Werner Maurer: Geschwindigkeit von Aufzug bestimmen https://youtu.be/OMHtBusvNpU [V37] Werner Maurer: Thurbo-Mechanik https://youtu.be/T1C8QRPXETg [V38] Werner Maurer: Gashydraulischer Puffer - Modellbildung und Simulation https://youtu.be/_QY3mvtwVC4 [V39] Werner Maurer: Rangierstoss mit Systemdynamik https://youtu.be/kyB5Yk9nVjE [V40] Werner Maurer: Sprung aus der Stratosphäre - Simulationsmodell https://youtu.be/EXFnBjBIT4U [V41] Werner Maurer: Bungee-Jumping https://youtu.be/gsKPpI4fOM8 [V42] Werner Maurer: Zugspannung im rotierenden Ring https://youtu.be/F2a-Rlv-cCw [V43] Werner Maurer: Drehimpuls https://youtu.be/6rJ7J1to71Y [V44] Werner Maurer: Katzen fallen immer auf die Pfoten. https://youtu.be/hZit4v4ERpM [V45] Werner Maurer: Kinematik der Kreisbewegung. 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Modellparade: Schiefer Wurf https://youtu.be/V8x9GFE6jbM [V71] Werner Maurer: Fussball mit Magnuseffekt https://youtu.be/JE5on-sz1R4 [V72] Werner Maurer: Modellparade: Bananenflanke https://youtu.be/GsE8tSMVpaY [V73] Werner Maurer: Fussball mit Wind https://youtu.be/IDsOZkc0Vt4 [V74] Werner Maurer: Modellparade: Corioliskraft beim Fussballspiel https://youtu.be/i59uNeQkSow [V75] Werner Maurer: Flugzeug im Kurvenflug https://youtu.be/ulsNiuaViYI [V76] Werner Maurer: Physik des Airbus A380 https://youtu.be/pof4mOdEXN0 [V77] Werner Maurer: Gleitflug eines Segelflugzeuges https://youtu.be/Ryz8Z68JZIY [V78] Werner Maurer: Windshear – Windscherung. https://youtu.be/peQD6s77CRE [V79] Werner Maurer: Flugdynamik 1 https://youtu.be/MlgZ-3lOxTw [V80] Werner Maurer: Flugdynamik statt schiefer Ebenen https://youtu.be/B1EyQjodYis [V81] Werner Maurer: Looping bei Achterbahn https://youtu.be/7s35-RyQOLg [V82] Werner Maurer: Looping mit Reibung https://youtu.be/Uk6Eo7cxSzQ [V83] Werner Maurer: Looping 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