Logarithmische Spiralen

Man kann bei Rechtecken mit dem Seitenverhältnis 1:x stets ein kleineres Rechteck abtrennen, das dasselbe Seitenverhältnis hat. Teilt man das kleinere wieder und auch dieses und so fort, so ziehen sich die Rechtecke immer dichter an einen Punkt zusammen, der s/(q²+1) vom linken bzw. oberen Rand des größten Rechtecks entfernt liegt, wobei q=1/x und s=jeweilige Seitenlänge.

Die zwei diagonal gegenüberliegenden Eckpunkte der Rechtecke, die

Beim Seitenverhältnis des Rechteckes von 1:x = 1:1,538862030494607660840461... berührt die Spirale die Rechteckseiten lediglich, ohne sie zweimal zu schneiden. Der Wert ist die Lösung der Gleichung x³·ln(x) = p/2. Das Spiralverhältnis, d.h. der Zunahmefaktor des Radius pro Umdrehung ist hierbei 5,607880317663977...

Herleitung:

Logarithmische Spiralen besitzen die allgemeine Polarkoordinatengleichung r=a·e^kj, wobei a eine Konstante ist (beliebiger Vergrößerungsfaktor) und k eine Konstante, die eine Funktion von x ist (siehe unten). In diesem Fall ist ihre Ableitung konstant dr/dj=atan(1/k), damit beträgt der Schnittwinkel t zwischen Radialen und Spiralkurve eben atan(1/k).

Gewinnung von k aus x: Da der Radius bei einer Umdrehung um den Faktor x⁴ zunimmt, muß gelten:

r·x⁴ = a·e^k·(j+2p) | :x⁴

r = a·x^-4·e^k·(j+2p)

r = a·e^{ln(x^-4)}·e^k·(j+2p)

r = a·e^{ln(x^-4)+k·(j+2p)}

r = a·e^{ln(x^-4)+kj+2pk}

Wegen r=a·e^kj (siehe oben) gilt: kj = ln(x^-4)+kj+2pk, und damit ist:

k = -ln(x^-4)/(2p) = 2·ln(x)/p

und der Schnittwinkel t = atan(p/(2·ln(x))

Nun betrachten wir den Fall, daß die Kurve in E die Gerade FG gerade berührt, also ihre Tangente den Winkel t zur Radialen ME bildet.

Wenn |FG| = x und |AF| = 1, dann ist |AC| = x/(1/x²+1), |DE| = 1/(1/x²+1), |EG| = 1/x, |AB| = x - 1/x und somit |BC| = |AC| - |AB| = x/(1/x²+1) - (x - 1/x) = 1/(x³ + x)

Dann ist tan(t) = |DE|/|BC| = (1/(1/x²+1))/(1/(x³ + x))=(1/x²+1)/(x³ + x) = x³

Wegen t=atan(1/k)= atan(p/(2·ln(x⁴)), muß in diesem Falle gelten: p/(2·ln(x)) = x³ oder eben x³·ln(x) = p/2