Polynomfunktion | herauslesen?

Hallo,

bei der grünen Funktion gehst Du zunächst von der Annahme aus, daß es sich um eine Polynomfunktion 3. Grades handelt. Sie hat zwei Extremstellen und ist offensichtlich punktsymmetrisch zum Wendepunkt. Außerdem ist sie stetig. Das paßt schon mal ganz gut.

Allgemeine Form: f(x)=ax³+bx²+cx+d, wobei d die Ordinate des Schnittpunktes mit der y-Achse ist, also d=1.

Weiter kannst Du ablesen, daß f(-2)=5 und daß es bei x=-2 und x=0 Extremstellen gibt, also f'(-2)=0 und f'(0)=0

f'(x)=3ax²+2bx+c

Entsprechende Punkte für x und f(x) bzw. f'(x) einsetzen und das so entstandene Gleichungssystem nach a, b und c (d hast Du ja bereits) auflösen.

Herzliche Grüße,

Willy

ganzrationale Funktion 3.ten Grades (kubische Funktion)

allgeneine Form y=f(x)=a3*x³+a2*x²+a1*x+ao

Bildungsgesetz y=f(x)=(x-x1)*(x-x2)*(x-x3)*a

x1,x2 und x3 sind die reellen Nullstellen (Schnittstellen mit der x-Achse)

also maximal 3 Nullstellen

Merke:eine kubische Funktion hat immer eine Wendestelle.

-hat maximal 2 Buckel (2 Extremstellen,Maximum und Minimum)

höchster Exponent n=3 Anzahl der Extrema (maximal) n-1=2

grüne Kurve

y=f(x)=a3*x³+a2*x²+a1*x+ao bei x=0 ist f(0)=1 also ao=1

f(x)=a3*x³+a2*x+a1*x+1 abgeleitet

f´(x)=0=3*a3*x²+2*a2*x+1*a1

Der Rest ist eine Steckbriefaufgabe.

wir lesen ab Pmax(-2/5) Pmin(0/1)

Die Nullstelle kann man nicht genau ablesen.

1) f(-2)=5=a3*(-2)³+a2*(-2)²+a1*(-2)+1 aus Pmax(-2/5)

2) f´(-2)=0=3*a3*(-2)²+2*a2*(-2)+1*a1 aus Pmax(-2)/5) xmax=-2 f´(-2)=0

3) f´(0=0=3*a3*0²+2*a2*0+1*a1 ist NULL wenn a1=0 also bleibt

1) 5=a3*-8+a2*4+0*(-2)+1

2) 0=a3*12-a2*4

diese lineare Gleichungssystem (LGS),mit den 2 Unbekannten,a3 und a2 schreiben wir nun um,wie es im Mathe-Formelbuch steht,wegen der Übersichtlichkeit

1) -8*a3+4*a2=5-1=4

2) 12*a3-4*a2=0

lösung mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio) a3=1 und a2=3

gesuchte Funktion y=f(x)=x³+3*x²+1

Die orange Funktion

hier haben wir keine Extrema (keine Buckel) und nur 1 Nullstelle

einfachste Form der kubischen Funktion ist y=f(x)=a*x³

nullstelle bei x=0 und geht durch den Ursprung

hier sehen wir,daß die Funktion nach oben verschoben ist.

also y=f(x)=a*x³+C mit C=4

y=f(x)=a*x³+4 um a bestimmen zu können,brauchen wir einen Punkt,den wir in der zeichnung ablesen

Wir wählen die Nullstelle x=-0,8 (ungefähr)

f(-0,8)=0=a*(-0,8)³+4

a=-4/(-0,8)³=7,81

Man kann am charakteristischem Verlauf einer ganzrationalen Funktion erkennen, ob der höchste Exponent gerade oder ungerade ist ("kommt und geht auf der gleichen Seite der X-Achse" bzw. "kommt und geht auf verschiedenen Seiten der X-Achse"). In den Beispielen oben hilft der Schnittpunkt mit der Y-Achse bei der Zuordnung. Ich würde aber bei dem orangenem Verlauf nicht erkennen, ob der Grad der Funktion 5 oder z.B. 7 ist.

Am Beispiel von Grün.

Man sieht aus dem Graphen, dass es eine Polynomfunktion ungeraden, mindestens 3. Grades sein muss. Wenn man 3. Grad unterstellt hat man die allgemeine Form

y = ax³ + bx² +cx + d

Dann sieht man, dass bei x = 0 der y-Wert y = 1 ist, damit hat man schon d = 1.

Weiters sieht man, dass folgende Punkte auf dem Graphen liegen:

(-2|5) und (1|5)

Und dass bei diesen Punkten die Ableitung = 0 ist:

(0|1) und (-2|5)

die Ableitung lautet y' = 3ax² + 2bx +c.

Punkt (0|1) eingesetzt ergibt: c=0.

Durch einsetzen der anderen Punkte erhält man Gleichungen für a und b...