Stetig hebbare Definitionslücke?
Ich habe hier folgende gebrochenrationale Funktion entdeckt: (Siehe Bild)
Nun ist meine Frage ob dieser Term tatsächlich eine hebbare Definitionslücke hat, denn man könnte ja (x-2), das im Nenner steht, mit dem im Zähler kürzen und dann würde " x^2 * (x-2)" rauskommen. Dieser gekürzte Term hat aber nun keine hebbare Definitionslücke mehr, da der Nenner(hier nun gleich 1) ja keine Nullstelle mehr hat und man nun keine 2 gleiche Nullstellen mehr sowohl im Zähler als auch im Nenner hat.
Hat man jetzt in diesem Beispiel eine hebbare Definitionslücke? Ja oder Nein, wenn ja wieso?
5 Antworten
f(x) = ⌈ (x²(x - 2)²) / (x - 2) ∀ x ∈ ℝ\ {2}
⌊ x³ - 2x² für x = 2
Wichtig ist dabei einfach, dass man sich Folgendes bewusst macht:
Der zuerst gegebene Term und der "vereinfachte" (gekürzte) Term sind nicht generell äquivalent, da sich ihre Definitionsbereiche unterscheiden.
Der gegebene Term (mit der Definitionslücke) ist an der fraglichen Stelle (hier x=2) einfach gar nicht definiert.
Wenn man ihn nun einfach durch den gekürzten Term ersetzt, hat dieser gekürzte Term an der Stelle x=2 einen konkreten Funktionswert (im Beispiel wäre das der Wert 0) . Für die gegebene Funktion war es aber vielleicht aus wichtigen Gründen notwendig, ihr an der fraglichen Stelle eben keinen Funktionswert zuzuordnen.
Naja, ganz einfach: es ist eine (theoretisch) "hebbare" Definitionslücke - aber man sollte sich eben trotzdem (!!!) für den konkreten Fall inhaltlich klar machen, ob es sinnvoll sein kann, die Definitionslücke einfach zu ignorieren, sie durch Festlegung eines Lückenwerts 0 zu "beheben".
Ja wenn ich spitzfindig bin. Beide Funktionen sind das selbe ( kubistische ) POLYNOM mit einer doppelten Nullstelle bei x = 0 und einer einfachen bei x = 2 . In der Ausgangsfunktion war nur die Lücke bei x = 2 nicht definiert. Ich darf aber eine Funktion definieren, die aus der ersten durch stetige Ergänzung hervor geht.
Ich erkläre es gerne so:
f ( x ) := ( x - 2 ) / ( x - 2 ) ( 1a )
g ( x ) ident = 1 = const ( 1b )
Für x ungleich 2 sind beide Funktionen mit Sicherheit definiert und auch gleich:
f ( x ) = g ( x ) | lim ( 2 )
x ===> 2
Mit einer Gleichung darfst du aber alles machen - voraus gesetzt du tust es auf beiden Seiten. Demnach müssen f und g auch den selben Limes haben; wir wissen aber schon
lim g ( x ) = g ( 2 ) = 1 ( 3 )
Eine hebbare Definitionslücke ist eine Definitionslücke, die (zum Beispiel durch Kürzen) behoben werden kann. In diesem Fall ist es genau so: Du kürzt und "behebst" die Lücke, sodass sie nach dem Kürzen nicht mehr da ist - es war also eine hebbare Definitionslücke.
Achso und das ist bei jedem Term der Fall, der zunächst eine hebbare Definitionslücke hat?
ja, bei x=2 liegt eine hebbare lücke vor.
Das weiß ich, meine Frage war nicht bei welchem x die Definitionslücke ist, sondern eine andere.
Sorry, das beatwotet die Frage
nicht (:-(((