Zeigen Sie, dass sich die Graphen von f(x) und g(x) in einem Punkt berühren, und geben Sie die gemeinsame Tangente an?
f(x) = x^3 + 1 g(x) = x² + x
Ich habe bereits die Funktionen gleich gesetzt und danach ausgeklammert und bei mir kam einmal; x1 = 0, und x2 = -1. Jeweils die ersten Ableitungen haben einen gemeinsamen Berührpunkt beim Einsetzen von x2, und zwar 0 (Ergebnis). Ich würde gerne wissen wie ich als nächstes vorzugehen habe. Danke im Voraus
2 Antworten
Hallo,
du musst dich verrechnet haben.
a) Berechnung möglicher Berührungspunkte : f(x) = g(x) <=>
x³ + 1 = x² + x <=> x³ -x² - x + 1 = 0 ; wir setzen h(x) = x³ -x² - x + 1 :
Eine Lösung findet man durch Erraten: x = -1 :
(-1)³ - (-1)² -(-1) + 1 = -1 - 1 + 1 + 1 = 0
Eine Polynomdivision ergibt :
(x³ -x² - x + 1) : (x+1) = x² -2x +1, also können wir h(x) schreiben als
h(x) = (x+1)(x²-2x+1) = (x+1)(x-1)² ;
Nun kann man die Nullstellen von h ablesen: x₁ = -1 und x₂ = 1
Es gilt also f(-1) = g(-1) und f(1) = g(1)
b) Berechnung der Ableitungen:
f'(x) = 3x² ; g'(x) = 2x + 1
Die gemeinsamen Punkte der Funktionskurven sind nur dann ein Berührungspunkt, wenn ihre Tangenten in dem Punkt übereinstimmen.
f'(-1) = 3; g'(-1) = -2 +1 = -1 ;
der Punkt (-1; f(-1)) ist also kein Berührungspunkt, da die Steigung beider Tangenten nicht übereinstimmen. Bleibt noch x = 1 zu untersuchen:
f'(1) = 3 ; g'(1) = 2 + 1 = 3
Ergebnis: der Punkt P mit den Koordinaten (1; f(1)) = (1; 2) ist also Berührungspunkt.
Anbei ein Plot zur Veranschaulichung.
Gruß
Oben stehen die Funktionen f(x) = x³+1 und g(x) = x²+x
Hier im Kommentar schreibst du für g(x): x²+2
Schreibfehler? Und wenn ja, wo - oben oder hier??
Und wenn alles auf der linken Seite steht, was klammerst du da aus?
Das war mein Fehler, jedenfalls habe ich doch x³ + x² -x +1 = 0, und das kann ich dann ausklammern so dass ich auf x = -1 komme
Hi,
wenn du x²+x auf die linke Seite bringst, dann wird daraus -x²-x ,
und nicht +x²-x !
Links muss also stehen: x³ - x² - x + 1 , also lautet die Gleichung
x³ - x² - x + 1 = 0 , und da kannst du nichts ausklammern, also ich
weiß nicht was du meinst mit dem Ausklammern. Da ist erstmal kein gemeinsamer Faktor zu sehen.
Hallo,
beim Gleichsetzen der beiden Funktionen kommst Du auf:
x³-x²-x+1=0
und das läßt sich nicht einfach durch Ausklammern lösen.
Ist aber auch gar nicht nötig, weil Du keinen Schnittpunkt, sondern einen Berührpunkt suchst - und der kann nur da liegen, wo die Ableitungen beider Funktionen gleich sind.
Du setzt also f'(x)=g'(x):
3x²=2x+1
3x²-2x-1=0
Das ist eine quadratische Gleichung, die Du z.B. mit der abc-Formel lösen kannst.
Die beiden Lösungen lauten x=1 und x=-1/3
Nun setzt Du beide in die erste Gleichung ein und siehst, welche davon die Gleichung x³-x²-x+1=0 erfüllt. Das tut nur x=1.
Du hast also den Berührpunkt x=1 gefunden.
Die Steigung ist bei beiden Funktionen an dieser Stelle gleich 3, somit gilt das auch für die Tangente, die somit y=3x+b heißen muß.
Da die Tangente den Punkt (1|2), den Du erhältst, wenn Du x=1 in eine der beiden Funktionsgleichungen einsetzt, mit beiden Funktionen gemeinsam haben muß, läßt sich b bestimmen:
2=3*1+b
b=-1
y=3x-1 ist somit die Tangentengleichung.
Herzliche Grüße,
Willy
Schöne Darstellung der notwendigen Bedingungen, diese sind aber nicht hinreichend, denn x^3 und x^4 erfüllen bei x = 0 beide die oben genannten Bedingungen, schneiden sich im Ursprung aber trotzdem, es ist noch zusätzlich das Krümmungsverhalten zu beachten
Das heißt, dass man mit deinen Argumenten nicht sicher sein kann, einen Berührpunkt gefunden zu haben, es könnte trotzdem noch ein Schnittpunkt sein, siehe halt x^3 und x^4.
Du meinst so etwas wie f(x)=x^3 und g(x)=-x³.
Die hätten beide bei x=0 die gleiche Steigung (0), würden sich an dieser Stelle aber überkreuzen. Die x-Achse wäre dennoch für beide eine Tangente an der Stelle x=0.
Ist wahrscheinlich Definitionssache, ob hier nicht doch eine Berührung stattfindet, weil beide an dieser Stelle die gleiche Steigung besitzen und wenigstens für ein Unendlichstel parallel laufen. Immerhin haben beide hier einen Sattelpunkt.
Bei dieser Aufgabe hatte ich die Lösung allerdings in einem Plotter überprüft: Es ist zweifelsohne ein Berührpunkt bei x=1.
Da diese Stelle ohnehin die einzige ist, die in Frage kommt und in der Aufgabe ausdrücklich nach dem Berührpunkt gefragt war, kann man schon davon ausgehen, daß da auch einer ist.
Grundsätzlich hast Du mit Deinem Einwand aber recht.
Herzliche Grüße,
Willy
Ich habe jetzt x³ +1 = x² +2 gerechnet. Ich habe alles auf die Linke Seite gebracht und habe dann ausgeklammert. Also das am Ende x = -1 bei mir rauskommt. Ich habe nun x1=0 (Ausklammern) in f'(x) sowie g'(x) eingesetzt und es kamen unterschiedliche Ergebnisse raus, also kein Berührpunkt. Wenn ich x2 = -1 in f'(x) und g'(x) einsetze kommt bei beiden 0 als Ergebnis raus. Dieses 0 ist doch mein m und die -1 mein x? Müsste ich jetzt nicht eine ganz gewöhnliche Tangentengleichung durchführen. Also f(-1) = (-1)³ + 1 = 0. 0 = y ; BP = (-1/0). usw...