Definition der Kegelschnitte

In Abhängigkeit vom Neigungswinkel $\alpha$ der Schnittebene in Bezug auf den halben Öffnungswinkel $\varphi$ des Kegels ergeben sich die folgenden (regulären) Kegelschnitte:

• Ellipse $\left(\varphi <\alpha \le 90°\right)$
  Spezialfall: Kreis $\left(\alpha =90°\right)$
• Parabel $\left(\alpha =\varphi \right)$
• Hyperbel $\left(0°\le \alpha <\varphi \right)$

Anmerkung: Verläuft die Schnittebene durch die Spitze S des Doppelkegels, entstehen entartete Kegelschnitte (Geradenpaar bzw. Punkt).

Die folgende Abbildung zeigt nochmals das Entstehen der Kegelschnitte Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel (wobei hier nicht auf den halben Öffnungswinkel $\varphi$, sondern auf den Neigungswinkel der Mantellinie gegenüber der Grundfläche Bezug genommen wird).

Definition der Kegelschnitte als geometrischer Ort und ihre Fadenkonstruktionen

• Der Kreis ist der geometrische Ort aller Punkte der Ebene, die von einem festen Punkt, dem Mittelpunkt M, den gleichen Abstand (Radius r) besitzen.

Fadenkonstruktion: Ein Faden der Länge r wird am Mittelpunkt M festgehalten. Ein Schreibstift am gespannten Faden beschreibt dann einen Kreisbogen.

• Die Ellipse ist der geometrische Ort aller Punkte der Ebene, für die die Summe der Abstände von zwei festen Punkten, den Brennpunkten $F_{1}und{F}_2$, konstant ist.

Fadenkonstruktion: Ein Faden der Länge $2a>2e$ (2e Abstand der Brennpunkte) wird in $F_{1}und{F}_2$ befestigt. Ein Schreibstift am gespannten Faden beschreibt dann die Ellipse (Gärtnerkonstruktion).

• Die Parabel ist der geometrische Ort aller Punkte der Ebene, deren Abstände von einem festen Punkt (dem Brennpunkt F) und einer Geraden (der Leitlinie l) konstant sind.

Fadenkonstruktion: Ein Faden wird im Brennpunkt F und am Ende eines Schenkels eines rechtwinkligen Dreiecks befestigt. Der andere Schenkel liegt auf der Leitlinie. Der Schreibstift wird mit gespannten Faden entlang des Schenkels geführt und beschreibt die Parabel.

• Die Hyperbel ist der geometrische Ort aller Punkte der Ebene, für die die Differenz der Abstände von zwei festen Punkten, den Brennpunkten $F_{1}und{F}_2$ konstant ist.

Fadenkonstruktion: Ein Stab der Länge l wird am Brennpunkt $F_1$ drehbar befestigt. Ein Faden der Länge $f=l-2a$ wird am anderen Ende des Stabes und in $F_2$ befestigt. Der Schreibstift wird mit dem gespannten Faden am Stab entlang geführt und beschreibt dabei einen Hyperbelast.